2017建平中学自招数学答案

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - ， - ， - ， ……，根据 1 4 3 4 4 7 3 4 7 7 10 3 7 10
（ n 为正整数）；（答案：
观察计算：
1 1 1 1 3n 2 3n 1 1 4 4 7 7 10
（答案： 2013 1 ） （2013 交附）有理化
1 5 3 1
=
。（答案：
3 3 7 2 15 5 ） 11
（2013 华二）已知： x, y 为有理数，且满足
21 3 3 x y ，求 x, y = 4
。
（答案：
3 ,3 ） 2
14 26 21 39 14 26 21 39


7 13 7
13
2 3 2
3
wk.baidu.com
2 3 2
5 2 3
6
【自招真题类比】（2013 上中）计算：
1 1 1 _________。 1 2 2 3 2012 2013
1 1
（答案：2）
1 5 1 2 1 2 （2014 复附）方程 x x 1 的解为________.（答案： ） x x 2
（2016 七宝）方程： 3x 4 x 5x 6 x 的解有__________ 个
x y x y x y （2011 华二）关于 x 、 y 的方程组 有______组解. y x 1
n n
为偶数）；（3） a 1a 0
0
【自招真题类比】（2013 进才） n 2n 1 （答案：8） （2015 复附） x 3
x 2 8 x 15 x2

2

n 2 41
n 2 2n 1


16 n 15
且 n 为实数，则 n 的个数为？
1 的解有___________个。
【自招真题类比】 （2016 复旦附中） 已知实数 m， （其中 m· n n≠1） 分别满足 19 ＋99m＋1 0，n ＋99n＋19 0，
2 2
则
mn＋4m＋1 __________ . （答案： 5 ） n
2 2
（2014 复附）已知 a 7 3a, b 7 3b, 且a b, 则
【原题一流初中常见性】★★★★ 【自招重要性】★★★☆ 【点评】根式的内容几乎是自招卷必考的，拓展考点及题型也较多。常考的有：（1）重根式化简；（2）分母 有理化；（3）与绝对值及平方结合的非负性。14 年交附考察证明 2 不是有理数算是较为创新冷门的考法，但 出过一次后近年应该不会再出。 【补充延伸】重根式的化简一定要掌握，要点是待定系数法。
2017 建平中学自招数学真题剖析
代数部分：1-7 题 几何部分 8-12 题 解答题 13-14 题
1. 进制是人们规定的一种进位方法。计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，而十五进制是 15 为基数进位 的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的旧面积单位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系， 现采用数字 0～9 和字母 A～E 共 15 个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：
【教辅同类题型原题对比】 《市北初级中学资优生培养教材》八年级（非练习册）P27 练习 19.6 第 2 题原题为： 已知 3m 2m 5 0,5n 2n 3 0 ，期中 m、n 是实数，求 m 【原题难度】★★☆ 【原题一流初中常见性】★★★★☆ 【自招重要性】★★★★★ 【点评】作为中考不作要求，许多“普通”初中不讲，高中一般也不讲却常用的最重要知识点之一，“韦达定 理”是自招最重要考点，没有“之一”。 【补充延伸】原题和补充类比真题里 1、2、3 题几乎是一模一样，然而此处我想延伸一下 2015 上中的解法， 此题考察根的判别式。思路如下：由式消去 x 代入得， 5 - z - y y yz z 5 - z - y 3 ,整 理得 y z 5y z 5 z 3 0 ， 要是关于 y 的方程存在解， 则 z 5 4 z 5 z 3 0
2 4 2
b a 90 ） 2 ________ .（答案： 2 a b 49
2016 2
ab2 b2 1 （2016·曹二）若 a 2a 1 0 ， b 2b 1 0 ，且 1 ab 0 ，求 a
（答案：1）
13 ） 3
（2015 上中） 已知 x 、 且x yz 5， （答案： y、 z 为实数， xy yz zx 3 则 z 的取值范围为__________. 1 z
n ） 3n 1
【教辅同类题型原题对比】《奥数精讲与测试》七年级 P58，整式的运算练习部分 B 卷第 2 题原题为：将十进 制下的四位数 abcd 写成按 10 的降幂排列的形式为 【原题难度】★★ 【原题一流初中常见性】★★☆ 【自招重要性】★★★ 【点评】此题不涉及初中知识点，放在四五年级奥数考察亦可。主要看学生的积累和应变能力。 【补充延伸】定义新运算本质就是考察学生“具体→到抽象→再回到具体”的能力。自招中此类题型较为常见， 但考察的知识点各有不同，较为常见的是“进制换算”和“高斯函数”。尤其高斯函数、高斯方程也是自招考 常见重点。 （答案： a 10 b 10 c 10 d ）
3 2
1 尹 充
2. 如果 x 1
x4
1 成立，那么满足它的所有整数 x 的值是_________________
【考点梳理】幂的运算、方程。 【课本链接】七年级上第九章--整式，有三个小节涉及幂的运算，分别是幂的乘方和同底数幂的乘除法。尤其 9.17 同底数幂的除法里规定“任何不为 0 的数的 0 次幂为 1”，此类题目应在此小节进行拓展。不少质量较高 且适合较好程度的教辅书里看到过此类问题，一流初中学到此处时周测卷通常也会有此类考题。 【解法分析】初中范围内指数为整数时幂为 1 可分三类讨论： （1）1 1（n 为任意整数）； （2） 1 1（n
【课本链接】八年级上第十七章一元二次方程。拓展Ⅱ课本第一章第一小节。各初中学到八年级上本章节时， 韦达定理的讲与不讲，练与不练甚至考察的难度通常能看出学校对学生数学学科上的拓展要求。 【解法分析】结合条件及所求来分析，显然 y 0 ，可将含 y 的方程两边同时除以 y 得到
2
99 2019 1 0 . y y2 1 2019 、 y 99
因 此 x、 是 方 程 99 t 2019t 1 0 的 根 ，又 xy 1 ， 则 为不 同 根 。 由韦 达 定 理可 得 ： x
1 y
2
x
1 1 xy 10 x 1 1 10 x 2019 10 2009 ，则 。 x y 99 y y y 99 99 99
【教辅同类题型原题对比】《辅导与训练》七年级第一学期 P78（17 年下半年此书将全套改版，此页码依据此 之前版本），拓展训练最后一题原题为： x 2 【原题难度】★★ 【原题一流初中常见性】★★★☆ 【自招重要性】★★★☆ 【点评】解方程作为数学的重要模块，一定是自招的重点，本题结合的幂为 1 的运算常考不过难度不大，但自 招出现的其他方程及方程组问题通常难度不小。 【补充延伸】自招题的方程和方程组中除了解法分析中总结还需要注意的要点有：“数形结合思想”、“轮换 对称式”、“因式分解及乘法公式的拓展（尤其立方和立方差）”、“幂的单调性”
观察二进制位 1 位数、2 位数、3 位数时，对应的十进制的数，当二进制为 6 位数时，能表示十进制 中的最大数是（ A.61 ）（答案：C） B.62 C.63 D.64 (答案：n)
（2012 华二）定义： 1 * 1 1； n 1 * 1 n * 1 1 ,求 n*1= （2015 交大附中）观察下列各式：
个实数 x ，可以使得 120
（2014 上中）有
x 为整数。 （答案：11）
【教辅同类题型原题对比】《奥数精讲与测试》八年级 P33，二次根式及其运算练习部分 B 卷第 6 题原题为：
2 3 10 14 15 21
【原题难度】★★★
____________（答案：
7 5 ） 2
（答案：1） （答案：2）
（2013 上中）解方程组
x 2 1 y z 2 2 2 y 2 z x 2 2 z 3 x y 5 5 x 12 6 x 12 6 2 2 （答案： y 6 或 y 6 ） 3 3 3 3 z 4 6 z 4 6
2 2 2 2 2 2
1 8 。（答案：0 或 ） n 3


