第七讲期权定价理论

现货价格
＋
－
＋
－
施权价
－
＋
－
＋
期限
？
？
＋
＋
价格波动性
+
＋
＋
＋
无风险利率
+－Βιβλιοθήκη ＋－预期红利
－
＋
－
＋
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
假设与符号
• 假设
– 不存在交易成本。 – 所有交易盈利都适用同一税率。 – 投资者进行无风险借贷或者投资的利率是一样的。
• 符号
– S: 当期股票价格 – X：施权价格 – T：期权到期的时点 – t：当期时点 – ST：时点T的股票价格 – r：无风险利率 – σ：股票价格波动的标准差 – c,C：欧式及美式看涨期权价值 – p,P：欧式及美式看跌期权价值
• 所以组合A与组合B的价值相等，即
c＋ Xe-r(T-t) ＝p＋ S
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
示例
• 某股票现价为20元，施权价为20元，离到期尚有一年的欧 式看涨和看跌期权价格分别为3.00元和1.00元，无风险利率 为10%，问以上数据是否符合期权平价公式，如果不是， 你将如何进行套利？
• 红利
– 作为交割品的现金流，派发红利会导致交割品价格下降。 – 预期红利支付越高，看涨期权价格越低，看跌期权价格越高。
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
套利举例——利率与预期股票价格
例：某股票现货市场价格为10元，3个月后到期的该股票远期合约价 格为11元，目前市场的借贷利率为每年10％，假设该股票在未来三 个月内都不派发红利，问套利者将如何操作？
• 因此组合A的价值大于组合B
C+X > P+S，从而，S－X < C－P
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
7.6 红利的影响
• 期权价格上限
– 对于看涨期权来说，上限仍然是S – 对于欧式看跌期权来说，上限仍然是Xe-r(T-t) – 对于美式看跌期权来说，上限是X
• 期权价格下限
– 欧式看涨期权的下限变为S－D－ Xe-r(T-t) – 欧式看跌期权的下限变为D＋ Xe-r(T-t) － S – 美式看涨期权的下限变为不确定，但高于欧式期权 – 美式看跌期权的下限也是不确定，高于欧式期权
• 答案：
该看跌期权的价值下限为：Xe-r(T-t) － S＝24e-0.1－20＝1.71
该期权目前报价为1.00元，低于价值下限，因此可用下列策略套利：
从市场上借入21元，以1.0元买入该期权，以20元购买股票A。
一年后，如果股价低于24元，则执行期权获得24元，并偿还贷款本息， 利润为：24－21e0.1＝0.79；如果股票价格高过24元，则不执行期 权，将股票卖掉并偿还本息，利润为：股价－21e0.1>0.79。
c + D + Xe-r(T-t) >S，从而， c > S－D－ Xe-r(T-t)
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
欧式看跌期权的下限
p + S > Xe-r(T-t) ，从而， p > Xe-r(T-t) － S
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
示例
• 假设股票A现价20元，某欧式看跌期权施权价为24元，离 到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看跌期权的 最低价值是多少？假如该期权目前报价1.00元，你将如何 操作进行套利？
c + Xe-r(T-t) >S，从而， c > S－ Xe-r(T-t)
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
示例
• 假设股票A现价20元，某欧式看涨期权施权价为18元，离 到期还有一年时间，无风险利率为10%，问该看涨期权的 最低价值是多少？假如该期权目前报价3.00元，你将如何 操作进行套利？
• 到期时：
– 如果股票价格低于20元，看涨期权不会被执行，执行看 跌期权获得20元，偿还贷款本息，利润＝20－18e0.1＝ 0.11元；
– 如果股票价格高于20元，看跌期权不被执行，将所持股 票用于施权，获得20元，偿还贷款本息，利润＝20－ 18e0.1＝0.11元。
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
第七讲期权定价理论
美式看涨与看跌期权价格关系
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金X 组合B：一份美式看跌期权，施权价X，加上一份股票
• 时点τ
– 如果组合B执行了看跌期权，那么价值为X – 组合A的价值为现金Xer(τ-t)加上看涨期权价值
• 到期时T
– 如果ST≤X，组合A的价值为Xer(T-t)，组合B的价值为X – 如果ST>X，组合A的价值为ST－X+Xer(T-t)，组合B的价值为ST
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
7.2 期权价格的上下限
• 看涨期权上限
– 看涨期权给予持有人按照一定价格在将来购买特定股票的权利。 – 看涨期权的价值＝PV（股票价格）－PV（施权价） – 所以看涨期权的价值小于当期的股票价值，即
c≤S， 同时， C ≤S
• 看跌期权上限
– 看跌期权给予持有人按照一定价格在将来卖出特定股票的权利。 – 看跌期权的价值＝PV（施权价）－PV（股票价格） – 所以看跌期权的价值小于施权价的现值。
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
7.3 美式看涨期权价格的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份美式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t) 组合B：一份股票
• 假设在时点τ，该期权被执行
– 组合A的价值为Sτ－X＋Xe-r(T-τ) – 组合B的价值为Sτ
• 如果是在时点T，期权才被执行
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
欧式看跌期权的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看跌期权，施权价为X，加上一份股票 组合B：现金Xe-r(T-t) 。
• 到期时
– 如果ST<X，组合A和组合B的价值都是X – 如果 ST ≥X ，组合A的价值为ST ，组合B的价值为X – 所以组合A的价值大于组合B
• 答案：
该看涨期权的价值下限为S－Xe-r(T-t)＝20－18e-0.1×1＝3.71
该期权报价低于价值下限，因此可以采用下列策略套利：卖空该股票， 获得20元，买入看涨期权，支出3.00元，并将17元按无风险利率借 贷出去
到期时
如果股票价格超过18元，以18元的价格施行期权，回补空头，利 润为17e0.1－18＝0.79；如果股票价格低于18元，则以市价回补空 头，利润为17e0.1 －股票市价>0.79。
p ≤Xe-r(T-t)，同时，P ≤X
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
欧式看涨期权的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份欧式看涨期权，施权价X，加上现金Xe-r(T-t) 组合B：一份股票。
• 到期时
– 如果ST≥X，组合A和组合B的价值都是ST – 如果ST<X，组合A的价值为X，组合B的价值为ST – 所以组合A的价值大于组合B
美式看涨与看跌期权价格关系
• 条件
– 美式与欧式看涨期权价值相等，c=C – 美式看跌期权价值高于欧式看跌期权价值，P>p – 欧式期权平价公式：c+Xe-r(T-t)＝p＋S
• 推论
– P > p＝c+Xe-r(T-t)－S＝ C+Xe-r(T-t)－S – C－P < S－Xe-r(T-t)
Dr.Ouyang
• 现货价格
– 指交割品在现货市场上的价格。
• 施权价
– 指期权约定的交割价格。
• 期权的期限
– 指当期到期权失效时点的时间长度。
• 股票价格的波动性
– 指股票价格变动的剧烈程度，可以用方差来衡量。
• 无风险利率
– 一般用3月期国债利率来代替，指无风险投资的收益或者借贷的成本。
• 期权有效期内的股票红利
– 越晚施行期权，施权所需的现金越晚付出，从而节省了 资金成本。
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
看涨期权价值与股票价格
看涨期权价值
施权价
Dr.Ouyang
股票现货价格
第七讲期权定价理论
7.4 美式看跌期权的下限
• 考虑两个资产组合
组合A：一份美式看跌期权，施权价为X，加上一份股票 组合B：现金Xe-r(T-t) 。
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
无风险利率与红利
• 无风险利率
– 无风险利率对于期权的所有者来说是资金的成本，或者说是持有 现货的机会成本，因此无风险利率越高，预期的现货价格就越高。
– 但是无风险利率越高，未来利润折现值也越低。 – 两种因素综合，无风险利率越高，看涨期权的价格越高，看跌期
权价格越低。
第七讲期权定价理论
2020/12/6
第七讲期权定价理论
内容提要
• 7.1 影响期权价格的因素 • 7.2 期权价格的上下限 • 7.3 美式看涨期权价格的下限 • 7.4 美式看跌期权价格的下限 • 7.5 期权平价公式 • 7.6 红利的影响
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
7.1 影响股票期权价格的因素
– 组合A的价值为Max(ST, X) – 组合B的价值为ST
• 因此美式看涨期权的最佳执行时间为到期时点。
Dr.Ouyang
第七讲期权定价理论
美式看涨期权的价值
• 在股票不支付红利的情况下
– 美式看涨期权的最佳执行时间是到期日 – 一份美式看涨期权的价值与一份欧式看涨期权价值相等