多元线性回归分析(正式)
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多元线性回归分析
简介多元线性回归分析是一种统计技术，用于评估两个或多个自变量与因变量之间的关系。
它被用来解释基于自变量变化的因变量的变化。
这种技术被广泛用于许多领域，包括经济学、金融学、市场营销和社会科学。
在这篇文章中，我们将详细讨论多元线性回归分析。
我们将研究多元线性回归分析的假设，它是如何工作的，以及如何用它来进行预测。
最后，我们将讨论多元线性回归分析的一些限制，以及如何解决这些限制。
多元线性回归分析的假设在进行多元线性回归分析之前，有一些假设必须得到满足，才能使结果有效。
这些假设包括。
1）线性。
自变量和因变量之间的关系必须是线性的。
2）无多重共线性。
自变量之间不应高度相关。
3）无自相关性。
数据集内的连续观测值之间不应该有任何相关性。
4）同质性。
残差的方差应该在自变量的所有数值中保持不变。
5）正态性。
残差应遵循正态分布。
6）误差的独立性。
残差不应相互关联，也不应与数据集中的任何其他变量关联。
7）没有异常值。
数据集中不应有任何可能影响分析结果的异常值。
多重线性回归分析如何工作？多元线性回归分析是基于一个简单的数学方程，描述一个或多个自变量的变化如何影响因变量（Y）的变化。
这个方程被称为"回归方程"，可以写成以下形式。
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε 其中Y是因变量；X1到Xn是自变量；β0到βn是系数；ε是代表没有被任何自变量解释的随机变化的误差项（也被称为"噪音"）。
系数（β0到βn）表示当所有其他因素保持不变时（即当所有其他自变量保持其平均值时），每个自变量对Y的变化有多大贡献。
例如，如果X1的系数为0.5，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即当所有其他独立变量保持其平均值时），X1每增加一单位，Y就会增加0.5单位。
同样，如果X2的系数为-0.3，那么这意味着当所有其他因素保持不变时（即所有其他独立变量保持其平均值时），X2每增加一个单位，Y就会减少0.3个单位。
多元线性回归分析
检验统计量构造为 ：F ˆi2 / cii
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
S /(n k 1) 或 t ˆi / cii
S /(n k 1)
c 式中 ii 是矩阵 (X ' X )1对角线上的第 i 个元素，S 表示残
差平方和 。 当检验统计量的值大于给定显著性下的临界值时，拒绝 原假设，认为回归系数是显著的
（六）利用已通过检验的回归方程进行预测。
市场调查
多元线性回归分析
多元线性回归是在简单线性回归基础上推广而来。是 用来分析多个自变量对多个因变量如何产生影响的，最常见 的是分析多个自变量对一个因变量的影响方向和影响程度。
一、多元线性回归分析在市场调查中的应用
（一）确定市场调查中因变量与自变量之间的关系 是否存在，若存在，还要分析自变量对因变量的影 响程度是多大，影响方向如何。
Yt
因变量
X it (i 1,2,, k)
自变量
i (i 1,2,, k)
总体回归系数
ut
随机误差项
作为总体回归方程的估计，样本回归方程如下：
Yˆt ˆ1 ˆ2 X 2t ˆ3 X3t ˆk X kt et
ˆi (i 1,2,, k)
总体回归系数的估计
t 1,2,, n
样本数
et 是 Yt与其估计 Yˆt之间的离差，即残差
（二）确定因变量和自变量之间的联系形式，关 键是要找出回归系数。
（三）利用已确定的因变量和自变量之间的方程 形式，在已知自变量的情况下，对因变量的取值 进行预测。
（四）在众多影响因变量的因素中，通过评价其 对因变量的贡献，来确定哪些自变量是重要的或 者说是比较重要的，为市场决策行为提供理论依 据。
（五）回归的显著性检验
包括对回归方程的显著性检验和对回归系数的显著性检验。
多元线性回归分析正式
2.对回归方程及各Xj作假设检验。
二、多元线性回归方程的建立
Y
Y ˆ abX
X
Y ˆ b0b1X1
Y ˆ b0b1X1
b(XX)(YY)lXY
(XX)2
lXX
aYbX
b1
l1Y l 11
l1 1 b1 l1Y
b0 Yb1X1
Y
Y ˆb0b1X 1b2X 2
X1
X2
X ˆ2 b0b1X1
Y ˆb0b1X 1b2X 2
1.校正决定系数
R
2 c
选择法
Rc 21（ 1R2 ） nn p 1 11M M总 残 S S
R2可用来评价回归方程优劣。 随着自变量增加，R2不断增大，对两个不
同个数自变量回归方程比较，须考虑方程 包含自变量个数影响，应对R2进行校正。 所谓“最优”回归方程指R c2 最大者。
2. C p 选择法
Sb10.365 Sb260.204 Sb320.121Sb4 4 0.243
0 .1424 t 1 0 .3656 0 .390 P 0.05
0 .3515 t 2 0 .2042 1 .721 P 0.05
0 .2706 t 3 0 .1214 2 .229 P 0.05
l1 b 1 1 l1 b 2 l1 m b m l1 Y l2b 1 1l2b 22 l2 m b m l2 Y lm 1 b 1 lm 2 b 2 lm b m m lmY
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
变异来源 自由度 SS
MS
F
总变异 26 222.5519
回 归 4 133.7107 33.4277 8.28
二、多元线性回归方程的建立
Y
Y ˆ abX
X
Y ˆ b0b1X1
Y ˆ b0b1X1
b(XX)(YY)lXY
(XX)2
lXX
aYbX
b1
l1Y l 11
l1 1 b1 l1Y
b0 Yb1X1
Y
Y ˆb0b1X 1b2X 2
X1
X2
X ˆ2 b0b1X1
Y ˆb0b1X 1b2X 2
1.校正决定系数
R
2 c
选择法
Rc 21（ 1R2 ） nn p 1 11M M总 残 S S
R2可用来评价回归方程优劣。 随着自变量增加，R2不断增大，对两个不
同个数自变量回归方程比较，须考虑方程 包含自变量个数影响，应对R2进行校正。 所谓“最优”回归方程指R c2 最大者。
2. C p 选择法
