讲述回归分析讲义教材
CHAP11 回归分析精品PPT课件
回归分析的模型
按是否线性分：线性回归模型和非线性回 归模型 按自变量个数分：简单的一元回归，多元 回归
回归分析的模型
基本的步骤：利用SPSS得到模型关系式， 是否是我们所要的，要看回归方程的显著 性检验（F检验）和回归系数b的显著性检 验(T检验)，还要看拟合程度R2 (相关系数 的平方,一元回归用R Square，多元回归 用Adjusted R Square)
奇异值（Casewise或Outliers)诊断
概念 奇异值指样本数据中远离均值的样本数
据点，会对回归方程的拟合产生较大偏差影响。 诊断标准
一般认为，如果某样本点对应的标准化残 差值超出了[-3，+3]的范围，就可以判定该 样本数据为奇异值。
线性回归方程的预测
点估计
y0 区间估计
95%的近似置信区间: [y02Sy,y0+2Sy]. x0为xi的均值时,预测区 间最小,精度最高.x0越远离均值,预测区 间越大,精度越低.
11.1 线性回归(Liner)
一元线性回归方程: y=a+bx a称为截距 b为回归直线的斜率 用R2判定系数判定一个线性回归直线的拟合
程度：用来说明用自变量解释因变量变异的 程度（所占比例）
回归方程
回归方程的显著性检验 目的:检验自变量与因变量之间的线性关系是否 显著，是否可用线性模型来表示. 检验方法： t检验 F检验(一元回归中,F检验与t检验一致, 两种检 验可以相互替代）
回归分析的过程
Байду номын сангаас在回归过程中包括：
Liner：线性回归 Curve Estimation：曲线估计 Binary Logistic： 二分变量逻辑回归
回归分析的过程
《回归分析三》课件
03 诊断工具
如残差图、杠杆值、DW检验等，用于进一步诊 断模型的潜在问题。
模型的预测与评估
1 2
预测
基于已知的自变量x值，使用回归模型预测因变 量y的值。
预测精度评估
通过计算预测值与实际值之间的均方误差（MSE ）或均方根误差（RMSE）来评估预测精度。
半参数回归在处理复 杂数据和解释性建模 方面具有广泛应用， 如生物医学、环境科 学和经济学等领域。
THANKS
感谢观看
3
模型评估
将模型应用于新数据或实际情境中，以评估模型 的实用性和预测能力。
03
多元线性回归分析
多元线性回归模型
多元线性回归模型
模型形式
假设条件
描述因变量与多个自变量之间 的关系，通过最小二乘法估计 参数。
$Y = beta_0 + beta_1X_1 + beta_2X_2 + ... + beta_pX_p + epsilon$，其中$Y$是因变 量，$X_1, X_2, ..., X_p$是自 变量，$beta_0, beta_1, ..., beta_p$是待估计的参数， $epsilon$是误差项。
分位数回归在金融、医学、环境科学 等领域有广泛应用。
半参数回归分析
半参数回归是一种非 完全参数化的回归分 析方法，它结合了参 数回归和非参数回归 的优点。
半参数回归模型既包 含参数部分，也包含 非参数部分，能够更 好地拟合数据的复杂 性和不确定性。
常见的半参数回归模 型包括部分线性模型 、可加模型和单指标 模型等。
01 预测模型
通过回归分析建立预测模 型，预测未来的趋势和结 果。
《回归分析概述》PPT课件
2021/8/17
14
§8.2 一元线性回归
一. 一元线性回归模型
设被解释变量 Y 与 解释变量 X 间存在线形相关关 系，则
Y = 0 + 1X + ； ～N(0， 2 )
其中 X 是普通变量。
则
Y ～ N( 0+ 1X， 2 )
称 Y 的条件期望
E( Y|X ) = 0 + 1X
为 Y 对 X 的回归。
的残差平方和
Q (β ˆ0,β ˆ1) (yiy ˆi)2(yiβ ˆ0β ˆ1xi)2
反映了全部观察值与回归直线间总的偏离程度。 显然，Q 的值越小，就说明回归直线对所有样本数据的
拟和程度越好。 所谓最小二乘法，就是要使
Q(ˆ0,ˆ1) 为最小。
只要令
2021/8/17
Q ˆ 0
0
；
Q ˆ1
0
23
【案例1】商品价格与消费量的关系
以三口之家为单位，某种食品在某年各月的家庭平 均月消费量 Y (kg)与其价格 X (元/kg) 间的调查数据如 下，试分析该食品家庭平均月消费量与价格间的关系。
价 格 x i 4 .04 .04 .85 .46 .06 .07 .07 .27 .68 .09 .01 0 消 费 量 y i 3 .03 .82 .62 .82 .02 .91 .92 .21 .91 .21 .51 .6
这是一个典型的产品质量控制问题，可以使 用回归分析方法求解。
2021/8/17
5
一. 变量间的两类关系
1. 确定性关系
——也即函数关系，即
