高等数学微积分曲率课件
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高等数学微积分曲率课件.
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y)2 x0 x
M M lim 1 x 0 M M
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2 2 或 ds (dx) (d y ) ds 1 ( y) dx x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t ) 2
注意: 直线上任意点处的曲率为 0
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 越小, 则K 越大 , 圆弧弯曲得越厉害 ;
R 越大, 则K 越小 , 圆弧弯曲得越小 .
处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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例3. 求椭圆 解: x a sin t ; y b cos t ; 故曲率为
在何处曲率最大?
x a cos t y b sin t
ab xy x y K 2 2 32 2 2 2 2 32 ( x y ) (a sin t b cos t )
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曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f ( x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得
arctan y
d (arctan y) d x
高等数学方明亮37曲率.ppt
(t) (t) (t) (t)
K
3.
2 (t) 2 (t) 2
2024年9月27日星期五
7
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例 1 求抛物线 y ax2 bx c 上任意一点处的曲率， 并问那一点的曲率最大？
解： 易知， y 2ax b ， y 2a ，由曲率计算公式知，
y
2a
K
3
3
(1 y2 )2
d2
ds2
d (d )
dx ds
ds dx
6
x
1 1 6 4x 4x 1
3
d2
ds2
(d )2
ds
3
1
(4
x
1)
3 2
2
6 4x 1
2
6x 9
2024年9月27日星期五
13
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内容小结
1. 基本概念（理解） 弧微分、 曲率、 曲率圆和曲率半径.
2. 基本公式（掌握）
10
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注意:
1 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互
为倒数. 即 1 , k 1 .
k
2 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲
率越小; 曲率半径越小,曲率越大.
3 由上述定义可知，曲率圆与曲线在点 M 有相同的切线 和曲率，且在点 M 邻近有相同的凹向，因此，在实际问 题中，常常用曲率圆在点 M 邻近的一段弧来近似代替曲 线弧，以使问题简化．
1
2ax
b
2
2
因为当 x b 时，K 有最大值 2a ， 2a
而 x b 所对应的点为抛物线的顶点， 2a
《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
0307曲率.ppt [修复的]
![0307曲率.ppt [修复的]](https://img.taocdn.com/s3/m/02a71974caaedd3383c4d33d.png)
第七节 曲 率 一、弧长的微分(弧微分)
y
M
设y = f ( x )具有连续导数 .
如图 : 基点 A( x0 , f ( x0 )),
A
M ( x , y )为曲线上的任意一点 .
o
x0
x
x
引进一个函数 s = s( x ), 称为弧长函数,
规定：(1) 曲线的正向是指 x增大时 ( x , f ( x ))的运动方向;
解: K =
(1 +
y′′
3 y′ 2 ) 2
=
6
3 (4 sin 2 t + 9 cos 3
(4 + 5 cos 2 t ) 2 则有 t = 要使 k 最大， 此时 , kmax 3 = . 4
π 3π
2 , 2
,
2
x
四、小结与教学基本要求 ◆会求: 曲率. ◆了解: 曲率、曲率圆、曲率中心、曲率半径的概念.
弧微分公式
3 2 x 在x = 1处, ∆x = 0.1和∆x = −0.1时的ds. 练习 求曲线y = 2
解 在x处, ds = 1 + ( y′ )2 dx
= 1 + ( 3 x )2 dx = 1 + 3 x 2 dx , ∴当x = 1, ∆x = 0.1时, ds = 1 + 3 × 12 × 0.1 = 0.2, 当x = 1, ∆x = −0.1时, ds = 1 + 3 × 12 × ( −0.1) = −0.2.
o
A
M
T
∆x P
dx
∆ y dy
x
=| MN |,
x0 x x + ∆x
| ∆s | | MN | | MN | | MN | | MN | ∆x 2 + ∆y 2 = ⋅ ∴ = = ⋅ | ∆x | | ∆x | | ∆x | | MN | | ∆x | | MN | | MN | ∆y 2 ∆s | MN | ∆y 2 = ⋅ 1+ ( ) , ∴ = ⋅ 1+ ( ) , ∆x ∆x | MN | ∆x | MN | ds 2 故 ds = 1 + y′ 2 dx . ′ ∴ = 1 + f ( x) , dx
y
M
设y = f ( x )具有连续导数 .
