2017建平中学自招数学答案

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一(上)期末数学试卷含答案

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若 A U B={0，﹣1，4}，则 a 的值为．2．（3分）函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）⋅g （x ）=．3．（3分）全集U=R，且A={x|﹣x2+x+6≥0}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}，则∁U（A∩B）=．4．（3分）函数g （x）=1﹣2x，f[g（x）]=则，f （）=．5．（3分）不等式x﹣1＞x4的解集是．6．（3分）命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数．”的逆否命题是．7．（3分）函数y=x2+3（x≤0）的反函数是．8．（3分）若f （x）=（m﹣1）x2﹣mx+3（x∈R）是偶函数，则函数g （x ）=的零点是．9．（3分）函数y=的值域是．10．（3分）函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）的单调递增区间是．11．（3分）已知关于x 的不等式在[2，5]有实数解，则实数a的取值范围为．12．（3分）把指数函数y=2x图像向下平移1个单位得到函数y=h （x）的图像，函数+a（m＞0，m≠1）满足g （7）﹣g （1）=若函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a 的取值范围是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）如果x＜0＜y，则下列各式中成立的是（）14．（3分）设p，q 是两个命题：p：log（|x|﹣1）＞0，q：22+x﹣22﹣x≤15，则p 是q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）设函数f （x ）=，g （x）=ax2+bx （a，b∈R，a≠0），若y=f （x）的图象与y=g （x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＜0C．当a＞0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0D．当a＞0 时，x1+x2＞0，y11+y2＞016．（3分）学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f （﹣x）有反函数，则其反函数可表示为y=f﹣1（﹣x）；（2）函数y=f （x ）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域为[m，M]；（3）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x，y 等式 f （x）﹣f （y）=均成立，则函数y=f （x）一定是奇函数；（4）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x 都有 f （x）﹣f （|x|）=0，则函数y=f （x）一定没有反函数．李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（）A．都是错误的B．只有一个是正确的C．两对两错D．只有一个是错误的三、解答题（10+10+10+12，共52分）17．（10分）解下列不等式或方程（1）18．（10分）已知m 为实常数，求函数y=log22x﹣2m log2x﹣3的最小值．19．（10分）已知函数y=．（1）判断该函数奇偶性并证明；（2）利用函数单调性定义证明该函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．20．（10分）已知某市最低工资标准为每月1800 元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，已知月工资收入不高于3000 元时k=1000．（1）若某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？（2）对于月工资收入不高于3000 元的贷款买房的居民中．若贷款月还款额均为5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题）21．（12分）对于函数y=f （x）和y=g （x ），若存在区间A，使|f（x）﹣g（x）|≤1 在区间 A 上恒成立，则称区间 A 是函数y=f （x）和y=g （x ）的“公共邻域”．设函数f （x）=a x+3a （a＞0，a≠1）的反函数为y=f﹣1（x），函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．（1）求函数y=f﹣1（x）和y=g （x ）的解析式；（2）若a=2，求函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）的定义域；（3）是否存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，共36分）1．（3分）集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若A U B={0，﹣1，4}，则a 的值为0．【解答】解：集合A={﹣1，a}，B={4，a2}，若AUB={0，﹣1，4}，则a=a2=0，∴a的值为0．故答案为：0．2．（3分）函数f （x ）=，g （x ）=，则f （x）⋅g （x ）= 2（x﹣1）（x≠﹣3，x≠0）．【解答】解：f （x ）=，g （x ）=，∴f （x）⋅g （x ）=•=2（x﹣1），故答案为：2（x﹣1）．，（x≠﹣3，x≠0）．3．（3分）全集U=R，且A={x|﹣x2+x+6≥0}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}，则∁U（A∩B）={x|x＜﹣2或x≥﹣1} ．【解答】解：全集U=R，A={x|﹣x2+x+6≥0}={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，B={x||x﹣3|﹣4＞0}={x||x﹣3|＞4}={x|x＞7或x＜﹣1}，A∩B={x|﹣2≤x＜﹣1}，∴∁U（A∩B）={x|x＜﹣2或x≥﹣1}．故答案为：{x|x＜﹣2或x≥﹣1}．【解答】解：∵函数g （x）=1﹣2x，f[g（x）]=，∴f （）=f[g（）]==﹣1．故答案为：﹣1．5．（3分）不等式x﹣1＞x4的解集是∅．【解答】解：根据题意，令g（x）=x4﹣x+1，x﹣1＞x4⇒x4﹣x+1＜0⇒g（x）＜0，则g（x）的导数为g′（x）=4x3﹣1，令g′（x）=4x3﹣1=0，解可得x=，分析可得：当x＜，有g′（x）=4x3﹣1＜0，即函数g（x）在（﹣∞，）为减函数，当x＞，有g′（x）=4x3﹣1＞0，即函数g（x）在（，+∞）为增函数，则函数g（x）在最小值为g（）=﹣+1＞1，则有g（x）＞0恒成立，不等式x﹣1＞x4的解集为∅；故答案为：∅6．（3分）命题“若一个函数定义域不对称，则该函数不是偶函数．”的逆否命题是若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．．【解答】解：命题的逆否命题为：若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．故答案为：若一个函数是偶函数，则该函数的定义域对称．7．（3分）函数y=x2+3（x≤0）的反函数是y=﹣（x≥3）．【解答】解：∵y=x2+3（x≤0），∴x=﹣，y≥3，故反函数为y=﹣（x≥3），8．（3分）若f （x）=（m﹣1）x2﹣mx+3（x∈R）是偶函数，则函数g （x ）=的零点是﹣1．【解答】解：若函数f（x）是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即（m﹣1）x2+mx+3=（m﹣1）x2﹣mx+3，则mx=﹣mx，即m=﹣m，得m=0，则g（x）==x+1，（x≠1），由g（x）=0得x=﹣1，则为函数g（x）的零点是﹣1，故答案为：﹣19．（3分）函数y=的值域是（0，1] ．【解答】解：由f（x）=x2+2x+2=（x+1）2+1，可得f（x）的最小值为1，∴y=的值域为（0，1]．故答案为：（0，1]．10．（3分）函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）的单调递增区间是（0，1）．【解答】解：函数y=|（log2|x﹣1|）|（x＜1）=|log2（1﹣x）|，令t=log2（1﹣x），则y=|t|，t＜0，解得0＜x＜1，由t在（0，1）递减，y在（﹣∞，0）递减，由复合函数的单调性：同增异减，可得所求增区间为（0，1）．故答案为：（0，1）．11．（3分）已知关于x 的不等式在[2，5]有实数解，则实数a的取值【解答】解：根据题意，⇒＞0⇒[（a﹣1）x﹣（a+1）]（x+1）＞0，分5种情况讨论：①，当a=1时，不等式可以变形为x+1＜0，即x＜﹣1，在[2，5]无解，不合题意，②，当a＞1或时，不等式变形为（x﹣）（x+1）＞0，其解集为{x|x＜﹣1或x＞}，若不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，则有＜5，解可得：a＞，③，当0＜a＜1时，有不等式变形为（x﹣）（x+1）＜0，其解集为{x|x＜或x＞﹣1}，不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，④，当a=0时，不等式可以变形为0＞1，无解，不符合题意；⑤，当a＜0时，不等式变形为（x﹣）（x+1）＜0，其解集为{x|x＜﹣1或x ＞}，若不等式即（x﹣）（x+1）＞0在[2，5]有实数解，则有＜5，解可得：a＞，又由a＜0，则a存在，综合可得：a的取值范围是{a|a＞或0＜a＜1}．12．（3分）把指数函数y=2x图像向下平移1个单位得到函数y=h （x）的图像，函数+a（m＞0，m≠1）满足g （7）﹣g （1）=若函数f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数a由+a，且g （7）﹣g （1）=，得=，∴m=．则g（x）=．由f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，得f （x ）=在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴，解得a≤0．∴实数 a 的取值范围是（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．（3分）如果x＜0＜y，则下列各式中成立的是（）A．|x|＜|y|B．|x\＞|y|C．|x|=|y| D．以上都有可能【解答】解：由x＜0＜y，可得：|x|＜|y|，|x|＞|y|，|x|=|y|，因此以上都有可能．故选：D．14．（3分）设p，q 是两个命题：p：log（|x|﹣1）＞0，q：22+x﹣22﹣x≤15，则p 是q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log（|x|﹣1）＞0得0＜|x|﹣1＜1，即1＜|x|＜2，得1＜x ＜2或﹣2＜x＜﹣1，由22+x﹣22﹣x≤15得4•2x﹣≤15，即4（2x）2﹣15•2x﹣4≤0，即（2x﹣4）（4•2x+1）≤0，得2x≤4，则x≤2，则p 是q 的充分不必要条件，15．（3分）设函数f （x ）=，g （x）=ax2+bx （a，b∈R，a≠0），若y=f （x）的图象与y=g （x）图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B （x2，y2），则下列判断正确的是（）A．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0B．当a＜0 时，x1+x2＜0，y1+y2＜0C．当a＞0 时，x1+x2＜0，y1+y2＞0D．当a＞0 时，x1+x2＞0，y11+y2＞0【解答】解：当a＜0时，作出两个函数的图象，若y=f（x）的图象与y=g（x）图象有且仅有两个不同的公共点，必然是如图的情况，因为函数f（x）=是奇函数，所以A与A′关于原点对称，显然x2＞﹣x1＞0，即x1+x2＞0，﹣y1＞y2，即y1+y2＜0，同理，当a＞0时，有x1+x2＜0，y1+y2＞0故选：C．16．（3分）学生李明用手机加了一个有关高中数学学习的微信群，群里面许多数学爱好者经常发一些有关高中数学学习的心得和经验，但是，这些心得和经验的正确性无法保证，下面是李明搜集到的有关函数的一些结论：（1）若函数y=f （﹣x）有反函数，则其反函数可表示为y=f﹣1（﹣x）；（2）函数y=f （x ）在其定义域内的最大值为M，最小值为m，则其值域（3）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x，y 等式 f （x）﹣f （y）=均成立，则函数y=f （x）一定是奇函数；（4）定义在R 上的函数y=f （x），若对任意的实数x 都有 f （x）﹣f （|x|）=0，则函数y=f （x）一定没有反函数．李明的同学们对以上四个结论有以下不同判断，其中判断正确的是（）A．都是错误的B．只有一个是正确的C．两对两错D．只有一个是错误的【解答】解：对于（1），设（x，y）是f（﹣x）的任意一点，则y=f（﹣x），∴﹣x=f﹣1（y），即x=﹣f﹣1（y），∴y=f（﹣x）的反函数为y=﹣f﹣1（x）．故（1）错误．对于（2），若f（x）在定义域上不连续，则结论不成立，故（2）错误．对于（3），令y=x，可得f （x）﹣f （x）==0，∴f（0）=0，再令x=0可得：0﹣f（y）=，即f（﹣y）=﹣f（y）恒成立，∴f（x）是奇函数，故（3）正确．对于（4），若f （x）﹣f （|x|）=0，即f（|x|）=f（x），∴f（x）是偶函数，∴f（x）没有反函数，故（4）正确．故选：C．三、解答题（10+10+10+12，共52分）17．（10分）解下列不等式或方程（1）（2）．【解答】解：（1）可化为，整理可得，即（x﹣1）（x﹣2）＜0，解得1＜x＜2，不等式解集为{x|1＜x＜2}；∴x2﹣3x﹣6=4，解得x=5或x=﹣2．18．（10分）已知m 为实常数，求函数y=log22x﹣2m log2x﹣3的最小值．【解答】解：令t=log2x，由，知t≥﹣1．∴y=log22x﹣2m log2x﹣3化为y=t2﹣2m t﹣3，其对称轴方程为t=＞0．∴当t=2m﹣1时，y有最小值为（2m﹣1）2﹣2m•2m﹣1﹣3=﹣22m﹣2﹣3．19．（10分）已知函数y=．（1）判断该函数奇偶性并证明；（2）利用函数单调性定义证明该函数在（﹣∞，+∞）上为增函数．【解答】解：函数的定义域是R，令y=f（x），（1）f（﹣x）==﹣=﹣f（x），故函数y=f（x）是奇函数；（2）设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x2﹣x1＞0，∴＜a0=1，＞a0=1，故﹣＜0，故f（x1）﹣f（x2）＜0，故f（x）在R递增．20．（10分）已知某市最低工资标准为每月1800 元，为了解决该市房价过高的问题，政府计划对低收入的本市户籍居民购买第一套住房的，每月提供一定金额的贷款补贴，补贴规则：个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，已知月工资收入不高于3000 元时k=1000．（1）若某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，则他每月获得的贷款补贴是多少元？（2）对于月工资收入不高于3000 元的贷款买房的居民中．若贷款月还款额均为5000 元，则实际月收入最高为多少元？（结果均保留整数位，均不考虑扣税问题）【解答】解：（1）∵个人每月收入不高于6000 元的，对贷款进行补贴，补贴标准为：贷款月还款额×，其中k 是一个与月工资收入有关的常数，且贷款月还款额不得高于5000 元，贷款月还款额高于5000 元的，只对5000 元部分进行补贴．高于5000 元部分不予补贴，月工资收入不高于3000 元时k=1000．某人工资为2000 元，贷款月还款额为5000 元，∴他每月获得的贷款补贴是：5000×=2500．（2）设月工资收入为x元，（1800≤x≤3000），则实际月收入：y=x+5000×≥2=4472元，当且仅当x=2236元时等号成立，∴当x=3000时，实际月收入最高为4667元．21．（12分）对于函数y=f （x）和y=g （x ），若存在区间A，使|f（x）﹣g（x）|≤1 在区间 A 上恒成立，则称区间 A 是函数y=f （x）和y=g （x ）的“公共邻域”．设函数f （x）=a x+3a （a＞0，a≠1）的反函数为y=f﹣1（x），函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称．（1）求函数y=f﹣1（x）和y=g （x ）的解析式；（2）若a=2，求函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）的定义域；（3）是否存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设y=a x+3a，则a x=y﹣3a，两边取对数得：x=log a（y﹣3a），所以f﹣1（x）=log a（x﹣3a）；由函数y=g （x ）的图象与函数y=f﹣1（x）的图象关于点（a，0）对称，可得g（x）=﹣log a（2a﹣x﹣3a），即为g（x）=﹣log a（﹣x﹣a）；（2）a=2，函数y=g （﹣x）+f﹣1（x）=﹣log2（x﹣2）+log2（x﹣6），由x﹣2＞0，且x﹣6＞0，可得x＞6，则函数的定义域为（6，+∞）；（3）假设存在实数a，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，因为x∈[a+2，a+3]时，函数有意义，所以（a+2）﹣3a=2﹣2a＞0，所以0＜a＜1，由区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”，可得|log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）|≤1，设h（x）=log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）=log a（x2﹣4ax+3a2），二次函数u=x2﹣4ax+3a2的对称轴为x=2a＜2，所以u=x2﹣4ax+3a2在x∈[a+2，a+3]上为增函数，当x=a+2时，取得最小值4（1﹣a），当x=a+3时取得最大值3（3﹣2a），从而可得y=h（x）在闭区间[a+2，a+3]上的最小值与最大值分别为：log a3（3﹣2a），log a4（1﹣a），当x∈[a+2，a+3]时，恒有|log a（x﹣3a）+log a（x﹣a）|≤1成立的充要条件为：，即为，解得0＜a≤．则存在实数a，且0＜a≤，使得区间[a+2，a+3]是y=f﹣1（x）和y=g （﹣x）的“公共邻域”．。