Y = ƒ(X) ； Y = ƒ(X1, X2, ···, Xp) 或 F(X, Y) = 0； F(X1, X2, ···, Xp, Y) = 0 例：价格不变时商品销售收入与销售量的关系。
数理统计CH7回归分析ppt课件
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
7
7.1 变量间的关系
(5)为什么称作“回归分析”
生物学家F·Galton和统计学家K·Pearson 的种族身高研究(1889)。
高个父亲群体的平均身高
高个父亲群体儿子们的平均身高
整个种族的平均身高
低个父亲群体儿子们的平均身高 低个父亲群体的平均身高
11 12
Cov
e
21
22
n,1 n,2
n阶协差阵
1,n
1 0
2,n
In
0
1
n,n
0
0
0
0
1
nn
n阶单位阵
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
16
7.2 一元线性回归
(4)回归分析内容
7.1 变量间的关系
Correlation between Variables
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
3
7.1 变量间的关系
(1)函数关系
Pstress 100 sint
6/3/2019
王玉顺：数理统计07_回归分析
4
7.1 变量间的关系
(2)随机关系
Pstress
27
7.2.1 回归最小二乘估计
(3)回归最小二乘估计
克莱姆法则
1y
bˆ nx xy xy nxy
x2 nx 2
x2 nx 2
《回归分析 》课件
通过t检验或z检验等方法，检验模型中各个参数的显著性，以确定 哪些参数对模型有显著影响。
拟合优度检验
通过残差分析、R方值等方法，检验模型的拟合优度，以评估模型是 否能够很好地描述数据。
非线性回归模型的预测
预测的重要性
非线性回归模型的预测可以帮助我们了解未来趋势和进行 决策。
预测的步骤
线性回归模型是一种预测模型，用于描述因变 量和自变量之间的线性关系。
线性回归模型的公式
Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βpXp + ε
线性回归模型的适用范围
适用于因变量和自变量之间存在线性关系的情况。
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的参数估计方法，通过最小化预测值与实 际值之间的平方误差来估计参数。
最大似然估计法
最大似然估计法是一种基于概率的参数估计方法，通过最大化似 然函数来估计参数。
梯度下降法
梯度下降法是一种迭代优化算法，通过不断迭代更新参数来最小 化损失函数。
线性回归模型的假设检验
线性假设检验
检验自变量与因变量之间是否存在线性关系 。
参数显著性检验
检验模型中的每个参数是否显著不为零。
残差分析
岭回归和套索回归
使用岭回归和套索回归等方法来处理多重共线性问题。
THANKS
感谢观看
04
回归分析的应用场景
经济学
研究经济指标之间的关系，如GDP与消费、 投资之间的关系。
市场营销
预测产品销量、客户行为等，帮助制定营销 策略。
生物统计学
研究生物学特征与疾病、健康状况之间的关 系。
回归分析演讲PPT
13
经济预测与决策方法讲义
1.2 一元线性回归预测法—模型构建
回归预测模型 回归分析是对具有相关关系的变量之间的数量变化规律进
变量 yˆi 相应增加（减少）多少。 ➢ b 0 时， x 与 y 正相关，当 b 0 时， x 与 y 负相关。
16
经济预测与决策方法讲义
1.2 一元线性回归预测法—参数估计
估计模型的回归系数方法有很多，最广泛的是最小二乘法；
中心思想：通过数学模型，配合一条较为理想的趋势线；
（1） 原数列的预测值与模型估计值的离差平方和最小；
当显著性水平 0.05时，试估计 2004 年
其国内生产总值的预测区间。
20
年份
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
固定资产投 资完成额 x 241.23 317.12 371.87 320.23 356.3 439.98 711.7 1144.2 1331.13 1680.17 1949.53 2203.09 2535.5 2744.65 2995.43 3304.96 3849.24 5335.8
➢ 因变量 y 就是我们的预测对象；服从 y N(a bx, 2) ➢ 常数 a, b 是待定的参数。
15
经济预测与决策方法讲义
1.2 一元线性回归预测法—模型构建 设
回归分析法PPT课件
线性回归模型的参数估计
最小二乘法
通过最小化误差平方和的方法来估计 模型参数。
最大似然估计
通过最大化似然函数的方法来估计模 型参数。
参数估计的步骤