如图 : 基点 A( x0 , f ( x0 )),
A
M ( x , y )为曲线上的任意一点 .
o
x0
x
x
引进一个函数 s = s( x ), 称为弧长函数,
规定：(1) 曲线的正向是指 x增大时 ( x , f ( x ))的运动方向;
解: K =
(1 +
y′′
3 y′ 2 ) 2
=
6
3 (4 sin 2 t + 9 cos 3
(4 + 5 cos 2 t ) 2 则有 t = 要使 k 最大， 此时 , kmax 3 = . 4
π 3π
2 , 2
,
2
x
四、小结与教学基本要求 ◆会求: 曲率. ◆了解: 曲率、曲率圆、曲率中心、曲率半径的概念.
弧微分公式
3 2 x 在x = 1处, ∆x = 0.1和∆x = −0.1时的ds. 练习 求曲线y = 2
解 在x处, ds = 1 + ( y′ )2 dx
= 1 + ( 3 x )2 dx = 1 + 3 x 2 dx , ∴当x = 1, ∆x = 0.1时, ds = 1 + 3 × 12 × 0.1 = 0.2, 当x = 1, ∆x = −0.1时, ds = 1 + 3 × 12 × ( −0.1) = −0.2.
o
A
M
T
∆x P
dx
∆ y dy
x
=| MN |,
x0 x x + ∆x
| ∆s | | MN | | MN | | MN | | MN | ∆x 2 + ∆y 2 = ⋅ ∴ = = ⋅ | ∆x | | ∆x | | ∆x | | MN | | ∆x | | MN | | MN | ∆y 2 ∆s | MN | ∆y 2 = ⋅ 1+ ( ) , ∴ = ⋅ 1+ ( ) , ∆x ∆x | MN | ∆x | MN | ds 2 故 ds = 1 + y′ 2 dx . ′ ∴ = 1 + f ( x) , dx
高等数学导数应用(三)曲率PPT课件
高等数学导数应用 (三)曲率ppt课件
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。
目录
• 曲率定义与计算 • 导数与曲率的关系 • 曲率在实际问题中的应用 • 曲率的应用案例分析 • 总结与展望
01
曲率定义与计算
曲率的定义
曲率是描述曲线在某一点弯曲程 度的量，定义为曲线在该点处切
线的斜率的变化率。
在二维平面上，曲线的曲率等于 其上任一点处切线的斜率的导数。
导数的性质
导数具有连续性、可导性、可积性等 性质，这些性质在研究函数的形态、 单调性、极值等问题中具有重要作用。
导数与曲率的关系
导数与曲率的关系
曲率是描述曲线在某一点弯曲程度的 量，与函数在该点的导数密切相关。 曲率等于函数在该点的导数的绝对值 。
导数与曲率的几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点的 切线斜率，而曲率表示该点附近曲线 的弯曲程度。因此，导数和曲率共同 决定了曲线在该点的形态。
在几何图形中，曲率的应用非常广泛，如圆、椭圆、 抛物线、双曲线等。
曲率决定了图形的形状和性质，如圆的曲率处处相等 且为常数，而抛物线的曲率只在顶点处为0。
在工程和科学研究中，曲率的应用也非常重要，如分 析机械零件的应力分布、研究光的传播路径等。
的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
05
总结与展望
总结高等数学导数应用(三)曲率的主要内容
曲率的概念
曲率是描述曲线弯曲程度的量，对于二维平面上的曲 线，曲率等于切线方向的转动角速度。
导数与曲率的关系
曲率是函数二阶导数的几何意义，即曲率等于函数二 阶导数的值。
曲率的应用
曲率在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用，如 分析机械零件的应力分布、预测股价波动等。
高等数学课件3-5曲率
单ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ此处添加副标题
高等数学课件3-5曲率
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题
曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
添加目录项标题
02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
汇报人：
添加标题
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高等数学课件3-5曲率
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题
