ADINA中动力计算方法在重力坝中的应用

t 0 ， t1 ， t 2 " ，满足这一方程的位移 δ (t ) ，从而获得有限个时刻上的近似动力平衡方程;第二， ∆t i = t i +1 − t i 内，以假设的位移、速度和加速度的变化规律代替实际未知的情况，所
在时间间隔
以真实解与近似解之间总有某种程度差异，误差决定于积分每一步所产生的截断误差和舍入误差
（3）变步时，用下式计算等效劲度矩阵
* 2
[K ] = [M ]/ (∆t λ ) + γ [C ]/ (∆tλ ) + [K ] [K ]{∆δ ( ) } = {ϕ ( ) }
* i i
（4）求解位移增量
（5）修正位移、速度、加速度
i +1 n +1 i n +1 i
{δ ( ) }= {δ ( ) }+ {∆δ ( ) } {δ( ) } = ({δ ( ) }− {δ~ })/ (∆t λ ) {δ ( ) } = {δ ( ) }+ ∆tγ {δ( ) } () ϕ ( ) }或两者之一不满足收敛条件，则令 i = i + 1 并转到第二步，否则继续下 （6）如果 {∆δ }和 {
1. 引言
重力坝是一种古老而重要的坝型，具有许多明显的优点，对于我国很多河流的具体筑坝条件 尤为合适。建国以来，我国兴建的大中型水利水电工程的拦河坝中，各种类型的重力坝始终占有 较大的比例。但是许多坝都是建在地震多发和高烈度地区，并且坝还要承受重力、水压力等长期 载荷的作用，如何确保工程和人民生命财产在偶发地震载荷作用下的安全，是坝工界急需解决的 问题。混凝土坝一旦遭到破坏，其带来的经济损失是难以估计的。如何设计大坝的工程抗震性能， 提高大型水坝工程的抗震能力，是具有极其重要的现实意义的研究课题[1][2]。 ADINA(Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)是世界著名的非线性、动力有限元 仿真分析软件。 ADINA 在计算理论和求解问题的广泛性和适用性方面，尤其针对结构非线性、 流固耦合、结构抗震等复杂问题求解具有强大优势，被业内人士认为是非线性、动力有限元发展 方向的先导。本文以 ADINA 为工具,对动力计算方法在重力坝中的应用经行了研究。
(14)
然后将动力问题变成“静力等效问题”求解(10)～(14)式，并结合 Newton-Raphson 方法求解，具 体步骤如下 （1）预估值( i 为迭代计算变量)
i n +1 n +1 n
{δ ( ) } = {δ~ } = {δ } + ∆t{δ }+ ∆t (1 − 2λ ){δ }/ 2 ~ {δ ( ) } = {δ }= {δ }+ ∆t (1 − γ ){δ } {δ( ) } = ({δ ( ) }− {δ~ })/ (∆t λ ) = 0
3 2 加速度（m／s／s） 1 0 -1 -2 -3 -4 0 2 4 6 8 时间（s） 10 12 14 16 18 20
图 2 加速度时程曲线
~ δ = δn + ∆t (1 − γ ) δ n
(12) (13)
{ }
{ }
{δ } δ δ 数，控制方法的精度和稳定性，通常取 λ = 0.25 ， γ = 0.5 ； n +1 、 n +1 是预估值， n +1 、 {δ }
n +1
{~ }
{~ }
是校正值。
当给定初始位移
} {δ 0 } 和初始速度 {δ0 }后，可以从下式求出初始加速度 {δ 0 } = { f } − [C ]{ [M ]{δ δ0 }− [K ]{δ 0 } 0 0
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ADINA 中动力计算方法在重力坝中的应用
张慧星
河海大学水利水电工程学院，南京 (210098)
E-mail：higer20@163.com
摘 要：本文探讨利用 ADINA 进行重力坝动力计算的方法，研究了在 ADINA 中如何实现振型 叠加法和逐步积分法，并对这两种动力计算方法在重力坝中的运用进行了比较分析，得出了有益 的结论，为以后 ADINA 在重力坝抗震中的运用提供了借鉴。 关键词：重力坝；ADINA ；振型叠加；逐步积分；动力
