高二数学下学期期中试题 理 (4)
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二下学期期中考试理科数学试题(解析版)
甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1. 复数2iz=-（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A. －1B. 1C. i-D. i〖答案〗B〖解析〗由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x，y∈R，且x y+<，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A. x，y都小于0 B. x，y至少有一个大于0C. x，y都大于0 D. x，y至少有一个小于0〖答案〗C〖解析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，y都大于0”．故选：C.3. 函数y＝x2cos 2x的导数为（）A. y′＝2x cos 2x－x2sin 2xB. y′＝2x cos 2x－2x2sin 2xC. y′＝x2cos 2x－2x sin 2xD. y′＝2x cos 2x＋2x2sin 2x〖答案〗B〖解析〗y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2x cos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2x cos 2x－2x2sin 2x.故选：B.4. 函数21ln2y x x=-的单调递减区间为（）A. ()1,1-B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点，33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++,()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos xf x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x=-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x aa e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20xax x af x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.〖答 案〗写在答题卡上.交卷时只交答题卡. 一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分） 1. 复数2i z =-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部为（ ） A. －1 B. 1C.i -D. i〖答 案〗B〖解 析〗由题意知：2i z=+，则虚部为1.故选：B.2. 在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（ ） A. x ，y 都小于0 B. x ，y 至少有一个大于0 C. x ，y 都大于0D. x ，y 至少有一个小于0〖答 案〗C〖解 析〗“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C.3. 函数y ＝x 2cos 2x 的导数为（ ） A. y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B. y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C. y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD. y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x〖答 案〗B〖解 析〗y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x . 故选：B.4. 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为（ ）A.()1,1- B.()1,+∞C.()0,1D.()0,∞+〖答 案〗C〖解 析〗函数21ln 2y x x=-的定义域为()0,∞+， ()()21111x x x y x x x x +--=-==′，()()1100x x x x ⎧+-<⎪⎨⎪>⎩，解得01x <<，所以函数21ln 2y x x=-的单调递减区间为()0,1. 故选：C.5. 用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是（ ）A. ()d ca f x x⎰B. ()d caf x x⎰C.()d ()d bc abf x x f x x +⎰⎰D.()d ()d cb baf x x f x x-⎰⎰〖答 案〗D〖解 析〗由定积分的几何意义知区域内的曲线与x 轴的面积代数和． 即()d ()d cbbaf x x f x x-⎰⎰，选项D 正确．故选D ．6. 把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（ ） A. 7种 B. 12种C. 43种D. 34种〖答 案〗D〖解 析〗由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444⨯⨯=种投法， 故选：D.7. 设函数f （x ）在定义域内可导，y =f （x ）的图象如图所示，则导函数y =f ′（x ）的图象可能是（ ）A. B.C.D.〖答 案〗A 〖解 析〗根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A. 8. 已知函数()33f x x x m=-+只有一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]22-, B.()(),22,-∞-+∞C.()2,2-D.(][),22,-∞-+∞〖答 案〗B 〖解 析〗由函数()33f x x x m=-+只有一个零点，等价于函数33y x x =-+的图像与y m =的图像只有一个交点， 33y x x =-+，求导233y x '=-+，令0y '=，得1x =±当1x <-时，0y '<，函数在(),1-∞-上单调递减； 当11x -<<时，0y '>，函数在()1,1-上单调递增；当1x >时，0y '<，函数在()1,+∞上单调递减；故当1x =-时，函数取得极小值2y =-；当1x =时，函数取得极大值2y =； 作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m 的取值范围是()(),22,-∞-+∞.故选：B.9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种〖答 案〗B〖解 析〗先将5名志愿者分为4组，有25C 种分法， 然后再将4组分到4个项目，有44A 种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454C A 240⋅=种.故选：B. 10. （1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为（ ） A. 12B. 16C. 20D. 24〖答 案〗A〖解 析〗由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ． 11. 下列说法正确的是（ ）①设函数()y f x =可导，则()()()11lim13x f x f f x →+-'=△△△；②过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2s t t t=+米，则该物体在时刻2t =秒的瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232v t t =+（米/秒）做直线运动，则它在0=t 到2t =秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充要条件． A. ①③ B. ③④C. ②③⑤D. ③⑤〖答 案〗B〖解 析〗对于选项①，设函数()f x ，则()()()()001(1)1111limlim 1333x x f x f f x f f xx →→+-+-=='，故①错．对于选项②，过曲线()y f x =外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动的物体的运动方程为()2S t t t=+，则()21S t t '=+，所以()25S '=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232v t t =+做直线运动，则它在0=t 到2t =时间段内的位移为()223220032d (| 2)1tt t t t +=+=⎰，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()y f x =，对于任意(),x a b ∈时，()0f x '>是函数()y f x =在(),a b 上单调递增的充分不必要条件，例如()3,'()0f x x f x =≥，故⑤错．故选B ． 12. 已知()2cos f x x x=+，x ∈R ，若()()1120f t f t ---≥成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. 20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()2,0,3∞∞⎛⎫-⋃+⎪⎝⎭D. 23⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，〖答 案〗B 〖解 析〗函数()y f x =的定义域为R ，关于原点对称，()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=-+-=+=，∴函数()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()2cos f x x x=+，()2sin 0f x x '=->，则函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，由()()1120f t f t ---≥得()()112f t f t -≥-，由偶函数的性质得()()112f t f t -≥-，由于函数()y f x =在[)0,∞+上为增函数，则112t t-≥-，即()()22112t t -≥-，整理得2320t t -≤，解得203t ≤≤，因此，实数t 的取值范围是20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.10d ⎤=⎦⎰x x ___________.〖答 案〗142π-〖解析〗11]d d =-⎰⎰⎰x x x x x ，根据定积分的几何意义可知，⎰x 表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以201144ππ=⋅⋅=⎰x ，而1210011d |22⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰x x x c ，所以101]d 42π=-⎰x x ．故〖答 案〗为：142π-.14. 在二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______． 〖答 案〗243〖解 析〗因为二项式214nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，所有二项式系数的和是32， 所以232n=，故5n =，取1x =可得二项式5214x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中各项系数和为53，即243.故〖答 案〗为：243.15. 若函数()y f x =在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x都有()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⋅⋅⋅+⎛⎫++⋅⋅⋅+≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在△ABC 中，sin sin sin A B C ++的最大值是______.〖答案〗〖解析〗由题设知：1(sin sin sin )sin()sin 3332A B C A B C π++++≤==，∴sin sin sin 2A B C ++≤，当且仅当3A B C π===时等号成立.故〖答案〗为：2.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 〖答 案〗(e, 1).〖解 析〗设点()00,A x y ，则00ln y x =.又1y x '=，当0x x =时，01y x '=， 点A 在曲线ln y x =上的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点(),1e --，得001ln 1ex x ---=-，即00ln x x e =，考查函数()ln H x x x=，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()'ln 1H x x =+，当1x >时，()()'0,>H x H x 单调递增，注意到()H e e=，故00ln x x e=存在唯一的实数根0x e=，此时01y =，故点A 的坐标为(),1A e .17. 若函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．〖答 案〗12a -<<〖解 析〗2012f x xlnx ax x f x lnx ax =+'=++（）（＞），（）． 令12g x lnx ax =++（），由于函数函数()2ln f x ax x x=+有两个极值点0g x ⇔=（）在区间∞（0，+）上有两个实数根．1122axg x a x x +'=+=（），当0a ≥ 时，0g x '（）＞ ，则函数g x （） 在区间∞（0，+）单调递增，因此0g x =（） 在区间∞（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去． 当0a < 时，令0gx '=（） ，解得12x a =-，令0gx '（）＞ ，解得102x a ＜＜-，此时函数g x （）单调递增；令0gx '（）＜ ，解得12x a ＞-，此时函数g x （）单调递减．∴当12x a =-时，函数g x （）取得极大值．要使0g x =（）在区间∞（0，+）上有两个实数根，则11022g ln a a （）＞，⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得102a -<<．∴实数a 的取值范围是（12a -<<.三．解答题（共5小题，满分65分） 18. 设i 为虚数单位，∈a R ，复数12iz a =+，243iz =-.（1）若12z z ⋅是实数，求a 的值；（2）若12z z 是纯虚数，求1z .解：（1）()()()()122i 43i 3846iz z a a a ⋅=+-=++-，因为12z z ⋅是实数，则460a -=，解得32a =.（2）()()()()122i 43i 2i 8346i 43i 43i 43i 2525a z a a a z +++-+===+--+，因为12z z 为纯虚数，则830460a a -=⎧⎨+≠⎩，解得83a =.所以1103z ==.19.>．>只要证22>，只要证1313+>+>，只要证4240>显然成立，故原结论成立．20. 数列{}n a 满足26a =，()*1111+--=∈+n n a n n a n N .（1）试求出1a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明.解：（1）26a =,()*1111+--=∈+n n a n n a n N 当1n =时,1211111a a --=+,11a ∴=,当2n =时,3212121a a --=+,315a ∴=,当3n =时,3413131a a --=+,428a ∴=,所以11a =,315a =,428a =.（2）猜想(21)n a n n =-下面用数学归纳法证明：假设n k =时,有(21)k a k k =-成立,则当1n k =+时,有()1211111112k k k a k a k k +++--+-==+++, ()()()122111k k k a k a +++-=+-⎡⎤⎣⎦()()11211k a k k +∴=++-⎡⎤⎣⎦故对*,(21)=∈-n n a n n N 成立.21. 已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00x f x x x f -''=-=. 又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1x h x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x=--=-'-. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 22. 设函数()f x ()20x ax x a a e ++=＞，e 为自然对数的底数．（1）求f （x ）的单调区间：（2）若ax 2+x +a ﹣e x x +e x ln x ≤0成立，求正实数a 的取值范围．解：（1）函数()()20x ax x a f x a e ++=>，e 为自然对数的底数，则()()11xaa x xaf xe-⎛⎫---⎪⎝⎭'=，令()0f x'=可得11x=，21111axa a-==-<，∴当1,axa-⎛⎫∈-∞⎪⎝⎭，()1,+∞时，()0f x'<，()f x单调递减；当1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x'>，()f x单调递增；∴()f x的单调增区间为1,1axa-⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，单调减区间为1,aa-⎛⎫-∞⎪⎝⎭，()1,+∞；（2）ax2+x+a﹣e x x+e x ln x≤0成立⇔2xax x ae++≤x﹣ln x，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xax x ae++=取得极大值21ae+，令g(x)= x﹣ln x,(x>0)，g′(x)= 11x -，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣ln x≥g(1)=1，当(]0,1a∈时，21ae+即为函数y2xax x ae++=的最大值，∴2xax x ae++≤x﹣ln x成立⇔21ae+≤1，解得a12e-≤；当()1,a∈+∞时，211ae+>，不合题意；综上所述，0<a12e-≤．。
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一､单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{}220,0,1A xx x B =-≤=∣，则A B ⋂=（）A.[]0,1B.{}0,1 C.[]0,2D.{}0,1,22.复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为（）A.()2,1- B.()1,1- C.()1,2 D.()2,23.函数()3,0ln ,0x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()1f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.-1B.0C.ln2D.24.在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心的极坐标是（）A.1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,0 D.()1,π5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()323f x x x=+ B.()5tan f x x=C.()8f x x=-D.()f x x =+6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.13B.14C.15D.177.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A.8种B.14种C.12种D.9种8.收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应的决定系数2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）A.ˆ19.8463.7yx =- B.0.273.84ˆx ye -=C.2ˆ0.367202yx =- D.ˆy =9.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则4321a a a a -+-=（）A.-1B.1C.15D.1610.函数2ln x x y x=的图象大致是（）A. B.C.D.11.函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，有()214f x m m -恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()3,11- B.()3,11 C.[]2,7D.[]3,1112.已知函数()22(1)sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ++--'-'=（）A.-3B.3C.2D.-2二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数()i 12i z =+的共轭复数为__________.14.10(1)x -的展开式的第6项系数是__________.15.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是__________.16.已知,a b 为实数，不等式ln ax b x +≥恒成立，则ba的最小值为__________.三､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到图形C '.（1）写出曲线C '的平面直角坐标方程；（2）点P 在曲线C '上，求点P到直线60l y +-=的距离的最小值及此时点P 的坐标.18.（本小题12.0分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1.（1）求,a b 的值；（2）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.19.（本小题12.0分）随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元.该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天（共计20天）的需求量（单位：个），统计数据得到下表：每天需求量162163164165166频数24653以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率.记X 表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量.（1）求X 的分布列；（2）若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元.20.（本小题12.0分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x12345678新增光伏装机量y 兆瓦0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2某位同学分别用两种模型：①2ˆybx a =+，②ˆy dx c =+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于ˆi i y y-）经过计算得()()()()()888211172.8,42,686.8iiii i i i i x x y y x x t ty y ===--=-=--=∑∑∑，()8213570ii tt =-=∑，其中8211,8i ii i t x t t ===∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==---==--∑∑21.（本小题12.0分）已知函数()11x f x eax a -=-+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）①若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合；②证明.()ln 20xe x -+>22.（本小题10.0分）在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ--=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l 经过点P .（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB PBPA+的值.答案和解析1.【正确答案】B解：集合{}{}{}22002,0,1A xx x x x B =-≤=≤≤=∣∣，则{}0,1A B ⋂=.2.【正确答案】A解.()()()()223i 1i 3i 33i i i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+--=====-++--则复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为()2,1-.3.【正确答案】D解：根据题意，函数()3,0,ln ,0,x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()210f e -=>，则()21ln 2ln 2f f e e ⎡⎤-===⎣⎦，4.【正确答案】D解：圆2cos ρθ=-即22cos ρρθ=-，即2220x y x ++=，即22(1)1x y ++=，表示以()1,0-为圆心，半径等于1的圆.而点()1,0-的极坐标为()1,π，5.【正确答案】A解：函数()323f x x x =+是奇函数，且在定义域内是增函数，A 正确；函数()5tan f x x =在定义域内不具有单调性，B 错误；函数()8f x x=-在定义域内不具有单调性，C 错误；函数()f x x =+[)0,∞+，不具有奇偶性，D 错误；综上，应选A .6.【正确答案】C解：模拟程序的运行，可得1a =执行循环体，3a =不满足条件10a >，执行循环体，7a =不满足条件10a >，执行循环体，15a =满足条件10a >，退出循环，输出a 的值为15.故选.C 7.【正确答案】B【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故本题选B .8.【正确答案】B由决定系数2R 来刻画回归效果，2R 的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好.故选.B 9.【正确答案】C【分析】利用赋值法结合条件即得.【详解】因为443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，令0x =得，01a =，令1x =-得，443210(2)16a a a a a -+-+=-=，所以，432116115a a a a -+-=-=.故选：C.10.【正确答案】D解：当0x >时，ln ,1ln y x x y x ==+'，即10x e <<时，函数y 单调递减，当1x e>，函数y 单调递增，又因为函数y 为偶函数，故排除ABC ，故选.D 11.【正确答案】D解：因为()3224f x x x x =--+，所以()2344f x x x =--+'，令()0f x '=得23x =或2x =-，可知函数()f x 在[)3,2--上单调递减，在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，而()()()24033,28,,333327f f f f ⎛⎫-=--=-==-⎪⎝⎭，所以函数()f x 在[]3,3-上的最小值为-33，因为当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，只需2min 14()m m f x -≤，即21433m m -≤-，即214330m m -+≤，解得311m ≤≤.故选D .12.【正确答案】C【分析】利用求导法则求出()f x '，即可知道()()f x f x '='-，再利用()()2f x f x +-=，即可求解.【详解】由已知得()()2222(1)sin (1)sin 11x x x xf x x x -+----==++，则()()2222(1)sin (1)sin 211x x x xf x f x x x ++--+-=+=++，()()()()222221cos 12(1)sin 1x x x x x x f x x'⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦=+()()()2222cos 12sin 1x x x xx ++-=+则()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++--=+'，即()()f x f x '='-，则()()()()2022202220222022f f f f ++-''--()()()()20222022202220222f f f f =+-+'-'-=，故选：C.13.【正确答案】2i --解：复数()i 12i 2i z =+=-+，其共轭复数为2i --.14.【正确答案】-252【分析】应用二项式定理写出第6项系数.【详解】由101011010C (1)(1)C rrr r r rr T xx --+=-=-，所以，第6项为5r =，则5555610(1)252T C x x =-=-，故第6项系数是-252.故-25215.【正确答案】乙解：假设甲会，那么甲､乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲､乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；假设丙会，那么乙､丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会.综上可得：会中国象棋的是乙，16.【正确答案】-1【分析】先由ln ax b x +≥恒成立得出ln 1b a ≥--，进而ln 1b a a a--≥，构造函数()ln 1(0)a g a a a--=>求解.【详解】设()ln (0)f x x ax b x =-->，则不等式ln ax b x +≥恒成立等价于max ()0f x ≤成立，显然当0a ≤时不符合题意.当0a >时，()11(0)ax f x a x x x-=-=>'，∴当10x a <<时，()0f x >，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，max 1()ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--- ⎪⎝⎭.由max ()0f x ≤得ln 1ln 1,b a b a a a --≥--∴≥.令()ln 1(0)a g a a a --=>，则()2ln ag a a='，当01a <<时，()()0,g a g a '<在()0,1上单调递减，当1a >时，()()0,g a g a '>在()1,∞+上单调递增，()min ()11g a g ∴==-，1ba ∴≥-，则min1b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时1,1a b ==-.故-1.17.【正确答案】解：（1）由2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中，得22()()143x y +=.即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程；（2）设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离为d ==其中255tan 2sin 55ϕϕϕ⎛=== ⎝⎭，当()sin 1θϕ+=时，即()22k k Z πθϕπ+=+∈，于是()sin sin 2cos 25k k Z πθπϕϕ⎛⎫=+-==∈ ⎪⎝⎭，同理25cos sin 5θϕ==，此时6152d =，即距离最小值为6152，此时点4515,55P ⎛ ⎝⎭.18.【正确答案】解：（1）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1，()234f x x ax b =+'+ ，且函数()f x 在1x =-处有极值1，()()13401120f a b f a b a ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+-+='⎪⎩，解得1;1a b =⎧⎨=⎩又当1a b ==时，()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，()f x ∴在(),1∞--和1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值，满足题意；综上，1a b ==；（2）当1,1a b ==时，()3221f x x x x =+++，则()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x -111,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭13-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1()f x '-0+()f x 1单调递减极小值2327单调递增5所以[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为5.19.【正确答案】解：（1）X 可取162,163,164,165,166，()()()214163162,163,16420102052010P X P X P X =========，()()513165,16620420P X P X =====，所以分布列为：X162163164165166P 1101531014320（2）设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=，当163X =时，16350108140Y =⨯-=，当164X =时，164508200Y =⨯=，当165X =时，16450208220Y =⨯+=，当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=，所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.【正确答案】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于1的水平带状区域内，模型①的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1）知，y 关于x 的回归方程为2ˆˆˆy bx a =+，令2t x =，则ˆˆˆy bt a =+.由所给数据可得8111(1491625364964)25.588i i t t ===⨯+++++++=∑，8111(0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2)588i i y y ===⨯+++++++=∑，则()()()81821686.8ˆ0.193570i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，ˆˆ50.1925.50.16ay bt =-≈-⨯≈.所以y 关于x 的回归方程为2ˆ0.190.16yx =+.预测该地区2020年新增光伏装机量为2ˆ0.19100.1619.16y=⨯+=（兆瓦）.21.【正确答案】解：（1）因为()11x f x e ax a -=-+-，所以()1x f x e a -=-'，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间R 上单调递增；②当0a >时，令()0,ln 1f x x a >>+'，令()0,ln 1f x x a <<+'，所以()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增.（2）①由（1）可得当0a ≤，函数()f x 在区间R 上单调递增，又()0110f e a a =-+-=，所以1x <，则()0f x <，与条件矛盾，当0a >时，()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增，所以()()ln 1f x f a ≥+，由已知()ln 10f a +≥，所以aln 10a a --≥，设()ln 1g x x x x =--，则()1ln 1ln g x x x =--=-'，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()ln 1g x x x x =--单调递增，()1,x ∞∈+时，()0g x '<，函数()ln 1g x x x x =--单调递减，又()11ln110g =--=，所以不等式ln 10a a a --≥的解集为{}1.②证明：设()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'，当()2,1x ∈--时，()0h x '<，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递增，又()10ln10h -=-=，所以()1ln 20x x +-+≥，当且仅当1x =-时取等号，由（1）1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以()ln 20xe x -+>.22.【正确答案】解：（1）点P 的直角坐标是()1,0-，直线l 的倾斜角是34π，∴直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），由直角坐标与极坐标互化公式得曲线C 的直角坐标方程为22(1)9x y -+=.（2）将1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)9x y -+=，得250t +-=，设,A B 对应参数分别为12,t t，则12125t t t t +==-，根据直线参数方程t 的几何意义得：()()2222221212121212||2251855PA PB t t t t PAPBt t PB PA PA PB t t t t ++--⨯-++=====⋅⋅⋅-.。
天津市部分区2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题(含答案)
