【数学建模】排队论讲义
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数学建模：排队论2
无顾客
无顾客
n
无顾客 1 个顾客
n
1 个顾客 无顾客
n
1 个顾客 1 个顾客
n
9
上述四种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
概率
A
n
无顾客 无顾客 pn (t )(1 t )(1 t )
B
n+1
无顾客 1 个顾客 pn1(t )(1 t )t
时刻 t 顾客数
0 1 0
区间[ t，t + △t )
时刻 t + △t
到达顾客 离开顾客 顾客数
无顾客
无顾客
0
无顾客 1 个顾客
0
1 个顾客 1 个顾客
0
16
上述三种情况发生概率分别为：
情况
时刻 t 顾客数
区间[ t，t + △t ) 到达顾客 离开顾客
A
0
无顾客
无顾客
B
1
无顾客 1 个顾客
D
0
12
dpn (t ) dt
pn1(t )
pn1(t )
(
)
pn (t )
解上述方程的解是很困难的。这里只研究系统达到平
稳状态的情况，即系统运行了无限长时间之后，状态
概率分布不再随时间变化，显然此时 dpn (t ) 0
dt
13
由此可得，当 n≥1 时：
pn1 pn1 ( ) pn 0，n 1
第四节 单服务台负指数分 布排队系统
讨论单服务台的排队系统，并设定： 顾客到达过程服从泊松分布。 顾客服务时间服从负指数分布。
2
数学建模.排队论讲解
P1
(m 1)
(m n 1) (m n)
P2
Pn 1
Pn
Pn 1
2
由状态转移图，可以建立系统概率平衡方程如下： P 1 mP 0, Pn 1 (m n 1)Pn 1 [(m n) ]Pn , 1 n m 1 Pm Pm 1 ,
E (T ) 1
n!
e
1.5 排队系统的常用分布
同样，对顾客服务时间常用的概率分布也是负指数分布， 概率密度为： t
f (t ) e
(t 0)
其中 表示单位时间内完成服务的顾客数，也称平均服务率． 3）爱尔朗分布：
(k ) k t k 1 kt 分布密度函数： f k (t ) (k 1)! e (t 0, k , 0)
N k k
模型的各数量指标参数如下： 1）系统里没有顾客的概率 1 1 N 1 P
0
1 1
1 1 N
2.2 系统容量有限的 M / M / 1/N / 模型
n P P0，n N 2）系统里有n个顾客的概率 n
3）在系统里的平均顾客数
3）服务时间的分布——在多数情况下，对每一个顾客的服务 时间是一随机变量，其概率分布有定长分布、负指数分布、 爱尔朗分布等.
1.3 排队系统的符号表示（Kendall符号）
根据不同的输入过程、排队规则和服务台数量，可以形成 不同的排队模型，为方便对模型的描述，通常采用如下的符 号形式：
X /Y / Z / A/ B /C
式中 表示平均到达率与平均服务率 之比，称为服务强度.
