§1[1].2.2函数的表示方法(二)
必修1课件1.2.1-2 函数的概念 (二)
3．分段函数：有些函数在它的定义域中，对于自变 量x的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通 常称为分段函数.分段函数是一个函数，而不是几个 函数. 4．复合函数：设 f(x)=2x3，g(x)=x2+2，
则称 f[g(x)] =2(x2+2)3=2x2+1
g[f(x)] =(2x3)2+2=4x212x+11为复合函数.
2
a2
实数a 的取值范围(0,2].
复合函数
例如、y f (u ) u 2 , u R u g ( x) 2 x 1, x R 则y f [ g ( x)] (2 x 1) , x R.
2
例4．已知
f ( x) 的定义域为[-1,3]，
的定义域。 解：∵f(x)的定义域为[-1,3]，∴ 1 ∴
例2、求函数 y x 4x 6, x [1,5] 的值域
解：配方，得 ( x 2) 2 y xR y 2
2
函数的值域为 y | y 2} {
7 7 ∴函数的定义域为： , ) ( , ) ( 3 3
例3. 若函数
1 y ax ax 的定义域是R， a
2
求实数a 的取值范围
解：∵定义域是R,
1 ∴ ax ax 0恒成立， a a0 0 1 等价于 2 a 4a 0 a
例6．已知y=f(x+1)的定义域为[1,2]，求f(x)，f(x-3) 的定义域。 解：∵y=f(x+1)的定义域为[1,2]， 即f(x)的定义域为[2,3] 又∵f(x)的定义域为[2,3]， ∴ ∴
∴ 2 x 1 3
2 x3 3
§2 2.2 函数的表示法
像这样， 像这样，用图像把两个变量间的函数关系表示出来 的方法，称为图像法. 的方法，称为图像法. 特点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律， 特点：图像法可以直观地表示函数的局部变化规律， 进而可以预测它的整体趋势. 进而可以预测它的整体趋势.
3.解析法 3.解析法
一个函数的对应关系可以用自变量的解析表达式 （简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法. 简称解析式）表示出来，这种方法称为解析法. 例如，设正方形的边长为x 面积为y 例如，设正方形的边长为x，面积为y，则y 是x的函数，用解析式表示为 y 的函数，
2.2 函数的表示法
1. 通过丰富的实例，体会函数的三种表示方法. 通过丰富的实例，体会函数的三种表示方法. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 2. 体会三种表示方法的使用情境与各自的特点. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数， 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能 通过具体实例 简单应用. 简单应用.
= x , x ∈ (0, +∞).
2
特点： 特点：解析法表示的函数关系能较便利地通过计算 等手段研究函数性质.但是，一些实际问题很难找到它的 等手段研究函数性质.但是， 解析式. 解析式.
例题讲解
例1.国内跨省市之间邮寄信函,每封信函的质量和对应的 1.国内跨省市之间邮寄信函, 国内跨省市之间邮寄信函 邮资如下表: 邮资如下表:
在研究函数的过程中， 在研究函数的过程中，采用不同的方法表示函 数，可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质， 可以帮助我们从不同的角度理解函数的性质， 同时也是研究函数的重要手段. 同时也是研究函数的重要手段. 初中学习过的函数的表示法有三种： 初中学习过的函数的表示法有三种： 法一：列表法，即题中的表格. 法一：列表法，即题中的表格. 法二：解析法， 法二：解析法， 法三：图像法. 法三：图像法. y
教案8 函数的表示法(二)
包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维
例1．下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？
（1）A={ 是数轴上的点}，B=R，对应关系 ：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）A={ 是平面直角坐标中的点}， 对应关系 ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
2
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
A开平方B A求正弦B
（1）（2）
A求平方B A乘以2 B
（四）巩固深化，反馈矫正
1、画图表示集合A到集合B的对应（集合A，B各取4个元素）
已知：（1） ，对应法则是“乘以2”；
（2）A= ＞ ，B=R，对应法则是“求算术平方根”；
（3） ，对应法则是“求倒数”；
2、23页4题
教
学
小
结
怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射，你能归纳出几个“标准”呢？
课后
反思
3
5．函数的概念．
（二）研探新知
1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．
2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系：
（1）开平方；
（2）求正弦；
映射的概念
教
学
设
计
教学内容
教学环节与活动设计
（一）创设情景，揭示课题
复习初中常见的对应关系
1．对于任何一个实数 ，数轴上都有唯一的点 和它对应；
函数的表示方法及分段函数
5 25
小明带了25元钱，去买某种笔记本的单价是 5元，买x个笔记本需要y元.试用解析法和列 表法表示y与x的函数关系.