天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共120分，考试用时100分钟．祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题公共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．曲线1y x x=-在2x =处的切线斜率为（ ）A ． 3-B ．34C ．54D ． 52．用0~6这7个自然数，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）A ．60B ．90C ．180D ．2103．函数ln xy x=的单调递增区间为（ ）A ． (),e -∞B ． ()0,e C ． ()1,+∞D ． ()e,+∞4． ()()52x y x y +-的展开式中33x y 项的系数为（ ）A ． 30-B ． 10-C ． 10D ．305．已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图所示，则对于()y f x =的描述正确的是（）A ．在区间(),0-∞上单调递减B ．当0x =时取得最大值C ．在区间()3,+∞上单调递减D ．当1x =时取得最小值6．甲乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．已知函数()32113f x x x ax =+-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）A ． (],1-∞-B ． (),1-∞-C ． ()1,-+∞D ． [)1,-+∞8．函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π上的最大值为（ ）A ． 1-B ．1C ．1π+D ．2π+9．若对任意的()12,,x x m ∈+∞，不等式122112ln ln 2x x x x x x ->-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ． 31,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 31,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ． ()3e ,+∞D ． )3e ,⎡+∞⎣第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．设函数()21ex f x -=，()f x '为其导函数，则()1f '=______．11．765765A 6A 6A --=______．12．在1，2，3，…，500中，被5除余3的数共有______个．13．在6⎛ ⎝的展开式中，2x 的系数是______．（用数字作答）14．如图，现要用4种不同的颜色对4个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，共有______种不同的着色方法．（用数字作答）15．已知函数()()()()22f x x a x a =--∈R ，当2x =时，()f x 有极大值，则a 的取值范围为______．三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数()312f x x x =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 的极值．17．（本小题满分12分）班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学代表本组与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组有多少种选法?（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法?（3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三、四辩手，那么每个小组有多少种选法?18．（本小题满分12分）已知函数()()()256ln f x a x x a =-+∈R ，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6．（1）求a 的值；（2）求()f x 在区间[]1,3上的最小值．19．（本小题满分12分）已知函数()ln af x x x=+，a ∈R ．（1）若()f x 在点()()1,1f 处取得极值．①求a 的值；②证明：()1f x ≥；（2）求()f x 的单调区间．20．（本小题满分12分）已知函数()e xf x x x a =--，()22g x x x =-，a ∈R ．（1）求函数()y f x =-的导数；（2）若对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设函数()()ln h x f x x =-，若()h x 在区间()0,e 上存在零点，求a 的最小值．天津市部分区2023~2024学年度第二学期期中练习高二数学参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分．题号123456789答案CCBBCBACD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．10．2e 11．012．10013．192-14．4815．2a >三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（1）函数()f x 的定义域为R ，导函数()2312f x x '=-，令()0f x '=，解得2x =±，则()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：x(),2-∞-2-()2,2-2()2,+∞()f x '＋0－0＋()f x 单调递增取极大值单调递减取极小值单调递增故函数()f x 的单调增区间为(),2-∞-和()2,+∞，单调减区间为()2,2-；（2）由小问1知，当2x =-时，函数()f x 取得极大值16；当2x =时，函数()f x 取得极小值16-．17．（本小题满分12分）解：（1）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C 495=；（2）每个小组从12名同学中选4名同学，选法种数为412C ，再从选出的同学中选定1名作为替补选法种数为14C ，因此还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的选法种数为41124C C 1980=．（3）每个小组从12名同学中选4名同学并分别被指定为第一、二、三、四辩手，选法种数为412A 11880=．18．（本小题满分12分）解：（1）因为()()256ln f x a x x =-+，所以()()625f x a x x'=-+，令1x =，则()116f a =，()168f a '=-．所以曲线()yf x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()16681y a a x -=--．由点()0,6在切线上，可得61686a a -=-，解得12a =．（2）由（1）得()()()2156ln 02f x x x x =-+>所以()()()2365x x f x x x x--'=-+=令()0f x '=，解得12x =，23x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()1,22()2,3()f x '＋0－()f x 单调递增单调递减又由于()18f =，()326ln 38f =+>．所以，当1x =时，()f x 取得最小值8．19．（本小题满分12分）解：（1）①()221a x af x x x x-'=-+=，因为()f x 在点()()1,1f 处取得极值，所以()11101af a -'==-=；所以1a =．②中①得，()1ln f x x x =+，()21x f x x-'=令()0f x '=，解得1x =，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示．x()0,11()1,+∞()f x '－0＋()f x 单调递减1单调递增所以，当1x =时，()f x 取得最小值．所以()()11f x f ≥=，即()1f x ≥．（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()221a x a f x x x x-'=-+=，当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 的单调递增区将为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，令()0f x '=解得x a =，()0f x '>的解集为{}x x a >，()0f x '<的解集为{}0x x a <<，所以()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a 综上所述：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞，无单调递减区间；当0a >时，()f x 的单调递增区间为(),a +∞，单调递减区间为()0,a ．20．（本小题满分12分）解：（1） ()e x y f x x x a -=-=-+-，所以e e 1x x y x --'=-++（2）因为()()1e 1x f x x '=+-，[]11,e x ∈，所以()0f x '≥，故()f x 在[]1,e 上单调递增，所以()e 1e 1,ee f x a a +⎡⎤∈----⎣⎦，又()()22211g x x x x =-=--，所以()g x 在[]1,2上也是单调递增，所以()[]1,0g x ∈-，因为对任意的[]11,e x ∈，[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥成立，等价于()()12min max f x g x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，即e 10a --≥，所以e 1a ≤-．故实数a 的范围是(],e 1-∞-．（3）由()e ln 0x h x x x x a =---=，即e ln x x x x a --=，令()e ln x p x x x x =--，()0,e x ∈，而()()()()1e 111e e 11e xx x xx x x p x x x x x x+-+'=+--=+-=，令()e 1x q x x =-，()0,e x ∈，则()ee 0xx q x x '=+>，即函数()q x 在()0,e 上单调递增，因为()010q =-<，()1e 10q =->，即()()010q q ⋅<，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00q x =，即00e 10xx -=，即01ex x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()0q x <，()0p x '<，函数()p x 单调递减；当0e x x <<时，()0q x >，()0p x '>，函数()p x 单调递增，所以()()0000000min e ln 11x p x p x x x x x x ==--=-+=，又0x +→时，()p x →+∞，所以要使()h x 在()0,e 存在零点，则1a ≥，所以a 的最小值为1．。
陕西省西安铁一中高二下学期期中考试(数学理).doc
陕西省西安铁一中高二第二学期期中考试（数学理）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）1.复数21ii -的共轭复数是A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2. 设曲线y=11-+x x 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a 等于（ ）A.2B. -2C.21-D. 213.下面四个等式：（1）1m m n n n A A n m -=-，（2）11k k n n kC nC --=，（3）11mm n n n C C m --=，（4）11m m n n A nA --=中正确的有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4.平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外无三点共线，连接这样的9个点，可以得到不同的直线的条数为（ ）．A ．31条B ．30条C ．28条D ．26条5. 计算=+-⎰dx e x x )23sin 2(0π（ ）A ．ππe -+26B ． ππe -+-21C ．ππe 325-+D ．ππe 327-+6．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，B f =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系Ａ．A B C ≤≤ Ｂ．A C B ≤≤ Ｃ．B C A ≤≤ Ｄ．C B A ≤≤7.高二某班6名同学站成一排照相，同学甲，乙不能相邻，并且甲在乙的右边，则不同排法总数共有（ ）A ．1B ．240C ．360D ．4808.在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是( )A ．-30B ．5C ．10-D ．109.四张卡片上分别标有数字“2”、“0”、“0”、“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．2410． )(x f ,)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时,0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且0)3(=-g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）A ．(－3，0)∪(3，+∞)B ．(－∞，－3)∪(3，+∞)C ．(－∞，－3)∪(0，3)D ．(－3，0)∪(0，3)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11.若i b i i a -=⋅-)2(，其中R b a ∈,，i 是虚数单位，则复数a bi +的模等于 12.观察以下几个等式：⑴ 1011021111C C C C C =+；⑵20211204222222C C C C C C C =++；(3)303122130633333333C C C C C C C C C =+++，归纳其特点可以获得一个猜想是：2n n C =．13.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为 .14.如图是y=f(x)导数的图象，对于下列四个判断：①f(x ）在［-2，-1］上是增函数；②x=-1是f(x)的极小值点；③f(x)在［-1，2］上是增函数，在［2，4］上是减函数； ④x=3是f(x)的极小值点.其中判断正确的是. 三、解答题（本大题共3小题，共34分）15.（本小题满分11分）已知在nxx ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中，第6项为常数项.（1）求n;(2)求含x2的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项. 16.（本小题满分11分）已知，,27321...31211,3161151...31211,2581...31211,24131211>++++>+++++>++++>+++4641...31211>++++;（1）试由此归纳出当*,1N n n ∈>时相应的不等式；（2）试用数学归纳法证明你在第（1）小题得到的不等式． 17. （本小题满分12分）设函数22)1ln()1()(x x x f +-+=（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若当]1,11[--∈e e x 时，不等式m x f <)(恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程a x x x f ++=2)(在区间]2,0[上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围。
四川省眉山冠城七中实验学校2022-2023学年高二下学期4月期中质量检测理科数学试题 - 副本
高2021级数学 第1 页 共 4 页 高2021级数学 第 2页 共 4 页高2021级高二下学期期中质量检测 2023.04.25理科数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考号填写在答题卷规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卷上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔将答案书写在答题卷规定的位置上.4．考试结束后，将答题卷交回.第一部分（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数−=+z 1i2i，则=z （ ） A ．1BCD2．数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一本政治与都是数学B ．至少有一本政治与都是政治C ．至少有一本政治与至少有一本数学D ．恰有1本政治与恰有2本政治 3．已知复数=+∈∈z a b a b i R,R )(，且+=−z 12i 1i )(，则−=a b （ ）A ．52B ．51C ．−52D ．−514．从甲、乙等6名专家中任选2人前往某地进行考察，则甲、乙2人中至少有1人被选中的概率为（ ） A ．54B ．32C ．52D ．535．命题p :“∀∈−+>x x mx R,102”，命题q :“<m 2”，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 6．命题“∃∈+∞a 0,)[，>a a sin ”的否定形式是（ ）A ．∈+∞∀a 0,)[，≤a a sinB ．∃∈+∞a 0,)[，≤a a sinC ．∀∈−∞a ,0)(，≤a a sinD ．∃∈−∞a ,0)(，>a a sin7．)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列a n }{称为“斐波那契数列”，则=a 7（ ） A ．8B ．13C ．18D ．23． B ． C ． ．9．地铁让市民不再为公交车的拥挤而烦恼，地下交通的容量大、速度快、准点率高等特点弥补了 单一地面交通的不足.成都地铁9号线每5分钟一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是（ ）A ．0.6B ．0.8C ．0.4D ．0.210．已知命题∀∈p x :R ，>−x sin 1；命题∃∈+=+q x y x y x y :,R,sin sin sin )(，则下列命题是真命题的是（ ） A ．∧p q B ．∧⌝p q )( C ．∨⌝p q )( D ．⌝∧p q )(11．已知−=x a x 012在∈+∞x 0,)(上有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．⎝⎦⎥ ⎛⎤e 20,1B ．⎝⎭⎪⎛⎫2e 0,1C ．⎝⎦⎥ ⎛⎤1,e 2e 1D ．⎝⎭⎪⎛⎫1,e 2e 112.函数=f x x ln 2)(的图象与函数=−+−−xg x x x x 2e e 1)(的图象交点的横坐标x 0，则e x xln 200＝ （ ） A ．−ln 2B ．－21C ．21D ．ln 2高2021级数学 第3 页 共 4 页 高2021级数学 第4页 共 4 页第二部分（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学(理)试题(解析版)
2021-2022学年河南省南阳市高二下学期期中质量评估数学（理）试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，a ，b ∈R ，若()2i i 2i a b +=+，则i a b +=（ ）A ．B ．0C ．2D ．4【答案】A【分析】结合复数乘法、复数相等、复数的模的知识求得正确答案. 【详解】依题意()2i i 2i 2i a a b +=-+=+，所以2222b a a b -==⎧⎧⇒⎨⎨==-⎩⎩，所以i a b +==故选：A2．下列函数的求导不．正确的是（ ） A ．()232x x --'=-B ．()cos cos sin x x x x x '=-C ．()1ln1010'=D ．()22x x e e '=【答案】C【分析】由函数的求导公式及导数的四则运算对四个选项一一判断. 【详解】对于A ：由幂函数的导数公式得：()232x x --'=-.故A 正确； 对于B ：由导数的四则运算得：()cos cos sin x x x x x '=-.故B 正确； 对于C ：因为常值函数的导数为0，所以()ln100'=.故C 错误； 对于D ：由导数的四则运算得：()22x x e e '=.故D 正确. 故选：C.3．利用反证法证明“已知12345100a a a a a ++++≥，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（ ） A ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 均不大于20 B ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20 C ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 不都大于20 D ．1a ，2a ，3a ，4a ，5a 至多有一个小于20 【答案】B【分析】根据量词的否定即可求解.【详解】1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中至少有一个数不小于20的否定是: 1a ，2a ，3a ，4a ，5a 都小于20.故选:B4．若y ax b =+是()ln f x x x =的切线，则a b +的取值范围为（ ） A ．[)1,-+∞ B ．[)1,+∞ C ．(],0-∞ D ．[]1,0-【答案】C【分析】设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点，求出导数，即可求出切线方程，从而得到0ln 1a x =+，0b x =-，即可得到a b +的表达式，构造函数，利用导数求出函数的单调性与最大值，从而得解；【详解】解：设点()000,ln x x x （00x >）是函数()ln f x x x =图象上任意一点， 由()ln 1f x x '=+，00()ln 1f x x '=+，所以过点()000,ln x x x 的切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-， 即00(ln 1)y x x x =+-，0ln 1a x ∴=+，0b x =-， 所以00ln 1a b x x +=+-令()ln 1g x x x =+-，()0,x ∈+∞， 所以()111x g x x x-'=-=， 所以当01x <<时()0g x '>，当1x >时()0g x '<， 所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， 所以()()max 10g x g ==，所以()0g x ≤，即(],0a b +∈-∞； 故选：C5．在“2022年北京冬奥会知识竞赛”活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测．甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最低的是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【分析】分别假设甲、乙、丙、丁说的是真的，从而推理出正确答案.【详解】甲说：丁>乙；乙说：甲>丙；丙说：丙>丁；丁说：丙>乙.若甲的成绩最低，甲说的是真，乙丙丁说的是假，则丁>乙>丙>甲，符合题意. 若乙的成绩最低，乙说的是真，丁说的是假，即丙<乙，与乙的成绩最低矛盾，不符合题意.若丙的成绩最低，丙说的是真，即丙>丁，与丙的成绩最低矛盾，不符合题意. 若丁的成绩最低，丁说的是真，丙说的是假，即丙<丁，与丁的成绩最低矛盾，不符合题意. 故选：A6．在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x 万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y （单位：万元）与贷款x 满足关系式12ln 9y x x x=--+，要使年利润最大，小李应向银行贷款（ ） A ．3万元 B ．4万元 C ．5万元 D ．6万元【答案】B【分析】利用导数对问题进行求解，从而得出正确答案. 【详解】依题意12ln 9y x x x=--+，且010x <≤， ()()2'22243112121x x x x y x x x x -++-++=-+==， 所以函数12ln 9y x x x=--+在()'0,4,0y >，函数递增；在()'4,10,0y <，函数递减.所以当4x =万元时，函数取得最大值. 故选：B7．在二维空间中，圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=；在三维空间中，球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=.应用合情推理，若在四维空间中，“特级球”的三维测度312V r π=，则其四维测度W 为 A ．44r π B ．43r πC ．42r πD ．4r π【答案】B【分析】根据所给的示例及类比推理的规则得出，高维度的测度的导数是低一维的测度，从而得到W V '=，求出所求．【详解】由题知，,S l V S ''==，所以类比推理，猜想，W V '=，因为312V r π=， 所以43W r π=，故选B ．【点睛】本题主要考查学生的归纳和类比推理能力．8．函数()sin sin cos f x x x x =+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可排除错误答案，从而得解； 【详解】解：因为()sin sin cos f x x x x =+，[],x ππ∈-，所以()()()()()sin sin cos sin sin cos f x x x x x x x f x -=-+--=--=-， 所以()f x 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除D ；又sin sin cos 102222f ππππ⎛⎫=+⋅=> ⎪⎝⎭，故排除A ，又3313316sin sin cos 133332f ππππ⎛⎫=+⋅=>= ⎪⎝⎭，故排除C ； 故选：B9．利用数学归纳法证明不等式()211112321nf n +++⋅⋅⋅+<-（*n ∈N ）的过程，由n k =到1n k =+时，左边增加了（ ） A ．k 项 B ．22k 项 C ．12k -项 D ．232k ⋅项【答案】D【分析】由数学归纳法，可知增加的项，由分母的改变量即可求解. 【详解】n k =时,左边为()211112321kf k +++⋅⋅⋅+<-， 当1n k =+时，左边为()2222211111111123212212221kk k k k ++++⋅⋅⋅+++++-++-左边增加了()2222111112212221k k k k +++++++- ，共有()()2122212132k k k +⎡⎤---=⋅⎣⎦. 故选：D10．已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内有极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,18B ．()2,18C ．(][)218-∞⋃∞,,+ D ．[]2,18 【答案】B【分析】求出导函数，得到函数在()0,+∞上的单调性，列不等式，即可得到答案.【详解】()2,0.af x x x x '=->当a ≤0时, ()0.f x '>恒成立,故函数在(1,3)内单调递增,不符合题意;当a >0时,令()0.f x '>可得：22a x >；令()0f x '<，可得：202a x <<， 所以要使函数()f x 在()1,3内有极值点，只需2132<<a,解可得,2<a <18. 故选：B11．数列1，6，15，28，45，…中的每一项都可用如图所示的六边形表示出米，故称它们为六边形数，那么第11个六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C【分析】细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时联系相关知识,如等差数列、等比数列等，结合图形即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的各项为1，6，15，28，45，... 所以1111a ==⨯，2623a ==⨯，31535a ， 452847,4559a a ==⨯==⨯，⋅⋅⋅，()21n a n n =-，所以111121231a =⨯=. 故选：C12．若关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]12ln2e 3--, B ．1e 12ln 2e +⎛⎤- ⎥⎝⎦, C ．1e 12ln2e +⎛⎫- ⎪⎝⎭,D ．()12ln 2e 3--,【答案】D【分析】由方程12ln 0x x x mx -+-=分离常数m ，通过构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围.【详解】依题意关于x 的方程12ln 0x x x mx -+-=在区间1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个相异的实根，12ln 1m x x =+-，构造函数()112ln 1e e x x x x f ⎛⎫+-<< ⎝=⎪⎭，()'221221x f x x x x-=-+=， 所以()f x 在区间()()'11,,0,e 2f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭递减；在区间()()'1,e ,0,2f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增.122ln 2112ln 22f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭， 1e 21e 3e f ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，()11e e 21e e f +=+-=，所以()12ln 2e 3m -∈-,. 故选：D 二、填空题13．(12x dx =⎰________【答案】14π+【详解】因11(2(2)x dx x dx =+⎰⎰，而122(2)101x dx =-=⎰，2222000111cos (1cos 2)sin 2|22224dx tdt t dt t πππππ==+=⨯+=⎰⎰，应填答案14π+．14．已知复数12z =-，则z z =______．【答案】12-【分析】先求出z ，再利用复数的四则运算直接求解. 【详解】因为复数12z =-，所以复数12z =-，所以21212z z ⎛⎫- ⎪==-⎝⎭⎝⎭.故答案为：12-15．已知函数()()21e e e e 2x x f x a a x =+--（其中R,e a ∈为自然对数的底数）在x ＝1处取得极小值，则a 的取值范围是______． 【答案】()e,∞-+【分析】先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，结合()f x 在1x =处取得极小值来求得a 的取值范围.【详解】()()()()'2e e e e e e e x x x xf x a a a =+--=+-，当0a ≥时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意. 当0a <时，由e 0x a +=解得()ln x a =-，①当()ln 1,e 0a a -<-<<时，()f x 在区间()()()()'ln ,1,0,a f x f x -<递减；在区间()()()'1,,0,f x f x +∞>递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，符合题意.②当()ln 1,e a a -≥≤-时，()f x 在区间()()()',1,0,f x f x -∞>递增，不符合题意.综上所述，a 的取值范围是()e,∞-+. 故答案为：()e,∞-+16．已知e 为自然对数的底数，a ，b 为实数，且不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立．则11b a ++的最大值为______． 【答案】12e【分析】由不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤进行转化，先利用特殊值求得11b a ++的取值范围，再利用导数求得11b a ++的最大值. 【详解】依题意：不等式()ln 2e 1210x a x b +--++≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 即()()ln 2e 1121x x a x b +-≤+-+①对任意的()0,x ∈+∞恒成立， ln 2e 1y x x =+-在()0,∞+上递增，则10a +>，由①，令1e x =得()()111ln 2e 1121e e e a b +⋅-≤+⋅-+，整理得1112eb a +≤+.当13e 1,2a b =-=时，1112eb a +=+，此时，①即ln 2e 13e 3x x x +-≤-，只需ln e 20x x -+≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，令()()()'e 1ln e 20,x f x x x x f x x-+=-+>=， 所以()f x 在区间()()'10,,0,e f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'1,,0,e f x f x ⎛⎫+∞< ⎪⎝⎭递减，所以()111ln e 20e e e f x f ⎛⎫≤=-⨯+= ⎪⎝⎭.故答案为：12e【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，主要步骤是先化简不等式，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等来进行求解. 三、解答题17．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值. 【答案】(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=. （2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．（1）设0a b ≥>，用综合法证明：3322a b a b ab +≥+．（2）设0a >，求证：2211a a a a+≥+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）作差可得33222()()()()a b a b ab a b a b +-+=+-，由0a b >，可得2()0a b -，可得2()()0a b a b +-，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证． 【详解】（1）证明如下：33223232()()()()a b a b ab a a b b ab +-+=-+- 22()()a a b b b a =-+-222()()()()a b a b a b a b =--=+-又0a >，0b >，∴0a b +>，而()20a b -≥， ∴()()20a b a b +-≥， 故3322()()0a b a b ab +-+≥， 即3322a b a b ab +≥+．（2）证明：要证2211a a a a+≥+， 只要证431a a a +≥+， 只要证43(1)0a a a ---≥， 只要证3(1)(1)0a a a ---≥，只要证()31(1)0a a --≥， 只要证()22(1)10a a a -++≥，因为2(1)0a -≥，22131024a a a ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，所以()22(1)10a a a -++≥成立，所以0a >时，2211a a a a+≥+成立． 19．已知两曲线3y x ax =+和2y x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线． (1)求a ，b ，c 的值；(2)求公切线所在的直线方程；(3)若抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，求点M 的坐标和最短距离．【答案】(1)1a =，2b =，1c =- (2)420x y --=(3)()1,2M 【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把P 点坐标代入两个函数式，可解得,,a b c ；（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；（3）由抛物线的导数值等于4可得M 点坐标，再由点到直线距离公式可得结论． 【详解】(1)根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是()()()332100lim lim 3x x x x a x x x ax y y x a x x∆→∆→+∆++∆-+∆'===+∆∆． ()()()22200lim lim 2x x x x b x x c x bx c y y x b x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+∆∆．将()1,2P 分别代入两曲线方程得到21a =+，21b c =++．又213y x a '=+，22y x b '=+，则32a b +=+，解得1a =，2b =，1c =-． (2)由（1）知3y x x =+，2131y x '=+；当1x =时，14y '=，故切线方程 为()412y x =-+，即420x y --=．由（1）知221y x x =+-，222y x '=+，当1x =时，24y '=，故切线方程为()412y x =-+，即420x y --=．综上所述，公切线所在的直线方程为420x y --=．(3)要使抛物线2y x bx c =++上的点M 到直线45y x =-的距离最短，则抛物线在点M 处 的切线斜率应该与直线45y x =-相同， 则()()()2200lim lim 224x x x x b x x c x bx c y y x x x∆→∆→+∆++∆+-++∆'===+=∆∆，解得1x =．又因为点M 在抛物线上，解得()1,2M ， 所以最短距离即d 为点M 到直线45y x =-的距离，代入点到直线的距离公式得d =20．新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x 万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩（单位：万元）．（注：每问结果精确到小数点后两位．参考数据2e 7.39≈，3e 20.09≈） (1)当每月生产5万件口罩时，利润约为多少万元？ (2)当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？ 【答案】(1)6.67万元 (2)20.09万件【分析】（1）直接利用函数的关系式代值计算即可.（2）利用函数的导数，求最值，然后根据分段函数，比较得最大值.【详解】(1)当5x =时,()212055455 6.6733p =-⨯+⨯-=≈,故当每月生产5万件口罩时，利润约为6.67万元(2)因为利润函数为()23145,07,3e 12ln ,7x x x p x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩故当()221107,()456373x p x x x x <<=-+=--+-,此时当max 6,()7x p x ==.当7x ≥时,()3e 12ln ,p x x x =-- ()3322e e ,1x xx p x x -'=-+=当37e ,()0,x p x '≤≤> 此时()p x 单调递增,当3e ,()0,x p x '><此时()p x 单调递减，故当3e 20.09x =≈时，33max3e ()12ln e 12318ep x =--=--=综上，当20.09x =时，所获月利润最大.21．已知函数()e xf x =，()cosg x x =-．(1)讨论函数()()()g x F x f x =的单调性；(2)设函数()()()G x f x g x ax =+-（R a ∈），若()G x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上为增函数，求实数a 的取值范围．【答案】(1)增区间π3π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，减区间3π7π2π,2π,Z 44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭(2)π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）利用导数求得()F x 的单调区间.（2）由()'0G x ≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，分离常数a ，通过构造函数法，结合导数求得a的取值范围. 【详解】(1)()()()cos e xg x xF x f x -==，()F x 的定义域为R .()'sin cos πsin e 4x x x F x x +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 设Z k ∈， ππ3π2π2ππ,2π2π444k x k k x k <+<+-<<+， π3π7π2ππ2π2π,2π2π444k x k k x k +<+<++<<+， 所以()F x 在区间()()'π3π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭递增；在区间()()'3π7π2π,2π,0,44k k F x F x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭递减.(2)()()()e cos xG x f x g x ax x ax =+-=--，π2x ≥-，()'e sin 0x G x x a =+-≥在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，e sin x a x ≤+在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上恒成立，令()πe sin 2xh x x x ⎛⎫=+≥- ⎪⎝⎭，当ππ22x -≤≤时，()'cos 0,e cos 0x x h x x ≥=+>； 当π2x >时，e 1cos 1x x >≥≥-，()'e cos 0xh x x =+>， 所以()h x 在π,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增，()ππ22ππe cos e 22h x h --⎛⎫⎛⎫≥-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2e a -≤，即a 的取值范围是π2,e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】由函数()f x 在区间上的递增（或递减）来求参数的取值范围，可利用()'f x ≥（或()'0f x ≤）恒成立来建立不等关系式，然后通过分离常数法，再次结合导数来求得参数的取值范围.22．如图，()111,P x y 、()222,P x y 、⋅⋅⋅、(),n n n Px y （120n y y y <<<⋅⋅⋅<）是曲线C ：y =上的n 个点，点(),0i i A a （i ＝1，2，3，⋅⋅⋅，n ）在x 轴的正半轴上，且1i i i A A P -∆是等腰直角三角形，其中i P 为直角顶点，0A 是坐标原点．(1)写出1a 、2a 、3a ；(2)猜想点(),0n n A a （*n ∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明． 【答案】(1)12a =，26a =，312a = (2)证明见解析【分析】（1）推导出()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，结合0a 的值，可求得1a 、2a 、3a 的值；（2）结合1a 、2a 、3a 的值可猜想得出()()*1n a n n n =+∈N ，然后利用数学归纳法结合()()()2*112n n n n a a a a n ---=+∈N 和{}n a 为单调递增数列，可证得猜想成立.【详解】(1)设00a =，则依题意，可得12n nn a a x -+=，11122nn n n n n a a a a y a ---+-=-=， 代入y x =1122n n n n a a a a ---+= 即()2*11()2()n n n n a a a a n ---=+∈N ，由图可知{}n a 为单调递增数列，所以，1n n a a +>，所以12a =，26a =，312a =．(2)由（1）可猜想：()()*1n a n n n =+∈N ． 下面用数学归纳法证明：（ⅰ）当1n =时，猜想显然成立；（ⅱ）假设当n k =时猜想成立，即有()1k a k k =+，则当1n k =+时，由()()2112k k k k a a a a ++-=+得()()211121k k a k k k k a ++-+=++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()()()2211211120k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，解得()()112k a k k +=++（()11k k a k k a +=-<不符合题意，舍去）， 即当1n k =+时，猜想成立．由（ⅰ）（ⅱ）知猜想成立，即()()*1n a n n n =+∈N ．。
高二下学期期中考试理科数学试题(扫描版)(含答案)
(m n) (m 2)i 1 i
于是
８分
m n 1, ( m 2) 1.
