中科院陈玉福算法课件ch4ppt

第四章 贪心算法
算法基本思想 调度问题 最小生成树问题 单点源最小路径问题 Huffman编码
贪心算法的基本思想
找零钱：给孩子找回87分硬币，现有硬币规格50分、10分、 5分、2分、1分。 50+3*10+5+2＝87 一般方法：尽量找面值大的硬币。 装箱问题：有物品n件，重量分别是 w1,…,wn ; 有箱子m个： B1,…，Bm，每个的容量都是C(C≥wi)。设计装箱方法，使得 所用箱子最少。 1. NF(Next Fit)方法：前面的箱子不能再装了，才开始装下一 个箱子。 2. FF(First Fit)方法：每个物品都选择装进第一个可装的箱子 贪心算法的基本思想： 在每一步决策中总是作出在当前看来是最好的选择 贪心准则，局部最优。
=1≤iΒιβλιοθήκη ≤n∑ pyi i
贪心算法抽象控制流程
proc Greedy(A, n) // A[1:n]代表输入 solution={}; //解初始化为空集 for i to n do x:=Select(A); if Feasible(solution, x) then solution:=Union(solution, x); end{if} end{for} return(solution); end{Greedy} Select(A)是按照贪心 准则选取A中的输入 项； Feasible(solution, x)是 判断已知的解的部分 solution与新选取的x 的结合是否是可行 解。 Union(solution, x)x与 已经选到的部分 solution结合成解的更 大部分
GreedyJob获得最优解
假设贪心算法所选择的作业集J不是最优解，则一定有相容作 业集I，其产生更大的效益值。假定I是具有最大效益值的相容作 业集中使得|I∩J|最大者，往证 I=J。 反证法：若I=J 不成立，则这两个作业集合之间没有包含关 系。这是因为算法GreedyJob的特性和假定I 产生的效益值比J的 效益值更大。假设a是J\I中具有最大效益的作业，即J中比a具有 更大效益的作业(如果有的话)都应该在 I 中。如果作业 b∈I\J 且 pb>pa，那么由算法中对J中作业的选取办法（相容性要求），J中 至少有 fb个效益值≥pb的作业，其期限值≤ fb。这些作业一定在 I 中，因而 I 中至少有个fb+1作业，其期限值≤ fb ，这与 I 的相容性 矛盾。所以，I\J中事件的效益值均不超过pa。 称区间[k-1,k]为时间片k，相容作业集 I 的一个调度表就是指定 I 中各个作业的加工时间片。如果 I 有一个调度表 S 将时刻 fa前 的时间片均安排给I∩J中的作业，且I\J中最早被安排的是作业b， 在时间片k上，则k>fa。
单机作业调度问题的贪心算法
proc GreedyJob(D,J,n,k) //D(1),…,D(n)是期限值，作业已按p1 ≥ p2 ≥ … ≥ pn排序。J(i)是最 //优解中的第i个作业。终止时，D(J(i))≤ D(J(i+1))，1≤i≤k integer D[0..n],J[0..n],i,k,n,r D(0):=0; J(0):=0; //初始化 k:=1; J(1):=1; //计入作业1，k 表示当前选择的作业个数 for i from 2 to n do //按p的非增次序考虑作业，找i的位置，并检查插入的可能性 r:= k; while D(J(r))>D(i) and D(J(r))< > r do r:= r-1; end{while}; //期限不晚于D(i)的作业个数小于D(i)时 if D(J(r)) ≤ D(i) and D(i) > r then for j from k to r+1 by –1 do //给作业i腾出位置 J(j+1):=J(j); end{for}; J(r+1):=i; k:=k+1; end{if}; end{for}; end{GreedyJob}
多机作业调度问题
有n项独立的作业{1,2,…, n},由m台相同的机器加工处理。作业 i 所需要的处理时间为ti。约定：任何一项作业可在任何一台机器 上处理，但未完工前不准中断处理；任何作业不能拆分更小的子 作业分段处理。多机调度问题要求给出一种调度方案，使所给的 n个作业在尽可能短的时间内由m台机器处理完。 贪心准则：将加工时间长的作业优先安排给空闲早的机器。 例子：三台机器，七项作业，所需加工时间分别 2,14,4,16,6,5,3 将作业按照所需加工时间由长到短排序：4,2,5,6,3,7,1 机器M1 机器M2 机器M3
时间复杂度
程序GreedyJob的关键操作是比较，即是如何判断 “J ∪ {i} 中 的作业是相容的”。如果每选入一个作业i的期限为t，J中至少有t 个作业的期限不晚于t，则J ∪ {i}一定是不相容的。反之，若J 中 期限不晚于t的作业少于t个，则作业i可插入到作业集J中，即J ∪ {i}一定是相容的。因而，J ∪ {i}的相容性判断最坏情况下需要做 |J|次比较。最坏情况下的时间复杂度为 O(n2)。 例子 设n=7, (p1, p2,… , pn)=(35,30,25,20,15,10,5), (d1, d2,… ,dn)=(4,2,4,3,4,8,3), 算法GreedyJob的执行过程。 d1 ； d2, d1；d2, d1， d3；d2, d4, d1， d3； d2, d4, d1，d3, d6； 4； 2， 4； 2，4, 4； 2， 3, 4, 4； 2， 3, 4, 4， 8；
