小升初数学衔接班——列方程解应用题(二)

小升初数学衔接班——列方程解应用题（二）
一、学习目标
1. 通过学习用一元一次方程解决比例问题、增长率问题、年龄问题和数字问题等几种常见问题，继续巩固列方程解应用题的方法。

2. 通过例题的讲解，使学生了解如何检查方程是否正确，学会利用图形和表格等工具分析复杂数量关系，了解特殊的设元方法。

二、学习重点
掌握各种数量关系的分析方法。

/
三、课程精讲
1. 知识回顾
上一讲我们学习了列方程解应用题的步骤，知道了解题的关键在于列代数式和找等量关系。

2. 新知探秘
【典型例题】
知识点一 与比和比例有关的设元
例1. 有两个矩形，第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽，顺次成5：4：3：2的比。

第一个矩形的周长比第二个矩形的周长大72厘米。

求这两个矩形的面积。

`
思路导航：此题直接设元不利于列方程，应间接设元。

需要注意到这是一个与比和比列
有关的题目，因此可以根据比和比例的特点来设元。

解答：设第一个矩形的长、宽和第二个矩形的长、宽依次为5k 厘米、4k 厘米、3k 厘米和2k 厘米，则第一个矩形的周长为2(54)k k +厘米，第二个矩形的周长为2(32)k k +厘米，根据题意，得2(54)2(32)72k k k k +-+=
解得9k =
5445361620k k ⨯=⨯=（平方厘米）
322718486k k ⨯=⨯=（平方厘米）
答：第一个矩形的面积为1620平方厘米，第二个矩形的面积为486平方厘米。

点津：已知条件中有比和比例的，可以考虑将一份量设为未知数x ，这样常可以很方便地表示出多个量，使得解答过程比较简便。

~
知识点二 利用表格分析数量关系
例2. 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1。

如果将这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的数。

思路导航：此题的数量比较多，关系也比较复杂，题目采用文字叙述的方法给出已知条件，我们需要采用其他适合表达这种数量及其关系的方法来重新整理。

比如，这道题适合用表格表示。

解答：
,
原数等于100(21)10(31)x x x +++-，新数等于100(31)10(21)x x x -+++，根据题意，得100(31)10(21)100(21)10(31)99x x x x x x -+++=+++-+
解得3x =
100(21)10(31)738x x x +++-=
答：原来的数为738。

点津：有的数量及其关系适合用文字叙述，而有的数量及其关系适合用表格表示，还有的数量及其关系适合用图形来表达。

我们应该把它们表示为易于理解的形式。

另外，对于十进制数该如何表示也应该掌握。

仿练、一个三位数三个数字的和是24，十位数字比百位数字少2，如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这个三位数三个数字的顺序和原来三位数的数字的顺序恰好颠倒，求原来的三位数。

/
思路导航：此题与上一题类型相同，分析方法也相同。

减去的两位数为，根据题意，得
[10010(2)24(2)](10)+-+----+x x x x x x
?
100[24(2)]10(2)=---+-+x x x x
解得9x =
10010(2)24(2)978x x x x +-+---=
答：原来的三位数是978。

例3. 3年前爷爷的年龄是小明年龄的4倍，5年后爷爷的年龄是小明年龄的3倍，求爷爷今年的年龄是多少岁
思路导航：此题是年龄问题，这里涉及到三个时刻两个人，共六个数据，关系比较复杂。

但利用表格表示它们就显得比较简单。

解答：
…小明
3
4
x-5
3
x+
根据题意，得
3
35 43
x-
+=-
解得67
x=
答：爷爷今年年龄是67岁。

点津：通过利用表格，将数量关系的分析变为对表格的填空，填写完毕后，再来寻找哪个条件没有用到过，用它列出方程。

…
知识点三利用韦恩图分析数量关系
例4. 某校100名学生在一次语、数、外三科竞赛中，参加语文竞赛的有39人，参加数学竞赛的有49人，参加外语竞赛的有41人，既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有14人，既参加数学竞赛又参加外语竞赛的有13人，既参加语文竞赛又参加外语竞赛的有9人，有1人三项都没有参加，问三项都参加的有多少人
思路导航：此题的数量较多，关系也比较复杂，我们可以借助表示集合的韦恩图来表示它们。

解答：设三项都参加的有x人，则既参加语文又参加数学，但不参加外语的有(14)x
-人，其他数据见下图，根据题意，得
39[4113(9)][4914(13)](13)1100
x x x
+---+---+-+=
解得6
x=
*
答：三项都参加的有6人。

点津：此题中有8个数据，它们之间的关系比较复杂，但是用合适的韦恩图来表示就比较清楚了。

知识点四利用图形分析数量关系
例5. 甲河是乙河的支流，甲河水流速度为每小时3千米，乙河水流速度为每小时2千米。

一艘船沿乙河逆水航行6小时，行了84千米到达甲河，在甲河还要顺水航行133千米。

求这艘船一共航行多少小时
思路导航：此题应该将甲河、乙河以及船航行的情况画在图上，帮助我们理解题意。

船在两条河流中航行，速度、时间、路程都不相同，但是船在静水中的速度（即船本身的速度）是相同的。

·
解答：设这艘船在甲河中航行了x 小时，则船在乙河中的逆水速度为
84
6
千米/时，船在甲河中的顺水速度为84(23)6++千米/时，根据题意，得84
(23)1336
x ++= 解得7x =
613x +=（小时）
答：这艘船一共航行了13小时。

点津：用图形来表示数量关系也是很重要的一种分析方法。

此题也可以根据船在静水中的速度相等列出方程：
84133
236x
+=-。

但是这个方程的分母中含有未知数，不是我们学习过的一元一次方程，它是分式方程，关于它的解法我们以后还要专门学习。

知识点五 如何检查方程是否正确
[
一个方程是否解得正确，只要将结果代入左右两边验证即可知道。

那么应用题的方程是
否列得正确该如何检查呢只能解出结果后再代入题目中才能验证吗
例6. 随着计算机技术的发展，电脑的价格不断降低，某品牌电脑按原价降低m 元后，又降低20%，现售价为n 元，设该电脑的原售价为x 元。

有A 、B 、C 、D 四个同学分别列出了下列方程，其中哪些是正确的哪些是错误的请你帮他们检查一下。

A.()20%x m n -⨯=
B.20%x m n ⨯-=
C.80%x m n -=
D.()(120%)x m n -⨯-=
思路导航：实际上，要检查方程是否列得正确，只要能正确解释方程左右两边的代数式的实际含义，就能知道两边是否真的相等。

解答：A 方程左边，代数式x m -表示原价降低m 元后的价格，而()20%x m -⨯表示再次降价时减少的部分．．．．．
，并不是降价后的价格，与左边的n 当然不相等！ B 方程左边，代数式20%x ⨯表示原价降低m 元之前的20%，与题目意思不符合！ :
C 方程左边，代数式80%x m -表示降价20%后，再减价m 元，而题目顺序相反！
D 方程左边，代数式x m -表示原价降低m 元后的价格，而()(120%)x m -⨯-表示又降价20%后的价格，当然与n 相等。

点津：对列出的代数式的实际含义进行解释，就能检查出代数式是否正确，方程左右两边是否相等。

在后续将要学习的用方程组、不等式、函数等工具来解决实际问题的时候，这一方法依然适用。

四、知识提炼导图
五、目标期望
；
通过本讲的学习，希望同学们复习巩固数字问题、年龄问题、流水问题、增长率问题等
类型题目中的数量关系，掌握分析数量及其关系的几种方法，了解对比和比例问题的设元。

六、下讲预告
前几讲我们学习的都是代数的内容，下一讲我们将要在小学所学知识的基础上重新来研究几何图形。

【同步练习】（答题时间：35分钟） 1. 火眼金睛：
（1）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是（ ）
,
A. 10岁
B. 15岁
C. 20岁
D. 30岁
（2）甲、乙二人去商店买东西，他们所带钱数之比是7:6，甲用掉50元，乙用掉60元，
二人余下的钱数之比是3:2，则二人余下的钱数分别是（ ）
A. 140元，120元
B. 60元，40元
C. 90元，60元
D. 80元，80元
（3）一个三位数，三个数位上的数字和是16，百位上的数字比十位上的数字小1，个位上的数字比十位上的数字大2，则十位上的数字是（ ）
A. 4
B. 8
C. 7
D. 5
（4）将55分成四个数，如果第一个数加上1，第二个数减去1，第三个数除以2，第四
个数乘以3，所得的数都相同，那么这四个数分别是（ ）
A. 9，11，5，30
B. 9，12，4，30 }
C. 9，11，6，29
D. 9，11，7，28
（5）一船由甲地开往乙地，顺水航行要4小时，逆水航行比顺水航行多用40分钟，已
知船在静水中的速度为16千米/时，求水流速度。

解题时，若设水流速度为x 千米/时，那么下列方程中正确的是（ ） A. 2
4(16)(4)(16)3
x x ⨯+=+
⨯- B. 2
416(4)(16)3
x ⨯=+
⨯- C. 4(16)(40.4)(16)x x ⨯+=+⨯-
D. 2
4(16)(4)163
x ⨯+=+⨯
2. 对号入座：
（1）一个三位数的百位数字比十位数字小1，个位数字比十位数字小2，把数字顺序颠倒所成的新数与原数和为585，则这个三位数是____________；
（2）一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%；若该货物进价为每件21元，则每件的标价应为_____________元；
{
（3）甲、乙、丙三个工人每天生产零件个数的比是3:4:5，已知丙工人生产零件个数比
甲乙二人生产零件个数之和少932个，则甲每天生产______个零件；
（4）一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米/时，顺水航行需2小时，逆水航行需3小时。

则两个码头之间的航程为_________千米；
（5）A 、B 、C 三人各有豆若干粒，要求互相赠送。

先由A 给B 、C ，所给的豆数分别等于B 、C 原来各有的豆数。

依相同的方式再由B 给A 、C 现有的豆数，最后由C 给A 、B 现有的豆数。

互送后A 、B 、C 每人的豆数恰好相等。

如果A 、B 最初的豆数分别为104粒、56粒，则C 最初有豆_______粒。

3. 牛刀小试：
（1）一个两位数的个位数字比十位数字的3倍还少3。

若十位数字加5，个位数字减4，所得的新数比原数在十位数字与个位数字之间添加7后的三位数的2倍少863，求这个两位数。

（2）一艘轮船，航行于甲、乙两地之间，顺水航行需要3小时，逆水航行比顺水航行多用30分钟，已知轮船在静水中速度是每小时26千米，求水流的速度。

（3）某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价为510元。

为了进一步扩大市场，该企业决定在降低销售价的同时降低生产成本。

经过市场调研，预测下季度这种产品每件销售价降低4%，销售量将提高10%，要使销售利润（销售利润 = 销售收入成本）保
持不变，该产品每件的成本价应降低多少元
~
【试题答案】 1. 火眼金睛：
（1）C
解答：设乙现在的年龄为x 岁，则现在甲的年龄为(15)x +岁，5年前甲的年龄为
(155)x +-岁，乙的年龄为(5)x -岁，由题意得1552(5)x x +-=-
解得20x =
（2）C
解答：设甲、乙二人余下的钱数分别为3k 元、2k 元，则他们原来的钱数分别为(350)k +元、(260)k +元，由题意得(350):(260)7:6k k ++=
,
解得30k =
所以，390k =，260k = （3）D
解答：设十位数字为x ，则百位数字为1x -，个位数字为2x +，由题意得 (1)(2)16x x x -+++= 解得5x = （4）A
解答：设这个相同的数为x ，则这四个数分别为1x -，1x +，
2
x
，3x ，由题意得(1)(1)3552
x
x x x -+++
+= (
解得10x =
所以，19x -=，111x +=，52
x
=，330x = （5）A
解答：根据顺水和逆水航行的路程相等来列方程。

B 方程中左边不是总路程，顺水速度错误；
C 方程中右边单位换算错误；
D 方程中右边
不是总路程，逆水速度错误。

2. 对号入座：
（1）342
解答：设十位数字为x ，则百位数字为1x -，个位数字为2x -，原数为100(1)10(2)x x x -++-，新数为100(2)10(1)x x x -++-，根据题意，得。

[100(1)10(2)][100(2)10(1)]585x x x x x x -++-+-++-= 解得4x =
100(1)10(2)342x x x -++-=
（2）28
解答：设每件的标价应为x 元，则售价为90%x 元，每件利润为(90%21)x -元，根据题意，得90%2120%21x -=⨯
解得28x = （3）1398
解答：设甲、乙、丙每天生产零件的个数分别为3k ，4k ，5k 个，由题意，得
[
534932k k k =+- 解得466k = 31398k =
（4）36
解法一：设两个码头之间的航程为x 千米，则该船的顺流速度为2
x
千米/时，逆流速度为
3
x
千米/时，由"静水速度 = 顺水速度 水速 = 逆水速度 + 水速"，得：3323
x x
-=+
解此方程，得36x = 解法二：设船在静水中的速度为x 千米/时，则两个码头之间的航程可表示为2(3)x +千米或3(3)x -千米，则可得2(3)3(3)x x +=-
解此方程，得15x =
`
2(3)36x +=
（5）32
A B C
开始 $
104
56 x
第一次 10456x -- 48x =- 112
2x
第二次
2(48)x - 112(48)2x x ---
64x =-
4x
第三次
4(48)x -
2(64)x -
42(48)(64)x x x ----
7160x =-
解得32x =和32x = 所以32x =
3. 牛刀小试： （1）解：设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为33x -，新两位数为
10(5)(334)x x ++--，新三位数为10070(33)x x ++-，由题意得
10(5)(334)2[10070(33)]863x x x x ++--=++--
解得4x =
103349x x +-=
答：这个两位数为49。

（2）解：设水流速度为x 千米/时，则轮船顺水航行的路程为3(26)x +千米，逆水航
行的路程为1(3)(26)2x +
-千米，由题意得1
3(26)(3)(26)2
x x +=+-
解得2x =
答：水流速度为2千米/时。

（3）解：设该产品原来的销售量为m 件，每件的成本价应降低x 元，则新的成本为
(400)x -元，新的销售价为510(14%)⨯-元，新的销售量为(110%)m +件，依题意得
()()()()51014%400110%510400x m m ⎡⎤⨯---⨯+=-⎣⎦
解得10.4x =
答：该产品每件的成本应降低元。