９分 １０分 ２分 ４分
得 m 3, n 4 . １８，当 0 ＃ t 当
3 时， V (t ) = 2t - 3 £ 0 2
3 ＃ t 2
5 时， V (t ) = 2t - 3 ³ 0
所以，物体从时刻 t = 0 秒至时刻 t = 5 秒间运动的路程为
3 5 9 9 2 (3 - 2t ) dx + 3 (2t - 3) dx ＝ S =蝌 + (10 + ) = １４.５（米） 0 4 4 2
１０分 １２分
答：物体运动的路程为１４.５米。 １９解：此命题是真命题． ∵a b c 0 ， a b c ，∴a 0 ， c 0 ． 要证
由此猜想 an =
1 n(n +1) Nhomakorabea4分（2）证明（1） n = 1时， a1 =
5分
（２）假设当 n = k 成立，即 ak =
1 k (k +1)
则 ak +1 =
k 1 1 k = ak = k + 2 k (k +1) (k +1)(k + 2) k +2
7分
所以 n = k +1，猜想正确 综合（１） （２）对任何正整数 n 都有 an =
f ( x) = x 3 3x 在 [ － 1,1] 上 是 减 函 数 , 且 f ( x) 在 [ － 1,1] 上 的 最 大 值
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b2 ac 3 成立，只需证 b2 ac 3a ， a
２分
高二数学下学期期中试题理含解析试题_4
峨山彝族自治县第一中学2021-2021学年高二数学下学期期中试题理〔含解析〕一、选择题1.集合{}1,2,3,4U =，那么集合U 的子集一共有〔 〕 A. 15个 B. 16个C. 31个D. 32个【答案】B 【解析】【分析】由集合中元素个数，即可求出其子集数.【详解】解：集合U 中一共有元素4个，因此其子集一共有4216=个， 应选:B.【点睛】此题考察了集合子集的个数.一般地，假设集合中的元素有n 个，那么其子集一共有2n 个. 2.复数21i-等于〔 〕 A. １+ｉ B. １－ｉC. －１+ｉD. －１－ｉ 【答案】A 【解析】 【详解】211i i=+-，选A3.数列{}n a 为等差数列，假设159a a a π++=，那么()28cos a a +的值是〔 〕A. 12-B. C.12【答案】A 【解析】试题分析：159553,3a a a a a ππ++===，()()28521cos cos 2cos32a a a π+===-. 考点：数列，三角函数．4.设0.32=a ，20.3b =，2log 5c =，那么,,a b c 的关系是〔 〕 A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为00.3112222=<<=，2000.30.31<<=，22log 5log 42>=， 所以b a c <<. 应选：C【点睛】此题主要考察指对幂比拟大小以及指数函数，对数函数的性质，属于根底题. 5.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，那么该矩形面积大于20cm 2的概率为 A.16B.13C.23D.45【答案】C 【解析】试题分析：设AC=x，那么BC=12-x〔0＜x＜12〕矩形的面积S=x〔12-x〕＞20∴x2-12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率10221203 p-==-考点：几何概型6.执行如图2所示的程序框图，假设输入n的值是6，那么输出s的值是〔〕A. 105B. 16C. 15D. 1【答案】C【解析】【详解】试题分析：根据程序框图确定框图所要执行的运算，由输入的依次进展运算求，根据判断框中的条件判断运算是否执行，得到结果．如下图的循环构造是当型循环构造，它所表示的算式为s＝1×3×5×…×〔2i﹣1〕∴输入n的值是6时，输出s的值s＝1×3×5＝15．应选：C．考点：程序框图．7.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如下图，那么四棱锥P ABCD -的外表积为〔 〕A. (212a +B. (222aC. (232a +D.(2222a+【答案】B 【解析】 【分析】由三视图复原四棱锥，分别求出五个面的面积，即可求出四棱锥的外表积.【详解】解：由三视图可知，四棱锥为棱长为a 的正方体的一局部，那么2PB BD a ==,所以2ABCD S a =,212PADPABSSa ==；因为,BC PB CD PD ⊥⊥， 所以212222PBCPCDSSa a a ==⋅=， 那么外表积为()222212222222a a a a +⋅+⋅=+. 应选:B.【点睛】此题考察了由三视图求几何体的外表积.此题的关键是由三视图复原四棱锥. 8.设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： 〔1〕假设αβ∥、αγ，那么βγ〔2〕假设αβ⊥，m α，那么m β⊥〔3〕假设m α⊥、m β，那么αβ⊥〔4〕假设m n ，n ⊂α，那么m α其中真命题的序号是 〔 〕 A. 〔1〕〔4〕 B. 〔2〕〔3〕C. 〔2〕〔4〕D. 〔1〕〔3〕【答案】D 【解析】 【详解】应选D.9.如图,阴影局部的面积是〔 〕A. 1e e+B. 11e e+- C. 12e e+- D. 1e e-【答案】C 【解析】由定积分的定义可得，阴影局部的面积为()()11001|2x x x x e e dx e e e e ---=+=+-⎰. 此题选择C 选项.点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分根本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正． 10.直线y x b =+是曲线()ln y f x x ==的切线，那么b 的值等于〔 〕 A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】设切点为()00,x y ，求出函数的导数后可知011x =，从而可求出切点的坐标()1,0，将切点坐标代入切线方程即可求出b 的值.【详解】解：设切点为()00,x y ，因为()1f x x '=，所以011x =，解得，01x =， 那么00ln ln10y x ===，所以切点为()1,0在切线上，所以01b =+，解得1b =-， 应选:A.【点睛】此题考察了导数的几何意义.此题的关键是求出切点坐标.在函数图像切点满足：一、切点处的导数值为切线斜率，二是切点既在切线上又在函数图像上. 11.为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像〔 〕 A. 向左平移3π个单位 B. 向左平移6π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】D 【解析】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像,可以将函数cos 2sin(2)2y x x π==+向右平移3π得到sin[2()]sin(2)236y x x πππ=+-=-的图像，应选D. 12.在7名运发动中，选4名运发动组成接力队，参加4100⨯米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间棒的安排方法一共有〔 〕种. A. 120 B. 240C. 400D. 420【答案】C 【解析】第一步，安排中间2个位置，第二步，安排首尾2个位置，按照分步乘法计算原理计算可得； 【详解】解：选出的4人中甲、乙两人都不跑中间两棒的不同选法是：第一步，安排中间2个位置有2520A =种， 第二步，安排首尾2个位置有2520A =种，一共有2020400⨯=种， 应选：C【点睛】此题考察分步乘法计算原理的应用，属于根底题. 二、填空题 13.假设二项式7(2)a x x +的展开式中31x的系数是84，那么实数a =__________． 【答案】1 【解析】【详解】试题分析：由二项式定理可得：，因为31x 的系数是84，所以即，即5255728484C a a ⨯⨯==，所以.考点：二项式定理.x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为【答案】1 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，当直线2x y z -=过点()0,1A -时，z 最大是1，故答案为1．【点睛】此题主要考察了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于根底题．15.设1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一个点，1260F PF ∠=︒，12F F 为1PF 与2PF 的等比中项，那么该椭圆的离心率为______.【答案】12【解析】 【分析】在12F PF △中，由余弦定理知，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，从而可得212F F =()212123PF PF PF PF +-，即2224412c a c =-，进而可求离心率.【详解】解：因为12F F 为1PF 与2PF 的等比中项，所以2212124F F c PF PF ==， 在12F PF △中，由余弦定理知，222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()222121212123PF PF PF PF PF PF PF PF =+-=+-，即2224412c a c =-，所以224c a =，那么离心率12c e a ==.故答案为:12. 【点睛】此题考察了余弦定理，考察了椭圆的定义，考察了椭圆离心率的求解，考察了等比中项.此题的关键是结合余弦定理和等比中项写出含,a c 的式子.16.半径为4的球中有一个内接正四面体，那么这一正面体的体积是______.【解析】 【分析】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出正方体的棱长即可求出正四面体的体积．【详解】解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，设正方体的棱长为：a ，22R ==a =，∴正四面体的体积为33311463a a a -⨯=．【点睛】此题是根底题，考察正四面体的外接球，体积的求法，此题的打破口在正四面体转化为正方体，外接球是同一个球，考察计算才能，空间想象才能． 三、解答题 17.数列{}n x 的首项13x =，通项()2*,,nn x p nq n N p q =+∈为常数，且145,,x x x 成等差数列，求：〔Ⅰ〕p ,q 的值；(Ⅱ) 数列{}n x 前n 项和n S 的公式. 【答案】〔Ⅰ〕p =1,q =1 (Ⅱ)1(1)22.2n n n ++-+【解析】 【分析】此题主要考察等差数列和等比数列的根本知识，考察运算及推理才能. 【详解】〔Ⅰ〕由23p q += 又4424x p q =+，5525x p q =+且1542x x x +=，得553+2528p q p q +=+解得p =1,q =1 (Ⅱ)解：()()()2112221222.2nn n n n S n ++=+++++++=-+18.的内角的对边分别为,,a b c ，2sin()8sin2BA C +=． 〔1〕求cosB ；〔2〕假设6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ． 【答案】〔1〕1517；〔2〕2． 【解析】试题分析：〔1〕利用三角形的内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简()sin A C +，利用降幂公式化简28sin 2B，结合22sin cos 1B B +=，求出cos B ；〔2〕由〔1〕可知8sin 17B =，利用三角形面积公式求出ac ，再利用余弦定理即可求出b . 试题解析：〔1〕()2sin 8sin 2BA C +=，∴()sin 41cosB B =-，∵22sin cos 1B B +=， ∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；〔2〕由〔1〕可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=， ∴2b =．19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，PA ⊥面ABCD ，2,PA AB E F ==、分别为CD PB 、的中点，3AE =．〔Ⅰ〕求证：面AEF ⊥面PAB ．〔Ⅱ〕求面PAB 与面PCD 所成的锐二面角的余弦值．【答案】．〔Ⅰ〕见解析；27【解析】【详解】【分析】试题解析：〔Ⅰ〕∵四边形ABCD 是菱形， ∴2AD CD AB ===． 在ADE ∆中，3AE =1DE =，∴222AD DE AE =+．∴90AED ∠=︒，即AE CD ⊥． 又//AB CD ， ∴AE AB ⊥．∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AE ．又∵PA AB A =，∴AE ⊥平面PAB ， 又∵AE ⊂平面AEF ， 平面AEF ⊥平面PAB ．〔Ⅱ〕解法一：由〔1〕知AE ⊥平面PAB ，而AE ⊂平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面PAB∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA CD ⊥． 由〔Ⅰ〕知AE CD ⊥，又PAAE A =∴CD ⊥平面PAE ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAE ．∴平面PAE 是平面PAB 与平面PCD 的公垂面．所以，APE ∠就是平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的平面角．在Rt PAE ∆中，222347PE AE PA =+=+=，即PE =．又2PA =，∴cosAPE ∠==．所以，平面PAB 与平面PCD ．理〔Ⅱ〕解法二：以A 为原点AB 、AE 分别为x 轴、y 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如下图．因为2PA AB ==，3AE =3AE =3,0)E 、那么(0,3,2)PE =-，(1,0,0)CE =-，(0,3,0)AE =． 由〔Ⅰ〕知AE ⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量为()10,3,0n AE ==． 设平面PCD 的一个法向量为2(,,)n x y z =，那么22·0{·0n PE n CE ==，即320{0z x -=-=，令3z =那么(23n =． ∴121212·2327cos ,37·n n n n n n ===⨯所以，平面PAB 与平面PCD 27． 考点：此题主要考察立体几何中的垂直关系，角的的计算．点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、间隔 、体积的计算．在计算问题中，有“几何法〞和“向量法〞．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算〞的步骤，此题解法较多二应用向量那么简化了证明过程． 20.如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .〔1〕务实数b 的值；〔2〕求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程. 【答案】〔1〕1b =-；〔2〕22(2)(1)4x y -+-=. 【解析】 【分析】〔1〕联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程0∆=，即可求得b 的值；〔2〕将〔1〕中所得b 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线C 的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的HY 方程.【详解】〔1〕直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A .那么24y x b x y =+⎧⎨=⎩，得2440x x b --=，〔*〕因为直线l 与抛物线C 相切， 所以2(4)4(4)0b ∆=--⨯-=， 解得1b =-.〔2〕由〔1〕可知1b =-，故方程〔*〕即为2440x x -+=， 解得2x =，代入24x y =，得1y =. 故点(2,1)A ，因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 等于圆心A 到抛物线的准线1y =-的间隔 ，即|1(1)|2r =--=，所以圆A 的方程为22(2)(1)4x y -+-=.【点睛】此题考察由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的HY 方程求法，属于根底题.21.假设函数3()4=-+f x ax bx ,当2x =时,函数()f x 有极值为43-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)假设()f x k =有3个解,务实数k 的取值范围. 【答案】〔1〕31()443f x x x =-+；〔2〕42833k -<<.【解析】 【分析】〔1〕求出函数的导数，利用函数在某个点获得极值的条件，得到方程组，求得,a b 的值，从而得到函数的解析式；〔2〕利用函数的单调性以及极值，通过()f x k =有三个不等的实数解，求得k 的取值范围.【详解】〔1〕因为()34f x ax bx =-+，所以2'()3f x ax b =-，由2x =时，函数()f x 有极值43-， 得()()20423f f ⎧=⎪⎨=-'⎪⎩，即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩，解得134a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 所以()31443f x x x =-+； 〔2〕由〔1〕知()31443f x x x =-+，所以2'()4(2)(2)f x x x x =-=+-，所以函数()f x 在(,2)-∞-上是增函数，在(2,2)-上是减函数，在(2,)+∞上是增函数， 当2x =-时，()f x 有极大值283；当2x =时，()f x 有极小值43-， 因为关于x 的方程()f x k =有三个不等实根， 所以函数()y f x =的图象与直线y k =有三个交点， 那么k 的取值范围是42833k -<<. 【点睛】该题考察的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有函数在极值点处的导数为0，利用条件求函数解析式，利用导数研究函数的单调性与极值，将方程根的个数转化为图象交点的个数来解决，属于中档题目.22.户外运动已经成为一种时尚运动，某单位为了理解员工喜欢户外运动是否与性别有关，决定从本单位全体650人中采用分层抽样的方法抽取50人进展问卷调查，得到了如以下联表：在这50人中随机抽取1人，抽到喜欢户外运动的员工的概率是35. 〔1〕请将上面的列联表补充完好； 〔2〕求该公司男、女员工各多少人；〔3〕在犯错误的概率不超过的前提下能否认为喜欢户外运动与性别有关？并说明你的理由. 下面的临界值表仅供参考：〔参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++〕【答案】〔1〕填表见解析；〔2〕男员工人数为325人，女员工有325人〔3〕在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢户外运动与性别有关，详见解析【解析】【分析】〔1〕根据题意可得喜欢户外运动的男女员工一共30人，其中男员工20人，从而补全列联表.〔2〕根据公司男员工人数所占的比例即可求解.〔3〕根据列联表计算出观测值，利用HY性检验的根本思想即可判断.【详解】解：〔1〕因为在全部50人中随机抽取1人抽到喜欢户外运动的员工的概率是35，所以喜欢户外运动的男女员工一共30人，其中男员工20人，列联表补充如下：〔2〕该公司男员工人数为2565032550⨯=〔人〕，那么女员工有325人.〔3〕2K的观测值250(2015105)8.3337.87930202525k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过的前提下认为喜欢户外运动与性别有关.【点睛】此题考察了HY 性检验的根本思想、补全列联表，考察了考生的数据处理才能、分析才能，属于根底题.。
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二年级下册学期期中数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年四川省资阳市外国语实验学校高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．复数()231i i +=A ．2B ．－2C ．2iD ．-2i【答案】A【分析】利用即可得解.21i =-【详解】故选A.()()()23122i i i i +=-=【点睛】本题考查了复数的乘法及乘方运算，属于基础题.2．观察下列算式：，，，，，，，，，用你所发现的规122=224=328=4216=5232=6264=72128=82256=⋅⋅⋅律可得的末位数字是（ ）20202A ．B ．C ．D ．2468【答案】C【分析】根据的末位数字以为周期变化可知与的末位数字相同，由此可得结果.()2n n *∈N 42020242【详解】由算式变化规律可知：末位数字分别为这个数字循环，即以为周期，()2n n *∈N 2,4,8,644又，的末位数字与的末位数字相同，即其末位数字为.20205054=⨯20202∴426故选：C.3．已知双曲线（a ＞0则a =2221x y a -=A B ．4C ．2D ．12【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解.【详解】 ∵双曲线的离心率，，ce a ==c =，=解得，12a =故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．抛物线过点，则的准线方程为( )2:4C x ay =()4,4-C A ．B ．C ．D ．1y =1y =-1x ==1x -【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程可得a ，根据抛物线标准方程即可求其准线方程.()4,4-【详解】∵抛物线过点，2:4C x ay =()4,4-∴，()24441a a -=⨯⇒=∴，2:4C x y =∴其准线方程为y ＝－1.故选：B.5．展开式中的第四项是91(x x +A ．B ．C ．D ．356x384x456x484x【答案】B【详解】试题分析：展开式中的第四项是.故选B ．91()x x +3633334991(84T C x C x x x =⋅==【解析】二项式定理．6．乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结53(3束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为( ))233:1A ．B ．C ．D ．29498273281【答案】C【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即3:112314可计算．【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、、次中失败次，第次获胜，3:112314因此所求概率为：．1231228C (33327P ⋅⋅=⋅=故选：C ．7．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X 1，X 2表示)的分布列如下：甲得分：X 1123P0.40.10.5乙得分：X 2123P0.10.60.3则甲、乙两人的射击技术相比（ ）A ．甲更好B ．乙更好C ．甲、乙一样好D ．不可比较【答案】B【分析】分别求两个随机变量的数学期望，再比较.【详解】因为E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E (X 2)>E (X 1)，故乙的射击技术更好.故选：B8．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．B ．C ．D ．516113221321116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有62，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为=，故选A ．36C 3662C 516【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．9．函数在处有极值为，那么，的值为（ ）()322f x x ax bx a =+++1x =10a b A ．，B ．，411-3-3C ．，或，D ．，411-3-333【答案】A【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩,a b 【详解】，()232f x x ax b'=++由题意可知即，()()10110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩则解得或，232120b a a a =--⎧⎨--=⎩，411a b =⎧⎨=-⎩33a b =-⎧⎨=⎩当时，，33a b =-⎧⎨=⎩()()2310f x x '=-≥在处不存在极值，不符合题意；∴1x =当时，，②411a b =⎧⎨=-⎩()()()238113111f x x x x x '=+-=+-，，，，符合题意．11,13x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭()0f x '<()1,x ∈+∞()0f x ¢>，411a b =⎧∴⎨=-⎩故选：A ．10．若函数在区间上单调递增，则实数m 的取值范围（ ）()ln xf x e x mx =--(1,)+∞A ．B ．C ．D ．(,1)e -∞-(,1]e -∞-(,1)e -∞+(,1]e -∞+【答案】B【分析】由题意得在上恒成立，然后参变分离，构造函数，()0f x '≥(1,)+∞1(),(1,)x g x e x x =-∈+∞利用导数研究函数的最值即可求出结果.()g x 【详解】由题意，函数，可得，()ln xf x e x mx =--1()x f x e m x '=--因为函数在上单调递增，即在上恒成立，()f x (1,)+∞()0f x '≥(1,)+∞即在上恒成立，1x m e x ≤-(1,)+∞设，则，1(),(1,)x g x e x x =-∈+∞21()0x g x e x '=+>所以函数在为单调递增函数，所以，()g x (1,)+∞(1)1m g e ≤=-即实数m 的取值范围是.(,1]e -∞-故选：B.11．已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分24y x =F l l 22221(0,0)x y a b a b -=>>别交于点A 和点B ，且（为原点），则双曲线的离心率为||4||AB OF =O ABC ．2D【答案】D 【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．4AB OF=,,a b c 【详解】抛物线的准线的方程为，24y x =l =1x -双曲线的渐近线方程为，by x a =±则有(1,(1,)b b A B a a ---∴，，，2b AB a =24ba =2b a =∴c e a ===故选D ．【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度．12．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则a R ∈222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ x ()0f x R 的取值范围为aA ．B ．C ．D ．[]0,1[]0,2[]0,e []1,e 【答案】C【解析】先判断时，在上恒成立；若在上恒成立，0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞ln 0x a x -≥(1,)+∞转化为在上恒成立．ln xa x ≤(1,)+∞【详解】∵，即，(0)0f ≥0a ≥（1）当时，，01a ≤≤2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->当时，，1a >(1)10f =>故当时，在上恒成立；0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞若在上恒成立，即在上恒成立，ln 0x a x -≥(1,)+∞ln xa x ≤(1,)+∞令，则，()ln x g x x =2ln 1'()(ln )x g x x -=当函数单增，当函数单减，,x e >0,x e <<故，所以．当时，在上恒成立；()()min g x g e e==a e ≤0a ≥2220x ax a -+≥(,1]-∞综上可知，的取值范围是，a [0,]e 故选C ．【点睛】本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析．二、填空题13．曲线在点处的切线方程为______．cos 2xy x =+()0,1【答案】220x y -+=【分析】求出代入可得切线斜率，由直线的点斜式方程可得答案.y '0x =【详解】，()0cos 01f ==，，1sin 2y x '=-+012x y ='=所以切线方程为，即．112y x =+220x y -+=故答案为：．220x y -+=14．如图，直线是曲线在点处的切线，则的值等于______ ．l ()y f x =(4,(4))f (4)(4)f f '+【答案】##5.5112【分析】由函数的图像可得，以及直线过点和，由直线的斜率公式可得直线()45f =l (0,3)(4,5)的斜率，进而由导数的几何意义可得的值，将求得的与的值相加即可.l k (4)f '()4f (4)f '【详解】由函数的图像可得，直线过点和，则直线的斜率，()45f =l (0,3)(4,5)l 531402k -==-又由直线是曲线在点处的切线，则，l ()y f x =(4,(4))f 1(4)2f '=所以．111(4)(4)522f f '+=+=故答案为：11215．的展开式中，的系数为________．()()8x y x y +-27x y 【答案】20【分析】根据，再分别求展开式中的系数与的系888()()()()x y x y x x y y x y +-=-+-8()x y -7xy 26x y 数即可.【详解】解：因，888()()()()x y x y x x y y x y +-=-+-故由题设应求展开式中的系数与的系数.8()x y -7xy 26x y 又因，88188C ()(1)C r r r r r r rr T x y x y --+=-=-当时，7r =777788(1)C 8xy T xy =-=-当时，，6r =66266782(1)C 28x T y x y =-=故所求系数为.28820-=故答案为：2016．已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，O C 22y px =0p >F P C PF x 为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.Q x PQ OP ⊥6FQ =C 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.P Q ，p 【详解】抛物线： ()的焦点,C 22y px =0p >,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭∵P 为上一点，与轴垂直，C PF x 所以P 的横坐标为，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为,2pp ±不妨设,(,)2p P p 因为Q 为轴上一点，且，所以Q 在F 的右侧，x PQ OP ⊥又，||6FQ = (6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为，所以,PQ OP ⊥PQ OP ⋅= 2602p p ⨯-=，0,3p p >∴= 所以的准线方程为C 32x =-故答案为：.32x =-【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.三、解答题17．已知抛物线的焦点为F ，为抛物线C 上的点，且.2:2C y px =(1,)M t 3||2MF =（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，求弦长.2y x =-||AB【答案】（1）；（2）.22y x =【分析】（1）根据抛物线定义可得，从而得到抛物线C 的方程；3||122P MF =+=（2）设，联立抛物线方程，消去，可得的方程，运用韦达定理和弦长公式，()()1122,,,A x y B x y y x 计算可得所求值．【详解】（1），3||122P MF =+=所以，即抛物线C 的方程.1p =22y x =（2）设，()()1122,,,A x y B x y 由得222y x y x ⎧=⎨=-⎩2640x x -+=所以，126x x +=124x x =所以||AB =.==【点睛】方法点睛：计算抛物线弦长的方法，(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝ (α为弦AB 的倾斜角)．22sin pα(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB |x 1－x 2|求解．18．已知三次函数的极大值是，其导函数的图象经过点，()32f x ax bx cx=++20()'y f x =()()20,4,0，如图所示，求(1)，，的值；a b c (2)若函数有三个零点，求的取值范围．()y f x m=-m 【答案】(1)，，；1a =9b =-24c =(2).1620m <<【分析】（1）根据导数的正负判断原函数的单调性，进而判断原函数的极值点，再利用代入法求解即可；（2）根据函数零点的定义，通过数形结合思想进行求解即可.【详解】（1）由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增；2x <()0f x ¢>()f x 当时，，函数单调递减；24x <<()0f x '<()f x 当时，，函数单调递增，>4x ()0f x ¢>()f x所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，2x =()f x 4x =()f x 于是有，()()()240,220f f f ===''由，()()32232f x ax bx cx f x ax bx c'=++⇒=++所以有；12401488098422024a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩（2）由（1）函数的极小值为，极大值为，()416f =()220f =而知函数的图象如下图所示因为函数有三个零点，()y f x m=-所以函数的图象与直线有三个不同的交点，()y f x =y m =所以.1620m <<19．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按63照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有26道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否4223互不影响．(1)求甲正确完成两个面试题的概率；(2)求乙正确完成面试题数的分布列．【答案】(1)；35(2)答案见解析.【分析】设考生甲正确完成题数为，则取值分别为，，，；乙1（）ξξ123()214236325C C P C ξ===2（）正确完成题数，取值分别为，，，求出取每个值时的概率，即得分布列．ηη0123η【详解】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．ξξ{}123，，.()214236325C C P C ξ===（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．ηη{}0123，，，，，，()303110327P C η⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭()121321613327P C η⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()223211223327P C η⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()333283327P C η⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭应聘者乙正确完成题数的分布列为ηη123P127627122782720．已知一个口袋中装有n 个红球(n ≥1且n ∈N ＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖．(1)当n ＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X ，求随机变量X 的分布列；(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P ，求当n 取多少时，P 的值最大．【答案】（1）见解析；（2）1或2【分析】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，设中奖次数为ζ，则ζ的可能253235p C ⨯==取值为0，1，2，3．分别求出 由此能求出ζ的分布0123PP P P ζζζζ====（），（），（），（），列和Eζ．（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为，，由此利用导数性质能求出n 为1或2时，P 有最()()223232133P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+01p <<大值．