Sb10.365 Sb260.204 Sb320.121Sb4 4 0.243
0 .1424 t 1 0 .3656 0 .390 P 0.05
0 .3515 t 2 0 .2042 1 .721 P 0.05
0 .2706 t 3 0 .1214 2 .229 P 0.05
l1 b 1 1 l1 b 2 l1 m b m l1 Y l2b 1 1l2b 22 l2 m b m l2 Y lm 1 b 1 lm 2 b 2 lm b m m lmY
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
变异来源 自由度 SS
MS
F
总变异 26 222.5519
回 归 4 133.7107 33.4277 8.28
第5章多元线性回归分析1
k 个解释变量的多元线性回归模型的 n 个观测
样本，可表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 ... k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 ... k X k 2 u 2
Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n ... k X k n u n
相关系数，即全部自变量参与回归的总体相
关系数，Rmxi 为去掉xi 的复相关系数。可见
部分相关系数的平方是在总体拟合效果中扣 除了其他变量综合拟合效果之后剩余部分。
15
16
多元线性回归模型
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验
17
§5.1多元线性回归模型及古典假定
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
20
多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
YALKu
取自然对数
l n Y ln A l n L l n K l n u
21
多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
因为 Xe=0 ，则正规方程为：
XXβˆ =XY
32
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
XXβˆ =XY ( X X ) k k 是 满 秩 矩 阵 ,其 逆 存 在
βˆ=(XX)-1XY
ˆ1Y-β ˆ2X2-β ˆ3X3
ˆ2(
yix2 i)( x3 2 i)-( yix3 i)( x2 ix3 i) ( x2 2 i)( x3 2 i)-( x2 ix3 i)2
样本，可表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 ... k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 ... k X k 2 u 2
Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n ... k X k n u n
相关系数，即全部自变量参与回归的总体相
关系数，Rmxi 为去掉xi 的复相关系数。可见
部分相关系数的平方是在总体拟合效果中扣 除了其他变量综合拟合效果之后剩余部分。
15
16
多元线性回归模型
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验
17
§5.1多元线性回归模型及古典假定
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
20
多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
YALKu
取自然对数
l n Y ln A l n L l n K l n u
21
多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
因为 Xe=0 ，则正规方程为：
XXβˆ =XY
32
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
XXβˆ =XY ( X X ) k k 是 满 秩 矩 阵 ,其 逆 存 在
βˆ=(XX)-1XY
ˆ1Y-β ˆ2X2-β ˆ3X3
ˆ2(
yix2 i)( x3 2 i)-( yix3 i)( x2 ix3 i) ( x2 2 i)( x3 2 i)-( x2 ix3 i)2
最新文档-第6讲 多元线性回归分析-PPT精品文档
1. 线性关系检验通过后，对各个回归系数有选择地 进行一次或多次检验
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[
2. 究竟要对哪几个回归系数进行检验，通常需要在 建立模型之前作出决定
3. 对回归系数检验的个数进行限制，以避免犯过多 的第一类错误(弃真错误)
4. 对每一个自变量都要单独进行检验
5. 应用 t 检验统计量
模型的统计检验
我们研究的模型是：Y= 0+ 1X1+ 2X2+u 1.参数估计值的分布
（ii）计算 t 统计量
j=0
j=0，1，2
（iii）给定显著性水平 ，查自由度为n-3的t分布表， 得到临界值
t (n3) 2
（iv）判断：
t （a）若 | t | >
(n3)
2
则在1- 水平下拒绝原假设H0 ，即 j对应的变量xj是
显著的；
t （b）若 | t | <
(n3)
系数 。
（3）校正的判定系数即用自由度进行平均，用 “单位”拟合误差进行比较，从而提高了可比性。
（4）虽然非校正的判定系数总为正数，但校正 的判定系数可能为负数。
• 我们很容易可以得到 调整的R2 ，
• (1 – R2)(n – 1) / (n – k – 1), • 大部分的软件会同时给出 R2 和 调整的R2。 • 可以通过比较调整的R2 来比较两个模型（同一个
2 1 i
2 2 i 1 i 2 i2
1
2 ]
V( aˆr ) 1
x 2[
u
2
x x ( xx) 1 i
2
2 i
2 2 i1 i
2] 2 i
V( aˆr ) 2
x 2[
第15章多元线性回归分析
