中考数学专题最短距离问题

中考数学专题最短距离问题

考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

问题原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”

几何基本模型：

条件：如下左图，A、A是直线A同旁的两个定点．

问题：在直线A上确定一点A，使A的值最小．

方法：作点A关于直线A的对称点A，连结A交A于

点A，则A的值最小

模型转化应用：

在锐角三角形中探求线段和的最小值

如图1，在锐角三角形ABC中，AB=A,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为．

在等边三角形中探求线段和的最小值

（2010 山东滨州）如图2所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为 .

在直角梯形中探求线段和的最小值

（2010江苏扬州）如图3，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．

在等腰梯形中探求线段和的最小值

如图4，等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则

PA+PB的最小值为．

在菱形中探求线段和的最小值

如图5菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB 的最小值为．

在正方形中探求线段和的最小值

如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则

DN+MN的最小值为．

（2009达州）如图7，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为cm．（结果不取近似值）．

在圆背景下探求线段和的最小值

（2010年荆门）如图8，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为________

在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值

（2010山东济宁）如图9，正比例函数A的图象与反比例函数A在第一象限的图象交于A点，过A点作x 轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1.如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小,则点P坐标为_________.

在二次函数背景下探求线段和的最小值

（2010年玉溪改编）如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，3），△AOB的面积是3.在过点A、O、B的抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值

（2010年天津）如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x 轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

经典考题

如图1，正方形A的边长为2，A为A的中点，A是A上一动点．连结A，由正方形对称性可知，A与

A关于直线A对称．连结A交A于A，则A的最小值是_______.

如图2，A，A是A内一点，A，A分别是A上的动点，则A周长的最小值为_________．

△是等边三角形，点E在正方形A B C D (2009年抚顺)如图3所示，正方形A B C D的面积为12，A B E

的和最小，则这个最小值为（）

内，在对角线AC上有一点P，使P D P E

A．23B．26C．3 D6

(2009年鄂州) 如图3所示，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC

上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（）

A、A

B、A

C、A

D、3

如图，四边形A是正方形，A，A为边A的中点，A为A上的一个动点，则A的最小值为

____________.

如图，若四边形A是菱形,A，A，A为边A上的一个动点，A为A上的一个动点，则A的最小值为

_____________.

如图，若四边形A是矩形，A，A，A为边A上的一个动点，A为A上的一个动点，则A的最小值为

_____________.

（2009陕西）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________．

如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。

如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为_______。

如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为．

长方体ABCD—A中，AB=4，A=2，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫爬行距离最短为___________

景泰蓝厂的工人师傅要给一个底面半径为2，高为10的圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，金线的用量最少为________.

有一底面半径为3，高为4的圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B 为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线长为________．

如图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，则爬行路程总长是______.

（2011湖北荆州）如图，长方体的底面边长分别为2A和4A，高为5A.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .