经济数学中国农业大学中英课件.ppt

凹函数另一定义
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，有 f ( x2) f (x1)＋ f '(x1) (x2 － x1)
C A
x1
1
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x2
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如果 f 是线性函数，该系统表现为：
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隐函数
a11x1 a12 x2 a1m xm y1 a21x1 a22 x2 a2m xm y2
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隐函数
函数 f :Rm Rn, m>n f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), …, f n (x))T ,
f1(x1, x2 ,, xn ,, xm ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ,, xm ) y2 fn (x1, x2 ,, xn ,, xm ) yn
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需求函数的存在性
• 如果假设效用函数符合边际效用递减的性质，可 以证明雅可比矩阵秩为n+1，根据隐函数定理，
(x1, x2 ,, xn ) 可以表示为价格和收入的函数。
x1 d1( p1,, pn ; y) x2 d2 ( p1,, pn ; y)
f x1
λw 1

0
f x2
λw 2

0

f xn
λw n

0
w1x1 wn xn c
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要素需求函数的存在性
• 则雅可比行列式为
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
φ 1 φ 1
x1
xn



φ n1
x1

φ n1
xn

φ 1 φ 1
p1
pn
φ n1 φ n1
xn gn (xn1,, xm ; y1,, yn )
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推广－隐函数定理
• 隐函数定理：如果 m>n，函数 f 可微，雅可比矩 阵的秩为n, 则存在n个可微函数使得，
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专题二: 凹函数、凸函数
Topic2: Concave and Convex Function
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如果
• (1) 函数F (x,y)在(x0,y0)附近连续， • (2)偏导数Fx (x,y)和Fy (x,y) 存在且连续， • (3)F (x0,y0)＝0， • (4) Fy (x0,y0) ≠0， 则 F (x,y)＝0唯一确定一个隐函数 y=f (x) ,使得
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λp
1

0
u x2
λp
2

0

u xn
λp
n

0
p1x1 pn xn y
φ 1(x; p; y;λ ) 0 φ 2 (x; p; y;λ ) 0

φ n (x; p; y;λ ) 0 φ n1(x; p; y;λ ) 0
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隐函数定理 Implicit Function
• F (x, f (x))≡0，且f ( x0)＝ y0 • f (x) 连续， • f (x) 有连续导数且
f '(x) Fx (x, y) Fy (x, y)
回顾：凸函数 Convex
• 凸函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
回顾：凹函数 Concave
• 凹函数：集合S为凸集，x1、x2 S，(0,1), 有 f ( x1 ＋ (1-) x2) f (x1)＋ (1-) f ( x2)
B
C
A
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
2u 2u
x12
xnx1



2u x1xn

2u xn 2
p1 pn
λ 0
p1
pn
φ 1
y
φ n1
y
φ 1 λ



φ n1
λ


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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
u x1
f1 f1 f1
x1 x2
xm

fi x j
i1,2...n
j 1,2...m


f 2 x1
f 2 x2

f 2

xm


fn x1
f n x2

fn xm
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xn dn ( p1,, pn ; y)
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要素需求函数的存在性
• 生产函数为 f (x1, x2, …, xn) • 生产要素价格向量
w=(w1, w2, …, wn) T • 给定成本 c,
要素需求函数的存在性
• 如果函数f的海森矩阵非奇异，可以证明上述雅 可比矩阵也非奇异，根据隐函数定理，
(x1, x2 ,, xn ) 可以表示为价格和成本的函数。
x1 d1(w1,, wn ; c) x2 d2 (w1,, wn ; c)
xn dn (w1,, wn ; c)
u x1
λp
1

0
u x2
λp
2

0

u xn
λp
n

0
p1x1 pn xn y
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
函数 f :Rm Rn, f (x)= (f 1 (x) , f 2 (x), …, f n (x))T ,下 面矩阵称为雅可比矩阵。
x1 g1(xn1,, xm ; y1,, yn ) x2 g2 (xn1,, xm ; y1,, yn )
xn gn (xn1,, xm ; y1,, yn )
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专题一:雅可比矩阵
Topic1: Jocobi Matrix
需求函数的存在性
• 在前面效用函数的例子中，把价格和收入作为给 定变量，则雅可比行列式为
2u 2u
x12
xnx1



2u x1xn

2u xn 2
p1 pn

p1

Байду номын сангаас


pn

0
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x1 g1( y1,, yn ) x2 g2 ( y1,, yn )

fn (x1, x2 ,, xn ) yn xn gn ( y1,, yn )
• g称为 f 的反函数
• 如果雅可比矩阵秩为n，则反函数存在
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u x1
λp
1

0
u x2
λp
2

0

u xn
λp
n

0
p1x1 pn xn y
φ 1(x; p; y;λ ) 0 φ 2 (x; p; y;λ ) 0

φ n (x; p; y;λ ) 0 φ n1(x; p; y;λ ) 0
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反函数 Inverse Function
• 当n=m，如果存在g 使得
f1(x1, x2 ,, xn ) y1 f2 (x1, x2 ,, xn ) y2
Hf
(x)



2 f x1xn


2 f xnx1

2 f xn 2

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隐函数定理 Implicit Function
2 f 2 f
x12
xnx1



2 f x1xn

2 f xn 2
w1 wn


w1




wn

0
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雅可比矩阵 Jocobi Matrix
• 效用函数为 u(x1, x2, …, xn) • 价格向量 p=(p1, p2, …, pn) T • x=(x1, x2, …, xn) T • 收入 y, 在均衡状态下：

0

p1



0 λ
0 pn

x1 xn 1
0
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海森矩阵 Hessian Matrix
2 f
x12
an1x1 an2 x2 anm xm yn
或Ax=y ,如果A的秩是n，可以得到：
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隐函数
x1 g1(xn1,, xm ; y1,, yn ) x2 g2 (xn1,, xm ; y1,, yn )