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PPT教程：经济数学(第二版)
xn dn (w1,, wn ; c)
反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )
fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
x1 xn 1
0
海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
隐函数定理 Implicit Function
如果 • (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
B
C
A
凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
x2
1
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
拟凸函数和拟凹函数判断法则
如果函数f (x) 二次可导，
0
f1 B f2
fn
f1 f2 fn f11 f12 f1n f21 f22 f2n
fn1 fn2 fnn
0 B1 f1
反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )
fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
x1 xn 1
0
海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
隐函数定理 Implicit Function
如果 • (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
B
C
A
凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
x2
1
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
拟凸函数和拟凹函数判断法则
如果函数f (x) 二次可导，
0
f1 B f2
fn
f1 f2 fn f11 f12 f1n f21 f22 f2n
fn1 fn2 fnn
0 B1 f1
经济数学ppt课件
向量与线性变换
总结词
向量是具有大小和方向的量，线性变换是向量空间中的一种变换。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，它可以用来表示经济变量，如需求量、供给量等。线性变 换是向量空间中的一种变换，它可以用来描述经济变量之间的线性关系，如价格和需求
量之间的比例关系。在经济问题中，线性变换可以用来描述经济增长、消费变化等。
06 案例分析
经济增长模型的数学分析
总结词
经济增长模型是研究一个国家或地区 在一定时期内经济增长的规律和影响 因素的数学模型。
公式和定理
经济增长模型通常使用微分方程、差 分方程等数学工具来描述经济增长的 过程，并运用数学定理和公式来求解 。
详细描述
经济增长模型通过建立数学方程来描 述一个国家或地区经济增长的过程， 并分析影响经济增长的各种因素，如 劳动力、资本、技术等。
详细描述
市场供需模型通常包括供给曲线和需求曲线，通过分析这些曲线的形 状和交点来研究市场均衡和价格形成机制。
公式和定理
市场供需模型通常使用线性方程、不等式等数学工具来描述供给和需 求的关系，并运用数学定理和公式来求解市场均衡点。
应用实例
市场供需模型可以用于分析商品或服务的价格波动、预测市场趋势以 及制定价格策略等。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念 ，它们可以用来描述线性变换的性质。在经 济问题中，特征值和特征向量可以用来描述 经济系统的动态性质，如经济增长的稳定性 、市场波动的幅度等。通过分析特征值和特 征向量的性质，可以对经济系统的未来发展
不定积分与定积分
agriculture economic农经英文ppt 国际学院外教
– His purchasing power or real income has fallen, and to compensate he must buy less of both hamburger & stuff.
tab
Agricultural Economics, 3th edition By H. Evan Drummond and John W. Goodwin
– If the substitution effect is stronger, consumption of stuff will increase. – If the real income effect is stronger, consumption of stuff will fall.
– Consumption of hamburger went down (law of demand). – Consumption of stuff went up (substitution effect).
• The substitution and real income effects both suggest that as the price of hamburger goes up, the quantity demanded of hamburger goes down.
The Theory of Consumer Behavior REAL INCOME & SUBSTITUTION EFFECTS
• To see these two effects, let’s create a mythical consumer, a college student named Phelps, who has a budget of $150 per week. • Initially, Phelps buys 25 lb of hamburger a week at $2.00/lb, or total spending on hamburger of $50.
tab
Agricultural Economics, 3th edition By H. Evan Drummond and John W. Goodwin
– If the substitution effect is stronger, consumption of stuff will increase. – If the real income effect is stronger, consumption of stuff will fall.
– Consumption of hamburger went down (law of demand). – Consumption of stuff went up (substitution effect).
• The substitution and real income effects both suggest that as the price of hamburger goes up, the quantity demanded of hamburger goes down.
The Theory of Consumer Behavior REAL INCOME & SUBSTITUTION EFFECTS
• To see these two effects, let’s create a mythical consumer, a college student named Phelps, who has a budget of $150 per week. • Initially, Phelps buys 25 lb of hamburger a week at $2.00/lb, or total spending on hamburger of $50.
经济数学课件完整版
0.2.6
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
fprintf语句
fprintf 为 输 出 命 令 , 其 格 式 为 :fprintf('text
format',val),
其中,text为需要输出的文本内容,val 为需要输
出的变量值,format是对变量值val的显示格式说
明.说明val的值为整数时用%d;说明val的值为以
科学记数法显示时用%e;说明val的值以浮点数
1.0 学习任务1 等额本金还款法还房贷
等额本金还款法是在还款期内把贷款总额按还款期数(贷款分几次还清就是几期)均分,每期偿
还同等数额的本金和剩余贷款在该期所产生的利息.
