反比例函数的图象和性质(一)
1.2反比例函数的图像和性质(1)
练一练 5
若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y 100 的图象上，则（ B ） x
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
练一练 6
已知圆柱的侧面积是10πcm2,若圆柱底面半径为 rcm,高为hcm,则h与r的函数图象大致是( C ).
oD x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分
别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这
y
个反比例函数的
关系式是
y
.
3 x
pN M ox
3. 如图，正比例函数 y kx(k 0)与反比例函数
y 2 相交于A、B两点．过 A作x轴的垂线、过B
x
作y轴的垂线，垂足分别为D、C，设梯形ABCD的
2. 双曲线y =
1 3x
经过点（-3，__91_）
3.函数
y=
m-2 x
的图象在二、四象限，则m的
取值范围是 _m__<_2.
4.对于函数 y = _____三___象限.
1 3x
，当 x<0时，图象在第
5.
已知反比例函数
y
m x
1的图像在二、四象限内
而一次函数y＝mx+2的图象经过一、二、三象限，
描点法
列 表
描 点
连 线
x
y
=
6 x
y=
6 x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
考点05 反比例函数的图像和性质(解析版)
考点五反比例函数的图像和性质知识点整合一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y 的取值范围也是非零实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式ky x=（k 是常数，k ≠0）kk >0k <0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x 的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k |；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为-1典例引领变式拓展故答案为：2．考向二反比例函数的图象和性质当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．典例引领根据图象可知，114x x>+的解集是-正确的有②③；故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键．2．如图，点(1,2)A 和点(,)B a b 是反比例函数右侧，则下列说法中，不正确的是（A ．该反比例函数解析式B ．矩形OCBD 的面积为C ．该反比例函数的另一个分支在第三象限，且【详解】解：根据题意，10k ->，解得1k <，∴0k =满足题意，故选：D ．变式拓展二、填空题三、解答题把上表中的坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的(1)请在该平面直角坐标系中作出(2)观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测1y与x之间的函数关系，并求②求2y关于x的函数表达式；（2）①观察表格可知，1y 是x 设1k y x=，把()30,10代入得：1030k =，∴300k =，∴612x ≤≤．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式k y x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入k y x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．典例引领【答案】30【分析】此题主要考查了平移的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，题关键．利用平行四边形的面积公式得出得出k 的值．【详解】∵将该函数图像向上平移x 【答案】52【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y 轴平行，()1,B m ，D【答案】8 yx =【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点是解题的关键．先根据坐标与图形得到A【答案】5 yx =-【分析】本题考查反比例函数图像的性质，键．变式拓展【答案】28【分析】利用反比例函数图像上的坐标特点，即可得出答案．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴90DAB ABC ∠∠==【答案】24a <<【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用长．再由线段BC 与双曲线有交点且与点考向四反比例函数中k的几何意义三角形的面积与k的关系（1）因为反比例函数kyx=中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．典例引领A ．4-B ．6【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，题的关键．利用APC 与PBD 相似即可解决问题．【详解】解：PC x ⊥ 轴，PD ⊥PDB PCA ∴∠=∠，PD x 轴，BPD PAC ∴∠=∠，APC PBD ∴ ∽，∴AC PC PD BD=．二、填空题【答案】-3【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，的面积是是解答此题的关键．作AD OB ⊥OA =12OB ，然后通过证得AOD BOA ∽何意义即可求得k 的值．