随机过程习题答案

随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。

（a）分别写出随机变量和的分布密度
（b）试问：与是否独立？说明理由。

解：（a）
（b）由于：
因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：
因此与独立。

2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。

（a）试求和的相关系数；
（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。

解：（a）利用的独立性，由计算有：
（b）当的时候，和线性相关，即
3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为
，且是一个周期为T的函数，即，试求方差
函数。

解：由定义，有：
4、考察两个谐波随机信号和，其中：
式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。

（a）求的均值、方差和相关函数；
（b）若与独立，求与Y的互相关函数。

解：（a）
（b）
第二讲作业：
P33/2．解：
其中为整数，为脉宽
从而有一维分布密度：
P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
反函数，因此有一维分布：
P35/4. 解：(1) 其中
由题意可知，的联合概率密度为：
利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：
因此有：
且V和相互独立独立。

（2）典型样本函数是一条正弦曲线。

（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且
所以。

（4）由于：
所以因此
当时，
当时，
由（1）中的结论，有：
P36/7．证明：
(1)
(2) 由协方差函数的定义，有：
P37/10. 解：（1）
（2）
当i=j 时；否则
令，则有
第三讲作业：
P111/7．解：
（1）是齐次马氏链。

经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。

（2）由题意，我们有一步转移矩阵：
P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：
（2）由齐次马氏链的性质，有：
，
因此：
P112/9．解：
（1）
（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；
计算有：，递推得到，因此有：
P112/11．解：矩阵的特征多项式为：
由此可得特征值为：，及特征向量：
，令矩阵
则有：
因此有：
P112/12．解：
设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。

记每天天晴为0，下雨为1，则此链的状态可以由三位二进制数表示。

如三天晴为000，为状态0；第一天晴，第二天晴，第三天雨为001，为状态1；第一天晴，第二天雨，第三天晴为010，为状态2；第一天晴，后两天阴为011，为状态3，等等。

根据题目条件，得到一步转移矩阵如下：
第四讲作业：
P113/13．解：画出状态转移图，有：
P113/14. 解：画出状态转移图，有：
P113/16．解：画出状态转移图，有：
（1）由于三个状态都是相通的，所以三个状态都是常返态。

（3）状态3、4无法和其他状态相通，组成一个闭集，且，所以状态3、4为常返态；另外状态0、
2相通组成一个闭集，且，故状态0、2是常返态；因为，故，所以状态1为非常返态。

（4）0、1相通作成一闭集，且，故0、1为常返态；又，因此，故2为常返态；，故3、4为非常返态。

第六讲作业：
P115/17．解：（1）一步转移矩阵为：
（2）当时，由计算可得，因此可由以下方程组计算极限分布：
解得极限分布即可。

P115/18．解：由第七题的结果，计算可得：，
因此可计算极限分布如下：
解以上方程，得极限分布：
P115/19．解：见课上讲稿。

P116/21．解：记，则有：
（1）因为：
(A)
当时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
当且时，有：
由（A）可得：
另外：下列等式是明显的
因此我们有：
即{是一齐次马氏链。

一步转移矩阵为：
（2）画出转移矩阵图，可得：
由：及，并且取，由递归可得：
（3）由于：
因此，零状态是正常返的，由相通性，故所有状态都是正常返的，即此马氏链是不可约的。

（4）由马氏链的无后效性，可知此时的T 就是零状态到零状态的首达时间。

因此我们有：
随机过程习题解答（二）
P228/1。

证明：由于t s <，有
{}{}{}
{}{}
n t N P k n s t N P k s N P n t N P n t N k s N P n t N k s N P =-=-⋅==
=
====
==)(})({)()()(,)()(/)(
其中
{})
()!
())((!)(})({)(s t k n s k e k n s t e k s k n s t N P k s N P ------⋅=-=-⋅=λλλλ
{}t
n e n t n t N P λλ-==!
)()(
所以
{}k
n k k n k n k k t
n s t k n s k k s k s k n k n k n t s t t s e n t e k n s t e k s n t N k s N P --------⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--=--⋅=
==1)!(!!
)(!)()!
())((!)()(/)()
(λλλλλλ
证毕。