【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率，253235p C ⨯==；；()033280(5125P C ξ===()12332361()55125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；；()22332542()(55125P C ξ===()3333273()5125P C ξ===ξ分布列为：ξ0123p8125361255412527125（2）设每次摸奖中奖的概率为p ，则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为：， ，()()223232133P C p p p p ξ==⋅⋅-=-+01p <<，在上P 为增函数，在上P 为减函数，()2'96332P p p p p =-+=--203⎛⎫⎪⎝⎭，213⎛⎫ ⎪⎝⎭，当时P 取得最大值．23p =又，()()1122242123n n C C n p C n n +===++故 ，解得：或，2320n n -+=1n =2n =故为1或2时，有最大值．n P 21．在①，②，③轴时，这三个条件中任选一个，补充在下01PF x =+0022y x ==PF x ⊥2PF =面的横线上，并解答．问题：已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且______．()2:20C y px p =>F ()00,P x y C （1）求抛物线的标准方程．C （2）若直线与抛物线交于，两点，求的面积．:20l x y --=C A B ABF △注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】条件选择见解析（1）；（2）24y x =【分析】方案一 选择条件①．（1）由抛物线焦半径公式可得，解得，即可求得抛物线的标准方程为0012pPF x x =+=+2p =C ；24y x =（2）设，，，由（1）可知．联立和可得()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 20x y --=24y x =，利用韦达定理结合弦长公式，求面积即可得解.2480y y --=方案二选择条件②．（1）将，代入抛物线方程可得，所以抛物线的标准方程为；（2）同方02y =01x =2p =C 24y x =案一；方案三 选择条件③．（1）当轴时，，可得， 故抛物线的标准方程为；PF x ⊥02222p p p PF x =+=+=2p =C 24y x =（2）同方法一.【详解】方案一 选择条件①．（1）由抛物线的定义可得．02pPF x =+因为，所以，解得．01PF x =+0012px x +=+2p =故抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为ABF △1122AB d ⋅=⨯=方案二 选择条件②．（1）因为，所以，，0022y x ==02y =01x =因为点在抛物线上，()00,P x y C 所以，即，解得，2002y px =24p =2p =所以抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为 ABF △1122AB d ⋅=⨯=方案三 选择条件③．（1）当轴时，，所以．PF x ⊥222p pPF =+=2p =故抛物线的标准方程为．C 24y x =（2）设，，由（1）可知．()11,A x y ()22,B x y ()1,0F 由，得，2204x y y x --=⎧⎨=⎩2480y y --=则，，124y y +=128y y =所以1y -==故AB =-=因为点到直线的距离F l d所以的面积为ABF △1122AB d ⋅=⨯=22．已知函数.()ln f x x x=（1）求曲线在点处的切线方程；()y f x =()()1,1f （2）求的单调区间；()f x（3）若对于任意，都有，求实数的取值范围.1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1f x ax ≤-a 【答案】（1）（2）的单调递增区间是；的单调递减区间是（3）1y x =-()f x 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.1a e ≥-【解析】（1）先求得导函数，由导数的几何意义求得切线的斜率，再求得切点坐标，即可由点斜式得切线方程；（2）求得导函数，并令求得极值点，结合导函数的符号即可判断函数单调区间；()0f x '=（3）将不等式变形，并分离参数后构造函数，求得并令求得极值点，()1ln g x x x =+()g x '()0g x '=结合极值点左右两侧的单调性和端点求得最值，即可确定的取值范围.a 【详解】（1）因为函数，()ln f x x x=所以，.()1ln ln 1f x x x x x '=+⋅=+()1ln111f '=+=又因为，则切点坐标为，()10f =()1,0所以曲线在点处的切线方程为.()y f x =()1,01y x =-（2）函数定义域为，()ln f x x x=()0,∞+由（1）可知，.()ln 1f x x '=+令解得.()0f x '=1=x e 与在区间上的情况如下：()f x ()f x '()0,∞+x10,e ⎛⎫⎪⎝⎭1e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '－0＋()f x ↘极小值↗所以，的单调递增区间是；()f x 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的单调递减区间是.()f x 10,e ⎛⎫⎪⎝⎭（3）当时，“”等价于“”.1x e e ≤≤()1f x ax ≤-1ln a x x ≥+令，，，.()1ln g x x x =+1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()22111x g x x x x -'=-=1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令解得，()0g x '=1x =当时，，所以在区间单调递减.1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x '<()g x 1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭当时，，所以在区间单调递增.()1,x e ∈()0g x '>()g x ()1,e 而，.1ln 1 1.5g e e e e ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭()11ln 1 1.5g e e e e =+=+<所以在区间上的最大值为.()g x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当时，对于任意，都有.1a e ≥-1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()1f x ax ≤-【点睛】本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，由导函数求函数的单调区间，分离参数法并构造函数研究参数的取值范围，由导数求函数在闭区间上的最值，属于中档题.。
浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题(含答案)
浙江省强基联盟2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则A ．B ．C ．D ．2．双曲线的渐近线方程为A ．B ．C ．D ．3．已知向量，若，则的值为A ．-4B ．4C ．-6D ．64．为虚数单位，则A ．B ．iC ．-1D ．15．已知正数x ，y 满足，则的取值范围是A ．[1，4]B ．[0，4]C ．D ．6．圆台的上底面面积为，下底面面积为，母线长为4，则圆台的侧面积为A ．B ．C ．D ．7．对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．袋子中装有5张编号分别为1，2，3，4，5的卡片，从袋子中随机选择3张卡片，记抽到的3张卡片编号之和为，编号之积为，则下列说法正确的是A ．是3的倍数的概率为0.4B ．是3的倍数的概率为0.6C ．是3的倍数的概率为0.2D ．是3的倍数的概率为0.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．{}2{||3},11A x x B x x =<=∈<N ∣∣A B ⋂={2,1,0,1,2,3}--{0,1,2}{1,2,3}{1,2}22:1936x y E -=14y x =±12y x =±2y x =±4y x=±(1,2),(3,)a b m == ()a a b ⊥+m i 2320241i+i +i i +++=i-2x y +=22x y xy +-[1,4)[1,3)π9π10π20π8π16π{}n a {}n a 11(1)n n a n a na ++-=S T S S T T9．若直线与圆相交于A ，B 两点，则|AB |的长度可能等于A ．3B ．4C ．5D ．610．已知，则下列等式成立的是A ．B ．C ．D ．11．下列定义在上的函数中，满足的有A ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中，含项的系数是______．13．已知过椭圆的右顶点作直线交轴于点，交椭圆于点，若是等腰三角形，且，则椭圆的离心率为______．14．若不等式对任意满足的正实数x ，y ，z 均成立，则实数的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数的单调区间和极值．16．（15分）已知盒中有2个黑球和2个白球，每次从盒中不放回地随机摸取1个球，只要摸到白球就停止摸球．（1）求摸球三次后刚好停止摸球的概率；（2）记摸球的次数为随机变量，求的分布列和期望．17．（15分）如图，在正三棱柱中，为侧棱的中点．y kx =22(2)(1)9x y -++=,αβ∈R 22cos()cos()cos cos αβαβαβ+-=- 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=- 22sin()sin()cossin αβαβαβ+-=- 22sin()sin()sinsin αβαβαβ+-=- (0,)+∞()f x 1(0,),()2(1)x f x f f x ⎛⎫∀∈+∞+⎪⎝⎭…()f x =2()1x f x x =+()cos πf x x =()exf x =5(2)x y +32x y 22221(0)x y a b a b+=>>A l y M N AOM||2||MN NA =22()xy y z k x y z +++…y z x +…k 2(),()e xf x xg x ==()()y f x g x =+0x =()()f x yg x =X X 111ABC A B C -E 1BB（1）求证：平面平面．（2）若，求平面与平面所成二面角的大小．18．（17分）如图，抛物线是抛物线内一点，过点作两条斜率存在且互相垂直的动直线，设与抛物线相交于点与抛物线相交于点C ，D ，当恰好为线段AB 的中点时，（1）求抛物线的方程；（2）求的最小值．19．（17分）对于正整数m ，n ，存在唯一的自然数a ，b ，使得，其中，我们记．对任意正整数，定义的生成数列为，其中．（1）求和．（2）求的前3项．1A EC ⊥11ACC A 111AA A B =1A EC 111A B C 2:2(0),(2,1)Γy px p M =>M 12,l l 1l Γ2,,A B l ΓM ||AB =ΓAC DBm an b =+,0,a b n b ∈<∈N N …(,),(,)a D m n b M m n ==i i {}()n T i ()n T i =()()11,3,33n n n M i M i ---(2024,9)D (2024,9)M {}(100)n T（3）存在，使得，且对任意成立．考虑的值：当时，定义数列的变换数列的通项公式为当时，定义数列的变换数列的通项公式为若数列和数列相同，则定义函数，其中函数的定义域为正整数集．（ⅰ）求证：函数是增函数．（ⅱ）求证：．0n 0()0n T i ≠0,()0n n n T i >=0()n T i 0()1n T i ={}()n T i {}()nT i '002,,()(),.n n n n T i T i n n '=⎧=⎨≠⎩0()2n T i ={}()n T i {}()n T i '01001,1,()(),1,0, 1 1.n n n n T i T i n n n n n '-=+⎧⎪=<⎨⎪=>+⎩或…{}()n T i '{}()n T j ()f i j =()f i ()f i (())3f f i i =浙江强基联盟2024年5月联考高二数学参考答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案BCADCDCA1．，所以选B ．2．，所以选C ．3．因为，所以选A ．4．因为，所以原式，即选D ．5．因为，所以．故选C ．6．上、下底面的半径分别为1和3，所以侧面积为，即选D ．7．充分性：若是等差数列，则．必要性：若，则，两式相减得，即，所以是等差数列．故选C ．8．首先是3的倍数的情况包括，所以概率为0.4．T 是3的倍数的情况数为，所以概率为0.6．故选．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案BCDBDACD9．设圆心到直线的距离为，则，即，所以选BCD ．10．取，排除，再取，排除，所以选BD ．(3,3),{0,1,2,3},{0,1,2}A B A B =-=⋂=2202936x y y x -=⇒=±205324a a b m m =+⋅=++⇒=-1231i ii i i (11)i (11)0kk k k k k +++++++=-+-=1=2()014x y xy +<=…222()343[1,4)x y xy x y xy xy +-=+-=-∈2π(13)416π2⨯+⨯={}n a ()11111(1)(1)(1)n a n a a n a nd na n n d ++-=+-+=+-=n na 11(1)n n a n a na ++-=121(1)n n a na n a +++=+2n na +-11(1)(1)n n n n a n a na ++-=+-212n n n na na na +++={}n a 35()C 10,n S Ω=={3,4,5},{2,3,4},{1,3,5},{1,2,3}1214C C 6=A (2,1)-y kx =d 0d (2)2||94AB d +=4||6AB ……0α=A 0β=C11．A ．，则，满足条件．B ．，则，不满足条件．C ．，显然成立．D ．，，满足条件．故选ACD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．40131412．13．不妨设，所以，代入得，化简得．14．因为，所以．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）函数，导函数，切点为，切线斜率为1，所以切线方程为．………………………………………………………………………………4分（2）函数，导函数，所以单调递增区间为，单调递减区间为，．极大值为，极小值为．………………………………………………………………13分()f x =1()22(1)f x f f x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭2()1xf x x =+2221122()12(1)11111x x xf x f f x x x x x x⎛⎫+=+=== ⎪++⎝⎭++…min 1()cos π,()1(1),()2(1)f x x f x f f x f f x ⎛⎫==-=∴+⎪⎝⎭ (11)()e ,(0,),2,2xf x x x x x x=∈+∞∴+∴- (1)21()e e e e 2e 2(1)x x x x f x f f x -⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭ (12)225240C =(,0),(0,)A a M a 2,33a a N ⎛⎫⎪⎝⎭224199a b +=e =2()()y x y z y z k x y z z x y ++=+++ (21)2222y z y z y z z z x y z y z z y z +++=+-+++ (1)2-2e xy x =+e 2xy x '=+(0,1)1y x =+2ex x y =(2)e x x x y '-=(0,2)(-∞0),(2,)+∞24(2)e f =(0)0f =16．【解析】（1）当且仅当前两次摸到2个黑球即可，于是………………………………5分（2）因为，所以的分布列为123．………………………………………………………………………………15分17．【解析】（1）连接，交于点，再连接EM （图略），则M 为的中点．因为，所以，同理可证．又因为，所以平面，所以平面平面………………6分（2）两个平面的一个法向量分别为和，所以所成二面角的大小为……15分18．【解析】解法一：（1）设直线，联立得，所以．…………………………………………………………………3分又因为是中点，所以，………………………………………………………………………………6分代入化简得，解得．故抛物线的方程为．……………………………………………………………………………8分（2），………………………………………………10分因为2224C 1.C6P ==212211(1),(2),(3)424336P X P X P X =====⨯===X X P1213161235()2363E X =++=1AC 1AC M 1AC 1A E CE =1EM A C ⊥1EM AC ⊥11AC A C ⊥1AC ⊥1A CE 1A EC ⊥11,ACC A 1C A 1C C 145.AC C ︒∠=()()1122:2(1),,,,AB x m y A x y Bx y -=-22,2,x my m y px =-+⎧⎨=⎩22240y pmy pm p -+-=12122,24y y pm y y pm p +==-(2,1)M 1212y y pm +==2||AB y =-===()2(1)4310p p p --+=1p =Γ22y x =()()AC DB MC MA MB MD =-- ||||||||MC MD MA MB MC MD MA MB =--=+||||1MA MB =-，………………………………………………………………12分同理，…………………………………………………………………………14分所以，当且仅当时，等号成立，即所求最小值为12．……………………………………………………17分解法二：（1）设直线AB 的倾斜角为，再设A ，B 的坐标都为，代入抛物线方程得，化简得．因为是AB 的中点，所以，即．又因为将代入化简得，即，所以抛物线的方程为．………………………………………………………………8分（2），而，所以CD 的倾斜角为或，同理可求得，即，当且仅当或时，等号成立，即所求最小值为12．…………………………………………17分19．【解析】（1），所以．……………………4分（2）()()()()()2212121211111m y ym y y y y =+--=+-++()()221|2421|31m m m m =+--+=+21||||31MC MD m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()22221131313212AC DB m m m m ⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …1m =±θ(2cos ,1sin )t t θθ++2(1sin )2(2cos )t p t θθ+=+22sin2(sin cos )140t t p p θθθ+-+-=M 120t t +=tan p θ=12t t =-=22222tan sin 1tan 1p pθθθ==++()2(1)4310p p p --+=1p =Γ22y x =()()AC DB MC MA MB MD MC MD MA MB =--=-- 1223,sin MA MB t t AB CD θ-=-=⊥π2θ-π2θ+23cos MC MD θ-= 223312sin cos AC DB θθ=+=…π4θ=3π4θ=202422498=⨯+(2024,9)224,(2024,9)8D M ==123(100,3)(100,1)(100,9)(100,3)(100)1,(100)0,(100)13M M M M T T T --====．…………………………………………………………………………7分（3）（ⅰ）对任意正整数，总有，且一定存在，使得，此时有，即当时，．因为，所以，又，所以，所以．因为．若和的变换数列分别为和，且，数列满足，且当时，，数列满足，且当时，．当时，，则．当时，若，则．若，(100,27)(100,9)29M M -==i (,1)0M i =0n 013n i ->()0,3n M i =()01,3n M i i -=0n n >()0n T i =()0,33n n M i <…()()()11,3,33,33n n n n D M i D --<=()()()11,3,3,3nn n M M i M i --=()()()()111,33,3,3,3n n n n n M i D M i M i ---=+()()1(),3,3{0,1,2}n n nT i D M i -=∈()()()()()()()00000112,3,3,3,3,3((,9)n n n n n i M i M i M i M i M i M i ---==-+-++ 000012121(,3))((,3)(,1))3()3()3()()n n n n M i M i M i T i T i T i T i ----+-=++++ (){}1n T i (){}2n T i (){}1n T j (){}2n T j 12i i <(){}1n T i ()110n T i ≠1n n >()10n T i =(){}2n T i ()220n T i ≠2n n >()20n T i =12n n <()()()()11111211111121333n n n n i T i T i T i T i ---=++++ ()1111211123239312312323nn n nn j j --<+++++=⨯-<⨯⨯< …12n n =()()12121n n T i T i ==()()()111121111121333,n n n i T i T i T i ---=++++ ()()()222122222121333,n n n i T i T i T i ---=++++ ()()()1111211111212333,n n n j T i T i T i ---=⨯++++ ()()()2221222221212333,n n n j T i T i T i ---=⨯++++ 21210j j i i -=->()()12122n n T i T i ==()()()1111211111212333,n n n i T i T i T i ---=⨯++++ ()()()2221222221212333,n n n i T i T i T i ---=⨯++++ ()()()11112111112133330,n n n j T i T i T i --=+++++则，所以是增函数．若，则，与矛盾，所以这种情况不存在．若，则，所以是增函数．…………………………………………………………………………………………12分（ⅱ）若数列的变换数列为，数列的变换数列为，即证．数列满足，且当时，．若，则，若，则，，．综上，．…………………………………………………………………………………………17分()()()22212222212133330,n n n j T i T i T i --=+++++ ()212130j j i i -=->()f i ()()12122,1n n T i T i ==1111111223323232n n n i i --⨯>+⨯++⨯+ ……12i i <()()12121,2n n T i T i ==1221223233n nn i j j +⨯=⨯<……()f i {}()n T i {}()n T j {}()n T j {}()n T k 3k i ={}()n T i 0()0n T i ≠0n n >()0n T i =0()1n T i =0001212133()3()()n n n i T i T i T i ---=++++ 00012121233()3()(),n n n j T i T i T i ---=⨯++++ 0001212133()3()3()0 3.n n n k T i T i T i i--=+++++= 0()2n T i =00012121233()3()()n n n i T i T i T i ---=⨯++++ 0001212133()3()3()0n n n j T i T i T i --=+++++ 00012121233()3()3()03n n n k T i T i T i i --=⨯+++++= (())3f f i i =。
四川省内江市高二下学期期中考试数学(理)试题
高二下期半期考试 数学（理）2023.3.31数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1．命题“∀x ∈[0，+∞），x 2﹣2020cos x ＞0”的否定为（ ） A. B. (]0000x x x ∃∈-∞≤22020cos 0，，﹣[)0000,x x x ∃∈+∞<22020cos 0，﹣C.D.[)0000,x x x ∃∈+∞<22020cos 0，﹣](000,0x x x ∃∈-∞≤22020cos 0，﹣2. 双曲线的渐近线方程是（ ）14322=-y x A. B. C. D.x y 34±=x y 43±=x y 332±=x y 23±=3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.－B ．C ．8D ．－818184．已知向量a ＝(－1,1,0)，b ＝(1,0,2)，且ka ＋b 与a －2b 互相垂直，则k ＝( )A ．－B ．C. D. 11415351145. 若椭圆的焦距为2 ，则离心率是（ ）2216x y m +=A.B.或 C.或 D.7777667755556. 已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．若双曲线C 1：与C 2：的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距为418222=-y x ()0,012222>>=-b a by a x 5，则b ＝( )A ．2B ．8C ．6D ．48. 已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）:R,cos 1p x x ∀∈≤000:R,e e 2x xq x -∃∈+<A ．B ．C ．D ．p q ∧()p q ⌝∧()p q ∧⌝()p q ⌝∨9. 设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的中点到轴的距F 2:4C y x =A C ()4,0B AF BF =AB y 离是（ ）A ．2B ．C ．3D ．10．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，O 为底面ABCD 的中心，M ，N 分别为棱A 1D 1，CC 1的中点，则异面直线B 1M 与ON 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为的直线l 与双曲()0,012222>>=-b a by a x b a 线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有，则双曲线的渐近线方程为13MF PM =（ ） A ．y ＝xB ．y ＝xC ．y ＝xD ．y ＝x12. 中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在平面上，∞xOy 把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线C ，P 是曲线C 上的一()1,0F a -()2,0F a ()20a a >个动点．则下列结论正确的个数是（ ）①曲线C 关于原点对称②曲线C 上满足的P 有且只有一个 12PF PF =③动点P 到定点，距离之和的最小值为2a1F 2F ④若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为 y kx =(][),11,-∞-⋃+∞A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分13. 已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则 的周长3=x 1162522=+y x B A ,1F 1ABF ∆是.14.已知抛物线的焦点为F ，定点，点P 是抛物线上一个动点，则的最小值为24x y =(1,4)A PF PA +15．已知双曲线的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为45°的直线l 与双曲线的右()0,012222>>=-b a by a x 支有两个不同交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是16．已知函数，，，，使得2()(21)f x ax a x =-+|1|2019()312160x g x +⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈成立，则实数的取值范围为_____________.()()12f x g x ≤a三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（本小题满分10分）已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的椭圆；2214x y m m +=-命题q ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线。
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二年级下册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“”的否定为（ ）[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-A ．B ．(]2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--<，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞<，-C ．D ．[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-](2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--≤，【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为是全称量词命题，[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-所以其否定为存在量词命题，即，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-故选：C2．双曲线的渐近线方程是（ ）22134x y -=A ．B ．43y x =±34y x =±C ．D ．y x =y =【答案】C【分析】根据焦点在x 轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】根据双曲线的渐近线方程：，22221x y a b -=b y x a =±知：的渐近线方程为.22134x y -=y x =故选：C.3．抛物线的准线方程是，则实数a 的值（ ）21x ya =2y =A ．B ．C ．8D ．-818-18【答案】A【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a 的值.【详解】由题意得：，解得：.124a -=18a =-故选：A 4．已知向量，且与互相垂直，则（ ）()()1,1,0,1,0,2a b =-=ka b + 2a b -k =A ．－B ．C ．D ．1141535114【答案】D【分析】先求出的坐标，再利用列方程求解即可.,2ka b a b +-()()20ka b a b +⋅-= 【详解】，()()1,1,0,1,0,2a b =-=，()()1,,2,23,1,4ka b k k a b ∴+=-+-=--又，2ka b a b +⊥- ，()()()()21,,23,1,43380ka b a b k k k k ∴+⋅-=-+⋅--=-+-=解得.114k =故选：D.5．若椭圆的焦距为2 ，则离心率是（ ）2216x y m +=A B C D 【答案】B【分析】根据椭圆标准方程分情况讨论与6的关系，然后求解离心率即可.m 【详解】由题意知：22,1;c c ==当时，焦点在轴上，此时，6m >x 22,6,61,7,a m b m m a ==-==c e a ===当时，焦点在轴上，满足题意，此时06m <<y 226,,61,5,a b m m m ==-==a =c e a ===故选：B6．若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的,l m m αl m ⊥//l αA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】若，因为垂直于平面，则或；若，又垂直于平面，则，l m ⊥m α//l αl ⊂α//l αm αl m ⊥所以“ ”是“ 的必要不充分条件，故选B ．l m ⊥//l α【解析】空间直线和平面、直线和直线的位置关系．7．若双曲线C 1：－＝1与C 2：－＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距22x 28y 22x a 22y b为b ＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b 的关系，结合已知焦距，可求得1C 2C b 的值.【详解】由,1C 2=的渐近线斜率为,2C ba 由于它们有相同的渐近线，∴，2,2bb a a ∴＝＝C 2的焦距，2c ＝c =又c == ，，2a ∴=4b ∴=故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的,a b 的平方关系为,椭圆的a,b,c 的关系为,一定要准确掌握.,,a b c 222a b c +=222b c a +=8．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）:R,cos 1p x x ∀∈≤000:R,e e 2x x q x -∃∈+<A ．B ．C ．D ．p q ∧()p q⌝∧()p q ∧⌝()p q⌝∨【答案】C【分析】根据余弦函数性质、基本不等式判断已知命题的真假，再确定对应否命题真假，进而判断各选项中复合命题的真假.【详解】由余弦函数性质知：为真，p又，当且仅当时等号成立，故为假，R,2e e x x x -∀∈+=≥0x =q 所以为假，为真，p ⌝q ⌝综上，为假，为假，为真，为假.p q ∧()p q ⌝∧()p q ∧⌝()p q ⌝∨故选：C9．设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则的中点到轴F 2:4C y x =A C ()4,0B AF BF =AB y 的距离是（ ）A ．2B ．C ．3D ．【答案】C【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，A A 即可得到答案.【详解】解：由题意得，，则，()1,0F 3AF BF ==所以，由抛物线的定义得点到准线的距离为，A =1x -3所以点的横坐标为，A 132-+=不妨设点在轴上方，代入抛物线方程得，，A x (2,A所以的中点坐标为，到轴的距离是.AB (y 3故选：C 10．已知正方体，为底面的中心，，分别为棱，的中点.则1111ABCD A B C D -O ABCD M N 11A D 1CC 异面直线与所成角的余弦值为1B MONA B C D 【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，然后利用空间向量夹角公式进行求解1B MON 即可.【详解】以为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，D所以有，1(0,0,0),(1,1,0),(2,2,2),(1,0,2),(0,2,1)D O B M N 因此， ，1(1,2,0)B M =-- (1,1,1)ON =- 设异面直线与所成角为 ，1B M ON α所以cos α=故选：C【点睛】本题考查了利用空间向量夹角公式求异面直线所成的角，考查了数学运算能力.11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为的直线l 与()2222 10,0x y a b a b -=>>1F 2F 1F ab 双曲线的右支交于点P ，与其中一条渐近线交于点M ，且有，则双曲线的渐近线方程为13PM MF =（）A ．B ．C ．D ．43yx =±y x =y x =y =【答案】A【分析】写出直线方程，求出它与一条渐近线的交点的坐标，由可求得l b y x a =-M 13PM MF = 点坐标，代入双曲线方程后得的等式，可求得，得渐近线方程．P ,,a b c ba 【详解】由题意，直线方程为，渐近线方程为，1(,0)F c -l ()ay x c b =+b y x a =±若在渐近线上，M b y xa =-由解得，即，()a y x c bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2(,)a ab Mc c -设，∵，∴，解得，00(,)P x y 13PM MF = 2200(,)3(,a ab a ab x y c c c c c ---=-+-22034c a x c -=，04aby c =∵在双曲线上，∴，∴，化简得，，∴渐近00(,)P x y 2200221x y a b -=2222222(34)161c a a a c c --=22169a b =43b a =线方程为．