图像法欣赏
y（元）
25
20 15 10 5 0 1
2
3
4
5 x（本）
分段函数
国内跨省市之间邮寄平信,每封信的重量 x 和对应的邮资 y 如下表:
信函质量(x)/g 邮资(y)/元
优点：能形象直观显示 数据的变化规律
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 函数可以用图像法来表 -3 -4 示，但并不是形如图像 -5 的变量关系，都是函数 -6
关系。
注意
函数的三种表示方法
解析法 列表法 图象法
函数的三种表示方法，各有优缺点。 解析法表示简洁，列表法数值清晰，图像法变化 直观。但是，解析法不能表示所有的函数，列表 法只能反映局部的函数关系，图像法又不够精确。 现实生活中常常根据实际问题的需要选择函数的 表示方法。
探究二：分段函数求值
例2：已知函 数
5 (1) 求f(－5)，f(－3)，f[f(－ )]的值； 2
(2) 若f(a)＝3，求实数a的值。
解
(1)、f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
5 5 3 3 － ∵f 2 ＝－ ＋1＝－ ，而－2<－ <2， 2 2 2 3 5 3 ∴f[f(－ )]＝f－2＝－ . 2 4
设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空 解： 调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行 驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围 是（0，20]。 由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式： 2, 0<x ≤ 5 3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15 y= 5, 15 < x≤20
§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零． ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y＝ax (a>0且a≠1),y＝sin x, y＝cos x,定义域均为__. R { x | x R且x k π , k Z} π ⑤y＝tan x的定义域为________________________. 2 0的定义域为_________________． ⑥函数f(x)＝x {x|x∈R且x≠0}
R
{ y | y R且y 0}
④y＝ax (a>0且a≠1) ⑤y＝logax (a>0且a≠1) ⑥y＝sin x, y＝cos x ⑦ y＝tan x 主页
(0, ) R [1, 1] R
要点梳理
忆一忆知识要点
3．函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式, 通常是令g(x)＝t，从中解出x＝ (t)，再将g(x)、x代入已知 解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方 法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的 解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． (3)消去法：若所给解析式中含有f(x), f ( 1 ) 或 f(x), f(－x) x 等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)． (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特 殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
对称性
函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
函 数
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换. 正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;
函数的表示
§1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：一．函数有三种表示方法：1、解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；2、图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；3、列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.二．分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.三．一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲：例1：某种笔记本的单价是5元，买{}(1,2,3,4,5)x x∈个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x=练习：如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．例2画出的y x=图象练习：1．画出下列函数的图象：（1）|1|y x=-；（2）|1||4|y x x=-++.2．函数f(x)= 2(1)xx x⎧⎨+⎩,0,0xx≥<，则(2)f-=（）.A. 1 B .2 C. 3 D. 4例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按照下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价为1元（不足5公里的按照5公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法
题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4
必修1课件1.2.2函数的表示法
笔记本数x 钱数y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