2.1 标准的 M / M / 1 模型
数模排队理论最全PPT资料
• 系统损失概率P损，即效劳系统满员的概率，或 者说，效劳员都忙着，排队位置满座的概率。
排队系统的运行指标
– 队长L系，即系统内顾客数的数学期望。 – 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望。 – 逗留时间W系，顾客在系统内逗留时间的数学期望。 – 排队时间W队，系统内顾客排队等待效劳时间的数学期望。这里
• 排队论的应用： • 广泛用于解决 局的通信线路的占线问题； • 车站、码头、机场等交通的枢纽的堵塞和疏导； • 故障机器的停机待修； • 水库的储存调节等有形无形的排队现象的问题。 • 本章内容 • 排队论的根本知识； • 常见的排队模型； • 讨论排队论系统的经济分析与最优化问题。
排队论的根本概念
数模排队理论
排队论的根本概念
• 在现实世界中，经常会发生为了获得某种效劳而 排队的现象
• 顾客到商店去买东西 • 病人到医院去看病 • 汽车去加油站加油 • 旅客到车站购票 • 当要求效劳的对象的数量超过效劳机构的容量就
会出现排队现象。 • 出现排队现象的原因：顾客到达人数和效劳时间
队模型算法
• 多通道损失制系统
• 模型：设系统内有n个效劳员，顾客来到效劳系统 时如果效劳员正在忙，顾客不能立即得到效劳， 那么顾客离去，另求效劳。
• 多通道损失制系统的各项效率指标：
• 损失概率P损，其中ρ＝λ/μ, λ为单位时间来的顾客
数即顾客流强度，μ为单位时间内一个效劳台效劳
的顾客数即效劳台能力．
• 问题的解决： • 增加效劳设施能减少排队现象，但这样势
必增加投资且可能出现因供大于求而使得 设施经常闲置、导致浪费，这通常不是一 个最经济的解决问题的方法。 • 作为管理人员来说，研究排队问题就是把 排对的时间控制在一定的限度内，在效劳 质量的提高和本钱的降低之间取得平衡， 找到最适当的解。
排队系统的运行指标
– 队长L系，即系统内顾客数的数学期望。 – 排队长L队，系统内排队顾客数的数学期望。 – 逗留时间W系，顾客在系统内逗留时间的数学期望。 – 排队时间W队，系统内顾客排队等待效劳时间的数学期望。这里
• 排队论的应用： • 广泛用于解决 局的通信线路的占线问题； • 车站、码头、机场等交通的枢纽的堵塞和疏导； • 故障机器的停机待修； • 水库的储存调节等有形无形的排队现象的问题。 • 本章内容 • 排队论的根本知识； • 常见的排队模型； • 讨论排队论系统的经济分析与最优化问题。
排队论的根本概念
数模排队理论
排队论的根本概念
• 在现实世界中，经常会发生为了获得某种效劳而 排队的现象
• 顾客到商店去买东西 • 病人到医院去看病 • 汽车去加油站加油 • 旅客到车站购票 • 当要求效劳的对象的数量超过效劳机构的容量就
会出现排队现象。 • 出现排队现象的原因：顾客到达人数和效劳时间
队模型算法
• 多通道损失制系统
• 模型：设系统内有n个效劳员，顾客来到效劳系统 时如果效劳员正在忙，顾客不能立即得到效劳， 那么顾客离去，另求效劳。
• 多通道损失制系统的各项效率指标：
• 损失概率P损，其中ρ＝λ/μ, λ为单位时间来的顾客
数即顾客流强度，μ为单位时间内一个效劳台效劳
的顾客数即效劳台能力．
• 问题的解决： • 增加效劳设施能减少排队现象，但这样势
必增加投资且可能出现因供大于求而使得 设施经常闲置、导致浪费，这通常不是一 个最经济的解决问题的方法。 • 作为管理人员来说，研究排队问题就是把 排对的时间控制在一定的限度内，在效劳 质量的提高和本钱的降低之间取得平衡， 找到最适当的解。
数学建模之排队论模型
第五讲 排队论模型
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
4
PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建
Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
【修理工录用问题】工厂平均每天有一台机器发生故障而需要修理，机器的故障数 服从泊松分布。 修理一台机器平均花费 20 元。 现有技术水平不同的修理工人 A 和 B， A 种修理工平均每天能修理 1.2 台机器， 每天工资 3 元； B 种修理工平均每天能修理 1.5 台机器，每天工资 5 元，两种修理工修理机器的时间为负指数分布。问工厂录用 哪种工人较合算？
Ls = ∑ np n = ∑ n(1 − ρ )ρ n = ρ /(1 − ρ ) = λ /( µ Nhomakorabea− λ ).