∵Rt OAB 中，30ABO ∠=︒，∴OA =12OB ，∵90ADO OAB ∠∠==︒，AOD BOA ∠∠=∴AOD BOA ∽，∴214AOD S OA S OB ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，【答案】5-【分析】此题主要考查了反比例函数的图象，比例函数的图象，理解反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键．连接AB y ∥轴，得ABC 和AB y ∥轴，ABC ∴ 和AOB ∆关于AB 边上的高相等，52ABC AOB S S ∆∆∴==，根据反比例函数比例系数的几何意义得：变式拓展（1）用含m 的代数式表示（2）若3OMN S =△，则【答案】24m k =90OAB ∠=︒，∴N 点的横坐标为m ，反比例函数()0k y x x=>的图象过点N ，∴N 点的纵坐标为4m ， OME OAN S S =△△，OMN OME OAN MEAN MEAN S S S S S=+-=△△△梯形梯形，3OMN S =△，三、解答题【答案】(2,4)C 或(8,1)C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，形的判定与性质；由反比例函数的对称性得四边形设点8,C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别过点∵点A 、C 在反比例函数∴1842AOE COF S S ∆∆==⨯=，当04m <<时，则AOE S ∆∴6ACFE AOC S S ∆==梯形，k=【答案】6【分析】本题考查了反比例函数⊥轴，垂足为点E，连接等．作AE x到三角形AOB的面积，两个面积之和为⊥轴，垂足为点【详解】解：作AE x，AE x⊥轴，AB AC=∴=，BE CE，=5OC OB(1)求k和m的値；(2)当8x≥时，求函数值【答案】(1)10k=，m(2)5 04y<≤．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．典例引领（1）若2k =，4b =-，则（2）若CE DE =，则b 与【答案】12k +【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，系是解此题的关键．【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的性质．过点⊥轴于点E，过点CB作BE x()DE=---=，证明AD∥132联立43y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1131x y =-⎧⎨=⎩，2113x y =-⎧⎨=⎩，∴()3,1A -，()1,3B -，二、解答题(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；(2)连接OA OB ，，求OAB 的面积；(3)请结合图象直接写出不等式m kx b x+<【答案】(1)6y x =，y ＝x ＋1(2)52AOB S =对于1y x =+，当0y =时，=1x -；当0x =∴()1,0C -，()0,1D ∴1,OC =1,OD =∴111112*********AOB S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+ （3）解：由图象可知：不等式m kx b x+<的解集为：(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)设D 为线段AC 上的一个动点（不包括图象于点E ，当CDE 的面积最大时，求点【答案】(1)反比例函数解析式为y =(2)点E 坐标为()2,3-．变式拓展(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)求AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式【答案】(1)y x =--(2)6(3)<4x -或02x <<【分析】（1）先把点A 代入反比例函数解析式，即可求出（2）先求出直线y =-（3）观察函数图象即可求得不等式的解集．【详解】（1）解：∵(A(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求【答案】(1)一次函数解析式1y x 4=-(2)32ABE S =△【分析】（1）利用点A 的坐标，代入可求出反比例函数解析式，进而求出点待定系数法可求出一次函数的解析式；当点P在BC上运动时，则PB∵2sin ==2PH B PB ，即PH =∴(1132822y DB PH =⋅=⨯⋅()304;x x ⎧≤≤由图像可得，函数图像有最大值为（3）解：根据函数图像可得：当【点睛】本题主要考查了函数图像与性质、求函数解析式、画函数图像、三角形面积、运用函数图像解不等式等知识点，求得函数解析式以及数形结合思想是解题的关键．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；的面积；(2)求ABO(1)求a ，k 的值．(2)利用图像信息，直接写出不等式1102k x x+-≥的解集(3)如图2，直线CD 过点A ，与反比例函数图像交于点C ，与x 轴交于点,OA OC ，求OAC 的面积．【答案】(1)4a =，12k =；(2)4x ≥(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)在y轴上取一点N，当(3)将直线1y向下平移2围．根据函数图象可得：当11．如图，在平面直角坐标系例函数2myx=（m为常数，且(1)求反比例函数与一次函数的解析式．(1)求反比例函数的解析式；(2)点C在这个反比例函数图象上，坐标．【答案】(1)8 yx =(2)()4,2 C90∠=∠=∠=ABO BOE AEO∴四边形ABOE是矩形，∴==，OB AE2OE AB==45，∠=︒ADO∴ 是等腰直角三角形，AED∴==，DE AE4。
反比例函数图像和性质1
b>0 b=0 o x b<0 b=0
你还记得一次函数的图象与性质吗?
y
o b<0
b<0
x
• y随x的增大而增大;
y随x的增大而减小.
