正切 余切图像的性质 反三角函数

正切、余切函数图象和性质反三角函数

[知识要点]

1．正切函数、余切函数的图象与性质

2．反三角函数的图象与性质

3．已知三角函数值求角

[目的要求]

1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.

2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.

3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.

4．能用反三角函数值表示不同范围内的角.

[重点难点]

1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角

[内容回顾]

一、正切函数与余切函数图象

由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.

作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.

与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函

数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”.

若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案.

二、正、余切函数的性质

由图象可得:

y=tanx y=cotx

定义域

值域R R

单调性

在上单增(k∈Z)

在上单减(k∈Z)

周期性T=π T=π

对称性

10对称中心，奇函数(k∈Z) 20对称轴；无10对称中心，奇函数(k∈Z) 20对称轴；无

注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）.

2、每个单调区间一定是连续的.

3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.

三、反三角函数的概念和图象

四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:

1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数.

y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

y=tanx，x∈的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象

由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.

注:（1）y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是

（2）y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是（1，0）和（-1，π）. （3）y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是和.

（4）y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π.

四、反三角函数的性质由图象，有

y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域[-1,1] [-1,1] R R

值域[0, π] (0, π)

单调性在[-1，1]上单增在[-1，1]上单减在R上单增在R上单减

对称性10对称中心

（0，0）奇函数

20对称轴；无

10对称中心

非奇非偶

20对称轴；无10对称中心

（0，0）奇函数

20对称轴；无

10对称中心

非奇非偶

20对称轴；无

周期性无无无无另外:

1．三角的反三角运算

arcsin(sinx)=x(x∈)arccos(cosx)=x (x∈[0, π])

arctan(tanx)=x(x∈)arccot(cotx)=x(x∈(0, π))

2．反三角的三角运算

sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1])cos(arccosx)=x (x∈[-1,1])

tan(arctanx)=x (x∈R)cot(arccotx)=x (x∈R)

3．x与-x的反三角函数值关系

arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1])

arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1])

arctan(-x)=-arctanx (x∈R)

arccot(-x)=π-arccotx(x∈R)

4．

五、已知三角函数值求角

1. 若sinx=a (|a|≤1)，则x=kπ+(-1)k arcsina(k∈Z)

2. 若cosx=a (|a|≤1)，则x=2kπ±arccosa(k∈Z)

3. 若tanx=a (a∈R), 则x=kπ+arctana (k∈Z)

4. 若cotx=a (a∈R), 则x=kπ+arccota(k∈Z)

具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.

[典型例题分析]

例1．比较大小:

(1) (2)

分析:不在余切函数的同一单调区间内，应利用诱导公式设法将其化到同一单调区间内，再利用单调性来比较大小.

解:（1）∵,

而，由余切函数在（0，π）上的单减性，有

，∴

（2）∵

∴.

例2．写出下列函数的单调区间