包括数据收集、模型设定、参数初值、 迭代计算等步骤。
参数估计的注意事项
包括异常值处理、多重共线性、自变 量间的交互作用等。
线性回归模型的假设检验
假设检验的基本原理
回归分析法的历史与发展
总结词
回归分析法自19世纪末诞生以来，经历 了多个发展阶段，不断完善和改进。
VS
详细描述
19世纪末，英国统计学家Francis Galton 在研究遗传学时提出了回归分析法的概念 。后来，统计学家R.A. Fisher对其进行了 改进和发展，提出了线性回归分析和方差 分析的方法。随着计算机技术的发展，回 归分析法的应用越来越广泛，并出现了多 种新的回归模型和技术，如多元回归、岭 回归、套索回归等。
回归分析法的应用场景
总结词
回归分析法广泛应用于各个领域，如经济学、金融学、生物学、医学等。
详细描述
在经济学中，回归分析法用于研究影响经济发展的各种因素，如GDP、消费、投资等；在金融学中，回归分析法 用于股票价格、收益率等金融变量的预测；在生物学和医学中，回归分析法用于研究疾病发生、药物疗效等因素 与结果之间的关系。
梯度下降法
基于目标函数对参数的偏导数， 通过不断更新参数值来最小化目 标函数，实现参数的迭代优化。
非线性回归模型的假设检验
1 2
模型检验
对非线性回归模型的适用性和有效性进行检验， 包括残差分析、正态性检验、异方差性检验等。
参数检验
通过t检验、z检验等方法对非线性回归模型的参 数进行假设检验，以验证参数的显著性和可信度。
第二章回归分析ppt课件
U和Q的相对大小反映了因子x对y的影响程度, 在n固定的情况下，如果回归
方差所占y方差的比重越大，剩余方差所占的比重越小，就表明回归的效果
越好， 即：x的变化对y的变化起主要作用， 利用回归方程所估计出的ŷ也会
越接近观测值y。
ŷ的方差占y的方差的比重（U/(U+Q)）可作为衡量回归模型效果的标准：
ŷ
y -y
ŷ -y
y
x
syy
1 n
n t 1
( yt
y)2
1 n
n t 1
( yt
y)2
1 n
n t 1
( yt
yt )2
“回归平方和”与“剩余平方和”
对上式两边分别乘以n，研究各变量的离差平方和的关系。为避免过多数学符
号，等号左边仍采用方差的记号syy。
n
n
syy ( yt y)2 ( yt yt )2 U Q
回忆前文所讲， y的第i个观测值yi服从怎样的分布？
yi ~ N (β0 +βxi , σ2)
e=yi- (β0 +βxi ) 服从N(0, σ2)
于是， yi (0 xi ) 服从标准正态分布N (0,1)
0.4
在95%的置信概率下：
因为定理： 若有z ~ N (, 2 )， 则有 z ~ N (0,1)
通过方差分析可知，可用“回归平方和”U与“剩余平方和”Q的比值来衡 量回归效果的好坏。可以证明，假设总体的回归系数为0的条件下，统计 量：
U
F=
1 Q
注意Q的自由度为n-2, 即：残差e的方差的无 偏估计为：Q/(n-2)
n2 服从分子自由度为1，分母自由度为n - 2的F分布
上式可以用相关系数的平方来表示：
回归分析学习课件PPT课件
为了找到最优的参数组合，可以使用网格搜索方 法对参数空间进行穷举或随机搜索，通过比较不 同参数组合下的预测性能来选择最优的参数。
非线性回归模型的假设检验与评估
假设检验
与线性回归模型类似，非线性回归模型也需要进行假设检验，以检验模型是否满足某些统计假 设，如误差项的独立性、同方差性等。
整估计。
最大似然法
03
基于似然函数的最大值来估计参数，能够同时估计参数和模型
选择。
多元回归模型的假设检验与评估
线性假设检验
检验回归模型的线性关系 是否成立，通常使用F检 验或t检验。
异方差性检验
检验回归模型残差的异方 差性，常用的方法有图检 验、White检验和 Goldfeld-Quandt检验。
多重共线性检验
检验回归模型中自变量之 间的多重共线性问题，常 用的方法有VIF、条件指数 等。
模型评估指标
包括R方、调整R方、AIC、 BIC等指标，用于评估模 型的拟合优度和预测能力。
05
回归分析的实践应用
案例一：股票价格预测
总结词
通过历史数据建立回归模型，预测未来股票 价格走势。
详细描述
利用股票市场的历史数据，如开盘价、收盘价、成 交量等，通过回归分析方法建立模型，预测未来股 票价格的走势。
描述因变量与自变量之间的非线性关系，通过变 换或使用其他方法来适应非线性关系。
03 混合效应回归模型
同时考虑固定效应和随机效应，适用于面板数据 或重复测量数据。
多元回归模型的参数估计
最小二乘法
01
通过最小化残差平方和来估计参数，是最常用的参数估计方法。
加权最小二乘法
02
适用于异方差性数据，通过给不同观测值赋予不同的权重来调
第8章 回归分析ppt课件
电子工业出版社
8.2.2 SPSS实例分析