若贷款总额为b,银行月利率(年利率的1/12)为r,每月一期,总还款期数为n,第k期的还款额记为
f(k),请完成如下任务:
的定义域是各部分的自变量取值集合的并集.求分段函数
的函数值f(x0)时,要根据x0所在的范围选用相应的解析式,
其图形要在同一坐标系中分段作出.
1.1 函数及其性质
显示时用%f,如果该语句的输出完成后需要换行
的话用\n说明.
0.2 数学软件MATLAB的基本用法
0.2.7
平面图形
在MATLB系统中,用plot(x,y)绘制平面曲线y=f(x)的图形,
其中x是自变量的取值范围;y是对应于自变量x函数值.
自变量x的取值常用如下两种形式给出:
(1)x = a∶d∶b,表示自变量x从a开始,以d为间距,在闭区
Out[3]=1.74755
(*这里的1.74755是系统给出的运算结果*)
更一般地,用N [exp,n]得到表达式具有n位有效数字的数值结果.
0.1 数学软件Mathematica的基本用法
农大数理统计课件 (9)
例3 设总体 X~Exp(1/θ),密度函数为
x 1 e p( x; ) 0
x 0, x0
0
为常数
( x1 , x2 , , xn ) 为 X 的一个样本值.
求 的最大似然估计量, 并判断它是否达到方差下界的 无偏估计,即有效估计. 解 由似然函数
L( )
1
e n
i 1
n
xi
ln L( ) n ln i1
xi
n
d n i 1 ln L( ) 2 d
xi
n
令
0
1n ˆ xi x n i1
1n 故 的最大似然估计为 ˆ xi x n i 1 2 ˆ 所以它是 的无偏估计量,且 Var (ˆ) E n
1
2
VarX 2 ˆ Var Var x n n
因此:
x 是μ的有效估计
3. 最大似然估计的渐近正态性
定理(略) 在总体的分布满足一定条件(P307)的情况下,存在具有 ˆ 相合性和渐近正态性的最大似然估计 n , 且
ˆ n ~ N ( ,
1 ) nI ( )
的微分可在积分号下进行，即
n g '( ) T ( x1 , x2 ,, xn ) ( p( xi ; ))dx1 dxn i 1
n T ( x1 , x2 ,, xn )[ ln( p( xi ; ))] i 1
注： (1)I(θ)越大,总体分布中包含未知参数的信息越多。
(2) I() 的另一表达式为
2 ln p( x; ) I ( ) E ( ), 2
第二章 极限与连续 《经济数学》PPT课件
由函数连续的定义可知,如果函数f(x)在点x0处满足下列条件之一: • (1)函数f(x)在点x0处无定义; • (2)lim(x→x0) f(x)不存在; • (3)lim(x→x0 ) f(x)存在,但不等于f(x0). 则点x0就是函数f(x)的间断点. 如图2-13所示的是几种在点x=x0处不连续的函数.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
值无限趋近于一个确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于无穷大时的
极限.记做:
Lim（x→∞）f(x)=A 或 f(x)→A (x→∞)
• 当自变量x大于0而绝对值无限增大时,如果函数y=f(x)的对应值无限趋近于一个
确定的常数A,则称常数A为函数在自变量x趋向于正无穷大时的极限.记做:
lim (x→+∞)f(x)=A 或 f(x)→A (x→+∞)
形的面积时,实际上采用的就是求极限的办法.而我国魏晋时期的大数学家刘徽(公元3世纪)就曾 用圆的内接正多边形来逼近圆的方法,计算的圆周率精确到小数点后4位的数值:3.1416. • 设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内 接正二十四边形,其面积记为A3;循此下去,每次边数加倍,一般地,把内接正6×2n-1边形的面积记 为An(n∈N).这样,就得到一系列内接正多边形的面积: • A1,A2,A3,…,An,…
2.1.2 无穷小与无穷大
3)无穷小的阶 ➢ 有限个无穷小的代数和与积仍是无穷小,但是两个无穷小的商则
会出现不同的情况.例如,当x→0时,2x,x2,sin x都是无穷小,但它 们两两之比的极限会出现各种不同情况,这反映了不同的无穷小 趋向于零的快慢程度.由于两个无穷小之商一般不能立刻判断其 极限是否存在,所以我们通常称这种极限为未定式极限.
第一章 函数 《经济数学》PPT课件
【例1-1】某班级的全体学生组成一个集合.该班的学生都是这个集合 的元素.