}+ [C ]{ [M ]{δ δn +1 }+ [K ]{δ n +1 } = { f n +1 } n +1 (8) {δ } {δ } {δ } {f } 式中： n +1 、 n +1 、 n +1 分别表示加速度向量、速度向量及位移向量； n +1 表示作用力矢
量。 在 Newmark 方法中，应满足下列方程
i +1 n +1 i +1 n +1 n +1 2
i +1 n +1
i n +1
i +1 n +1
i
i
去。 （7）为在下一时间步内用，令
{δ n+1 } = {δ n(i++11) }
{δ } = {δ ( ) } {δ } = {δ( ) }
n +1 i +1 n +1
n +1 i +1 n +1
2. ADINA 中动力计算的理论与方法
2.1 ADINA 振型叠加法理论与方法
振型叠加法是通过对结构振动特性的离散化来实现体系动力反应的离散化。振兴叠加法又称 模态叠加法，它以系统无阻尼的振型（模态）为坐标基，通过坐标变换使体系运动方程解藕，进 而通过叠加个振型的贡献来求得体系的反应。在振型叠加中首先要进行的体系的自振特性分析。 下面讨论地震作用下多自由度体系反应问题的振型分解， 采用类似于无阻尼体系的处理方法， 可得相应的单自由度方程为
(t ) j (t ) + (aM j + bK j )q j (t ) + K j q j (t ) = − {Φ} j [ M ]{ I } δ M jq g
式中，
， j = 1, 2, ⋅⋅⋅, N （1）
Mj
、
Kj
和
T
p j (t )
分别为广义质量、广义刚度和广义荷载，具体表达式为 ，
在离散的时间点上求解这些方程，在
t n + ∆t 时刻，系统动力方程式为
}+ [C ]{ [M ]{δ δn +1 }+ [K ]{δ n +1 } = { f n +1 } n +1
{δ n+1 } = {δ n+1 }+ λ∆t
~
{δ }
n +1
~ = δn +1
{
{δ } }+ ∆tγ {δ }
E = 2.55 ×1010 N m 2 ，泊松比为 µ = 0.167 ，密度 ρ = 2400 kg m3 。该重力坝的网格划分如图
1 所示。
图 1 重力坝的网格划分
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利用上述的模型，采用相同的地震记录、强震时间、时间步长，分别使用逐步积分法、模态 叠加法进行动力计算，并将所得的结果进行比较。作为小例子我只考虑顺河向地震动，并不考虑 结构的阻尼。计算过程中所使用的加速度时程曲线如图 2 所示。
M j = {Φ} j [ M ]{Φ} j
质量
K j = {Φ} j [ K ]{Φ} j
T
，
p j (t ) = {Φ} j [ p (t ) ]
T
（ 2 ）用广义
Mj
除以各项，并令
ω2 j = ζj =
Kj Mj a 2ω j + bω j 2
（3）
（4）
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以及这些误差在以后各步计算中的传播情况。其中前者决定了解的收敛性，后者则与算法本身的 数值稳定性有关。 实用中一般取等距时间间隔，从初始时刻
t 0 到某一指定时刻 t 0 = T ，逐步积分求得动力平衡
t = i∆t (i=0， 方程的解。 把区间[0， T]n 等分后有 ∆t = T / n ， 相应的 n+l 个离散时刻为 i 1， 2， 3…)。
{Φ} j [ M ]{I } γj = T {Φ} j [ M ]{Φ} j
T
（5）
于是，式（1）可以写为
j (t ) + 2ζ jω j q j (t ) + ω 2 q j q j (t ) = −γ j δ g (t )
式中，
，
j = 1, 2, ⋅⋅⋅, N
（6）
ωj
即为结构体系的第 j 阶自振频率;