回顾与思考2
猜
给反比例函数“照相”
一般地, 如果两个变量x , y之间的关系可以表示成 k y k为常数, k 0的形式那么称y是x的反比例函数. x
三象限， 则k_____________; <4
1 2k (2)若反比例函数 y x
在每一象限
1 内，y随x增大而增大，则k_____________. 2
思考：
已知点A(-3,a)，B(-2,b)，C(4, c) 6 在反比例函数 y 上,
x
y
y
c
6 x
比较a，b，c的大小. 拓展：已知点A(-3,a)，B(-2,b)，C(4, c)
反比例函数的图象又会是什么样子呢? 你还记得作函数图象的一般步骤吗？
1.列表 2.描点 3.连线
例 1
6 画出反比例函数 y = x 和 y = 的函数图象。
列 表 描 点 连 线
6 x
函数图象画法
描点法
y= 6 x y= 6 x
x
注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称②x≠0 ③选整数较好计算和描点。
性质： k y 反比例函数 （k为常数，k≠0)的图象是双曲线 x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的 增大而减小。 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的 增大而增大。
课堂小结：
k 反比例函数 y （k为常数，k≠0) x
3[1].反比例函数的图象与性质(一)doc
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学习内容
方案
回顾旧知
一：复习引入
１．什么是函数的图象？
２．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象是什么样子？
３．一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）有哪些性质？
自
主
学
习
二、探究交流
探究主题：反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ为常数，ｋ≠０）的图象是什么样子？
实践操作：画反比例函数ｙ＝２/ｘ的图象．
（１）列表：由于自变量ｘ的取值范围是所有非零实数，因此，让ｘ取一些负数和一些正数值，并且计算出相应的函数值，列成下表：
反比例函数的图象与性质（一）
备课人
王再群
审核人
课
型
课
时
备课时间
2012.11
授课时间
2012.11
一
学习
目标
１，经历反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ图象的画法得知其图象是双曲线
2，培养积极探索的思维品质，建立知识间的纵横联系，提高学习数学的热情和综合解题的能力。
二
学习重点
画反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ的图象，根据图像说出性质。
２．自变量ｘ的取值为非零实数，－４
所以ｙ也是非零实数，列表中不 －６
能以ｘ＝０为中心值
３．通过描点，会发现１２个点分布在两个不同的象限，且不是一条完
整的曲线，呈现明显的两个分支．
４．两个分支无限接近坐标轴，但与坐标轴无交点．为什么？
合
作
探
究
三、抽象归纳
１．反比例函数ｙ＝ｋ/ｘ（ｋ＞０）的图象是双曲线．
ｘ
-5
-4
-2
-1
-1/2
-1/3
1/3
1/2
1
2
4
5
ｙ＝２/ｘ
反比例函数图象和性质(1)
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A、
o
x
B、
o
x
y
C、
o
x
D、
y
o x
相信你最棒！
2、函数y
20
x
的图象在第_一__、__三___象限,
在每一象限内，y 随x 的增大而__减__小_____.
3、 函数y
-
30
x
的图象在第_二__、__四___象限,
在每一象限内，y 随x 的增大而__增__大_____.
巩固练习
1、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y 100 的图象上，则（ B ） x
A、y1>y2>y3
B、y2>y1>y3
C、y3>y1>y2
D、y3>y2>y1
课堂练习
2都、在已反知比点例函A(数x1,yy1),Bxk(x(2k,＜y2)0且) 的x1＜图0象＜上x2,则y1与y2
其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x
交于Ａ、B两点，
+b ＞ k2 的解集
是____1_＜__x_＜__5________．
x
反比例函数的图象和性质
1.形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的， 因此称反比例函数的图象为双曲线.
2.位置 当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内; 当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.