43y x =±若在渐近线上，M b y xa =由解得，即，()ay x c bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22222a c x b a abc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩22222(,)a c abc M b a b a --设，∵，∴，解得00(,)P x y 13PM MF =220022222222(,)3(,a c abc a c abc x y c b a b a b a b a --=-------，，220223b c a cx b a +=-0224abc y b a =-∵在双曲线上，∴，∴，00(,)P x y 2200221x y a b -=222222222222(3)161()()b c a c a c a b a b a +-=--化简得，无解．224224()(16239)0a b a a b b -++=综上，渐近线方程为．43y x =±故选：A ．【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，解题关键是列出关于的等式，然后化简求出即,,a b c ba 可，解题方法是坐标代入法：由直线方程与渐近线方程列方程组解得坐标，根据向量共线的坐l M 标表示求出点坐标，点坐标代入双曲线方程可得关于的等式．P P ,,a b c 12．中国结是一种传统的民间手工艺术，带有浓厚的中华民族文化特色，它有着复杂奇妙的曲线．用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中的“”形对应着数学曲线中的双纽线．在∞平面上，把到两个定点，距离之积等于的动点轨迹称为双纽线C ，PxOy ()1,0F a -()2,0F a ()20a a >是曲线C 上的一个动点．则下列结论正确的个数是（ ）①曲线C 关于原点对称②曲线C 上满足的P 有且只有一个12PF PF =③动点P 到定点，距离之和的最小值为2a1F 2F ④若直线与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为y kx =(][),11,-∞-⋃+∞A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据题意求得曲线C 的轨迹方程，对于①，利用替换方程中的即可判断；对(,)x y --(,)x y 于②，由推得，代入曲线C 方程求解即可判断；对于③利用基本不等式即可判断；12PF PF =0x =对于④，先判断得直线与曲线C 必有一个公共点，再将代入曲线C 方程得到无非零y kx =y kx =解方程，从而得以判断.【详解】设，则根据双纽线的定义有，(),P x y 212PF PF a =，即曲线C 的轨迹方程为.2a=()()2222222x y a x y +=-①：用替换方程中的，原方程不变，(,)x y --(,)x y 所以曲线C 关于原点中心对称，故①正确；②：若曲线C 上点P 满足，则点P 在的垂直平分线，即y 轴上，故，12PF PF =12F F 0x =代入曲线C 方程得，解得，所以这样的点仅有一个，故②正确；4222y a y =-0y =③：因为，当且仅当时，等号成立，122PF PF a +≥12PF PF =所以，故③正确；()12min2PFPF a+=④：易知直线与曲线C 一定有公共点，y kx =()0,0若直线与曲线C 只有一个交点，y kx =将代入曲线C 方程中，方程无非零解，y kx =()()242222121x k a x k +=-则，解得或，故④正确.210k -≤1k ≤-1k ≥故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面轨迹方程的求法求得曲线C 的轨迹方程为，再根据方程分析判断各说法即可.()()2222222xy a x y +=-二、填空题13．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是3x =2212516x y +=,A B 1F 1ABF ___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.3x =2212516x y +=2F 【详解】椭圆,所以，2212516x y +=22225169c a b =-=-=得，则椭圆的右焦点为，3c =2(3,0)F 所以直线经过椭圆的右焦点，3x =2212516x y +=2F 由椭圆的定义可知，的周长为1ABF .11121244520AF BF AB AF AF BF BF a ++=+++==⨯=故答案为：20.14．已知抛物线的焦点为F ，定点，点P 是抛物线上一个动点，则的最小值24x y =(1,4)A PF PA +为______________.【答案】5【分析】根据抛物线的定义求得正确答案.【详解】抛物线的准线方程为，24x y =1y =-根据抛物线的定义可知，的最小值是到准线的距离，PF PA+A 1y =-即的最小值为.PF PA+415+=故答案为：515．已知过双曲线（，）右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交22221x y a b -=0a >0b >45 点，则双曲线的离心率的取值范围是________．【答案】【详解】试题分析：因为过双曲线（，）右焦点且倾斜角为的直线与双曲22221x y a b -=0a >0b >45 线右支有两个交点，所以双曲线的渐进线 的倾斜角小于，所以，即by x a =451b a <，解得22222,b a c a a <-<1e <<【解析】双曲线的标准方程与几何性质．16．已知函数，，，，使得2()(21)f x ax a x =-+|1|2019()312160x g x +⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈成立，则实数的取值范围为_____________.()()12f x g x ≤a 0a ≤≤【分析】对于，，使得成立，则有，利用函数的()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈()()12f x g x≤()()max max f x g x ≤单调性分别在定义域内求出最值即可.【详解】由，1|11201931,121602019()312160201931,12160x x x x g x x ++--⎧⎛⎫⨯-≥-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⨯-=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪⨯-<- ⎪⎪⎝⎭⎩根据复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增，()g x [)1,-+∞(),1-∞-所以()()max 1312g x g =-=-=对于，，使得成立，则有()10,x ∀∈+∞2x R ∃∈()()12f x g x≤()()max max f x g x ≤即不等式，对于任意的恒成立.()2f x ≤()0,x ∈+∞当时，，对于任意的，恒成立，0a =()f x x =-()0,x ∈+∞()2f x ≤符合题意；0a ∴=当时，的图像是开口向下的抛物线，且 a<02()(21)f x ax a x =-+()00f =要使不等式对于任意的恒成立，()2f x ≤()0,x ∈+∞则若对称轴，即，，即，显然成立，2102a x a +=≤210a +≥102a -≤<()0f x ≤若对称轴，即时，，2102a x a +=>12a <-()()2max 2124a fx a -+=≤，a ≤≤12a ≤<-，0a ≤<当时，函数的图像是开口向上的抛物线，0a >2()(21)f x ax a x =-+对称轴方程为，2102a x a +=>在上无最大值，故不符合题意，()f x ()0,∞+综上所述，实数.a 0a ≤≤0a ≤≤【点睛】本题主要考查考查了不等式恒成立问题、考查了二次函数在某个区间上的最值，符合函数的单调性，考查了分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题17．已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆；命题：方程表示p 2214x y m m +=-x q 22113x y m m -=--焦点在轴上的双曲线.若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.x p q ∨p q ∧m 【答案】(][)2,34,+∞ 【分析】首先求出命题、为真时参数的取值范围，依题意、一真一假，分类讨论，分别得p qp q到不等式组，即可求出参数的取值范围.【详解】若为真命题，则，解得.p 40m m >->24m <<若为真命题，则，解得，q 1030m m ->⎧⎨->⎩3m >因为为真命题，为假命题，所以、一真一假，p q ∨p q ∧p q若真假，则，解得，p q 243m m <<⎧⎨≤⎩23m <≤若假真，则，解得，p q 243m m m ≤≥⎧⎨>⎩或4m ≥综上所述，实数的取值范围为：.m (][)2,34,+∞ 18．已知一动圆与圆：外切，且与圆：内切.1C ()2239x y ++=2C ()2231x y -+=（1）求动圆圆心的轨迹方程；P C （2）过点能否作一条直线与交于，两点，且点是线段的中点，若存在，求出()4,1Q l C A B Q AB 直线方程；若不存在，说明理由.l 【答案】(1) (2) 存在，()221245x y x -=≥5190x y --=【分析】（1）利用圆与圆外切时，圆心距等于半径之和，圆与圆内切时，圆心距等于半径之差的绝对值，从而得到方程组，再利用双曲线定义得到圆心的轨迹为双曲线的右支；（2）利用设而不求、点差法、中点坐标公式，求得直线的斜率.AB 【详解】（1）设动圆圆心，半径为，(),P x y r 根据题意得：，所以，1231MC r MC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩1246MC MC -=<则动点轨迹为双曲线（右支），所以，，M 2a =3c =b =所以轨迹方程为.C ()221245x y x -=≥（2）设，代入双曲线的方程得1122(,),(,)A x y B x y 221122225420,5420,x y x y ⎧-=⎨-=⎩两式相减得，121212125()()4()()0x x x x y y y y -+--+=因为是线段的中点，所以()4,1Q AB 1212421,2xx y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以，满足直线与曲线有两个交点，12121212554AB y y x x k x x y y -+===>-+所以的方程为.AB 5190x y --=【点睛】本题考查双曲线的定义，点差法的应用，注意求出的双曲线方程要进行验证，只是双曲线的右支，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点M 为中点，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD PD ．1PA AD ==(1)求证：平面平面；MAC ⊥PCD (2)求直线与平面所成角大小；PB PCD 【答案】(1)证明见解析(2)π6【分析】（1）先证明平面，则有，在证明平面，再根据面面垂直CD ⊥PAD AM CD ⊥AM ⊥PCD 的判定定理即可得证；（2）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.A 【详解】（1）因为平面，平面，PA ⊥ABCD CD ⊂ABCD 所以，PA CD ⊥又平面，,,,AD CD AD AP A AD AP ⊥⋂=⊂PAD 所以平面，CD ⊥PAD 又平面，所以，AM ⊂PAD AM CD ⊥因为点M 为中点，，PD 1PA AD ==所以，AM PD ⊥又平面，,,PD CD D PD CD ⋂=⊂PCD 所以平面，AM ⊥PCD 因为平面，AM ⊂MAC 所以平面平面；MAC ⊥PCD （2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，A 由已知可得，()()()0,0,0,1,0,01,0,0,121,02A P M B ⎛⎫⎪⎝⎭，，因为平面，AM ⊥PCD所以即为平面PCD 的一条法向量，110,,22AM ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()1,0,1PB =-设直线与平面所成角为，PB PCD θ则，1sin cos ,2AM PB AM PB AM PB θ⋅===又，所以，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π6θ=即直线与平面所成角的大小为.PB PCD π620．已知曲线C 上的每一个点到的距离减去它到y 轴的距离的差都是2.(2,0)F (1)求曲线C 的方程；(2)过F 作直线交曲线C 于A 、B 两点，点，求△ABD 面积的最小值.(2,0)D -【答案】(1)28,00,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩(2)16【分析】（1）设点是曲线上任意一点，利用已知条件列方程，化简求得曲线的方程.(),P x y C C （2）设出直线的方程，通过联立方程组以及根与系数关系、弦长公式、二次函数的性质等知识求l 得正确答案.【详解】（1）设点是曲线上任意一点，(),P x y C .当时曲线的方程为，0x ≥C 28(0)y x x =≥当时，曲线方程为.0x <0(0)y x =<故曲线方程是28,0.0,0x x y x ≥⎧=⎨<⎩（2）由题意得，直线的方程为，要与曲线有两个交点，l 2x t y =+则曲线方程为，28(0)y x x =≥设.由，得.()()1122,,,A x y B x y 228x ty y x =+⎧⎨=⎩28160y ty --=，21212Δ64640,8,16t y y t y y =+>+==-所以.1212ABC S DF y y =⨯⨯-= 故当时，.0=t (min)16ABC S = 所以三角形ABC 面积的最小值是16.21．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，，∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点.12AB BC AD ==(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）取PA 的中点为F ，连接EF ，BF ，证得CE //BF ，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取AD 的中点O 连接PO ，CO ，证得为直线与平面所成角，解三角形PCO ∠PC ABCD 求出，作于，连接证得为二面角的平面角，求出3PCO π∠=NQ AB ⊥Q MQ MQN ∠M AB D --的余弦值即可.MQN ∠法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：，，然后利用空间向(0,2)m =()0,0,1n = 量的相关结论可求得二面角M AB D --【详解】（1）证明：取的中点，连结是的中点，，PA F ,,EF BF E PD //EF AD ∴四边形11,,90,//,//,,22EF AD AB BC AD BAD ABC BC AD EF BC EF BC ∠∠=====∴= ∴是平行四边形，BCEF 平面平面，//,CE BF BF ∴⊂ ,PAB CE ⊄PAB 直线//平面.∴CE PAB （2）法一：四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，P ABCD -PAD ABCD 是的中点.取的中点在底面上的射影1,90,2AB BC AD BAD ABC E ∠∠==== PD AD ,O M ABCD在上，设，则，N OC 2AD =1,60AB BC OP PCO ∠===∴=直线与底面所成角为，可得：，BM ABCD 45,,1BN MN CN BC ===可得：，于，连接，所以22113BN BN +=BN MN ==NQ AB ⊥Q,MQ AB MN ⊥就是二面角的平面角，的余弦值MQN ∠M AB D --MQ ==MAB D --=法二：由已知得,以为坐标原点，的方向为x 轴正方向，为单位长，建立如图所示的空BA AD ⊥A AB AB间直角坐标系，则A xyz -则，，，，()000A ，，()100B ，，()110C ，，(01P ,则(10PC = ()100AB =，， ()(1,1BM x y z PM x y z =-=-，，，， 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而是底面ABCD 的法向量，所以()001n =，，cos ,sin45BMn ==即()22210x y z -+-=又在棱上,设M PC ,PM PC λ=则x ,1,y z λ==由①，②得（舍去）或 =1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩=1=1xy z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以，从而1M ⎛ ⎝1AM ⎛= ⎝ 设是平面ABM 的法向量，则()000,,=m x y z (0000220·0·00x y m AM m AB x ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取.于是(0,2)m =·cos ,m n m n m n==因此二面角M-AB-D22．以椭圆的中心为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．C P F Q 2PQ =OPQ OFQ S =(1)求椭圆及其“准圆”的方程；C (2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当C ED C M N 、时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．0OM ON ⋅=ED 【答案】（1）；（2）弦的长为定值224x y +=ED 【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即C (),0F c -0c >OPQ OFQ S =a =2PQ =且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；224a b +=222b c a +=223,1a b ==（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组ED (,R)y kx b k b =+∈C 1122(,)(,)M x y N x y 、代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=0OM ON ⋅= 线的距离的公式即可求出结果.【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，C (),0F c -0c >OPQ OFQ S =a =又，即且，所以，2PQ =224a b +=222b c a +=223,1a b ==则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．C 2213x y +=C 224x y +=（2）设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈且与椭圆的交点，C 1122(,),(,)M x y N x y 联列方程组代入消元得：，2213y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=由．2121222633,1313kb b x x x x k k --+==++可得，22121223()()13b k y y kx b kx b k -=++=+由得，0OM ON ⋅=12120x x y y +=即，所以，222222223334330131313b b k b k k k k ----+==+++()22314b k =+此时成立，()()2222236413332730k b k bk ∆=-+-=+>则原点到弦的距离，O ED d ====得原点到弦，则，O ED ED ==故弦的长为定值．ED 【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，1122(,),(,)M x y N x y 1122(,)(,)M x y N x y 、12120x x y y +=利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再1212()()y y kx b kx b =++()22314b k =+利用几何法即可计算弦长为定值.。
吉林省四平市2023-2024学年高二下学期期中质量监测数学试题含答案
四平市2023-2024学年度第二学期期中质量监测高二数学试题（答案在最后）全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()23cos f x x x=+的导函数是（）A.()6sin f x x x '=+B.()6sin f x x x '=-C.()3sin f x x x'=- D.()3sin f x x x'=+【答案】B 【解析】【分析】利用导数的运算法则即可求解.【详解】()()()23cos 6sin f x x x x x '''=+=-.故选：B.2.5(2)x -的展开式中3x 的系数为（）A.40-B.20- C.20D.40【答案】D 【解析】【分析】写出展开式的通项，即可计算可得.【详解】因为5(2)x -展开式的通项为()515C 2rr rr T x -+=-（05r ≤≤且N r ∈），所以5(2)x -的展开式中3x 的系数为225C (2)40⨯-=.故选：D3.某学校广播站有6个节目准备分2天播出，每天播出3个，其中学习经验介绍和新闻报道两个节目必须在第一天播出，谈话节目必须在第二天播出，则不同的播出方案共有（）A.108种B.90种C.72种D.36种【答案】A 【解析】【分析】先确定第一天和第二天播放的节目，然后再确定节目的播放顺序，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】第一步，从无限制条件的3个节目中选取1个，同学习经验介绍和新闻报道两个节目在第一天播出，共有1333C A 18=种；第二步，某谈话节目和其他剩余的2个节目在第二天播出，有33A 6=种播出方案，综上所述，由分步乘法计数原理可知，共有186108⨯=种不同的播出方案.故选：A4.已知*0,x n ≠∈N ，则“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】【分析】计算二项展开式中存在常数项的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】若8n =，则8312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项为()626381C 2112x x ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭；若312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为()33411=C22C rn rrn r r n r r nn T x x x ---+⎛⎫⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，且存在常数项，则340n r -=，34nr =，r 为整数，所以n 能被4整除.所以“8n =”是“312nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.5.已知曲线2ln y x x =-在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直，则点A 的横坐标为（）A.2-B.1-C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】设点()00,A x y ，根据题意可得()01f x '=，从而求得0x .【详解】设()2ln f x x x =-，点()00,A x y ，则()12f x x x='-，由在点A 处的切线与直线20x y +-=垂直可得()01f x '=，即00121x x -=，又00x >，01x ∴=.故选：D6.已知函数()()22e xf x x ax a =++，若()f x 在2x =-处取得极小值，则a 的取值范围是（）A.()4,+∞ B.[)4,+∞ C.[)2,+∞ D.()2,+∞【答案】A 【解析】【分析】利用求导得到导函数的零点2a-和2-，就参数a 分类讨论，判断函数()f x 的单调性，即可分析判断，确定参数a 的范围.【详解】由题意得，()()()()()()222e 4e 242e 22e x x x xf x x ax a x a x a x a x a x ⎡⎤=++++=+++=++⎣⎦'，由()0f x '=可得，2ax =-或2x =-，①若22a -=-，即4a =时，()()222e 0x f x x =+≥'，显然不合题意；②若22a -<-，即4a >时，当2ax <-或2x >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2a -∞-和(2,)-+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(,2)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极小值，符合题意；③若22a ->-，即4a <时，当<2x -或2x a >-时，()0f x '>，即()f x 在(,2)-∞-和(,)2a -+∞上单调递增；当22a x -<<-，()0f x '<，()f x 在(2,)2a--上单调递减，故()f x 在2x =-处取得极大值，不符题意.综上所述，当4a >时，()f x 在2x =-处取得极小值，故a 的取值范围是()4,∞+.故选：A.7.若()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-，则N =（）A.()41x - B.()41+x C.()43x - D.()43x +【答案】B 【解析】【分析】利用二项式定理可得答案.【详解】()()()()23416321241811N x x x x =+-+-+-+-413222334444(1)C (1)2C (1)2C (1)22x x x x =-+-⋅+-⋅+-⋅+4(12)x =-+4(1)x =+.故选：B8.若函数()21ln 32f x x ax =++在区间()1,4内存在单调减区间，则实数a 的取值范围是（）A.1,16⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B.()1,1,16⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C.(),1-∞- D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】对()f x 求导，分0a ≥和a<0两种情况，结合()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，求出a 的取值范围即可.【详解】()21ln 32f x x ax =++，()211ax f x ax x x+'=+=，当0a ≥时，()0f x ¢>，不符合题意；当0a <时，令()0f x '<，解得x >()f x 在区间()1,4内存在单调减区间，∴4<，解得116a <-.∴实数a 的取值范围是1,16⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，下列说法正确的是（）A.若A ，B 不相邻，有72种排法B.若A ，B 不相邻，有48种排法C.若A ，B 相邻，有48种排法D.若A ，B 相邻，有24种排法【答案】AC 【解析】【分析】求得A ，B 不相邻时的排法总数判断选项AB ；求得A ，B 相邻时的排法总数判断选项CD.【详解】A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 不相邻，则先让C ，D ，E 自由排列，再让A ，B 去插空即可，则方法总数为3234A A 72=（种）.则选项A 判断正确；选项B 判断错误；A ，B ，C ，D ，E 五个人并排站在一起，若A ，B 相邻，则将A ，B “捆绑”在一起，视为一个整体，与C ，D ，E 自由排列即可，则方法总数为2424A A 48=（种）.则选项C 判断正确；选项D 判断错误.故选：AC10.在62x⎛⎝的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60D.有理项的个数为3【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式以及二项式系数的性质，代入计算，对选项逐一判断，即【详解】偶数项的二项式系数之和为152232n -==，故A 正确；根据二项式，当3r =时36C 的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B 错误()()36662166C 21C 2r r rr rr r r T x x---+⎛==-⋅⋅⋅ ⎝，令3602r -=，4r =，∴4256C 260T =⋅=，故C 正确；362r -为整数时，0,2,4,6r =，故有理项的个数为4，故D 错误.故选：AC ．11.已知函数()ln xxf x e =,则下列说法正确的是（）A.()f x 有且仅有一个极值点B.()f x 有且仅有两个极值点C.当01x <<时，()f x 的图象位于x 轴下方D.存在0x ，使得()01f x e=【答案】AC 【解析】【分析】利用导数与极值、最值的关系求解即可.【详解】由题意知，()1ln xxx f x e -'=,令()1ln h x x x =-,()211h x x x '=--,易得()h x 在()0,∞+上单调递减,又()110h =>,()12ln 202h =-<，所以()01,2x ∃∈,使得()00h x =，所以当00x x <<时,()0f x '>，当0x x >时,()0f x '<，故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,x ∞+上单调递减，所以()f x 有且仅有一个极值点.故A 正确,B 错误;当01x <<时,ln 0x <，e 0x >,所以()0f x <,故C 正确;所以()()0000max 0ln 11ex x x f x f x e x e ===<,故D 错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种.【答案】8【解析】【分析】利用分步加法计数原理计算即得.【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成，由分步乘法计数原理知，不同的选法有322228⨯⨯==（种）.故答案为：8.13.函数()ln f x x x =-的单调减区间为___________.【答案】(]0,1【解析】【分析】首先求出函数的定义域为()0,∞+，再求出()f x '，令()0f x '≤，解不等式即可求解.【详解】函数()ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，且()111x f x x x-'=-=，令()0f x '≤，即10x x-≤，解不等式可得01x <≤，所以函数的单调递减区间为(]0,1.故答案为：(]0,1【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14.已知函数()f x 的导函数()f x '满足()()f x f x '>在R 上恒成立，则不等式()()23e 21e 10x f x f x --->的解集是______.【答案】2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据已知关系式可构造函数()()xf xg x =e，可知()g x 在R 上单调递增，将所求不等式转化为()()211g x g x ->-，利用单调性可解不等式求得结果.【详解】令()()x f x g x =e ，则()()()0ex f x f x g x '-'=>，所以()g x 在R 上单调递增，由()()23e 21e 10xf x f x --->，得()()211>1e21ex xf x f x ----，即()()211g x g x ->-，又()g x 在R 上单调递增，所以211x x ->-，解得23x >.所以不等式()()23e 21e 10xf x f x --->的解集是2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故答案为：2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：此类问题要结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而解不等式即可.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.（1）求值：2222310C C C +++ ;（2）解方程：32213A 2A 6A x x x +=+．【答案】（1）165；（2）5x =【解析】【分析】（1）利用组合数性质计算可得原式等于311C 165=；（2）由排列数计算公式可得(32)(5)0x x --=，可得5x =.【详解】（1）因为11C C C m m m n nn -+=+，所以11C C C m m m n n n -+-=，原式()()()()333333333345410911103C C C C C C C C C ++++-+=--- 31111109C 165123⨯⨯===⨯⨯；（2）因为32213A 2A 6A x x x +=+，所以!(1)!!326(3)!(1)!(2)!x x x x x x +⨯=⨯+⨯---，化简可得(32)(5)0x x --=，同时3x ≥，解得5x =.16.已知二项式nx⎛- ⎝的展开式中，所有项的二项式系数之和为a ，各项的系数之和为b ，32a b +=（1）求n 的值；（2）求其展开式中所有的有理项．【答案】（1）4（2）42135,54,81T x T x T x-===【解析】【分析】（1）先利用题给条件列出关于n 的方程，解之即可求得n 的值；（2）利用二项展开式的通项公式即可求得其展开式中所有的有理项．【小问1详解】因为2,(2)n n a b ==-，所以2(2)32n n +-=，当n 为奇数时，此方程无解，当n 为偶数时，方程可化为2232n ⨯=，解得4n =；【小问2详解】由通项公式3442144C (3)C rrr r r r r T x x--+=⋅=-⋅，当342r -为整数时，1r T +是有理项，则0,2,4r =，所以有理项为0442214422143454(3)C ,(3)C 54,(3)C 81T x x T x x T xx --=-==-==-=．17.为庆祝3.8妇女节，某中学准备举行教职工排球比赛，赛制要求每个年级派出十名老师分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛．（1）高二年级一共有多少不同的分组方案？（2）若甲，乙两位男老师和丙，丁，戊三位女老师组成的队伍顺利夺得冠军，在领奖合影时从左到右站成一排，丙不宜站最右端，丁和戊要站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】（1）120种；（2）36种.【解析】【分析】（1）利用分类加法计数原理，结合平均分组问题列式计算.（2）按相邻问题及有位置限制问题，利用分步乘法计数原理列式计算即得.【小问1详解】两组都是3女2男的情况有326422C C 60 A ⋅=（种）：一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有1446C C 60⋅=（种），所以总情况数为6060120+=（种），故一共有120种不同的分组方案.【小问2详解】视丁和戊为一个整体，与甲、乙任取1个站最右端，有13C 种，再排余下两个及丙，有33A 种，而丁和戊的排列有22A 种，所以不同排列方式的种数是132332C A A 36=.18.已知函数()()2212ln 2f x a x x ax a =-++∈R ．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；【答案】（1）32y =（2）答案见解析【解析】【分析】(1)代入1a =，求出'(1),(1)f f 即可求得切线方程；(2)函数求导'(2)()()x a x a f x x+-=，对a 分类讨论，进而求得单调性.【小问1详解】当1a =时，()212ln 2f x x x x =-++，'2()1f x x x =-++，所以'3(1)2110,(1)2f f =-++==，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为32y =.【小问2详解】22'2(2)()()x ax a x a x a f x x x+-+-==，①当0a =时，'()0f x x =>，所以函数在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，令'()0f x =，则12x a =-(舍)或2x a =，'()0,0f x x a <<<，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减；'()0,f x x a >>，当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增.③当0a <时，令'()0f x =，则12x a =-或2x a =(舍)，'()0,02f x x a <<<-，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；'()0,2f x x a >>-，当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a =时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0a >时，当(0,)x a ∈时，函数()f x 单调递减当(,)x a ∈+∞时，函数()f x 单调递增；当0a <时，当(0,2)x a ∈-时，函数()f x 单调递减；当(2,)x a ∈-+∞时，函数()f x 单调递增19.已知函数()ln 32a f x ax x =--，其中0a ≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若()10xf x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）[)2,+∞.【解析】【分析】（1）利用导数，讨论a 的符号判断函数单调性；（2）问题转化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，构造函数利用导数求最小值证明1ln 02x x ->，则12ln 30x x x --+≥恒成立，通过构造函数利用导数求最小值证明.【小问1详解】函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()2122a x a f x a x x -'=-=，①当0a >时，()0f x '<解得102x <<，()0f x ¢>解得12x >，此时函数()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，②当0a <时，()0f x ¢>解得102x <<，()0f x '<解得12x >，此时函数()f x 的增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭；【小问2详解】不等式()10xf x +≥可化为2ln 3102a ax x x x --+≥，由2ln 3102a ax x x x --+≥恒成立，取1x =，有310a -+≥，可得2a ≥，又由2ln 3102a ax x x x --+≥可化为1ln 3102ax x x x ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭，令()1ln 2g x x x =-，有()121122x g x x x -'=-=，令()0g x '<解得102x <<，()0g x '>解得12x >此时函数()g x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，有()111111ln ln 20222222g x g ⎛⎫≥=-=+> ⎪⎝⎭，可得1ln 02x x ->，可得211ln 2ln 2ln 22ax x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下面证明22ln 310x x x x --+≥，即证明12ln 30x x x --+≥，令()12ln 3h x x x x =--+，有()()()222221111212x x x x h x x x x x+---'=--==，令()0h x '<解得01x <<，()0h x '>解得1x >，可得函数()h x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，有()()120310h x h ≥=--+=，可得不等式22ln 310x x x x --+≥成立，所以若()10xf x +≥恒成立，则实数a 的取值范围为[)2,+∞.。