建平中学自招真题解析

同理可得高一（2）（2）共 69 人，高一（1）（3）共 65 人．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 A 4,0 ，以 OA 为直径在第一象限作半圆 C ，点 B 是该半圆周上一动点，连结 OB 、
上
因此高一（1），（2），（3）班各有 30,34,35 人．
海
昂
x y 64 x 30 因此设高一（1），（2），（3）班各有 x, y, z 人可列方程组 y z 69 ，解得 y 34 ． z x 65 z 35
2
分别对应 a 0, a 3, 0 a 3 的情况．若 x 0 时取最小值，则 a 2 符合条件；若 x 3 时取最小值，则 a 2.2 不符合条件．；若 x a 时取最小值，则 a a 2 2 ，解得 a 2, 1 ，其中 a 2 符合条件．因此 a 2 或 2 ．
sin DAE
DP AP
DP AD 2 DP 2

5 2 5 52 2
2
C

5 ， 5
所以 DE 2
11. 如图，在梯型 ABCD 中， AB // CD ， AC 、 BD 相交于点 O ，若 AC 6 ， BD 8 ，中
内
【答案】 2 6 ．【解析】因为 AB // CD ，所以
【解析】原式

2 3 2
3
7 13 7
13
2 3 2 3

2 3

3 2 2 6 5．

5.
建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、健美操社……，在一次社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比学只有一位同学统计正确，则这次比赛中有名选手参加比赛．赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066，经核实，上述四位同

建平中学自招真题含解析

y
y
y
y 99
y 99
所以 x 1 10x 1 2019 10 2009 ．
y
y 99 99 99
4. 计算： 14 26 21 39
．
14 26 21 39
【答案】 2 6 5 ．
2 3 【解析】原式
7 13
2 3
2 3
3 2 2 65．
2 3 7 13 2 3
将120 从十进制转换为15 进制可得结果为80 ．
2. 如果 x 1 x4 1成立，那么满足它的所有整数 x 的值是
．
【答案】 2, 4 ．
【解析】若 x 1x4 1，则 x 1 1或 x 4 0 且 x 1 0 ．因此 x 2 或 x 4 ．
3. 设实数 x 、 y 分别满足 99x2 2019x 1 0 、 y2 2019 y 99 0 ，并且 xy 1 ，则
5. 建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、
健美操社……，在一次社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其
他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比
赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066，经核实，上述四位同
验证可知只有 x x 1 1056 有整数解 x 33 ，因此共有 33 名选手参赛．
6. 二次函数 y x2 2ax a 在 0 x 3 上有最小值 2 ，则 a 的值为
．
【答案】 2 或 2 ．
【解析】二次函数 y x2 2ax a 在 0 x 3 上的最小值在 x 0 或 x 3 或 x a 时取到，

上海市建平中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

2017 学年建平中学高二年级期中试卷2017.11 一、填空题⎛1 3⎫ ⎛5 7⎫1.矩阵A = ⎪,矩阵B = ⎪，则AB = .⎝2 4⎭ ⎝6 8⎭2 2.直线-1y= 3 的倾斜角是. x3.直线l1: ax + 2 y - 6 = 0 和l2 : x +(a+1)y +(a+ 5)= 0 平行，a = .4.直线x +2y - 3 = 0 与直线2x +y + 7 = 0 的夹角大小为（结果用反三角表示）.5.向 a =(2, -1),b =(-1, m ),c =(-3,1)，若(a-b)⊥c ，则m = .6.已知点A (-1,1),B (1, 2),C (-2, -1),D (3, 4),则向AB 在CD 上的投影为.a b c7.行列式d e fg h i中元素f 的代数余子式是.8. ∆ABC 的顶点A (-3, -1),B (-2, 2),C (5, 3),则角A 平分线的斜率是.9.过点M (1, -2)且与点A (-1, 2),B (3, 0)等距离的直线的方程是.⎛n2 10.已知limn→∞⎝n +4-an⎪=b ，则常数a, b 构成的点(a, b )与直线x -2y - 4 = 0 的距离为.⎭11.在向 a =(x, y )的右边乘以一个矩阵A2⨯2,按向的乘法规则相乘以后得到一个新的向a0 ，我们把这个运算过程称为对向 a 实施了一个右矩阵变换.直线l1: y =ax + 2 上任意一点P (x, y )确定向OP （O 为坐标原点），通过⎛0 1⎫矩阵 ⎪对向OP 实施右矩阵变换后得到向OP1 , 点P1的坐标(x0 , y0 )满足y0 = 3x0 -b ，若直线⎝1 0⎭l 2 : a1x +b1y + 1 = 0 和l3: a2x +b2y + 1 = 0 相交于点T (3a, b)，则过点E (a1 , b1 ),F (a2 , b2 )的直线l4 的方程是.12.如图∆ABC 中，BC = 1, D 为BC 中点，AD =1, O1 为AD 中点，取线段DO1中点O2,线段DO2中点O3,线段DO3中点O4 , ,线段DOn-1中点On，（n 为大于1 的自然数），令t=O )，数列{t }的各项和等于.二、选择题13.下列结论中正确的是（）n n n⎛2 -4⎫⎛1-2⎫ A. ⎪=2 ⎪ ⎝3 1 ⎭⎝3 1 ⎭⎨ ⎨ ⎩ B . 起点不同，但方向相同且模相等的几个向是相等的向 .C . 若 a ⎧ 1 = ⎪ 1 n n ≤ 100, n ∈ N *，则 lim a = ⎧1 n ≤ 100 , n ∈ N * . n ⎨⎛ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩⎝ 2 ⎭n ≥ 101n →∞ n ⎩0 n ≥ 101x - my - n D . 若直线 l 的一个方向向 d = ( a , b ) 且过点 (m , n ) ，则其点方向式方程为=.ab14.在 ∆ABC 中， ∠C = 90︒, AB = ( k ,1) , AC = ( 2, 3) ,则k 的值是（）A . 5B . -5C . 32D . - 3215.已知直线 l 过点 P (-1, 2) 且与线段 AB 的延长线有公共点，若 A (-2, -3) , B (3, 0) ，则直线 l 的斜率的取值范围是（）A . ⎡- 1 , 5⎤B . ⎛ - 1 , 3 ⎤C . ⎛ - 1 , 3 ⎫D . ⎛-∞, - 1 ⎤ [5, +∞ ) ⎢ 2 ⎥2 5 ⎥ 2 5 ⎪2 ⎥ ⎣ ⎦⎝ ⎦⎝ ⎭⎝⎦⎧3x - y - 6 ≤ 016.设 x , y 满足约束条件 ⎪ x - y + 2 ≥ 0 ，若目标函数 z = ax + by ( a > 0, b > 0) 的最大值为12 ，则 2 + 3的最小值为⎪ x ≥ 0, y ≥ 0 a b（）A . 25 6三、解答题B . 83C . 113D . 417.如图所示.正方形 OABC 的顶点 A ( 2, 3) .（1）求边 AB 所在直线的点法向式方程；（2）写出点 C 的坐标，并写出边 BC 所在直线的点方向式方程.18.直线 l 1 : mx + y - 1 - m = 0, l 2 : x + my - 2m = 0 试运用行列式的知识讨论当 m 取何值时，直线 l 1 与 l 2 （1）相交；（2）平行；（3）重合.π19.已知 a = 2, b = 1, a 与 b 的夹角为，设m = 2t a + 7b , n = a + tb . 3（1）求a ⋅b 的值；（2）若m 与n 的夹角是钝角，求实数t 的取值范围.20.已知点M (3, 5)，在直线l : x -2y + 2 =0 上找一点P ，在y 轴上找一点Q ,使∆MPQ 的周长最小，试求出∆MPQ 周长的最小值，并求出当∆MPQ 周长最小时点P 和点Q 的坐标.21.如图，在平行四边形ABCD 中，点A (,B (-1, 0),C (1, 0)，对角线AC ,BD 交于点P .（1）求直线CD 的方程；（2）若点E, F 分别在平行四边形ABCD 的边BC 和CD 上运动，且EF BD ,求AE ⋅AF 的取值范围；（3）试写出三角形PCD 区域（包括边界）所满足的线性约束条件，若在该区域上任取一点M ，使AM =λAB +μAD , 试求λ+μ的取值范围.参考答案一、填空题⎛ 23 31 ⎫ 1. ⎪ ⎝ 34 46 ⎭2. π - arctan 23.14. arccos455. -106.27. bg - ah二、选择题8.+ 1 79. x + 2 y + 3 = 0 或 x = 111. x + 6 y + 1 = 012. 3213. B 14. A15. C 16. A三、解答题17.（1） 2 ( x - 2) + 3 ( y - 3) = 0 （2）x + 3 = y - 22 318. m ≠ ±1相交；m = 1 重合； m = -1 平行⎛ 19.（1）1 （2） -7, - ⎫ ⎛ - , - 1 ⎫ ⎪ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⎛ 5 9 ⎫ ⎛ 7 ⎫20. (C ∆MPQ ) = P , ⎪ , Q 0, ⎪min⎝ 2 4 ⎭ ⎝ 2 ⎭21.（1） y -3 （2）[-2,1] （3）[1, 2]。

【真题】17年上海市浦东新区建平中学高三(上)数学期中试卷含答案

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为．3．（3分）不等式的解集是．4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为．12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=（0，1）．【解答】解：∵x2﹣2x＜0⇒0＜x＜2；∴M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}；N={x|x≥1}⇒C R N={x|x＜1}．所以：M∩（C R N）=（0，1）故答案为：（0，1）．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为（﹣1，2] ．【解答】解：，解得：x∈（﹣1，2]故答案为：（﹣1，2]3．（3分）不等式的解集是[1，3﹚．【解答】解：不等式等价于解得x∈[1，3）故答案为：[1，3﹚4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为4．【解答】解：log a b=﹣1，可得ab=1．a，b＞0．a+4b≥2=4．当且仅当a=4b=2时取等号．表达式的最小值为：4．故答案为：4．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=﹣1．【解答】解：y=f（x）是奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，由y=f（x）周期为3，f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx+sinx=，∴可得：sinx+cosx=，∴两边平方可得：1+sin2x=，解得：sin2x=．故答案为：．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（x＜1）．【解答】解：由y=log2（2﹣）（x＞0），解得x=（y＜1），把x与y互换可得：y=（x＜1）．∴原函数的反函数为：（x＜1）．故答案为：（x＜1）．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．【解答】解：因为2arcsin（5x﹣2）=，所以sin[arcsin（5x﹣2）]=，即5x﹣2=，所以x=．故答案为．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．【解答】解：直线x=，x=都是函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，]上单调递减，所以T=2×（﹣）=；所以ω==6，并且1=sin（6×+ϕ），﹣π＜ϕ≤π，所以，ϕ=；故答案为：．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为[20，30] ．【解答】解：∵f（x）=x++3，x∈N*，∴f′（x）=1﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，最小值为f（x）min=f（1）=4+a，不满足题意，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，即f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，即f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=时取最小值，∵x∈N*，∴x取离最近的正整数使f（x）达到最小，∵x=5时取到最小值，∴5＜＜6，或4＜≤5∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），∴4++3≥5++3且5++3≤6++3解得20≤a≤30故答案为：[20，30]12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．【解答】解：解：函数f（x）=cos x的周期为T==4，（1）当4n﹣1≤t≤4n，n∈Z，区间[t，t+1]为增区间，则有m（t）=cos，M（t）=cos=sin，（2）当4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+，则M（t）=1，m（t）=sin，②若4n+＜t＜4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin，（3）当4n+1≤t≤4n+2，则区间[t，t+1]为减区间，则有M（t）=cos，m（t）=sin；（4）当4n+2＜t＜4n+3，则m（t）=﹣1，①当4n+2＜t≤4n+时，M（t）=cos，②当4n+＜t＜4n+3时，M（t）=sin；则有h（t）=M（t）﹣m（t）=当4n﹣1≤t≤4n，h（t）的值域为[1，]，当4n＜t≤4n+，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+1，h（t）的值域为（1﹣，1），当4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域为[1，]，当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣，1）．综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．故答案是：．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是①③④．（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：①令t=f（x），则对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化为：f（t）=t，即f（x）=x，故①为真命题；②令，显然能满足题设条件，当x≠0，有f（x）=，不满足结论；故②为假命题；③假设存在实数x0，∵f（x0）=a，f（g（a））=a；∴g（a）=x0；g（f（x0））=﹣x0+1；=[g（a）]2﹣g（a）+1；而f（g（a））=a，∴命题成立；故③正确；④∵，g（x0）=g（y0）；∴x0=y0；故④正确；故答案为：①③④14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=61．【解答】解：方程（2017﹣x）（1999+x）=2016可化为﹣x2+16x+2017×1999﹣2016=0，∴x1+x2=16．∵x1满足3x1=a﹣3x1，x2满足log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，∴=﹣1﹣（x1﹣1），log3（x2﹣1）=﹣1﹣（x2﹣1）．∴x1﹣1+x2﹣1=﹣1，∴a=45，∴x1+x2+a=16+45=61．故答案为61．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由“2a＞2b”得a＞b，由“log2a＞log2b”得a＞b＞0，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件，故选：B．16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定【解答】解：集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，可得9x﹣4•3x+1+27=0，即（3x）2﹣12•3x+27=0，解得3x=3，3x=9，解得x=1，x=2．M={1，2}．N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，log2（x+1）+log2x=log26，可得x（x+1）=6，x＞0．解得x=2．N={2}．∴N⊊M．故选：B．17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数【解答】解：∵y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，故有g（﹣x）=﹣g（x），且f（﹣x）=f（x）．令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），则m（﹣x）=g[g（﹣x）]=g[﹣g（x）]﹣g[g（x）]=﹣m（x），故m（x）为奇函数，故排除A、C；∵f（x）和g（x）都是周期函数，设他们的周期的最小公倍数为t，即f（x+t）=f（x），g（x+t）=g（x），n（x+t）=f（x+t）g（x+t）=f（x）g（x）=n（x），故n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，故排除B，故选：D．18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选：D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＜6，即|2x﹣a|＜4，∵不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），∴，∴a=2；（2）∵f（x）＞t﹣f（﹣x），∴t＜f（x）+f（﹣x），∴t＜|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4，∵|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4≥4+4=8，∴t＜8．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，∴cos=cos=sin=，∴=，即B=，∵a=3，b=，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即7=9+c2﹣3c，整理得：c2﹣3c+2=0，解得：c=1或c=2；（2）f（A）=sinA（cosA﹣sinA）=sin2A﹣=sin（2A+）﹣，由（1）得B=，∴A+C=，即A∈（0，），∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（﹣1，1]，∴f（A）∈（﹣，]，∴f（A）的取值范围是（﹣，]．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0，∴|a﹣1|=|a+1|，解得a=0．∴f（x）=x|x|，经过验证满足题意；（2）a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）=x（x﹣a）=﹣，①a≤﹣2时，对称轴x=≤﹣1，函数f（x）在D上单调递增，∴f（x）的最小值是f（﹣1）=﹣（﹣1﹣a）=a+1，则g（a）≤﹣2+1=﹣1，故g（a）的最大值为﹣1；②﹣2＜a≤﹣1时，对称轴x=∈，函数f（x）在（，﹣）上单调递增，在[﹣1，]单调递减；∴f（x）的最小值是f（）=﹣，则g（a）≤﹣，故g（a）的最大值为﹣；（3）a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|的图象可由f（x）=x|x|的图象右移a个单位得到．而f（x）=x|x|=，x＞0时递增，x＜0时递增，且f（x）的图象连续，则函数f（x）=x|x﹣a|在[0，3]递增，即有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n）﹣f（x n）|=，﹣1）﹣f（x n））=，化为﹣（f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（x n﹣1即﹣（f（0）﹣f（3））=，则3|3﹣a|﹣0=，解得a=或．则实数a的取值为{，}．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【解答】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）=﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）=3∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x∵P∩M=∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a=3此时可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M ∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）=﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1=﹣+2x0∈（0，1），x2=﹣+2x1，…∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…=﹣+2x n，得1﹣x n+1=1+﹣2x n=（1﹣）2；由x n+1∴1﹣x n=（1﹣）2=（1﹣x n﹣2）22=…=（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法yxo②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2017年重点中学自主招生适应性考试数学试卷及答案(2)

2017年重点中学自主招生适应性考试数学试卷满分：120分时间：90分钟 2017.3一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）（1）如果一元一次不等式组⎩⎨⎧>>a x x 3的解集为x ＞3，则a 的取值范围是 A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3 D ．a ≤3 （2）若实数x 满足12223-=++x x x ，则9932x x x x ++++ =A ．1-B ．0C ．1D ．99（3）如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线, 称得它的质量为a 克，再称得剩余电线的质量为b 克，那么原来这卷电线的总长度是A ．a b 1+米B ．（a b +1）米C ．（a+b a +1）米D ．（b a +1）米（4）若实数n 满足2)45()46(22=-+-n n ，则代数式)45)(46(n n --的值是A ．1-B ．21-C ．21D ．1（5）已知方程2(21)10x k x k +++-=的两个实数根12,x x 满足1241x x k -=-，则实数k的值为 A ．—3，0 B ．1，43-C ．1，13- D ．1，0 （6）如图，矩形AOBC 的面积为16，反比例函数xky =的图象经过矩形的对角线的交点P ，则反比例函数的解析式是A ．x y 1= B ．x y 2=C ．x y 4=D ．x y 8= （7）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式3311ba +的值为A ．24-B ．18-C ．18D ．24 （8）当x 分别取值201，191，181，…31，21，1，2，3，…，18，19，20时，计算代数式2211x x +-的值，将所得的结果相加，其和等于 A ．－20 B ．0 C ．1 D ．20（9）如图，∠ACB ＝60○，半径为2的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为A ．32B ．4C ．πD ．2π（10）方程813222=++y xy x 的整数解(,)x y 的组数为A ．7B ． 6C ．5D ．4二、填空（本题有7个小题，其中11题6分，其余每小题4分，共30分）（11）直接写出下列关于x 的方程的根：①015722=-+x x ； ②24)3)(2)(1(=+++x x x x ； ③41122=+++x x xx ；④01)2(2=+--+a x a x ；（12）已知三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且x =aa ＋bb ＋cc ＋abab ＋acac ＋cb bc，则ax 3＋bx 2＋cx ＋1=_________.（13）若化简16812+---x x x 的结果为52-x ，则x 的取值范围是 . （14）如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么:DPQ ABC S S ∆∆=______________. （15）若实数a 、b 满足b ＞a ＞0，且ab b a 422=+，则ba b a +-= . （16）若实数b a ,满足0111=+--ba b a ，则=+ab b a 22. （17）桌面上有三颗球，相互靠在一起。

2017-2018年上海市建平中学高一(上)期中数学试卷及参考答案

2017-2018学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B=．2．（5分）设集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，若A=B，则实数a=．3．（5分）不等式﹣1≤0的解集是．4．（5分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是．5．（5分）如果全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，A∩（∁U B）=．6．（5分）已知a，b，c∈R+，则++的最小值为．7．（5分）关于x的不等式＞1的解集是M，若2∉M，则常数a的取值范围是．8．（5分）已知非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围为．9．（5分）若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是．10．（5分）在1×（）+4（）=30的两个（）中，分别填入两个正整数，使他们的倒数和最小，则这两个数的和为．11．（5分）若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是．12．（5分）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中边c为最长边（即a≤c，b≤c），且+=1，则c的取值范围是．二、选择题.13．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc14．（5分）如果命题“若α，则β”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则α是β的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜16．（5分）已知a，b∈R+，则下列不等式一定成立的有（）（1）a2+b2≥2ab（2）≥2b﹣a（3）+≥a+b（4）+≥+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．解不等式组．18．某栋高层的东面正在维修一条南北方向的公路，在距离这栋高层的北偏东30°的500米处，一辆压路机正在工作，已知压路机以每分钟20米的速度缓慢的向正南方向行驶，距高层300米以内，居民都会受到噪音的影响，问从现在起多少分钟后，该高层居民将受压路机的噪音影响，影响的时间大约多久？（四舍五入精确到1分钟）．19．已知关于x的不等式|x﹣3|＜的解集为A．（1）若a=1，试求不等式的解集A；（2）是否存在实数a，使得A∩Z={3，4}，若存在求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n满足以下条件，对集合m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}，总存在k∈N*，使得点（n，k）既是点（100，m）的“下位点”，又是点（101，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值．2017-2018学年上海市建平中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）已知集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1} ．【解答】解：集合A={x|﹣2＜x≤1}，B={﹣2，﹣1，0，1}，则A∩B={﹣1，0，1}．故答案为：{﹣1，0，1}．2．（5分）设集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，若A=B，则实数a=﹣1．【解答】解：∵集合A={1，a}，B={﹣1，a2}，A=B，∴a=﹣1且a2=1，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．3．（5分）不等式﹣1≤0的解集是{x|x＜0或x≥1} ．【解答】解：由﹣1≤0得≤0，即x（x﹣1）≥0且，x≠0，解得x＜0或x≥1，故不等式的解集为{x|x＜0或x≥1}，故答案为：{x|x＜0或x≥1}．4．（5分）已知x∈R，命题“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”的否命题是若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．【解答】解：原命题为：“若2＜x＜5，则x2﹣7x+10＜0”，否定它的条件和结论，得：否命题为：“若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0”，故答案为：若x≤2或x≥5，则x2﹣7x+10≥0．5．（5分）如果全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，A∩（∁U B）={3，5} ．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6}，A∩B={2}，∁U A∩∁U B={1}，（∁U A）∩B={4，6}，∴A={2，3，5}，B={2，4，6}，∴∁U B={1，3，5}，∴A∩（∁U B）={3，5}，故答案为：{3，5}6．（5分）已知a，b，c∈R+，则++的最小值为6．【解答】解：∵a，b，c∈R+，∴++=（+）+（+）+（+）≥2+2+2=6，当且仅当=且=且=即a=b=c时取等号，故答案为：6．7．（5分）关于x的不等式＞1的解集是M，若2∉M，则常数a的取值范围是[﹣2，1] ．【解答】解：由题意，2∉M，必然有，可得等价于（a﹣1）（a+2）≤0，且a≠﹣2解得：﹣2＜a≤1．当a=﹣2时，可得，解得：1＜x＜2，满足题意．∴a的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．8．（5分）已知非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}，若A∩B=∅，则实数m的取值范围为（4，+∞）．【解答】解：∵非空集合A={x|m+1≤x≤2m﹣1}，集合B={x|10+3x﹣x2≥0}={x|﹣2≤x≤5}，A∩B=∅，∴或，解得m＞4．∴实数m的取值范围为（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．9．（5分）若关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，则实数m的取值范围是[0，1）．【解答】解：∵关于x的不等式mx2+6mx+m+8≤0的解集为空集，∴mx2+6mx+m+8＞0恒成立，当m=0时，有8＞0，恒成立；当m≠0时，有，解得0＜m＜1，综上所述，实数k的取值范围是0≤m＜1．故答案为：[0，1）．10．（5分）在1×（）+4（）=30的两个（）中，分别填入两个正整数，使他们的倒数和最小，则这两个数的和为15．【解答】解：令x+4y=30，①当y=1时，解得x=26．②当y=2时，解得x=22．③当y=3时，解得x=18．④当y=4时，解得：x=14．⑤当y=5时，解得x=10．⑥当y=6时，解得x=6．⑦当y=7时，解得x=2．故：当的和最小时，解得x=10，y=5．故答案为：15．11．（5分）若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为（0，1），则实数a的取值范围是（﹣4，4）．【解答】解：由题意可得，在不等式成立的情况下只有这几种情况．当a=0时，b≠0，不等式的解集（0，1），适当选取b，c可以满足题意．当a＞0时，不等式0＜ax2+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向上，所以x=0时，ax2+bx+c=c=1，x=1时，a+b+c=1，最小值为x=时，＞0，联立解这个不等式组得：a＜4，在a＜0时，不等式0＜ax2+bx+c＜1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向下．所以x=0时，ax2+bx+c=c=0，且x=1时，ax2+bx+c=a+b=0最大值为x=时，，联立解这个不等式组得：a＞﹣4．综上a的范围是：（﹣4，4）．12．（5分）已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，其中边c为最长边（即a≤c，b≤c），且+=1，则c的取值范围是（0，16]．．【解答】解：边c为最长边，且+=1，那么：a+b=+（a+b）=10+≥10+2=16，当且仅当b=3a=12时取等号，△ABC的三条边长分别为a，b，c，要使a+b≥c成立，则c的取值范围是（0，16]．故答案为：（0，16]．二、选择题.13．（5分）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为“（）”的几何解释．A．如果a＞b，b＞c，那么a＞cB．如果a＞b＞0，那么a2＞b2C．对任意实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立D．如果a＞b，c＞0那么ac＞bc【解答】解：可将直角三角形的两直角边长度取作a，b，斜边为c（c2=a2+b2），则外围的正方形的面积为c2，也就是a2+b2，四个阴影面积之和刚好为2ab，对任意正实数a和b，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．故选：C．14．（5分）如果命题“若α，则β”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则α是β的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【解答】解：若α，则β”的否命题是真命题，则根据逆否命题的等价性可知逆命题为真命题，即β⇒α成立，因为“若α，则β”的逆否命题是假命题，则原命题为假命题，即α⇒β不成立，即充分性不成立，故α是β的必要不充分条件，故选：B．15．（5分）下列四个命题中，为真命题的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＞d则a﹣c＞b﹣dC．若a＞|b|，则a2＞b2D．若a＞b，则＜【解答】解：A，若a＞b，当c=0时，ac2=bc2，A错误；B，若a=3，b=2，c=2，d=0，满足a＞b，c＞d，但a﹣c=1＜b﹣d=2，故B错误；C，若a＞|b|，则a2＞|b|2=b2，正确；D，若a=2＞﹣1=b，则＞﹣1，故＜错误．故选：C．16．（5分）已知a，b∈R+，则下列不等式一定成立的有（）（1）a2+b2≥2ab（2）≥2b﹣a（3）+≥a+b（4）+≥+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：对于A，显然成立，对于B，得b2≥2ab﹣a2，得a2+b2≥2ab，成立，对于C，得：（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b），得：a2﹣ab+b2≥ab，显然成立，对于D，得b3+a3≥ab2+a2b，得（a+b）（a2﹣ab+b2）≥ab（a+b），由C判断，显然成立，故正确的是4个，故选：D．三、解答题17．解不等式组．【解答】解：不等式组．由|2x﹣1|≥x+1，可得：2x﹣1≥x+1或2x﹣1≤﹣x﹣1解得：x≥2或x≤0．由x2﹣x﹣2＜0，解得：﹣1＜x＜2，∴原不等式的解集为（﹣1，0）．18．某栋高层的东面正在维修一条南北方向的公路，在距离这栋高层的北偏东30°的500米处，一辆压路机正在工作，已知压路机以每分钟20米的速度缓慢的向正南方向行驶，距高层300米以内，居民都会受到噪音的影响，问从现在起多少分钟后，该高层居民将受压路机的噪音影响，影响的时间大约多久？（四舍五入精确到1分钟）．【解答】解：设高层居民楼为A，压路机开始工作地点为N，运动到B处时居民开始受到噪音影响，运动到C处噪音影响消失，则在△ABN中，∠ANB=30°，AN=500，AB=300，由余弦定理可得：90000=250000+BN2﹣2×500×BN×cos30°，解得BN=250﹣50或BN=250+50，∴BN=250﹣50，CN=250+50，≈13，∴大约13分钟后开始受到噪音影响．BC=CN﹣BN=100，≈17．∴影响的时间大约为17分钟．19．已知关于x的不等式|x﹣3|＜的解集为A．（1）若a=1，试求不等式的解集A；（2）是否存在实数a，使得A∩Z={3，4}，若存在求出a的取值范围；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣3|＜，故x≥3时，x﹣3＜，解得：x＜7，∴3≤x＜7，x＜3时，3﹣x＜，解得：x＞，∴＜x＜3综上可得：不等式的解集是A=（，7）；（2）故x≥3时，x﹣3＜，解得：x＜a+6，x＜3时，3﹣x＜，解得：x＞，当a≤﹣3时，不等式的解集是A=∅，满足题意；当a＞﹣3时，不等式的解集是A=（，a+6），若A∩Z={3，4}，则解得：﹣2＜a≤﹣1．20．已知关于x的不等式（kx﹣k2﹣6）（x﹣4）＞0，其中k∈R．（1）若k＞0，试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若要使集合B中元素个数最少，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）设原不等式的解集为A，当k=0时，不等式化为x﹣4＜0，解得x＜4；∴A=（﹣∞，4）；当k＞0时，原不等式化为[x﹣（k+）]（x﹣4）＞0，∵k+≥2＞4，∴解不等式得x＜4或x＞k+；∴A=（﹣∞，4）∪（k+，+∞）；（2）由（1）知：当k≥0时，A中整数的个数为无限个；当k＜0时，原不等式化为[x﹣（k+）]（x﹣4）＜0，解得k+＜x＜4，∴A=（k+，4）；此时A中整数的个数为有限个，因为k+≤﹣2，当且仅当k=，即k=﹣（k=舍去）时取等号；又﹣2=﹣＞﹣5，∴k+≤﹣5，即k2+5k+6≤0，解得﹣3≤k≤﹣2，∴A中整数的个数最少时，k的取值范围是[﹣3，﹣2]．21．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．（1）试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）已知点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；（3）设正整数n满足以下条件，对集合m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}，总存在k∈N*，使得点（n，k）既是点（100，m）的“下位点”，又是点（101，m+1）的“上位点”，求正整数n的最小值．【解答】解：（1）∵对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若＞，那么称点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，同时点（c，d）是点（a，b）的“下位点”．∴点（3，5）的一个“上位点”坐标是（3，4），一个“下位点”坐标是（3，6）．（2）∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴一定存在点P（a+c，b+d）满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．证明如下：∵点（a，b）是点（c，d）的“上位点”，∴＞，即ad＞bc，∴﹣==＞0，即＞，即点P（a+c，b+d）是点（c，d）的“上位点”，﹣==＜0，即＞，即点P（a+c，b+d）是点（a，b）的“下位点”．综上可得：点P（a+c，b+d）满足是点（c，d）的“上位点”，又是点（a，b）的“下位点”．（3）若正整数n满足条件，则，在m∈{t|0＜t＜2017，t∈Z}时恒成立，由（2）中结论可得：k=2m+1，n=201时，满足条件，若n≤200，则不成立，故n的最小值为201，。