谢谢
新知讲解
步骤二：描点 步骤三：连线
有两条曲线共同组 成一个反比例函数 的图象，叫双曲线, 且图象关于原点成 中心对称。
2反比例函数的图象及性质(一)
反比例函数的图象及性质（一）一、反比例函数的图象①反比例函数的图象由两条曲线组成．并且随着|x|的不断增大（或减小），曲线越来越接近x轴（或y轴），反比例函数的图象属于双曲线．②反比例函数的图象关于原点对称.即点P（a，b）在反比例函数的图象上，则（－a，－b）也在反比例函数的图象上.③反比例函数的图象与x轴、y轴没有交点．二、比例函数k的几何意义如图，过双曲线上任一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线PN、PM，矩形PMON的面积S=PM·PN=|x|·|y|=|xy|=|k|．即在反比例函数的图象上任取一点向两坐标轴作垂线，则两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k|，且这个面积的值与取点的位置无关．三、反比例函数图象的性质①当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；②当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．例1、已知，如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）．（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线BC的解析式．例2、已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值．例3、在反比例函数的图象上有两点，A（x1，y1）、B（x2、y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是__________．例4、在函数的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则函数值y1、y2、y3的大小关系是__________．例5、已知正比例函数y=kx与反比例函数的图象都过点A （m，1），求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标．一、选择题1、反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的值是（）A．±1 B．小于的实数C．－1D．12、在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y 2），且x1＞x2＞0，则y1－y2的值为（）A．正数 B．负数C．非正数 D．非负数3、已知反比例函数的图象在二、四象限，则一次函数y=kx＋2的图象不通过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限4、已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数的图象有一个交点的坐标为（－2，－1），则它们的另一个交点的坐标是（）A．（2，1） B．（－2，－1）C．（－2，1） D．（2，－1）5、函数的图象如图所示，那么函数y=kx－k的图象大致是（）6、设A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的任意两点，且y1＜y2，则x1，x2可能满足的关系是（）A．x1＞x2＞0 B．x1＜0＜x2C．x2＜0＜x1D．x2＜x1＜0二、填空题7、已知反比例函数的图象经过点（－3，－6），则这个反比例函数的解析式为__________．8、已知反比例函数的图象经过点（3，2）和（m，－2），则m 的值是__________．9、如果反比例函数的图象位于第二、第四象限内，那么满足条件的正整数k的值是__________．10、对于函数，当x＞0时，y随x的增大而__________．三、解答题11、如图，反比例函数的图象与一次函数y=mx＋b的图象交于A（1，3），B（n，－1）两点．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．12、已知一次函数y=x＋m与反比例函数的图象在，3）．第一象限内的交点为P（x的值；（1）求x（2）求一次函数和反比例函数的解析式．。
反比例函数的图像和性质(1)
1、反比例函数的图象是双曲线。 2、当K 〉0时，图象的两个分支分布在第一、 三象限内；在每个象限内Y随X的增大而减小。 3、当K〈 0时，图象的两个分支分布在第二、 四象限内；在每个象限内Y随X的增大而增大。 (囗诀：K大一三减，K小二四增） 4、反比例函数图像关于原点对称，且关于直 线y=x和y=-x对称。 思考：反比例函数、正比例、一次函数的性 质有何异同？（课后填充表格）
反比例函数定义：
形如Y=K/X（K≠0）的函数叫反 比例函数。注意反比例函数的另 两种形式：y=kx-1 xy=k (k≠0)
二、新课 反比例函数的图像和性质
例3：画出反比例函数Y=6/X和Y= -6/X 的图像。 思考：
1、作函数图象的一般步骤是什么？ 2、列表时要注意些什么？取值要注意什么？ 3、比较两个函数的图像，它们有何异同？ 4、由此你能得到些什么结论？ 5、图像在延伸后，会不会与两坐标轴相交？
反比例函数与正比例一次函数 性质的比较表
反比例函数 基 本 形 式 图 象 名 称 性 质 K＞0 b＜0 b＞0 b＞0 正比例函数 一次函数
K＜0
b＜0
谢
谢
再 见
3k
三、练习
（一）填空
1、当m 时，反比例函数y=(1-2m)/x的图象在一、 三象限。 2、若反比例函数y=K/x的图象在二、四象限，则直 线y=kx-3不经过第 象限。 3、当k>0时，反比例函数y=(k+1)/x的图象在 象 限。 4、当k<0时，反比例函数y=-k/x的图象在 象 限。 5、反比例函数y=（k2 +1）/x的图象在 象 限。
下列（ ）是函数y=kx-k和y=k/x的大致图象
17.1.2 反比例函数的图象与性质(1)
知识回顾
1、还记得一次函数的图象 与性质吗？ 一次函数 y = k x + b (k≠0)的图象是一条直线， 常被称为直线 y = k x + b。
2、当 k > 0 时 y
b >0
o b <0
b =0 x
y 随 x 的增大而增大。
当 k <0时
y
b >0
2、位置及性质
(1) 当 k >0 时，双曲线的两支 分别位于第一、三象限内，在 每个象限内(或图象的每一支
上) y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k <0 时，双曲线的 两支分别位于第二、四象 限内，在每个象限内(或图 象的每一支上) y 随 x 的增 大而增大。
(3) 反比例函数图象的两端 与坐标轴无限接近，但不
6 y x
6 y x
… -2 -3 -6 6 3 2 … … 2 3 6 -6 -3 -2 …
画反比例函数时应注意： ① 选取一些互为相反数的
自变量的值，便于计算和 对称性描点； ② x ≠0；
③ 要尽量多取一些数值， 多描一些点，这样既可 以方便连线，又较准确 地表达函数的变化趋势；
④ 连线时一定要养成按 自变量从小到大的顺序， 依次用平滑的曲线连接， 从中体会函数的增减性。
o
x
b <0
y 随 x 的增大而减小。
b =0
3、用描点法画函数图象： 列表，描点，连线 k 4、一般地，形如 y (k x 为常数，k≠0)的函数，称 为反比例函数。
反比例函数的图象又 会是什么样子呢?