P229/3. 解：（1）因为}0),({≥t t N 是一Poission 过程，由母函数的定义，有：
()(
)
()()
(
)()
)
()(})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({})({)()()(0
0000000)(s s s j t N P s
l t N P s l k t N P s
l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P s l t N P s l k t N P l t N P s k t N P s t N t N j j
l l
l k l
k l l
l l
k l k l k k
l l k l k k k l k k
t t N ∆∞
=∞
=∞
=-∞
=∞
=∞
=-∞
==-∞
==∞
=∆+ψ⋅ψ=⋅=∆⋅==⋅-=∆⋅==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⋅-=∆⋅⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=∆⋅⋅==⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆⋅==⋅==ψ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ （2）有上面（1）的结果，可得：
t
s s t s s s t
s s t
s t N t t N t N t N t N t t N t t N t t N ∆-ψ⋅ψ=∆ψ-ψ⋅ψ=∆ψ-ψ=∂ψ∂∆→∆∆→∆∆+→∆1
)()()
()()()
()(ˆ)()(0
)()()()(0
)()(0
)(lim
lim
lim
（3）当t ∆充分小时，由于：
[][]∑∑∞
=∞
=∆⋅∆+⋅∆+∆+⋅∆+∆-=⋅=∆=ψ2
100)()()()(1})({)(k k
k k
t N s t s t t s t t s s t N P s οολολ
因此，当1<s 时，有：
)1()()(1
)(20)(0
lim lim
-=⋅∆∆+∆∆+∆+∆-=∆-ψ∑∞=→∆∆→∆s s t
t t t s t t t
s k
k t t N t λοολλ
由（2）的结果，我们有：
)()1()()()(s s t
s t N t N ψ-=∂ψ∂λ
P229/4. 解：（1）由上面3题的结果（3），我们有：
t s t N N t N t N e s s s s t s )1()()0()()()(1)()()1()
(-=ψ⇒⎪⎩
⎪
⎨
⎧=ψψ-=∂ψ∂λλ （2）由于)()(s t N ψ是随机过程)(t N 的母函数，且t s t N e s )1()()(-=ψλ，将函数t s e )1(-λ关于)1(<s s 展开成级数形式，我们可得：
∑∞
=--⋅⋅==ψ0
)1()(!)()(k k
t k t
s t N s e k t e
s λλλ
由母函数与分布函数的唯一性定理，可得：
2,1,0,!
)(})({=⋅==-k e k t k t N P t
k λλ
P230/8. 解：由特征函数的定义，我们有：
{}
{
}
[]
{}
{}()
n
Y u i n t
n Y Y Y u i n t
n t X u i n t X u i t X e E e n t e E e n t n t N e E n t N P e E u n 1
210
)(0)
()(!)(!)()(})({)(⋅⋅=⋅⋅==⋅===Φ∑∑∑∞
=-++∞
=-∞=λλλλ
令{}
)(11u e E Y Y u i φ=，则有：
[]{}
1)(exp !
))(()(110
)(-=⋅=Φ∑
∞
=-u t e n u t u Y n t n
Y t X φλφλλ （*）
若),2,1( =n Y n 的概率分布为：
2
122
11}1{,
}1{λλλλλλ+=
-=+=
=n n Y P Y P
则
{}u i u i Y u i Y e e e E u n
n
-⋅++
⋅+=
=2
122
11)(λλλλλλφ （**）
将（**）代入（*），我们有：
{}
t
e t e t e e t u u i u i u
i u i t X )(exp 1)(exp )(212121221121)(λλλλλλλλλλλλ+-+=⎭⎬
⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅++⋅++=Φ--
P230/7. 解：先求}0),({0≥t t N 的特征函数：
{}{}
{}{}
{}{
}{}
t e
t e t e e t e e t e m e t e n e t e
e m t e e n t e
E e
E e E e E u u
i u i t
u i t u i m t
m
u i n t n
u i m
u i m t m n u i n t n t N u i t N u i t N t N u i t N u i t N )(exp exp exp !)
(!)(!)(!)()(2
1
2
1
)(210
)
(201)(0201)
()()
())
()(()()(212121212100λλλλλλλλλλλλλλλλ+-+=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅===Φ----∞
=--∞
=--∞=-∞
=---∑∑
∑∑
由上面8题的结果，根据特征函数与分布函数的唯一性定理，可知}0),({0≥t t N 是复合Poission 过程。