调度问题
活动安排问题 已知n个活动 E={1, 2, … ,n}，要求使用同一 资源，第k个活动要求的 开始和结束时间为sk, fk, 其中sk <fk,k=1, 2, … , n . 活动k与活动j称为相 容的如果sk >fj或者 sj >fk。活动安排问题就 是要在所给的活动集合 中选出最大(活动个数最 多)的相容活动子集。 proc GreedyAction(s, f，n) //s[1..n]、f[1..n]分别代表n项活动 //的起始时间和结束时间, 并且满 //足f[1]≤ f[2]≤…≤ f[n] j:=1; solution:={1}; //解向量初始化 for i from 2 to n do if si≥fj then // 将j加入解中 solution:=solution ∪ {j}; j:=i; end{if} end{for} return(solution); end{GreedyAction}
前k-1个时间片上安排的都是I∩J中的作业，这些作业的集A1 再添上作业 a 得到 J 中k个作业。由作业集的相容性， A1中至少 有一个作业其期限值≥k。将这个作业与作业b交换安排的时间 片，得到新的调度表S1。如果在调度表S1中作业 b 安排在时间 片 k1，且k1>fa , 则同理，可以将作业 b 再向前移，得到新的调 度表S2。如此做下去，必得到 I 的调度表S′，其在时刻 fa 前的时 间片安排有 I\J 中作业 b 。令 I′=(I\{b})∪{a}，则 I′ 也是相容的 作业集。而且，由于pb≤pa， I′ 的效益总值不小于 I 的效益总 值，因而 I′ 具有最大的效益总值，但| I′ ∩J|>|I∩J|，与 I 的选取 相悖。因而，I=J，J 是最优解。 证毕
背包问题
背包容量为M ，物品件数 n。重量wi , 价值pi 变量 xi , 0≤xi≤1 数学模型 max∑pixi s.t. ∑wixi ≤M 贪心准则： 1. 价值大的物品优先装包； 2. 重量轻的物品优先装包； 3. 单位价值大的物品优先装包。 例子 n=3, M=20, p=(25, 24, 15), w=(18,15,10) 结论：以“单位价值最大的物品优先装包”为贪心准则的贪 心算法获得的效益值最大。
背包问题的贪心算法
proc GreedyKnapsack (p, w, M, x, n) //价值数组p[1..n]、重量数 //组w[1..n]，它们元素的排列顺序满足p[i]/w[i]≥p[i+1]/w[i+1] //M是背包容量，x[1..n]是解向量 float p[1..n], w[1..n], x[1..n], M, rc; integer i, n; x:= 0; // 将解向量初始化为零 rc:= M; // 背包的剩余容量初始化为M for i to n do if w[i] ≤ rc then x[i]:=1; rc:=rc-w[i]; else break; end{if} end{for} if i≤n then x[i]:=rc/w[i]; end{if} end{GreedyKnapsack}
这样取的向量是 ∑n pi zi = 1∑n pi yi + ( zk − yk )wk pk / wk − k +∑≤n ( yi − zi )wi pi / wi 1≤i ≤ ≤i ≤ 1≤i 可行解，而且， ⎛ ⎞ ≥ ∑ pi yi + ⎜ ( zk − yk )wk − ∑ ( yi − zi )wi ⎟ pk / wk 总价值为： k +1≤i ≤n 1≤i ≤n ⎝ ⎠ 与 x相同分量的个数增1
i i
y1 = x1 ,L , yk −1 = xk −1 , yk < xk 及
∑wy
=M
∑w y
i
n
i
≥ wk ( x k − y k ) > 0
0 ≤ z k +1 ≤ y k +1 , L ,0 ≤ z n ≤ y n
k +1≤ i ≤ n
∑ wi ( yi − zi ) = wk ( zk − yk )
带期限的单机作业安排问题
已知n项作业 E={1, 2, … ,n} 要求使用同台机器完成（该 台机器在同一时刻至多进行 一个作业），而且每项作业 需要的时间都是1。第k项作 业要求在时刻dk之前完成, 而且完成这项作业将获得效 益pk，k=1, 2, … , n 。 作业集E的子集称为相容的 如果其中的作业可以被安排 由一台机器完成。带限期单 机作业安排问题就是要在所 给的作业集合中选出总效益 值最大的相容子集。 proc GreedyJob(d, p, n) //d[1..n]和p[1..n]分别代表各项 //作业的限期和效益值，而且n //项作业的排序满足： //p1 ≥ p2 ≥ … ≥ pn local J; J:={1}; //初始化解集 for i from 2 to n do if J ∪ {i} 中的作业是相容的 then //此步验证需要认真设计 J:= J ∪ {i}; // 将i加入解中 end{if} end{for} end{GreedyJob}