n =0 n =1
∞
∞
(2) 排队长： （等待的平均顾客数）
4
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Lq = ∑ (n − 1) p n = ∑ (n − 1) ρ n (1 − ρ )
本讲主要内容
1. 2. 3. 4. 5. 排队论的基本概念 单服务台的排队模型 多服务台的排队模型 排队系统的最优化问题 数学建模实例：校园网的设计和调节收费问题
5.1 排队论的基本概念
5.1.1 什么是排队系统
排队论也称随机服务系统理论，它是 20 世纪初由丹麦数学家 Erlang 应用数学方法在研 究电话话务理论过程中而发展起来的一门学科， 在实际中有广泛的应用。 它涉及的是建立一 些数学模型， 藉以对随机发生的需求提供服务的系统预测其行为。 现实世界中排队的现象比 比皆是，如到商店购货、轮船进港、病人就诊、机器等待修理等等。排队的内容虽然不同， 但有如下共同特征： （1）有请求服务的人或物，如候诊的病人、请求着陆的飞机等，我们将此称为 “顾客” 。 （2）有为顾客提供服务的人或物，如医生、飞机跑道等，我们称此为“服务员” 。由顾 客和服务员就组成服务系统。 （3）顾客随机地一个一个（或者一批一批）来到服务系统，每位顾客需要服务的时间 不一定是确定的， 服务过程的这种随机性造成某个阶段顾客排长队， 而某些时候服务员又空 闲无事。 为了叙述一个给定的排队系统，必须规定系统的下列组成部分： 1.输入过程 即顾客来到服务台的概率分布。排队问题首先要根据原始资料，由顾客到 达的规律、 作出经验分布， 然后按照统计学的方法 （如卡方检验法） 确定服从哪种理论分布， 并估计它的参数值。 我们主要讨论顾客来到服务台的概率分布服从泊松分布， 且顾客的达到 是相互独立的、平稳的输入过程。所谓“平稳”是指分布的期望值和方差参数都不受时间的 影响。 2.排队规则 即顾客排队和等待的规则。排队规则一般有即时制和等待制两种。所谓即 时制就是服务台被占用时顾客便随即离去； 等待制就是服务台被占用时， 顾客便排队等候服 务。等待制服务的次序规则有先到先服务、随机服务、有优先权的先服务等，我们主要讨论 先到先服务的系统。 3.服务机构 服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员的；可以对单
数学建模：第五章 排 队 论
17
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。 则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数 为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的 有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定 的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量 ，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。 相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋 于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些 指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度 函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统 等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统 无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾 客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间 单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位
令 T0 = 0 Tn ：第 n 个顾客到达时刻， Xn：第 n 个顾客与第 n-1 个顾客到达的时间间隔。 则有
T0 T1 Tn
X n Tn Tn1 , n 1,2,
18
一般假定 { Xn }是独立同分布的，并记其分布函数 为 A( t )。关于{ Xn }的分布，排队论中经常用到的 有以下两种： ➢定长分布（D）：顾客相继到达时间间隔为确定 的常数。
Wq(t)：时刻 t 到达系统的顾客在系统中的等待时间。
pn(t)：时刻 t ，系统中有 n 个顾客的概率。
44
pn(t)
过渡状态
平稳状态
t
45
上述指标一般都是和系统运行的时间有关的随机变量 ，求这些随机变量的瞬时分布一般都是很困难的。 相当一部分排队系统，在运行了一定时间后，都会趋 于一个平稳状态（或称平衡状态），平稳状态下这些 指标和系统所处的时刻无关。
19
➢Poisson流（M）：顾客相继到达时间间隔的密度 函数为：
e t
a(
2. 排队
损失制排队系统
有限排队
队长有限排队系统
排队
混合制排队系统 等待时间有限排队系统
逗留时间有限排队系统 无限排队（等待制排队系统）
21
（1）有限排队
有限排队：排队系统中的顾客数是有限的，即系统 的空间是有限的，当系统被占满时，后面再来的顾 客将不能进入排队系统。
顾客相继到达时间 单个服务台
间隔为负指数分布
顾客源无限
M / M / 1 / ∞ / ∞ / FCFS
服务时间为负指数
分布
系统容量为无限
先到先服务
39
X/Y/Z/A/B/C
省略后三位
排队论(讲义)ppt课件
概率关系着对时间的数量分配。一个事件A的概率 P(A)是对应事件A要发生可能性 的数量分配。概率有很多不同的定义，常用的有三种：
(1)古个典数定。义：P(A)=NA/N 其中N是可能结果的总个数，NA是事件A在其中发生的结果的
例1. 求抛两个骰子并且决定和为7的概率p。
总共有36种可能的结果，所以N= 36
排队论 Queueing Theory
主讲：周在莹
；.
