一、光栅衍射基本原理

光栅衍射
N 4 , 衍射光强曲线
I0单 I单
d 4a
-2
-1
0
1
多光束干涉光强曲线
sin2N/sin2
N2
2 sin (/a)
-8
-4
光栅衍射 光强曲线
-8
-4
0
4
I N2I0单
单缝衍射 轮廓线
0
4
8 sin (/d) 8 sin (/d)
强度公式
I

I
0

sin
0
/d
-(/4d) /4d
sin
2/d
光栅衍射
光栅衍射的谱线特点：
（1）主级大明纹的位置与缝数N无关，它们对称 地分布在中央明纹的两侧，中央明纹光强最大； （2）在相邻的两个主级大之间，有 N1个极小 （暗纹）和N2=2个光强很小的次极大，当N 很大 时，实际上在相邻的主极大之间形成一片暗区，即 能获得又细又亮暗区很宽的光栅衍射条纹。
光栅衍射
干涉明纹位置： d sin k，k 0,1,2,
衍射暗纹位置： a sin k ，k 1,2,3,
d k 时, ,出现缺级。
ak
干涉明纹缺级级次
kdk a
光栅衍射
判断缺级条件
思考
2. 光栅光谱
复色光照射光栅时，谱线按波长向外侧依次分开 排列，形成光栅光谱。

光栅分光镜
光栅光谱
例题1 利用一个每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光 垂直照射下，可以产生多少完整的光谱？问哪一级光 谱中的哪个波长的光开始与它谱线重叠？
解: 设
紫 400nm 4 107 m 红 760nm 7.6 107 m
根据光栅方程 (a b)sin k
• 摄谱仪或探测器平面必须被圆形地配置以 便得到较好的成象，这加大了摄谱仪器(如 条纹像机、微通道板等)平面定位和精确调 整的难度。
• 由于象散问题，焦点的长度随波长的增加 变化很大，使得摄谱仪上的光谱成象存在 较大的相差，影响了光谱测量的精度。
掠入射平焦场x射线谱仪
(a)
• 掠入射平焦场光栅谱仪是 为了平面测量仪器使用上 S 的方便而研制的。
反射光栅
透射式光栅明纹条件：
d
d sin k （k = 0,1,2,3…）
反射式光栅的明纹条件？
以入射角入射的反射式光栅的明纹条件：
d (sin sin ) k （k = 0,1,2,3…）
---光栅方程
6.掠入射x射线谱仪
• 当光谱进入x射线波段时，由于材料对x射 线光的透射率太低，即吸收太大。因此， 透射式光栅已不适用于x射线波段光谱的测 量；
一
观察屏
系
光栅 透镜L
列

d
P
又
细

又
亮
N
f
的 明
条
：衍射角
纹
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
不考虑衍射时, 多缝干涉的光强分布图：
多光束干涉光强曲线
sin2N/sin2
N2
-8
-4
0
4
8 sin (/d)
设光栅的每个缝宽均为a，在夫琅禾费衍射下，每 个缝的衍射图样位置是相重叠的。
单缝夫琅禾费衍射的光路图
(a b) coskdk kd
光栅光谱
波长为 及 第 kd级 的两条纹分开的角距离
为
d d k k (a b) cos k
光线正入射时，最大级次为第3级，相应的角
位置
为
3
3

sin1
(
k
ab
)

sin ( ) 1 3589.3109 2106
• 而对于反射式光栅，由于材料对x射线光的 吸收较大，即反射率较低。因此，为了适 应x射线波段光谱的测量的要求，采用了能 够提高反射效率的掠入射方式；
• 掠入射方式可以提高反射效率的原理？
平焦场x射线谱仪
• 在传统的掠入射摄谱仪中，由于采用了等 栅距、平行刻线的Rowland凹面光栅，谱 线被聚焦在具有较大象散特性的Rowland 圆的某一部分上。
7.6107 k 410（7 k 1）
所以只有 k才满1 足上式，所以只能产生一个完
整的可见光谱，而第二级和第三级光谱即有重叠 出现。
光栅光谱
设第二级光谱中波长为 的 光与第三级中紫光开始重
叠，这样
(k 1) k紫
k 2,代入得


