第4章随机过程的非线性变换

非线性系统分析的变换法
输出的自相关函数：
RY () E{Y (t )Y (t )} E{h[ X (t )]h[ X (t )]}



h( x1 )h( x2 ) f X ( x1 , x2 , )dx1dx2
由概率密度与特征函数关系：
1 f X ( x1 , x2 , ) 2 X (1 , 2 , )e j1x1 j2 x2 d 1d 2 4
随机过程的非线性变换
典型的无惰性时不变非线性系统
(1)平方律检波 y
y bx2 b 0
0
x
随机过程的非线性变换
典型的无惰性时不变非线性系统
(2)全波线性检波 y
x y | x | x
x0 x0
0
x
随机过程的非线性变换
典型的无惰性时不变非线性系统
(3)半波线性检波 y

X ( 1 , 2 , ) h( x1 )e


dx1 h( x2 )e j2 x2 dx2d 1d 2


X ( 1 , 2 , )F( 1 )F( 2 )d 1d 2
如果用拉普拉斯变换表示，则为
1 RY () (2j )2
yx
2
(1) 求输出过程Y(t)的一维概率密度； (2) 求Y(t)的均值、方差、相关函数及功率谱密度；
非线性变换的直接分析法
例 2 ：假定全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随 机过程，其方差为 ，求输出的一维概率密度和均值。
2
x y | x | x
x0 x0
y 0
非线性系统分析的变换法
1. 变换法的基本公式
若非线性函数关系满足




| g ( x) | dx
F () g ( x)e j x dx 非线性系统的转移函数 1 j x y g ( x) F ( )e d 2
若非线性函数不绝对可积，则转移函数用拉氏变换。
F (s) g ( x)e sx dx


s j
1 j sx y g ( x) F ( s ) e ds 2 j j
非线性系统分析的变换法
特征函数的定义
一维随机变量的特征函数为
X () E[e
二维随机变量的特征函数为
jX
]
X1X2 (1, 2 ) E[e
jX1 jX 2
]
非线性系统分析的变换法
特征函数的逆转公式
一维随机变量
1 jx f X ( x) X ()e d 2
二维随机变量

1 f X1X 2 ( x1 , x2 ) 2 X1X 2 (1 , 1 )e j1x1 j2 x2 d1d2 4

D
F ( s1 ) F ( s2 ) X ( s1 , s2 , )ds1ds2
D
普赖斯（Price）运用特征函数法，在输入随机过 程是高斯分布的特定条件下，将输入端的相关函数
和输出端的相关函数联系起来，称为普赖斯定理。
非线性系统分析的变换法
2. Price定理
假定输入为零均值平稳正态随机过程，输出过程为 Y(t)=h[X(t)]，则输出Y(t)的自相关函数满足如下关系：
非线性系统分析的变换法
1 RY ( ) 2 4 1 2 4 1 2 4





h( x1 )h( x2 )





X ( 1 , 2 , )e j1 x1 j2 x2 d 1d 2dx1dx2
j1 x1
次，计算十分复杂
1 P{X t X t 0} 1 P{X t X t 0}
非线性系统分析的级数展开法
前提条件： y
g ( x) 可以在 x 0 处用台劳级数展开
1 d k h( x ) ak k ! dx k
y g ( x) a0 a1x a2 x 2 ....

D
F ( s1 ) F ( s2 ) X ( s1 , s2 , )ds1ds2
D
非线性系统分析的变换法
2. Price定理
1 RY () , ) F (1 ) F (2 ) d 1d 2
1 RY () (2j )2
非线性系统分析的级数展开法
前提条件： y
h( x) 可以在 x 0 处用台劳级数展开
1 d k h( x ) ak k ! dx k
y h( x) a0 a1x a2 x 2 ....
特点：
输出的一、二阶矩是由输入的k阶矩决定的 只能近似计算
用多项式表示非线性关系时，当它的幂次超过3
d ( k ) RY () (k ) (k ) h ( x ) h ( x2 ) f X ( x1 , x2 , )dx1dx2 1 (k ) dRX () (k ) (k ) E h ( X ) h ( X 2 ) 1
X1 ： X (t ) 在 t 时刻对应的随机变量 X 2 ： X (t ) 在
其中：
J1 dx1 / dy J 2 dx2 / dy
非线性变换的直接分析法
2. 均值和自相关函数
X(t)

Y(t) X(t) 的一维概率密度 Y=g(x)
E Y (t ) E{g[ X (t )]}

g ( x) f X ( x, t )dx
f X ( x)
E Y (t1 )Y (t2 ) E{g[ X (t1 )]g[ X (t2 )]}
均值：
E[Y (t )] E[a0 a1 X (t )
an X n (t ) ]
相关函数： Y (t1 ) a0 a1 X (t1 )
an X n (t1 ) an X n (t2 )
Y (t2 ) a0 a1 X (t2 )
2 RY [t1, t2 ] E[Y (t1 )Y (t2 )] E[a0 a0a1 X (t1) X (t2 )]
x y ( x | x |) / 2 0
x0 x0
0
x
随机过程的非线性变换
非线性变化的分析方法
非线性变换的直接分析法 非线性系统分析的变换法 非线性系统分析的级数展开法
非线性变换的直接分析法
X(t) Y=g(x)
Y(t)
已知：输入的统计特性、系统的非线性变换函数 求解：输出的统计特征。
方法：直接根据定义求解。
特点：简单、直观。
非线性变换的直接分析法
1. 概率密度
X(t)
Y=g(x) Y(t)
y g ( x) 单调
f Y ( y, t ) | J | f X ( x, t )
y g ( x) 不单调
fY ( y, t ) | J1 | f X ( x1 , t ) | J2 | f X ( x2 , t )



f X ( x1 , x2 , )
g ( x1 ) g ( x2 ) f X ( x1 , x2 , t1 , t2 )dx1dx2
X(t)的二维概率密度
若输入 X (t ) 二阶严平稳 则输出广义平稳的。
非线性变换的直接分析法
例1：若X(t)为零均值高斯平稳过程，相关函数、功率谱 密度已知，非线性系统传输特性为
t
时刻对应的随机变量
非线性系统分析的变换法
例4：假定全波线性检波器的输入为零均值平稳正态随机过
程，其自相关函数已知，求输出过程的自相关函数。
x z | x | x
x0 x0
d X t dX t
1 1
X 0 X 0
d X t d X t dRZ () E h( X 1 )h( X 2 ) E dRX () dX t dX t
随机过程的非线性变换
非线性系统
X(t) Y=g(x)
Y(t)
g(x)为非线性函数
无惰性时不变非线性系统
无惰性系统：输出 Y(t) 在 t1 时刻的特性完全由 X(t) 在 t1 时刻的特性决定，而不取决于 X(t) 在其他时刻 的特性，这样的系统称为无惰性系统。 时不变系统： Y (t ) g[ X (t )]