例2.下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年 度六次数学测试的成绩及班级平均分表。
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次
王 伟 张 城 赵 磊
班平分
98 90 68 88．2
87 76 65 78．3
91 88 73 85．4
92 75 72 80．3
观察得出映射（1）有两个特点： ①集合A中不同的元素在B中有不同的象； ②集合B中的元素都有原象；
一一映射：
设A、B是两个集合， f : A B 是集合A到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元 素在B中有不同的象，而且集合B中的每一个元素都 有原象，这个映射叫做A到B上的 一一映射。
解：这个函数的定义域是数集｛1，2，3，4，5｝
用解析法可将函数y=f(x)表示为
y 5 x, x 1, 2, 3,4,5
用列表法可将函数表示为
笔记本数x 钱数y
1 5
2 10
3 15
4 20
5 25
用图象法可将函数表示为下图
y 25
20 ． ．
1 2 3 4
．
5
x
上例中（1）是A到B上的一一映射，（2）是A到B的 映射，但不是一一映射。
一一映射： 设A、B是两个集合， f : A B 是集合A到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A中不同的元 素在B中有不同的象，而且集合B中的每一个元素都 有原象，这个映射叫做A到B上的 一一映射。 注意：
①一一映射中集合A中不同的元素在B中有不同的象， 集合B中的元素都有原象；
例6 .判断下列对应是否映射？有没有对应法则？
人教版高中数学必修1函数的解析式教案
§2.2.2 函数（二）--函数的解析式[教学目的]使学生进一步巩固函数的概念，能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，并掌握解析式的一些形式的变换.[重点难点]重点、难点：函数解析式的求法.[教学过程]一、复习引入⒈用映射刻划的函数的定义是什么？函数符号的含义是什么？函数的表示方法常用的有哪些？答：函数是两个非空数集A到B的特殊映射f：x→y=f(x),x∈R，y∈C⊆B；定义域A、值域C和定义域到值域的对应法则f称为函数的三要素；符号y=f(x)表示y是x的函数，不是f与x的乘积；函数的表示方法常用的有解析法、列表法和图象法，而中学阶段所研究的函数主要是能用解析式表示的函数..⒉引入：我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上，今天我们来学习确定函数解析式的几种常见方法.二、学习、讲解新课我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法例1⑴已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；⑵已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1)；⑶已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x，求f(x)；⑷设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.解：⑴设f(x)=ax+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17,比较系数得a=2且5a+b=17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7.⑵设u=x+1≥1,则x=u-1，x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u≥1),即f(u)=u2-1(u≥1), ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x+1≥1),即f(x+1)=x2+2x(x≥0).⑶∵已知2f(x)+f(1/x)=3x ---①，将①中x换成1/x得2f(1/x)+f(x)=3/x ---②，①×2-②得3f(x)=6x-3/x，∴f(x)=2x-1/x.⑷设f(x)的解析式是f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=10，即(-b/2a)=2且(b2/a2)-(6/a)=10，∴a=1，b=-4，∴f(x)=x2-4x+3.说明：求函数解析式常用的方法有：待定系数法(如⑴⑷)、换元法(如⑵)、构造方程法(如⑶)等.例2 高为h ，底面半径为r 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度充水，试求出水面高y 与时间t 的函数关系式，并求其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高)解：由题意有at=πr 2y ，即y=(a/πr 2)t,∵0≤y ≤h,即0≤(a/πr 2)≤h, ∴0≤t ≤πr 2h/a ，即定义域是[0，πr 2h/a]. 说明：这是函数知识在实际问题中的应用，其定义域是由实际问题所决定的.练习：⑴若f(1/x)=1/(1+x),则f(x)= ；⑵已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x ，则f(x)= ；⑶已知g(x)=1-2x ，f[g(x)]=(1-x 2)/x 2(x ≠0),则f(1/2)= ； ⑷将长为a 的铁丝折成矩形，面积y 关于边长x 的函数关系是 ，其定义域是 ； ⑸已知f(x)=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f(x)=10，则x= ；⑹已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p ，f(3)=q ，则f(36)= .解：⑴令u=1/x ，则x=1/u ，f(u)=u/(1+u)，∴f(x)=x/(1+x)；⑵设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，∵f(0)=1,∴c=1，又f(x+1)-f(x)=2x ， ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax 2-ba-1=2x ，即2ax+a+b=2x ，比较系数得2a=2且a+b=0，∴a=1，b=-1，∴f(x)=x 2-x+1.