曲率的概念
曲率在高等数学中的意义
高等数学课件3-5曲率的讲解重点 如何理解高等数学课件3-5曲率的
意义 如何应用高等数学课件3-5曲率解
决实际问题
01
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02
曲率的概念
曲率的定义
曲率是描述曲线 弯曲程度的量
曲率越大，曲线 弯曲程度越大
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率是曲线在某 一点的切线方向 与该点处曲线的 法线方向之间的 夹角
曲率的计算方法
曲率公式：k = 1/r，其中k为曲率，r 为半径
曲率圆：曲率半径的圆，曲率中心为 圆心，曲率半径为半径
曲率半径：r = 1/k，其中k为曲率
曲率在曲线和曲面中的应用
曲率是描述曲 线或曲面弯曲
程度的量
曲率越大，曲 线或曲面的弯
曲程度越大
曲率在微分几 何、拓扑学、 物理等领域有
广泛应用
曲率可以帮助 我们理解和分 析曲线和曲面 的性质，如长 度、面积、体
积等
曲率在微积分学中的应用
曲率是描述曲线弯曲程度的重要 参数
曲率在微积分学中用于求解曲线 的弧长、面积等问题
利用曲率进行创新和设计
曲率在工程设计中的应用：如 桥梁、建筑、机械等
曲率在艺术设计中的应用：如 雕塑、绘画、平面设计等
曲率在科学研究中的应用：如 物理、化学、生物等
曲率在商业设计中的应用：如 产品包装、广告设计等
感谢观看
汇报人：
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高教社2024高等数学第五版教学课件-3.5 曲率
反比。
设, 是曲线 = ()的两个点,假如曲线在点和
点的切线与轴的夹角分别为和 + ，那么当点沿
曲线 = ()变到时，角度改变了，而改变这个角
度经过的路程则是弧长 = ，就用比值
来刻画
曲线段的弯曲程度，称为平均曲率。为了刻画曲线
在某点处的曲率，有下面的定义：
来向北最后拐向东了，即方向改变了90 ；另一方面是指在多远的路程上
改变了这个角度，如果两个弯都改变了90 ，但一个是在10m内改变的，另
一个是在1000m内改变的，当然前者比后者弯曲得厉害。由此可见，弯曲
程度是由方向改变的大小及在多长一段路程上改变的这两个因素所决定的，
并且弯曲程度与方向改变的大小成正比，与改变这个方向所经过的路程成
=
| ″ |
(1+ ′2 )3Τ2
=
2
(1+(−1)2 )3Τ2
=
12ຫໍສະໝຸດ =22
例4
抛物线 = 2 + + 上哪一点处的曲率最大？
′
″
解 由于 = 2 + = 2由曲率公式 得 =
显然 当2 + = 0即 = −
|2|
[1+(2+)2 ]3Τ2
第三章 导数的应用
第五节 曲率
在现实生活中，许多问题都要考虑曲线的弯曲程度，如修建铁
路时，铁路线的弯曲程度必须合适，否则容易造成火车出轨。数学
上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。
一、 曲率的概念
人们坐汽车时，公路弯曲程度在车上是有感觉的。人们说这个弯大，
那个弯小，通常是从两个方面来说的：一是指公路方向改变的大小，如原
设, 是曲线 = ()的两个点,假如曲线在点和
点的切线与轴的夹角分别为和 + ，那么当点沿
曲线 = ()变到时，角度改变了，而改变这个角
度经过的路程则是弧长 = ，就用比值
来刻画
曲线段的弯曲程度，称为平均曲率。为了刻画曲线
在某点处的曲率，有下面的定义：
来向北最后拐向东了，即方向改变了90 ；另一方面是指在多远的路程上
改变了这个角度，如果两个弯都改变了90 ，但一个是在10m内改变的，另
一个是在1000m内改变的，当然前者比后者弯曲得厉害。由此可见，弯曲
程度是由方向改变的大小及在多长一段路程上改变的这两个因素所决定的，
并且弯曲程度与方向改变的大小成正比，与改变这个方向所经过的路程成
=
| ″ |
(1+ ′2 )3Τ2
=
2
(1+(−1)2 )3Τ2
=
12ຫໍສະໝຸດ =22
例4
抛物线 = 2 + + 上哪一点处的曲率最大？
′
″
解 由于 = 2 + = 2由曲率公式 得 =
显然 当2 + = 0即 = −
|2|
[1+(2+)2 ]3Τ2
第三章 导数的应用
第五节 曲率
在现实生活中，许多问题都要考虑曲线的弯曲程度，如修建铁
路时，铁路线的弯曲程度必须合适，否则容易造成火车出轨。数学
上常用“曲率”这一概念来描述曲线的弯曲程度。
一、 曲率的概念
人们坐汽车时，公路弯曲程度在车上是有感觉的。人们说这个弯大，
那个弯小，通常是从两个方面来说的：一是指公路方向改变的大小，如原
微积分课件3-7曲 率
2
k
y
3
.