Sig. .012 .016 .017 .008
y ˆ 6 .5 0 0 .40 X 0 0 .2 2X 8 0 .6 7X 63
2
3
4
对新建立的回归方程进行检验
A N O VbA
Sum of
Model
Squares
1
Regre1s3s3i.o0n98
Residu8a9l.454
Total222.552
多元线性回归分析
温医公卫学院
例15-1 27名糖尿病人的血清总胆固 醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋 白、空腹血糖的测量值列于表15-2中，试 分析哪些指标能影响血糖水平，并血糖建 立与其它几项关系的这些指标的回归关系。
序号 i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
27 名 糖 尿 病 人 的 血 糖 及 有 关 变 量 的 测 量 结 果
甘油三脂
胰岛素
糖化血
(m m o l/L )
( U / m l )
红 蛋 白 (% )
X2
X3
X4
1 .9 0
4 .5 3
8 .2
1 .6 4
7 .3 2
6 .9
3 .5 6
6 .9 5
1 0 .8
1 .0 7
5 .8 8
11 .3
6 .2 1
3 .4 7
1 2 .3
7 .9 2
3 .3 7
9 .8
1 0 .8 9
1 .2 0
1 0 .5
0 .9 2
8 .6 1
6 .4
1 .2 0
第4章多元线性回归分析
4.2.1回归系数估计
结论
4.2 多元线性回归模型参数估计
结论1： OLS估计的一致性 ˆj 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 为一致估计，即
ˆ , j 0, 1, 2, , k p limn j j
结论2： OLS估计的无偏性 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 ˆj 为无偏估计： ˆ ) , j 0, 1, , k E( j j
4.9 自变量共线性 重要概念Biblioteka 4.1 多元线性回归模型设定
模型设定：
假设1（零条件均值:zero conditonal mean）
给定解释变量，误差项条件数学期望为0，即
E(u | X1 , X 2 ,, X k ) 0
Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项 4.8.2 假设条件的放松（二）—异方差 4.8.3 假设条件的放松（三）—非随机抽 样和序列相关 4.8.4 假设条件的放松（四）—内生性
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项
• 去掉假设5不影响OLS估计的一致性、无偏性和渐 近正态性。 • 不能采用t-检验来进行参数的显著性检验，也不能 用F检验进行整体模型检验。 • 大样本情况下，t统计量往往服从标准正态分布 （在原假设下）。
…
xk ( X k1 , X k 2 ,, X kn )
假设2’（样本无共线性:no colinearity）
不存在不全为零的一组数 c0 , c1,, ck使得
c0 c1x1 xk 0
4.2 多元线性回归模型参数估计
多元线性回归分析简介
ˆ j 表示 j , j 0,1, , p 的估计值。
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：
称
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp
为 y 关于 x 的多元线性经验回归方程（函数），它表示 p+1 维空间中的一个超平面（经验回归平面）。
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引进矩阵的形式：
设
y
y1
y2
，
X
1
1
x11 x21
有平方和分解公式 SS=SSR+SSE
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
定理 4.5＇在 p 元回归分析问题中， SSR 与 SSE 相互独立，
且1
2
SSE
~
2(n
p
1)
；在原假设 H0 成立时，有
12ຫໍສະໝຸດ SSR~2(p)
。
因此取检验统计量 F=
SSR / p
H0成立时
F(p,n-p-1)
SSE / n p 1
（ xi1, , xip , yi ）（ i 1,2,, n ）到回归平面
y ˆ0 ˆ1x1 ˆp xp 的距离的大小。
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一元回归分析中旳结论全部能够推广到多 元旳情形中来。
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定理 4.2＇ 在 p 元回归分析问题中，（1） ˆ 服从 p+1 维正态分
min
0 ,1 , , p
Q(0,
1,
,p)
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定理 4.1＇在 p 元回归分析问题中， 的最小
二乘估计量为 ˆ X X 1 X Y 。
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误差方差的估计：
1 多元线性回归分析
1. 自变量筛选的标准与原则 2. 自变量筛选的常用方法
1、自变量筛选的标准与原则
① 残差平方和SSE缩小与确定系数增大 ② 残差均方缩小与调整确定系数增大 ③ Cp统计量
2、自变量筛选的常用方法
① 所有可能自变量子集选择 ② Forward：前进法（向前选择法） ③ Backward：后退法（向后剔除法） ④ Stepwise：逐步回归法
♦ 是选择变量的有效方法。
前进法、后退法、逐步回归法的侧重点不
同。
当自变量之间不存在简单线性相关关系时，三种方法计算结果 是一致的。 当自变量之间存在简单线性相关关系时，前进法侧重于向模型 中引入单独作用较强的变量，后退法侧重于引入联合作用较强 的变量，逐步回归法则介于两者之间。
注意：剔除变量的标准（0.1）应 大于或等于引入变量的标准 （0.05）。
ANOVA b
Model
Sum of Squares
1
Regression 133.711
Residual Total
88.841 222.552
df Mean Square
4
33.428
22
4.038
26
F 8.278
Sig. .000a
a.Predictors: (Constant), 糖化血红蛋白, 甘油三酯, 胰岛素, 总胆固醇
总变异 23 0.08123
R2=0.06396/0.08123=0.7874
确定系数的取值范围为0≤R2≤1。直接反映了 回归方程中所有自变量解释了反应变量总变异 的百分比。其值越接近于1，表示回归模型的拟 合效果越好。
3、调整的确定系数
调整的R2：记为
R2 = R 2 k(1 R2 )
1、自变量筛选的标准与原则
① 残差平方和SSE缩小与确定系数增大 ② 残差均方缩小与调整确定系数增大 ③ Cp统计量
2、自变量筛选的常用方法
① 所有可能自变量子集选择 ② Forward：前进法（向前选择法） ③ Backward：后退法（向后剔除法） ④ Stepwise：逐步回归法
♦ 是选择变量的有效方法。
前进法、后退法、逐步回归法的侧重点不
同。
当自变量之间不存在简单线性相关关系时，三种方法计算结果 是一致的。 当自变量之间存在简单线性相关关系时，前进法侧重于向模型 中引入单独作用较强的变量，后退法侧重于引入联合作用较强 的变量，逐步回归法则介于两者之间。
注意：剔除变量的标准（0.1）应 大于或等于引入变量的标准 （0.05）。
ANOVA b
Model
Sum of Squares
1
Regression 133.711
Residual Total
88.841 222.552
df Mean Square
4
33.428
22
4.038
26
F 8.278
Sig. .000a
a.Predictors: (Constant), 糖化血红蛋白, 甘油三酯, 胰岛素, 总胆固醇
总变异 23 0.08123
R2=0.06396/0.08123=0.7874
确定系数的取值范围为0≤R2≤1。直接反映了 回归方程中所有自变量解释了反应变量总变异 的百分比。其值越接近于1，表示回归模型的拟 合效果越好。
3、调整的确定系数
调整的R2：记为
R2 = R 2 k(1 R2 )
《多元线性回归分析》PPT课件
的线性关系而使因变量Y 变异减小的部分；
SS回归 b1l1Y b2l2Y bmlmY biliy
SS剩余 表示剩余平方和，说明除自变量外，其它随机因素
对 Y 变异的影响。 SS剩余 SS总 SS回归
整理ppt
14
各变量的离差矩阵
b1 0.1424 ， b2 0.3515 ， b3 0.2706 ， b4 0.6382
Y 的误差平方和Q (Y Yˆ)2 为最小值
的一组回归系数b1 ,b2 ,bm 值。
求回归系数 b1 ,b2 ,bm 的方法
是求解正规方程组（normal equations）：
b1l11 b2l12 bml1m l1y
b1l21
b2l22
bml2m
l2y
b1lm1 b2lm2 bmlmm lmy
整理ppt
28
2.决定系数
决定系数（coefficient of determination）表示回归平 方和占总平方和的比例，反映各自变量对因变量回 归贡献的大小，用 R2 表示。 R2 SS回归
SS总
R2 无单位，取值在 0~1 之间。值越大，说明回归平 方和在总平方和中所占的比重越大，剩余平方和所占 比例越小，回归效果越好。
partial
regression
coefficient）。标准偏回归系数
b
' i
与
注 意
偏回归系数之间的关系为：
b
' i
=
bi
lii l yy
= bi
si sy
标准偏回归系数绝对值的大小，可用以衡量自变量对
因变量贡献的大小，即说明各自变量在多元回归方程
中的重要性。
第八讲多元线性回归分析-精选文档
ˆ Y 5 . 9433 0 . 1424 X 0 . 3515 X 0 . 2706 X 0 . 63 X 1 2 3 4
三、假设检验及其评价
（一）对回归方程
1. 方差分析法： H 0， 0 : 1 2 m
H （ = 1 , 2 , , m ) 不 全 为 0 ， 1:各 j j
总胆固醇 （mmol/L） X1
5.68 3.79 6.02 4.85 4.60 6.05 4.90 7.08 3.85 4.65 4.59 4.29 7.97 6.19 6.13 5.71 6.40 6.06 5.09 6.13 5.78 5.43 6.50 7.98 11.54 5.84 3.84
2 2 ˆ b X b X ) 01 1 2 2 m m
求偏导数
原
理
最小二乘法
l11b1 l12b2 l1mbm l1Y l b l b l b l 21 1 22 2 2m m 2Y lm1b1 lm2b2 lmmbm lmY
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
Éɱ í ÉÉÉÉɱ ÉÉ Y ÉÉÉ ü Éɱ í ÉÉ× É± ÉÉ
X1 , X 2 ,, X m ÉÉÉÉÉÉ
é ÉÉɱ í É É ÉÉ ü × É 0 ÉÉÉÉÉ 1 , 2 ,, m ÉÉÉÉ ± Éɱ ÉÉɱ ÉÉ ±É X j ÉÉÉ ò ÉÉÉÉÉÉÉ ± Y ÉÉÉ ù ± É ÉÉÉ e ÉÉÉ m É× É± ÉÉÉ Y É °É ì É ó ÉÉÉ ú É ó É É ¨ÉÉÉ É
甘油三脂 (mmol/L) X2
1.90 1.64 3.56 1.07 2.32 0.64 8.50 3.00 2.11 0.63 1.97 1.97 1.93 1.18 2.06 1.78 2.40 3.67 1.03 1.71 3.36 1.13 6.21 7.92 10.89 0.92 1.20
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种常用的统计方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们理解多个因素对于一个目标变量的影响程度，同时也可以用于预测和解释因变量的变化。
本文将介绍多元线性回归的原理、应用和解读结果的方法。
在多元线性回归分析中，我们假设因变量与自变量之间存在线性关系。
具体而言，我们假设因变量是自变量的线性组合，加上一个误差项。
通过最小二乘法可以求得最佳拟合直线，从而获得自变量对因变量的影响。
多元线性回归分析的第一步是建立模型。
我们需要选择一个合适的因变量和若干个自变量，从而构建一个多元线性回归模型。
在选择自变量时，我们可以通过领域知识、经验和统计方法来确定。
同时，我们还需要确保自变量之间没有高度相关性，以避免多重共线性问题。
建立好模型之后，我们需要对数据进行拟合，从而确定回归系数。
回归系数代表了自变量对因变量的影响大小和方向。
通过最小二乘法可以求得使残差平方和最小的回归系数。
拟合好模型之后，我们还需要进行模型检验，以评估模型拟合的好坏。
模型检验包括对回归方程的显著性检验和对模型的拟合程度进行评估。
回归方程的显著性检验可以通过F检验来完成，判断回归方程是否显著。
而对模型的拟合程度进行评估可以通过判断决定系数R-squared的大小来完成。
解读多元线性回归结果时，首先需要看回归方程的显著性检验结果。
如果回归方程显著，说明至少一个自变量对因变量的影响是显著的。
接下来，可以观察回归系数的符号和大小，从中判断自变量对因变量的影响方向和相对大小。
此外，还可以通过计算标准化回归系数来比较不同自变量对因变量的相对重要性。
标准化回归系数表示自变量单位变化对因变量的单位变化的影响程度，可用于比较不同变量的重要性。
另外，决定系数R-squared可以用来评估模型对观测数据的拟合程度。
R-squared的取值范围在0到1之间，越接近1说明模型对数据的拟合越好。
但需要注意的是，R-squared并不能反映因果关系和预测能力。
多元线性回归分析
X
' j
=
X
j
− X Sj
j
标准化回归方程
标准化回归系数 bj ’ 的绝对值用来比较各个自变量 Xj 对 Y 的影响程度大小； 绝对值越大影响越大。标准化回归方程的截距为 0。 标准化回归系数与一般回归方程的回归系数的关系：
b 'j = b j
l jj l YY
⎛ Sj ⎞ = b j⎜ ⎜S ⎟ ⎟ ⎝ Y⎠
R = R2
^
�
说明所有自变量与 Y 间的线性相关程度。即 Y 与 Y 间的相关程度。联系了回归和相关
-5-
�
如果只有一个自变量，此时
R=r 。
3) 剩余标准差（ Root MSE ）
SY |12... p =
∑ (Y − Yˆ )
2
/( n − p − 1)
= SS 残 （n − p − 1 ） = MS 残 = 46.04488 = 6.78564 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
（SS 残） p Cp = − [n − 2(p + 1)] （ MS 残） m p≤m
2
P 为方程中自变量个数。 最优方程的 Cp 期望值是 p+1。应选择 Cp 最接近 P+1 的回归方程为最优。
5、决定模型好坏的常用指标和注意事项：
• 决定模型好坏的常用指标有三个：检验总体模型的 p-值，确定系数 R2 值和检验每一 个回归系数 bj 的 p-值。 • 这三个指标都是样本数 n、模型中参数的个数 k 的函数。样本量增大或参数的个数增 多，都可以引起 p-值和 R2 值的变化。但由于受到自由度的影响，这些变化是复杂 的。 • 判断一个模型是否是一个最优模型，除了评估各种统计检验指标外，还要结合专业知 识全面权衡各个指标变量系数的实际意义，如符号，数值大小等。 • 对于比较重要的自变量，它的留舍和进入模型的顺序要倍加小心。
' j
=
X
j
− X Sj
j
标准化回归方程
标准化回归系数 bj ’ 的绝对值用来比较各个自变量 Xj 对 Y 的影响程度大小； 绝对值越大影响越大。标准化回归方程的截距为 0。 标准化回归系数与一般回归方程的回归系数的关系：
b 'j = b j
l jj l YY
⎛ Sj ⎞ = b j⎜ ⎜S ⎟ ⎟ ⎝ Y⎠
R = R2
^
�
说明所有自变量与 Y 间的线性相关程度。即 Y 与 Y 间的相关程度。联系了回归和相关
-5-
�
如果只有一个自变量，此时
R=r 。
3) 剩余标准差（ Root MSE ）
SY |12... p =
∑ (Y − Yˆ )
2
/( n − p − 1)
= SS 残 （n − p − 1 ） = MS 残 = 46.04488 = 6.78564 反映了回归方程的精度，其值越小说明回归效果越好
（SS 残） p Cp = − [n − 2(p + 1)] （ MS 残） m p≤m
2
P 为方程中自变量个数。 最优方程的 Cp 期望值是 p+1。应选择 Cp 最接近 P+1 的回归方程为最优。
5、决定模型好坏的常用指标和注意事项：
• 决定模型好坏的常用指标有三个：检验总体模型的 p-值，确定系数 R2 值和检验每一 个回归系数 bj 的 p-值。 • 这三个指标都是样本数 n、模型中参数的个数 k 的函数。样本量增大或参数的个数增 多，都可以引起 p-值和 R2 值的变化。但由于受到自由度的影响，这些变化是复杂 的。 • 判断一个模型是否是一个最优模型，除了评估各种统计检验指标外，还要结合专业知 识全面权衡各个指标变量系数的实际意义，如符号，数值大小等。 • 对于比较重要的自变量，它的留舍和进入模型的顺序要倍加小心。
多元线性回归分析
多元线性回归分析多元线性回归分析是一种使用多个自变量来预测因变量的统计方法。
它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在这篇文章中，我们将讨论多元线性回归的基本概念、假设和模型，以及如何进行参数估计、模型拟合和预测。
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βnXn+ε在这个方程中，Y是因变量，X1、X2、..、Xn是自变量，β0、β1、β2、..、βn是回归系数，ε是误差项。
假设1.线性关系：自变量和因变量之间存在线性关系。
2.独立性：样本数据是独立采样的。
3.多重共线性：自变量之间不存在高度相关性。
4.正态分布：误差项服从正态分布。
5.同方差性：误差项的方差是常数。
参数估计为了估计回归系数，我们使用最小二乘法来最小化残差平方和。
残差是观测值与模型估计值之间的差异。
最小二乘法的目标是找到最佳的回归系数，使得观测值的残差平方和最小化。
模型拟合一旦估计出回归系数，我们可以使用它们来拟合多元线性回归模型。
拟合模型的目标是找到自变量的最佳线性组合，以预测因变量的值。
我们可以使用拟合后的模型来预测新的观测值，并评估模型的拟合程度。