1
CONTENUNIT 1 排队模型
UNIT 2 排队网络模型
UNIT 3 应用之：QUICK PASS系统
结束语
；.
PREPARATION 概率论和随机过程
Part 1．概率论基础
1。 概率的定义
独立性： 如果P(AB)=P(A)P(B)，事件A和B叫做相互独立的事件 独立性的概念可以推广到三个或多个事件。
；.
3 全概率公式和贝叶斯定理 全概率公式：给定一组互斥事件E1，E2，，…，En，这些事件的并集包括所有可能的
结果，同时给任一个任意事件A，那么全概率公式可以表示为： n
P(A)=∑P(A|Ei)P(Ei) i=1
在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描 绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论中，指数分布是很重要的。
；.
6 k-爱尔朗分布 概率密度: f(x)= (λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0，λ>0.
0 x<0 数字特征： E[X]=1/λ; Var[X]=1/（kλ2 ）
；.
5 （负）指数分布
它是一种连续型的概率分布，它的概率密度为
f（x）= λe-λx x≥0
0
数学建模-排队论
①模型特点
顾客总体为m个，每个顾客到达并经过服 务台后，任然回到原来总体，所以任然可 以到来。
②系统的稳态概率 Pn ；
1
P0 m m! ( )i
i0 (m i)!
Pn
m! (m n)!
(
)n
P0
,1
n
m
③系统运行指标 a、 系统中平均顾客数（队长期望值）
Ls m (1 P0)
排队论
（Queueing Theory）
生活中处处可见的排队现象
商店、超市等收款处排队付款 车站、民航、港口等售票处依次购买车船票 各种生产系统、存储系统、运输系统等一系
列现象 大型网游登陆前的排队等等
基本概念
研究随机的排队服务模型的主要工具是 排队论，排队论又称为随机服务系统理 论，是研究由顾客、服务机构及其排队 现象所构成的一种排队系统理论。
PnP10
P1 0 Pn1 (
) Pn
0
n 1
(3)
这是关于 Pn 的差分方程，表明了各状态间的转移 关系，可以用下图表示：
0
1
n-1
n
n+1
由上式可得 Pn ( / )n P0 令 / 1（否则队列将
排至无限远），由概率性质知
Pn 1
n0
将
Pn
的关系带入，
P0
n
n0
1
P0 1
求 limPn(t) Pn，此时系统的状态概率分布不再随时间变化 n
（4）利用 Pn 求系统运行指标
①队长：系统中的顾客数，期望记为 Ls ②排队长：系统中排队等待覅物的顾客数，期望记为 Lq ③逗留时间：一个顾客在系统中的停留时间，期望记为 Ws ④等待时间：一个顾客在系统中排队等待的时间，期望记
数学建模讲座 排队论模型
(2)
μ—— 排队系统的输出率
C自动扶梯——自动扶梯的 通过能力
d自动扶梯——自动扶梯的 净宽度
C楼梯——楼梯的通过能力
d楼梯——楼梯的净宽度
输出时间 t1表达式为：
t1
w
n
(3)
通过上面的假设和分析，每一组楼梯和自动 扶梯所组成的服务系统是一个定长输入、定 长输出的单通道排队系统，由n组楼梯和自动 扶梯布置在站台形成的乘客排队系统则是一 个定长输入、定长输出、多通道的排队系统 即：d/d/n排队系统。
load);L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; End
例2： Model: S=3;R=15;T=10/60;load=R*T; Pwait=@peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T;L_s=W_s*R; END
q w n
l
输入的时间 t0 2 n v
其输入率λ的具体表达式为：
2wv
(1)
l
λ——排队系统的输入率 W——列车到站后下车或换乘的人数 v——下车乘客在站台上的行走速度 l——站台的有效长度 n——站台上楼梯和自动扶梯的组数
排队规则：乘客到达楼梯和自动扶梯口处， 若楼梯和自动扶梯没被占用时，乘客立即使 用楼梯和自动扶梯，若楼梯和自动扶梯被占 用，不能为乘客提供服务时，乘客就会在此 等候楼梯和自动扶梯的服务，而且服务次序 为先到先服务。
3.@pfs(load,S,K)
该函数的返回值是当到达负荷为load ，顾客数为K,平行服务台 数量为S时，有限源的Poisson服务系统等待或返修顾客数的 期望值
数模排队论
如何考虑随机因素，设计合理方案，建立数学模 型，一方面提供服务的服务机构即公交公司的线
路设计合理，能够赢得顾客，获得利益；另一方 面被服务的顾客能够在被服务的过程中，排队等 候的时间最短，这都是上述问题要解决的，也是 排队论的主要研究内容.