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的 元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个 点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小 写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记 作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属 于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可 以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某 一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日 期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相 对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运 算 律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分 数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为 整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】 设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全
【例1-2】自然数的全体组成一个集合.每一个自然数都是这个集合的 元素.
【例1-3】直线x+3y+3=0上所有的点组成一个集合.这里直线的每个 点是这个集合的元素.
➢ 习惯上,我们用英文大写字母 A 、B、C、X、Y等表示集合,用英文小 写字母a、b、c、x、y等表示集合的元素.如果a是集合A的元素,则记 作a∈A,读作a属于A.如果a不是集合A的元素,则记作a∉A,读作a不属 于A.
1. 2. 1 函数的概念
➢ 问题3：图1-5反映了上海证券交易所的上证指数从201×年10 月1日到201×年12月31日的60个交易日的变化情形,由此图可 以看出在这段时间中上证指数随时间的变化.
➢ 从图1-5中我们可以看到,有日期t和指数I两个变量,当变量t在某 一范围内变化时(201×年第四季度有60个交易日),指数I随着日 期t的变化而变化,并且当t取某一日期时,有唯一上证指数I与之相 对应.
➢ 补集有以下性质:A∪A ̅=I;(2)A∩A ̅=Φ . 【例1-14】设全体学生为全集I,如果男生为集合A,则A ̅表示为
女生集合.
1. 1. 5 集合的运算律
1)交换律
运 算 律
3)分配律
2)结合律
4)对偶律(德•摩根公式)
1. 1. 6
实数集
人们对数的认识从自然数发展到有理数(包括正负整数,正负分 数及零),再由有理数发展到无理数(例如e,π,√3等),如果令p,q为 整数,且q≠0,则一般有理数可用p/q表示,无理数不能用p/q表示.
1},A∩B={x|0<x≤3}. 【例1-13】 设A为全体有理数集合,B为全体无理数集合,则:A∪B为全
全套电子课件：经济数学
1.1 函数的概念
函数的定义
定义1 设x，y是同一变化过程中的两个变量，若当x取其变化范围内任 一值时，按照某种对应规则，总能唯一确定变量y的一个值与之对应，则 称y是x的函数，记作
y＝f（x）
x 叫做自变量，y 叫做因变量．X 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值对应的y的值的集合叫做函数的值域．
1.1 函数的概念
例1
互换字母x，y得所求反函数为
1.1.4 函数的性质
1. 函数的奇偶性
定义２ 设函数y＝f(x)的定义域D关于原点对称，即x∈D<=>-x∈D
若f(-x)＝f(x)，x∈D，则称f（x）为偶函数； 若f(-x)＝-f(x)，x∈D，则称f（x）为奇函数．
3. 贴现 债券或其他票据的持有人，为了在票据到期以前获得资金， 从票面金额中扣除未 到期期间的利息后，得到所余金额的现金，这就是贴现． 假设未来n年复利年利率r不变，n年后到期价值R的票据现值为P，则由复利计算 公式（1.2）可得
例如，复利年利率为５％，５年后到期价值是1000元的票据的现值为
1.3.2 需求函数与供给函数
1.1 函数的概念
例1.5 判断下列函数的奇偶性．
解（１）因为 即 所以
f (x) (x)4 (x)2 8 x4 x2 8 f (x) f (x) f (x)
是偶函数。
所以，
即 所以
1.1 函数的概念
2. 函数的周期性
定义3 给定函数y＝f（x），x∈D，若存在常数T使得x∈D<=>x＋T∈D且f（x ＋T）＝f（x），x∈D，则称f（x）为周期函数，常数T称为周期．满足条件的 最小正数T称为f（x）的最小正周期，通常所说的周期函数的周期是指它的最小 正周期．例sinx，cosx是周期为２π的函数，tanx，cotx是周期为π的函数．以 T为周期的函数图像沿x轴方向左右平移T的整数倍，图像将重合．
《经济数学》课件 《经济数学》第八章
15．LINEST（最小二乘法直线拟合）
功能：使用最小二乘法对已知数据进行最佳直线拟合，并返回描 述此直线的数组。 格式：LINEST(known_ y’s，known_ x’s，const，stats) 参数：known_ y’s为表达式 y a bx 中已知的y值集合； known_ x’s为表达式 y a bx 中已知的可选x值集合； const为逻辑值，若const为TRUE或省略，a将按正常计算；若const 为FALSE，a将被设为0，则公式为y bx ； stats为逻辑值，若为TRUE，则返回附加回归统计值；若为FALSE 或省略，则返回系数b与常量a。
例14 为检测学生的物理与数学学习成绩之间是否存在关联，现抽 查5名学生，物理成绩输入A列：A1 = 90，A2 = 86，A3 = 65，A4 = 54，A5 = 36；数学成绩输入B列：B1 = 89，B2 = 83，B3 = 60，B4 = 50，B5 = 32，输入公式“= CORREL(A1∶A5，B1∶B5)”，则返 回0.998 876，可以看出两科目成绩具有较高的相关性。
例如，在一般的问卷统计数据中，常以编号代表某项答案， 此时应将编号定义为文本型，如图8-1所示。
图8-1
2．正确定义单元格的数据范围
在Excel工作表中，引用连续性单元格范围内的数据的方法 如表8-1所示。
要引用的连续单元格 列 A 中行 10 到行 20 的单元格区域 行 15 中列 B 到列 E 的单元格区域 行 5 中的所有单元格 从行 5 到行 10 的所有单元格 列 H 中的所有单元格 从列 H 到列 J 的所有单元格 从 A 列第 10 行到 E 列第 20 行的单元格区域
7．STDEV（求样本标准差）
功能：计算给定样本的标准差（忽略样本中的逻辑值及文本），
agriculture economic农经英文ppt 国际学院外教
Money and Financial Intermediaries WHAT IS MONEY?
