流体力学 第0章 场论
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任意两个正交坐标轴单位向量的点积
1 i j ei e j ij 0 i j
i, j 1,2,3
11 22 33 1; 23 32 12 21 13 31 0
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
（3）Ricci置换符号：任意两个正交单位向量的叉积
＝（r, t )
向量 ( vector ) ：3个元素表示的既有大小又有方向的量，
B B(r, t )＝B1i＋B2 j＋B3k
二阶张量（tensor of 2nd order）：9个分量表示的量。 n阶张量（tensor of nth order）：3n个分量表示的量。
第0章 预备知识（场论）
0.5 向量场的环量和旋度
1 环量
a d l a el d l
l l
江 苏 科 技大 学
2 旋度
i rota x ax j k y z a y az
a
0.5 向量场的环量和旋度
3 无源场 有势场 调和场
（1）无源场： div a 0 （2）有势场 ： rot a 0
'
0.4 向量场的流量及散度
1 流量（通量）
Q a d s a n d s a n d s
S S S
江 苏 科 技大 学
a
S
n
2 散度
(div a) M lim
a d s
S
l 图0.4.1 通量
n
V M
V
a
M
a x a y a z (div a) (i j k ) a a x y z x y z
流体力学
江 苏 科 技大 学
参考书： 《船舶流体力学》，夏国泽编著，华中科技大学出版社 《流体力学》（上、中、下），丁祖荣编著，高等教育 出版社 《流体力学》（上、下），周光坰等编著，北京-高等 教育出版社 《水动力学基础》，刘岳元等编，上海交通大学出版社 《流体力学理论例题与习题》，朱之墀，王希麟编著， 清华大学出版社
c1
c2
c3
图 0.1.1 等值面
0.1 标量、向量、张量及场的概念
江 苏 科 技大 学
0.1 标量、向量、张量及场的概念
（2）向量场的向量线
江 苏 科 技大 学
所谓向量线，是指线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。 向量线方程根据定义可以表示为：a dr 0
e l i cos j cos k cos
G i j k x y z
G el l
0.3 标量场的方向导数和梯度
grad i j k x y z
江 苏 科 技大 学
（1）定义：
是标量场不均匀度的量度，它表示了标量场中的一个向量场。 （2）性质： 1）梯度 grad 描述了场内任一点M领域内函数 的变化状况，它 是标量场不均匀性的量度； 2）梯度 grad 的方向与等位面的法线重合，且指向 增长的方向， 大小是n方向上的方向导数 ； 3）梯度 grad 在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数； 4）梯度 grad 的方向，即等位面的法线方向是函数 变化最快的 方向；
i j a2 b2 a1 a2 b2 c2 k a3 b 3 a3 b3 c3
（3） a b a1
b1
（4） a (b c) b1
c1
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
江 苏 科 技大 学
（5） a (b c) (a b) c c (a b) (c a) b （6） a (b c) (a c) b-(a b)c
（7） (a b) (c d ) (a c)(b d ) (b c)(a d )
3 向量分量的坐标转换 e a ai ei ai i
y
i j i j
y
a
x
1 e i e j e i e j ij 0
z
o
流体力学
江 苏 科 技大 学
课程考核采用考试，成绩根据以下三个部分综合评定： 平时成绩（签到和作业）：15% 签到每次3分,3×32+4=100 实验成绩：15 % 期末考试：70 %
第0章 预备知识（场论）
场论是流体力学的数学基础。 1 标量、向量、张量及场的概念
江 苏 科 技大 学
标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量，
由此可得如下六个关系式：