二、排队论的基本知识
1.背景介绍
排队论是研究排队现象的理论和应用的学科，是 专门研究由于随机因素影响而产生的拥挤现象的科学. 20世纪初丹麦数学家、电气工程师爱尔朗把概率论应 用于电话通话问题，从而开创了这门应用数学科学. 20世纪30年代中期，费勒引进了生灭过程，排队论 才被数学界承认为一门重要的学科.20世纪40年代排 对论在运筹学这个新领域中成了一个重要的部分.20 世纪50年代初肯德尔对排对论作了系统的研究，他用
(iii) 顾客流的概率分布.或称相继顾客到达的时间 间隔的分布.这是求解排队系统有关运行指标问题 时，首先需要确定的指标.顾客流的概率分布一般 有定长分布、二项分布、泊松流(最简单流)、爱尔 朗分布等若干种. (2).排对规则 指服务台从队列中选取顾客进行 服务的顺序.一般可以分为损失制、等待制和混 合制等3大类. (i)损失制 指如果顾客到达排队系统时，所有 服务台都被先到的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来.
5分钟，车辆满载率不应超过120%，一般也不要
低于50%. 试根据这些材料和要求，为该线路设计一个 便于操作的全天（工作日）的公交车调度方案 包括两个起点站的发车时刻表；一共需要多少 辆车；这个方案以怎样的程度照顾到了乘客和 公交公司双方的利益；等等.
2.问题分析：
对于第一个问题，关于公交车的调度方案，
(ii)服务方式. 这是指在某一时刻接受服务的顾客数， 它有单个服务和成批服务两种. (iii)服务时间的分布.在多数情况下，对每一个顾客的 服务时间是一随机变量.
排队论讲义-2
0 1 2 2 3 2 4 2
5⎤−1
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
由(63)可以计算得到（算式略）： P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.002 由此，计算系统的各项运行指标如下：
(1) Lq =
n=c+1
. ∑ (n − c)Pn = P3 + 2P4 + 3P5 = 0118
]
(58)
(59) (60)
Wq =
Lq λ (1 − P N )
q
(61) 特别，当N=c时，系统的队列最大长度为0，即顾客到达时，如果服务台有空闲 ，则进入服务台接受服务，如果服务台没有空，顾客则当即离去。这样的系统 成为“即时制”。许多服务设施，如旅馆、停车场等都具有这样的性质。
W = W
+
[M/M/c]:[N/∞/FCFS
[M/M/c]:[∞/∞/FCFS]
这个系统的特点是，系统的服务速率与系统中的顾客数有关。当系统 中的顾客数k不大于服务台个数，即1≤k≤c时，系统中的顾客全部在服 务台中，这时系统的服务速率为kμ；当系统中的顾客数k＞c时，服务 台中正在接受服务的顾客数仍为c个，其余顾客在队列中等待服务，这 时系统的服务速率为cμ。为了求得系统的状态概率，先作出系统的状 态转移图。 P0 P1 P2 Pc-1 Pc Pc+1
正在修理的机器 修理速率μ
顾客到达
修理速率μ 发生故障等待修理的机器 修理速率μ
到达速率 (m-n)λ 运行的机器数 m-n
修理速率cμ
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
用状态转移图可以得到状态概率与运行指标(推导过程从略)： 1 7.6.3.1 状态概率 P = 1 ⋅
5⎤−1
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