建平中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷含解析

2016-2017学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷一。

填空题1．设复数z=3+4i(i是虚数单位），则•z=．2．已知复数为纯虚数(i是虚数单位），则实数a= ．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M 到平面的距离α是．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．5．二面角α﹣l﹣β为60°,异面直线a、b分别垂直于α、β，则a与b所成角的大小是．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点，若BD⊥AC，BD=AC,则EF与BD所成角的大小是．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．8．已知椭圆C：,点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A,B，线段MN的中点在C上，则｜AN｜+|BN｜= ．9．已知复数z满足|z+2﹣i|=1,则｜2z﹣1｜的取值范围是．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）方程可能有两个相等的虚根(2）ax2+bx+c=(x﹣x1）（x﹣x2）（3）（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且AP=2PB，则点P的轨迹方程是．二.选择题13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．14．一条直线和该直线外不共线的三点最多可以确定平面的个数为（）A．1个B．3个 C．4个 D．6个15．下列命题中,假命题的个数是（）(1)若直线a在平面α上,直线b不在平面α上，则a、b是异面直线（2）若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条（3)若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d 也是异面直线(4)设a、b是两条直线，若a∥平面α，a∥b，则b∥平面αA．1个B．2个 C．3个 D．4个16．已知圆F的方程是x2+y2﹣2y=0,抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F,过F引倾斜角为α的直线l，l与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点（在直线l上，这四个点从左至右依次为A、B、C、D），若|AB｜，|BC|，|CD｜成等差数列，则α的值为( )A．±arctan B ．C．arctan D．arctan或π﹣arctan三.简答题17．实数x取什么值时，复数z=（x2﹣2x﹣3）+（x2+3x+2）i(i为虚数单位）；(1）是实数？（2）对应的点位于复平面的第二象限?18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=2，AB=4；(1）求证：AD1⊥平面A1B1D；（2）求BD与平面ACC1A1所成角的大小．19．某乳业公司生产甲、乙两种产品，需要A、B、C三种苜蓿草饲料，生产1个单位甲种产品和生产1个单位乙种产品所需三种苜蓿草饲料的吨数如表所示:产品苜蓿草A B C饲料甲483乙5510现有A种饲料200吨,B种饲料360吨，C种饲料300吨,在此基础上生产甲乙两种产品，已知生产1个单位甲产品，产生的利润为2万元，生产1个单位乙产品，产生的利润为3万元，分别用x、y表示生产甲、乙两种产品的数量；（1）用x、y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2）问分别生产甲乙两种产品多少时，能够产出最大的利润?并求出此最大利润．20．已知下列两个命题：命题p：实系数一元二次方程x2+mx+2=0有虚根；命题q：关于x的方程：2x2﹣4（m﹣1）x+m2+7=0（m∈R)的两个虚根的模的和不大于,若p、q均为真命题，求实数m的取值范围．21．已知椭圆左、右焦点分别为F1、F2，点p为直线l：x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D,O为坐标原点；（1）求△ABF2的周长；（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：；（3）问直线l是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0?若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在,说明理由．2016—2017学年上海市建平中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．设复数z=3+4i（i是虚数单位），则•z=25 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：•z=（3+4i）•（3﹣4i）=32+42=25．故答案为：25．2．已知复数为纯虚数（i是虚数单位)，则实数a= 4 ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解:复数==+i为纯虚数，∴=0，≠0，解得a=4．故答案为：4．3．已知点A、B到平面α的距离分别是4、6，则线段AB的中点M 到平面的距离α是5或1 ．【考点】MK:点、线、面间的距离计算．【分析】由于A，B的位置可在同侧与异侧，故需要讨论．考虑两种情况：当A、B两点有平面α的同侧时,当A、B两点有平面α的异侧时,分别利用平面几何的知识求得M到平面α的距离即可．【解答】解：考虑两种情况:当A、B两点有平面α的同侧时，如图,分别过A、B、M作α的垂线，可得直角梯形，则AB中点M到平面α的距离为5；当A、B两点有平面α的异侧时，如图，分别过A、B、M作α的垂线,则，∴,则点M到平面α的距离为1．综上，点M到平面α的距离为5或1．故答案为：5或1．4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于．【考点】LT：直线与平面平行的性质．【分析】根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．【解答】解：∵EF∥平面AB1C，EF⊆平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，∴EF∥AC,又点E为AD的中点，点F在CD上，∴点F是CD的中点，∴EF=．故答案为．5．二面角α﹣l﹣β为60°，异面直线a、b分别垂直于α、β，则a 与b所成角的大小是60°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线a，b分别垂直于两个平面，则两条直线的夹角与二面角相等或互补,由于已知的二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案．【解答】解：根据二面角的定义则线面垂直的性质，∵二面角α﹣l﹣β的平面角为60°，有两条异面直线a，b分别垂直于平面，设异面直线a，b的夹角为θ则θ=60°．故答案为：60°．6．已知A是△BCD所在平面外一点，E、F分别是BC和AD的中点,若BD⊥AC，BD=AC，则EF与BD所成角的大小是45°．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】取CD的中点G，利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG，把此角放在一个三角形中,解此三角形，求出此角的大小．【解答】解：取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD 所成的角．在Rt△EGF中，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°．7．双曲线3y2﹣x2=1的两条渐近线的夹角是．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程计算可得其渐近线方程，由渐近线方程得到渐近线的倾斜角，即可得到结论【解答】解:根据题意，双曲线的方程为:3y2﹣x2=1，其渐近线方程为y=±x，直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为，则直线y=x与y=﹣x的夹角为，故答案为：．8．已知椭圆C:，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN｜= 20 ．【考点】K4:椭圆的简单性质．【分析】由题意作出图象，设线段MN的中点为D，连结DF1，DF2，用椭圆的定义解答即可．【解答】解:如图，设线段MN的中点为D，连结DF1,DF2，则DF1，DF2,分别是△AMN，△BMN的中位线，则|AN｜+｜BN｜=2｜DF1｜+2|DF2|=2（｜DF1｜+|DF2｜）=2×2a=4×5=20．故答案为:209．已知复数z满足|z+2﹣i|=1，则|2z﹣1｜的取值范围是．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】复数z满足｜z+2﹣i｜=1，表示以C（﹣2，1）为圆心,1为半径的圆．可得｜2z﹣1|=2|z﹣｜表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d．即可得出．【解答】解:复数z满足｜z+2﹣i｜=1，表示以C(﹣2，1)为圆心，1为半径的圆．则｜2z﹣1|=2|z﹣｜表示圆上的点到P的距离的2倍．圆心C到点P的距离d==．∴|2z﹣1｜的取值最值分别为：2=±2．∴取值范围是：．故答案为：．10．设实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，下列命题中，假命题的序号是（1）（2）（1）方程可能有两个相等的虚根（2)ax2+bx+c=(x﹣x1）（x﹣x2）（3)（4）若b2﹣4ac＜0,则x1﹣x2一定是纯虚数．【考点】A7:复数代数形式的混合运算．【分析】（1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，即可判断出真假．(2）由ax2+bx+c=a(x﹣x1）（x﹣x2），即可判断出真假．(3)x1+x2=﹣，x1x2=,可得+=（x1+x2）•x1x2，即可得出．(4）由b2﹣4ac＜0,则x1﹣x2一定是纯虚数．即可得出．【解答】解:(1）实系数一元二次ax2+bx+c=0的两根是x1、x2，方程可能有两个共轭虚根，因此是假命题．（2)由于ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2），因此（2)是假命题．（3)∵x1+x2=﹣，x1x2=，∴+=（x1+x2）•x1x2=﹣•=，是真命题．（4）若b2﹣4ac＜0，则x1﹣x2一定是纯虚数．因此是真命题．综上可得：假命题的序号是（1）（2）．故答案为:（1）（2）．11．定长是3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动，M是线段AB的中点，则M到y轴距离的最小值是．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】先设出A，B的坐标，根据抛物线方程可求得其准线方程，进而可表示出M到y轴距离，根据抛物线的定义，以及利用两边之和大于第三边且A,B，F三点共线时取等号判断出﹣≥﹣=﹣=,进而求得其最小值．【解答】解:设A(x1，y1) B(x2，y2），焦点为F（，0）抛物线准线x=﹣所求的距离为S=｜|=﹣=﹣，[两边之和大于第三边且A,B，F三点共线时取等号]∴﹣≥﹣=﹣=，故答案为：．12．斜率是1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点,且AP=2PB,则点P的轨迹方程是148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内）．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设直线l的方程，代入椭圆方程，由x1，x2是方的两个根，分别求得x1，x2,由AP=2PB，求得x′=,代入即可即可求得P 的轨迹方程．【解答】解：设动点为P（x′，y′）,则过y=x+(y′﹣x′），整理得:5x2+2（y′﹣x′)x+(y′﹣x′)2﹣4=0，（※）若直线l椭圆交于A(x1,y1），B(x2,y2）,x1＜x2，则x1，x2是方程（※）的两个根,且x1=,①x2=,②由AP=2PB,x1＜x2，则x′=，代入整理得：4x′+y′=,丨y′﹣x′丨＜，两边同时平方：148x′2+13y′2+64x′y′﹣20=0，∴点P的轨迹方程148x2+13y2+64xy﹣20=0(在椭圆内）．故答案为:148x2+13y2+64xy﹣20=0（在椭圆内)．二。

上海建平中学数学三角形解答题(提升篇)(Word版含解析)