P231/10. 解：由于
{}{}{}
n t X t X t X P n t X t X t X j t X k t X P n t X t X t X j t X k t X P =++=++===
==++==)()()()()()(,)(,)()()()()(,)(3213212132121
因为)(t X i 的母函数为：
{}t s s i t N )1(ex p )()(-=ψλ，
由独立性，可知)()()(321t X t X t X ++的母函数为：
()(){}∏=-++=ψ=ψ3
1321)
()(1ex p )()(i t X
t X t s s s λλλ，
所以)()()()(321t X t X t X t X ++=是参数为321λλλ++的泊松过程，即
{}()()()t
n e
n t n t X t X t X P 3
21
!
)()()(3213
21λλ
λλλλ++-++==++
因此我们有：
{}()()()()()()n
j
k n j k t
n t
k
j n t
j
t
k
j k n j k n e
n t e
k j n t e
j t e
k t n t X t X t X j t X k t X P )()!(!!!
!
)!(!!
)()()()(,)(32132132111132121321321λλλλλλλλλλλλλλλλλλ++⋅
--=++--⋅
⋅
=
=
=++==--++------
P231/12. 解：（1）由
{}())
(}1)({1})({}1)(,1)({}0)(,)({)(t o t P k t X P t P k t X P t X k t X P t X k t X P k t t X P r r ∆+∆-=+∆-==+=∆-=+=∆===
=∆+λλ 令0→∆t ，有
)()()
(1t P P t P P dt
t dP k r k r k -=+λλ 解得
{}t
P k r r e k t P k t X P λλ-==!
)()(
（2）由（1）知，)(t X 服从参数为r P λ的泊松分布。

P232/15. 解：（1）以)(t ξ表示t 时刻系统中不正常工作的信道数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：}2,1,0{=S ，Q 矩阵为：
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝
⎛-+--=μμλμλμ
λ
λ220)(022Q （2）令：
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=)()
()()()()
()()()
()(222120
121110020100t p t p t p t p t p t p t p t p t p t P 则前进方程为：
⎪⎩⎪
⎨
⎧==⨯3
3)0()()
(I P Q t P t d t P d （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,0,1()0(,))(),(),(()(210==p t p t p t p t p
写出福克－普朗克方程：
⎪⎩⎪
⎨⎧==)
0,0,1()0()()(p Q t p t d t p d
即有：
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪⎪⎪
⎪⎨⎧===-=++-=+-=0
)0(,0)0(,1)0()(2)()
()
(2)()()(2)()()(2)
(2102122101100p p p t p t p t d t p d t p t p t p t
d t p d t p t p t d t p d μλμμλλμλ 做Laplac
e 变换，令：
2,1,0,))(()(==n t p L s n n π
则有：
⎪⎩⎪
⎨⎧-=++-=+-=-)
(2)()()(2)()()(2)()()(21)(212
2101100s s s s s s s s s s s s s πμπλππμπμλπλππμπλπ 由上解得：
)
()(2)]()][(2[2)3()(220μλμλμλμλμλμπ++++++=+++++++=s C
s B s A s s s s s s
其中：
2
2222)(2,)(,)(μλμλμλλμλμ+=+=+=C B A
因此求
))(()(010s L t p π-=
即可。

（4）t t t B A B A e e e t T P t T P t T t T P λλλ2}{}{},{---==>>=>>
P233/16. 解：（1）令)(t ξ表示t 时刻系统中正在用电的焊工数，则}0),({≥t t ξ是一马氏过程，其状态空间为：},,2,1,0{m S =。

（2）Q 矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---+---+--=μμ
λ
λμμλλμμλλ
m m m m m m m m Q 0
00)2(])2(2[20
00
)1(])1([000 （3）令：
})({)(j t P t p j ==ξ
)0,,0,0,1()0(,))(,),(),(),(()(210
==p t p t p t p t p t p m
写出福克－普朗克方程：
⎪⎩⎪
⎨⎧==+⨯)
1(1)0,,0,0,1()0()()(m p Q t p t d t p d
（4）画出状态转移率图，可得∞→t 时的平衡方程：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨
⎧==+++-=+-+=+-=∑=-+-1)1()1(])[(2])1[(0
1
1
12011
0m n n m
m n n n p p
m p p n p n m p n n m p
p m p m p p m μλμλμλμλμλμλ 由此可得：
)1()1()(1011=-=
=-+-=+---+p p m p n p n m p n p n m n n n n μλμλμλ
即有：
0)1()(1=+--+n n p n p n m μλ
m n p n n m p n n ,,2,1,0,)1()(1 =⋅⋅+-=
+μ
λ
由此可以求得：
m n p C p m n n m n n m p n
n m n
n ,,1,0,11)()1(00 =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅--⋅+-=μλμλ 由 10
=∑=m
n n p ，即可确定0p ，最终得到所要的结果。