【例8-1】现有1992年-2006年国家财政收入和国内生产总值的 数据如下表所示，请研究国家财政收入和国内生产总值之间的 线性关系。
年份
国内生产总值 财政收入 （单位：亿元） （单位：亿元）
年份
国内生产总值 财政收入 （单位：亿元） （单位：亿元）
SPSS 23(中文版)统计分析实用教程(第2版)
第八章
回归分析
电子工业出版社
完整版PPT课件
1
SPSS 23(中文版)统计分析实用教程(第2版)
主要内容
8.1 回归分析简介 8.2 线性回归分析 8.3 曲线回归分析 8.4 非线性回归分析 8.5 二元Logistic回归分析
电子工业出版社
完整版PPT课件
在曲线估计中，有很多的数学模型，选用哪一种形式的回归
方程才能最好地表示出一种曲线的关系往往不是一个简单的问
题，可以用数学方程来表示的各种曲线的数目几乎是没有限量
的。在可能的方程之间，以吻合度而论，也许存在着许多吻合
得同样好的曲线方程。因此，在对曲线的形式的选择上，对采
取什么形式需要有一定的理论，这些理论是由问题本质决定的
因变量“财政收入”的97.9%
的差异性。
11
SPSS 23(中文版)统计分析实用教程(第2版)
8.2 线性回归分析
➢方差分析表
模型
平方和
1
回归
1557492999.819
残差
34187286.770
总计 a. 因变量：财政收入
1591680286.589
b. 预测变量：（常量），国内生产总值
第九章(二)回归分析1PPT课件
nanxbny
nxa(
n i1
xi2
)b
n i1
xi
yi
其中
x1 n
ni1
xi,y1nin1
yi,
返回
n nx
D
nx
xi2 n(
n
xi2nx2)n (xi x)2 0
i1
所以方程组有解,解得
aˆ
bˆ
y
bˆ x l xy
l xx
其中
n
回归直线经过散点几何中心
lxx (xi x)2 i1
总体方差 2 的一个无偏估计量是：
n
n
S2n 12 (yi ˆyi )2n 12 ei2
i1
i1
用S2代替2，得到 aˆ , bˆ 方差的无偏估计量分别是：
Sa ˆ2S2(n 1lxx2x),Sb ˆ2lS x2x
它们的算术平方根分别称为a,b的估计标准误差。
4. a和b的区间估计
置信水平为1 的区间估计是：
可得到： yi ~N(abix ,2)
如果给出a和b的估计量分别为aˆ ,bˆ ，则经验回归方程为：
ˆyi aˆ bˆxi
一般地，
ei yi ˆyi 称为残差，
残差 e i 可视为扰动 i 的“估计量”。
返回
第2节 回归系数的最小二乘估计
设对y及x做n次观测得数据(xi ,yi) (i=1,2,…,n ).
pt
2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0
qt
1 3 5 7 9 11
这是一个确定性关系: qt 114pt
返回
若x、y之间的关系是随机的，例如
pt
qt
概率
0
《回归分析方法》课件
线性回归模型的评估与优化
评估指标：R平方值、调整R平方值、F统计量、P值等 优化方法：逐步回归、岭回归、LASSO回归、弹性网络回归等 交叉验证：K折交叉验证、留一法交叉验证等 模型选择：AIC、BIC等模型选择方法来自01逻辑回归分析
逻辑回归分析的定义
逻辑回归是一种统计方法，用于预测二分类因变量 逻辑回归使用逻辑函数（logistic function）来估计概率 逻辑回归的目标是找到最佳的参数，使得模型能够准确预测因变量 逻辑回归广泛应用于医学、金融、市场营销等领域
逻辑回归模型的应用场景
预测客户是 否会购买产 品
预测客户是 否会违约
预测客户是 否会流失
预测客户是 否会响应营 销活动
预测客户是 否会购买保 险
预测客户是 否会进行投 资
01
多项式回归分析
多项式回归分析的定义
多项式回归分析是一种统计方法，用于建立因变量与多个自变量之 间的关系模型。 多项式回归分析通过使用多项式函数来拟合数据，从而得到更精确 的预测结果。 多项式回归分析的优点是可以处理非线性关系，并且可以处理多个 自变量之间的关系。
求解结果：得到模型的参 数值，用于预测和评估模
型的性能
套索回归模型的应用场景
预测股票价格 预测房价 预测汇率 预测商品价格
Ppt
感谢观看
汇报人：PPT
岭回归模型的参数求解
岭回归模型： 一种线性回归 模型，通过在 损失函数中加 入一个L2正 则项来防止过
拟合
参数求解方法： 梯度下降法、 牛顿法、拟牛
顿法等
梯度下降法： 通过迭代求解 参数，每次迭 代都沿着梯度 下降的方向更
新参数
牛顿法：通过 求解Hessian 矩阵的逆矩阵 来更新参数， 收敛速度快， 但计算复杂度
第5章 回归分析ppt课件
关系，但这种关系是不完 全确定的随机关系，即当 一个(或一组)变量每取一 个值时，相应的另一个变 量可能有多个不同值与之 对应 。
.