上海建平中学数学三角形解答题（提升篇）（Word 版含解析）一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）1．（1）如图1．在△ABC 中，∠B =60°，∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，则∠O = °，（2）如图2，若∠B =α，其他条件与（1）相同，请用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）如图3，若∠B =α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，则∠P = （用含α的代数式表示）．【答案】（1）∠O =60°；（2）90°－12α；（3）11(1)180P n nα∠=-⨯- 【解析】【分析】（1）由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解；（2）根据题意设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180°，利用角平分线性质和外角定义找等量关系，用含α的代数式表示∠O 的大小；（3）利用（2）的条件可知n=2时，∠P=111-18022α︒⨯-（），再将2替换成n 即可分析求解. 【详解】解：（1）因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ，且∠B=60°，所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=，有∠O=180120οο-=60°.（2）设∠BAC=β，∠ACB=γ，则α+β+γ=180° ∵∠ACE 是△ABC 的外角， ∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β ∵CO 平分∠ACE11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得：1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°，∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-；（3）∵∠B=α，11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠，由（2）可知n=2时，有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-（），将2替换成n 即可， ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-. 【点睛】本题考查用代数式表示角，熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.2．如图, A 为x 轴负半轴上一点, B 为x 轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2). (1)求△BCD 的面积；(2)若AC ⊥BC,作∠CBA 的平分线交CO 于P ,交CA 于Q,判断∠CPQ 与∠CQP 的大小关系, 并证明你的结论.【答案】（1）3；（2）∠CPQ ＝∠CQP ，理由见解析；【解析】【分析】（1）求出CD 的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ ，然后根据等角的余角相等解答；【详解】解：（1）∵点C （0，-2），D （-3，-2）， ∴CD=3，且CD//x 轴∴△BCD 面积=12×3×2=3；（2）∠CPQ ＝∠CQP ， ∵AC ⊥BC ，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ（2）∠CPQ＝∠CQP，∵AC⊥BC，∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90°∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO，∴∠CQP＝∠CPQ【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.3．如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．（1）求证：∠BAG=∠BGA；（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①20°；②160°；（3）13或73【解析】【分析】（1）根据AD//BC可知∠GAD=∠BGA，由AG平分∠BAD可知∠BAG=∠GAD，即可得答案.（2）①根据CF平分∠BCD，∠BCD=90°，可求出∠GCF的度数，由AD//BC可求出∠AEF 和∠DAB的度数，根据三角形外角的性质求出∠AFC的度数即可；②根据三角形外角性质求出即可；（3）根据M点在BP的上面和下面两种情况讨论，分别求出∠PBM和∠ABM 的值即可.【详解】（1）∵AD∥BC，∴∠GAD=∠BGA，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD，∴∠BAG=∠BGA；（2）①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，∴∠GCF=45°，∵AD∥BC，∠ABC=50°，∴∠AEF=∠GCF=45°；∠DAB=180°﹣50°=130°，∵AG平分∠BAD，∴∠BAG=∠GAD=65°，∴∠AFC=65°﹣45°=20°；②如图：∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；（3）有两种情况：①当M在BC的下方时，如图：∵∠ABC=50°，∠ABP=2∠PBG，∴∠ABP=（1003）°，∠PBG=（503）°，∵AG∥CH，∴∠BCH=∠AGB=65°，∵∠BCD=90°，∴∠DCH=∠PBM=90°﹣65°=25°，∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=（1003+25）°=（1753）°，∴∠ABM：∠PBM=（1753）°：25°=73；②当M在BC的上方时，如图：同理得：∠ABM=∠ABP﹣∠PBM=（1003﹣25）°=（253）°，∴∠ABM：∠PBM=（253）°：25°=13；综上，∠ABM：∠PBM的值是13或73．【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，熟练掌握平行线性质是解题关键.4．已知：如图①，BP、CP分别平分△ABC的外角∠CBD、∠BCE，BQ、CQ分别平分∠PBC、∠PCB，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线．（1）当∠BAC=40°时，∠BPC=，∠BQC=；（2）当BM∥CN时，求∠BAC的度数；（3）如图②，当∠BAC=120°时，BM、CN所在直线交于点O，直接写出∠BOC的度数．【答案】(1) 70°，125°；(2)∠BAC=60° (3) 45°【解析】分析：（1）根据三角形的外角性质分别表示出∠DBC与∠BCE，再根据角平分线的性质可求得∠CBP+∠BCP，最后根据三角形内角和定理即可求解；根据角平分线的定义得出∠QBC=12∠PBC ，∠QCB=12∠PCB，求出∠QBC+∠QCB 的度数，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据平行线的性质得到∠MBC+∠NCB=180°，依此求解即可；（3）根据题意得到∠MBC+∠NCB，再根据三角形外角的性质和三角形内角和定理得到∠BOC 的度数.详解：（1）∵∠DBC=∠A+∠ACB ，∠BCE=∠A+∠ABC ， ∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°，∵BP 、CP 分别是△ABC 的外角∠CBD 、∠BCE 的角平分线，∴∠CBP+∠BCP=12（∠DBC+∠BCE ）=110°， ∴∠BPC=180°﹣110°=70°，∵BQ 、CQ 分别是∠PBC 、∠PCB 的角平分线，∴∠QBC=12∠PBC ，∠QCB=12∠PCB ， ∴∠QBC+∠QCB=55°， ∴∠BQC=180°﹣55°=125°；（2）∵BM ∥CN ，∴∠MBC+∠NCB=180°，∵BM 、CN 分别是∠PBD 、∠PCE 的角平分线，∴34（∠DBC+∠BCE ）=180°，即34（180°+∠BAC ）=180°，解得∠BAC=60°；（3）∵∠BAC=120°，∴∠MBC+∠NCB=34（∠DBC+∠BCE ）=34（180°+α）=225°，∴∠BOC=225°﹣180°=45°．点睛：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．5．ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，AE BC ⊥，垂足为E ，作CF//AD ，交直线AE 于点F.设B α∠=，ACB β∠=．()1若B 30∠=，ACB 70∠=，依题意补全图1，并直接写出AFC ∠的度数； ()2如图2，若ACB ∠是钝角，求AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)；()3如图3，若B ACB ∠∠>，直接写出AFC ∠的度数(用含α，β的式子表示)．【答案】（1）补图见解析，AFC 20∠=；（2） ()1AFC 180βα2∠=--；（3） ()1AFC αβ2∠=-．【解析】【分析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC 和∠CAE ，根据角平分线定义求出∠CAD ，即可求出答案；(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC ，根据角平分线定义求出∠BAD ，根据三角形外角性质求出∠ADC ，根据三角形内角和定理求出∠DAE ，根据平行线的性质求出即可； (3)求出∠DAE 度数，根据平行线的性质求出即可．【详解】解：()1如图1，B 30∠=，ACB 70∠=，BAC 180B ACB 80∠∠∠∴=--=，AD 是BAC ∠的平分线，1CAD CAB 402∠∠∴==，AE BC ⊥，AEC 90∠∴=，ACB 70∠=，EAC 180907020∠∴=--=，DAE CAD CAE 402020∠∠∠∴=-=-=，CF//AD ，AFC DAE 20∠∠∴==；()2如图2，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=， ()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+． ()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11BAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+，()()11ADE B BAD α90αβ90βα22∠∠∠∴=+=+-+=--，AE BC ⊥，DAE ADE 90∠∠∴+=，()1DAE 90ADE βα2∠∠∴=-=-， CF//AD ，DAE AFC 180∠∠∴+=，()1AFC 180βα2∠∴=--； ()3如图3，ABC 中，BAC B ACB 180∠∠∠++=， ()BAC 180B ACB ∠∠∠∴=-+， ()180αβ=-+，AD 是BAC ∠的平分线，()11CAD BAC 90αβ22∠∠∴==-+，AE BC ⊥，AEC 90∠∴=， ACB β∠=，EAC 18090β90β∠∴=--=-，()()()11DAE CAE CAD 90β90αβαβ22∠∠∠⎡⎤∴=-=----=-⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键.6．我校快乐走班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在两射线上．活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒．数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答：．（填“能“或“不能”）（2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1．则θ= 度；活动二：如图乙所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1．数学思考：（3）若只能摆放5根小棒，求θ的范围．【答案】（1）能．(2)θ=22.5；(3) 15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）根据已知条件：小棒两端能分别落在两射线上进行判断即可；（2）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质即得结果；（3）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得关于θ的不等式组，解不等式组即得结果.【详解】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°)小棒两端能分别落在两射线上，∴小棒能继续摆下去；(2)∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，∴∠A2A1A3=45°，∴∠AA2A1+∠θ=45°，∵∠AA2A1=∠θ，∴∠θ=22.5°；(3)如图乙，∵A2A1=A2A3，∴∠A2A3A1=∠A2A1A3=2θ°，∵A2A3=A4A3，∴∠A3A2A4=∠A3A2A4=3θ°，∵A4A3=A4A5，∴∠A4A3A5=∠A4A5A3=4θ°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可得6θ⩾90°，5θ<90°，∴15°⩽θ<18°.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，根据题意找出规律并结合等腰三角形的性质是解题的关键.7．已知△ABC，（1）如图1，若D点是△ABC内任一点、求证：∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）若D点是△ABC外一点，位置如图2所示．猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD有怎样的关系？请直接写出所满足的关系式．（不需要证明）（3）若D点是△ABC外一点，位置如图3所示、猜想∠D、∠A、∠ABD、∠ACD之间有怎样的关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°；（3）∠D+∠ACD=∠A+∠ABD，证明见解析.【解析】试题分析：（1）由∠BDC=∠2+∠CED，∠CED=∠A+∠1，可以得出∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）由∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+DCB=180°，可以得出∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）根据三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可知∠AED=∠1+∠A，∠AED=∠D+∠2，所以可知∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．试题解析：（1）证明：延长BD 交AC 于点E ．∵∠BDC 是△CDE 的外角，∴∠BDC=∠2+∠CED，∵∠CED 是△ABE 的外角，∴∠CED=∠A+∠1．∴∠BDC=∠A+∠1+∠2．即∠D=∠A+∠ABD+∠ACD．（2）∵∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=∠A+∠ABC+∠ACB+∠D+∠DBC+DCB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°．（3）证明：令BD 、AC 交于点E ，∵∠AED 是△ABE 的外角，∴∠AED=∠1+∠A，∵∠AED 是△CDE 的外角，∴∠AED=∠D+∠2．∴∠A+∠1=∠D+∠2即∠D+∠ACD=∠A+∠ABD．点睛：本题主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的外角性质定理即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．8．已知，在ABC 中，∠A =60°，（1）如图①，∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，则∠BOC= ；（2）如图②，∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，则2_________BO C ∠=；（3）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -（内部有1n -个点），则1-∠=n BO C ；（4）如图③，∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -，若190-∠=︒n BO C ，求n 的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n ；（4）n=4 【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC ＋∠OCB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据三等分线的定义即可求出∠O 2BC ＋∠O 2CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC ＋∠ABC ，然后根据n 等分线的定义即可求出∠O n －1BC ＋∠O n －1CB ，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；（4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论．【详解】解：（1）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，∴∠OBC=12∠ABC ，∠OCB=12∠ACB ∴∠OBC ＋∠OCB=12∠ABC ＋12∠ACB =12（∠ABC ＋∠ACB ） =60°∴∠BOC=180°－（∠OBC ＋∠OCB ）=120°故答案为：120°．（2）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别对应交于点O 1，O 2，∴∠O 2BC=23∠ABC ，∠O 2CB=23∠ACB ∴∠O 2BC ＋∠O 2CB=23∠ABC ＋23∠ACB=23（∠ABC ＋∠ACB ） =80° ∴2∠=BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=100°故答案为：100°．（3）∵在ABC 中，∠A =60°，∴∠ABC ＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC 和∠ACB 的n 等分线分别对应交于点O 1，O 2，……，1n O -∴∠O n －1BC=1n n -∠ABC ，∠O n －1CB=1n n-∠ACB ∴∠O n －1BC ＋∠O n －1CB=1n n -∠ABC ＋1n n -∠ACB =1n n-（∠ABC ＋∠ACB ） =120120-⎛⎫ ⎪⎝⎭n n ° ∴1-∠=n BO C 180°－（∠O 2BC ＋∠O 2CB ）=60120+⎛⎫︒⎪⎝⎭n n 故答案为：60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n （4）由（3）知：1-∠=n BO C 60120+⎛⎫︒ ⎪⎝⎭n n ∴6012090+=n n解得：n=4 经检验：n=4是原方程的解．【点睛】本题考查了n 等分线的定义和三角形的内角和定理，掌握n 等分线的定义和三角形的内角和定理是解决此题的关键．9．已知:△ABC 中 ∠A=64°，角平分线BP 、CP 相交于点P ．1若BP 、CP 是两内角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值) 求证:01902BPC A ∠=+∠. 2若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=_____(直接填数值)3若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=_______(直接填数值)4 由①②③的数值计算可知：∠BPC 与∠A 有着密切的数量关系，请就第②③写出你的发现【答案】（1）122°；（2）58°；（3）32°．(4).若BP 、CP 是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A ；若BP 、CP 是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A ．【解析】【分析】①根据三角形角平分线的性质可得，∠BPC +∠PCB =90°-12∠A ，根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°+12∠A ； ②根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP =12（∠A +∠ABC ）、∠PBC =12（∠A +∠ACB ）；根据三角形内角和定理可得∠BPC =90°-12∠A ； ③根据BP 为∠ABC 的角平分线，CP 为△ABC 外角∠ACE 的平分线，可知，∠A =180°-∠1-∠3，∠P =180°-∠4=∠5=180°-∠3-12（∠A +2∠1），两式联立可得2∠P =∠A ． ④根据前面的情况直接写出∠BPC 与∠A 的数量关系，【详解】解：（1）证明：∵在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，∠A 为x ° ∴∠PBC +∠PCB =12（180°-∠A ）=12×（180°-x °）=90°-12∠A故∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（90°-12∠A）=90°+12∠A；则∠BPC=122°；（2）理由如下：∵BP、CP为△ABC两外角∠ABC、∠ACB的平分线，∠A为x°∴∠BCP=12（∠A+∠ABC）、∠PBC=12（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，=180°-12[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，=180°-12（∠A+180°），=90°-12∠A；则∠BPC=58°；（3）如图：∵BP为∠ABC的内角平分线，CP为△ABC外角∠ACE的平分线，两角平分线交于点P，∴∠1=∠2，∠5=12（∠A+2∠1），∠3=∠4，在△ABE中，∠A=180°-∠1-∠3∴∠1+∠3=180°-∠A----①在△CPE中，∠P=180°-∠4-∠5=180°-∠3-12（∠A+2∠1），即2∠P=360°-2∠3-∠A-2∠1=360°-2（∠1+∠3）-∠A----②，把①代入②得2∠P=∠A．则∠BPC=32°；（4）若BP、CP是两外角的平分线，则∠BPC=90°-12∠A；若BP、CP是一内角的平分线，一外角的平分线，则∠BPC=12∠A．故填为：（1）122°；（2）58°；（3）32°．【点睛】此类题目考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学阶段的常规题．10．已知：如图，等边三角形ABD与等边三角形ACE具有公共顶点A，连接CD，BE，交于点P.（1）观察度量，BPC∠的度数为＿＿＿＿.（直接写出结果）（2）若绕点A将△ACE旋转，使得180BAC∠=︒，请你画出变化后的图形.（示意图）（3）在（2）的条件下，求出BPC∠的度数.【答案】（1）120°;（2）作图见解析；（3）∠BPC =120°．【解析】分析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：由△ABD与△ACE都是等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形DAC与三角形BAE全等，由全等三角形的对应角相等得到∠ADC=∠ABE，利用外角性质，等量代换即可得到所求；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）解法同（1），求出∠BPC的度数即可．本题解析：（1）∠BPC的度数为120°，理由为：证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAEAC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ADC+∠CDB=60°，∴∠ABE+∠CDB=60°，∴∠BPC=∠DBP+∠PDB=∠ABE+∠CDB+∠ABC=120°；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴∠ADB=∠BAD=∠ABD=∠CAE=60°，AD=AB，AC=AE，∴∠DAB+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠DAC=∠BAE，在△DAC与△BAE中，{AD ABDAC BAC AC AE=∠=∠=，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ADC=∠ABE，∵∠ABE+∠DBP=60°，∴∠ADC+∠DBP=60°，∴∠BPC=∠BDP+∠PBD=∠ADC+∠DBP+∠ADB=120°．点睛：本题考查了等边三角形的性质，外角性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键.。

XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案

XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案1.XXX2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知$a=\frac{5+35-3}{5-35+3}$，$b=$，则二次根式$a^3b+ab^3+19$的值是（）A、6.B、7.C、8.D、92.有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）begin{cases}4x\geq3(x+1)\\2x-<a\end{cases}$A、$\frac{3}{452}$B、$\frac{1}{993}$C、$\frac{1}{452}$ D、$\frac{1}{165}$3.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.若实数$a\neq b$，且a、b满足$a^2-8a+5=0$，$b^2-8b+5=.$则A、-20.B、2.C、2或20.D、2或205.对于每个非零自然数n，抛物线$y=x-\frac{b-1}{a-1}$的值为$\frac{2n+1}{n(n+1)}$，其中$x+$与x轴交于A$_n$、B$_n$以及A$_{2017}$、B$_{2017}$的值是（）表示这两点间的距离，则A、$\frac{2017}{2016}+\frac{2018}{2017}$B、$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$ C、$\frac{2016}{2017}+\frac{2017}{2016}$ D、$\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2016}$6.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边，则下列式子一定正确的是（）A、$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac$B、$\frac{a+bc}{a+b+1c+1}c$ D、$a^3+b^3>c^3$7.如图，从$\triangle ABC$各顶点作平行线$AD\parallel EB\parallel FC$，各与其对边或其延长线相交于D，E，F.若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle DEF$的面积为（）A、3.B、3C、D、28.半径为2.5的圆$\odot O$中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知$A、$\frac{169}{25}$B、$\frac{32}{43}$C、$\frac{3}{4}$ D、$\frac{5}{6}$二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解，则$a$的值为_________满足$a<1$，则方程$\frac{x-a}{x+1}=a$的解为$x=\frac{a}{1-a}$，当$a\geq1$时，分母$x+1$始终大于分子$x-a$，方程无解。

自主招生数学真题200道解析

0

(x )2n1(1 sin2n x)dx (x )2n1(1 sin2n x)dx 0
0
0
007（2016 年北京大学自主招生）
已知 x y z 2016, 1 1 1 1 ，则 (x 2016)( y 2016)(z 2016) ______ x y z 2016
A.-1
B.0
C.1
D.前三个答案都不对
（2016 年北大博雅 15）设 x3 3x2 y3 3y2 z3 3z2 m ，则 x, y, z 是关于 t3 3t2 m 的三个实数根，
其中 m 为常数，由韦达定理可以， x y z 3。
010（2016 年北京大学博雅计划）
2017 自主招生必刷真题 200 道——数学解析
已知 a b c 1，则 4a 1 4b 1 4c 1 的最大值与最小值乘积属于区间（）. A.[10,11) B.[11,12) C.[12,13) D.前三个答案都不对
自主招生数学真题 2 0 0 道
分类汇编
1/110
目录
（一）代数式变形 ............................................................................................................................................. 3 （二）复数、平面向量 ................................................................................................................................... 18 （三）函数与方程 ........................................................................................................................................... 24 （四）三角函数 ............................................................................................................................................... 44 （五）概率 ....................................................................................................................................................... 54 （六）平面几何与立体几何 ........................................................................................................................... 59 （七）解析几何 ............................................................................................................................................... 74 （八）数列 ....................................................................................................................................................... 84 （九）数论 ....................................................................................................................................................... 95 （十）排列、组合与二项式定理 ................................................................................................................. 100

建平中学自招面试考题

建平中学自招面试考题
（原创版）
目录
1.建平中学自招面试考题简介
2.面试考题的具体内容
3.面试考题的出题意图和考察重点
4.建平中学自招面试考题的启示
正文
建平中学自招面试考题是建平中学自主招生过程中的一个重要环节，通过面试考题来考察学生的综合素质和能力，以此来选拔优秀的学生。

面试考题内容丰富，涵盖了学科知识、时事政治、社会热点等多个方面，旨在全面了解学生的知识储备、思维方式和应变能力。

面试考题的具体内容涵盖了多个方面。

例如，面试考题可能会涉及到一些学科知识的考察，如数学、物理、化学等。

此外，面试考题也可能会涉及到时事政治和社会热点的讨论，以此来考察学生的社会关怀和思考能力。

在回答这些问题时，学生需要运用自己的知识和思维，展现出自己的综合素质和能力。

面试考题的出题意图和考察重点在于了解学生的综合素质和能力。

通过面试考题，建平中学希望能够选拔出那些不仅在学科知识上表现出色，同时在思维方式、应变能力等方面也具备优秀素质的学生。

因此，在回答面试考题时，学生需要展现出自己的综合素质和能力，以此来赢得面试官的青睐。

建平中学自招面试考题给我们带来的启示是，学生在准备自招面试时，除了掌握学科知识外，还需要关注时事政治和社会热点，培养自己的社会关怀和思考能力。

同时，学生还需要锻炼自己的思维方式和应变能力，以此来应对面试中的各种问题。

2017建平中学自招数学答案

1 尹充
2. 如果 x 1 x4 1成立，那么满足它的所有整数 x 的值是_________________
【考点梳理】幂的运算、方程。【课本链接】七年级上第九章--整式，有三个小节涉及幂的运算，分别是幂的乘方和同底数幂的乘除法。尤其 9.17 同底数幂的除法里规定“任何不为 0 的数的 0 次幂为 1”，此类题目应在此小节进行拓展。不少质量较高且适合较好程度的教辅书里看到过此类问题，一流初中学到此处时周测卷通常也会有此类考题。
4 尹充
5. 建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、健美操社……，在一次
社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0
分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066.经核
（答案：8）
x2 8x15
（2015 复附） x 3 x2 1 的解有___________个。
（答案：2）
1
1
（2014
复附）方程
x

x

1 x
2

1
1 x

2
的解为________.（答案： 1 2
5）
（2016 七宝）方程： 3x 4x 5x 6x 的解有__________ 个（答案：1）
y 99
y
yy
99 99 99
【自招真题类比】（2016 复旦附中）已知实数 m，n（其中 m·n≠1）分别满足192＋99m＋1 0，n 2＋99n＋19 0，
则 mn＋4m＋1 __________ . （答案： 5 ） n

建平中学历年自招考试真题答案

建平中学历年自招考试真题答案1.诗词是民族灿烂文化中的瑰宝。

下列著名诗句中隐含有化学变化的是（）①千里冰封，万里雪飘②白玉为床，金作马③野火烧不尽，春风吹又生④粉身碎骨浑不怕，要留清白在人间⑤夜来风雨声，花落知多少⑥春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干 [单选题] *①③⑤②④⑥①③④⑤③④⑥(正确答案)2.下列变化中，前者是化学变化，后者是物理变化的是（） [单选题] *石蜡融化，水结成冰用石油生产合成纤维，块状胆矾研碎成粉末石灰水中通入二氧化碳气体后变混浊，铁在高温下变成铁水(正确答案)电灯发光，煤燃烧3.古诗词是古人留给我们的宝贵精神财富。

下列诗词中不涉及化学变化的是（）[单选题] *好雨知时节，当春乃发生(正确答案)爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏千锤万凿出深山，烈火焚烧若等闲春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干4.苏州“碧螺春”、“剑门”等绿茶享誉海内外。

绿茶中的单宁酸具有清热解毒、抗癌等功效，其化学式为C76H52O46下列关于单宁酸的说法不正确的是 [单选题] *由C、H、O三种元素组成一个分子中含76个碳原子分子中碳、氢、氧原子个数比为38：26：23一个分子中含23个氧分子(正确答案)5.化学上把“生成新物质的变化叫做化学变化”，下面对化学变化中“新物质”的解释，正确的是（） [单选题] *“新物质”是自然界中不存在的物质“新物质”与变化前的物质的颜色、状态一定不同“新物质”与变化前的物质的元素组成一定不同“新物质”与变化前的物质在组成或结构上不同(正确答案)6.读量筒中液体体积时，某同学俯视读数为20 mL，则实际为（） [单选题] *大于20 ml小于20 ml(正确答案)20 ml无法判断7.下列微粒中能保持氢气的化学性质的是( ) [单选题] *HH2(正确答案)H+2H8.某固态物质受热后变为气态的该物质，这种变化属于（） [单选题] *物理变化(正确答案)可能是物理变化，也可能是化学变化化学变化既不是物理变化，也不是化学变化9.下列各组物质中,前者属于纯净物, 后者属于混合物的是( ) [单选题] *冰水混合物,五氧化二磷矿泉水, 河水二氧化碳, 澄清石灰水(正确答案)净化后的空气, 受污染的空气10.反质子、反电子都属于反粒子，他们与正粒子的质量相等，但电性相反。

23.上海市建平中学自招数学试卷(含答案解析及评分标准).doc

2016年建平中学自招数学试卷一. 填空题1. 已知同一直线的两个力平衡，现在把方向向东大小为6N 的力的方向改为向南，那么这两个力的合力方向为：大小为：2. 如图所示，则这3个力的合力大小为：3. 的算术平方根式是4. 已知方程20x ax b ++=的根为m 、n （m n <），方程22x ax b ++=的根为p 、q （p q <），则m 、n 、p 、q 的大小关系是5. 如图，点O 是菱形ABCD 对角线AC 上的一点，以OA 为半径的⊙O 与BC 相切，已知OC =O 面积是6. 函数y =的定义域是7. 已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，AB CD =，34DBC ∠=︒，30BCO ∠=︒，则A ∠=8. 如图，已知等边△ABC 边长为8，点D 为AC 上的一点，2AD =，DE 始终平行于BC ，MN 为△ADE 的中位线，现将点D 向右移动，移动到点C 处停止，则在上述过程中，MN 扫过的面积是二. 解答题9. 已知(0,6)A ，(8,0)B ，点O 为AB 上的一点，以点O 为圆心，AO 为半径作圆，交AB 于点P ，AP a ，过点P 作x 轴的垂线段，垂足为点M .（1）求AB 的长；（2）如果⊙O 与x 轴相切，求a 的值；（3）点D 为x 轴上的一点，如果△AOD 与△DMP 相似，请直接写出点D 的个数及在该个数的情况下a 的取值范围.10. 一名老师带领7名学生去参加数学竞赛，他们决定租车前往，每辆车可以乘坐4个人，于是他们决定分成A 、B 两组前往，当两辆车行驶到离考场15km 处时，A 组乘坐的车出现故障无法行驶，唯一能使用的交通工具只有B 组乘坐的车，已知人行走的速度为5/km h ，车速为60/km h ，从故障发生起42分钟后不得进入考场.（1）师生们决定让车先送B 组考场，A 组在原在等候，等车辆返回后再送A 组去考场，请通过计算说明：A 组能否进入考场？（2）为了节省时间，队伍中的小红同学建议先让车送B 组去考场，A 组向前行走，等车辆返回时沿路遇上A 组后再送他们去考场，绘制出的函数图像如图所示（时间和路程均从出故障后算起）：①求直线OA 的函数解析式；②求a 的值；（3）老师进一步改进了方案：先让车送B 组去考场，A 组向前行走，车辆行驶到离考场还有一段距离时方B 组同学下车，然后返回，沿路遇上A 后送他们去考场，已知在这个方案下A 、B 两组同学同时到达考场，绘制函数图像如图所示，请直接写出点P 坐标.11. 如图，已知抛物线22y x bx c =++经过点(3,0)A 和(1,0)B ，交y 轴与点C ，点P 从点C 出发沿抛物线运动，到点A 时停止运动，过点P 作PD ∥y 轴交AC 于点D .（1）求抛物线解析式；（2）求PD 的最大值；（3）如果△APD 为直角三角形，求点P 坐标.12.（英语题，翻译出来大致如下）高斯用下述方法求出了12399100S =+++⋅⋅⋅++的值： 12399100S =+++⋅⋅⋅++100999821S =+++⋅⋅⋅++2(1100)(299)(398)(1001)101101101S =++++++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+10110050502S ⨯== 现有：(+)(2)()n n n S a a d a d t d t =++++⋅⋅⋅+-+，请用同样的方法用含a 、d 的代数式表示n t 和n S .参考答案一. 填空题1. 西南方向，2.3. 4. p m n q <<< 5. 12π6. 3x ≤且2x ≠-7. 94BAD ∠=︒8.4二. 解答题9.（1）10AB =；（2）152a =；（3）6011a =，有一个D 点；05a <<且6011a ≠时， D 不存在.10.（1）151515342min 604h ++=>，所以不能进入考场；（2）112y x =，3552a =；（3）37(,15)60. 11.（1）2286y x x =-+；（2）92；（3）(1,0). 12.（1）(1)n t a n d =+-；（2）(1)2n n n S na d -=+.。