P233/17. 解：（1）由于：)0,,(,>=+=a n a n n n μλμμλλ
可以得到此过程的Q 矩阵：
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛+++-+++-+++--=
a n a n n a
a a
a a a Q λμλμ
λμλμ
λμλμ]
)([02)
22(2000)
(0
00
令：
})({)(j t P t p j ==ξ
),)(,),(),(),(()(210
t p t p t p t p t p n =
写出福克－普朗克方程：
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎨⎧+++++-+-=+++-+=+++-=+-=+- )()1()(])([)(])1[()
()
(3)(])(2[)()()
()
(2)(])[()()()()()
(1132122
101100t p n t p a n t p a n t d t p d t p t p a t p a t
d t p d t p t p a t p a t d t p d t p t p a t d t p d n n n n μμλλμμλλμμλμ 初始条件：)(0)0(,
1)0(00n j p p j n ≠==。

（2）由数学期望的定义：
∑∑∞
=∞
====1
)()()(ˆ)}({n n n n t p n t p n t M t E ξξ
由此，我们有：
{}[]
[]
)
()()()()()1()()()()1()()()1()()()()1()()()()1()(])([)(])1[()()()(1
1
110
1
1111
11111
1t M a t p n a t p n t p n t p n n t p a t p n t p n t p n n t p na t p na t p n t p a n t p a n n t d t p d n t p n t d d t
d t M d n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ξξμλμλμμλλμμλλμμλλ-+=-+=+++--+=+++--++
-=++++-+-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞
=∞
=+-∞=∞
=+-∞
=∞
=-∞=+-∞
=∞
=
即可得到描写)(t M ξ的微分方程：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧=-+=0)0()()()
(n M t M a t d t M d ξξξμλ （3）解上面的微分方程，我们有：
[]
t t e a
e n t M )()(01)(μλμλξλ
μ----+
=
P233/19. 解（1）根据题意得到Q 矩阵为
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+--=
λλμμλλμμλλμμλλ)(0)
2(2000)(000
n n Q
由福克－普朗克方程得：
⎪⎩⎪⎨⎧≥+++-=+-=+-)1()()1()()()()
()
()()
(11100n t p n t p n t p dt
t dp t p t p dt t dp n n n n μμλλμλ （2）
∑∑∑∑∑∞
=-∞=∞
=+∞
=+-∞
=++-==+++-+++-='=∂∂0
1
1
11110
0)()()()()]()1()()()([)()()(),(n n n n n
n n n n n n n n n n n n
u t p n u t p n u
t p t p n t p n t p t p t p u t p t t u G μμλλμμλλμμλ
而
∑∞
=--=∂∂-0
1)()1()
,()1(n n n u t np u u t u G u μμ
因此
左边=∑∑∞
=∞
=+-0
01
)()(n n n n n n u t p u
t p λλ
右边=∑∑∑∞
=∞
=+∞
=-=-=-0
1
)()()()1(),()1(n n n n n n n n
n u t p u
t p u t p u t u G u λλλλ
左边=右边，证毕。