(1 y ) 2
2
x ( t ), 设 y ( t ),
k
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
3
.
[ ( t ) ( t )]2
2 2
例3 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 解 y 2 ax b ,
o
y
1 k
y f ( x)
D
在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 1 k
D , 使 DM
M
x
. 以 D 为圆心 , 为半径 M 处的曲率圆 .
作圆 ( 如图 ), 称此圆为曲线在点
D 曲率中心 ,
曲率半径 .
注意: 1 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处 的曲率互为倒数.
即 1 k ,k 1
.
2 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小;曲率半径越小,曲率越大.
例4 飞机沿抛物线
y
x
2
y
4000 ( 单位为米 ) 俯冲飞行 , 在原 点 O 处速度为 飞行员体重 v 400 米 / 秒 , 70 千克 .求俯冲
Q
o
x
到原点时 , 飞行员对座椅的 压力 .
x 增大的方向 ;
( 2 ) AM s , 当 AM 的方向与曲线正向
一致时 , s 取正号 , 相反时 , s 取负号 .
易看出：弧长 s s( x )是 x 的单调增函数.
下面求 s s( x ) 的导数与微分
设 N ( x x , y y )为曲线 上的另一点 ,
k
y
3
.
(1 y ) 2
2
x ( t ), 设 y ( t ),
k
( t ) ( t ) ( t ) ( t )
3
.
[ ( t ) ( t )]2
2 2
例3 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大 解 y 2 ax b ,
o
y
1 k
y f ( x)
D
在点 M 处的曲线的法线上 在凹的一侧取一点 1 k
D , 使 DM
M
x
. 以 D 为圆心 , 为半径 M 处的曲率圆 .
作圆 ( 如图 ), 称此圆为曲线在点
D 曲率中心 ,
曲率半径 .
注意: 1 曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处 的曲率互为倒数.
即 1 k ,k 1
.
2 曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小;曲率半径越小,曲率越大.
例4 飞机沿抛物线
y
x
2
y
4000 ( 单位为米 ) 俯冲飞行 , 在原 点 O 处速度为 飞行员体重 v 400 米 / 秒 , 70 千克 .求俯冲
Q
o
x
到原点时 , 飞行员对座椅的 压力 .
x 增大的方向 ;
( 2 ) AM s , 当 AM 的方向与曲线正向
一致时 , s 取正号 , 相反时 , s 取负号 .
易看出：弧长 s s( x )是 x 的单调增函数.
下面求 s s( x ) 的导数与微分
设 N ( x x , y y )为曲线 上的另一点 ,
高等数学A1教学PPT课件1：20-第20讲 相关变化率、曲率
将 (1)式两边关于t 求导, 得
d y 2 x d x ,
dt
dt
故在 x 200时, 圆板面积的增加率为
d y 2 200 0.01 4 (cm/ 秒).
dt
例2 向一个上顶的直径为8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为4 m3/分, 求当水深5 米时水表面上
升的速度 ?
( b cot )
a
(a cos )
b a2
1
sin 3
故
k
y
(1
y2
)
3 2
(a2 sin 2
ab
b
2
cos
2
)
3 2
令
d k 3ab(a2 b2 )sin cos
d
(a2
s in 2
b2
cos2
5
)2
0,
得驻点 0 , , , 3 ,
2
2
因为 a b , 故在各象限中 d k 的符号依次为
(1 y2 )3 y2
(1)
又 DM 位于曲线在点 M 处的法线上 , 其斜率为
k法
y0 x0
曲线在点 M 处切线的斜率为 y , 从而 , 有
y x0 y0
(2)
由 (1) , (2) 两式消去 x0 , 得
画画图 更清楚
(
y0
)2
(1 y2 y2
)2
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以
曲率中心的坐标
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线方程为 y f (x) , f (x) 存在且
f (x0 ) 0 , 则曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率
中心 D(, ) 的坐标为
d y 2 x d x ,
dt
dt
故在 x 200时, 圆板面积的增加率为
d y 2 200 0.01 4 (cm/ 秒).
dt
例2 向一个上顶的直径为8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速
注水. 若注水的速度为4 m3/分, 求当水深5 米时水表面上
升的速度 ?