上海建平中学数学几何图形初步(提升篇)(Word版含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）1．已知BM、CN分别是△的两个外角的角平分线，、分别是和的角平分线，如图①；、分别是和的三等分线（即，），如图②；依此画图，、分别是和的n等分线（即，），，且为整数．图①图②（1）若，求的度数；（2）设，请用和n的代数式表示的大小，并写出表示的过程；（3）当时，请直接写出 + 与的数量关系．【答案】（1）解：，∵、分别是和的角平分线，∴∴（2）解：在△中， + ，，（3）解：【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，根据角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）先根据三角形内角和定理求出 + ，根据n等分线求出，再根据三角形内角和定理得出，代入求出即可.（3）本题以三角形为载体，主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质、角平分线的性质、三角形的内角和是的性质，熟记性质然灵活运用有关性质来分析、推理、解答是解题的关键.2．如图，点C在∠AOB的边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C.（1）若∠O＝40°，求∠ECF的度数；（2）试说明CG平分∠OCD；（3）当∠O为多少度时，CD平分∠OCF？并说明理由．【答案】（1）解：∵DE//OB ，∴∠O=∠ACE，（两直线平行，同位角相等）∵∠O =40°，∴∠ACE =40°，∵∠ACD+∠ACE= (平角定义)∴∠ACD=又∵CF平分∠ACD ，∴ (角平分线定义)∴∠ECF=（2）证明：∵CG⊥CF，∴ .∴又∵）∴∵∴ (等角的余角相等）即CG平分∠OCD（3）解：结论：当∠O=60°时，CD平分∠OCF ．当∠O=60°时∵DE//OB，∴∠DCO=∠O=60°.∴∠ACD=120°.又∵CF平分∠ACD∴∠DCF=60°，∴即CD平分∠OCF【解析】【分析】（1）根据平行线“两直线平行，同位角相等”，求得∠ACE＝40°，根据平角的定义以及CF平分∠ACD ，可得到∠ACF＝70°，然后求出∠ECF的度数；（2）根据∠DCG＋∠DCF＝90°，∠GCO＋∠FCA＝90°，以及∠ACF＝∠DCF，可得到∠GCO ＝∠GCD，即可证明CG平分∠OCD；（3）根据两直线平行，内错角相等得出∠DCO＝∠O＝60°，根据角平分线可得到∠DCF＝60°，以此可得∠DCO＝∠DCF，即CD平分∠OCF．3．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB 上，此时三角板旋转的角度为________度；（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；（3）在上述直角三角板从图1逆时针旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．【答案】（1）90（2）解：如图3，∠AOM﹣∠NOC=30°．设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得∠BOC=2α．∵∠AOC+∠BOC=180°，∴α+2α=180°．解得α=60°．即∠AOC=60°．∴∠AON+∠NOC=60°．①∵∠MON=90°，∴∠AOM+∠AON=90°．②由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时，由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．因此三角板绕点O逆时针旋转60°．此时三角板的运动时间为：t=60°÷15°=4（秒）．（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时，由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．因此三角板绕点O逆时针旋转240°．此时三角板的运动时间为：t=240°÷15°=16（秒）．【解析】【解答】解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．故答案是：90；【分析】（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240°．4．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，∁…．例如：当α=30°时，OA1， OA2， OA3， OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON 上，∠A3OA4=120°；当α=20°时，OA1， OA2， OA3， OA4， OA3的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好与OA2重合．解决如下问题：（1）若α=35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是________；（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3， OA4并求出α的值；（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，则对应的α值是________（4）（选做题）当OA i所在的射线是∠A i OA k（i，j，k是正整数，且OA j与OA k不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α=180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．【答案】（1）45°（2）解：如图所示．∵α＜30°，∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．∵OA4平分∠A2OA3，∴2（180°﹣6α）+ =4α，解得：（3），，（4）解：对于角α=120°不能停止．理由如下：无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会停止．但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1=120°，第二次旋转240°时，与OM 重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线这种情况，旋转不会停止【解析】【解答】解：（1）解：如图所示．aφ=45°，【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OA i是∠A i OA K是的角平分线，但当a=120度时，只有两条射线，不会出现OA i是∠A i OA K是的角平分线，所以旋转会中止．5．如图1，已知线段AB=16cm，点C为线段AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC 的中点．（1）若点C恰为AB的中点，求DE的长；（2）若AC=6cm，求DE的长；（3）试说明不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图2，已知∠AOB=130°，过角的内部任一点C画射线OC，若OD、OE 分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=65°与射线OC的位置无关．【答案】（1）解：∵点C恰为AB的中点，∴AC=BC= AB=8cm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC=4cm，CE= BC=4cm，∴DE=8cm（2）解：∵AB=16cm，AC=6cm，∴BC=10cm，由（1）得，DC= AC=3cm，CE= CB=5cm，∴DE=8cm（3）解：∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴DC= AC，CE= BC，∴DE= （AC+BC）= AB，∴不论AC取何值（不超过16cm），DE的长不变（4）解：∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，∴∠DOC= ∠AOC，∠EOC= ∠BOC，∴∠DOE=∠DOC+∠EOC= （∠AOC+∠BOC）= ∠AOB=65°，∴∠DOE=65°与射线OC的位置无关【解析】【分析】（1）由点C恰为AB的中点，得到AC=BC的值，再由点D、E分别是AC和BC的中点，求出DE的值；（2）由（1）得，DC= AC的值，CE= CB的值，得到DE的值；（3）由点D、E分别是AC和BC的中点，得到不论AC取何值（不超过16cm），DE 的长不变；（4）由OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，根据角平分线定义，得到∠DOE=∠DOC+∠EOC=（∠AOC+∠BOC）=∠AOB，得到∠DOE=65°与射线OC的位置无关. 6．如图（1）如图1，AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°。