（3）将)]1([),(-=-u e f e
t u G t u μμ
λ
代入左边。

右边
),()1()]1([)1())]1([)]1([()1()()1()]1([左边=-=-⋅⋅⋅-=⋅-'+-⋅⋅⋅-+⋅-⋅-⋅-'⋅=-----t u G u u e f e
u e u e f u e f e u e u u e f e
t u u t t u t
t u λλμ
λμμμμ
λμ
λ
μμμλ
μμμ
λ
（4）由1)0,(=u G ，有
1)1(=-u f e
u μ
λ
即
u e
u f μ
λ-
=-)1(
进而有
)
1()(+-=u e
u f μ
λ
所以
)1)(1())1((),(t e u t
u e
u e
f e
t u G μμ
λ
μμ
λ----=-=
（5）令
x e t =--)1(μμ
λ
，由(4)的结论 +-++-+-+==-!
)1(!2)1()1(1),(22)
1(n u x u x u x e
t u G n
n u x
其中n u 对应的系数为
()()
x n n n n n n e n x n x C n x C n x -++=++++-+!
)!2()!1(!22
11 所以
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-=----n t e n e n e
t p t )]1([!1)()
1(μμ
λ
μλμ （6）
)1()1()]1([!1)1()]1([)!1(1)]1([!1)()()
1()
1(0)
1(1)1(1
)
1(1
t e t e n n t t
e n n t e n n t e n n e e e e e n e e e n e e n ne
t np t M t
t t t t μμλ
μμ
λμμμ
λμμ
λ
μμ
λξμ
λ
μ
λμλμλμ
λ
μλμμμμμ-----∞
=----∞=---∞
=---∞=-=
⋅-⋅=-⋅-⋅=--=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-==-----∑∑∑∑ （7）由(5)的结论，知
μ
λμ
λμ-
--→∞
→∞
==-e
e
t p t e t t )
1(0lim )(lim
P236/24解：
(1) 根据题意得Q 矩阵
⎥⎥
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+--=
0)(000)
(000
λλμαμα
λ
λμαμαλ
λQ
由平衡方程，有
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=++-=++-=+-+-
)(0
)(0
1
121010n n n p p p p p p p p αμαμλλαμαμλλαμλ 因此有 αμλ
=+i i p p 1，进而 ),2,1,0(0
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=n p p n
n αμλ
因为
11000=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⇒=∑∑∞
=∞
=n n
n n p p αμλ 所以，当
1<αμ
λ
时系统平稳。

),2,1,0(1 =⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n p n
n αμλαμλ
(2) λ
αμλ
μμ
μ
-⋅
=
=
=∑∑
∞
=∞
=11
n n n n Q np p n
W
(3) 前)1(-n 次以概率α-1重新排队，第n 次以概率α离开，所以()αα⋅--1
1n 即为所求。

(4) ()
()αμ
αμαααμ
11101
01
=-=⋅-=∑∑
∞=-∞
=-n n n n n n
T
26．解
(1) 设系统状态为不工作机器的数量，则{}3,2,1,0=S ，得Q 矩阵
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+-+--=μμλλμμλλμμλ
λ3300
)2(2002)2(00
33Q
列出平衡方程
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-=-+-=++-=+-0
303)2(202)2(30
3323212
1010p p p p p p p p p p μλμμλλμμλλμλ 其中：8
110
1==μλ
解得
729
64,729
240
,729
300
,729
1253210=
=
=
=
p p p p 所以
729
972
)(3
0=
=∑=n n np t M ξ (2) 729
2432
)72964729240(8)(832=
+=+=p p T
P237/28. 解：（1）设泊松分布第1-n 个事件发生与第n 个事件发生的时间间隔n X 的特征函数为：)(u n X Φ，则有：
)}1(exp{)(-=Φu i X e u n μ
由于}{n X 是独立同分布的，根据 ∑==n
k k n X S 1 以及特征函数的性质可知：
[][]
)}1(exp{)}1(exp{)
()(-=-=Φ=Φu i n
u
i n
X S e n e
u u n n μμ
因此可知n S 是服从参数为μn 的泊松分布，即：
,2,1,0,!
)(}{===-k e k n k S P n k n μ
μ
（2）由：}{}{)})({1t S P t S P n t N P n n ≤-≤==+可知：
∑∑=+-=-+-==][0
)1(]
[0!])1[(!)(})({t k n k t k n k e k n e k n n t N P μ
μμμ
附：一阶拟线性（线性）偏微分方程的解法：
一阶拟线性方程的一般形式：
),,(),,(),,(u y x c u u y x b u u y x a y x =+
一阶线性方程的一般形式：
),(),(),(),(y x d u y x c u y x b u y x a y x +=+
称：
)
,,(),,(),,(z y x c dz
z y x b dy z y x a dx ==
或：
),,(),,,(),,,(z y x c dt
dz
z y x b dt
dy
z y x a dt
dx
=== 为一阶拟线性方程的特征方程。