⑶由g(x)=1-2x=1/2，得x=1/4，∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15.⑷设矩形的长为x ，则宽为(a-2x)/2，∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x 2,定义域是(0,a/2). ⑸由已知-2x<0，∴f(x)=x 2+1=10,即x=±3,又x ≤0,∴x=-3. ⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q).三、小 结⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁； ⒉解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关，如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数； ⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法，若已知函数的构造模式，可用待定系数法；若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法.⒌根据实际问题求函数的表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻找等量关系，以求得表达式，要注意函数定义域应由实际问题确定.四、布置作业(一)复习：课本和课堂上的有关内容.(二)书面：⒈填空：⑴若f(x)=2x+1，则f[f(2)]= ；f(-x)= ；f[f(x)]= .⑵若f(x+1)=x2-2x+5，则f(x)= .⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)= .⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x ，则f(x)= .⑸若f(x)=x2-mx+n ，f(n)=m ，f(1)=-1，则f(-5)= .⒉设函数f(x)=x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1]，对任意t ∈R ，求函数f(x)的最小值ϕ(t)的解析式，并画出图象.(练习册P26B 组第2题)答案与提示：⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)]=2f(x)+1=4x+3；⑵f(x)=x 2-4x+8；⑶g(x)=2x-1；⑷f(x)=(12x 2-8)/5x(x ≠0)；⑸将f(n)=m 与f(1)=-1并成方程组，解得m=1,n=-1,可知f(x)=x 2-x-1,∴f(-5)=29. ⒉由f(x)=x 2-4x-4=(x-2)2-8知，对称轴为x=2，若t-1<2即t<3时，ϕ(t)=f min (x)=(t-1-2)2-8=t 2-6t+1；若t-2≤2≤t-1即3≤t ≤4时，ϕ(t)=f min (x)=-8；若t-2>2即t>4时，ϕ(t)=f min (x)=(t-2-2)2-8=t 2-8t+8；∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t x ϕ.(三)思考题：(四)预习：课本P 53-552.2区间概念、函数定义域的求法.。
高等数学二全部笔记
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1)4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高一数学必修一函数的表示法(完整)
高一数学必修一函数的表示法（完整）1.2函数及其表示§1.2.2函数的表示法1教学目的：1．掌握函数的解析法、列表法、图象法三种主要表示方法．2．培养数形结合、分类讨论的数学思想方法，掌握分段函数的概念教学重点：解析法、图象法．教学难点：作函数图象教学过程：一、复习引入：1．函数的定义是什么？函数的图象的定义是什么？2．在中学数学中，画函数图象的基本方法是什么？3．用描点法画函数图象，怎样避免描点前盲目列表计算？怎样做到描最少的点却能显示出图象的主要特征？二、讲解新课：函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种.⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式.222例如，=60t，A=r，S=2rl,y=a某+b某+c(a0),y=某2(某2)等等都是用解析式表示函数关系的.优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.D优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.C例如，气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，课本中我国人口出生率变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数B关系的.优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这A样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质.三、例题讲解例1某种笔记本每个5元，买某{1,2,3,4}个笔记本的钱数记为y （元），试写出以某为自变量的函数y的解析式，并画出这个函数的图像解：这个函数的定义域集合是{1,2,3,4}，函数的解析式为y=5某，某{1,2,3,4}.它的图象由4个孤立点A(1，5)B(2，10)C(3，15)D(4，20)组成，如图所示例2国内投寄信函（外埠），每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依次类推，每封某g(0320,某(60,80],400,某(80,100].这个函数的图象是5条线段（不包括左端点），都平行于某轴，如图所示.这一种函数我们把它称为分段函数4003202401608020406080100某某例3画出函数y=|某|=某某0,的图象.某0.解：这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示.说明：①再次说明函数图象的多样性；y②从例4和例5看到，有些函数在它的定义域中，对于自变量某的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数.注意某某0分段函数是一个函数，而不是几个函数.y=1某<0某③注意：并不是每一个函数都能作出它的图象，如狄利克雷{（Dirichlet）函数D(某)=1，某是有理数，.0，某是无理数,我们就作不出它的图象.某例4作出分段函数y某1某2的图像解：根据“零点分段法”去掉绝对值符号，即：y某2(2某1)3y某1某2=2某12某1某1作出图像如下例5作出函数y某列表描点：K'L'M'N'G'O'P'Q'(-5.0，-5.2)(-4.0，-4.3)(-3.0，-3.3)(-2.0，-2.5)(-1.0，-2.0)(-0.4，-3.0)(-0.3，-4.0)(-0.2，-5.0)QPOGNMLK(0.2，5.0)(0.3，4.0)(0.4，3.0)(1.0，2.0)(2.0，2.5)(3.0，3.3)(4.0，4.3)(5.0，5.2)某1的图象某2补充：1．作函数y=|某-2|(某＋1)的图像分析显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形．解：(1)当某≥2时，即某-2≥0时，1086Q4KLMGNPO2-10-5510-2N'M'L'K'G'O'-4P'Q'-619y(某2)(某1)某2某2(某)224当某＜2时，即某-2＜0时，-10-5864251019y(某2)(某1)某2某2(某)2.24219某2某24∴y219某2某24-2-4-665432这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出-6-4-2124682．作出函数y|某2某3|的函数图像解：y2-1-2-3-4某2某32(某2某3)22某2某302某2某302步骤：（1）作出函数y=某2某3的图象（2）将上述图象某轴下方部分以某轴为对称轴向上翻折（上方部分不变），即得y=|某2某3|的图象23四、课后练习一、选择题1.已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则此一次函数的解析式为()＝－某＝某＋12＝某－1＝－某＋12.已知函数f(某－1)＝某－3，则f(2)的值为()A.－2B.6C.1D.03.已知f(某)＝2，g(某)＝某＋1，则f(g(某))的表达式是()某－12某＋2某某2某＋2某f(1)＝0f(n＋1)＝f(n)＋3，n∈N2某2某－11某－1224.已知函数y＝某，则f(3)等于()D.二、填空题5.已知函数f(某)的图象如图所示，则此函数的定义域是，值域是.6.已知f(某)与g(某)分别由下表给出某f(某)14233241某g(某)13213442那么f(g(3))＝.4三、解答题7.解答下列问题：2(1)若f(某＋1)＝2某＋1，求f(某)；某(2)若函数f(某)＝，f(2)＝1，又方程f(某)＝某有唯一解，求f(某).a某＋b8.作下列各函数的图象：(1)y＝2某2－4某－3(0≤某＜3)；9.已知函数2某，(某≤－1)f(某)＝1，(－1＜某≤1)－2某，(某＞1)(1)求f(某)的定义域、值域；.＝|某－1|；作出这个函数的图象.5(2)y(2)课后作业参考答案一、选择题1.112.B3.A[f(g(某))＝＝2.]4.f(2)＝f(1＋1)＝f(1)＋3＝0＋3＝3，2(某＋1)－1某＋2某∴f(3)＝f(2＋1)＝f(2)＋3＝3＋3＝6.选二、填空题5.［-3,3］［-2,2］6.【答案】1由表可得g(3)＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝1.三、解答题7.【解析】(1)令t＝某＋1，则某＝t－1，∴f(t)＝2(t－1)＋1＝2t －4t＋3.∴f(某)＝2某－4某＋3.2(2)由f(2)＝1得＝1，即2a＋b＝2；2a＋b某11－b由f(某)＝某得＝某变形得某(－1)＝0，解此方程得：某＝0或某＝.又因为方程有唯a某＋ba某＋ba1－b1一解，所以＝0，解得b＝1，代入2a＋b＝2得a＝，a22某所以所求解析式为f(某)＝.某＋28.【解析】(1)∵0≤某＜3，∴这个函数的图象是抛物线2y＝2某－4某－3介于0≤某＜3之间的一段弧(如图(1)).某－1某≥1(2)所给函数可写成分段函数y＝1－某某＜1222是端点为(1,0)的两条射线(如图(2)).9.【解析】(1)f(某)的定义域为{某|某≤－1}∪{某|－1＜某≤1}∪{某|某＞1}＝{某|某≤－1或－1＜某≤1或某＞1}＝R，f(某)的值域为{y|y≤－2}∪{1}∪{y|y＜－2}＝{y|y≤－2或y＝1}，∴f(某)的定义域为R，值域为{y|y≤－2或y＝1}.(2)根据解析式分段作图如图6。
函数表示法 新课标 人教
三种表示方法的特点
解析法的特点：简明、全面地概括了变 量间的关系；可以通过用解析式求出任意 一个自变量所对应的函数值。 列表法的特点：不通过计算就可以直接 看出与自变量的值相对应的函数值。 图像法的特点：直观形象地表示出函数 的变化情况 ，有利于通过图形研究函数的 某些性质。
三种表示方法举例：
(2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与 f (x)=－7相符，由 2x+3 =－7得x=-5
易知其他二段均不符合f (x)=－7 。 故 x=-5
思考交流
1. 教材： 1、2
2. 以下叙述正确的有（ C）
3. (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集。值域是各段值域 的并集。
4. (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应法则，但它是 一个函数。
(1).解析法: ykx(k0),h1g2t
2
(2).列表法:
国内生产总值（单位： 亿元）
年份
1990
1991
1992 1993
生产总值 18598.4 21662.5 26651.9 34560.5
(3).图象法:
我国人口出生率变化曲 线
例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次 数学测试的成绩及班级平均分表：
解：设票价为里程为，由题意可知，自变量的取值范围是（0， 20］，由票价制定规则，可以得到函数解析式为：
Байду номын сангаас
问：此函数能用列表法表示吗？
注意：分段函数是一个函数，自变量所在区间变
化，对应关系也随之变化。
注意
1. 分段函数是一个函数,不要把它 误认为是“几个函数”;
2. 有些函数既可用列表法表示, 也可用图像法或解析法表示.