(i, j 1, 2, 3)
1112 21 22 31 32 0 向量分量之间的转换关系： 1213 22 23 32 33 0 1311 23 21 33 31 0 ai ai (ej ei ) ai ji 2 2 2 11 21 31 1 a a (e e ) a (i, j 1,2,3) j i j i ij 2 2 2 i 12 22 32 1 2 2 2 13 23 33 1
流体力学
江 苏 科 技大 学
1998年12月获江苏省“青蓝”工程优秀青年骨干 教 师荣誉称号 1999年09月被学校评为师德先进个人 2000年05月被学校评为十佳青年 2002年09月—2003年8月经国家留学基金委选派， 在英国纽卡斯尔大学海洋技术学院进行为期一年 的进修、访问 2006年12月被评为江苏省“青蓝工程”中青年学 术带头人培养对象 2007年04月被选拔为江苏省“333高层次人才培养 工程”首批中青年科学技术带头人 2007年09月获江苏省优秀教育工作者荣誉称号
0.1 标量、向量、张量及场的概念
2 场的几何描述
（1）标量场的等值面（线）
江 苏 科 技大 学
(r, t ) C (t ) t时刻标量函数 (r, t ) 值相同的点组成的曲面称等值面。
表示标量场的分布。取一系列不同的值，得到一组与之对应得等位面， 整个流场被等位面分成很多区域。从等位面的稀疏程度可以看出标量函 数的变化状况。密的地方变化快，疏的地方变化慢。函数值的改变主要 在等位面的法线方向发生，在切线方向函数值不发生变化。在气象上的 等压线、等温线等。
过M0点可以作无穷多个方向，每个方向都有对应的方向导数。各 个方向上的方向导数并不是相互独立的。只要知道M点的等位面 法线方向上的方向导数 ,其他方向的方向导数都可以通过 n n 以及方向n和s表示出来。
cos n, s s n
0.3 标量场的方向导数和梯度
图0.4.2 散度
散度为向量场中定为的一个标量场，其代数值的正负代表有源 或有汇，若为零，表示该物理量的场为无源场。
0.4 向量场的流量及散度
3 散度的基本运算公式
div(ca) c div a div(a b) div a div b
江 苏 科 技大 学
div(a) div a grad a
z
x
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
新老坐标系单位向量之间的关系：
江 苏 科 技大 学
e 1 11e1 12 e 2 13e 3 e2 21e1 22e 2 23e 3 e i aije j , ei a jie j e e e e 3 31 1 32 2 33 3
江 苏 科 技大 学
场的概念：设在空间中的某个区域内或全部区域内定义某一个函数， 则称定义在此空间区域内的函数为场。 场是具有物理量的空间。
场的研究方法：是将物理量作为空间点位置 r 和时间t的函数
F(r; t ) F( x, y, z; t )
参变量 如果物理量为标量，即1个元素表示的只有大小没有方向的量，则为 标量场，如温度场、密度场、压强场。如果物理量为向量，即3个元 素表示的既有大小又有方向的量，则为向量场，如速度场、加速度 场、电磁场等。如果物理量为张量，则称为张量场，如应力场和应 变场等。
0.3 标量场的方向导数和梯度
1 方向导数
方向导数的表达式：
江 苏 科 技大 学
M M0
el cos i cos j cos k
l lim
M0
图0.3.1 方向导数
(M ) (M 0 )
M0M
0
cos cos cos x y z
(1) Einstein求和符号：约定在同一项中如有两个自由指标 相同时，就表示要对这个指标从1到3求和。
ai ei a1 e1 a2 e2 a3 e3 a
例：k1ai bi
k2e j e j k1 (a1b1 a2b2 a3b3 ) 3k 2
（2）Kronecker克罗内克尔符号
Biblioteka Baidun
0.3 标量场的方向导数和梯度
（3）梯度运算的基本公式
① ② ③ ④ ⑤
江 苏 科 技大 学
gradc
（ c 为常数） （c为常数）
grad(c ) cgrad
grad( ) grad grad grad( ) grad grad
grad f ( ) f ( ) grad
江 苏 科 技大 学
ei e j ijk ek
