初一数学(平行与垂直)

辅导教案

教学目的

1．了解平行线的概念

2．会用三角尺和直尺过直线外一点画已知直线的平行线．

3．会使用工具按要求画垂线，掌握垂线（段）的性质。

教学内容

1．平行线的概念

同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．

【注意】：

①“在同一平面内”是定义的首要前提条件，不可缺少，因为在空间里，还存在两条直线既不相交，也不平行的情况；

②“不相交”是说两条直线向两个方向怎样延长都不会相交；

③平常所说的两条射线或线段平行，实质上是指它们所在的直线平行；

④在同一平面内，两条不重合的直线只有两种位置关系：平行与相交．

2．平行线的表示方法

平行线符号“∥”表示．如AB平行于CD表示为AB∥CD．

3．平行线的基本性质

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理及其推论是整个初中平面几何的基石，是其他公理、定理的基础，它们的作用十分重要．平行公理及其推论在说明直线平行时，经常用到．

【注意】：

这条性质与垂线的性质很相似，但过任意一点都可以画垂线，而画平行线，只能是过直线外一点才可以．4．垂直的定义

如果两条直线相交成直角。那么这两条直线互相垂直；

互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

【注意】当两条直线垂直时，其中一条直线叫做两一条直线的垂线

5．垂直的表示方法

如图的两条直线互相垂直，记作a b

⊥，也可以记作AB CD

⊥，其中点O是垂足。

b

a

O

B

A

D

C

6．垂直的基本性质

（1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（2）直线外一点与直线上各点连线的所有线段中，垂线段最短

（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

【典型例题讲解】

【例l】下列结论中正确的个数是( )

①同一平面内不相交的两条直线必平行；②同一平面内不平行的两条直线必相交；③同一平面内不相交的两条线段必平行；④同一平面内不平行的两条线段必相交．

(A)l (B)2 (C)3 (D)4

【例2】完成下列推理：

(1)如图，已知AB∥EF，AB∥CD．因为AB∥EF，（已知），所以____∥____( )

(2)如图所示，已知MN AB

⊥于M，CD AB

⊥于D．因为MN AB

⊥于M，

CD AB

⊥于D（已知），所以NMB

∠=____＝( )．

你能发现这两条直线MN与CD位置关系是．

【巩固练习】

1.平行线是( )

A．没有公共点的两条直线

B．在同一平面内，不相交的两条直线

C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

D．永远不会相交的两条直线

【例3】如图所示，经过点M画MN∥OA，交OB于点N；画ME∥OB，交OA于点E．

【巩固练习】

1.⑴在如图所示的方格纸上，画DE∥AB，EF∥BC；

⑵∠ABC与∠DEF的大小有什么关系？

2.按要求作图：

①在ABC

∆在边AB上取中点D，过D画BC的平行线交AC于点E；

②在OMN

∆的边MN上顺次取三等分点Q

P、，分别过Q

P、作OM的平行线，交ON于点T

S、。

用量角器测量一下，看看

你的结论是否正确？

C

B

A

⑵量出EC AE 、的长，量出TN ST OS 、、的长，你有什么发现？

3.如图，已知线段AB 、BC 、CA ，AB=AC ，按要求画图： ⑴画出∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ； ⑵画出∠ABC 的平分线BE 交AC 于E ；

⑶过点E 画BC 的平行线EF 交AB 于F ，并连接FC ；

⑷通过观察、度量，你发现了哪些结论？请把它们写出来。（至少写3条，不需要写理由）

【例4】

1．如图，已知直线AB 、CD 和AB 上一点M ，过点M 分别画直线AB 、CD 的垂线。

2．如图，污水处理厂A 要把处理过的水引入排水沟PQ ，应如何铺设排水管道，才能使用料最短，试画

出铺设管道路线，并说明理由。

3．如图，P 是∠AOB 的边OB 上的一点。 （1）过点P 画OB 的垂线，交OA 于点C （2）过点P 画OA 的垂线，垂足为H

比较PH 与PC 、PC 与CO 的长短，并说明理由。

4．如图射线OC 是∠AOB 的角平分线，M 是OC 上任意一点。 （1）画MP ⊥OA ，垂足为P

（2）画MQ ⊥OB ，垂足为Q

（3）度量点M 到OA 、OB 的距离，你发现什么？

【随堂练习】

1．过一点画已知直线的平行线有 ( ) A ．有且只有一条 B ．有两条 C ．不存在 D ．不存在或仅一条

2．在同一平面内，两条直线的位置关系可能是 ( ) (A)相交或垂直 (B)垂直或平行

(C)平行或相交 (D)相交或垂直或平行

3．如图射线OC 是∠AOB 的角平分线，M 是OC 上任意一点。 （1）画MP ⊥OA ，垂足为P （2）画MQ ⊥OB ，垂足为Q

（3）度量点M 到OA 、OB 的距离，你发现什么？

4. 如图,直线 AB 上一点C ,过点C 引两条射线CE 、CD ，且∠ACE=31°，∠

DCB=59°，则CE 、CD 的位置关系是什么？为什么？

D

E

B

C

A