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三(上)期中数学试卷

2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x≥1}，则M∩（∁R N）=．2．（3分）函数y=+log3（1+x）的定义域为．3．（3分）不等式的解集是．4．（3分）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为．5．（3分）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为．6．（3分）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f（﹣1）=1，则f（2017）=．7．（3分）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．8．（3分）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．9．（3分）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．10．（3分）已知直线x=，x=都是函数y=f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．11．（3分）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为．12．（3分）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．13．（3分）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）14．（3分）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=．二.选择题15．（3分）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要16．（3分）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定17．（3分）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数18．（3分）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．三.解答题19．（8分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．20．（8分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．21．（10分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（10分）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．23．（10分）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．2016-2017学年上海市浦东新区建平中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2012•赣榆县校级模拟）已知R为实数集，M={x|x2﹣2x＜0}，N={x|x ≥1}，则M∩（∁R N）=（0，1）．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11 ：计算题．【分析】先由不等式得集合M，接着是求N的补集的问题，最后结合交集定义即可求出结论．【解答】解：∵x2﹣2x＜0⇒0＜x＜2；∴M={x|x2﹣2x＜0}={x|0＜x＜2}；N={x|x≥1}⇒C R N={x|x＜1}．所以：M∩（C R N）=（0，1）故答案为：（0，1）．【点评】本题属于以不等式为依托，求集合的交集补集的基础题，也是高考常会考的题型．2．（3分）（2011•蓝山县校级模拟）函数y=+log3（1+x）的定义域为（﹣1，2] ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11 ：计算题．【分析】根据“让解析式有意义”的原则来确定函数的定义域，偶次根式下大于等于0，对数的真数大于0，建立关系式，解之即可．【解答】解：，解得：x∈（﹣1，2]故答案为：（﹣1，2]【点评】本题主要考查了函数的定义域及其求解方法，解题的原则是让解析式有意义，同时考查不等式组的求解，属于基础题．3．（3分）（2012•赣榆县校级模拟）不等式的解集是[1，3﹚．【考点】75：一元二次不等式的应用．【专题】11 ：计算题．【分析】先写出分式不等式的等价情况，然后按照分式不等式的解法，直接求解即可．【解答】解：不等式等价于解得x∈[1，3）故答案为：[1，3﹚【点评】本题考查分式表达式的解法，注意等价转化思想的应用，考查计算能力，属于基础题．4．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知θ是第三象限角，若sinθ=﹣，则tan的值为﹣3．【考点】GW：半角的三角函数．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；56 ：三角函数的求值．【分析】利用θ是第三象限角和同角三角函数关系求得cosθ=﹣，然后由正切的半角三角函数解答．【解答】解：∵θ是第三象限角，若sinθ=﹣，∴cosθ=﹣，∴tan===﹣3．故答案是：﹣3．【点评】本题主要考查半角的正切公式的应用，比较基础．5．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知log a b=﹣1，则a+4b的最小值为4．【考点】7F：基本不等式．【专题】11 ：计算题；51 ：函数的性质及应用；59 ：不等式的解法及应用．【分析】利用对数的运算法则，求出ab关系，然后利用基本不等式求解最小值即可．【解答】解：log a b=﹣1，可得ab=1．a，b＞0．a+4b≥2=4．当且仅当a=4b=2时取等号．表达式的最小值为：4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的应用，对数运算法则的应用，考查计算能力．6．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）函数y=f（x）是奇函数且周期为3，f （﹣1）=1，则f（2017）=﹣1．【考点】3Q：函数的周期性；3L：函数奇偶性的性质．【专题】33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．【分析】y=f（x）是奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），求得f（1）=﹣1，根据函数的周期为3，f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=﹣1．【解答】解：y=f（x）是奇函数，即f（﹣x）=﹣f（x），∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣1，由y=f（x）周期为3，f（2017）=f（672×3+1）=f（1）=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的性质，考查函数的周期性和函数的奇偶性的应用，属于基础题．7．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）函数cos（﹣x）=，那么sin2x=．【考点】GS：二倍角的正弦．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；56 ：三角函数的求值．【分析】利用特殊角的三角函数值，两角差的余弦函数公式化简可得sinx+cosx=，两边平方利用二倍角的正弦函数公式即可得解sin2x的值．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx+sinx=，∴可得：sinx+cosx=，∴两边平方可得：1+sin2x=，解得：sin2x=．故答案为：．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，两角差的余弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）函数f（x）=log2（2﹣）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（x＜1）．【考点】4R：反函数．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用．【分析】由y=log2（2﹣）（x＞0），解得x=（y＜1），把x与y互换即可得出．【解答】解：由y=log2（2﹣）（x＞0），解得x=（y＜1），把x与y互换可得：y=（x＜1）．∴原函数的反函数为：（x＜1）．故答案为：（x＜1）．【点评】本题考查了反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）若2arcsin（5x﹣2）=，则x=．【考点】HV：反三角函数的运用．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4G ：演绎法；56 ：三角函数的求值．【分析】由题意，利用反正弦函数的计算法则，求出5x的值，即可求出x的值【解答】解：因为2arcsin（5x﹣2）=，所以sin[arcsin（5x﹣2）]=，即5x ﹣2=，所以x=．故答案为．【点评】本题考查反三角函数的应用，反三角函数的运算法则，考查计算能力，是基础题．10．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知直线x=，x=都是函数y=f （x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，}上单调递减，则φ=．【考点】H2：正弦函数的图象．【专题】11 ：计算题；57 ：三角函数的图像与性质．【分析】由题意求出函数的周期，利用周期公式求出ω，结合﹣π＜ϕ≤π，利用对称轴求出ϕ的值，即可得到选项．【解答】解：直线x=，x=都是函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，﹣π＜ϕ≤π）的对称轴，且函数f（x）在区间[，]上单调递减，所以T=2×（﹣）=；所以ω==6，并且1=sin（6×+ϕ），﹣π＜ϕ≤π，所以，ϕ=；故答案为：．【点评】本题考查三角函数的图象的应用，函数的基本性质，考查计算能力，推理能力，属于基本知识的考查．11．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知函数f（x）=x++3，x∈N*，在x=5时取到最小值，则实数a的所有取值的集合为[20，30] ．【考点】3Y：对勾函数．【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x取离最近的正整数使f（x）达到最小，得到，f（5）≤f（6），f（4）≥f（5），解得即可．【解答】解：∵f（x）=x++3，x∈N*，∴f′（x）=1﹣=，当a≤0时，f′（x）≥0，函数f（x）为增函数，最小值为f（x）min=f（1）=4+a，不满足题意，当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，即f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞时，即f′（x）＞0，函数单调递增，∴当x=时取最小值，∵x∈N*，∴x取离最近的正整数使f（x）达到最小，∵x=5时取到最小值，∴5＜＜6，或4＜≤5∴f（5）≤f（6）且f（4）≥f（5），∴4++3≥5++3且5++3≤6++3解得20≤a≤30故答案为：[20，30]【点评】本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题12．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．【考点】H7：余弦函数的图象．【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；44 ：数形结合法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】求出周期，画出f（x）的图象，讨论（1）当4n﹣1≤t≤4n，（2）当4n ＜t＜4n+1，（3）当4n+1≤t≤4n+2，（4）当4n+2＜t＜4n+3，分别求出最大值和最小值，再求h（t）的值域，最后求并集即可得到．【解答】解：解：函数f（x）=cos x的周期为T==4，（1）当4n﹣1≤t≤4n，n∈Z，区间[t，t+1]为增区间，则有m（t）=cos，M（t）=cos=sin，（2）当4n＜t＜4n+1，n∈Z，①若4n＜t≤4n+，则M（t）=1，m（t）=sin，②若4n+＜t＜4n+1，则M（t）=1，m（t）=sin，（3）当4n+1≤t≤4n+2，则区间[t，t+1]为减区间，则有M（t）=cos，m（t）=sin；（4）当4n+2＜t＜4n+3，则m（t）=﹣1，①当4n+2＜t≤4n+时，M（t）=cos，②当4n+＜t＜4n+3时，M（t）=sin；则有h（t）=M（t）﹣m（t）=当4n﹣1≤t≤4n，h（t）的值域为[1，]，当4n＜t≤4n+，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+1，h（t）的值域为（1﹣，1），当4n+1≤t≤4n+2，h（t）的值域为[1，]，当4n+2＜t≤4n+时，h（t）的值域为[1﹣，1），当4n+＜t＜4n+3时，h（t）的值域为[1﹣，1）．综上，h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为．故答案是：．【点评】本题考查三角函数的性质和运用，考查函数的周期性和单调性及运用，考查运算能力，有一定的难度．13．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知函数y=f（x），y=g（x）的值域均为R，有以下命题：①若对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立，则f（x）=x．②若对于任意x∈R都有f[f（x）]=x成立，则f（x）=x．③若存在唯一的实数a，使得f[g（a）]=a成立，且对于任意x∈R都有g[f（x）]=x2﹣x+1成立，则存在唯一实数x0，使得g（ax0）=1，f（x0）=a．④若存在实数x0，y0，f[g（x0）]=x0，且g（x0）=g（y0），则x0=y0．其中是真命题的序号是①③④．（写出所有满足条件的命题序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】2 ：创新题型；2A ：探究型；51 ：函数的性质及应用；5L ：简易逻辑．【分析】令t=f（x），利用换元法，可得①为真命题；当f（x）=﹣x时，f[f（x）]=﹣f（x）=x任意x∈R都成立，可得②为假命题；③利用反证法证明，假设存在实数x0，利用题设来证明命题成立；显而易见，④为真命题；【解答】解：①令t=f（x），则对于任意x∈R都有f[f（x）]=f（x）成立可化为：f（t）=t，即f（x）=x，故①为真命题；②令，显然能满足题设条件，当x≠0，有f（x）=，不满足结论；故②为假命题；③假设存在实数x0，∵f（x0）=a，f（g（a））=a；∴g（a）=x0；g（f（x0））=﹣x0+1；=[g（a）]2﹣g（a）+1；而f（g（a））=a，∴命题成立；故③正确；④∵，g（x0）=g（y0）；∴x0=y0；故④正确；故答案为：①③④【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的定义域和值域，存在性问题，难度中档．14．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）关于x的方程（2017﹣x）（1999+x）=2016恰有两个根为x1、x2，且x1、x2分别满足3x1=a﹣3x1和log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，则x1+x2+a=61．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【专题】15 ：综合题；33 ：函数思想；35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】利用韦达定理求出x1+x2=16．利用互为反函数的性质求出a，即可得出结论．【解答】解：方程（2017﹣x）（1999+x）=2016可化为﹣x2+16x+2017×1999﹣2016=0，∴x1+x2=16．∵x1满足3x1=a﹣3x1，x2满足log3（x2﹣1）3=a﹣3x2，∴=﹣1﹣（x1﹣1），log3（x2﹣1）=﹣1﹣（x2﹣1）．∴x1﹣1+x2﹣1=﹣1，∴a=45，∴x1+x2+a=16+45=61．故答案为61．【点评】本题考查了指数函数与对数函数化为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.选择题15．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】5L ：简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由“2a＞2b”得a＞b，由“lo g2a＞log2b”得a＞b＞0，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据指数不等式和对数不等式的性质是解决本题的关键．16．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，则M、N的关系是（）A．M⊊N B．N⊊M C．M=N D．不确定【考点】53：函数的零点与方程根的关系；15：集合的表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；5J ：集合．【分析】求出集合M，N，即可判断两个集合的关系．【解答】解：集合M={x|9x﹣4•3x+1+27=0}，可得9x﹣4•3x+1+27=0，即（3x）2﹣12•3x+27=0，解得3x=3，3x=9，解得x=1，x=2．M={1，2}．N={x|log2（x+1）+log2x=log26}，log2（x+1）+log2x=log26，可得x（x+1）=6，x＞0．解得x=2．N={2}．∴N⊊M．故选：B．【点评】本题考查方程的解法，集合的关系的判断，是基础题．17．（3分）（2016秋•浦东新区校级期中）若y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是（）A．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数B．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f[g（x）]不一定是周期函数C．函数y=g[g（x）]是偶函数，函数y=f[g（x）]是周期函数D．函数y=g[g（x）]是奇函数，函数y=f（x）g（x）是周期函数【考点】3L：函数奇偶性的性质．【专题】35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用．【分析】令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），利用函数的奇偶性的定义，周期函数的定义证明m（x）为奇函数，n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，从而得出结论．【解答】解：∵y=f（x）是R上的偶函数，y=g（x）是R上的奇函数，故有g（﹣x）=﹣g（x），且f（﹣x）=f（x）．令m（x）=g[g（x）]，n（x）=f（x）g（x），则m（﹣x）=g[g（﹣x）]=g[﹣g（x）]﹣g[g（x）]=﹣m（x），故m（x）为奇函数，故排除A、C；∵f（x）和g（x）都是周期函数，设他们的周期的最小公倍数为t，即f（x+t）=f（x），g（x+t）=g（x），n（x+t）=f（x+t）g（x+t）=f（x）g（x）=n（x），故n（x）=f（x）g（x）一定为周期函数，故排除B，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的性质，复合函数的奇偶性、周期性，属于中档题．18．（3分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【专题】16 ：压轴题；51 ：函数的性质及应用．【分析】由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．【解答】解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．【点评】本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．三.解答题19．（8分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知函数f（x）=|2x﹣a|+2；（1）若不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），求a的值；（2）在（1）的条件下，对任意的x∈R，都有f（x）＞t﹣f（﹣x），求t的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17 ：选作题；35 ：转化思想；4G ：演绎法；59 ：不等式的解法及应用．【分析】（1）f（x）＜6，即|2x﹣a|＜4，根据不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），建立方程，即可求出a的值；（2）由f（x）＞t﹣f（﹣x），可得t＜|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4，求出右边的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）＜6，即|2x﹣a|＜4，∵不等式f（x）＜6的解集为（﹣1，3），∴，∴a=2；（2）∵f（x）＞t﹣f（﹣x），∴t＜f（x）+f（﹣x），∴t＜|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4，∵|2x﹣2|+|﹣2x﹣2|+4≥4+4=8，∴t＜8．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．20．（8分）（2014•舟山三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos．（1）若a=3，b=，求c的值；（2）若f（A）=sinA（cosA﹣sinA），求f（A）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【专题】56 ：三角函数的求值．【分析】（1）已知等式左边变形后，利用诱导公式化简求出sin的值，确定出B 的度数，再由a，b的值，利用余弦定理求出c的值即可；（2）f（A）解析式去括号后，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，根据B的度数表示出A+C的度数，确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（A）的范围．【解答】解：（1）在△ABC中，A+B+C=π，∴cos=cos=sin=，∴=，即B=，∵a=3，b=，cosB=，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，即7=9+c2﹣3c，整理得：c2﹣3c+2=0，解得：c=1或c=2；（2）f（A）=sinA（cosA﹣sinA）=sin2A﹣=sin（2A+）﹣，由（1）得B=，∴A+C=，即A∈（0，），∴2A+∈（，），∴sin（2A+）∈（﹣1，1]，∴f（A）∈（﹣，]，∴f（A）的取值范围是（﹣，]．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，余弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．21．（10分）（2016秋•浦东新区校级期中）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元），若年产量不足80千件，C（x）的图象是如图的抛物线，此时C（x）＜0的解集为（﹣30，0），且C（x）的最小值是﹣75，若年产量不小于80千件，C（x）=51x+﹣1450，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【考点】5B：分段函数的应用．【专题】12 ：应用题；33 ：函数思想；4A ：数学模型法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，投入成本为，根据年利润=销售收入﹣成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案【解答】解：（1）∵每件商品售价为0.005万元，∴x千件商品销售额为0.005×1000x万元，①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣x2﹣10x﹣250=﹣x2+40x﹣250；②当x≥80时，根据年利润=销售收入﹣成本，∴L（x）=（0.05×1000x）﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）．综合①②可得，；（2）由（1）可知，；①当0＜x＜80时，L（x）=﹣x2+40x﹣250=﹣（x﹣60）2+950∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；②当x≥80时，L（x）=1200﹣（x+）≤1200﹣2=1200﹣200=1000，当且仅当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．综合①②，由于950＜1000，∴当产量为10万件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．本题建立的数学模型为分段函数，对于分段函数的问题，一般选用分类讨论和数形结合的思想方法进行求解．属于中档题．22．（10分）（2016秋•浦东新区校级期中）已知函数f（x）=x|x﹣a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a＞0，在[0，3]上存在n个点x i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x1=0，x n=3，x1＜x2＜…＜x n，使|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，求实数a的取值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；3K：函数奇偶性的判断．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数的定义可得f（﹣1）+f（1）=0，解得a=0，即可得到f（x）的解析式；（2）化简f（x），对a讨论，①a≤﹣2时，②﹣2＜a≤﹣1时，由二次函数对称轴，结合单调性即可得到最值；（3）a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|的图象可由f（x）=x|x|的图象右移a个单位得到．判断f（x）=x|x|在R上递增，可得函数f（x）=x|x﹣a|在[0，3]递增，去掉绝对值，化简整理计算即可得到a的取值．【解答】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=﹣|﹣1﹣a|+|1﹣a|=0，∴|a﹣1|=|a+1|，解得a=0．∴f（x）=x|x|，经过验证满足题意；（2）a≤﹣1，D=[﹣1，0]，函数f（x）=x（x﹣a）=﹣，①a≤﹣2时，对称轴x=≤﹣1，函数f（x）在D上单调递增，∴f（x）的最小值是f（﹣1）=﹣（﹣1﹣a）=a+1，则g（a）≤﹣2+1=﹣1，故g（a）的最大值为﹣1；②﹣2＜a≤﹣1时，对称轴x=∈，函数f（x）在（，﹣）上单调递增，在[﹣1，]单调递减；∴f（x）的最小值是f（）=﹣，则g（a）≤﹣，故g（a）的最大值为﹣；（3）a＞0，函数f（x）=x|x﹣a|的图象可由f（x）=x|x|的图象右移a个单位得到．而f（x）=x|x|=，x＞0时递增，x＜0时递增，且f（x）的图象连续，则函数f（x）=x|x﹣a|在[0，3]递增，即有|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x n﹣1）﹣f（x n）|=，化为﹣（f（x1）﹣f（x2）+f（x2）﹣f（x3）+…+f（x n﹣1）﹣f（x n））=，即﹣（f（0）﹣f（3））=，则3|3﹣a|﹣0=，解得a=或．则实数a的取值为{，}．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性、函数求最值，注意运用讨论思想，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（10分）（2011秋•海淀区期中）已知函数f（x）=其中P，M是非空数集，且P∩M=∅，设f（P）={y|y=f（x），x∈P}，f（M）={y|y=f（x），x∈M}．（I）若P=（﹣∞，0），M=[0，4]，求f（P）∪f（M）；（II）是否存在实数a＞﹣3，使得P∪M=[﹣3，a]，且f（P）∪f（M）=[﹣3，2a﹣3]？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由；（III）若P∪M=R，且0∈M，I∈P，f（x）是单调递增函数，求集合P，M．【考点】5B：分段函数的应用；1I：子集与交集、并集运算的转换．【专题】15 ：综合题．【分析】（I）利用y=|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支上的值域，再求其并集即可；（II）抓住线索﹣3∈P∪M，逐层深入，先判断﹣3∈P，得a的范围，再由已知推理缩小此范围，最后确定a的值；（III）现根据函数的单调性确定∴（﹣∞，0）⊆M，（1，+∞）⊆P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合P，M【解答】解：（I）∵P=（﹣∞，0），∴f（P）={y|y=|x|，x∈（﹣∞，0）}=（0，+∞），∵M=[0，4]，∴f（M）={y|y=﹣x2+2x，x∈[0，4]}=[﹣8，1]．∴f（P）∪f（M）=[﹣8，+∞）（II）若﹣3∈M，则f（﹣3）=﹣15∉[﹣3，2a﹣3]，不符合要求∴﹣3∈P，从而f（﹣3）=3∵f（﹣3）=3∈[﹣3，2a﹣3]∴2a﹣3≥3，得a≥3若a＞3，则2a﹣3＞3＞﹣（x﹣1）2+1=﹣x2+2x∵P∩M=∅，∴2a﹣3的原象x0∈P且3＜x0≤a∴x0=2a﹣3≤a，得a≤3，与前提矛盾∴a=3此时可取P=[﹣3，﹣1）∪[0，3]，M=[﹣1，0），满足题意（III）∵f（x）是单调递增函数，∴对任意x＜0，有f（x）＜f（0）=0，∴x∈M ∴（﹣∞，0）⊆M，同理可证：（1，+∞）⊆P若存在0＜x0＜1，使得x0∈M，则1＞f（x0）=﹣+2x0＞x0，于是[x0，﹣+2x0]⊆M记x1=﹣+2x0∈（0，1），x2=﹣+2x1，…∴[x0，x1]∈M，同理可知[x1，x2]∈M，…=﹣+2x n，得1﹣x n+1=1+﹣2x n=（1﹣）2；由x n+1∴1﹣x n=（1﹣）2=（1﹣x n﹣2）22=…=（1﹣x0）2n对于任意x∈[x0，1]，取[log2log（1﹣x0）（1﹣x）﹣1，log2log（1﹣x0）（1﹣x）]中的自然数n x，则x∈[xn x，xn x+1]⊆M∴[x0，1）⊆M综上所述，满足要求的P，M必有如下表示：P=（0，t）∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪[t，1），其中0＜t＜1或者P=（0，t]∪[1，+∞），M=（﹣∞，0]∪（t，1），其中0＜t＜1或者P=[1，+∞），M=（﹣∞，1]或者P=（0，+∞），M=（﹣∞，0]【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力，分析问题解决问题的能力。

上海建平中学数学新初一分班试卷含答案

上海建平中学数学新初一分班试卷含答案一、选择题1．在一幅地图上，量得A、B两地之间的距离是5cm，已知A、B两地之间的实际距离是250km，这幅地图的比例尺是（）。

A．1:500B．1:50000C．1:500000D．1:50000002．如图，如果三角形ABC的顶点B用数对（0，0）表示，顶点C用数对（7，2）表示，那么顶点A用数对（）表示。

A．（5，3）B．（3，5）C．（6，4）D．（4，6）3．甜甜在计算一道除法算式时，把除以8算成了乘8，结果得49，正确的结果是（）。

A．64 B．118C．1144D．494．在一个三角形中，三个内角度数的比为2∶3∶4，这个三角形是（）。

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形5．有甲、乙两根绳子，甲绳剪去12，乙绳剪去12m，两根绳子都还剩下23m．比较原来两根绳子的长短，结果是（）．A．甲绳比乙绳要长B．甲绳比乙绳要短C．两根绳子一样长D．无法比较6．一个由棱长是1厘米的小正方体组成的立体图形，从正面、上面和右面看都是，这个立体图形至少由（）个这样的小正方体组成。

A．5 B．6 C．7 D．87．便民水果店购进了8千克樱桃，卖掉了45。

下列说法中，错误的是（）。

A．还剩15B．还剩1千克的85C．剩下与卖掉比是4∶1 D．剩下1.6千克8．一个圆柱的底面直径扩大到原来的2倍，高不变，这个圆柱的侧面积就扩大到原来的（）。

A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍9．一种电视机提价110后,又降价110,现价()原价．A．高于B．等于C．低于10．一个长方体刚好切成3个相同的正方体，表面积增加了36dm2，原来长方体的体积是（）dm3。

A．108 B．81 C．432 D．648二、填空题11．25分＝()()时；78公顷＝（）平方米。

十12．196的分数单位是（________），再加上（________）个这样的分数单位，就变成最小的合数。

十13．把一包卡片平均分给6个小朋友，或者平均分给9个小朋友，均没有剩余，这包卡片至少有（________）张。

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