13 13
变量之 间关系
相关关系
因果关系 互为因果关系
共变关系
随机性依存关系
函数关系
确定性依存关系
.
1414
相关关系
（1）变量间关系不能用 函数关系精确表达；
.
21 21
4 .按相关的影响因素多少分： 单相关 复相关
偏相关
单相关(一元相关)：只有一个自变量。
如: 居民的收入与储蓄额; 成本与产量
复相关(多元相关)：有两个及两个以上的自变量。
如: 某种商品的需求与其价格水平以及收入水平 之间的相关关系便是一种复相关。
.
22 22
偏相关: 在某一现象与多种现象相关的场合，假定其
间的关系 ▪ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ▪ 父母亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 ▪ 身高与体重的关系
.
16 16
停下来 想一想？
下列变量之间存在相关关系吗？ 1 抽烟与肺癌之间的关系 2 怀孕期妇女的饮酒量与婴儿出生体重之间的关系 3 纳税者年龄和他们交纳税款的数量之间的关系 4 采光量与植物的生产量之间的关系 5 一个人的投票倾向性与其年龄之间的关系
.
17 17
相关关系与函数关系的关系:在一定的条件下互相转化.
具有函数关系的变量,当存在观测误差和随机因素影 响时,其函数关系往往以相关的形式表现出来.
具有相关关系的变量之间的联系,如果我们对它们有 了深刻的规律性认识,并且能够把影响因变量变动的因素 全部纳入方程,这时相关关系也可转化为函数关系.
北大暑期课程《回归分析》(Linear-Regression-Analysis)讲义PKU5
Class 5: ANOVA (Analysis of Variance) andF-testsI.What is ANOVAWhat is ANOVA? ANOVA is the short name for the Analysis of Variance. The essence ofANOVA is to decompose the total variance of the dependent variable into two additivecomponents, one for the structural part, and the other for the stochastic part, of a regression. Today we are going to examine the easiest case.II.ANOVA: An Introduction Let the model beεβ+= X y .Assuming x i is a column vector (of length p) of independent variable values for the i th'observation,i i i εβ+='x y .Then is the predicted value. sum of squares total:[]∑-=2Y y SST i[]∑-+-=2'x b 'x y Y b i i i[][][][]∑∑∑-+-+-=Y -b 'x b 'x y 2Y b 'x b 'x y 22i i i i i i[][]∑∑-+=22Y b 'x e i ibecause .This is always true by OLS. = SSE + SSRImportant: the total variance of the dependent variable is decomposed into two additive parts: SSE, which is due to errors, and SSR, which is due to regression. Geometric interpretation: [blackboard ]Decomposition of VarianceIf we treat X as a random variable, we can decompose total variance to the between-group portion and the within-group portion in any population:()()()i i i x y εβV 'V V +=Prove:()()i i i x y εβ+='V V()()()i i i i x x εβεβ,'Cov 2V 'V ++=()()iix εβV 'V +=(by the assumption that ()0 ,'Cov =εβk x , for all possible k.)The ANOVA table is to estimate the three quantities of equation (1) from the sample.As the sample size gets larger and larger, the ANOVA table will approach the equation closer and closer.In a sample, decomposition of estimated variance is not strictly true. We thus need toseparately decompose sums of squares and degrees of freedom. Is ANOVA a misnomer?III.ANOVA in MatrixI will try to give a simplied representation of ANOVA as follows:[]∑-=2Y y SST i ()∑-+=i i y Y 2Y y 22∑∑∑-+=i i y Y 2Y y 22∑-+=222Y n 2Y n y i (because ∑=Y n y i )∑-=22Y n y i2Y n y 'y -=y J 'y n /1y 'y -= (in your textbook, monster look)SSE = e'e[]∑-=2Y b 'x SSR i()()[]∑-+=Y b 'x 2Y b 'x 22i i()[]()∑∑-+=b 'x Y 2Y n b 'x 22i i()[]()∑∑--+=i i ie y Y 2Y n b 'x 22()[]∑-+=222Y n 2Y n b 'x i(because ∑∑==0e ,Y n y i i , as always)()[]∑-=22Yn b 'x i2Y n Xb X'b'-=y J 'y n /1y X'b'-= (in your textbook, monster look)IV.ANOVA TableLet us use a real example. Assume that we have a regression estimated to be y = - 1.70 + 0.840 xANOVA TableSOURCE SS DF MS F with Regression 6.44 1 6.44 6.44/0.19=33.89 1, 18Error 3.40 18 0.19 Total 9.8419We know , , , , . If we know that DF for SST=19, what is n?n= 205.220/50Y ==84.95.25.22084.134Y n y SST 22=⨯⨯-=-=∑i()[]∑-+=0.1250.84x 1.7-SSR 2i[]∑-⨯⨯⨯-⨯+⨯=0.125x 84.07.12x 84.084.07.17.12i i= 20⨯1.7⨯1.7+0.84⨯0.84⨯509.12-2⨯1.7⨯0.84⨯100- 125.0 = 6.44SSE = SST-SSR=9.84-6.44=3.40DF (Degrees of freedom): demonstration. Note: discounting the intercept when calculating SST. MS = SS/DFp = 0.000 [ask students].What does the p-value say?V.F-TestsF-tests are more general than t-tests, t-tests can be seen as a special case of F-tests.If you have difficulty with F-tests, please ask your GSIs to review F-tests in the lab. F-tests takes the form of a fraction of two MS's.MSR/MSE F ,=df2df1An F statistic has two degrees of freedom associated with it: the degree of freedom inthe numerator, and the degree of freedom in the denominator.An F statistic is usually larger than 1. The interpretation of an F statistics is thatwhether the explained variance by the alternative hypothesis is due to chance. In other words, the null hypothesis is that the explained variance is due to chance, or all the coefficients are zero.The larger an F-statistic, the more likely that the null hypothesis is not true. There is atable in the back of your book from which you can find exact probability values.In our example, the F is 34, which is highly significant. VI.R2R 2 = SSR / SSTThe proportion of variance explained by the model. In our example, R-sq = 65.4%VII.What happens if we increase more independent variables. 