解之得： 1 z
13 . 3
3 尹 充
4. 计算：
14 26 21 39 14 26 21 39
______________
【考点梳理】因式分解、分母有理化。 【课本链接】此类题型常会在七年级下第十二章--实数、八年级上第十六章--二次根式进行拓展。“普通”初 中平时讲解与测试大多不会涉及。据参与了十年中考命题的某老师说，后期初中课改中可能会将“二次根式” 章节删除，与实数合并为一个章节，淡化在根式运算中字母的相关运算。自招中的根式也以数的运算为主。 【解法分析】首先观察分子分母第一、三项可以提出 7 ，第二、四项可以提出 13 ，则
4 尹 充
5. 建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、健美操社……，在一次 社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066.经核 实，上述四位同学只有一位同学统计正确，则这次比赛中有____________名选手参加比赛。 【考点梳理】估算，一元二次方程的整数解、素因数分解。 【课本链接】此类题型初中会有两次机会遇到，一次是六上第一章数的整除，一次是初二上第十七章学习一元 二次方程的应用。但实际上此类题型适合的年龄段非常广，四五年级奥数可以从奇偶性、相邻两自然数相乘的 个位数、素因数分解等去考察，初中可以作为常规题型从素因数分解和一元二次方程的整数解来考察。但实际 上，本题在不同考试中也极为常见，如早年的全国数学联赛、08 年“国际数学邀请赛”新加坡初赛，公务员考 试等。 【解法分析】解法一：设有 n 名选手，则有 为
15 进制 10 进制
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
A
B
C
D
E
10 11 12 13 14
例如，用十五进制表示：5+9=E，3+D=11，E+D=1C，则 A C _______________ 【考点梳理】定义新运算，一般辅导书里“2 进制”较为常见，此处考“15 进制”是考察学生“举一反三、现 学现用”的能力。 【课本链接】暂无。但“定义新运算”是小学奥数的重要专题。 【解法分析】 “10 进制” 里 9+1=10， “2 进制” 里， 1+1=10， “15 进制” 里 14+1=10.10 12=120,120 15 10=80. 【自招真题类比】（2012 进才）电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：
x 1
1 ，求整数 x 的值。（答案：x=3 或 1）
2 尹 充
3. 设实数 x, y 分别满足 99 x 2019 x 1 0; y 2019 y 99 0 ，并且 xy 1 ，则 【考点梳理】一元二次方程、根与系数的关系（以下简称“韦达定理”）。
2
2
xy 10 x 1 ___________ y