预测在实际应用中，多元线性回归模型可以用于预测因变量的值。
通过给定自变量的值，我们可以使用估计的回归系数来计算因变量的预测值。
预测值可以帮助我们了解自变量对因变量的影响，并作出决策。
总结多元线性回归分析是一种重要的统计方法，它可以帮助我们理解自变量对因变量的影响，并预测因变量的值。
在进行多元线性回归分析时，我们需要考虑模型的假设，进行参数估计和模型拟合，并使用拟合后的模型进行预测。
通过多元线性回归分析，我们可以获得有关变量之间关系的重要见解，并为决策提供支持。
多元线性回归分析课件
注意：似然函数取对数是一个单调变换，不会影响参 数估计值的最优解。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
42
极大似然估计的优化一阶条件：
结论： 回归系数的ML估计量与OLS估计量完全等价。 在有限样本下是有偏的，大样本下具有一致性。
43
二、参数约束的似然比检验
例子：柯布－道格拉斯生产函数
无约束方程： 受约束方程：
待检验假设：
无约束方程进行 ML估计，得到极大对数似然函数值：
回忆：P值是检验结论犯第一类“弃真”错误的概率。 P值非常小的含义是什么呢？
17
二、随机误差项方差的估计
的无偏估计量可以表述为：
自由度为什么是N-(K+1)？ 多元回归模型的OLS估计中，我们基于正规方程 组中的K+1个约束估计了K+1个回归系数，所以损失 了K+1个自由度，独立的观测信息只剩下N-(K+1)个。
34
3 ：参数的线性约束检验： F检验一般形式
对于多元线性回归模型：
参数的多个约束：
待检验假设：
原假设中至少有一个约束条件不成立。
35
检验统计量
基于 和 有
，在原假设成立的情况下，
如果原假设为真，我们会倾向于得到较小的F值。
反之，我们会倾向于得到较大的F值。
判定：若F值大于临界值，或p值小于显著性水平， 则拒绝原假设。
36
4 ：经济关系的结构稳定性检验： F检验的一 个例子——邹检验
n 例：中国宏观生产函数在1992年前后是否不同？ 无约束回归：参数可以不同
1978~1992年： 1993~2006年：
受约束回归：参数不变 1978~2006年：
37
待检验假设：
： 原假设中约束条件至少有一个不成立。
第三讲 多元线性回归分析(整理)
借助于计量经济软件EViews对表3.1.1中的样本回归方程作F检验。
F统计量的值：F=146.2973，n=18，n-k-1=18-2-1=15，在5%的显著性水平下，查自由度为(2，15)的F分布表，得临界值 ，因为F=146.2973 ，故模型总体是显著的。即家庭收入与户主受教育年限对家庭书刊消费水平的共同影响是相当显著的。
9
611.1
1768.8
10
1222.1
1981.2
18
793.2
1998.6
14
660.8
2196.0
10
792.7
2105.4
12
580.8
2147.4
8
612.7
2154.0
10
890.8
2231.4
14
1121.0
2611.8
18
1094.2
3143.4
16
1253.0
3624.6
20
因变量观测值向量和解释变量观测值矩阵分别为
检验模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是检验方程：
中参数是否显著不为0。按照假设检验的原理与程序，提出原假设与备择假设为
(j=1,2，…，k)不全为零
由于 服从正态分布，根据数理统计学中的定义， 的一组样本的平方和服从 分布。所以有
～
～
即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为k和(n-k-1)的 分布。将自由度考虑进去进行方差分析，有如下方差分析表(表3.2.1)。
F检验的具体步骤为：
（1）给定显著性水平 ，在F分布表中查出第一自由度为k和第二自由度为(n-k-1)的临界值 ；
（2）将样本观测值代入式(3.2.9)计算统计量F值；
F统计量的值：F=146.2973，n=18，n-k-1=18-2-1=15，在5%的显著性水平下，查自由度为(2，15)的F分布表，得临界值 ，因为F=146.2973 ，故模型总体是显著的。即家庭收入与户主受教育年限对家庭书刊消费水平的共同影响是相当显著的。
9
611.1
1768.8
10
1222.1
1981.2
18
793.2
1998.6
14
660.8
2196.0
10
792.7
2105.4
12
580.8
2147.4
8
612.7
2154.0
10
890.8
2231.4
14
1121.0
2611.8
18
1094.2
3143.4
16
1253.0
3624.6
20
因变量观测值向量和解释变量观测值矩阵分别为
检验模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立，即是检验方程：
中参数是否显著不为0。按照假设检验的原理与程序，提出原假设与备择假设为
(j=1,2，…，k)不全为零
由于 服从正态分布，根据数理统计学中的定义， 的一组样本的平方和服从 分布。所以有
～
～
即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为k和(n-k-1)的 分布。将自由度考虑进去进行方差分析，有如下方差分析表(表3.2.1)。
F检验的具体步骤为：
（1）给定显著性水平 ，在F分布表中查出第一自由度为k和第二自由度为(n-k-1)的临界值 ；
（2）将样本观测值代入式(3.2.9)计算统计量F值；
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b0Y （ b1X 1b2X 2 ）
用最小二乘法解正规方程组，使残差平方和Q最小。
Q Y Y ˆ 2 Y b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 2
13
Y ˆ b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m
l1 b 1 1 l1 b 2 2 l1 m b m l1 Y l2b 1 1l2b 22 l2 m b m l2Y lm 1 b 1 lm 2 b 2 lm b m m lmY
第15章
多元线性回归分析
