专题三 三角函数及应用

专题三 三角函数及应用

一、考纲要求：

1、理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。题型主要有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现。

2、命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识点解决问题。

二、考点知识 1、三角函数值

2、三角函数与直角三角形

3、三角函数与勾股定理

4、三角函数和图形结合（与四边形、相似、圆结合）

5、三角函数与实际应用（测量问题、坡度问题、航海问题、方案设计问题等）

题型一：求三角函数值 例1.（直接求）(1)在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是 .

(2)在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则AB

AC

的

值是 .

(3)在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若4

3

tan =A ，则sinA ＝ .

例2.(1)△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则cosB ＝ .

(2)在△ABC 中，∠B ＝300，tanC ＝2，AB ＝2，则BC 的长是 . 例3.(1)某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的高度为（ ）

A 、

βsin 100米 B 、βsin 100米 C 、β

cos 100

米 D 、βcos 100米 (2)如下左图，重庆市“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮，以美化环境。已知这种草皮每平方米售价a 元，则购买这种草皮至少需要（ ）

A 、a 3450元

B 、a 3225元

C 、a 3150元

D 、a 3300元

120

选择第4题图

30m

20m

N

M

G E D C B A 变式1.如右图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米(结果用含α的三角函数表示).

例4.（转化求）如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，若1tan 3

AEN ∠=，DC+CE=10．（1）求△ANE 的面积； （2）求sin ENB ∠的值．

题型二：三角函数计算

例1.计算： （1

)

13tan30-︒； (2)0

00045tan 60cos 30tan 30sin ⋅++；

例2.△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，试确定△ABC 的形状。

A B 45°30°C B

P 例3.(1)若α为锐角，化简αα2sin sin 21+-＝ 。

cos351︒-=

题型三：三角函数应用

例1.如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地须经C 地沿折线A —C —B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶．已知AC=20km ，∠A=30°，∠B=45°，则隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走多少千米？（参考数据：7.13,4.12≈≈）

例2.如图，李明在南北方向的一条笔直的公路上观察建筑物P ，他于A 处测得∠PAC=30°，前进100米到达B 处测得∠PBC=45°，你能算出建筑物P 到公路的距离PC 的长吗？

︒30︒15.

A B

C D 变式1.如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为30°的方向飞行，半小时后到达C 处，这时气球上的人发现，在A 处的正西方向有一处着火点B ，5分钟后，在D 处测得着火点B 的俯角是15°，求热气球升空点A

与着火点B 的距离．(sin15°

°保留根号)

变式2.如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。

450

60

例1图 F E

D C B A

例3.海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?

变式2.如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均受到影响.（1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.

（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?（供选用数据：2≈1.4，3 ≈1.7）

东

A

25°

55°60°

C

F

D

E

A

例4