1.SST stays the same. 2.SSR always increases. 3.SSE always decreases. 4.R2 always increases. 5.MSR usually increases. 6.MSE usually decreases.7.F-test usually increases.Exceptions to 5 and 7: irrelevant variables may not explain the variance but take up degrees of freedom. We really need to look at the results.VIII.Important: General Ways of Hypothesis Testing with F-Statistics.All tests in linear regression can be performed with F-test statistics. The trick is to run"nested models."Two models are nested if the independent variables in one model are a subset or linearcombinations of a subset （子集）of the independent variables in the other model.That is to say. If model A has independent variables (1, , ), and model B has independent variables (1, , , ), A and B are nested. A is called the restricted model; B is called less restricted or unrestricted model. We call A restricted because A implies that . This is a restriction.Another example: C has independent variable (1, , + ), D has (1, + ). C and A are not nested.C and B are nested.One restriction in C: . C andD are nested.One restriction in D: . D and A are not nested.D and B are nested: two restriction in D: 32ββ=; 0=1β.We can always test hypotheses implied in the restricted models. Steps: run tworegression for each hypothesis, one for the restricted model and one for the unrestricted model. The SST should be the same across the two models. What is different is SSE and SSR. That is, what is different is R2. Let()()df df SSE ,df df SSE u u r r ==;df df ()()0u r u r r u n p n p p p -=---=-<Use the following formulas:()()()()(),SSE SSE /df SSE df SSE F SSE /df r u r u dfr dfu dfu u u---=or()()()()(),SSR SSR /df SSR df SSR F SSE /df u r u r dfr dfu dfu u u---=(proof: use SST = SSE+SSR)Note, df(SSE r )-df(SSE u ) = df(SSR u )-df(SSR r ) =df ∆,is the number of constraints (not number of parameters) implied by the restricted modelor()()()22,2R R /df F 1R /dfur dfr dfu dfuuu--∆=- Note thatdf 1df ,2F t =That is, for 1df tests, you can either do an F-test or a t-test. They yield the same result. Another way to look at it is that the t-test is a special case of the F test, with the numerator DF being 1.IX.Assumptions of F-testsWhat assumptions do we need to make an ANOVA table work?Not much an assumption. All we need is the assumption that (X'X) is not singular, so that the least square estimate b exists.The assumption of =0 is needed if you want the ANOVA table to be an unbiased estimate of the true ANOVA (equation 1) in the population. Reason: we want b to be an unbiased estimator of , and the covariance between b and to disappear.For reasons I discussed earlier, the assumptions of homoscedasticity and non-serial correlation are necessary for the estimation of .The normality assumption that (i is distributed in a normal distribution is needed for small samples.X.The Concept of IncrementEvery time you put one more independent variable into your model, you get an increase in . We sometime called the increase "incremental ." What is means is that more variance is explained, or SSR is increased, SSE is reduced. What you should understand is that the incremental attributed to a variable is always smaller than the when other variables are absent.XI.Consequences of Omitting Relevant Independent VariablesSay the true model is the following:0112233i i i i i y x x x ββββε=++++.But for some reason we only collect or consider data on . Therefore, we omit in the