6 例1、画出反比例函数 y x
6 和 y x 的函数图象。
第1课时 反比例函数的图像和性质(1)
还记得画一次函数图像的步骤吗？ 你能画出y=x+3的图像吗？ 我们通过列表、描点、连线我们很容易 就能画出y=x+3的图像。
y=x+3
你能尝试画出反比例函 4 数 y x 的图像吗？
画反比例函数图像的步骤跟画一次函数图像的步骤 是一样的:列表、描点、连线。 4 y x
k 1、如果点(1，－2)在双曲线 y 上， x
那么该双曲线在第 二、四 象限．
k 3 2、如果反比例函数 y 的图象位于第 x
二、四象限内，那么满足条件的正整数k 的值是 k＜3 ．
1 4、反比例函数 y 的图象大致是图中的( D )． x
本节课学习了哪些知识？
在知识应用过程中要注意什么？ 你有什么收获？
画出反比例函数
4 y x
的图像。
观察函数 与函数 什么相同点和不同点？
4 y x
4 y x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的图像，他们有
反比例函数的图像是由两支曲线组成的，
当k＞0时，两支曲线分别位于一、三象限内； 当k＜0时，两支曲线分别位于二、四象限内。
反比例函数是中心对称图形吗？ 如果是，请找出对称中心； 反比例函数是轴对称图形吗？ 如果是，请指出它的对称轴。
课后作业
完成状元导练中本课时练习的“课后作业”部分
（1）列表；
x -8 -4 -1 -3 -4/3 -2 -2 -1 -4 -1/2 -8 1/2 8 1 4 2 2 3 4/3 4 1 8 1/2
y
4 x
-1/2
(2)描点；
(3)连线；用光滑的曲线顺次连接各点。
思考：画反比例函数图像时应注意哪些问题？
①列表时：要注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0）， 同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至 于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面 反映图象的特征； ②描点时：一般情况下所选的点越多则图象越精细； ③连线时：用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接各点， 得到反比例函数的图象。
17.4.2反比例函数的图象和性质(一)
3
2
1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6
x
反比例函数的图象是双曲线;
k>0 图象
当k＞0时，函数图象的两个 当k＜0时，函数图象的两个 分支分别在第一、三象限，在每 分支分别在第二、四象限，在每 个象限内，y随x的增大而减小. 个象限内，y随x的增大而增大.
k<0
性质
反比例函数的图象和性质 二、四
反比例函数的图象和性质
k＜4 k＞4
反比例函数的图象和性质
C
反比例函数的图象和性质
探讨函数值y随着自变量x的变化会怎样变化？
B A
y
y2
y1 ﹤y2
1、比较的点在同一个象限内
x
1
x2
o
y1
x
反比例函数的图象和性质
探讨函数值y随着自变量x的变化会怎样变化？
第17章
17.4.2
函数及其图象
反比例函数的图象和性质（一）
反比例函数
反比例函数的三种表达式： ①
②
③
反比例函数
4 −2
反比例函数的图象和性质
y
6
1.列表取值：x… 6-5 -4 -3 -2 -1 -6 1 6 2 3 3 2 4 5 … -1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.5 1.2
5
3
2
1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6
x
反比例函数的图象和性质
y
6 5
4
你能发现上述反比例函数图象的共同特征吗？ 两条曲线都分别位于二、四象限 从左往右看，图象上升，y随x的增大而增大. 这些函数中k取值有什么共同特征吗？ k ＜ 0 当k＜0时，图象都在二、四象限； 在每个象限，从左往右看，曲线上升， 即，当x＞0(或x＜0)时，y随x的增大而增大.