122函数的表示法(二)——映射的概念.doc
§1.2.2函数的表示法(二)——映射的概念一、内容与解析(―)内容：映射(二)的军析：⑴映射是两个集合4与B中，元素Z间存在的某种对应关系.说其是一种特殊的对应，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多” 的对应.⑵映射中只允许“一对一”与“多对一"这两种对应的特点，从A到B的映射f.A^B实际是要求集合人中的任一元素都必须对应于集合〃中唯一的元素•但对集合〃中的元素并无任何要求，即允许集合〃中的元素在集合A中可能有一个元素与之对应，可能有两个或多个元素与Z对应，也口J能没冇元素与Z对应.⑶映射屮对应法则/是有方向的，一般来说从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是不同的.(4)我们可以把对应关系看成一而镜子，集合A中的元素在这而镜子中存在一个像，一个相对应的元素，原像则是集合A中的元素.这样像和原像的概念就比较容易理解.并11映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的像，通过对应关系——即通过镜子总存在像，而且像是唯一的，不会“照”出许多的像來，这是映射区别于一般対应的本质特征.二、目标及其解析：(-)教学口标(1)了解映射的概念及表示方法；结合简单的对应图示，了解一一映射的概念.(2)解析：重点把握映射与函数的区别。
三、问题诊断分析函数与映射的区别与联系⑴函数包括三要素:定义域、值域、两者Z间的对应关系;映射包括三要索：集合A,集合B,以及A,BZ间的对应关系(2)函数定义中的两个集合为非空数集；映射中两个集合中的元素为任意元素,如人、物、命题等都可以.(3)在函数中，对定义域中的每一个兀，在值域中都冇唯一确定的函数值和它对应;在映射中, 对集合A中的任意元素a ,在集合B中都有唯一确定的像方和它对应.(4)在函数中，对值域中的每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的口变量的值和它对应;在映射中，对于集合B中的任一元索方,在集合A中不一定冇原像.(5)函数实际上就是非空数集A到非空数集B的一个映射f:AfB⑹通过右图我们可以清晰的看到这三者的关系.四、教学支持条件分析在木节课一次递推的教学屮，准备使用PowerPoint 2003o因为使用PowerPoint 2003, 有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学牛顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学牛尽快地进入对问题的分析当中。
新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第1课时函数的表示法课件北师大版必修第一册
列表法
量对应的函数值
对应的函数值
基础自测
1．已知 f(x)＝π(x∈R)，则 f(π2)等于
A．π2
B．π
C． π
D．不确定
[解析] 因为π2∈R,所以f(π2)＝π．
( B)
2．已知函数y＝f(x)的图象如图,则f(x)的定
义域是
( C)
A．(－∞,1)∪(1,＋∞)
B．R
C．(－∞,0)∪(0,＋∞)
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
列表法表示函数
例 1某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试求售出台数x与收 款数y之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法表示出来．
