2020年北师版数学必修二 1.4

命题方向5 ⇨多线共点问题
β∩γ＝a典，例γ∩如5 α图＝所b.示若，直三线个a和平b面不α平，行β，．γ求两证两：相a交，于b，三c条三直条线直，线即必α过∩β同＝一c， 点．
[思路分析] 直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一 交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．
〔跟踪练习4〕 一条直线与三条平行直线都相交．求证：这四条直线共面．
已知：如图所示，a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C． 求证：直线a，b，c，l共面． [解析] 因为a∥b，所以a和b确定一个平面α． 因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l α． 又a∥c，所以a和c确定一个平面β.同理l β． 即l和a既在α内又在β内，且l与a相交，故α，β重合，即直线a，b，c，l共 面．
[思路分析] 方法一： 方法二：
[解析] 方法一：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α． 又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC． 由公理3知点P在平面ABC与平面α的交线上． 同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上． ∴P、Q、R三点共线．
方法二：∵AP∩AR＝A． ∴直线AP与直线AR确定平面APR． 又 ∵AB∩α＝P，AC∩α＝R ∴平面APR∩平面α＝PR． ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.又Q∈α ∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
③两条______相_交_直线可以确定一个平面．
公 个
理 平
2面内如(即果直一平线条行在直平线面上内的)_．_
__
_
_
_
__
__
_
_
_
_
_
__
__
，
那
么这
条
直线
在
这
两点在一个平面内
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 ________________________．
公 理 4一条过该点的公共直线
有公共点
4．空间图形的公理
公理1 过__________________________，有且只有一个平面(即可以 确定一个平面)． 不在同一条直线上的三点
①____________________________可以确定一个平面．
② 两 条 _ _ _ _一_ _条_直_线直和线这条可直以线外确一定点一 个 平 面 ．
平行于同一条直线的两条直线________．
定理
平行
空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 ______________．
相等或互补
1．线段 AB 在平面 α 内，则直线 AB 与平面 α 的位置关系是
A．AB α
B．AB∈α
C．由线段 AB 的长短而定
D．以上都不对
[解析] 由公理1可知选项A正确．
一般情况下，门的一端有两个转轴，可以绕轴打开， 另一端还有一个锁(古代为木制)．一旦上锁门就可以起到分隔的作用，这是非常 浅显的道理，但却应用了我们数学上的“不在同一条直线上的三点确定一个平 面”这条性质——也就是今天我们要学习的内容．
1．空间两条直线的位置关系
(1)直线a与b在同一平面内，但______________，这样的两条直线叫作平
行直线；
没有公共点
(2)直线a与b__________________，这样的两条直线叫作相交直线；
( 3 ) 直 线 a 与 b _ _ _ _ _只_ _有_一_个_公_共_ _点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 这 样 的 两 条 直 线 叫 作 异 面 直
线．
不同在任何一个平面内
[思路分析] 解答本题关键是找出图中基本元素点、直线、平面，然后再仔 细分析点与直线、点与平面、直线与平面的位置关系，最后再用符号语言 写出．
[解析] 图(1)可以用几何符号表示为： α∩β＝AB，a α，b β，a∥AB，b∥AB． 即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内， 直线 a 平行于直线 AB，直线 b 平行于直线 AB． 图(2)可以用几何符号表示为：α∩β＝MN，△ABC 的三个顶点满足条件 A∈ MN，B∈α，C∈β，B∉MN，C∉MN． 即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN，△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上，点 B 在 α 内但不在直线 MN 上，点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上．
1C
1D
1中
，
设
线
段
A
1C
与
平
面
A
B
C
1
D
1
交
于
Q
，
[解析] 如题图，∵D1∈平面ABiblioteka BaiduC1D1
D1∈平面A1D1CB，B∈平面ABC1D1
B∈平面A1D1CB．
∴平面ABC1D1∩平面BCD1A1＝BD1．
∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，且A1C 平面BCD1A1
∴Q∈平面BCD1A1，而Q∈平面ABC1D1．
『规律总结』 1.同一法证明直线共面的步骤： ①证明其中两条直线平行或相交，即这两条直线确定一个平面α； ②证明其余直线上均有两点在平面α内，即其余直线也在平面α内，也就是 证明了这些直线共面． 2．重合法证明直线共面的步骤： ①证明这些直线确定若干个平面； ②利用公理及其推论证明这些平面重合，从而证明了这些直线共面．
⑤直线BC与A1B1异面．
A．①③④
B．①②⑤
C．①③⑤
D．②③④⑤
[思路分析] 根据图形直接作出判断．
[解析] ①中，点M是直线AC与BD的交点，点M在直线AC上，点B显然在
直 公
线 共
点A1，B1互外相，平正行确，；正②确中；，④直中线，AC直与线A与1D平1异面面的，位错置误关；系③中中没，有两“平异面面没”有，
( A)
2．异面直线是
()
A．空间不相交的两条直线
D
B．分别位于两个平面内的直线
C．平面内的一条直线与这个平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[解析] 根据异面直线的概念可知．
3．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是 ()
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a β
命题方向2 ⇨空间点、线、面的位置关系
M
，
则
下典列例说已2 法知中长正方确体的AB是C