3
2紫

3 2

4 107 m
单缝衍射光强公式：
1 I / I0 相对光强曲线
0.017 0.047
0.047 0.017
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
光栅衍射
透镜
θ
λ
a d
θ
θ
f
衍射光相干叠加
I
衍射的影响： 多缝干涉条纹各级主极大的强度不再相等，而
是受到了衍射的调制。主极大的位置没有变化。
2


sin N sin
2

a sin , d sin


光栅衍射
1.3 多光束干涉 明纹条件：
d sin k
缝平面G 透 镜

d
L


观察屏 P
o
（k = 0,1,2,3…）
---光栅方程
dsin 焦距 f
设每个缝发的光在对应衍射角 方向的P点的光振
一、光栅衍射基本原理
1. 光栅衍射
1.1 基本概念
• 光栅—大量等宽等间距的平行狭缝(或反射面) 构成的光学元件。
• 种类：
透射光栅 d
反射光栅 d
• 光栅常数
a是透光（或反光）部分的宽度
b是不透光(或不反光)部分的宽度
d=a+b
光栅常量
光栅衍射
1.2 光栅的衍射图样
光栅衍射演示
• 光栅衍射实验装置图：
, , 3
2
4
3
4
2
1
/2
4 1

1
4
2
3
3 /2
d sin m
N
sin 1 , 2 , 3
4d 4d 4d
k 1 , k 2 , k 3
光强曲线
I I0
N=4
-2(/d)
-(/d)
对第k级光谱，角位置从 到k紫
光谱，即要求 的第(k+紫1)级纹在
，亦即
k紫 k红
，要k红产生完整的 的第k级红条纹之后
光栅光谱
由
(a b)sink红 k红
(a b)sink1 （k 1）紫
得
k红 (k 1)
ab
ab
或 k红 （k 1）紫
观察屏 P
o
光栅衍射
暗纹条件：
N 2m (1)
又 d sin 2
由(1),(2)得
(m 1,2,… Nk) (2)
d sin m (m Nk, k 0)
N
暗纹间距= 主极大间距 N
相邻主极大间有N－1个暗纹和N－2个次极大。
光栅衍射

627
所以
d3

210
6
3 cos
62
7

(589.3

589.0) 109 rad
1.93109 rad
钠双线分开的线距离
d3 fd3 2 1.93103 m 3.86mm
3. 光栅的分辨本领
光栅的分辨本领是指把波长靠得很 近的两条谱线分辨的清楚的本领。
由此可得斜入射时的光栅方程为
(a b)(sin sin ) k k 0, 1, 2
同样，k的可能最大值相应于 sin 1
在O点上方观察到的最大级次为 k1，取 9得0
k 1.70取 k 1 (ab)(sin90sin 30) 2106 (10.5)
• 它与掠入射Rowland光栅 谱仪的主要不同是用变栅 距光栅代替了等栅距光栅。
• 当入射光以掠入射形式射
(b)
到变间距光栅上时，谱线
不再成象在Rowland圆上，
而是成象在一个焦平面上， S
故称为掠入射平焦场光栅
谱仪。
R
0
R/2
2
1

2
1
Rowland cylinder Grating
(2)第二级谱线衍射角 30 ; (3)第三级谱线缺级。
解（1） 按光栅的分辨本领
R



kN
得
N 491条
5.893107
k 20.006107
即必须有 N 491条
（2） 根据 (a b)sin k
ab

k sin

25.893107 sin 30
例： N = 4,有三个极小：
d sin m
N sin 1 , 2 , 3
4d 4d 4d
k 1 , k 2 , k 3
d sin 2
, , 3
2
4
光栅衍射
d sin 2
光栅光谱
（2）如平行光以 角入射时，光程差的计算公式应
做适当的调整，如图所示。在衍射角的方向上，光 程差为
P
A
O
B
斜入射时光栅光程差的计算
A