[ 分 析 ] 函 数 的 定 义 域 是 {1 , 2 , 3 , … , 10} , 值 域 是 {3 000 , 6 000 , 9 000,…,30 000},可直接列表、画图表示．分析题意得到表达y与x关系的解 析式,注意定义域．
[解析] (1)列表法：
x(台) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 18 21 24 27 30
y(元) 3 000 6 000 9 000 000 000 000 000 000 000 000
(2)图象法：如图所示： (3)解析法：y＝3 000x,x∈{1,2,3,…,10}．
第1课时 函数的表示法
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点 表示函数的三种方法
解析法 列表法 图象法
用__数__学__表__达__式____表示两个变量之间的对应关系 列出__表__格____来表示两个变量之间的对应关系 用__图__象____表示两个变量之间的关系
2.2函数的表示方法
§2 .2函数的表示方法【学习目标】1、了解函数的基本表示方法，分段函数；理解函数图像及解析法的意义，分段函数的意义；掌握解析式求法，描点法画出图像；2、通过函数图像的理解，体会数形结合；3、激情投入、高效学习、踊跃展示、大胆质疑。
体验自主学习的快乐和成功的愉悦。
【学习重点】：函数的图像法和解析法。
【学习难点】：求函数解析式及对分段函数的理解应用。
预习案 一、问题导学 1、函数的表示法 （1）列表法： （2）解析法： （3）图像法： 讨论：函数的三种表示方法各有什么优缺点？ 2、分段函数：如果函数y=f(x),x ∈A.根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么这样的函数称为分段函数。
二、预习自测 1、已知()x f 为二次函数，且()32-=f ，()72-=-f ，()30-=f ，求()x f 并作出图像。
2、由下表给出函数()x f y =，则))1((f f 等于（ ），))3((g f 等于（ ）。
x 12 3 4 5 ()x f 4 5 3 2 1x 12 3 ()x g3 2 1导学案装订线3、已知函数()⎩⎨⎧>-≤+=)0(,2)0(,12x x x x x f ，若()2=x f ，则x = 。
【我的疑惑】____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.探究案探究一：求函数的解析式1、 根据条件，求函数解析式（1）已知函数()x f 是一次函数，且49)]([+=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x x x f 24122-=-，求()x f ； （3）已知x x f xf =+)()1(2)0(≠x ，求()x f 。
新教材高中数学第二章函数2函数 函数的表示法第2课时分段函数课件北师大版必修第一册
[归纳提升] 求分段函数函数值的方法 (1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间． (2)然后代入该段的解析式求值,直到求出值为止． 当出现f[f(x0)]的形式时,应从内到外依次求值．
【对点练习】❶ 已知 f(x)＝xf[＋f(x3＋(x5＞)]1(x0≤)，10)，则 f(5)的值是
(A)
A．24
4．已知 f(x)＝xx＋ －44((xx＜ ＞00))，则 f[f(－3)]的值为___－__3__． [解析] ∵f(x)＝xx＋ －44((xx＜ ＞00))， ∴f(－3)＝1， ∴f[f(－3)]＝f(1)＝－3．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
分段函数的求值问题
x＋2(x≤－1)，
例 1 已知函数 f(x)＝x2(－1＜x＜2)， 2x(x≥2).