• Regardless of the items used as money, they are all regarded as a means of payment.
– Within the complex economies of the industrialized countries, money plays three critical roles.
• U.S. currency is fiat money—on each piece, you will find the following statement:
– “This note is legal tender for all debts, public and private.”
• This is the fiat, or statement, that dollars are hereby declared by the government to be legal tender, within the laws of the United States.
tab
Agricultural Economics, 3th edition By H. Evan Drummond and John W. Goodwin
© 2011, 2004 Pearson Higher Education, Inc. Pearson Prentice Hall - Upper Saddle River, NJ 07458
– Credit cards, debit cards, automatic payroll deposits, and e-banking means more & more of business is done without actual money.
大学经济数学PPT课件
第14页/共51页
y 反函数y ( x)
Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
第15页/共51页
（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
第16页/共51页
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如：y u ,u x2 1
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如： y = cot x , 2
y=
u,
u
=
cot
v, v
=
x. 2
第17页/共51页
4. 初等函数
x 1
x1
ƒ(x)在 x0 处的右极限. 记为
lim
x x0
f (x)
A或
f ( x0＋0)
A.
第39页/共51页
左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:
定理2. 函数y = ƒ(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条 件是函数y = ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
第17初等函数第18指数函数第19对数函数第20三角函数正弦函数第21sin余弦函数第22cos正切函数第23余切函数第24正割函数第25余割函数第26反三角函数第27arcsinarcsin反正弦函数第28arccosarccos反余弦函数第29arctanarctan反正切函数幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数统称为基本初等函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a)
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
第15页/共51页
（2）复合函数
例：设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义 2: 设函数 y f (u)的定义域 D f , 而函数 u ( x)的值域为 Z , 若 Df Z , 则称 函数 y f [( x)]为 x的复合函数.
x 自变量, u 中间变量, y 因变量,
第16页/共51页
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如：y u ,u x2 1
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.
例如： y = cot x , 2
y=
u,
u
=
cot
v, v
=
x. 2
第17页/共51页
4. 初等函数
x 1
x1
ƒ(x)在 x0 处的右极限. 记为
lim
x x0
f (x)
A或
f ( x0＋0)
A.
第39页/共51页
左极限和右极限统称为单侧极限.它们之间有如下关系:
定理2. 函数y = ƒ(x)当 x→x0 时极限存在且为A的充要条 件是函数y = ƒ(x)的左极限和右极限都存在且等于A。即
lim f ( x) A lim f ( x) lim f ( x) A
第17初等函数第18指数函数第19对数函数第20三角函数正弦函数第21sin余弦函数第22cos正切函数第23余切函数第24正割函数第25余割函数第26反三角函数第27arcsinarcsin反正弦函数第28arccosarccos反余弦函数第29arctanarctan反正切函数幂函数指数函数对数函数三角函数和反三角函数统称为基本初等函数
经济数学基础5第十七讲幻灯片课件
求y.
解yຫໍສະໝຸດ sine1 x
s
e
i
1 n
x
s
in1
x
1 sin
e x
cos1
1
x x
x12
si
e
1 n x
co1s . x
例 7 设ylnsinx, 求 y .
解 这个复合函数有三个复合步骤 yln u , usiv,nvx.
