七年级数学下册6.3实数《根号2的近似值》素材新人教版

无理数2的近似值

虽然发现“2是无理数”应该归功于“万物皆数”的毕达哥拉斯（Pythagoras 约580-500 BC ）及其学派成员，但是关于2的近似值，历史上不同时期有不同的计算方法.

1古巴比伦人的贡献 1.1 计数的进位制

公元前二千多年的古巴比伦王国时代，人们计数采用的是60进制.而当时的美索不达米亚人就有表示平方、平方根、立方和立方根的数表.当方根是整数时，给出的是准确值，对于其他的方根，相应的60进制数值只是近似的.

1.2 使用的公式

古巴比伦人在计算高为h 宽为w 的矩形对角线d 时出现了平方根.他们使用的公式是

h

w h d 22

+≈.曾有一个问题是求给定宽和高的一扇门的对角线，他们当时给出的解答并未说明

公式的来历，只是使用了这个近似公式.这个公式在h ＞w 时是求d 的很好的近似值.

1.3 2的近似值

耶鲁大学收藏了一块当时的古巴比伦人的泥板，上面是标有数字的正方形，其中数30表示正方形的边长，而对角线上的两个数字分别表示对角线长和2的近似值，在这里2是准确到60进制的三位小数，即414213.160

10

605160241232≈+++

≈，这是有关2的最早的结果. 另外，大约在公元前六世纪，印度的婆罗门教的经典《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与

测量部分《绳经法》（sulvasutrus ）中关于正方形祭坛的对角线计算公式中取

414215686.1)

34)(4)(3(1

)4)(3(13112=-++

=，这里所有的分数都是单位分数. 2 渐近分数法——欧几里得《原本》中的发现

柏拉图(Plato 400 BC)指出，在毕达哥拉斯学派成员之前就有对正方形边和对角线方面的研究，但是作为理论最早出现在欧几里得《原本》中.

在正方形ABCD 对角线AC 的延长线上截取与边长相等的线段CE ，然后以AE 为边长做正方形AEFG ，再在AF 的延长线上截取FH=AE ，再以AH 为边做正方形AHIJ ……如此下去我们得到如下的费波那契数列，并令111D S ==

(1)k k k D S S +=+1

(2)k k k k k D S S S D +=+=++211

由表格中得知：

k

k

S D 的值好像被人为地分为两个部分：当k 为奇数时数值比2的实际值小,

当k 为偶数时数值比2值大,但均集中于2两侧，并且随k 值增大而越来越接近2的真实

I

值.

由（1）、（2）两式我们得出122

12

1±=++K K D S ，再把此式变形并求平方根得：

21111

2+++±=K K K S S D ，因此2)(lim 1

11=++∞→+K K S S D K .此处使用的是极限的思想.

3连分式法

Rafael Bombelli 在1572年给出

++

+

+

=+a b

a b a b

a b a 2222

，当我们令a=b=1时，

它就是

++

+

+

=+=21212111122

.

如果现在我们来计算上面表格中连续小数的收敛性就会发现，分开的两组小数部分均可以用下面的连续分数式表示，而且它已经得到了人们的认可.

++

+

+

=+++=++=++

=+

=+=+=+=+==212121

11212111211211111114

33

22

111S S S S AE

AH S S AE AD AD

AE AD AE AD AD AE EC AD AC S D 对于“无理数的发现史及古希腊数学家的科学精神”的介绍，树立“崇尚科学、追求真理的信念，增强理性思考的意识”是上海市中小学数学课程标准（初中阶段）拓展Ⅰ的内容，也是全日制普通高中数学课程选修3-1数学史选讲的一部分.从上面的讨论可以看出，该部分知识内容十分丰富，学生从中不仅能了解古希腊的数学知识，而且还能学会如何从“图形”中探求“数”的规律（数形结合思想）,并体会其中的丰富思想内涵.

随着数学学科本身的发展，“2是无理数”还可能会产生更多更新的证明和计算方法，但是以上所有的发现、证明、计算均向人们展示了数学的无穷魅力，相信所有学生在老师的引导下，通过自己的不断探索与追求，一定会对“无理数”有进一步的认识，对数学自身的魅力、数的美以及丰富的数学思想方法会有更深刻的体会.