第二章 矩阵及其运算总结

§1 矩阵及其运算

一、矩阵的基本概念（必考）

矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标

都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,

或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为

零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.

当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素

都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.

例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵

2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.

3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的

矩阵，找规律)

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说

），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），

的元素为和对应元素的和，即：.

给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：

(1)交换律：； (2)结合律：；

(3)存在零元：;(4)存在负元：.

2 、数与矩阵的乘法的运算律：

（1)；（2)；（3)；

（4) .

3 、矩阵的乘法（必考）

设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵

的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且

(即左行乘右列)

矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：

(1）结合律：； (2）左分配律：；

(3）右分配律：；

(4）数与矩阵乘法的结合律：；

(5）单位矩阵的存在性：.

若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .

注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）

（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如

,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆

（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.

例题：（选择题5、6）

（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .

4 、矩阵的转置：

定义：设

为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：

.

矩阵的转置运算满足下列运算律：

（1)；（2)；

（3)；（4) (重要).

5、对称矩阵：

n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称

为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的

成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：

（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；

（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；

（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.

运算性质：

1） （2） （3）（4） （5）

三、逆矩阵

1.定义 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，

则A 的逆矩阵是唯一的．

这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，

那么22212111

)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作

1-A ．

逆矩阵有下列性质： （1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的． （2）如果

A 、

B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．

（必考重点） 这是因为 E A A AEA A

BB A A B AB =⋅===------111

1

1

1

)())((

E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）

这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵

A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．

这是因为E E A A A A T T T

T

===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11

所以 T T

A A )()(11

--=．

（4）如果

A 是可逆矩阵，则有1

1--=A A ．

这是因为E AA

=-1

，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以1

11--==

A A

A ． 矩阵可逆的条件

（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；

（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；

（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；