由此方程确定的曲线))(),(),((t z t y t x 为特征曲线。

一阶拟线性方程的特征方程的解),(y x u 为积分曲面。

有以下定理：
定理：若特征曲线γ上一点),,(0000z y x P 位于积分曲面),(:y x u u S =上，则γ整个位于S 上。

初值问题：
给定初始曲线：))(),(),((),,(:s h s g s f z y x =γ，s 为参数。

则一阶拟线性方程的初值问题的提法是：求方程的解),(y x u z =，使满足))(),(()(s g s f u s h ≡。

我们有以下定理。

定理：设曲线))(),(),((),,(:s h s g s f z y x =γ光滑，且022≠'+'g f ，在点
))(),(),((),,(0000000s h s g s f z y x P ==处行列式
0)
,,(),,()
()(00000000≠''=z y x b z y x a s g s f J
又设),,(),,,(),,,(z y x c z y x b z y x a 在γ附近光滑，则初始问题：
⎩
⎨
⎧≡=+)())(),(()
,,(),,(),,(s h s g s f u u y x c u u y x b u u y x a y x 在参数0s s =的一邻域内存在唯一解。

例：已知初始曲线10,2
,,:<<===s s
z s y s x γ，求初值问题：
⎩⎨⎧==+2/1s u u uu y x γ
解：由于：
02/11
2/1
1),,(),,()()(00000000≠-==''=
s s z y x b z y x a s g s f J
解常微分方程的初值问题：
⎪⎩⎪⎨⎧=====)
2/,,,(),,(1,1,
0s s s z y x dt dz dt dy z dt
dx
t
得：
s st t z s t y s t z ++=+=+=2/2/,,2/2
由后两式解出t s ,，并代入第一式，解得：
)
2(224),(2
y y x y y x u z ---==
P233/9. 解初值问题：
⎩
⎨
⎧=-=+-=)1,0,(),,()1()1(0s z t u G
u G G u t u τλμ 由于：
011
)1(0
1),,(),,()()(00000000≠=-=''=s z y x b z y x a s g s f J μ
解常微分方程的初值问题：
⎪⎩⎪⎨
⎧=-==-==)
1,0,,(),,()1(,1),
1(0s z y x z u d dz d dt u d du
t λττμτ 解得：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-+-=+-==μλμλτμτμτ
)1()1(lnz 1
)1(s e s s e u t 在上面式子中消去参数τ,s ，得初值问题的解：
)}1)(1(ex p{
),(t e u t u G μμ
λ
---=
P311/1. 解：（1）给定 1212,k k t t ≥>时，有
（2）任取,0,21>t t 我们有：
所以Poission 过程不是平稳过程。

P311/2. 解：（1）由Poission 过程的性质，任取1212,,t t t t >假定事件：
则有：
，
因此有：
（2）由
，且),;,(2121t t x x f ξ仅与12t t -有关，可知
是平稳过程。

P312/3. 解：（1）由均值的定义，我们有：
（2）由相关函数的定义，任取
，我们可得：
P312/4. 解：为了解此题，先看下面的引理： 引理：设
是服从正态分布的二维随机变量，其概率密度为：
则 和Y 取不同符号的概率为：
引理的证明：
令：
则有：
以上式子用了变换：
由：
因此只要求：
因此有：
由于此时：
我们即可得到结论。

P313/5. 证明：由于：
故
是宽平稳过程。

分别取,4/,021π==t t ，则
，ξ)4/sin()(2πθ+=z t ，因为
具
有不同分布，所以)(t ξ不满足一级严平稳条件。

P314/10. 解：样本函数不连续。

令：012≥>t t ，下面求相关函数：
因为：
因此该过程是均方连续的随机过程。

P314/11. 证明：令：
，则有
由车比雪夫不等式：
P315/13. 证明：（1）令： ，由上题的结果可知：
因此有
（2）由相关函数的定义及（1）的结果，有
P316/17. 解：（1）由均值函数和相关函数的定义，我们有：
由
，可得
（2）有上面的结果知
是一宽平稳过程。

令： ，
，
，
，
不具有相同的分布，所以 不是一级严平稳过程。

P318/22. 解：根据题目给定的条件，有：
，
因为：，因此有：
P318/23. 解：根据为一平稳过程，则有：
，
因此有：
P318/25. 解：由平稳过程相关函数的定义，有：
P319/28. 解：由题意，我们有：
设，则有：
令：，则有：，因此有：
P319/30. 解：（1）由于：
因此输入不是平稳的。