把这些中间变量都记在脑子中．
yx(x)si1nx(sinx)x
1 cosx( sinx
1
1
yxyuuvvx.
例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u， 将 y = (2x + 1)5
看成是
y = u5，u = 2x + 1
复合而成，
注意！
U必须用其函数代回去
yu(u5)5u4,
ux(2x1)2.
所以
yxyu ux5u42. 10(2x1)4.
1 2(xex)1 2(x)x(ex)x 1 2(xex)1 21ex(x)x
1(xex)12(1ex). 2
例10 ylnx( 1x2 )，求 y'
解： y
1
x 1x2
x 1x2
x1 1x21211 x2(1x2)
1 (1 2x ) x 1x2 21x2
1
(2 1x2 2x)
1
（1
二、复合函数的求导法则
反例 ysin2x, 求 y'.
Sin2x是复合函数
一种解法是 (sx ) i n 'co xs
(s2 ixn ) 'co 2xs
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u x1
λp
1
0
u x2
λp
2
0
u xn
λp
n
0
p1x1 pn xn y
φ 1(x; p; y;λ ) 0 φ 2 (x; p; y;λ ) 0
φ n (x; p; y;λ ) 0 φ n1(x; p; y;λ ) 0
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ห้องสมุดไป่ตู้
f1 f1 f1
x1 x2
xm
fi x j
i1,2...n
j 1,2...m
f 2 x1
f 2 x2
f 2
xm
fn x1
f n x2
fn xm
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需求函数的存在性
• 如果假设效用函数符合边际效用递减的性质，可 以证明雅可比矩阵秩为n+1，根据隐函数定理，
(x1, x2 ,, xn ) 可以表示为价格和收入的函数。
x1 d1( p1,, pn ; y) x2 d2 ( p1,, pn ; y)
an1x1 an2 x2 anm xm yn
或Ax=y ,如果A的秩是n，可以得到：
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隐函数
x1 g1(xn1,, xm ; y1,, yn ) x2 g2 (xn1,, xm ; y1,, yn )
Mathematics for Economists
专题二: 凹函数、凸函数
Topic2: Concave and Convex Function
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
• 效用函数为 u(x1, x2, …, xn) • 价格向量 p=(p1, p2, …, pn) T • x=(x1, x2, …, xn) T • 收入 y, 在均衡状态下：
xn gn (xn1,, xm ; y1,, yn )
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推广－隐函数定理
• 隐函数定理：如果 m>n，函数 f 可微，雅可比矩 阵的秩为n, 则存在n个可微函数使得，
如果 f 是线性函数，该系统表现为：
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隐函数
a11x1 a12 x2 a1m xm y1 a21x1 a22 x2 a2m xm y2
0
p1
0 λ
0 pn
x1 xn 1
0
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海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
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隐函数定理 Implicit Function
• F (x, f (x))≡0，且f ( x0)＝ y0 • f (x) 连续， • f (x) 有连续导数且
f '(x) Fx (x, y) Fy (x, y)
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隐函数
函数 f :Rm Rn, m>n f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), …, f n (x))T ,
f1(x1, x2 ,, xn ,, xm ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ,, xm ) y2 fn (x1, x2 ,, xn ,, xm ) yn
要素需求函数的存在性
• 如果函数f的海森矩阵非奇异，可以证明上述雅 可比矩阵也非奇异，根据隐函数定理，
(x1, x2 ,, xn ) 可以表示为价格和成本的函数。
x1 d1(w1,, wn ; c) x2 d2 (w1,, wn ; c)
xn dn (w1,, wn ; c)
需求函数的存在性
• 在前面效用函数的例子中，把价格和收入作为给 定变量，则雅可比行列式为
2u 2u
x12
xnx1
2u x1xn
2u xn 2
p1 pn
p1
pn
0
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回顾：凹函数 Concave
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
B
C
A
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凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
1
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x2
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如果
• (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
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专题一:雅可比矩阵
Topic1: Jocobi Matrix
2 f 2 f
x12
xnx1
2 f x1xn
2 f xn 2
w1 wn
w1
wn
0
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p1
pn
φ 1
y
φ n1
y
φ 1 λ
φ n1
λ
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
u x1
Hf
(x)
2 f x1xn
2 f xnx1
2 f xn 2
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隐函数定理 Implicit Function
xn dn ( p1,, pn ; y)
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要素需求函数的存在性
• 生产函数为 f (x1, x2, …, xn) • 生产要素价格向量
w=(w1, w2, …, wn) T • 给定成本 c,
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反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
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