反比例函数的图像和性质课件1
7、如果点（a,-2a）在双曲线上，那么在第个象
限内，y随x的增大而__________
8、若点
且 x0 y0
(x0
2
,，y0则) 它在的函图数象y大致是kx （（x＜）0(）20的08图年象江上西，中考题）
y
y
y
y
x O A．
x O B．
O
xO
x
C．
D．
9、反比例函数
y
6 x
的图象上有点（1，6），分
天空的幸福是穿一身蓝 森林的幸福是披一身绿 阳光的幸福是如钻石般耀眼 老师的幸福是因为认识了你们 愿你们努力进取，永不言败
——老师与同学们共勉
活动一、挑战“记忆”
回顾与思考
问题：你还记得正比例函数y=kx (k≠0)的图象是什么 样子吗?怎样得出来的?它的性质又是什么呢？
正比例函数图象是一条过原点直线，通过描点法得来的。
x
y 6 的图象。
x
分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值 范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？
函数图象画法：描点法 1、列表； 2、描点； 3、连线。
取211走 越 实 8应12对3便、、、、、、 —多注称于向 多 际自自自取1在自意计少的 越 情2变变变不什个值：算变情 能 况值量量量知和值么时况 反 ，xxx量?描道的 的≠为?下 映 但为要0x点取取图；宜需，图一什注值值象取象般要要要么意的点的取?
• 列表时，自变量的值可以选取一些互为相反数的值, 这样既可简化计算,又便于对称性描点;
• 列表描点时,要尽量多取一些数值,多描一些点,这样 既可以方便连线,又较准确地表达函数的变化趋势;
• 连线时，一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次 用平滑的曲线连接,从中体会函数的增减性；
反比例函数的图象和性质(1)课件
反比例函数的图象永远不会与坐标轴相交。
易错难点剖析指导
错误理解反比例函数的定义
学生容易将反比例函数与正比例函数混淆。正比例函数的形式是 $y = kx$，而反比例函 数的形式是 $y = frac{k}{x}$。在理解反比例函数时，要注意区分这两种函数形式。
分段连接
根据点的分布情况，可以将曲线分成 若干段进行连接。每一段都可以用一 条平滑的曲线来表示。
保持连续性
在连接各段曲线时，要确保它们之间 的连续性，避免出现断点或尖角。
调整和优化
连接完成后，可以对曲线进行调整和 优化，使其更加符合反比例函数的性 质和要求。
03
反比例函数性质分析
对称性特点
反比例函数的图象关于原点对称，即如果函数图象上有点(x, y)，则点(-x, -y)也 在函数图象上。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解思路及过程展示
思路
根据题目所给条件，设立反比例函数关系式，通过已知量求 解未知量。
过程
首先明确题目中的已知量和未知量，然后根据面积公式建立 反比例函数关系式，通过代入已知量求解未知量，最后进行 答案的验证和解释。
速度问题求解思路及过程展示
思路
根据题目所给条件，设立反比例函数关系式，通过已知速度和时间求解未知路 程。
工程中的应用
在工程领域中，反比例函数可以用来描述一些工程问题。例如，在电阻、电感、电容等电子元件的参数 计算中，经常涉及到反比例关系。通过利用反比例函数的性质进行计算和分析，可以简化问题的求解过 程。
THANKS
感谢观看
表达式
反比例函数的一般表达式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是比例系数， 且 $k neq 0$。
5.2 反比例函数的图象与性质(1)
1.任意写一个在第二象限的点的坐标： (-3,1) 1.任意写一个在第二象限的点的坐标：_________. 任意写一个在第二象限的点的坐标 一、二、四 2.直线y=-x+3经过第___________象限. 2.直线y=-x+3经过第___________象限. 直线y= 经过第___________象限 3.已知矩形的面积为6 则它的长y与宽x 3.已知矩形的面积为6，则它的长y与宽x之间的函数关系 已知矩形的面积为 6 y= 反比例 函数. x 式为_____________,y __________函数 式为_____________,y 是x的__________函数. -2 4.若函数y=2x 是反比例函数， 4.若函数y=2xm+1是反比例函数，则m=________. 若函数 5.反比例函数 5.反比例函数 y =
2 反比例函数的图象与性质 第1课时
学习目 标
1、进一步熟悉作函数图象的步骤，会画反比例函数的图 进一步熟悉作函数图象的步骤， 象； 2、体会函数的三种表示方法的相互转换，逐步提高从函 体会函数的三种表示方法的相互转换， 数图象获取信息的能力， 数图象获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性 质．
.