0 i, j , k中有2个或3个自由指标值相同 1 i, j , k 123 ， 231 ， ，偶次置换 1 i, j , k 132,，奇次置换
ijk
ijk 中任意两个自由指标对换后，对应的分量值相差一个 负号。 置换符号与Kronecker符号之间的关系 ：
dx dy dz ax a y az
向量线族描述了向量在场中的分布情况，一般互不相交。 a为速度向量，则上式表示流线方程；a为磁场强度向量，则上式 表示磁力线方程
0.1 标量、向量、张量及场的概念
江 苏 科 技大 学
M z
y r
x
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
1 向量运算符号规定
江 苏 科 技大 学
2 梯度
江 苏 科 技大 学
若 在M点可微，那么 在M点任何方向上的方向导数存在。
cos(l ˆ , x) cos(l ˆ , y) cos(l ˆ , z) l x y z cos cos cos x y z
ijk klm il jm im jl
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
2 向量运算的常用公式
（1 ） （2 ）
江 苏 科 技大 学
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k a b a1b1 a2b2 a3b3
流体力学
江 苏 科 技大 学
Fluid Mechanics
主讲人：倪永燕 朱仁庆
船舶与海洋工程学院
流体力学
江 苏 科 技大 学
倪永燕, 讲师，工学博士。
2008年6月毕业于江苏大学流体
机械及工程专业，获工学博士学位 。 主讲流体力学。
流体力学
江 苏 科 技大 学
朱仁庆, 教 授，工学博士。 自1989年４月以来，先后主讲了《流体学》、《工程 流体力学》、《水力学》、《计算流体力学》、《船舶概 论》、《船舶阻力与推进》和《专业英语》7门本科生课 程，《高等流体力学》、 《粘性流体力学》 、《计算流 体力学》、《水弹性力学》和《流体力学中的现代数值方 法》 5门硕士研究生课程。 其中《流体力学》在1998、2004和2005年获学校优秀教学 质量奖，学校第六届青年教师讲课比赛一等奖。主持的 “流体力学课程群”2005年获校级优秀课程和校课程建设 成果一等奖。
1 i j ei e j ij 0 i j
i, j 1,2,3
11 22 33 1; 23 32 12 21 13 31 0
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
（3）Ricci置换符号：任意两个正交单位向量的叉积
＝（r, t )
向量 ( vector ) ：3个元素表示的既有大小又有方向的量，
B B(r, t )＝B1i＋B2 j＋B3k
二阶张量（tensor of 2nd order）：9个分量表示的量。 n阶张量（tensor of nth order）：3n个分量表示的量。
第0章 预备知识（场论）
0.5 向量场的环量和旋度
1 环量
a d l a el d l
l l
江 苏 科 技大 学
2 旋度
i rota x ax j k y z a y az
a
0.5 向量场的环量和旋度
3 无源场 有势场 调和场
（1）无源场： div a 0 （2）有势场 ： rot a 0
'
0.4 向量场的流量及散度
1 流量（通量）
Q a d s a n d s a n d s
S S S
江 苏 科 技大 学
a
S
n
2 散度
(div a) M lim
a d s
S
l 图0.4.1 通量
n
V M
V
a
M
a x a y a z (div a) (i j k ) a a x y z x y z
流体力学
江 苏 科 技大 学
参考书： 《船舶流体力学》，夏国泽编著，华中科技大学出版社 《流体力学》（上、中、下），丁祖荣编著，高等教育 出版社 《流体力学》（上、下），周光坰等编著，北京-高等 教育出版社 《水动力学基础》，刘岳元等编，上海交通大学出版社 《流体力学理论例题与习题》，朱之墀，王希麟编著， 清华大学出版社
c1
c2
c3
图 0.1.1 等值面
0.1 标量、向量、张量及场的概念
江 苏 科 技大 学
0.1 标量、向量、张量及场的概念
（2）向量场的向量线
江 苏 科 技大 学
所谓向量线，是指线上每一点的切线方向与该点的矢量方向重合。 向量线方程根据定义可以表示为：a dr 0