C
D B
光栅光谱
BD AC （a b）sin (a b) sin (a b)(sin sin )
R
波长为+的第k级主极大的角位置为：
(a b)sin k( )
波长为 的第kN+1级极小的角位置为：
N(a b)sin (kN 1)
R



kN
光栅的分辨本领
例题3 设计一光栅，要求(1)能分辨钠光谱的 5.890×10-7m和5.896×10-7m的第二级谱线；
这样光栅的 N 、 a 、b 均被确定。
4.干涉和衍射的区别和联系
单缝衍射
双缝衍射中的干涉条纹 I
a=14 d = 56
-8
-4
0
4
8 / (º)
双缝衍射中干涉条纹的强度为单缝衍射图样所影响
a= d = 50
-8
-4
0
4
8 /(º)
双缝干涉中干涉条纹的强度受单缝衍射的影响小
5.反射式光栅公式
m

2.36103 mm
光栅的分辨本领
由于 3，0所 以
a b 2.36103 mm
（3）缺级条件 取 k 1
ab k
a
k
a

ab 3

2.36103 3
m

0.79103 mm
b 2.36103 0.79103 m 1.57 103 mm
1

589.3109
1
光栅光谱
而在O点下方观察到的最大级次为 k2，取 得90
k (ab)(sin(90)sin 30)
2


( a b )( 10.5 ) 589.3109

5.09取
k2

5
所以斜入射时，总共有 k1 k2 条1明纹7 。
（3）对光栅公式两边取微分
光栅光谱
解 （1）根据光栅方程 (a b) si得n k
k

ab

sin
Baidu Nhomakorabea
按题意知，光栅常数为
a

b

1 500
mm

2
106
m
可见 k的可能最大值相应于 sin 1
代入数值得
k

2106 589.3109

3.4
k只能取整数 ，故取k=3,即垂直入射时能看到第 三级条纹。

6 107
m

600nm
光栅光谱
例题2 用每毫米刻有500条栅纹的光栅，观察钠 光谱线（= 589.3 nm），问
（1）平行光线垂直入射时； （2）平行光线以入射角30入射时，最多能看见第几级 条纹？总共有多少条条纹？ （3）由于钠光谱线实际上是 1=589.0nm 及 =589.6nm 两条谱线的平均波长，求在正入射时最高级条纹此双线 分开的角距离及在屏上分开的线距离。设光栅后透镜的 焦距为2m.
缝平面 透镜L
透镜L
B
S
*
a

观察屏
· 衍射光相干叠加
p
S: 单色线光源
0
AB a：缝宽
Aδ
f f
: 衍射角
1 I / I0
相对光强曲线
中央明纹
衍射图样中各级
0.017 0.047
次极大 暗纹
0.047 0.017
条纹的相对光强
-2( /a) -( /a) 0 /a 2( /a) sin
光栅衍射
1.4 缺级
b 为整数比时，明纹会出现缺级
a
I0单 I单
-2
-1
光栅衍射 光强曲线
0
1
2 sin ( /a)
I N2I0单
N=4
单缝衍射 d = 4a
轮廓线
-8
-4
此图为N = 4，
d a
0
=
4
4
8 sin ( /d )
的单缝衍射和光栅衍射的
光强分布曲线，这里主极大缺±4,±8…级。
动的振幅为Ep
P点为主极大时 2k
Ep NEp
IP

N
2
E
2 p
光栅衍射
暗纹条件：
由同频率、同方向振动 合成的矢量多边形法则
a6
a5
a4
N
A
a3
a1
a2

o
X
缝平面G 透 镜

d
L


dsin 焦距 f
得： N 2m
(m 1,2,… Nk)