2019届高三数学寒假作业(3)

x2 y2 xOy 中，双曲线 a2－b2＝1( a＞ 0， b＞0) 的两条渐近线与抛物线
y2＝
4x 的准线相交于 A， B 两点．若△ AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为
．
1
9．表面积为 12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为
．
10.数列 an 满足： a1 1 ，且 an 1 an 2n 1，则 an =
A
(1) 求证：平面 CBD ⊥平面 ABD ；
CG
E
(2)若 GF ∥平面 ABD ，求 GE 的值．
D
B
G
F
6
C
15．解： (1) 在△ BCD中， BC=3， BD=4， CD=5，∴ BC⊥ BD 又∵ BC⊥ AD， BD∩ AD=D
∴ BC⊥平面 ABD
………………………… 4′
又∵ BC 平面 BCD
π
则 f(3)的值为
1
．
8．在平面直角坐标系
x2 y2 xOy 中，双曲线 a2－b2＝1( a＞ 0， b＞0) 的两条渐近线与抛物线
y2＝
Hale Waihona Puke Baidu
4x 的准线相交于 A， B 两点．若△ AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为 9．表面积为 12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为
5． 1 2．
的值为
．
14．设函数 f(x)＝ax＋ sinx＋ cosx．若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线 y ＝ f(x)在点 A， B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 __
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
5
n
10.数列 an 满足： a1 1 ，且 an 1 an 2 1，则 an =
n
an 2 n 2
11. 设数列 an 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， bn 是以 1 为首项， 2 为公比的等
比数列，则 ab1 a b2
ab10
1033
12. 在等比数列
an 中，若 a1
a2
a3 a4
（ 1）问游轮自码头 A 沿 AB 方向开往码
头 B 共需多少分钟？
（ 2）海中有一处景点 P （设点 P 在 xoy
平面内， PQ OM ，且 PQ 6km ），游轮
无法靠近．求游轮在水上旅游线 AB 航行时离 景点 P 最近的点 C 的坐标 .
19. 已知数列 { an} 的前项 n 和为 Sn ， a1 3 ，且对任意的正整数 n，都有 Sn 1
1 cos
2sin cos 22
2cos2 2
tan ． …………………………………………………… 2
7
（ 14 分）
17. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱
AB与地面垂直，灯杆 BC与灯柱 AB
所在的平面与道路走向垂，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC的部分截面如
图中 阴影部分所示 ．已知
（ 1）若 a b
2
，记
3
，求 sin 2
sin 2
的值；
（ 2）若
k
，
2
16． ⑴∵ a b cos(
k k Z ，且 a ∥ b c ，求证： tan
tan 。 2
) ，∴ cos
2
． ……………………………………
3
（ 3 分）
∴ sin 2 1
．
9
sin(
) 1 cos2 cos ……………………………………
2
ABC
， ACD
， 路 宽 AD 24 米 ． 设
3
3
BAC ( ≤ ≤ )
12
6
（ 1）求灯柱 AB的高 h （用 表示）；
（ 2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB与
灯杆 BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
C
B
A
D
解（ 1）三角形 ACD中， CDA
2019 届高三数学寒假作业（ 3）
一、填空题：本大题共 14 小题，每 小 题 5 分，共计 70 分．
1．函数 f(x)＝ ln x＋ 1－x的定义域为 2．已知复数 z1＝－ 2＋ i， z2＝ a＋ 2i(i 为虚数单位， a∈ R)．若 z1z2 为实数，则 a 的值为
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了
9 8 所以 T4
S4 9
5 3
8
13．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 0≤x≤ 1 时， f(x) ＝x2，当 x＞0 时， f( x＋ 1) ＝f(x)
＋ f(1)，且． 若直线 y＝ kx 与函数 y＝ f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点，则实数 k
的值为
．2 2－2
14．设函数 f(x)＝ax＋ sinx＋ cosx．若函数 f(x)的图象上存在不同的两点 A，B，使得曲线 y ＝ f(x)在点 A， B 处的切线互相垂直，则实数 a 的取值范围为 [－ 1， 1] ．
ON 的距离分别为 2km 、 7 10 km ．测得 tan MON 5
3 ， OA 6km ．以点 O 为坐标
原点，射线 OM 为 x 轴的正半轴， 建立如图所示的直角坐标系． 一艘游轮以 18 2km / 小时
的平均速度在水上旅游线 经过 Q ）．
AB 航行 （将航线 AB 看作直线， 码头 Q 在第一象限， 航线 AB
抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 5．已知等差数列 { an} 的公差 d 不为 0，且 a1， a3， a7 成等比数列，则 ad1的值为
．5 9
2．
6．执行如图所示的流程图，则输出的 k 的值为
4．
7．函数 f(x)＝ Asin( ωx＋ φ)( A， ω， φ为常数， A＞ 0， ω＞ 0， 0＜ φ＜π)的图象如下图所示，
11. 设数列 an 是以 2 为首项， 1 为公差的等差数列， bn 是以 1 为首项， 2 为公比的等
比数列，则 ab1 ab2
ab10
15
12. 在等比数列 an 中，若 a1 a2 a3 a4
, a2 a3
8
9
111 1
，则
8
a1 a2 a3 a4
13．已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 0≤x≤ 1 时， f(x) ＝x2，当 x＞0 时， f( x＋ 1) ＝f(x) ＋ f(1)，且． 若直线 y＝ kx 与函数 y＝ f(x)的图象恰有 5 个不同的公共点，则实数 k
4．
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了
150 分到 450
分之间的 1000 名学生的成绩， 并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图
(如图 )，则成绩在 [300 ， 350)内的学生人数共有
300 ．
开始
频率 组距
a 0.005 0.004 0.003
若同时满足条件： ①｛an } ，{ bn } 均单调递增； ② A B
且 A B N* ，则称 { a n }
与 { bn } 是无穷互补数列 .