e l i cos j cos k cos
G i j k x y z
G el l
0.3 标量场的方向导数和梯度
grad i j k x y z
江 苏 科 技大 学
（1）定义：
是标量场不均匀度的量度，它表示了标量场中的一个向量场。 （2）性质： 1）梯度 grad 描述了场内任一点M领域内函数 的变化状况，它 是标量场不均匀性的量度； 2）梯度 grad 的方向与等位面的法线重合，且指向 增长的方向， 大小是n方向上的方向导数 ； 3）梯度 grad 在任一方向s上的投影等于该方向的方向导数； 4）梯度 grad 的方向，即等位面的法线方向是函数 变化最快的 方向；
i j a2 b2 a1 a2 b2 c2 k a3 b 3 a3 b3 c3
（3） a b a1
b1
（4） a (b c) b1
c1
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
江 苏 科 技大 学
（5） a (b c) (a b) c c (a b) (c a) b （6） a (b c) (a c) b-(a b)c
（7） (a b) (c d ) (a c)(b d ) (b c)(a d )
3 向量分量的坐标转换 e a ai ei ai i
y
i j i j
y
a
x
1 e i e j e i e j ij 0
z
o
流体力学
江 苏 科 技大 学
课程考核采用考试，成绩根据以下三个部分综合评定： 平时成绩（签到和作业）：15% 签到每次3分,3×32+4=100 实验成绩：15 % 期末考试：70 %
第0章 预备知识（场论）
场论是流体力学的数学基础。 1 标量、向量、张量及场的概念
江 苏 科 技大 学
标量（scalar）：1个元素表示的只有大小没有方向的量，
由此可得如下六个关系式：
(i, j 1, 2, 3)
1112 21 22 31 32 0 向量分量之间的转换关系： 1213 22 23 32 33 0 1311 23 21 33 31 0 ai ai (ej ei ) ai ji 2 2 2 11 21 31 1 a a (e e ) a (i, j 1,2,3) j i j i ij 2 2 2 i 12 22 32 1 2 2 2 13 23 33 1
流体力学
江 苏 科 技大 学
1998年12月获江苏省“青蓝”工程优秀青年骨干 教 师荣誉称号 1999年09月被学校评为师德先进个人 2000年05月被学校评为十佳青年 2002年09月—2003年8月经国家留学基金委选派， 在英国纽卡斯尔大学海洋技术学院进行为期一年 的进修、访问 2006年12月被评为江苏省“青蓝工程”中青年学 术带头人培养对象 2007年04月被选拔为江苏省“333高层次人才培养 工程”首批中青年科学技术带头人 2007年09月获江苏省优秀教育工作者荣誉称号
0.1 标量、向量、张量及场的概念
2 场的几何描述
（1）标量场的等值面（线）
江 苏 科 技大 学
(r, t ) C (t ) t时刻标量函数 (r, t ) 值相同的点组成的曲面称等值面。
表示标量场的分布。取一系列不同的值，得到一组与之对应得等位面， 整个流场被等位面分成很多区域。从等位面的稀疏程度可以看出标量函 数的变化状况。密的地方变化快，疏的地方变化慢。函数值的改变主要 在等位面的法线方向发生，在切线方向函数值不发生变化。在气象上的 等压线、等温线等。
过M0点可以作无穷多个方向，每个方向都有对应的方向导数。各 个方向上的方向导数并不是相互独立的。只要知道M点的等位面 法线方向上的方向导数 ,其他方向的方向导数都可以通过 n n 以及方向n和s表示出来。
cos n, s s n
0.3 标量场的方向导数和梯度
图0.4.2 散度
散度为向量场中定为的一个标量场，其代数值的正负代表有源 或有汇，若为零，表示该物理量的场为无源场。
0.4 向量场的流量及散度
3 散度的基本运算公式
div(ca) c div a div(a b) div a div b
江 苏 科 技大 学
div(a) div a grad a
z
x
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
新老坐标系单位向量之间的关系：
江 苏 科 技大 学