( b cot )
a
(a cos )
b a2
1
sin 3
故
k
y
(1
y2
)
3 2
(a2 sin 2
ab
b
2
cos
2
)
3 2
令
d k 3ab(a2 b2 )sin cos
d
(a2
s in 2
b2
cos2
5
)2
0,
得驻点 0 , , , 3 ,
2
2
因为 a b , 故在各象限中 d k 的符号依次为
(1 y2 )3 y2
(1)
又 DM 位于曲线在点 M 处的法线上 , 其斜率为
k法
y0 x0
曲线在点 M 处切线的斜率为 y , 从而 , 有
y x0 y0
(2)
由 (1) , (2) 两式消去 x0 , 得
画画图 更清楚
(
y0
)2
(1 y2 y2
)2
由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以
曲率中心的坐标
设ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线方程为 y f (x) , f (x) 存在且
f (x0 ) 0 , 则曲线在点 M (x0, y0 ) 处的曲率
中心 D(, ) 的坐标为
《曲率及其计算公式》PPT课件
4
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
2
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0 Ds ds
ds
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。
高等数学 第七节 曲率完美版PPT资料
高等数学 第七节 曲 率
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2
ds dx
lim
x 0
s lim x2 y2 x0
x2 y2 x
,
其中 lim s 1 , x0 x2 y2
lx i0m x 2 x y 2 lx i0m 1 x y2
1
dy dx
2
1y2 ,
ds dy
dx
ds1y2, dx
ds2 dx2 d y2
时, F发生跳变而震动 , 只有k当 连续,时 火车运行才能 .
因此 , f(x)应当满:足 1. f(0)0, 2. f(0)0, 与 BO 方向一致
3. f(0)0, 即 k 0与 BO 段曲率相同 4. f(2)2. 火车过 A点
如 f ( x 果 ) a 3 x 3 a 2 选 x 2 a 1 x a 0 根据前述,确 四定 f个 (x)的 条四 件个 ,得 :系数
按 . 曲率越大 , 弯曲越厉害 . 直线曲率 k 0 .
例 1 .y a 2 x 2 . ( a x a )
半径为 a 的上半圆方程 .
y x , a2 x2
y
a2 a2 x2
3
,
a2
曲率k
y 1y2
3 2
a2 x2 3
1
a
x2 2x
2
3
2
1 a
.
结论:
半径为 a 的圆之圆弧曲率处处为
*曲率中(心 曲率圆的)圆x心 弧微分 .
弧 d 1 微 s y 2 d d x 分 2 d x 2 y x 2 y 2 d t .
曲率k
y
1y2
3 2
.
圆的曲率
1 R
,
R圆半径.
曲率半 k 1径 1yy2
高等数学课件：3-8 曲率
且
K min
1, 4a
R
1 K
4a.
©
KK
1'|(fft"')'(2(xx(")t)()2| t3)/2'2
'(t|)y""| (
(1t) y'32/ 23/
t
2
)
模型检验 检验K 是否符合人们关于“弯度”的感觉经验。
感觉1： 直线是不弯曲的，其“弯度”应该处处为零。
检验1： 设直线方程为y ax b, 则 y" 0.
| 1
f"(x) | f '(x) 2
3/2
| y"| 1 y'2 3/ 2
当曲线
方
程
是
由
参
数方程
x y
(t) (t)
,
t (, ) 给出时,
由 参 数 方 程 的 导 数y'
'(t) '(t)
,
y"
"(t)'(t) '(t)"(t) '2 (t)
可得 K
'(t) "(t) '(t)"(t) '2 (t) '2 (t) 3/ 2
显然曲率处处为K 0 .
感觉2： 圆上各个点的“弯度”应处处相同。
检验2： 设圆的方程为x R cos t , y R sint .