（ 1）若 a n = 2n 1， bn =4n 2 ，判断 { a n } 与 { bn } 是否为无穷互补数列，并说明理由； （ 2）若 a n = 2n 且 { an } 与 { bn } 是无穷互补数列，求数列 { bn } 的前 16 项的和；
150 分到 450
分之间的 1000 名学生的成绩， 并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图
(如图 )，则成绩在 [300 ， 350)内的学生人数共有
开始
频率 组距
a 0.005 0.004 0.003
0.001
成绩 /分
O 150 200 250 300 350 400 450 (第 3 题图 )
如图中阴影部分所示．已知
2 ABC
， ACD
， 路 宽 AD 24 米 ． 设
3
3
BAC ( ≤ ≤ )
12
6
（ 1）求灯柱 AB的高 h （用 表示）；
（ 2）此公司应该如何设置 的值才能使制造路灯灯柱 AB 与灯杆 BC所用材料的总长度最
小？最小值为多少？
C
B
A
D
3
18. 如图， A 、 B 是海岸线 OM 、 ON 上的两个码头，海中小岛有码头 Q 到海岸线 OM 、
5．已知等差数列
{ an} 的公差 d 不为 0，且 a1， a3， a7 成等比数列，则
a1的值为 d
6．执行如图所示的流程图，则输出的 k 的值为
．
7．函数 f(x)＝ Asin(ωx＋ φ)(A， ω，φ为常数， A＞0， ω＞ 0，0＜ φ＜π)的图象如图所示，则
π
f(3)的值为
．
8．在平面直角坐标系
2
…………………………………………………………………………
（ 5 分） （ 7 分）
⑵∵ b c (1 cos ,sin ) ， a ∥ (b c) ，∴ cos sin (1 cos )sin 0 ．
……………………………………………… （9 分）
又∵
k
，
2
k ( k Z ) ，∴ tan
sin
……………………… （12 分）
∴平面 CBD⊥平面 ABD ………………………… 7′
(2) ∵ GF∥平面 ABD, FG 平面 CED
平面 CED∩平面 ABD=DE
∴ GF∥ ED
………………………… 10′
CG ∴ G为线段 CE的中点，∴ =1
GE
………………………… 14′
16．（本小题满分 14 分）
已知 a cos , sin ， b cos ,sin ， c 1,0 。
（ 3）若 { an } 与 { bn } 是无穷互补数列， { an } 为等差数列且 a16 =36，求 { an } 与 { bn } 的通项
公式 .
4
一、填空题：本大题共 14 小题，每 小 题 5 分，共计 70 分．
1．函数 f(x)＝ ln x＋ 1－x的定义域为
． (0， 1]
2．已知复数 z1＝－ 2＋i ，z2＝ a＋2i(i 为虚数单位， a∈ R)．若 z1z2 为实数，则 a 的值为
15．如图，三棱锥 A— BCD，BC=3，BD =4，CD=5 ，AD⊥ BC，E、F 分别是棱 AB、 CD 的
中点，连结 CE， G 为 CE 上一点．
(1) 求证：平面
CBD ⊥平面
ABD ； (2) 若
GF ∥平面
ABD
，求
CG GE
的值．
A
E D
B
G
F
C
2
16．已知 a cos , sin ， b cos ,sin ， c 1,0 .
15 , a2 a3
8
9
111 1
，则
8
a1 a2 a3 a4
5 3
解 ： 条 件 与 结 论 分 别 是 an 的 前 4 项 和 与 倒 数 和 ， 所 以 考 虑 设
S4 a1 a 2 a3 a4 ,T4 1
1
1
1
，则
a1 a 2 a3 a4
S4 a12 q 3 T4
a1q a1q2
a2 a3
k← 1
S← 1
S←S＋ (k－ 1)2 k← k＋1
S＞ 6
N
Y 输出 k
结束
(第 6 题图 )
y 2
Oπ 6
· 11π x 12
－2
(第 7 题图 )
4．盒中有 3 张分别标有 1， 2， 3 的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机 抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为
（ 1）若 a b
2
，记
3
，求 sin 2
sin 2
的值；
（ 2）若
k
，
2
k k Z ，且 a ∥ b c ，求证： tan
tan . 2
17. 某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱
AB与地面垂直，灯杆 BC与灯柱 AB
所在的平面与道路走向垂直，路灯 C采用锥形灯罩，射出的光线与平面 ABC的部分截面
其中常数
0 ．设 bn
an
n
(n
N )﹒
3
（ 1）若 3 ，求数列 { bn} 的通项公式；
Sn
3n
1
，
（ 2）若
1且
3 ，设 cn an
2
n
3
(
n
N ) ，证明数列 { cn } 是等比数列；
3
20. 对于无穷数列 { a n } 与 { bn } ，记 A={ x | x = a n ， n N * } ，B={ x | x = bn ， n N * } ，
0.001
成绩 /分
O 150 200 250 300 350 400 450 (第 3 题图 )
k← 1
S← 1
S←S＋ (k－ 1)2 k← k＋1
S＞ 6
N
Y 输出 k
结束
(第 6 题图 )
y 2
Oπ 6
·11π x 12
－2
(第 7 题图 )
4．盒中有 3 张分别标有 1， 2， 3 的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机
二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步
骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本题满分 14 分）如图，三棱锥 A— BCD ， BC=3， BD =4， CD =5， AD⊥ BC， E、 F
分别是棱 AB、 CD 的中点，连结 CE， G 为 CE 上一点．