由(63)可以计算得到（算式略）： P1=0.394，P2=0.197，P3=0.074，P4=0.018，P5=0.002 由此，计算系统的各项运行指标如下：
(1) Lq =
n=c+1
. ∑ (n − c)Pn = P3 + 2P4 + 3P5 = 0118
]
(58)
(59) (60)
Wq =
Lq λ (1 − P N )
q
(61) 特别，当N=c时，系统的队列最大长度为0，即顾客到达时，如果服务台有空闲 ，则进入服务台接受服务，如果服务台没有空，顾客则当即离去。这样的系统 成为“即时制”。许多服务设施，如旅馆、停车场等都具有这样的性质。
W = W
+
[M/M/c]:[N/∞/FCFS
[M/M/c]:[∞/∞/FCFS]
这个系统的特点是，系统的服务速率与系统中的顾客数有关。当系统 中的顾客数k不大于服务台个数，即1≤k≤c时，系统中的顾客全部在服 务台中，这时系统的服务速率为kμ；当系统中的顾客数k＞c时，服务 台中正在接受服务的顾客数仍为c个，其余顾客在队列中等待服务，这 时系统的服务速率为cμ。为了求得系统的状态概率，先作出系统的状 态转移图。 P0 P1 P2 Pc-1 Pc Pc+1
正在修理的机器 修理速率μ
顾客到达
修理速率μ 发生故障等待修理的机器 修理速率μ
到达速率 (m-n)λ 运行的机器数 m-n
修理速率cμ
[M/M/c]:[∞/m/FCFS
用状态转移图可以得到状态概率与运行指标(推导过程从略)： 1 7.6.3.1 状态概率 P = 1 ⋅
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设 T X1 X 2 ，则TX的k 密度函数为
bk (t)
k (kt)k 1
(k 1)!
e k t
,
t 0
1
1
E(T ) ,
D(T ) k 2
如k个服务台串联（k个服务阶段）， 一个顾客接受k个服务共需的服务时间T， T 爱尔朗分布。
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1.2 随机过程的有关概念
随机过程(Random process)的定义
1.2 随机过程的有关概念
随机过程的基本类型
二阶矩过本程节内容结束
平稳过程 平稳独立增量过程 常见随机过程 马尔可夫过程？ Poisson过程？ 生灭过程？
马尔可夫过程 离散
马尔可夫链
• 定义对：任意{非X负(整n数),若n 满足0,如1,下2,性...质，}：只要
就有
t1 t2
{X“(n将)} 来”的情况与“过去”无关，
只是通过“现在”与“过去”发生联系，若 “现在”已知，“将来”与“过去”无关。
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时齐的马氏链：马氏链{X (n),n 0,1,2,...}
若满足P：{X nm j X n i} Pij (m)
则称{X (n),n 0,1,2,...}
为时齐马尔
排队论
一.概率论及随机过程回顾 二.排队论的基本知识 三.单服务台负指数分布排队系统分析 四.多服务台负指数分布排队系统分析 五.一般服务时间M/G/1模型分析 六.经济分析___排队系统的最优化
一、概率论及随机过程回顾
1.1、随机变量与概率分布
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 概率分布和概率分布图 • 数学期望和方差 • 常见离散型随机变量的概率分布 • 二点分布? • 二项式分布? • Poisson分布?