段函数是一个函数还是几个函数？ 提示：分段函数是一个函数而不是几个函数．
基础自测
1．函数 f(x)＝ xx－＋11的定义域为
A．[－1，1)∪(1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．(－1，1)∪(1，＋∞)
( A)
[解析] 由函数解析式得xx＋－11≥≠00，，解得 x≥－1，且 x≠1． 故函数的定义域为[－1，1)∪(1，＋∞)，选 A．
[分析] 先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函 数,再利用描点法作出函数图象．
1.2.2 函数的表示法
长江中学高一年级数学必修一导学案§1.2.2函数的表示法班级姓名第1课时课时目标1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．学习过程一. 自学导引函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系；(2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系；(3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．二、典型例题例1 某种笔记本的单价是5元，买x个笔记本需要y元，试用函数的三种表示方法表示函数y=f(x).思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？所有的函数都能用解析法表示吗？表格法：直观，准确地表示函数两个变量的关系；图形法：形象，直观地表示函数两个变量的关系；解析法：准确，全面地表示函数两个变量的关系.练习如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为xcm，面积为ycm2,把y表示为x的函数.例2（教科书第20页例4）练习P23：2当堂检测1．一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为()A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0)C．y＝50x(x>0) D．y＝100x(x>0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33、某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程。
在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列图形中符合该生走法的是①②③④第2课时课时目标1．了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题． 2．了解映射的概念及含义，会判断给定的对应关系是否是映射．学习过程一.自学导引 1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象． 2．映射的概念设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中 的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。
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§1.2.2 函数的表示法（二）
编制：陈伟锋 审核：高一备课组 2009年8月 高一年级 班级 姓名
学习目标
1. 了解映射的概念及表示方法；
2. 能解决简单函数应用问题. 学习重、难点
重难点： 映射的概念. 知识链接
1．函数的定义是 ． 2．函数的三要素指 ． 3．函数的表示方法有 、 、 ． 学习过程
一、知识点解析
一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对 于集合 A 中的_______________元素 x ，在集合 B 中都有_________________ 的元素 y 与之对应，那么就称对应 f : A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映 射（mapping ）．记作“ f : A →B ” 注：
① 映射的对应情况有__________、_________ ，一对多是映射吗？_________. ② 关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则 f.
③ 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱 化为“任意两个非空集合”， 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对 应关系，即映射. 二、典型例题
例1 用图示意两个集合 A 、B 的元素之间的一些对应关系，并判断是否为映射？ ① A = {1,4,9} , B ={-3,-2,-1 ,1,2,3} ，对应法则：开平方； ② A ={-3,-2,-1 ,1,2,3} ， B = {1,4,9} ，对应法则：平方； ③ A ={30°,45°,60°} , B ={1, 22, 2
3 ,21}, 对应法则：求正弦.
例2 探究从集合 A 到集合 B 一些对应法则，哪些是映射？如果是从 B 到 A 呢？ （1）A={P | P 是数轴上的点}，B=R ； （2）A={三角形}，B={圆}；
（3）A={ P | P 是平面直角体系中的点}，B ={(x, y) | x ∈R, y ∈R} ； （4）A={ x ∣ x 是新华中学的班级}，B= { x ∣x 是新华中学的学生}.
当堂检测
练1.下列对应是否是集合 A 到集合B 的映射？
（1）A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则 f : x →2x + 1 ； （2）A = N* ,B = {0,1} ，对应法则 f : x → x 除以 2得的余数； （3）A = N ， B = {0,1,2} ， f : x →x 被 3 除所得的余数； （4）设X={1,2,3,4},Y={1,
21 , 3
1
, 41 }， f : x →x 1； （5） A ={x | x > 2, x ∈N}, B = N ， f : x →小于 x 的最大质数.
（6）A ={1,2,3,4} , B = { 2,4,6,8} ，对应法则是“ 乘以 2”； （7）A=R*，B=R ，对应法则是“求算术平方根”；
（8） A = { x | x ≠ 0} , B =R ，对应法则是“求倒数”.
练 2. 已知集合 A = { a,b} , B = {- 1,1} , 从集合 A 到集合 B 的映射，试问能构造 出多少映射？
学习小结
1. 映射的概念；
2. 判定是否是映射主要看两条：一 条是 A 集合中的元素都要有对应，但B 中元素未必要有 对应；二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式．
作业布置
1. 在映射 f : A → B 中， A = B = {(x, y) | x, y ∈R} ，且 f : (x, y)→(x - y, x + y ) ，则 与 A 中的元素(-1 ,2)对应的 B 中的元素为（ ）. A. (- 3,1) B. (1,3) C. (-1,- 3) D. (3,1)
2.下列对应 f : A → B ：
① A = R, B = { x ∈R x > 0} , f : x → x ; ② A = N, B = N* , f : x →∣x - 1∣;
③ A = { x ∈R ∣ x > 0} ,B = R, f : x →2
x .
不是从集合A 到 B 映像的有（ ）.
A. ①②③
B. ①②
C. ②③
D. ①③ 3. 已知f(
x 1)=x
11， 则 f (x ) =______________ . 4. 已知 f(x)= 2
x - 1，g(x)= x + 1 则 f[g(x)] = ________________.。