e 1 11e1 12 e 2 13e 3 e2 21e1 22e 2 23e 3 e i aije j , ei a jie j e e e e 3 31 1 32 2 33 3
江 苏 科 技大 学
场的概念：设在空间中的某个区域内或全部区域内定义某一个函数， 则称定义在此空间区域内的函数为场。 场是具有物理量的空间。
场的研究方法：是将物理量作为空间点位置 r 和时间t的函数
F(r; t ) F( x, y, z; t )
参变量 如果物理量为标量，即1个元素表示的只有大小没有方向的量，则为 标量场，如温度场、密度场、压强场。如果物理量为向量，即3个元 素表示的既有大小又有方向的量，则为向量场，如速度场、加速度 场、电磁场等。如果物理量为张量，则称为张量场，如应力场和应 变场等。
0.3 标量场的方向导数和梯度
1 方向导数
方向导数的表达式：
江 苏 科 技大 学
M M0
el cos i cos j cos k
l lim
M0
图0.3.1 方向导数
(M ) (M 0 )
M0M
0
cos cos cos x y z
(1) Einstein求和符号：约定在同一项中如有两个自由指标 相同时，就表示要对这个指标从1到3求和。
ai ei a1 e1 a2 e2 a3 e3 a
例：k1ai bi
k2e j e j k1 (a1b1 a2b2 a3b3 ) 3k 2
（2）Kronecker克罗内克尔符号
Biblioteka Baidun
0.3 标量场的方向导数和梯度
（3）梯度运算的基本公式
① ② ③ ④ ⑤
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gradc
（ c 为常数） （c为常数）
grad(c ) cgrad
grad( ) grad grad grad( ) grad grad
grad f ( ) f ( ) grad
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ei e j ijk ek
0 i, j , k中有2个或3个自由指标值相同 1 i, j , k 123 ， 231 ， ，偶次置换 1 i, j , k 132,，奇次置换
ijk
ijk 中任意两个自由指标对换后，对应的分量值相差一个 负号。 置换符号与Kronecker符号之间的关系 ：
dx dy dz ax a y az
向量线族描述了向量在场中的分布情况，一般互不相交。 a为速度向量，则上式表示流线方程；a为磁场强度向量，则上式 表示磁力线方程
0.1 标量、向量、张量及场的概念
江 苏 科 技大 学
M z
y r
x
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
1 向量运算符号规定
江 苏 科 技大 学
2 梯度
江 苏 科 技大 学
若 在M点可微，那么 在M点任何方向上的方向导数存在。
cos(l ˆ , x) cos(l ˆ , y) cos(l ˆ , z) l x y z cos cos cos x y z
ijk klm il jm im jl
0.2 向量的基本运算（直角坐标系）
2 向量运算的常用公式
（1 ） （2 ）
江 苏 科 技大 学
a b (a1 b1 )i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k a b a1b1 a2b2 a3b3
流体力学
江 苏 科 技大 学
Fluid Mechanics
主讲人：倪永燕 朱仁庆
船舶与海洋工程学院
流体力学
江 苏 科 技大 学
倪永燕, 讲师，工学博士。
2008年6月毕业于江苏大学流体
机械及工程专业，获工学博士学位 。 主讲流体力学。
流体力学
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朱仁庆, 教 授，工学博士。 自1989年４月以来，先后主讲了《流体学》、《工程 流体力学》、《水力学》、《计算流体力学》、《船舶概 论》、《船舶阻力与推进》和《专业英语》7门本科生课 程，《高等流体力学》、 《粘性流体力学》 、《计算流 体力学》、《水弹性力学》和《流体力学中的现代数值方 法》 5门硕士研究生课程。 其中《流体力学》在1998、2004和2005年获学校优秀教学 质量奖，学校第六届青年教师讲课比赛一等奖。主持的 “流体力学课程群”2005年获校级优秀课程和校课程建设 成果一等奖。