• 连续型随机变量
• 概率密度函数
ex , x 0
•密概度率分函布数函数a(x)
• 数学期望和方差 0, x 0
( 0)
• 常见连续型随E机(变X量)的概1率/ 分布, D( X ) 1/ 2
• 均匀分布
• 指数分布？
• 正态分布？
• k阶爱尔朗分布？
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? 爱尔朗分布
服从X相1,同X 参2 ,数, X的kk为负k指个数相分互布独；立的随机变量；
平稳生灭过程系统状态n
平衡方程：“本流节入内=流容出结” 束
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一、概率论及随机过程复习
• 随机变量 • 离散型随机变量 • 概率分布和概率分布图 • 数学期望和方差 • 常见离散型随机变量的概率分布 • 二点分布? • 二项式分布? • Poisson分布?
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一、随机变量与概率分布
随机变量X为时间间隔，如顾客到达的
• 随时机变间量间隔、电话呼叫的时间、产品的寿命等。
定理1：设 N(为t)时间 0内, t到 达系统的顾客数
则 {N(t为),tPoi0s}son过程的充要条件是
P{N(t) n} (t)n et n 1,2,...
对于Poisson流：n!
定理则充2要：{条设1N/件— — (Nt为是)(为— —,tt)参相时单顾数继0间客位}为到相时达继间0内的的,到平t到P时o达均达间is的到系s间o平达统n隔均的过的T间顾程服顾隔客的从客时数相数间互
• 平稳性：在 t', t内'有t一 个顾客顾到客达到的达的概率
•
概率为
t
为
(t);
。
• 普通性：在 t', t内'多t于 一个顾客到达
•
的率为 。(t)
• 则称 {N (t),t 为 0Po}isson过程。
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Poisson过程与Poisson分布
定理1：设 N(为t)时间 0内, t到 达系统i22在r,...,...将Xt(来ttrr)tir
}
0
•
则称 P{X具(t有) 马 尔j 可X夫(t1性) ， 或i1,无X后(t效2 )性。i2,..., X (tr ) ir} P{X (t) j X (tr ) ir}
{X (n)}
可夫链
Pij (m) — 系统由状态i经过m 个时间间隔
（或m 步）转移到状态j 的转移概率
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Poisson过程
• 定义：设 N为(t时) 间 内0到, t 达系统的顾客数，若满足
• 下独面立三性个：条在件任：意两个不相交的区（间1起内）点顾只无客与关到区。间长度与
•
达的情况相互独立； （2）单位时间内一个
时刻止的时间服从参数为 • (3)同一时刻是只有一个
顾的n客负到指达数或分离布去；。
• 则称
为一个生灭过程。
• {N (t),t 0}
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N(t) 的分布 pn (t) P{N (t) n}, (n 0,1,2...)
系统达到平稳状态时：pn pn (t), (n 0,1,2...)
设 {本X (节t，),t是内一T容}族结随机束变量，
T是一个实数集，对 t T , 是X一(t)个
随机变量，则称{X (t),t为随T机} 过程。
• T：参数集合 • 当T={0,1,…,n,…}时，称为随机序列
• X (t) ：k随机过程的一个状态
• 状态空间E={X(t)全体可能取值，t }T
充要条件是相继到达的时间间隔T服从相互
独立的参数为 的负指数分布。
et , t 0
aT (t)
0,
t 0
马尔可夫 性，或无
ET 1/ , DN (t) 1/ 2
后效性
负指数分布的性质:
P{T t sT s} PT t
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• Poisson过程与Poisson分布的关系：
独立的参数为 的负指数分布。
et , t 0
aT (t)
0,
t 0
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生灭过程
• 定义：设 {N (t),为t 一0个} 随机过程，若N(t)的概
率分布具有以下性质：
• (1)假设N(t)=n，则从时刻到下一个顾客到达
• 时(刻2)止假的设时N间(t)服=从n，参则数从为时的刻n 负到指下数一分个布顾；客离开
则 {N(t为),tPoi0s}son过程的充要条件是
P{N(t) n} (t)n et n 1,2,...
n!
EN(t) t , DN(t) t
数理统计方法 容易初步判断:期望=标准差
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Poisson过程与负指数分布
定理2：设 N(为t)时间 0内, t到 达系统的顾客数
则 {N(t为),t参数0}为 的Poisson过程的