高中数学《导数及其应用》教材介绍
人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数
2
=-3 .
-3
(3)y'=14x13.
1
(4)∵y=4 =x-4,
∴y'=-4x
4
=-5 .
-5
1
5
;(4)y= 4 ;(5)y=
1 x
3
x ;(6)y=(3) ;(7)y=log3x.
-2
0
14
(1)y=e ;(2)y=x ;(3)y=x
5
解 (5)∵y= x 3 =
3 -2
∴y'= x 5
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进
行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的
几何意义求解.
变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:
(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.
解 (1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,
又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为(x0,03 ),则 f'(x0)=302 ,所以切线方程为 y-03 =302 (x-x0).
因为切线过点 B(0,16),
m
n
x ,从而 f'(x)=(x
m
n
m
)'= n
·x
m
-1
n
.
思考辨析
对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,
1
时,f'(x)分别为多少?
2
_高中数学第一章导数及其应用1
ΔΔst＝29＋31＋Δt－3Δ2t－29－31－32＝3Δt－12，
∴物体在 t＝1 处的瞬时变化率为lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3Δt－12)
＝－12(m/s)，
即物体在 t＝1 时的瞬时速度为－12 m/s.
3.求函数f(x)在某点处的导数
• 例题3 若函数y＝x2＋ax在x＝2处的导数为8，求a的值．
8分
10 分 12 分
规律方法
利用导数定义求导数的三步曲：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx.
简记为：一差，二比，三趋近． 特别提醒：取极限前，要注意化简ΔΔyx，保证使 Δx→0 时，分母
不为 0.
• 3．已知函数y＝2x2＋4x，(1)求函数在x＝3处的导数． • (2)若函数在x0处的导数是12，求x0的值． 解析： (1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. ∴y′|x＝3＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 (2Δx＋16)＝16.
＝Δx＋1＋ΔxΔx，
ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2，
从而 y′|x＝1＝2.
典例导航
1.求函数的平均变化率
• 例题1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
最新人教版高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》本章综述
第一章导数及其应用本章综述本章内容共分为四大节.第一大节是导数.第二大节是导数的运算,主要介绍了基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则.第三大节是导数的应用,主要是利用导数判断函数的单调性,求函数的极值和最值问题,利用函数解实际问题和物理问题.第四大节是定积分和微积分的基本定理,主要介绍利用定积分求曲线围成的平面图形的面积.导数是微积分的核心概念之一,它是研究函数的单调性,函数的极值与最大,最小值,曲线的凹凸性,函数图形的描绘,曲线的曲率,方程的近似解等问题的最一般,最有效的工具;定积分是微积分的另一个核心概念,它在几何学上的应用有:计算平面图形的面积,体积以及平面曲线的弧长等;在物理学上它可计算变力沿直线所做的功,水压力,引力等一些重要的物理量.实际上,微积分在物理、化学、生物、天文、地理以及经济等各种科学领域中都有广泛而重要的作用,它是大学数学课程中极其重要又非常基础的一部分内容.导数来源于实践,又应用于实践.如现实生活中的瞬时速度,膨胀率,增长率问题等等,都充分反映了导数的思想.利用导数还可以解决现实生活中的最优化问题,由于其应用广泛,所以其地位在中学数学中极其重要.因此,导数及其应用已成为近几年高考的热点.导数概念的核心是变化率,学习导数应从物理和几何两方面去理解导数的意义;必须熟记常数与基本初等函数的导数;正确地运用和、差、积、商及复合函数的求导法则,就可以求出一切初等函数的导数;学会利用导数解决速度、加速度、函数的单调性、极值、最值等问题的解法,并会利用其解决实际问题.学习导数时要借助于实例,沿着从平均速度、瞬时速度到函数瞬时变化率的线索,认识和理解导数的概念;通过例题,体会利用导数的定义求导数的方法;借助于图形去认识和理解导数的几何意义,以及用导数的几何意义去解决问题;结合图形去认识和理解导数在研究函数性质中的应用;借助图形了解定积分的思想方法等.学习本章时要注意导数与导函数的区别,以及圆的切线、圆锥曲线与函数切线的区别.同时,还应明确平均变化率与瞬时变化率的区别与联系.。