regression. That is, we omit in our model. We briefly discussed this problem before. The short story is that we are likely to have a bias due to the omission of a relevant variable in the model. This is so even though our primary interest is to estimate the effect of or on y. Why? We will have a formal presentation of this problem.XII.Measures of Goodness-of-FitThere are different ways to assess the goodness-of-fit of a model.A. R2R2 is a heuristic measure for the overall goodness-of-fit. It does not have an associated test statistic.R 2 measures the proportion of the variance in the dependent variable that is “explained” by the model: R 2 =SSESSR SSRSST SSR +=B.Model F-testThe model F-test tests the joint hypotheses that all the model coefficients except for the constant term are zero.Degrees of freedoms associated with the model F-test: Numerator: p-1Denominator: n-p.C.t-tests for individual parametersA t-test for an individual parameter tests the hypothesis that a particular coefficient is equal to a particular number (commonly zero).tk = (bk- (k0)/SEk, where SEkis the (k, k) element of MSE(X ’X)-1, with degree of freedom=n-p. D.Incremental R2Relative to a restricted model, the gain in R 2 for the unrestricted model: ∆R 2= R u 2- R r 2E.F-tests for Nested ModelIt is the most general form of F-tests and t-tests.()()()()(),SSE SSE /df SSE df SSE F SSE /df r u r dfu dfr u dfu u u---=It is equal to a t-test if the unrestricted and restricted models differ only by one single parameter.It is equal to the model F-test if we set the restricted model to the constant-only model.[Ask students] What are SST, SSE, and SSR, and their associated degrees of freedom, for the constant-only model?Numerical ExampleA sociological study is interested in understanding the social determinants of mathematical achievement among high school students. You are now asked to answer a series of questions. The data are real but have been tailored for educational purposes. The total number of observations is 400. The variables are defined as: y: math scorex1: father's education x2: mother's educationx3: family's socioeconomic status x4: number of siblings x5: class rankx6: parents' total education (note: x6 = x1 + x2) For the following regression models, we know: Table 1 SST SSR SSE DF R 2 (1) y on (1 x1 x2 x3 x4) 34863 4201 (2) y on (1 x6 x3 x4) 34863 396 .1065 (3) y on (1 x6 x3 x4 x5) 34863 10426 24437 395 .2991 (4) x5 on (1 x6 x3 x4) 269753 396 .02101.Please fill the missing cells in Table 1.2.Test the hypothesis that the effects of father's education (x1) and mother's education (x2) on math score are the same after controlling for x3 and x4.3.Test the hypothesis that x6, x3 and x4 in Model (2) all have a zero effect on y.4.Can we add x6 to Model (1)? Briefly explain your answer.5.Test the hypothesis that the effect of class rank (x5) on math score is zero after controlling for x6, x3, and x4.Answer: 1. SST SSR SSE DF R 2 (1) y on (1 x1 x2 x3 x4) 34863 4201 30662 395 .1205 (2) y on (1 x6 x3 x4) 34863 3713 31150 396 .1065 (3) y on (1 x6 x3 x4 x5) 34863 10426 24437 395 .2991 (4) x5 on (1 x6 x3 x4) 275539 5786 269753 396 .0210Note that the SST for Model (4) is different from those for Models (1) through (3). 2.Restricted model is 01123344()y b b x x b x b x e =+++++Unrestricted model is ''''''011223344y b b x b x b x b x e =+++++(31150 - 30662)/1F 1,395 = -------------------- = 488/77.63 = 6.29 30662 / 395 3.3713 / 3F 3,396 = --------------- = 1237.67 / 78.66 = 15.73 31150 / 3964.No. x6 is a linear combination of x1 and x2. X'X is singular.5.(31150 - 24437)/1F 1,395 = -------------------- = 6713 / 61.87 = 108.50 24437/395t = 10.42t ===。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•
以X預測Y（X
Y）
^
Y
ay.xby.xX
• By.x 是迴歸係數，表示每當X變動一個單 位時，Y的變動量
– 例：以身高預測體重， YYyy..xxXX Y= -165.35 +1.3426X， 表示身高每變動一公分， 體重增加 1.3426公斤
• 標準化迴歸係數（standardized regression coefficient），去除特定單位
– 例：以智商、閱讀時間和與他人討論頻率，三個變項 來預測學業表現
– Y率(學)+業表現)=b1X1(智商)+b2x2 (閱讀時間)+b3x3(討論頻 – b、1、x3(b討2、論b頻3三率個)三迴個歸變係項數對代Y表的X預1(智測商能)力、 x2 (閱讀時間)
.002
.