Multiple Linear Regression Analysis
华中科技大学同济医学院公共卫生学院 流行病学与卫生统计学系
蒋红卫 Email: jhwccc@1Fra bibliotek讲课内容
第一节 多元线性回归(重点) 第二节 自变量选择方法(重点) 第三节 多元线性回归的应用及注
意事项
2
第一节 多元线性回归
一、多元线性回归模型
3
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
(U/ml)
(%)
(mmol/L)
X3
X4
Y
1
5.68
1.90
4.53
8.2
11.2
2
3.79
1.64
67.3601872.364-89.492296.728869.8025
lij -53.952-39.4923950.31-5076.38-61342.434
31.368276.728-567.386836.440874.5570
67.696829.802-1542.438447.5572022.551
b 1 0 .14 b 2 2 0 .34 5 b 3 1 0 .2 57 b 4 0 0 .66 3
17
b10.142b2 40.351b3 50.270b4 60.6382 X15.812X262.840X 736.146X 749.1185 Y1.1 9259
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ） 5 .94
Y ˆ 5 . 9 4 0 . 1 3 X 4 1 3 0 . 3 2X 5 4 2 0 . 2 1X 7 5 3 0 . 6 0X 3 6 4
18
三、多元线性回归方程的 假设检验及评价
19
（一）回归方程的假设检验及评价 1.方差分析法
H0 :1 2 m 0 H 1 : j ( j 1,2, , m ) 不全为0。 S S 回 b 1l 1Y b 2 l 2 Y b m l mY SS残 SS总 SS回
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
14
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
Q Y Y ˆ2
Y b0b 1X 1b2X 2bm X m2
15
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
66.010b1367.3b620-583.9b532331.3b648677.696 67.3b61 01872.3b26-498.49b32926.7b248869.802 -53.9b51-293.49b229350.3b31-0567.3b846-3142.43 31.3b618276.7b228-567.38b36386.4b440874.557
9
Y
Y ˆ abX
X
Y ˆ b0b1X1
10
Y ˆ b0b1X1
b(XX)(YY)lXY aYbX
(XX)2
lXX
b1
l1Y l 11
l11 b1 l1Y
b0 Yb1X1
11
Y
Y ˆb0b1X 1b2X 2
X1
X2
X ˆ2 b0b1X1
12
Y ˆb0b1X 1b2X 2
l1b 11l1b 22l1Y l2b 11l2b 22l2Y
MS
F
总变异 26 222.5519
回 归 4 133.7107 33.4277 8.28
残 差 22 88.8412 4.0382
P ＜0.01
F0.01(4,22)=4.31
22
2.决定系数R2
R2 SS回13.731070.6008 SS总 22.52519
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
4
例号 1 2 n
表 15-1 多元回归分析数据格式
X1
X2
Xm
X11
X12
X1m
X21
X22
X2m
Xn1
Xn2
Xnm
多元回归：多个Y，多个X 多重回归：一个Y，多个X
Y Y1 Y2 Yn
5
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
(U/ml)
(%)
(mmol/L)
X3
X4
Y
1
5.68
1.90
4.53
8.2
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
16
66.010367.360-583.952331.368677.6962
F
SS 残
SS回 /（ n
/m m
1）
MS MS
回 残
20
表 15-3 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
FP
总变异 n－1 SS 总
回归
m
SS 回
SS 回/m MS 回/MS 残
残 差 n－m－1 SS 残 SS 残/(n-m-1)
21
表 15-4 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
1.Y与X1，X2， ，Xm之间具有线性关系； 2.各个Yi间相互独立； 3.e服从均数为0、方差为2的正态分布。
7
多元线性回归分析步骤：
1.根据样本数据求得模型参数估计值：
Y ˆ b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m
2.对回归方程及各Xj作假设检验。
8
二、多元线性回归方程的建立
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
β0 常数项 βj 偏回归系数(partial regression coefficient)：
在其它自变量保持不变时，Xj增加或减少 一个单位时Y的平均变化量。
e 去除m个自变量对Y影响后的随机误差。
6
多元线性回归模型应用条件：
用最小二乘法解正规方程组，使残差平方和Q最小。
Q Y Y ˆ 2 Y b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 2
13
Y ˆ b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m
l1 b 1 1 l1 b 2 2 l1 m b m l1 Y l2b 1 1l2b 22 l2 m b m l2Y lm 1 b 1 lm 2 b 2 lm b m m lmY