《高中数学课件：导数及其应用》
导数的应用：函数的单调性分析
我们将学习如何利用导数分析函数的单调性，以及在函数图像绘制和问题求解中的应用。
导数的应用：曲线的拐点问题
我们将讨论如何利用导数分析曲线的拐点问题，包括拐点的判断和拐点处曲线的性质。
中值定理及其证明过程
我们将详细讲解中值定理的概念、证明方法和实际应用领域，帮助你理解这 一重要的数学工具。
罗尔定理及其应用举例
我们将介绍罗尔定理的原理和应用场景，并通过实例演示如何使用罗尔定理解决具体的数学问题。
拉格朗日中值定理及其证明
我们将探索拉格朗日中值定理的原理和证明方法，并应用于求解函数的一些 特殊性质。
欧拉中值定理及其应用
我们将介绍欧拉中值定理的概念和应用，并展示它在微积分中的重要地位和 实际应用。
导数的四则运算法则
我们将学习导数的四则运算法则，以及如何使用这些法则简化导数的计算和 求解问题。
高阶导数与导数的运算
我们将介绍高阶导数的概念，并学习如何对多次可微函数的导数进行运算。
导数的应用：最值问题
我们将讨论如何利用导数求解函数的最值问题，包括最大值和最小值。
导数的应用：曲线的凸凹性质
我们将探讨导数的应用，揭示曲线的凸凹性质及其在函数图像分析中的重要性。
我们将应用微分的概念，分析函数近似值的误差并评估其对实际问题的影响。
பைடு நூலகம்
函数的增量与微分的概念
我们将详细解释函数的增量和微分的概念，以及它们在微积分中的意义和计算方法。
微分的性质与计算方法
我们将探讨微分的性质、计算方法和一些实际应用，帮助你更好地理解微分 的概念和应用。
高阶微分与微分的运算
我们将学习高阶微分的概念，并讨论如何对多次可微函数进行微分运算。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
高中数学_课时导数及其应用课件_新人教A版选修
(7)(lnx)′＝ x ； 1 (8)(loga x)′ ＝ xlna (a>0 且
a≠1)．
基础知识梳理
4．导数运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ； (2)[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
f′(x)g(x)－f(x)g′(x)
课堂互动讲练
考点二
导数的运算
1．运用可导函数求导法则和导 数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a， b)内的导数的基本步骤：
(1)分析函数y＝f(x)的结构和特 征；
(2)选择恰当的求导法则和导数公 式求导；
(3)整理得结果．
课堂互动讲练
2．对较简洁的函数求导时，应 先化简再求导，格外是对数函数真数 是根式或分式时，可用对数的性质把 真数转化为有理式或整式求解更为便 利．
f(x0)；
(2)
求
平
均
变
化
率
Δy Δx
＝
f(x0＋Δx)－f(x0)； Δx
课堂互动讲练
(3)得导数 f′(x0)＝Δlxim→0 ΔΔxy.简记作： 一差、二比、三极限．
课堂互动讲练
例1 利用导数的定义求函数 y＝ 1 的导数． x
【思路点拨】
→ 求Δlixm→0
Δy Δx .
求Δy → 求ΔΔxy
第1课时 变化率与导数、导数的计算
基础知识梳理
1．导数的概念
(1)f(x)在 x＝x0 处的导数
是 liΔ函xm→数0 fy(＝x0＋ f(xΔ)Δ在xx)－x＝f(xx00)处＝的liΔ瞬xm→时0 变ΔΔxy化，称率
其为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算课件新人教A版选修1_1
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
x2
-
1
1
x2
.
22
(2)y′=(
ln
x
)′=
(ln
x)x
x ln
x
=
1 x
x
ln
x
x
x2
x2
= 1 ln x . x2
(3)y=tan x; (4)y=3xex-2x+e.
解:(3)y′=( sin x )′= (sin x)cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x
课堂探究 素养提升
题型一 利用导数公式求函数的导数
【例 1】 求下列函数的导数:
(1)y=x8;(2)y=
5
x2
;(3)y=4x;(4)y= log1
2
x;(5)y=sin(x+
π 2
);(6)y=sin
π 3
.
