《矩阵的秩的等式及不等式的证明》

摘要

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

目录

第一章绪论 (1)

第二章预备知识 (2)

第三章用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 (3)

第四章用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 (6)

第五章用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 (10)

第六章用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 (15)

第七章小结 (23)

参考文献 (24)

致谢 (25)

第一章绪论

矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.研究矩阵的秩对于解决矩阵的很多问题具有重要意义.矩阵的秩的等式及不等式的证明对于学习矩阵也是重点和难点，初学者在做这方面的题目往往不知如何下手.笔者归纳了矩阵的秩的常见等式和不等式以及与之相关的一些结论，并从向量组、线性方程组、矩阵分块、矩阵初等变换等角度探索了多种证明方法，它有助于学习者加深对秩的理解和知识的运用，也方便教师教学.

目前对矩阵秩的研究已经比较成熟了，但是由于秩是矩阵论里的一个基本而重要的概念，它仍然有着重要的研究价值，有关它的论文时见报端.很多国内外的有关数学书籍杂志对矩阵的秩都有讲述，如苏育才、姜翠波、张跃辉在《矩阵论》（科学出版社、2006年5月出版）中较完整地给出了矩阵秩的理论.北京大学数学系前代数小组编写的《高等代数》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介绍了秩的一些性质.但是对秩的等式及不等式的介绍都比较分散，不全面也没有系统化，不方便初学者全面掌握秩的性质.因此有必要对矩阵的秩的等式和不等式进行一个归总，便于学习和掌握.

本文通过查阅文献资料，总结归纳出有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.主要内容有：（1）用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（2）用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；（3）用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；（4）用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.

第二章 预备知识

定义1矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；

矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩；

矩阵的行秩和列秩统称为矩阵的秩.

定义2如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.

定义3 数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换：

（1）以数域P 中的一个非零数乘以矩阵的某一行（列）；

（2）把矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）；

（3）互换矩阵中两行（列）的位置.

定义4在一个s n ⨯矩阵A 中任意选定k 行和k 列，位于这些选定的行列交叉点上的2k 个元素按原来的次序组成的k 级行列式称为A 的一个k 级子式.

定义5设A 为m n ⨯矩阵,称线性方程组0Ax =的解空间为A 的零空间(即核空间)，记作()N A ,即(){}0N A x Ax ==.

引理1[1] 矩阵的行秩等于列秩.

引理2[1] 任意两个等价的向量组必有相同的秩.

引理3 n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠.

证明:充分性:当,0≠=A d 由**11()()A A A A E d d ==知A 可逆，且1*1.A A d

-= 必要性:如果A 可逆，那么有1-A 使.1E AA =- 两边取列式，得11==-E A A ，因而0≠A .

引理4[1] 矩阵的秩是r 的充要条件为矩阵中有一个r 级子式不为0，同时所有的1r +级子式全为0.

引理5[1] 如果向量组()I 可以由向量组()II 线性表出，那么()I 的秩不超过()II 的秩. 证明：根据已知可知向量组()I 极大线性无关组可由()II 的极大线性无关组线性表出，根据向量组的基本性质(见参考文献[1])可得，向量组()I 极大线性无关组的向量个数不超过()II 的极大线性无关组的向量个数，即()I 的秩不超过()II 的秩.

引理6[1] 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -也是自由未知量的个数.

第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩阵已知的秩的理论证明秩的等式和不等式问题，例如行秩等于列秩，秩为r 的充要条件，常见的秩的不等式等等.要掌握并且灵活运用这些知识才能证明下面的命题.这些命题都是一些基本的命题.

命题 ()()T r A r A =．

证明：由矩阵转置的定义,A 的行向量组就是T A 的列向量组，因此A 的行秩就是T A 的列秩，又由引理1知()()T r A r A =，命题证毕.

命题 ()()r kA r A =（其中0k ≠）.

证明：kA 的行向量组可由A 的行向量组线性表出，A 的行向量组也可由kA 的行向量组线性表出，因此kA 的行向量组与A 的行向量组等价.由引理2它们的秩相等，再由秩的定义知kA 与A 的秩相等,命题证毕.

命题 A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么

()()()r A r PA r AQ ==.

证明：令B PA =,由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()r B r A ≤,但是由

1A P A -=，又有()()r A r B ≤．

所以()()()r A r B r PA ==.另一个等式可以同样地证明,命题证毕.

命题[2] 设A 是一个n 阶方阵，则()()()()*,1,10,2n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪≤-⎩如如如.

证明：若()r A n =，由引理3，0A ≠，知A 可逆，*1A A A -=可逆，故()r A n *=． 若()1r A n =-，由引理4，A 存在1n -阶子式不为0，因此*0A ≠,()

1r A *≥，又因为*0AA A E ==，有()()*r A r A n +≤，即()()*1r A n r A ≤-=，从而()*1r A =．

若()2r A n ≤-，则由引理4，A 存在1n -阶子式全为0，于是*=0A ，即()*0r A =．命题证毕.

从这个命题可以得出()()*r A r A ≤的结论.