6 5 . 4 3 -4 y=— . 2 x ．． 1 ． -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6
y
1 2 3 4 ．6 x . . 5 ．
.
．
．
. y
6
4 5 y=— x 4 . 3 ． 2 ．． 1
-4 -3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 x -6 -5 ． ． -1 ． -2 -3 . -4 -5 -6
随堂练 习
的图象大致是（ 1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ） 反比例函数y= x y y A： o y B： o x
反比例函数的图象与性质(一)
九年级上册第五章第二节反比例函数的图象与性质（一）教学目标(一)教学知识点1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。
2.体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。
3.培养学生从函数图象中获取信息的能力，初步探索反比例函数的性质。
(二)能力训练要求通过学生自己动手列表,描点,连线,提高学生的作图能力;通过观察图象,概括反比例函数图象的有关性质,,训练学生的概括总结能力.(三)情感与价值观要求让学生积极参与到数学学习活动中去,增强他们对数学学习的好奇心和求知欲。
教学重点:画反比例函数图象并认识图象的特点.教学难点：画反比例函数图象.课前准备：网格纸（平面直角坐标系）、几何画板课件教学过程：第一环节回顾交流,问题牵引活动目的：既复习旧知，做好新知学习的铺垫，同时也不断激活学生思维、生成新问题，引起认知冲突，从而自然引入新课。
师：上一节我们研究了反比例函数，哪位同学谈一下你对反比例函数的了解。
生：我知道反比例函数来源于生活，生活中的许多问题都属于反比例函数问题，例如，在匀速运动中当路程一定时，且路程不等于零，则速度与时间成反比例函数关系。
生：我知道反比例函数的解析式为（k不等于0），还有两种变式。
生：我知道反比例函数的图象是双曲线。
但我还不知道反比例函数图象的性质（若学生能提及反比例函数的性质则顺水推舟引入新课，若不能则需要教师进行下面的引导。
）师：同学们说的都很好，在研究一次函数时我们在研究完解析式和图象以后，研究的是函数图象的性质，对于反比例函数我们该研究什么呢？第二环节合作交流活动目的运用类比研究一次函数性质的方法,来研究反比例函数的性质问题1：对于一次函数 y = kx + b ( k 0 )的性质，我们是如何研究的？问题2：对于反比例函数 y=k/x ( k是常数,k 0 )，我们能否象一次函数那样进行研究呢？第三环节动手操作，活动探究活动目的引导学生正确画出反比例函数图象,并能归纳反比例函数图象的有关性质.提问：你能画出任意一个反比例函数的图象吗？小组合作每个学生独立画出一个反比例函数的图象（学生动手画图，相互观摩。
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数，这样也便于求y 值
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线
（4）由于x ≠0，k ≠0，所以y ≠0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴
例1．（补充）已知反比例函数ｙ＝（m-1）x m 2-3的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？
分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即y=kx -1（k ≠0）自变量x 的指数是－1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k ＜0，则m －1＜0，不要忽视这个条件。
【略解】∵ｙ＝（m-1）x m 2-3是反比例函数
∴m 2－3＝－1，且m －1≠0
又∵图象在第二、四象限
∴m －1＜0
解得m=±2且m ＜1
则m=-2
例2．如图，过反比例函数y=x
1（x ＞0）的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得（ ）
（A ）S 1＞S 2 （B ）S 1＝S 2 （C ）S 1＜S 2 （D ）大小关系不能确定
【分析】从反比例函数y=x
k （k ≠0）的图象上任一点P （x ，y ）向x 轴、y 轴作垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积S=xy=k ，21由此可得S 1＝S 2 ＝21 ，故选B
三、随堂练习、当堂消化
1．已知反比例函数y=x
k -3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围 （1）函数图象位于第一、三象限
（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大
2．函数y ＝－ax ＋a 与y=
x
a -（a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
3．在平面直角坐标系内，过反比例函数y=x
k （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数解析式为
四、课后练习、拓展延伸。