解:(1)y′=(x8)′=8x8-1=8x7.
(2)y′=(
5
x2
)′=(
2
x 5 )′=
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
《第一章导数及其应用》教材分析与教学建议(精)
《第一章 导数及其应用》教材分析与教学建议广州市黄埔区教育局教研室 肖凌戆导数是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用，任何事物的变化率都可以用导数来描述，其基本思想是以直代曲。
导数是研究函数和解决实际生活中优化问题的重要工具．在普通高中数学课程标准中，规定导数及其应用的教学内容有：(1)导数概念及其几何意义；(2)导数的运算；(3)导数在研究函数中的应用；(4)生活中的优化问题举例(导数在解决实际问题中的应用)；(5)定积分与微积分基本定理．(文科数学不做要求)本章内容在普通高中数学课程标准实验教材中的相应位置是：人教A 版选修1－1第三章,人教A 版选修2－2第一章.一、课标要求导数及其应用的基本教学要求是：1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；通过函数图象直观地理解导数的几何意义．2．能根据导数定义，求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =只要求求函数2,,y c y x y x ===， 1y x=的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数(文科数学不做要求)；会使用导数公式表．3．结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．4．结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．5．通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
6．通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念．(文科数学不做要求)7．通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义．(文科数学不做要求)8．体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值．二、课时安排1．本章理科教学时间约需24课时，具体分配如下：变化率与导数 约3课时导数的计算 约3课时导数在研究函数中的应用 约4课时生活中的优化问题举例 约4课时定积分的概念 约4课时微积分基本定理 约2课时定积分的简单应用 约2课时小结与复习 约2课时2．本章文科教学时间约需16课时，具体分配如下：变化率与导数 约3课时导数的计算 约3课时导数在研究函数中的应用 约3课时生活中的优化问题举例 约4课时小结与复习 约2课时三、教材分析与教学建议（一）变化率与导数1．教材分析本节主要包括三方面内容：变化率、导数概念、导数的几何意义．实际上，它们是理解导数思想方法及其内涵的不同角度．首先，教科书从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种变化率在数量上的精确描述，即导数；然后，从数形转换的角度，由数到形，借助函数图象，探求切线斜率与导数的关系，阐明导数的几何意义．教学重点：让学生知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵，通过函数图象直观地理解导数的几何意义．教学难点：让学生体会从平均变化率到瞬时变化率，从割线到切线的逼近方法；理解导数的概念．2．教学建议（1）从气球膨胀率问题和高台跳水运动的速度问题入手，引入平均变化率，让学生了解平均变化率的几何意义．（2）从平均速度到瞬时速度，从瞬时速度到导数，让学生经历导数概念的形成过程．（3）从形的角度，建立切线斜率与导数的关系，获得导数的几何意义．（4）建立导函数概念．（5）通过具体数学例子，让学生掌握求过曲线上一点的切线方程．（二）导数的计算1．教材分析本节主要包括两方面内容：一是利用导数定义求函数的导数；二是利用导数公式及导数的运算法则求函数的导数．利用导数定义求导数是最基本的方法，但最终要归结为求极限，而新课程并未介绍极限知识，因此教科书只是采用这种方法计算了五个常见函数的导数，意在让学生感受这种基本方法．教科书直接给出基本初等函数的导数公式和导数运算法则，并未推导这些公式和法则，只要求利用它们求简单函数的导数，意在让学生掌握公式法求导数．教学重点：让学生会根据导数定义求函数2,,y c y x y x ===，3,y x =1y x =，y =导数（文科只要求求函数2,,y c y x y x ===，1y x=的导数）；能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学难点：（1）利用导数定义求几个常见函数的导数；（2）求简单的复合函数（仅限于形如()f ax b +的导数，文科数学不做要求)．2．教学建议（1）联系函数研究的需要，提出导数的运算问题．（2）让学生感受定义法求导数的过程．（3）联系几何直观和物理意义，进一步认识导数内涵，逐步培养学生用数学知识解释现实问题的习惯．（4）通过适量的练习，让学生熟悉公式法求导数．（5）对复合函数求导问题，仅限于形如()f ax b +的函数求导，关键是正确地分析出复合函数的复合过程，找出相应的中间变量，应避免过量的形式化的运算练习．（三）导数在研究函数中的应用1．教材分析函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．变化规律可用函数性质来描述．导数方法是研究函数性质的通法．本节主要包括三方面内容：一是利用导数研究函数的单调性；二是利用导数研究函数的极值；三是利用导数研究函数的最值．教学重点：（1）利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．（2）会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．教学建议（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系．（2）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的单调性（求单调区间）的方法与步骤．（3）结合函数图象，直观感受函数在某些特殊点的函数值与附近点函数值大小的关系，建立函数的极大值、极小值的概念．（4）借助几何直观探索函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．（5）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数的极大值、极小值的方法与步骤．（6）结合典例，让学生掌握利用导数研究函数在给定区间上的最大值、最小值的方法与步骤．（7）通过适量的综合性练习，让学生进一步体会导数方法在研究函数中的优越性．（四）生活中的优化问题举例1．教材分析本节通过将生活中的优化问题转化为函数的最值问题，介绍导数在解决实际问题中的应用，让学生体会数学建模的过程，进一步培养学生应用数学的意识．教学重点：利用导数方法解决某些简单的优化问题．教学难点：将生活中的优化问题转化为函数最值问题．2．教学建议（1）提供背景知识，让学生感悟将生活中的优化问题转化为函数最值问题的过程．（2）通过典型问题的分析，让学生掌握解决优化问题的基本思路，了解导数在解决某优化问题中的作用．（五）定积分的概念1．教材分析本节主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质．教科书在对两类典型问题（求曲边梯形的面积和求变速直线运动物体位移）进行详细讨论的基础上，抽象概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质．教学重点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念、定积分的几何意义．教学难点：“以直代曲”“逼近”的思想方法，定积分的概念．2．教学建议（1）创设问题情境，揭示“以直代曲”“逼近”的思想方法．求曲边梯形面积和求变速直线运动物体位移的过程蕴涵着定积分的基本思想方法，在教学中，要让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．（2）概括共同特征，引出定积分概念．（3）借助几何直观，揭示定积分的几何意义．（4）直观感知定积分的基本性质．（六）微积分基本定理1．教材分析微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法．教学重点：直观了解微积分基本定理的含义，并用微积分基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．2．教学建议（1）创设问题情境，揭示寻求计算定积分新方法的必要性．（2）让学生经历微积分基本定理的发现过程．教学中，可借助变速直线运动物体求位移问题，探究速度与位移（即导数与定积分）之间的联系，归纳出微积分基本定理．（3）通过例题教学，揭示用微积分基本定理计算定积分的关键．（七）定积分的简单应用1．教材分析本节内容是应用定积分求比较复杂的平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程（位移）以及求变力所作的功．解决这些问题的关键是将它们化归为定积分问题．同时，通过数形结合的思想方法，加深对定积分几何意义的理解．教学重点：应用定积分求平面图形的面积、求变速直线运动物体的路程以及求变力所作的功等问题，让学生在解决问题的过程中体验定积分的价值．教学难点：将实际问题化归为定积分问题．2．教学建议（1）创设问题情境，让学生体验定积分的价值．教学中，可从平面几何中用初等方法难以解决的平面图形面积问题入手，让学生经历将平面图形面积问题化归为定积分问题的过程．再以定积分在物理中的应用，强化学生的认识．（2）通过例题教学及变式训练，帮助学生归纳总结求比较复杂的平面图形面积的方法和步骤，并让学生进一步体验定积分的价值．。
高二数学选修 导数及其应用简介 ppt1
5. 定积分概念的引入 • 着重揭示定积分的思想方法和求解问题 的一般步骤
（1）通过解决曲边梯形的面积、变速直线运动 的路程这两个典型问题，着重揭示出定积分的 思想方法：在每个局部小范围内“以直代曲” “以不变代变 ”和逼近的思想．事实上，这 就是定积分概念中蕴涵的最本质思想，这也是 应用定积分解决实际问题的思想方法． （2）给出求解这类问题的一般步骤——“四步 曲” ：分割、近似代替、求和、取极限．