(R sint)(R sint) (R cos t)(R cos t)
K
(R sint)2 (R sint)2 ) 3/2
1 R
| y"|
感觉3： 抛物线在顶点处的弯度最大 K 1 y'2 3/2
高等数学(上)课件：3_7曲率
b
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a
ax
最大.
b
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 有上述可知
椭圆在
处曲率最大 ,
y
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
x asin t ;
x acost
x 表示对参
y bcost ;
y bsin t
数 t 的导数
显然
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
曲率圆和曲率半径
设曲线y f ( x)在点 y
M ( x, y)处的曲率为K (K
y f (x)
0).在点 M 处的曲线的
D
法 线 上, 在 凹 的 一 侧 取 一
高等数学（上） 3.7节 曲率
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
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K 最大
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f ( t ) 2a 2 sin t cos t 2b 2 cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
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计算驻点处的函数值:
f (t ) (a 2 b 2 ) sin 2 t 3 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , , , 2 2 2
第四章
第七节 平面曲线的曲率
一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
机动
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结束
一、 弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f (x) B 弧长 s AM s(x) M s M M M M M M A y M x x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x b x MM x x x 设
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
机动
a
b
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a x
返回
结束
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
2 2
3
y
即曲率半径最小, 且为
o
2
x
(a sin t b cos t ) R ab
2 2
t 0
显然, 砂轮半径不超过 或有的地方磨不到的问题.
时, 才不会产生过量磨损 ,
例3
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结束
内容小结
ds (dx) 2 (d y ) 2 1. 弧长微分 ds 1 y dx 或
注意: 直线上任意点处的曲率为 0
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 越小, 则K 越大 , 圆弧弯曲得越厉害 ;
R 越大, 则K 越小 , 圆弧弯曲得越小 .
M2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
M1
S 2 N
弧段弯曲程度
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
越大转角越大
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
3 2
K
y (1 y )
2
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3
2
机动
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结束
1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 说明:
处的曲率.
铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须
连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
点击图片任意处播放\暂停
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2 Rl 2R 1 y x Rl 1 x K y Rl 显然
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R
T
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
1 1 即 R ,k . k R 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
2
y d 2. 曲率公式 K 2 32 ds (1 y ) 3. 曲率圆 2 32 1 (1 y ) 曲率半径 R y K
思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ;
2. 求双曲线
凹向一致 ;
曲率相同.
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y 2 , y 3 , 则 x x 1
2
3 2
(1 y ) R y
显然 R
x 1
(1
2
1) 2 x4
3
o 1
1 ( x2 2
x
x3
1) 2 2 x
3
2
2 为最小值 .
利用 a 2 b 2 2 ab
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处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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例3. 求椭圆 解: x a sint ; y b cos t ; 故曲率为
在何处曲率最大?
x a cos t y b sin t
ab xy x y K 2 2 32 2 2 2 2 32 ( x y ) (a sin t b cos t )
2
则弧长微分公式为 几何意义:
ds x 2 y 2 d t
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx o x x dx x
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M
T dy
二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
2
1
设曲线方程为 曲率半径
且
求曲线上点M 处的
曲率半径公式为
y
D( , )
1 (1 R K y
2 32 y )
C
o
R
M ( x, y)
T
x
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 ,
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y)2 x0 x
M M lim 1 x 0 M M
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或 ds (dx) 2 (d y ) 2 ds 1 ( y) dx x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
y
D( , )
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
机动
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曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得
arctan y
d (arctan y) d x
) 2 2
d K ds
又 故曲率计算公式为
K
y (1 y )
2 32
当 y 1时 , 有曲率近似计算公式 K y
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说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t ) x y y x K 2 2 32 (x y )
(2) 若曲线方程为 x ( y ) , 则
K
x ( 1 x )
2
求驻点:
f (t ) a 2 sin 2 t b 2 cos 2 t 最小
f ( t ) 2a 2 sin t cos t 2b 2 cos t sin t (a 2 b 2 ) sin 2 t
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计算驻点处的函数值:
f (t ) (a 2 b 2 ) sin 2 t 3 令 f (t ) 0 , 得 t 0 , , , , 2 2 2
第四章
第七节 平面曲线的曲率
一、 弧微分 二、 曲率及其计算公式 三、 曲率圆与曲率半径
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一、 弧微分
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB, y y f (x) B 弧长 s AM s(x) M s M M M M M M A y M x x M M x x M M (x) 2 (y ) 2 o a x b x MM x x x 设
t
0
2
b2
3 2
2
b2
y b
f (t )
b2
a2
a2
设 0 b a , 则t 0 , , 2 时
f (t ) 取最小值 , 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点 ( a , 0 ) 处曲率 最大.
