圆的切线的判定(教案)

《圆的切线的判定》教学设计
福田河中心学校 成利华
教学目标：1、理解切线的判定定理，并并能初步运用它解决简单的问题。

2、知道判定切线的常用的三种方法，初步掌握方法的选择。

3、掌握在解决切线的问题中常用的辅助线的作法。

情感态度：通过判定定理的学习，培养学生观察、分析和归纳问题的能力，并
激发学生学习数学的兴趣；。

教学重点：切线的判定定理的理解和应用。

教学难点：理解切线判定定理的中的两个条件：一是经过半径的外端；二是直
线垂直于这条半径。

教学过程：
一、创设情景,导入新课。

问题：直线和圆有几种位置关系？你是如何来判断这几种位置关系的？ 在学生回答后再展示相应的位置关系及判断的方法：
判断的方法：（1）根据直线与圆的交点的个数；
（2）圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系。

教师强调：图（2）中的直线与圆相切，我们可以通过上述两种方法来判断它们的位置关系。

但在实际问题中如果我们始终用寻找交点的个数和圆心到直线的距离来判断很不方便，也难于操作，还有没有其它的方法呢？（引导学生思考）
二，启发学生，探究新知。

1、待学生思考后，可能没有什么发现。

我们可以让
学生在观察刚才的图（2），提示学生可再任作一条半径。

如图（4）所示：
教师引导：回顾图（2）中判断直线l 与圆相
切的方法：利用圆心O 到直线l 的距离等于圆
的半径。

2、教师启发：
（1）你能否把上面的文字叙述的条件改成数学语言呢？
可由学生积极思考，讨论，然后给出参考的答案： 距离OA ：改写成OA ⊥l; 等于半径：改写成OA ＝r;
垂足A 在半径OA 上且为半径的一个端点。

（2）你能尝试在不改变句子意思的条件下把上面的文字叙述的命题
图（4）l
A
O r
改成意思相同的命题吗？
学生改写后交流，然后在集体讨论交流的基础上得出： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（这就是我们今天要学习的内容：圆的切线的判定，并板书课题）
（3）熟悉定理，分析命题的题设和结论，并能用几何语言表示它们。

如图：题设两条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径。

几何语言的表示：∵直线l ⊥OA ，l 经过半径OA 的外端 ∴直线l 为圆O 的切线。

教师强调：上述两个条件缺一不可。

（4）学生思考：为什么不能缺少条件？能否举出反例。

图（6）经过半径的外端但不与半径垂直；图（7）与直线垂直，但没有经过半径的外端，都不是圆的切线。

加强学生的认识，判断圆的切线时，这两个条件缺一不可。

三，互动深化。

1、例1，如图（8），已知△ABC 内接于，⊙O
的直径AE 交BC 于点F ，点B 在BC 的延长线上，且CAP ＝∠ABC ；求证：PA 是⊙O 的切线。

分析：依据题目的条件有半径OA 且PA 经过OA 的外端,对照定理只须证ｐA ⊥OA 就可以了。

证明：连接CE ∵AE 是⊙A 的直径 ∴∠ACE ＝90° ∴∠E+∠EAC ＝90°
∵∠E ＝∠ABC ∠ABC ＝∠CAP ∴∠E ＝∠CAP
∴∠CAP+∠EAC ＝∠E+∠EAC ＝90° 即∠OAP ＝90º
∴PA ⊥OA ，且PA 经过A 点 ∴PA 为的⊙O 切线。

教师点评：依据定理判断切线时对照定理需要的条件，看已知条件满足其中的什么条件，再证明或查找另一个条件就可以了。

2、教学例2，如图（10），CD 是△ABC 中AB 图（8）
图10
G
A D
图（5）
A
边上的高，以CD 为直径的⊙O 分别交CA ，CB 于点E 、F ，点G 是AD 的中点，求证：GE 是⊙O 的切线。

分析：E 是GE 上的点又是⊙0上的一点，连接DE 就是⊙O 的半径，对照判定定理只需证明GE ⊥OE 就行。

证明：连接OE ﹑DE
∵CD 是⊙O 的直径 ∴∠AED ＝∠CED ＝90° ∵G 是AD 的中点 ∴EG ＝1/2 AD ＝DG ∴∠DEG ＝∠EDG ∵OE ＝OD
∴∠DEO ＝∠EDO
∴∠DEG+∠DEO ＝∠EDG +∠EDO 即∠EOG ＝∠CDA ∵CD ⊥AB
∴∠CDA ＝90°
∴∠EGO ＝∠CDA ＝90° ∵DE 是⊙O 半径 ∴GE 是⊙O 的切线。

教师点评：在已知条件中当这条直线过圆上某一个点时，通常情况下，先连接圆心与这个公共点就成为半径，然后再证明直线与这条半径垂直。

3、教学例3，如图（13），在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝½BC ，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，O 为EF 的中点。

求证：以EF 为直径的圆O 与BC 相切。

分析：本题对照切线的判定方法都没有可用的条件，既没半径，又没垂直，可过O 作OH ⊥BC 于H 。

证明：过O 作OH ⊥BC 于H
∵E 、F 是AB 、AC 的中点
∴EF ＝1/2 BC M 是AD 的中点，MD ＝1/2 AD ∵AD ＝1/2 BC
∴EF ＝AD ∴MD ＝1/2 EF ∵AD ⊥BC OH ⊥BC ∴OH ∥MD
则四边形OHDM 是矩形 ∴OH ＝MD ＝1/2 EF ∴OH 为⊙O 的半径. 又∵OH ⊥BC
∴以EF 为直径的圆O 与BC 相切。

教师点评：证明切线时，已知条件没有直接可用的条件，既没有公共点，
图（12）B
C D H
也没有垂直时，通常情况下，可以过圆心作这条直线的垂线，然后再证明这条垂线段等于半径。

四，应用创新
1﹑如图(9),AB 是⊙O 的直径，∠ABT ＝45°，AT ＝AB 。

求证：AT 是⊙O 的切线。

2﹑如图Rt △ABC 中，∠ABC ＝9O °，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点E 、点D 是BC 的中
点、连接DE 。

求证：DE 与⊙O 相切。

3﹑如图△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点，⊙O 与AB 相切于点D.
五，课堂小结
1、切线的判定定理。

2、判定一条直线是圆的切线的方法。

（1）定义：直线和圆有唯一公共点。

（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径。

（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线。

3、辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直。

（2）无公共点：作垂直证半径。

六,反馈评价。

1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠BAC ＝30°，M 是OA
上一点，过M 作AB 垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF ＝∠E 。

求证：CF 是⊙O 的切线。

(有公共点的情况)
2、如图、DB 是圆O 的直径，点A 在BD 的延长线上AB ＝OB ，∠CAD ＝30° 求证：AC 是⊙O 的切线。

(属于没有公共点的
情况)
图（15）
A
图（11）
C
D B
图（13）
C 图（14）A B T。