• 高台跳水问题（一以贯之）
运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳 后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. （1）用运动员在某些时间段内的平均速度粗 略地描述其运动状态；
（2）探究运动员在时间段
65 0t 内的运动状态 49
平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
（3）如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？
通过列表看出平均速度的变化趋势 ：
从平均速度
t 0
lim h(2 t ) h(2)
t
h( 2 t ) h( 2)过渡到瞬时速度 t
，得到瞬时速度
t 0
lim h(2 t ) h(2)
t
的值为-13.1 . 从数学上来看，这个过程能够说明变化趋势， 也是学生容易理解的，不追求严格的证明。
约4课时 约4课时 约3课时 约4课时 约4课时 约2课时 约2课时 约1课时
二、教学目标
1. (1)体会导数的思想及其内涵 通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程，了解导数概念的实际背景， 知道瞬时变化率就是导数。 (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 2. 能根据导数定义，求 函数
高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1_1
• (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数
f（x0＋Δ x）－f（x0）
就 是 切 线 PT 的 斜 率 Δkx ， 即 k ＝
____________________＝ f′(x0)．
• 2．导函数的概念 f′(x)
• (1)定义：当x变化时，_____便是x的一个函数，
f（x＋Δ x）－f（x）
所以 2x30－3x20＋1＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12.(6 分) 第二步，求切点横坐标 故所求直线斜率为 k＝3x20－3＝0 或 k＝3x20－3＝－94， 于是 y－(－2)＝0·(x－1)或 y－(－2)＝－94(x－1)， 即 y＝－2 或 y＝－94x＋14.(10 分) 故过点 P(1，－2)的切线方程为 y第＝三－步2 ，或求y＝过－P的94x切＋线14.(方12程分)
• (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解 析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的 位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
• (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的 关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求 斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是 常设的未知量．
◎变式训练 • 3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行， 求a的值．
即 f′(x0)＝3x20＋2ax0－9＝3x0＋a32－9－a32. 当 x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a32. ∵斜率最小的切线与 12x＋y＝6 平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a32＝－12. 解得 a＝±3.又 a<0，∴a＝－3.
短板补救案·核心素养培优
导数及其用教材分析及教学建议
案例分析与问题解决的教学方法
案例选择
选择具有代表性的案例，如速度、加 速度、斜率等实际问题，引导学生分 析并解决。
问题解决
鼓励学生自主提出问题并解决，培养 其独立思考和解决问题的能力。
互动与讨论的教学方法
课堂互动
通过提问、小组讨论等方式，鼓励学生积极参与课堂互动， 提高学习效果。
讨论引导
引导学生对导数的应用进行深入讨论，促进学生对导数概念 的理解和掌握。
难度的平衡
教材在难度和深度之间进 行了较好的平衡，既保证 了知识的完整性，又兼顾 了学生的接受能力。
教材的优缺点分析
优点 知识点全面，覆盖面广。
结构清晰，层次分明，易于学生理解。
教材的优缺点分析
• 难度适中，适合大多数学生的学习水平。
教材的优缺点分析
01
缺点
02
03
04
对于一些需要深入理解的学生 ，教材的深度可能不够。
1. 强化导数的基本概念和性质的教学，让学生深入理解导数的定义和 性质，为后续的应用打下坚实的基础。
03
2. 通过实例和案例分析，引导学生理解和掌握导数在数学和物理等领 域的应用，提高学生对导数的实际应用能力。
04