机动
a
b
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a x
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 M 处作曲线的切线和法线, 在曲线
2 2
3
y
即曲率半径最小, 且为
o
2
x
(a sin t b cos t ) R ab
2 2
t 0
显然, 砂轮半径不超过 或有的地方磨不到的问题.
时, 才不会产生过量磨损 ,
例3
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内容小结
ds (dx) 2 (d y ) 2 1. 弧长微分 ds 1 y dx 或
注意: 直线上任意点处的曲率为 0
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R
1 K lim s 0 s R
M s R M
可见: R 越小, 则K 越大 , 圆弧弯曲得越厉害 ;
R 越大, 则K 越小 , 圆弧弯曲得越小 .
M2
S 2
M3
M
S1
N
M
S1
M1
S 2 N
弧段弯曲程度
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
越大转角越大
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线 转角为 , 定义 弧段 s 上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率
M
M s
d K lim s 0 s ds
3 2
K
y (1 y )
2
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3
2
机动
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 说明:
处的曲率.
铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须
连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
点击图片任意处播放\暂停
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1 3 x 作缓和曲线, 例2. 我国铁路常用立方抛物线 y 6 Rl 其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点 解: 当 x [ 0 , l ] 时, 1 2 l 0 y x 2 Rl 2R 1 y x Rl 1 x K y Rl 显然
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R
T
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
1 1 即 R ,k . k R 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
2
y d 2. 曲率公式 K 2 32 ds (1 y ) 3. 曲率圆 2 32 1 (1 y ) 曲率半径 R y K
思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ;
2. 求双曲线
凹向一致 ;
曲率相同.
的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小? y 1 2 解: y 2 , y 3 , 则 x x 1
2
3 2
(1 y ) R y
显然 R
x 1
(1
2
1) 2 x4
3
o 1
1 ( x2 2
x
x3
1) 2 2 x
3
2
2 为最小值 .
利用 a 2 b 2 2 ab
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处的曲率.
y
R B
o
l
1 3 y x 6 Rl
x
K
x 0
0;
K
x l
1 R
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例3. 求椭圆 解: x a sint ; y b cos t ; 故曲率为
在何处曲率最大?
x a cos t y b sin t
ab xy x y K 2 2 32 2 2 2 2 32 ( x y ) (a sin t b cos t )
2
则弧长微分公式为 几何意义:
ds x 2 y 2 d t
y
ds M T
dy sin ds
dx cos ; ds
dx o x x dx x
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M
T dy
二、曲率及其计算公式
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
2
1
设曲线方程为 曲率半径
且
求曲线上点M 处的
曲率半径公式为
y
D( , )
1 (1 R K y
2 32 y )
C
o
R
M ( x, y)
T
x
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适? 解: 设椭圆方程为 由例3可知, 椭圆在 处曲率最大 ,
MM y 2 1 ( ) MM x s s( x) lim 1 ( y)2 x0 x
M M lim 1 x 0 M M
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或 ds (dx) 2 (d y ) 2 ds 1 ( y) dx x x(t ) 若曲线由参数方程表示: y y (t )
y
D( , )
C 的凹向一侧法线上取点 D 使 M ( x, y) 1 o x DM R K 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心. 在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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曲率K 的计算公式 设曲线弧 y f (x) 二阶可导, 则由
tan y ( 设
得
arctan y
d (arctan y) d x
) 2 2
d K ds
又 故曲率计算公式为
K
y (1 y )
2 32
当 y 1时 , 有曲率近似计算公式 K y
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说明:
x x(t ) 给出, 则 (1) 若曲线由参数方程 y y (t ) x y y x K 2 2 32 (x y )
(2) 若曲线方程为 x ( y ) , 则
K
x ( 1 x )
2