D
－
A
1
B
1C
1D1， (
如 )
图
所
示
，
A
C
与BD相交于点
①点M在直线AC上，点B在直线A1B1外；
C
②直线AC与BD相交，直线AC与A1D1相交；
③平面AA1B1B与平面D1DCC1平行；
④直线AC与平面A1B1C1D1异面；
互动探究学案
命题方向1 ⇨用图形符号语言表示点、线、面之间的位置关系
典例
如图 1
所示，
写出图形中
的点、直
线和平面
之间的关系
．
图(1)可以用几何符号表示为：_α_∩__β_＝__A_B_，__a__α_，__b___β_，__a_∥__A_B_，__b_∥__A_B___． 图(2)可以用几何符号表示为：_α_∩__β_＝__M__N_，___△__A_B_C__的__三__个__顶___点__满__足__条__件__ _A_∈__M_N__，__B_∈__α_，__C_∈__β_，__B__∉_M_N__，__C_∉_M__N_________．
[解析] 三条直线1或在3 同一平面内时确定一个平面，三条直线不在同一个平面 内时确定三个平面．
5 ． 若 直 线 a 不 平 行 于 平 面 α ， 且 a ⃘ α ， 则 下 列 结 论 正 确 的 是 _ _ _ _②_ _ ． ①平面α内的所有直线与a异面； ②平面α内不存在与a平行的直线； ③平面α内存在唯一的直线与a平行； ④平面α内的直线与a都相交． [解析] 由已知得a与α相交，因此①③④错误，②正确．
『规律总结』 1.解答本题的关键是正确理解点、线、面表示的含义，点 表示元素，线、面都是点的集合．
2．符号语言是数学中常用的一种语言，熟练掌握它与自然语言图形语言之 间的转化，是解决几何问题的基础．
〔跟踪练习1〕 本例若把图形改为如下图所示①②，请用符号语言表示其中的点、线、面 的位置关系．
[解析] ①α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B． ②α∩β＝l，a α，b β，a∩l＝P，b∩l＝P．
2．空间直线与平面的位置关系 (1)直线与平面有________________，我们称这条直线在这个平面内；
无数个公共点
(2)直线和平面只有______________，称这条直线与这个平面相交； ( 3 ) 直 线 和 平 面 _ _ _ _ _ _ _ _一_个_ _公_共_点_ ， 称 这 条 直 线 和 这 个 平 面 平 行 ． 3．空间平面与平面的没位有公置共关点系 (1)两个平面______________，这样的两个平面叫作平行平面； ( 2 ) 两 个 平 面 不 重 合没，有但公共_ _点_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 这 样 的 两 个 平 面 叫 作 相 交 平 面 ．
∴Q在两平面的交线BD1上．
∴B、Q、D1三点共线．
命题方向4 ⇨多线共面问题
证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．
[思路
典例 分析]
4
先选取
两条直
线构造一
个平面，
然后证明
其他直线
都在这个
平
面上．
[解析] 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C． 求证：直线l1、l2、l3在同一平面内． 证法一：(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α． ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2 α，∴B∈α． 同理可证C∈α．
平面APR．
『规律总结』 证明多点共线的方法是利用公理3，证明这些点都是两个平 面的公共点，则必在这两个平面的交线上，方法二的思想是先由点P、R确
定一条直线，证Q点也在这条直线上，这也是证明共点、共线、共面问题 的常用方法．
〔跟踪练习3〕
如 求
图 证
， ：
在B、正Q方、体DA1三BC点D共－线A1．B
[解析] ∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a γ，b γ． 由于直线a和b不平行，∴a，b必相交 设a∩b＝P，则P∈a，P∈b． ∵a β，b α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c ∴P∈c，即交线c经过点P． ∴a，b，c三条直线相交于同一点．
『规律总结』 证空间中三线共点有如下两种方法：
直线AC与平面A1B1C1D1平行，错误；⑤正确．选C．
『规律总结』 本题主要考查长方体模型中点、线、面之间的位置关系， 做题时，不要主观臆断，要认真观察模型，体会其空间关系．
〔跟踪练习2〕 已知正四棱锥P－ABCD如图所示，试判断下列点、线、面之间的位置关系： (1)点P与平面ABCD； (2)直线PC与AB，直线AB与CD； (3)平面PCD与平面PCB，平面PAB与平面PCD．
C
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β⇒α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、 β重合
[解析] ∵A∈α，A∈β.∴A∈α∩β由公理3知α∩β为经过A的一条直线而不 是A．故α∩β＝A写法错误．
4．空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可以确定 平面的个数为________．
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．
证法二：(重合法) ∵l1∩l2＝A，∴l1，l2 确定一个平面 α． ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3 确定一个平面 β． ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α． ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β． 同理可证 B∈α，B∈β，C∈α，C∈β． ∴不共线的三个点 A，B，C 既在平面 α 内，又在平面 β 内． ∴平面 α 和 β 重合，即直线 l1，l2，l3 在同一平面内．
[解析] (1)点P在平面ABCD外． (2)直线PC与AB异面，直线AB与CD平行． (3)平面PCD与平面PCB有公共点P，所以两平面相交，平面PAB与平面PCD 有公共点P，所以两平面也是相交的．
命题方向3 ⇨点共线问题
如图，求典例证已：3 知P、△QA、BCR在三平点面共α线外．，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，
新课标导学
数学
必修② ·北师大版
第一章
立体几何初步 §4 空间图形的基本关系与公理
1
自主预习学案
2
互动探究学案
3
课时作业学案
自主预习学案
民以食为天，以居为安．居住的要素少不了“门”， 孔夫子的《论语·雍也》云：“谁能出不由户(户：门)？” 道理虽很简单，却包蕴丰富．门在建筑上来说主要功能是 围护、分隔和交通疏散作用，并兼有采光、通风和装饰作 用．