北京市2023-2024学年高二下学期期中练习数学试题含答案
北京2023-2024学年第二学期期中练习高二数学（答案在最后）命题人：2024．4说明：本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．一、选择题（每道题的四个选项中只有一个选项正确．每小题4分，一共40分）1.在数列{}n a 中，732,1a a ==，若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a =（）A.43B.32C.23 D.34【答案】A 【解析】【分析】利用等差中项求解即可．【详解】解：由1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列得53721113122a a a =+=+=，解得543a =.故选：A2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，使n S 的最小的n 值为（）A.4B.5C.6D.4或5【答案】D 【解析】【分析】设公差为d ，依题意得到方程组，求出1a 、d ，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.【详解】设公差为d ，由23a =-，510S =-，所以11351010a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5n a n =-，令0n a ≥，解得5n ≥，则数列{}n a 单调递增，且50a =，所以当4n =或5n =时n S 取得最小值.故选：D3.下列函数中，在()0,∞+上为增函数的是（）A.()sin 2f x x= B.() xf x xe= C.()3f x x x=- D.()ln f x x x=-+【答案】B 【解析】【分析】A 中根据正弦函数的单调性即可判断；B 中，利用导数判定()x f x xe =在(0,)+∞上是增函数；C 中，利用导数判定3()f x x x =-在1(0,)3上是减函数，在1(3，)∞+上是增函数；D 中，利用导数判定()f x 在(0,1)上是增函数，在(1,)+∞上是减函数．【详解】解：对于A ，()sin 2f x x =是周期函数，当32(,)22x ππ∈，即3(,)44x ππ∈时，函数是减函数，∴不满足题意；对于B ，()x f x xe = ，()(1)x f x x e ∴'=+，∴当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上是增函数；对于C ，3()f x x x =- ，2()31f x x ∴'=-，∴当1(0,)3x ∈时，()0f x '<，()f x 是减函数；1(3x ∈，)∞+时，()0f x '>，()f x 是增函数；∴不满足题意；对于D ，()ln f x x x =-+ ，11()1x f x x x-∴'=-+=，当(0,1)x ∈时，()0f x '>，()f x 是增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 是减函数，∴不满足题意．综上，在(0,)+∞上为增函数的是B ．故选：B ．4.函数()e e 1xf x x =--的最小值为（）A.0B.1- C.1D.1e -【答案】B 【解析】【分析】直接求导，令导函数为0，得到其极值点，分析其单调性即可得到最小值.【详解】函数()e e 1xf x x =--，求导得()e e x f x '=-，令()0f x '=，则1x =，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，则函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则()min (1)1f x f ==-.故选：B.5.已知函数()ln 3f x ax x =++在区间()1,2上不单调，则实数a 的取值范围是（）A.()2,1--B.11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】求出导函数()f x '，利用导数讨论()f x 的单调性，结合题意可得112a<-<运算求解即可.【详解】由()11ax f x a x x='+=+，函数定义域为()0,+∞，当0a ≥时，函数()f x 单调递增，不合题意；当0a <时，令()0f x '>，解得10x a<<-；令()0f x '<，解得1x a >-；可知()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭内单调递减，若函数()f x 在区间()1,2不单调，则112a<-<，解得112a -<<-；综上所述：实数a 的取值范围是11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：B.6.数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则使得“数列{}n a 是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（）A.(]0a ∈-∞，B.(]2a ∈-∞，C.()2a ∈-∞， D.()2a ∈+∞，【答案】A 【解析】【分析】根据数列单调递增得到(1)a n n <+，再求出在*N n ∈上(1)n n +的最小值，即可求出a 的范围，再进行条件判断选出答案即可.【详解】因为数列{}n a 是单调递增数列，所以1n n a a +>，即11a an n n n++>++，化简得(1)a n n <+，所以min (1)a n n <+，令2211(1)()24t n n n n n =+=+=+-，则t 在*N n ∈上递增，所以min (1)2n n +=，所以2a <,所以使“数列{}n a 是单调递增数列”的充要条件是(,2)a ∈-∞，所以充分不必要条件是可以是(]0a ∈-∞，.故选：A.7.已知函数322()f x x ax bx a =--+，则“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得()()1=01=10f f ⎧'⎪⎨⎪⎩，即可得到方程组，解得a 、b 再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为322()f x x ax bx a =--+，所以2()32f x x ax b '=--，所以()()21=32=01=1+=10f a b f a b a ----⎧'⎪⎨⎪⎩，解得=3=3a b -⎧⎨⎩或=4=11a b -⎧⎨⎩；当=3=3a b -⎧⎨⎩时32()339f x x x x =-++，()22()363310f x x x x '=-+=-≥，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；当=4=11a b -⎧⎨⎩时32()41116f x x x x =+-+，()()2()31131118f x x x x x '=++=--，当1x >或113x <-时()0f x '>，当1113x -<<时()0f x '<，满足函数在=1x 处取得极值，所以7a b +=，所以由7a b +=推不出函数()f x 在=1x 处有极值10，即充分性不成立；由函数()f x 在=1x 处有极值10推得出7a b +=，即必要性成立；故“7a b +=”是“函数()f x 在=1x 处有极值10”的必要不充分条件；故选：B8.将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，做成一个无盖方盒．设方盒的容积为(x)V ，则下列结论错误．．的是（）A.2()(0,)(2)2a V x x x a x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭B.22()128V x x ax a '=-+C.(x)V 在区间(0,]4a 上单调递增D.(x)V 在6ax =时取得最大值【答案】C 【解析】【分析】求出容积(x)V ，利用导数确定其单调性．【详解】由题意2()(2)V x a x x =-，20a x ->，2a x <的，所以02a x <<，222()22(2)(2)128V x a x x a x x ax a '=-⨯-+-=-+，由()(2)(6)V x x a x a '=--得06a x <<时，()0V x '>，62a ax <<时，()0V x '<，即(x)V 在(0,)6a 上递增，在26,a a ⎛⎫⎪⎝⎭上递减，(x)V 在6a x =时取得极大值32627a V a ⎛⎫=⎪⎝⎭也是最大值．错误的只有C ，故选：C ．9.已知函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x ='的图象如图所示，则以下四种说法中正确的个数是（）①函数()f x 的图象关于1x =对称②函数()y f x =在区间(),∞∞-+上为增函数③函数()f x 在=1x -处的切线的倾斜角大于π4④关于x 的不等式()24f x x >+的解集为()1,∞-+A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据导函数的图象得到()2f x '>，即原函数是增函数可判断①②③；令()()24g x f x x =--，求()g x '判断()g x 在R 上单调性，利用单调性可解不等式可判断④.【详解】对于①②，因为函数()f x 的导函数()0f x '>，可知()f x 在(),∞∞-+上是单调递增函数，图象不关于1x =对称，故①错误，②正确；对于③，()f x '的图象都在2y =的上方，所以()2f x '>，设()f x 在=1x -处的切线的倾斜角为α，则()f x 在=1x -处切线的斜率πtan 21tan 4α>>=，因为正切函数tan y α=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增，所以倾斜角大于π4，故③正确；对于④，因为()2f x '>，令()()24g x f x x =--，不等式()24f x x >+等价于()0g x >，则()()20g x f x ''=->，可知()g x 在R 上单调递增，又因为()()1120g f -=--=，则不等式()0g x >的解集为()1,∞-+，所以关于x 的不等式()24f x x >+的解集为()1,∞-+，故④正确.故选：B.10.已知数列{}n a 满足：11420n n n n a a a a ++⋅+-+=，则下列命题正确的是（）A.若数列{}n a 为常数列，则11a =B.存在1(1,2)a ∈，使数列{}n a 为递减数列C.任意1(0,1)a ∈，都有{}n a 为递减数列D.任意1(2,)a ∈+∞，都有12na a <≤【答案】D 【解析】【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.【详解】对A:若数列{}n a 为常数列，则2320n n a a -+=，解得1n a =或2n a =，故A 错误；对B:易得1421n n n a a a +-=+，若{}n a 为递减数列，则214232011n n n n n n n n a a a a a a a a +--+--=-=<++，解得2n a >或11n a -<<且0n a ≠，故不存在()11,2a ∈使得{}n a 递减数列，故B 错误；对C ,令112a =，则2340,2,10a a a ==-=，故{}n a 不是递减数列，故C 错误；对D ,用数学归纳法证明2n a >当1,n =1(2,)a ∈+∞显然成立，假设当()N n kk *=∈，2na>则1n k =+时，()1042212221k k k k k a a a a a +-=--+->+=，故当1n k =+时2n a >成立,由选项B 知，对任意2n a >则数列{}n a 为递减数列，故1n a a ≤故D 正确故选：D【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.二、填空题（每小题5分，一共25分）11.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b =_______.【答案】1【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题中条件求出d 、q 的值，进而求出2a 和2b 的值，由此可得出22a b 的值.【详解】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2q =-，3d =，那么221312a b -+==，故答案为1.【考点】等差数列和等比数列【点睛】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题，因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.12.曲线()()2e1xf x xx =--在点()()0,0f 处的切线方程是_____________．【答案】21y x =--【解析】【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由斜截式求出切线方程.【详解】因为()()2e1xf x xx =--，所以()01f =-，()()2e 2x f x x x '=+-，则()02f '=-，即切点为()0,1-，切线的斜率为()02f '=-，所以切线方程为21y x =--.故答案为：21y x =--13.如图所示：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．【答案】132【解析】【详解】由题意，正方形的边长构成以2为首项，以 2为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有11221023n -++⋯+=，∴10n =，∴最小正方形的边长为912232⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为132.14.已知函数33,()2,x x x a f x x x a ⎧-≤=⎨->⎩R a ∈，（1）当0a =时，函数()f x 的最大值是_____________；（2）若函数()f x 无最大值，写出一个满足条件的a 的取值是_____________．【答案】①.2②.2-（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根据0a =，画出函数图象，即可求得最大值.（2）根据x a >时，()2f x x =-，可得a 的范围，再取一个满足条件的值即可.【详解】（1）当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则0x ≤时，2()33f x x '=-，当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,0]x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减.0x >时，()2f x x =-，在(0,)+∞上单调递减.所以，作出函数图象大致如下图所示，所以()f x 的最大值为(1)2f -=.（2）由（1）得，33y x x =-的导函数为2()33f x x '=-，所以当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(1,+)x ∈∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.所以函数33y x x =-与2y x =-的完整图象如下图所示.结合图象，当1a <-时，()f x 无最大值；当12a -≤≤时，max ()2f x =；当2a >时，3max ()3f x a a =-.所以a 可取2-.故答案为：2；2-（答案不唯一）.15.记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.（1）以下函数()f x 与()g x 存在“S 点”的是___________①函数()f x x =与2()22g x x x =+-；②函数()1f x x =+与()x g x e =；③函数()sin f x x =与()cos g x x =.（2）已知：,m n R ∈，若函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =存在“S 点”，则实数m 的取值范围为___________.【答案】①.②②.31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】第一空根据()()00()()f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩是否有解即可判断；第二空由()()00()()f x g x f x g x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩得到0201ln x m x -=，构造函数()()21ln 0xh x x x-=>，利用导数研究函数()h x 的图象与性质即可求出结果.【详解】①因为函数()f x x =与2()22g x x x =+-，所以()1f x '=，()22g x x '=+，由题意得2000022122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，无解，故不存在“S 点”；②函数()1f x x =+与()x g x e =，所以()1f x '=，()x g x e '=，由题意得011x x x e e⎧+=⎨=⎩，解得00x =，故0为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”；③函数()sin f x x =与()cos g x x =，所以()cos f x x '=，()sin g x x '=-，由题意得0000sin cos cos sin x x x x =⎧⎨=-⎩，无解，故不存在“S 点”；函数2()f x mx nx =+与()ln g x x =，则()2f x mx n '=+与1()g x x '=，由题意得200000ln 12mx nx x mx n x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，则0201ln x m x -=，令()()21ln 0x h x x x -=>，则()332ln x h x x -+'=，令()0h x '=，则32x e =，所以32,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，则()0h x '>，故()h x 单调递增；320,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()0h x '<，故()h x 单调递减；所以()h x 在32x e =处取得极小值，也是最小值，()332223min321ln 12e h x h e e e ⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪⎝⎭，且x →+∞时，()h x →+∞，所以实数m 的取值范围为31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,故答案为：②；31,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．三、解答题（一共85分）16.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n 11n n a a +=，求数列{b n }的前n 项和S n .【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项即可求解.（2）利用裂项求和法即可求解.【详解】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），首项a 1=1，且a 1，a 2，a 6成等比数列，a 22=a 1a 6，可得（a 1+d ）2=a 1（a 1+5d ），可得d 2=3d ，即d =3（0舍去），可得a n =3n ﹣2；（2）由（1）知，b n ()()1132313n n ==-+（113231n n --+），数列{b n }的前n 项和S n 13=（1111114473231n n -+-++--+ ）13=（1131n -+）31n n =+.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比中项以及裂项求和法，需熟记公式，属于基础题.17.已知数列{}n a ，______.在①数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =-；②数列{}n a 的前n 项之积为(1)22()n n n S n +*=∈N ，这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答.（注：如果选择多个条件，按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）条件选择见解析，2n n a =（2）21222n n n nT ++=-+【解析】【分析】（1）选①或②均可证明数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求出数列{}n a 的通项公式；（2）由分组求和法结合等差、等比的前n 项和公式求解即可.【小问1详解】选①，当1n =时，1122a a =-，即12a =，当2n ≥时，22n n S a =-（I ），1122n n S a --=-（II ），（I ）-（II ）得：122n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =.选②，当1n =时，112a S ==，即12a =,当2n ≥时，(1)2(1)1222n n n n n n n S a S +--==，即(1)(1)2222n n n n n n a +--==,当1n =时，12a =符合上式.所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =【小问2详解】因为2log n n n b a a =+，所以2nn b n =+，所以()()1222212nn T n =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+212(12)(1)221222n n n n n n n T +-++=+=-+-.18.已知函数32()1(R)f x ax bx a =++∈，当2x =时，()f x 取得极值3-．（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）求()f x 在区间[]23-，上的最值．【答案】（1）32()31f x x x =-+（2）单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)（3）最大值为1，最小值为19-【解析】【分析】（1）根据极值定义和函数值，求得,a b 的值，从而得到解析式；（2）利用导函数的正负，解出x 的范围，从而得到函数的单调性；（3）根据在区间[]23-，上单调性，求得最值即可.【小问1详解】依题意可得2()32f x ax bx '=+，又当2x =时，()f x 取得极值3-，所以(2)3(2)0f f '=-⎧⎨=⎩，即84131240a b a b ++=-⎧⎨+=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩，所以32()31f x x x =-+.此时，2()363(2)f x x x x x '=-=-，(,0)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以()f x 在(,0),(2,)-∞+∞单调递增，在(0,2)单调递减.所以2x =时，()f x 取得极小值，极小值为(2)3f =-，符合题意，所以32()31f x x x =-+.【小问2详解】由（1）可知32()31f x x x =-+，2()363(2)f x x x x x '=-=-.令()0f x '>，解得0x <或2x >；令()0f x '<，解得02x <<.所以()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)-∞+∞，单调递减区间为(0,2)【小问3详解】由（2）可知()f x 在[2,0],[2,3]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，因为(0)1,(3)1f f ==，所以在区间[]23-，最大值为1，因为(2)19,(2)3f f -=-=-，所以在区间[]23-，最小值为19-.所以()f x 在区间[]23-，上的最大值为1，最小值为19-.19.已知函数()()e R xf x ax a =-∈（1）求函数()f x 的极值；（2）当e a >时，求证：函数()f x 有两个零点．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，分0a ≤、0a >两种情况讨论，分别得到函数的单调性与极值；（2）由（1）可知()()ln 0f x f a =<极小值，又()01f =，即可得到()f x 在(),ln a -∞上有且仅有一个零点，再利用导数说明()2e 0af a a =->()e a >恒成立，即可得到()f x 在()ln ,a +∞上有且仅有一个零点，从而得解.【小问1详解】函数()e x f x ax =-的定义域为R ，且()e xf x a '=-，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在R 上单调递增，函数无极值；当0a >时，由()0f x '>可得ln x a >，由()0f x '<可得ln x a <，所以()f x 在()ln ,a +∞上单调递增，在(),ln a -∞上单调递减，所以()f x 在ln x a =处取得极小值点，即()()ln ln f x f a a a a ==-极小值，无极大值，综上可得：当0a ≤时无极值，当0a >时()ln f x a a a =-极小值，无极大值.【小问2详解】当e a >时ln ln e 1a >>，由（1）可得()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，且()()()ln ln 1ln 0f x f a a a a a a ==-=-<极小值，又()01f =，所以()f x 在(),ln a -∞上有且仅有一个零点1x ，且()10,ln x a ∈，又()2e af a a =-，令()2e x g x x=-()e x >，所以()e 2x g x x '=-，令()()e 2xm x g x x '==-()e x >，则()e 20xm x ='->，所以()m x （()g x '）在()e,+∞上单调递增，且()ee e 2e 0g '=->，即()0g x '>，所以()g x 在()e,+∞上单调递增，所以()()e2e e e 0g x g >=->，所以()0f a >，令()()ln e h x x x x =->，所以()110h x x'=->，所以()h x 在()e,+∞上单调递增，所以()()e e 10h x h >=->，所以当e a >时ln a a >，所以()f x 在()ln ,a +∞上有且仅有一个零点2x ，且()2ln ,x a a ∈，综上可得，当e a >时，函数()f x 有两个零点.20.已知函数()2ln f x x x =，2()(1)g x x λ=-（λ为常数）.（1）若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线，求实数λ的值；（2）若1λ=，且1x ≥，证明：()()f x g x ≤；（3）若对任意[1,)x ∈+∞，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）1λ=；（2）证明见解析；（3）1λ≥.【解析】【分析】(1)对函数()f x 和()g x 分别求导，根据导数的几何意义得到(1)(1)f g ''=，即可求出λ的值；(2)设函数()()22ln 1h x x x x =--，利用导数求出函数的最大值为0，即可证明；(3)设函数()()22ln 1H x x x x λ=--，分离参数，将问题转化为ln 1x xλ+≤恒成立，构造函数()ln 1x r x x+=，利用导数求出函数()max r x 即可.【详解】（1）()2ln 2(0)f x x x '=+>，则()12f '=且()10f =；()2g x x λ'=所以函数()y f x =在1x =处的切线方程为：22y x =-，从而(1)22g λ'==，即1λ=.（2）由题意知：设函数()()22ln 1h x x x x =--，则()()2ln 1h x x x '=+-.设()ln 1p x x x =+-，从而()110p x x'=-≤对任意[)1x ∈+∞，恒成立，所以()()ln 110p x x x p =+-≤=，即()0h x '≤，因此函数()()22ln 1h x x x x =--在[)1+∞，上单调递减，即()()10h x h ≤=，所以当1x ≥时，()()f x g x ≤成立.（3）设函数()()22ln 1(0)H x x x x x λ=-->，从而对任意[)1x ∈+∞，，不等式()()01H x H ≤=恒成立.又()2ln 22H x x x λ'=+-，当()2ln 220H x x x λ'=+-≤，即ln 1x xλ+≤恒成立时，函数()H x 单调递减.设()ln 1x r x x +=，则()2ln 0xr x x-'=≤，所以()()max 11r x r ==，即1λ≥，符合题意；当0λ≤时，()2ln 220H x x x λ'=+-≥恒成立，此时函数()H x 单调递增.于是，不等式()()10H x H ≥=对任意[)1x ∈+∞，恒成立，不符合题意；当01λ<<时，设()()2ln 22q x H x x x λ'==+-，则()21201q x x x λλ'=-=⇒=>当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()220q x x λ'=->，此时()()2ln 22q x H x x x λ'==+-单调递增，所以()()2ln 221220H x x x H λλ''=+->=->，故当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()H x 单调递增.于是当11,x λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x >成立，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为：1λ≥.21.给定正整数3m ≥，若项数为m 的正实数数列{}n a 满足：12m a a a ≤≤≤ ，且1m a ma ≤，称数列{}n a 为“M 数列”．如果“M 数列”{}n a 存在()1,,i j k a a a i j k m ≤<<≤分别是一个锐角三角形的三个边长，则称这个m 项数列{}n a 为“AT 数列”．（1）判断数列{}n a ：2，2，2，2，2和数列{}n b ：1，2，3，4，5是否为“AT 数列”；（2）正数数列{}n a 满足：22212211,1,2,10,,n n n a a a a a n ++===+=⋅⋅⋅．证明：数列{}n a 是“M 数列”，但不是“AT 数列”；（3）若任意的m 项“M 数列”{}n a 均为“AT 数列”，求出所有满足条件的整数m ．【答案】（1）数列{}n a 是“AT 数列”，数列{}n b 不是“AT 数列”（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意结合“M 数列”和“AT 数列”的定义分析判断；（2）列举出{}n a 结合“M 数列”的定义分析判断，结合{}n a 的单调性分析可得222k j i b b b ≥+，即可判断；（3）设m 的最小值为0m ，结合“AT 数列”的定义分析求解.【小问1详解】对于数列{}n a ：可知*2,15,n a n n =≤≤∈N ，对任意*35,m m ≤≤∈N ，均有22m ≤，即1m a ma ≤，可知数列{}n a 是“M 数列”，且对(),,1i j k a a a i j k m ≤<<≤，以,,i j k a a a 为边长的三角形为等边三角形，即为锐角三角形，所以数列{}n a 是“AT 数列”；对于数列{}n b ，可知*,15,n b n n n =≤≤∈N ，可知数列{}n b 为正项递增数列对任意*35,m m ≤≤∈N ，均有m m ≤，即1m b mb ≤，可知数列{}n b 是“M 数列”，因为()()()()22222222121140n n n b b b n n n n ++⎡⎤-+=+-++=--+≥⎣⎦，即22221n n n b b b ++≥+，当且仅当3n =时，等号成立，即对(),,1i j k b b b i j k m ≤<<≤，则2,1i k j k ≤-≤-，均有2222212k k k j i b b b b b --≥+≥+，即不能构成锐角三角形；所以数列{}n b 不是“AT 数列”.【小问2详解】因为22221n n n a a a ++=+，121a a ==，可得34567101112a a a a a a a a ========对任意*312,m m ≤≤∈N ，均有满足1m a ma m ≤=，可知数列{}n a 是“M 数列”，由22221n n n a a a ++=+可得()()222212121n n n n n n n a a a a a a a ++++++-=+-=，且数列{}n a 为正项数列，可知2210,0n n n a a a +++>>，可得210n n a a ++->，且1231,a a a ===，可知数列{}n a 从第二项开始为递增的正项数列，对(),,1i j k a a a i j k m ≤<<≤，则2,1i k j k ≤-≤-，可知2222212k k k j i a a a a a --=+≥+，即不能构成锐角三角形；所以数列{}n a 不是“AT 数列”.【小问3详解】因为数列{}n a 为“M 数列”，这里的m 是任意的，若任意的m 项“M 数列”{}n a 均为“AT 数列”，设m 的最小值为0m ，可知存在()0,,1i j k a a a i j k m ≤<<≤分别是一个锐角三角形的三个边长，则对于任意0m m ≥，均存在()0,,1i j k a a a i j k m m ≤<<≤≤分别是一个锐角三角形的三个边长，即对于任意0m m ≥，m 项数列{}n a 均为“AT 数列”，所以0m m ≥均符合题意，其中m 的最小值为0m .。
四川省内江市第六中学2021-2022学年高二下学期期中理科数学试题
14．若命题 "x R, x 2 x a 1 0" 是假命题，则实数 a 的取值范围为___________.
15．已知
1
a x
(2x
1 x
)5
的展开式中各项系数的和为
2，则该展开式中常数项为______．
16．已知两点 A3,0 和 B 3, 0 ，动点 P x, y 在直线 l：y＝－x＋5 上移动，椭圆 C 以 A，B
9．设双曲线
x a
2 2
y2 b2
1a
0, b
0 的两条渐近线与直线 x
a2 c
分别交于
A, B 两点， F
为该
双曲线的右焦点，若 60 AFB 90 ，则该双曲线离心率 e 的取值范围是
A． 1, 2
B．
2
3 3
,
C． 2,2
D．
2
3 3
,
2
10．关于曲线 C ： x4 y2 1，给出下列四个命题：
）
A．
1 2
B．1
C． 2
D． 5
12．已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2 ， M , N 分别为棱 AD, BC 的中点， F 为棱 AB 上
试卷第 2页，共 5页
异于 A, B 的动点．有下列结论： ①线段 MN 的长度为1；
②点 C 到面 MFN 的距离范围为 0,
2 2 ；
③ FMN 周长的最小值为 2 1；
）
A．若命题 p ： n N ， n2 2n ，则 p ： n N ， n2 2n B．“ a b ”是“ ln a ln b ”的必要不充分条件
C．若命题“ p q ”为真命题，则命题 p 与命题 q中至少有一个是真命题
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期中考试数学(理)试题【含答案】
2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知数列满足，，则（ ）{}n a 113a =()1211n n a n a ++=-∈+N 2022a =A ．2B ．C ．D ．3-12-13【答案】C【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列是周期数列，{}n a 进而求得结果.【详解】由已知得，，，113a =22111213a =-=-+3213112a =-=--，， 421213a =-=-5211123a =-=+可以判断出数列是以4为周期的数列，故，{}n a 202250542212a a a ⨯+===-故选：C.2．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为13（ ）A ．10B ．15C ．20D ．15【答案】A【分析】由等差数列的通项公式、前项和公式求解．n 【详解】设最小的一份为个，公差为，，，1a d 0d >()34541213a a a a a a ++==+由题意，解得．111545100232a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩1105a d =⎧⎨=⎩故选：A ．3．等比数列的前项和，则=（ ）{}n a n 12n n S a b -=⋅+ab A ．-2B ．C ．2D ．32-32【答案】A【分析】赋值法求出，，，利用等比中项得到方程，求出.1a a b =+2a a =32a a =2ab =-【详解】，当时，，当时，，12n n S a b -=⋅+1n =1a a b =+2n =122a a a b +=+故，当时，，从而，由于是等比数列，2a a =3n =1234a a a a b ++=+32a a ={}n a 故，解得：.()22a a a b =+2ab =-故选：A 4．为不超过x 的最大整数，设为函数，的值域中所有元素的个数.若[]x n a ()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦[)0,x n ∈数列的前n 项和为，则（ ）12n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭n S 2022S =A ．B ．C ．D ．10121013122021404010111012【答案】D【分析】先根据题意求出，进而用裂项相消法求和.22,2n n n a n N *-+=∈【详解】当时，，，，故，即，1n =[)0,1x ∈[]0x =[]0x x =[]0x x ⎡⎤=⎣⎦11a =当时，，，，故，即，2n =[)0,2x ∈[]{}0,1x =[]{}[)01,2x x ∈⋃[]{}0,1x x ⎡⎤=⎣⎦22a =当时，，，，故，即，3n =[)0,3x ∈[]{}0,1,2x =[]{}[)[)01,24,6x x ∈⋃⋃[]{}0,1,4,5x x ⎡⎤=⎣⎦24a =以此类推，当，时，，2n ≥[)0,x n ∈[]{}0,1,2,,x n = ，故可以取的个数为[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ []x x ⎡⎤⎣⎦，2211212n n n -+++++-=即，当n=1时也满足上式，故，22,22n n n a n -+=≥22,2n n n a n N *-+=∈所以，()()2122222321212n a n n n n n n n ===-+++++++，所以.2222233422211222n n n S n n n -=-=+=-+-+++++ 20222022101120241012S ==故选：D【点睛】取整函数经常考察，往往和数列，函数零点，值域等知识相结合考察大家，要能理解取整函数并能正确得到相关计算，才能保证题目能够解集，本题中得到是解题的关键.[]{}[)[)()())201,24,61,1x x n n n ⎡∈--⎣ 5．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数，他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，若：三角形数、、、、，正方形数、、、、等等.如图所示13610 14916 为正五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第4项为（）A ．B ．C ．D ．16171822【答案】D【分析】根据前三个五边形数可推断出第四个五边形数.【详解】第一个五边形数为，第二个五边形数为，第三个五边形数为，1145+=14712++=故第四个五边形数为.1471022+++=故选：D.6．已知函数，其导函数记为，则()()221sin 1x xf x x ++=+()f x '（ ）()()()()2022202220222022f f f f ''++---=A ．-3B ．3C ．-2D ．2【答案】D【分析】利用求导法则求出，即可知道，再利用，即可求解.()f x '()()f x f x ''=-()()2f x f x +-=【详解】由已知得，()()()()22221sin 1sin 11x x x x f x x x -+----==++则，()()()()22221sin 1sin 211x x x x f x f x x x ++--+-=+=++()()()()()222221cos 121sin 1x x x x x x f x x ⎡⎤+++-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦'=+，()()()2222cos 12sin 1x x x xx++-=+则，()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++-'-=+即，()()f x f x ''=-则()()()()2022202220222022f f f f ''++---，()()()()2022202220222022f f f f ''=+-+--2=故选：.D 7．若函数的图象上存在与直线垂直的切线，则实数a 的取值范围是()2ln f x x ax =+20x y +=（ ）A ．B ．C ．D ．1,2⎛⎤-∞⎥⎝⎦1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】利用导数的几何意义列方程，根据方程有解求a 的取值范围【详解】由题意得，函数的定义域为，且，∵函数的图()f x ()0,∞+()12f x ax x '=+()2ln f x x ax =+象上存在与直线x ＋2y ＝0垂直的切线，即有正数解，即在上有解，122ax x +=2112a x x =-+()0,∞+∵x >0，∴，∴．2211111112222xx x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭12a ≤故选：A ．8．已知R 上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．的最大值为B ．的极大值为()f x ()f b ()f x ()f a C ．有两个零点D ．有两个极值点()f x ()f x 【答案】D【分析】根据导函数的图象确定值的正负，判断函数的单调性，再逐项判断作答.()f x '()f x '()f x 【详解】由函数的图象知，当或时，，当时，，()f x 'x a <x c >()0f x '<a x c <<()0f x ¢>即函数在，上单调递减，在上单调递增，()f x (,)a -∞(,)c +∞(,)a c因，即有，A 不正确；(,)b a c ∈()()f b f c <函数在处取得极小值，在处取得极大值，B 不正确，D 正确；()f x x a =x c =由于函数的极小值、极大值的符号不确定，则函数的图象与x 轴的交点个数()f x ()f a ()f c ()f x 就不确定，C 不正确.故选：D9．已知是定义在上的函数的导函数，且，则，()f x ¢()0,+∞()f x ()()0xf x f x '->122a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，的大小关系为（ ）133b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e e c f⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．a c b >>a b c>>b c a>>b a c>>【答案】A【分析】构造，由已知及导数研究其单调性，进而比较、、()()f x g x x =12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小即可.1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭【详解】令，则．()()f xg x x =()()()2xf x f x g x x '-'=因为对于恒成立，()()0xf x f x '->()0,+∞所以，即在上单调递增，()0g x ¢>()()f xg x x =()0,+∞又，，，且，12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭13b g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1e c g ⎛⎫= ⎪⎝⎭1112e 3>>所以，即．1112e 3g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a c b >>故选：A 10．若函数在上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）()5ln f x x a x x =--[)1,+∞A ．B ．C ．D ．-⎡⎣(,-∞(],6-∞(]0,6【答案】B【分析】转化问题为在上恒成立，即在上恒成立，结合基本不等式()0f x '≥[)1,+∞5a x x ≤+[)1,+∞求解即可.【详解】因为函数在上是增函数，()f x [)1,+∞所以在上恒成立，即，即恒成立，()0f x '≥[)1,+∞()2510a f x x x '=+-≥5a x x ≤+又5x x +≥=x =所以，a ≤故选：B11．笛卡尔是法国著名的数学家、哲学家、物理学家，他发明了现代数学的基础工具之一——坐标系，将几何与代数相结合，创立了解析几何．相传，52岁时，穷困潦倒的笛卡尔恋上了18岁的瑞典公主克里斯蒂娜，后遭驱逐，在寄给公主的最后一封信里，仅有短短的一个方程：，拿信的公主早已泪眼婆娑，原来该方程的图形是一颗爱心的形状．这就是著名的()1sin r a θ=-“心形线”故事．某同学利用几何画板，将函数()f x =()g x =-标系中，得到了如图曲线．观察图形，当时，的导函数的图像为( )0x >()g x ()g x 'A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据题干已知图像判断x >0时g (x )图像的形状，根据g (x )图像的单调性和切线斜率变化即可判断其导数的图像．【详解】根据f (x )和g (x )的解析式可知f (x )和g (x )均为偶函数，图像关于y 轴对称，当x >0时，()f x =设y，∴此时f (x )对应的图像是题干中图像在第一部分的半圆，()2211x y -+=∴x >0时，g (x )对应题干中的图像在第四象限的部分，∵该部分图像单调递增，故的值恒为正，即图像始终在x 轴上方，故排除选项BC ；且()g x '()g x '该部分图像的切线斜率先减小后增大，故的值先减小后增大，由此对应的只有A 图像满()g x ()g x '足．故选：A ．12．函数，的减区间为（ ）()21cos sin 4f x x x x x=-+()0x ，π∈A ．B ．C ．D ．06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，566ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，56ππ⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】B【分析】根据求导运算可得：，，分析可知，的符号与()1sin 2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'()0x ，π∈0x >()f x '的符号一致，求解可得的减区间．1sin 2x -1sin 02x -<()f x 【详解】∵，()11cos sin cos sin 22f x x x x x x x x ⎛⎫=--+=- ⎝'⎪⎭()0x ，π∈令得：，()0f x '<1sin 02x -<()0x ，π∈∴即的减区间为．566x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()f x 566ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故选：B ．二、填空题13．2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时惊艳开场，将中国人的物候文明、经典诗词、现代生活的画面和谐统一起来．我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷最长，夏至日晷最短，周而复始．已知冬至的日晷长为13.5尺，清明的日晷长为6.5尺，则夏至的日晷长为______尺．【答案】1.5##32【分析】将24个节气的日晷长的各数据可看作等差数列，通过通项公式相关计算得到公差，{}n a 从而求出夏至的日晷长.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以24个节气的日晷长的各数据可构成等差数列，记冬至的日晷长为，清明的日晷长为，所以公差{}n a 113.5a =8 6.5a =，所以夏至的日晷长为．81 6.513.518181a a d --===---1311213.512 1.5a a d =+=-=故答案为：1.514．在数列中，，，，若数列是递减数列，}{na 11a=-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-}{21n a -数列是递增数列，则______．}{2na 2022a=【答案】20222133-【分析】根据所给条件可归纳出当时，，利用迭代法即可求解.2n >1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数【详解】因为，，，11a =-)(112,2n n n a a n N n -*--=∈≥21a <-所以，即，12122a a -=-=-23a =-，且是递减数列，数列是递增数列232||24a a -== }{21n a -}{2n a 或（舍去），37a ∴=-31a =，，34343||2a a a a ∴-=-=45445||2a a a a -=-=故可得当 时，2n >，1112,2,n n n n n a a n ---⎧--=⎨⎩为奇数为偶数202120202019120222022202120212020211()()()22221a a a a a a a a ∴=-+-++-+=-+--- 20212019201732020201820162(2222)(2222)3=++++-++++- 321010*********(21)2(21)32121⨯⨯--=----202042433⨯-=-20222133-=故答案为：20222133-15．数列前四项满足､､成等差数列，､､成等比数列，若则{}n a 1a 2a 3a 1a 2a 4a 1234a a a a ++=___________.143a a a +=【答案】2【分析】由题意设数列前四项为，，，，则由列方程可求出{}n a 1a 1a q 112a q a -21a q 1234a a a a ++=的值，从而可求出的值q 143a a a +【详解】设四个数为，，，，1a 1a q 112a q a -21a q 由，1234a a a a ++=即，可得，2111112a a q a q a a q ++-=3q =则.214111311110225a a a a q a a a q a a ++===-故答案为：216．已知函数，对于任意不同的，，有，则()21ln 2f x x ax x =-+1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-实数a 的取值范围为______．【答案】(],1-∞-【分析】设，结合不等式可得，构造函数，则12x x <()()112233f x x f x x -<-()()3F x f x x =-，即单调递增，转化问题为恒成立，进而分离参数，结合基本不等式()()12F x F x <()F x ()0F x '≥即可求解.【详解】对于任意，，有，1x ()20,x ∈+∞()()12123f x f x x x ->-不妨设，则，即，12x x <()()()12123f x f x x x -<-()()112233f x x f x x -<-设，则，()()3F x f x x=-()()12F x F x <又，所以单调递增，则恒成立，12x x <()F x ()0F x '≥因为，()()()2133ln 2F x f x x x a x x =-=-++所以，令，()()()23113x a x F x x a x x -++'=-++=()()231g x x a x =-++要使在恒成立，只需恒成立，即恒成立，()0F x '≥()0,∞+()()2310g x x a x =-++≥13a x x +≤+又，所以，即，12x x +≥=32a +≤1a ≤-故答案为：(],1-∞-三、解答题17．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 213n n S a +=(1)证明数列为等比数列，且求其通项公式；{}n a (2)若数列满足，求数列的前n 项和．{}n b n n a b n ={}n b nT【答案】(1)证明见解析，13n n a -=(2)1932443n n nT -+=-⋅【分析】（1）利用可得答案；()12-=-≥n n n a S S n （2）利用错位相减求和可得答案．【详解】（1）当n ＝1时，，解得，11121213S a a +=+=11a =当时，由①，得②，2n ≥213n n S a +=11213n n S a --+=①－②得，，∴，13n n a a -=13n n a a -=∴数列是以1为首项，以3为公比的等比数列，{}n a ∴数列的通项公式为．{}n a 13n n a -=（2）由（1）知，∴，13n na -=13n n n n nb a -==∴，，01211233333n n n T -=++++ 123111231333333n n n n n T --=+++++ ∴，01231112111113113333333313n n n n n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++-=⋅-- ∴．13313932122323443n n n n n n T -⎡⎤+⎛⎫=⋅--⋅=-⎢⎥ ⎪⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦18．等差数列中，其前项和为，若，，成等比数列，且.{}n a n n S 1S 2S 4S 663(2)S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前项和.1112(2),1n n n b b a n b a --=≥-=且1{}n b n n T 【答案】(1)42n a n =-(2)21n nT n =+【分析】（1）根据题意求出首项和公差，再根据等差数列通项即可得解；（2）利用累加法求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可得出答案.{}n b 【详解】（1）解：设的公差为，{}n a d 由题意得：2214663(2)S S S S a ⎧=⋅⎨=+⎩化简整理得：211111(2)(46)6153(52)a d a a d a d a d ⎧+=⋅+⎨+=++⎩解得：，124a d =⎧⎨=⎩；42n a n ∴=-（2）解：由（1）知，42n a n =-，184n n b b n -∴-=-1122321()()()()n n n n n n b b b b b b b b -----∴-+-+-+- (84)(812)12n n =-+-++ [(84)12](1)2n n -+-=，()2442n n =-≥，，11223211()()()()n n n n n n n b b b b b b b b b b ------+-+-++-=- 111b a -=，213,41n b b n ∴==-，1111(22121n b n n ∴=--+1111111()213352121n T n n ∴=-+-++--+ .11(122121n n n =-=++19．已知数列，首项，前项和足.{}n a 11a =n n S ()2*n n S n n N a =∈（1）求出，并猜想的表达式；1234,,,S S S S n S （2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，；（2）证明见解析11S =243S =332S =485S =21n n S n =+【分析】（1）有递推公式，以及，即可容易求得，并作出猜想；1a 1234,,,S S S S （2）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由，，得：2n n S n a =()*n N ∈11a =，111S a ==由，得：，()()2222122441S a S S S ==-=-243S =由，得：，()23332343993S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭33624S ==由，得：，()2444343416162S a S S S ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭485S =猜想的表达式为：；n S 21n n S n =+综上所述，答案为：，，，；；111S a ==243S =332S =485S =21n n S n =+（2）证明：1.当时，，∵，∴猜想正确；1n =21111⨯=+11S =2.假设当时，猜想正确，即；()*1,n k k k N =≥∈21k kS k =+那当时，由已知得：1n k =+()22111(1)(1)k k k k S k a k S S +++=+=+-将归纳假设代入上式，得：2112(1)1k k k S k S k ++⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭()2122(1)k kk S k k ++=+∴，12(1)2(1)2(1)1k k k S k k +++==+++这就是说，当时，猜想正确；1n k =+综上所述1，2知：对一切，都有成立.N*n ∈21k kS k =+【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.20．已知函数，．()313f x x ax a =-+a ∈R (1)讨论的单调性；()f x (2)当a ＝1时，求在上的最值．()f x []22-,【答案】(1)答案见解析(2)最大值为，最小值为5313【分析】（1）首先求函数的导数，，再分和两种情况讨论函数的单调性；()2f x x a '=-0a ≤0a >（2），根据函数的单调性，求函数的最值.()3113f x x x =-+【详解】（1）由题意得，，()2f x x a '=-当时，恒成立，此时在上是增函数，0a ≤()0f x '≥()f x (),-∞+∞当时，令，解得0a >()0f x '=x =令，可得()0f x ¢>x <x令，可得()0f x '<x<<所以在和上是增函数，在上是减函数．()f x (,-∞)+∞⎡⎣（2）由题意得，，()3113f x x x =-+由（1）知，在和上是增函数，在上是减函数．()f x [)2,1--(]1,2[]1,1-又，，()()()311222133f -=⨯---+=()()()315111133f -=⨯---+=，，()311111133f =⨯-+=()315222133f =⨯-+=故在上的最大值为，最小值为．()f x []22-,531321．当时，函数（）有极值，2x =3()4=-+f x ax bx ,a R b R ∈∈203-(1)求函数的解析式；3()4=-+f x ax bx (2)若关于的方程有3个解，求实数的取值范围．x ()f x k =k 【答案】(1)32()843f x x x =-+(2)2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题目条件得到方程组，求出的值，检验是否符合要求；（2）在第一问的基础,a b 上，构造，求导，求出其极值，列出不等式，求出实数的取值范围.32()843h x x x k =-+-k 【详解】（1），2()3f x ax b '=-由题意得：，解得：，()()21202028243f a b f a b ⎧=-='⎪⎨=-+=-⎪⎩238a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩32()843f x x x ∴=-+经验证，函数在处有极值，故解析式为：．32()843f x x x =-+2x =203-32()843f x x x =-+（2）令，由得：()()h x f x k =-(1)32()843h x x x k =-+-2()282(2)(2)h x x x x '=-=-+令得，，()0h x '=122,2x x ==-∴当时，，当时，，当时，，<2x -()0h x '>22x -<<()0h x '<2x >()0h x '>因此，当时， 有极大值，2x =-()h x 443k -当时，有极小值，2x =()h x 203k --关于的方程有3个解，等价于函数有三个零点，x ()f x k =()h x 所以44032003k k ⎧->⎪⎪⎨⎪--<⎪⎩．204433k ∴-<<故实数的取值范围是k 2044,33⎛⎫- ⎪⎝⎭22．已知函数．21()sin cos ,[,]2f x x x x ax x ππ=++∈-(1)求曲线在点，处的切线方程；()y f x =(0(0))f (2)当时，求的单调区间；0a =()f x (3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．0a >()f x [,]2ππa 【答案】(1)1y =(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π(3)(0,22]π【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；0x =(0)1f =（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.22sin 2cos x x xa x +=-【详解】（1），所以，()sin cos sin cos f x x x x x ax x x ax '=+-+=+()00k f ='=切又，(0)1f =所以在，处的切线方程：，即．()f x (0(0))f 10y -=1y =（2）当时，，0a =()sin cos f x x x x =+，()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=所以在，上，，单调递增，(,)2ππ--(0,2π()0f x '>()f x在，，，上，，单调递减，(2π-0)(2π)π()0f x '<()f x 所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．()f x (,)2ππ--(0,)2π(2π-0)(2π)π（3）当时，令，得，0a >()0f x =21sin cos 02x x x ax ++=所以，22sin 2cos x x x a x +=-令，，，22sin 2cos ()x x x g x x +=-[2x π∈]π222(2sin 2cos 2sin )()(2sin 2cos )(2)()()x x x x x x x x x g x x +---+-'=-322222222cos 4sin 4cos 2cos (2)4sin ()()x x x x x x x x x x x x x -++-++==--当，时，，，即，[2x π∈]πcos 0x <220x -+<()0g x '>所以在，上单调递增，()g x [2π]π又，，24()24g ππππ==--2222()g πππ-==-若在区间有一个零点，则，()f x [,]2ππ242a ππ- 故的取值范围，．a (022π。
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年四川省成都市高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知：()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆.故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2B ．2C ．3D ．62【答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC AD ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭ ，22MN MN ∴== .故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．022a <<B ．2222a -<<C ．22a <-或22a >D ．22a >【答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得22a >，故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B ．[0,3]C ．[0,2]D ．[1,2]【答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO = ，max2PO =，[0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故答案为：3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故答案为：2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故答案为：(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C 的距离为233；②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为33．【答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA =，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的截面，并说明该截面为边长为2的正六边形，由条件得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C 的距离为111333|AP n |d |n |⋅===，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则323212cos 22n n |n ||n |θ⋅===⋅ ，θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=(，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(- ，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA 的距离为1442()23A P n d n λμν⋅++-== ，由12λμν++=得2()2333d λμν++-==易知12322)234BDA S =⨯(=△，则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA =，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE ，22220000112B D AB AD =+=+=，在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，22002B E BE BB =+=，同理可得，02EG GH HF D F ====，∴六边形00B D FHGE 为正六边形，且边长为2，则其面积2362)4S =⨯⨯(33=，12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为33，故④正确．故答案为：②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+-．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c + (a b )c μ∴+=，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1323AA AC ==，D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【答案】(1)77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11AC 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11AC 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA AC ==，则11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，11,3,3)A D =(-- ，1,3,0)BC =(-- ，11137cos 772|A D BC ||||A D ||BC |θ⋅-∴===⨯⋅uuur uuu r uuur uuu r ；（2）由题可知1,0,0)A (，11,0,23)C (-，112,0,0)A C =(- ，1,3,3)AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则111111133020m A D x y z m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则222233020n AD x y z n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)32πVr =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：32πV r =；则当302πV r <<时，()0S r '<，()S r 单调递减；当32πV r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当32πV r =时，表面积()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【答案】(1)66(2)55．【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，()2,0,0A ,()0,2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E -，()0,0,2P ，232,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且(0,2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,,2)22PB =-- ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则2202322022CB n x y PB n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，26cos ,626OG n OG n OG n⋅===⨯ ，由题知π(0,)2θ∈，二面角B l A --的余弦值为66；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE ，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由2PO =，又22OF =，2210PF PO OF ∴=+=，25sin 510PO PFO PF ∠===，l ∴与平面ABCE 所成角的正弦值为55．22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=++-+++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。
山东省济南外国语学校高二数学下学期期中(4月)试题 理