第15章
多元线性回归分析
Multiple Linear Regression Analysis
华中科技大学同济医学院公共卫生学院 流行病学与卫生统计学系
蒋红卫 Email: jhwccc@1Fra bibliotek讲课内容
第一节 多元线性回归(重点) 第二节 自变量选择方法(重点) 第三节 多元线性回归的应用及注
意事项
2
第一节 多元线性回归
一、多元线性回归模型
3
表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
(U/ml)
(%)
(mmol/L)
X3
X4
Y
1
5.68
1.90
4.53
8.2
11.2
2
3.79
1.64
67.3601872.364-89.492296.728869.8025
lij -53.952-39.4923950.31-5076.38-61342.434
31.368276.728-567.386836.440874.5570
67.696829.802-1542.438447.5572022.551
b 1 0 .14 b 2 2 0 .34 5 b 3 1 0 .2 57 b 4 0 0 .66 3
17
b10.142b2 40.351b3 50.270b4 60.6382 X15.812X262.840X 736.146X 749.1185 Y1.1 9259
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ） 5 .94
Y ˆ 5 . 9 4 0 . 1 3 X 4 1 3 0 . 3 2X 5 4 2 0 . 2 1X 7 5 3 0 . 6 0X 3 6 4
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三、多元线性回归方程的 假设检验及评价
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（一）回归方程的假设检验及评价 1.方差分析法
H0 :1 2 m 0 H 1 : j ( j 1,2, , m ) 不全为0。 S S 回 b 1l 1Y b 2 l 2 Y b m l mY SS残 SS总 SS回
b 0 Y （ b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m ）
14
用最小二乘法解正规方程组， 使残差平方和Q最小。
Q Y Y ˆ2
Y b0b 1X 1b2X 2bm X m2
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表 15-2 27 名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果
序号 i
总胆固醇 甘油三酯
(mmol/L) (mmol/L)
66.010b1367.3b620-583.9b532331.3b648677.696 67.3b61 01872.3b26-498.49b32926.7b248869.802 -53.9b51-293.49b229350.3b31-0567.3b846-3142.43 31.3b618276.7b228-567.38b36386.4b440874.557
9
Y
Y ˆ abX
X
Y ˆ b0b1X1
10
Y ˆ b0b1X1
b(XX)(YY)lXY aYbX
(XX)2
lXX
b1
l1Y l 11
l11 b1 l1Y
b0 Yb1X1
11
Y
Y ˆb0b1X 1b2X 2
X1
X2
X ˆ2 b0b1X1
12
Y ˆb0b1X 1b2X 2
l1b 11l1b 22l1Y l2b 11l2b 22l2Y
MS
F
总变异 26 222.5519
回 归 4 133.7107 33.4277 8.28
残 差 22 88.8412 4.0382
P ＜0.01
F0.01(4,22)=4.31
22
2.决定系数R2
R2 SS回13.731070.6008 SS总 22.52519
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
4
例号 1 2 n
表 15-1 多元回归分析数据格式
X1
X2
Xm
X11
X12
X1m
X21
X22
X2m
Xn1
Xn2
Xnm
多元回归：多个Y，多个X 多重回归：一个Y，多个X
Y Y1 Y2 Yn
5
X1
X2
胰岛素 糖化血红蛋白 血糖
(U/ml)
(%)
(mmol/L)
X3
X4
Y
1
5.68
1.90
4.53
8.2
11.2
2
3.79
1.64
7.32
6.9
8.8
3
6.02
3.56
6.95
10.8
12.3
27
3.84
1.20
6.45
9.6
10.4
16
66.010367.360-583.952331.368677.6962
F
SS 残
SS回 /（ n
/m m
1）
MS MS
回 残
20
表 15-3 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
MS
FP
总变异 n－1 SS 总
回归
m
SS 回
SS 回/m MS 回/MS 残
残 差 n－m－1 SS 残 SS 残/(n-m-1)
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表 15-4 多元线性回归方差分析表
变异来源 自由度 SS
1.Y与X1，X2， ，Xm之间具有线性关系； 2.各个Yi间相互独立； 3.e服从均数为0、方差为2的正态分布。
7
多元线性回归分析步骤：
1.根据样本数据求得模型参数估计值：
Y ˆ b 0 b 1 X 1 b 2 X 2 b m X m
2.对回归方程及各Xj作假设检验。
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二、多元线性回归方程的建立
Y 0 1 X 1 2 X 2 m X m e
β0 常数项 βj 偏回归系数(partial regression coefficient)：
在其它自变量保持不变时，Xj增加或减少 一个单位时Y的平均变化量。
e 去除m个自变量对Y影响后的随机误差。
6
多元线性回归模型应用条件：