（2）由计算可得：
（3）计算均值函数和相关函数为：
因此输出不是平稳的过程。

P445/1．解题中给出的是一确定性周期信号，令：，因此它们的时间相关函数和功率谱密度分别为：
当时，
因此有：
P445/2. 解：（3）
（4）
P445/3. 解：由功率谱密度和相关函数的关系，有：
P446/4. 解：（1）由于：
因此，由功率谱密度和相关函数的关系，有：
（2）由功率谱密度和相关函数的关系，有：
P446/5. 解：由功率谱密度和相关函数的关系及是偶函数，我们有：
其均方值为：
P447/7. 解：（1）冲激响应为：
（2）由6题的结果，我们有：
注意到的定义，当或时，，
当时，
当时，
因此有：
（3）由6题的结果，令：
，有：
P447/8. 解：由Fourier 变换，有：
因为：
则有：
因此有：
当
时，有
由于： e e R 4321)1(3+-=ξη，34
1
)1(-=-e R ξη，显然
，所以 不关于0
=τ对称。

P448/11. 证明I ：当
时，利用实平稳过程相关函数的非负定性以及 ，
取：τ21=t ，τ=2t ，03=t ；以及 ，
我们有：
由此可得：
即有：
因此有：
证明II ：设此随机过程的功率谱密度函数为 ，由题意可知)()(ωωξξ-=S S ，下
面用归纳法证明结论： 当
时，有
假设当n=k 时，结论成立，即
则有：
即当n=k+1时，结论成立，由归纳法可知有结论成立。

S为第i个脉冲到达时刻，则有：P450/14. 解：由样本函数可知，假设
i
根据：，由
我们有：
由于
因此，当∞→t 时，
是平稳过程，且
由Fourier 变换，可得：
P452/16. 解：由
，且
与
的独立性及它们的平稳性，有：
P452/17. 证明：（1）由：
由于：
因此：
是平稳过程。

由于：，因此输出过程)
(t
（2）由（1）的结果，有：
P454/19. 解：令，我们有：
P454/21. 解：（1）取：，则有：
，
因此有：
（2）由（1）的结果，有：
由于：
因此有：
P561/1. 解：只要求矩阵B的逆矩阵即可。

我们有：
P562/4. 解：由求特征函数的公式：
我们有：
P563/7. 解：由的密度函数，我们有：因此有：
计算，得：
因此是独立的随机变量。

由于变换的雅克比行列式为，因此变换后的分布密度为：
由归一化条件可以确定。

P562/6. 解：由特征函数的定义，可知三维正态随机向量的特征函数为：
令：
则有：（1）
计算得：
因此有：
（2）
计算得：
对于i t 次数大于1的那些项，当0=i t 时，都会变成0，统一记作),,(321t t t A ，有：
对于含有i t 的那些项，当0=i t 时，都会变成0，统一记作
，则有：
利用Φ(0,0,0)=1，可得：
（3）先求得：
则有：
P563/8. 解：求边缘分布密度，由于：
即服从正态分布，同理也服从正态分布。

注意到：我们可以求得随机变量的分布密度为：
由全概率公式，我们有：
因此，当时，我们有：
即：
显然，上式第一项表示的是正态分布的项，而第二项是非零的，因此和的线性组合不是一维正态分布，由书中P472的定理一，我们可知不是二维正态分布。

P564/11. 解：（1）根据维纳－辛钦定理，我们有：
则有
故两两不相关，由于是高斯过程，因此它们是独立的。

令：
则有：
因此有：(的联合概率密度为：
（2）由于
故有：
P568/18. 解：我们知道，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程是正态过程，且有：
由公式（见P466例）：
我们有：
即有：
下面计算：
当
时，有：
由于此时当∞→T 时，有∞→τ，因此：
当
时，我们有：
因此有：
同理可以讨论当 和 的情形，同样有 。

由相关函数各态历经性定理可知，平稳奥斯坦－乌伦贝克过程具有相关函数各态历经性。

P569/23. 解：随机微分方程的解为：
P569/24. 解：将微分方程化成标准形式，有：
利用上题的结果，有：
由于
X为常数，因此我们有：
由于X(t)是正态分布，因此可以写出其一维分布密度为：。