2013-2014学年度第二学期模块考试高二期中数学（理科）试题（2014.4）考试时间 120 分钟 满分 120 分第Ⅰ卷（选择题，共 40 分）一、选择题（每个题目只有一个正确选项，每题4分，10个小题，共40分） 1．若)9,2,1(,)3,1,2(y b x a -==，且//，则（ ）.A 1,1==y x .B 21,21-==y x .C 23,61=-=y x .D 23,61-==y x 2．设i 是虚数单位，若复数10()3ia a -∈-R 是纯虚数，则a 的值为( ).A 3- .B 1- .C 1 .D 33．曲线x y e =在点)1,0(A 处的切线斜率为（ ）.A 1 .B 2 .C e .D 1e4. 下列函数中，在),0(∞+上为增函数的是( ) x y A 2sin .= x x y B -=3. xxe y C =.)1ln(.x x y D ++-=5．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若A D AB A ===11111,,， 则下列向量中与B 1相等的向量是（ ）c b a A +--2121. c b a B ++2121. c b a C +-2121. c b a D ++-2121.6．若函数2)(3-+=ax x x f 在区间),1(+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）.A ),3(+∞ .B ),3[+∞- .C ),3(+∞- .D )3,(--∞7．用数学归纳法证明aa a a a n n --=++++++111322Λ（*,1N n a ∈≠），在验证当1=n 时，等式左边应为（ ）.A 1 .B 1+a .C 21+a a + .D 231+a a a ++ 8．函数32()6(,)f x ax x x =---∞+∞+在上既有极大值又有极小值，则a 的取值范围为( ).A 0a > .B 0a < .C13a > .D 1,03a a <≠9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1,21===AA BC AB ，则1BC 与平面D D BB 11所成角的正弦值为( )36.A 552.B 515.C 510.D10．函数)(x f y =在定义域)3,23(-内的图象如图所示． 记)(x f y =的导函数为)('x f y =， 则不等式0)('≤x f 的解集为（ ）[)3,21,31.Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-38,3421,1.Y B[)2,121,23.Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-C ()3,234,2131,23.Y Y ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--D 第Ⅱ卷（非选择题，共 80 分） 二、填空题（每题4分，5个小题，共20分） 11．已知函数()cos f x x x =+，则/6f π⎛⎫=⎪⎝⎭. 12．曲线32()21(1,(1))f x x x f =-+上点处的切线方程为 .13．定积分=-⎰dx x 312)3(________.14．在正三棱柱111C B A ABC -中，侧棱长为，底面三角形的边长为2，则异面直线1BC 与C A 1所成的角度是 . 15．已知()0,,x ∈+∞不等式21≥+x x ，342≥+x x ，4273≥+xx ，…，可推广为1+≥+n xax n ，则a 等于 .三、解答题（6个小题，共60分）16．（本小题满分8分） 已知复数22(232)(32)i z m m m m =--+-+． 当实数m 取什么值时，复数z 是：①实数； ②纯虚数. 17．（本小题满分8分） 已知函数233x x y -=.（1）求函数的递增区间. （2）求函数的极小值；18. （本小题满分10分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为1的正方形， 侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于︒60，M 是PC 的中点，设c b a ===,,．MPDCBA（1）试用c b a ,,表示出向量BM ； （2）求BM 的长． 19．(本小题满分10分)求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积. 20.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90ο底面ABCD ，且12PA AD DC ===, 1AB =，M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求二面角B MC A --的余弦值.21．（本小题满分12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在32-=x 与1x =时都取得极值, (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间；(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围.高二理科数学答案 一、选择题（每题4分，共40分）1. D2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. D9. D 10.A 二、填空题（每题4分，共20分） 11.21 12. 01=-+y x 13. 26- 14. ︒90 15. n n 三、解答题（共60分） 16. （本小题满分8分）解：①当0232=+-m m 时，即1=m 或2=m 时，复数z 为实数．·········3分②当⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--023023222m m m m 时，解得⎪⎩⎪⎨⎧≠≠=-=21221m m m m 且或， 即21-=m 时，复数z 为纯虚数． ···································8分17. （本小题满分8分）解：（1）由'y =3x 2-6x >0，解得x <0或x >2，∴ 递增区间是(,0)-∞，(2,)+∞. ··································4分 （2） ∵ y=x 3－3x 2， ∴ 'y =3x 2－6x 3(2)x x =-，当02x <<时，'0y <；当2x >时，'0y >.∴ 当x =2时，函数有极小值-4. ···························8分 18. （本小题满分10分）解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21AB AP AD BP BC BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+=…………………………………………········…4分 （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. ····························10分 19.（本小题满分10分）解得交点横坐标为1,2 ······························2分2232123201:(23)(32)1331(2)|(2)|32231x x dx x x dx x x x x x x ⎰+-+⎰--=+-+--=1201解由题意知阴影部分的面积是:S=·································10分20.（本小题满分12分） （1）解：几何法：CD AD CD PA ⊥⊥,Θ,PAD CD 面⊥∴PCD PAD 面面⊥∴………4分（2）解：几何法：在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,λ=..21,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x z y x 要使14,00,.25AN MC AN MC x z λ⊥=-==u u u r u u u u r g 只需即解得4121212,(,1,),0.,(,1,),(,1,),5555555N AN MC AN BN BN MC λ=⋅===-⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r 可知当时点坐标为能使此时有ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=⋅=⋅所以得由.,0,0为所求二面角的平面角.42|||cos(,)5553||||AN BN AN BN AN BN AN BN AN BN ===-∴==-⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u ur u u u r Q g …········································································12分向量法略。
2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学(理)试题 (解析版)
2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．命题“x R ∈,若20x >,则0x >”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“x R ∈,若0x >,则20x >”为真命题，故其否命题为真命题.故选C. 【解析】四种命题及真假性判断． 2．设复数1i1iz a +=+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数=a （ ） A ．1 B ．－1C ．2D ．－2【答案】B【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再结合纯虚数的意义求解作答. 【详解】222(1i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)111a a a a az a a a a a +-++-+-===++-+++，因复数z 为纯虚数，则2101aa +=+，解得1a =-， 所以实数1a =-. 故选：B3．已知O ，A ，B ，C 为空间四点，且向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底，则一定有（ ） A ．OA ，OB ，OC 共线 B ．O ，A ，B ，C 中至少有三点共线 C ．OA OB +与OC 共线 D ．O ，A ，B ，C 四点共面【答案】D【分析】根据空间向量基本定理即可判断【详解】由于向量OA ，OB ，OC 不能构成空间的一个基底知OA ，OB ，OC 共面，所以O ，A ，B ，C 四点共面 故选：D4．一个关于自然数n 的命题，已经验证知1n =时命题成立，并在假设n k =（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n k =+时命题成立，那么综上可知，该命题对于（ ）A ．一切自然数成立B ．一切正整数成立C ．一切正奇数成立D ．一切正偶数成立【答案】C【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决【详解】已经验证知1n =时命题成立，并在假设n k =（k 为正整数）时命题成立的基础上，证明了当2n k =+时命题成立，那么综上可知，命题对13579n =，，，，，成立 即该命题对于一切正奇数成立 故选：C5．4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（ ） A ．34A B ．34CC ．34D ．43【答案】C【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答. 【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法， 由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为34444⨯⨯=. 故选：C6．如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（ ）A ．1OG OA OB OC =++ B ．1111333OG OA OB OC =++C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC =++【答案】D【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量1OG 【详解】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC =+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OA OA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭故选：D 7．0a b <<是11a b b a+<+的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简不等式11a b b a+<+，再判断二者间的逻辑关系 【详解】()111a b ab a b a b a b b a ab ab-+⎛⎫+-+=-+=- ⎪⎝⎭ 当0a b <<时，0a b -<，0ab >，10ab +>， 则有()10ab a b ab +-<成立，即11a b b a+<+成立； 当21a b =-=-，时，11113231122a b b a +=-+=-+=-+=---，， 即11a b b a+<+成立，但此时0a b <<不成立. 综上可知，0a b <<是11a b b a+<+的充分不必要条件 故选：A8．若函数()sin cos f x a x x =+在[,]34ππ-为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．(,3]-∞-C ．[3,1]D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞【答案】A【分析】利用函数的导函数在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恒为非负数列不等式，用分离常数法求得a的取值范围.【详解】依题意，()'cos sin 0f x a x x =-≥在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恒成立，即cos sin a x x ≥，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，cos 0x >，故sin tan cos x a x x ≥=，tan y x =在ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时为递增函数，其最大值为πtan14=，故1a ≥.所以选A. 【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）A ．8种B ．14种C ．20种D ．116种【答案】B【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解. 【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有2232=32=6C A ⋅⨯种可能；②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有1124=24=8C C ⋅⨯种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能. 故选：B.10．已知a ，b 是异面直线，A ，B 是a 上的点，C ，D 是b 上的点，2AB =，1CD =，且AC b ⊥，BD b ⊥，则a 与b 所成角为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【分析】先计算出AB CD ,再根据cos θ=AB CD AB CD计算夹角的余弦值，即可写出答案【详解】设,θAB CD =2()1AB CD AC CD DB CD CD =++== 1cos θ=2AB CD AB CD∴= 又θ[0,180]︒︒∈ ，θ=60︒∴ 故选：C11．已知t 和3t +是函数()32f x x ax bx c =+++的零点，且3t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（ ） A ．1 B ．4C ．43D ．49【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----， 当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<， 于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=， 所以()f x 的极大值为4. 故选：B12．设10099a =，0.01e b =，c ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c a b >>【答案】A【分析】构造函数()()e 1xf x x =-+利用导数说明函数的单调性，即可得到e 1x x ≥+，即可判断；【详解】解：令()()e 1x f x x =-+，则()e 1xf x '=-，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，所以()()00f x f ≥=，即()e 10xx -+≥恒成立，即e 1x x ≥+（当0x =时取等号），所以0.020.01e 10.02e >+⇒∴b c >， 又e 1x x -≥-（当0x =时取等号）， 所以当1x <且0x ≠时，有111e e 1x x x x >-⇒<-，∴0.011100e 10.0199<=-，∴a b >． 故选：A 二、填空题13．已知函数()()2223f x x f x '=++，则()2f '的值为______．【答案】4-【分析】将(2)f '作为常量对()f x 求导，得到导函数，再将()2f '作为未知量求解即可. 【详解】由解析式知：()22(2)f x x f ''=+， ∴(2)222(2)f f ''=⨯+，解得()24f '=-. 故答案为：4-.14．某单位拟从A ，B ，C ，D ，E ，F 六名员工中选派三人外出学习，要求： （1）A ，C 二人中至少选一人； （2）B ，E 二人中至少选一人； （3）B ，C 二人中至多选一人； （4）A ，D 二人中至多选一人． 由于E 因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______． 【答案】A ，B ，F【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决【详解】由于E 因病无法外出，依据条件（2）B ，E 二人中至少选一人，可知一定选派B ，依据条件（3）B ，C 二人中至多选一人，可知一定不选派C ， 又依据条件（1）A ，C 二人中至少选一人，可知一定选派A ， 又依据条件（4）A ，D 二人中至多选一人，可知一定不选派D ， 则一定选派B ，A 二人，一定不派出C ，D ，E 三人. 又共需选派3人，则一定选派F综上，该单位最终选派的三位员工为：A ，B ，F 故答案为：A ，B ，F15．将A ，B ，C ，D 四份不同的文件放入编号依次为15-的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A ，B 必须放入相邻的抽屉，文件C ，D 不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有______种． 【答案】24【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决【详解】文件A ，B 放入1、2号抽屉时，文件C ，D 只能放入3、5号抽屉； 文件A ，B 放入2、3号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、4号或1、5号抽屉； 文件A ，B 放入3、4号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、5号或2、5号抽屉； 文件A ，B 放入4、5号抽屉时，文件C ，D 只能放入1、3号抽屉. 则满足要求的放置方法共有()()22222222222222222222A A A A A A A A A A 24+++++=故答案为：2416．双曲正弦函数()e e sinh 2x x x --=和双曲余弦函数()e e cosh 2x x x -+=在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线x m =与双曲余弦函数1C 和双曲正弦函数2C 的图象分别相交于点A 、B ，曲线1C 在A 处的切线与曲线2C 在B 处切线相交于点P ，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．①()()()sinh cosh x x '=，()()()cosh sinh x x '=；②()()22sinh cosh 1x x +=；③点P 必在曲线e x y =上；④PAB △的面积随m 的增大而减小． 【答案】①④【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线PA 、PB 的坐标，联立两切线方程可得出点P 的坐标，可判断③的正误；求出PAB △的面积关于m 的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误. 【详解】对于①，()()()e e e e sinh cosh 22x x x xx x --'⎛⎫-'===⎪⎭+⎝， ()()()e e e e cosh sinh 22x x x xx x --'⎛⎫-=⎪=⎭+'=⎝，①对； 对于②，()()222222e e e e e e sinh cosh 222x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-+++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不恒为1，②错；对于③，e e ,2m m A m -⎛⎫+ ⎪⎝⎭、e 2,e m m B m -⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，切线PA 的方程为()e e e e 22m m m mx m y --+-=--，切线PB 的方程为()e e e e 22m m m mx m y ---+=--，联立()()e e e e 22e e e e 22m m m mm m m my x m y x m ----⎧+--=-⎪⎪⎨-+⎪-=-⎪⎩，解得1e m x m y =+⎧⎨=⎩，即点()1,e mP m +， 所以，点P 不在曲线e x y =上，③错；对于④，e mAB -=，点P 到直线AB 的距离为1，则1e 2m PAB S -=△，所以，PAB △的面积随m 的增大而减小，④对. 故答案为：①④. 三、解答题17．（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）（2）给定命题p ：对任意实数x 都有210ax ax ++>成立；命题q ：关于x 的方程2=0x x a -+有实根．已知命题()p q ⌝∨和命题()p q ∨⌝都是真命题，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 ；（2）[)10,4,4⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决；（2）先判断出题给条件对命题p ，q 真假的要求，再去求实数a 的取值范围． 【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；（2）若命题p 为真命题，则0a =或0Δ0a >⎧⎨<⎩，解得[)0,4a ∈，若命题q 为真命题，由0∆≥，解得14a ≤，要使()p q ⌝∨和()p q ∨⌝都是真命题， 则需p ，q 同真同假， 若p ，q 同真，则有10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若p ，q 同假，则有4a ≥，综上可知，a 的取值范围为[)10,4,4⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2CA =，1CB =，M 是1CC 的中点，1AM BA ⊥.(1)求1AA 的长；(2)求直线1AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】6； 10【分析】（1）证明1BA AN ⊥，再利用相似三角形求解；（2）证明11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，再解三角形求解. 【详解】(1)解：取1BB 中点N ，连接MN ，AN ，则//BC MN ， ∵1BB ⊥平面ABC ，∴1BB BC ⊥，又BC BA ⊥，,,AB BC B AB BC ⋂=⊂平面11ABB A ， ∴BC ⊥平面11ABB A ，故MN ⊥平面11ABB A ，AN 即为AM 在平面11ABB A 内的射影， 又1AM BA ⊥，∴1BA AN ⊥， 故1Rt ABN Rt A AB △△∽，∴1BN ABAB AA =，而413AB =- ∴126AA ==(2)解：连接1AB ，由（1）知11B C ⊥平面11ABB A ， 故11C AB ∠为直线1AC 与平面11ABB A 所成角，16410AC +=111B C =，∴11sin 10C AB ∠=1019．某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为()0k k >．现已知相距10km 的A ，B 两家化工厂（污染源），A 化工厂的污染强度未知，暂记为()0a a >，B 化工厂的污染强度为4，它们连线上任意一点C 处的污染指数y 等于两化工厂对该处的污染指数之和，设()km AC x =．(1)试将y 表示为关于x ，k ，a 的等式；(2)调研表明y 在2x =处取得最小值，据此请推断出A 化工厂的污染强度． 【答案】(1)410a y k x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，()0,10x ∈(2)14【分析】（1）根据题意去将y 表示为关于x ，k ，a 的等式； （2）利用导数去求A 化工厂的污染强度． 【详解】(1)410a y k x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，()0,10x ∈；(2)()()()22222241041010x a x a y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫--'=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 由题意，,210166404x ya a ==⇒-=⇒=， 经检验知，当14a =时，y 在()0,2上单减，在()2,10上单增，满足题意．所以，A 化工厂的污染强度为14．20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，棱PC 的中点为E ，3PF FB =，连接DE ，DF ，EF ．(1)若平面DEF 与平面ABCD 所成二面角的大小为π3，求CB CD 的值．(2)设棱P A 与平面DEF 相交于点G ，且PG PA λ=，求λ的值； 【答案】2 (2)13【分析】（1）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2CD =，CB m =，先利用向量求得m 的值，再去求CBCD的值； （2）利用1DG n ⊥，由向量列出关于λ的方程，再去求λ的值.【详解】(1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，并设2CD =，CB m =，则()0,0,0D ，(),0,0A m ，(),2,0B m ，()0,2,0C ，()002P ,,，于是()0,1,1E ，()0,0,2DP =，(),2,0DB m =，()0,1,1DE =又31344PF FB DF DP DB =⇒=+，所以13,,422m DF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面DEF 的一个法向量()1,,n x y z =．则1304220mx y z y z ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，令4x =-，则y m =-，z m =则平面DEF 的一个法向量()14,,n m m =--．易知平面ABCD 的一个法向量()20,0,1n =，∴122cos ,216n n m =+，212216m =+，由此解得22m =∴22CB mCD == (2)由(0,0,2)DP =，(,0,2)PA m =-，(,0,2)PG PA m λλλ==- 可得(),0,22DG DP PA m λλλ=+=-， 由题意，G 是平面DEF 上一点，则1DG n ⊥， 则()4220m m λλ-+-=，由此解得：13λ=．21．已知函数()()()2ln 0f x x ax a =->．(1)若()f x 恰有一个零点，求a 的值； (2)若0x 是()f x 的零点，且2y x 在点()200,x x 处的切线恰与ln y x =相切，求a 的值．【答案】(1)2e a = (2)2e a =.【分析】（1）由题可得函数()2f x f ≥⎝⎭，进而可得202f ⎛= ⎝⎭，即得； （2）利用导数的几何意义可得2yx 在()200,x x 处切线l ：()20002y x x x x =-+，结合条件可得()2001ln 2x x =+，()200ln x ax =，即得.【详解】(1)∵()21212,0x f x x x x x -'=-=>， 由()0f x '=可得2x =，∴当2x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，当2x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，∴()f x在⎛ ⎝⎭单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭单调递增， 所以()f x f ≥⎝⎭，当0x →时，()f x →+∞，当x →+∞时，()f x →+∞， ∴由题意可知，x =()f x的唯一零点，由20f =-=⎝⎭⎝⎭，解得：a = (2)由2y x 可得2y x '=，∴2yx 在()200,x x 处切线l ：()20002y x x x x =-+，整理得：l ：2002y x x x =-，设该切线与ln y x =相切于(),ln t t ，又1y x'=， 则l ：()1ln y x t t t=-+， 整理得：l ：1ln 1y x t t=+-，∴()002012ln ln 21ln x t x t x t⎧=⎪⇒=-⎨⎪=-⎩， ∴()2001ln 2x x =+，又由题知：()200ln x ax =，∴()()()000ln 1ln 2ln 2e ax x x =+=， ∴2e a =即为所求．22．已知函数()()ln 1R f x x ax a =++∈，()f x '为()f x 的导函数． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若210x x >>，证明：对任意R a ∈，存在唯一的()012,x x x ∈，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-成立．【答案】(1)答案不唯一，具体见解析 (2)证明见解析【分析】（1）先求得()'f x ，然后对a 进行分类讨论，由此求得()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()()1212f x f x F x f x x x -'=--，然后结合导数以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】(1)()()110ax f x a x x x+'=+=>， ①当0a ≥时，()0f x '>，∴()f x 在()0,∞+单调递增；②当0a <时，在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0f x '>，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()0f x '<，∴()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递减.(2)依题意，210x x >>， 设()()()()()()121212121f x f x f x f x F x f x a x x x x x --'=-=+---，()12,x x x ∈，()F x 在定义域内单调递减， ()()()1211121f x f x F x a x x x -=+-- ()1122112ln 1ln 11x ax x ax a x x x ++-++=+-- ()1122112ln1x a x x x a x x x +-=+-- ()11212211211212lnln 1x xx x x x a a x x x x x x x x -=+--=---- 12112121ln x x x x x x x ⎛⎫-=+⎪-⎝⎭ 21121211ln x x x x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，令()120,1x t x =∈，()11ln G t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()112F x x x G t =-， ∵()21tG t t-'=，∴在()0,1，()()0G t G t '>⇒在()0,1单调递增， ∴()()10G t G <=，故()()11210F x G t x x =>-. 同理可得：()112122211ln x x F x x x x x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭，令()120,1x t x =∈，()1ln H t t t =--，则()()2121F x H t x x =-，∵()11H t t'=-，∴在()0,1，()()0H t H t '<⇒在()0,1单调递减，∴()()10H t H >=，故()()21210F x H t x x =<-， 综上可知，()F x 在()12,x x 单调递减，且()10F x >，()20F x <， ∴()F x 在()12,x x 存在唯一零点0x ，使得()()()12012f x f x f x x x -'=-，命题得证．【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.。
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霍邱二中2015-2016学年度高二年级期中考试数学（理科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1已知复数，则是（ ）A. B.C. D.2.下列导数运算错误．．的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3.下面几种推理是类比推理的是（ ）①由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180，得出所有三角形的内角和都是180；②由()cos f x x =，满足()(),f x f x x R -=∈，得出()cos f x x =是偶函数；③由正三角形内一点到三边距离之和是一个定值，得出正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值. A.①② B.③ C.①③ D.②③4.用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时,假设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个大于60︒ 5. 已知1()sin 2sin 3(3f x a x x a =-为常数），在3x π=处取得极值，则a =（ ）A ．12 B ．1 C ．23 D ．12- 6. 把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为（ ） A. 88A B. 4444A A C.4455A A D.58A 7．在231()2nx x -的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．78.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y .① k 的取值范围是1(0,)e.② 1211k x x <<.为负.③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒以上结论中所有正确结论的序号是（ ） A.① B.①② C.①③ D.②③1x 2x xyAB9．已知函数1ln ()x f x x +=在区间2(,)3a a +（0a >）上不单调，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．2(,1)3 C ．1(,1)2 D ．1(,1)310．设函数()y f x =在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在1x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）11．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同 着色方法的种数为（ ）A ．72B ．60C ．48D ．2412．设函数()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''.若在区间(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”.已知3211()62f x x mx x =-+在(1,2)-上是“凸函数”，则()f x 在(1,2)-上（ ） A ．既有极大值，又有极小值 B. 有极小值，无极大值 C. 有极大值，无极小值 D. 既无极大值，也无极小值 二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，13．已知函数()4ln f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 .14．由直线12x =，2x =，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是 .15.已知()929012912x a a x a x a x -=++++，0129a a a a ++++= .16.设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_______．(写出所有正确条件的编号)①3a b ==-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现需把球全部放进盒子里， （1）没有空盒子的方法共有多少种？ （2）可以有空盒子的方法共有多少种？2 431 5（3）恰有1个盒子不放球，共有多少种方法？（最后结果用数字作答）18、（本小题满分12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：x-3 -2 0 1 3 4 8 '()f x -24-1068-10-90根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.19.（本小题满分12分）设（Ⅰ）比较与的大小；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，证明：．20．（本小题满分12分）已知函数R a xax x f ∈+=,7ln )( （1）若函数)(x f y =在其定义域内有且只有一个零点,求实数a 的取值范围;（2）若函数)(x f y =在[2,e e ]上的最小值为3, 求实数a 的值． （e 是自然对数的底数）21.（本小题满分12分）已知函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =.（Ⅰ）求1x ；y()i f x (,())i i x f x（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.22．（本小题满分12分）已知.12)12ln()(+++=x x m x f （R m ∈）（1）若曲线)(x f y =在0=x 处的切线与直线020162=--y x 垂直，求函数)(x f 的极值；（2）若关于t 的函数)()12(201613ln )(22x f x t t t t F '+--+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,212e e x 时恒有3个不同的零点，试求实数m 的范围。
（)(x f '为)(x f 的导函数，e 是自然对数的底数） 参考答案BABBB CBCDC AC13. 3x+y ﹣4=0． 14. 2ln 2 15. -1 16.①③④ 17解：（1）没有空盒子的方法：种 …………3分（2）可以有空盒子的方法：种 ………………6分（3）恰有一个空盒子的方法：种 ………………10分18（Ⅰ）6，3. --------4分 （Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c =++，---5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩-------------7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，---8分 由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞，------9分因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ---11分 所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.---12分19解： （1）∴…………………4分（2）由（1）得类似的， (6)分又；……………………………9分∴…12分20． 解：（1）22771)(,7ln )(xa x xa xx f xa x x f -=-='∴+=①即,07≤a 0≤a ，)(x f 在),0(+∞上单调递增，∵071)1(<+-=ea ef ， 又∵+∞→+∞→)(,x f x ，∴0≤a 函数)(x f y =有且只有一个零点。
………4分 ②,07>a 即,0>a )(x f 在)7,0(a 上单调递减，)(x f 在),7(+∞a 上单调递增， 函数)(x f y =在其定义域内有且只有一个零点，当且仅当017ln 777ln )7(=+=+=a aa a a f ，解得e a 71=，综合①②可知：实数a 的取值范围为 0≤a 或ea 71= ….………6分 （2）22771)(,7ln )(xa x x a x x f x a x x f -=-='∴+= ①若e a ≤7,此时()f x 在[2,e e ]上是增函数．3)(=∴e f , 解得72e a =（舍去）…8分②若27e a e <<,令()0f x '=,得a x 7=．当a x e 7<<时, ()0f x '<，所以()f x 在)7,(a e 上是减函数；当27e x a <<时，()0f x '>，所以()f x 在),7(2e a 上是增函数．317ln )7()]([min =+==∴a a f x f ，解得72e a =．（舍去） …………………10分③若27e a ≥，此时()f x 在[2,e e ]上是减函数，372)()]([22min =+==∴ea e f x f ,解得72e a =． 综上所述：． 72e a = ………………………………………………12分21（Ⅰ）解：由题意知，12(())2()i i i i iC x f x x x =+=+(1,2,,)i n =，所以12i i iS x x =+(1,2,,)i n =.令i ＝1，得11112S x x =+， 又11S x =，且1x ＞0，故11x =. （Ⅱ）解：令i ＝2，得22212S x x =+， 又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x =； 令i ＝3，得33312S x x =+， 又3123S x x x =++，11x =，21x =，且3x ＞0，故3x =n x =n ∈N +).下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，11x =，命题成立；②假设n ＝k时命题成立，即k x =(k ∈N +)， 则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k kS x x =+， 故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由k x =，得21110k k x +++-=，所以1k x +=). 即当n ＝k ＋1时命题成立。