個數
FINAL
10
10
MIDTERM
10
10
期中考和期末考的Pearson相關係數為0.822,在 0.01水準下達到顯著，進一步檢驗其影響關係
2020/7/30
模 式摘
調過後的 模式 RR 平 R 估 方 平 計 方 R 的平 標方 準改 誤 F 1 .822.a676.635 2.73 .61 76 6
• 必須再進一步作殘差分析，以判定該模式 是否符合簡單線性迴歸模型的假設。
2020/7/30
殘差分析
直方圖
依變數: FINAL
5
4
3
2
次 數1
標準差 = .94 平均數 = 0.00
0
N = 10.00
-2. 50
-1. 50
-.50
.50
-2. 00
-1. 00
0.00
1.00
迴歸 標準化殘差
迴歸 標準化殘差 的常態 P-P 圖
2020/7/30
2020/7/30
迴歸
• 線性關係的分析 • 相關分析可以描述兩個連續變數的線性關係，若要
進一步確認兩個變數之間的因果關係，則應採用迴 歸分析 • 迴歸分析係用以由自變項（獨立變項）預測依變項 ，或是研究實驗控制（因）對被觀察的變項（果） 的影響
– 例：由父母身高預測子女身高; 用人口成長（自變項）預測（解釋）電話用戶數的成長
a預 . 測變數：(常數), M
變異 數分b析
模式
平方和自由度 平均平方和 F 檢定 顯著性
1
迴歸 12 4. 038
1124.038 16.660 .004a
殘差59 .5 62
8 7.445
總和 18 3. 600
9
a.預測變數：(常數), MIDTERM
b.依變數\：FINAL
適合度檢定： 期中考可以解釋期末考67.6％的變異。調整後的R 平方為63.5％，F＝16.66,p=0.004在0.01水準下達 到顯著。 表示此模式適合，即期中考可以用來解 202釋0/7或/30預測期末考。
– 逐步迴歸分析(stepwise) – 刪除(remove)：：強制剔除式迴歸分析法 – 向後(backward) ：後向剔除迴歸分析法 – 向前(forward)
2020/7/30
• Durbin-Watson統計量
– 檢定迴歸模型中殘差獨立的假設 – 如果相鄰殘差項間是相關，則其總差異必小或
2020/7/30
Y y.xX
‧ ‧
‧‧
‧‧ ‧‧
‧‧ ‧
‧ ‧ ‧‧ ‧
‧
‧‧
身高 vs. 體重
2020/7/30
簡單迴歸分析
• 程序：
– 分析＞迴歸方法＞線性
2020/7/30
2020/7/30
2020/7/30
2020/7/30
• 迴歸方法
– 強迫進入(enter)：強制一次進入式迴歸分析法 ，為預設
• 利用常態點圖（normal plot），將每個殘差分別描 繪在圖上，若誤差變數是常態分配，則圖上點之連 線應近似一直線
2020/7/30
相關
FINAL MIDTERM
Pearson 相關 FINAL
1.000
.822
MIDTERM
.822
1.000
顯著性 (單尾)FINAL
.
.002
MIDTERM
係數 標準 迴 化 歸 係 係數 未標準化係 數 數 模 B式 之估 標 計 B 準 e 值 t誤 a 分配 t 顯著下 性 1 4 (常 9 .3數 6 89 .)57 7 5.75 6 .0 20 90 .5 69 M.I4 D 3T 4 .E 1 0 R 6 .M 8 2 42 .08 2 .0 04 .1 8 a依 . 變數\：FINAL
– 例2：由圖書館利用頻率，預測圖書館網站的利用頻率
2020/7/30
• Y = a + bX • 在線性關係中，若兩變項之關係是完全相關時（
r=1正相關或r=-1負相關），X與Y的關係呈一直線 ，兩變項之觀察值可以完全被方程式所涵蓋，其 中b為斜率， a為截距，代入X可求得Y，代入Y可 求得X，無須預測。 • 但是當兩變項間的關係未達到完全相關時（r±1 ），X與Y的關係是分佈在一個區域內，無法以一 條直線來表示，而必須以最小平方法來求取一條 最具代表性的線，此線稱為最適線（best-fit line ）或迴歸線（regression line），再利用迴歸線來 預測因果關係。
大
• 若殘差項間是正相關，則其差異必小 • 若殘差項間是負相關，則其差異必大
– 當DW值愈接近2時，殘差項間愈無相關 – 當DW值愈接近0時，殘差項間正相關愈強 – 當DW值愈接近4時，殘差項間負相關愈強
2020/7/30
• 驗證常態分配
• 驗證誤差變項是否具常態分配，可繪殘差次數分配 圖，概略判斷母群體的誤差變數是否是常態分配？ 平均數是否為零
依變數: FINAL
1.00
預 .75 期
累 積 .50 機
率 .25
0.00
0.00
.25
.50
觀察累積機率
.75
1.00
由標準化殘差次數分配圖（左）和標準化殘差常態機率分 配P－P圖（右），可看出殘差
2020/7/30
多元迴歸
• multiple regression • 複迴歸 • 利用多個預測變數（自變數）去預測另一依變數
簡單線性迴歸方程式為： Final = 49.369 + 0.434 Midterm
期中考成績能夠有效預測期末考成績，Beta係數達 0.822（t=4.082, p=0.004），表示期中考成績愈高，期 末考成績也愈高。
2020/7/30
• 由上述分析可知，以期中考來解釋或預測 期末考成績是相當合適的，而且所建立的 模式也令人滿此，但是是否真能用該模式 呢？