此法费时较多，且确定计算参数尚有许多困难，因此目前仅在重要的、特殊的、复杂的以及高层 建筑结构的抗震设计中应用，在水闸结构的抗震分析中应用较少。此外，时程法亦用于结构在地 震作用下破坏机理和改进抗震设计方法的研究。 目前有限元法进行大型结构动力计算的解法有线性加速度法、Wilson－θ法和 Newmark 法。 ADINA 程序中结构动力分析中提供了 Newmark、Wilson－θ和中心差分时间积分法，可以根据 需要进行不同的选择。下面这种论述了 Newmark 时间积分法。
2 n +1
n +1
(9) (10) (11)
其中
{δ~ } = {δ
n +1
式Leabharlann Baidu：
{δ n }、 { n }、 { n }是 t n 时刻的位移向量、速度向量和加速度向量， λ 、 γ 为 Newmark 参
δ
δ
{}
n
}/ 2 } + ∆t {δn }+ ∆t 2 (1 − 2λ ){δ n
2.2 ADINA 逐步积分法理论与方法
结构地震反应分析的反应谱方法是将结构所受的最大地震作用通过反应谱，转化成作用于结 构的等效侧向荷载，然后根据这一荷载用静力分析方法求得结构的地震内力和变形。因其计算简 便，所以广泛为各国的规范所采纳。但地震作用是一个时间过程，反应谱法不能反映结构在地震 动过程中的经历，同时，目前应用的加速度反应谱属于弹性分析范畴，当结构在强烈地震下进入 塑性阶段时，用此法进行计算将不能得到真正的结构地震反应。对于长周期结构，地震动态作用 下的地面运动速度和位移可能对结构的破坏具有更大影响，但是振型分解反应谱法对此无法作出 估计。 所谓时程分析法，是根据选定的地震波和结构恢复力特性曲线，采用逐步积分的方法对动力 方程进行直接积分，从而求得结构在地震过程中每一瞬时的位移、速度和加速度反应，以便观察 结构在强震作用下从弹性到非弹性阶段的内力变化以及构件开裂、损坏直至结构倒塌的破坏全过 程。这类方法是指不通过坐标变换，直接求解数值积分动力平衡方程。其实质是基于以下两种思 想：第一，将本来在任何连续时刻都应满足动力平衡方程的位移 δ (t ) ，代之以仅在有限个离散时 刻
同时令 n = n + 1 ，形成新的劲度矩阵 [K ] 并开始下一时间步运算。
3. ADINA 中计算方法的比较分析（模态叠加法与逐步积分法）
我分别运用 ADINA 中的模态叠加法和逐步积分法对某岩基上重力坝经行了动力分析。该坝 体应用的为 C20 混凝土，坝顶宽、坝底宽和坝高分别为 10m、50m 和 70m。坝体的弹性模量为
ζj
γ 为第 j 阶振型的阻尼比； j 被称为第 j 阶振型的
的一种分解，反映了第 j 阶振型地震反应在体系
振型参与系数，可以认为
γj
是对地震作用
N
(t ) δ g
总体反应中所占比例的大小。容易得
∑ γ {Φ} = {I }
j =1 j j
（7）
式中
{I } 为单位向量。
(t ) δ g
2 n n t n +1 n +1 n n i n +1 i n +1 n +1 2
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（2）计算残余力
i
{ϕ ( ) } = { f } − [M ]{δ( ) }− [C ]{δ ( ) }− [K ]{δ ( ) }
n +1 i n +1 i n +1 i n +1
式（6）给出了振型反应的运动方程，它相应于一有效阻尼单自由度体系，其解可以用 Duhamel 积分给出。 由于地震加速度 为非规则时间函数，在求解式（6）时，通常是利用关于线形单自由度
体系的时域分析方法或频域分析方法。 式（7）既是动力反应的分解式，也是动力反应的合成式。利用振型分解原理，将耦合的运 动方程化为解藕的等效单自由度方程分别求解，然后将各振型反应叠加起来，获得体系的总动力 反应，这就是振型叠加法。 在 ADINA 中通过 Mode Superposition 这个计算模块来实现，在后处理中可以查看各阶的振 型和叠加以后总的反应云图，各个节点的时程曲线也可以方便的得到。