3. 注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过导数的应用，引导 学生分析和解决实际问题，提高学生的综合素质和应用能力。
注重培养学生的数学思维和解决问题的能力
总结词
导数及其应用的教学不仅仅是传授知识，更重要的是 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
详细描述
教师在教学过程中，应注重引导学生思考问题、分析问 题、解决问题的能力培养。例如，在解决极值问题时， 教师可以引导学生通过分析函数的单调性、求导数、判 断导数的正负等步骤来解决问题。同时，教师还可以通 过一题多解、一题多变等方式来培养学生的数学思维和 创新能力。此外，教师还可以引导学生反思解题过程， 总结解题方法和思路，从而提高学生的数学素养和解决 问题的能力。
导数及其应用教材分析.pptx
a
1 x3
在
x (0,1]恒成立
a 1
例2 求曲线 y 1 在点 (2, 1 ) 的切
x
2
线方程。
例3 求抛物线 y x2 过点 ( 5 ,6) 的切 2
线方程。
微积分的创始人
牛顿 从力学的角度
莱布尼茨 从几何学的角度
四类问题
微积分的创立
一
第一类问题是研究运动的时候直接出 现的，也就是求瞬时速度的问题
时间间隔
0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 01 ……
平均速度/(m·1)
-13.59 -13.149 -13.104 9 -13.100 49 -13.100 049 ……
平均速度/(m·1)
-12.61 -13.051 -13.095 1 -13.099 51 -13.099 951 ……
y ' a x ln a y' 1
x ln a y' cosx y ' sin x
要求上的变化
突出直观性，弱化证明
数列极限
函数极
限 函数连续性
导
数
导数的应用
情境：爬山
情境：爬山
y
C AB O x0 x1 x2
EH D
f (xk1) f (xk ) xk1 xk
xk xk+1
x
情境：房价走势
如果函数在某区间上有有限个点，使 f ' (x) 0 ，其余点恒有 f ' (x) 0 ，则函数 f (x) 在这个区间内还是增函数。
已知：函数
f
(x)
2ax
1 x2
,
x
(0,1]
新教材2023版高中数学第二章导数及其应用4导数的四则运算法则课件北师大版选择性必修第二册 (1)
x−1 − x−1 x−1 2
′x＝－
1 x−1
2，
所即以－y2a＝′|x＝－2＝1.－1，
所以a＝2.
变式探究1 本例条件不变，求该切线到直线ax＋2y＋1＝0的距离．
解析：由例2知切线方程为x＋y－4＝0， 直线方程x＋y＋12＝0， 所以所求距离d＝12+24＝942.
变式探究2 本例条件不变，求与直线y＝－x平行且与曲线相切的直 线方程．
方法归纳
利用导数的公式及运算法则求导的思路
跟踪训练1 (1)(多选题)下列求导运算中正确的是( )
A．
x+1
x
′＝1＋x12
B．(lg
x)′＝x
1 ln
10
C．
ex x
′＝ex
x−1 x2
D．(x2cos x)′＝－2x sin x
答案：BC
解析：
x+1
x
′＝1－x12，A错误；(lg
x)′＝x
答案：ABC
4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)，则 f′(2)的值等于___－__2___．
解析：由f(x)＝x2＋3xf′(2)，得f′(x)＝2x＋3f′(2)， 令x＝2，则f′(2)＝4＋3f′(2)，解得f′(2)＝－2.
5．已知函数f(x)＝x3＋x－16 (1)求f′(x)； (2)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程．
②∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，∴y′＝3x2＋12x＋11；
③y′＝ex
cos
x−ex ex 2
sin
x＝cos
x−sin ex
高中数学导数及其应用教案 新人教A版选修1-1
导数及其应用一、教材分析导数是本章的主要研究对象，导数与科研、生产以及人类的生活有着密切的关系，导数是变化率的一种特殊的情况，在以前我们已经学习了有关变化率的知识，对变化率有了实步的因而在本章中把导数作为一个整体来研究.我们将从它的定义，几何意义来讨论，导数作为一个新增的知识内容，是教学的重点，涉及的要领是全新的，因此要通过直观的才具演示来探究，使学生理解并明确概念.二、设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟.三教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．四、教学设想1、§3.1.1变化率问题.（1）教具的准备.(a)一个气球充气,随着空气容量的增加,气球半径的半径增加得越来越慢.(b)一根粉笔从手中落下,随着时间的变化,粉笔的距地而的高度也在变化、通过这些日常生活中的例子熟悉的例子，来加深学生对变化率的理解。
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三、重点、难点分析的建议
1. 重点：导数的概念、定积分的概念、导数的 应用.
2. 难点：对导数概念及其意义的认识、 导数和定积分在实际中的应用.
四、教学中需要注意的问题
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
§5简单符合函数的求导法则
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构（文）
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（理）
第三章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
§2 导数在实际问题中应用
2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大、最小值问题
一、教材编写的基本结构
2.章节目录（理）
第四章 定积分
§1 定积分的概念
1.1 定积分背景——面积和路程问题 1.2 定积分
§2 微积分基本定理 §3 定积分的简单应用
3.1 平面图形的面积 3.2 简单几何体的体积
阅读材料 数学史上的丰碑——微积分
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第三章 变化率与数的意义 2.2 最大、最小值问题
二、教材编写特色
1.以丰富的实际问题为基础引入核心概念—— 导数、定积分.帮助学生认识到变化无处不 在，导数和定积分是描述变化规律的基本 概念，这些概念不仅渗透在各个学科中， 也渗透在日常生活的每一个角落.
2. 强调平均变化率到瞬时变化率的过程，以 此来突出导数本质.
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则 4.2 导数的乘法与除法法则
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（文）
第四章 导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性 1.2 导数的极值
(2) 在高中阶段不讨论瞬时变化率的存在性问题， 而直接通过平均变化率理解瞬时变化率，也就是 说我们所讨论的绝大部分函数都是好函数，它们 的导数都是存在的.
四、教学中需要注意的问题
4. 在计算函数y=f(x)在x0点导数的教学中，我们强调 了以下过程：
(1)在给定自变量的改变量△x (常量)； (2)求出函数y=f(x)在x0的改变量 △y=f(x0+△x)-f(x0); (3)计算相应的平均变化率△y/△x ，并进行化简； (4)讨论，当△x趋于0时，平均变化率的极限.
1. 在系列1中，没有定积分和对简单复合函数求 导的内容.对其他内容的要求，在系列1和系 列2中是完全一样的.
四、教学中需要注意的问题
2. 在这一部分的教学中，应清楚高中与大学关于导 数处理的基本区别为：
(1) 在高中阶段不按照微积分的理论体系来讲微积 分，比如，不讲极限理论、不讨论函数的连续性 等，直接介绍导数的概念，恢复了牛顿引入导数 的基本思想.
二、教材编写特色
3. 清晰地刻画了求函数在x0点导数的过程： (1)给定自变量的改变量△x (常量)； (2)求出函数y=f(x)在x0的改变量 ，即 △y=f(x0+△x)-f(x0); (3)计算相应的平均变化率△y/△x ，并进行化简； (4)讨论，当△x趋于0时，平均变化率的极限. 在教材讨论的问题中，不出现0/0型和∞/∞型的情形.
二、教材编写特色
4. 关注导数的四则运算、简单的复合函数运 算（只在系列2中要求），以加强学生的运 算能力.
5. 在研究函数的单调性、极值时，充分利用 函数图像，并给出了利用导数求函数极值 的算法步骤.
二、教材编写特色
6. 在教材中，以变速直线运动等案例为载体， 利用速度与时间的函数关系计算路程，揭示 了速度与路程的关系，很自然的给出了微积 分基本定理.
6. 在用导数解决实际问题的教学中，关键是帮 助学生学会找出问题中的函数及其变化率， 用它来建立恰当的数学模型，解决实际问题.
普通高中课程标准实验教科书
导数及其应用
高中数学课程标准 北师大（版）教材编写组
一、教材编写的基本结构
1. 知识结构（理）
一、教材编写的基本结构
2. 章节目录（理）
第二章 变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率 §2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念 2.2 导数的几何意义
§3 计算导数 §4 导数的四则运算法则
在教学中，要注意选择例题和习题，使得这 些题目在计算平均变化率时，化简后，不出现0/0 型和∞/∞型的情形.
四、教学中需要注意的问题
5. 教材没有给出基本初等函数的求导公式和导 数的四则运算法则（包括简单复合函数的求 导法则）的严格推导，但是要求学生会用这 些公式和法则，熟练地计算导数，以提高学 生的运算能力.