拉丁方设计

拉丁方设计
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“拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher给出的。

拉丁方设计（latin square design）是从横行和直列两个方向进行双重局部控制，使得横行和直列两向皆成单位组，是比随机单位组设计多一个单位组的设计。

在拉丁方设计中，每一行或每一列都成为一个完全单位组，而每一处理在每一行或每一列都只出现一次，也就是说，在拉丁方设计中，试验处理数=横行单位组数=直列单位组数=试验处理的重复数。

在对拉丁方设计试验结果进行统计分析时，由于能将横行、直列二个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而拉丁方设计的试验误差比随机单位组设计小，试验精确性比随机单位组设计高。

拉丁方设计又叫平衡对抗设计(baIanced design)、轮换设计。

这三个名称是从其模式、作用和方法三个不同的角度来说明这种设计的意义。

所谓平衡对抗设计，是指在实验中，由于前一个实验处理往往会影响后一个实验处理的效果，而该实验设计的作用就在于提供对实验处理顺序的控制，使实验条件均衡，抵消由于实验处理的先后顺序的影响而产生的顺序误差，因而也可称之为抵消法设计。

所谓轮换设计，是指在实验中，由于学习的首因效应，先实验的内容，被试容易记住；又因为学习的近因效应，对于刚刚学过的内容，被试回忆的效果一般也较好。

因此、在实验方法上，有必要使不同实验条件出现的先后顺序轮换，使情境条件以及先后顺序对各个实验组的机会均等，打破顺序界限。

所谓拉丁方设计，是指平衡对抗设计的结构模式，犹如拉丁字母构成的方阵。

例如四组被试接受A、B、C、D四种处理，其实验模式为：
上述模式表可以看出，每种处理即表中的字母在每一行和每一列都出现了一次而且仅出现了一次。

像这样的一个方阵列就称为一个拉丁方。

要构成一个拉丁方，必须使行数等于列数，并且两者都要等于实验处理的种数。

在只有两个实验处理的情况下，通常采用的平衡对抗设计是以ABBA的顺序来安排实验处理的顺序。

或者把单组被试分为两半．一半按照ABBA的顺序实施处理，另一半按照BAAB 的顺序实施处理。

一、拉丁方简介
（一）拉丁方—— 以n 个拉丁字母A ，B ，C ……，为元素，作一个n 阶方阵，若这n 个拉丁方字母在这n 阶方阵的每一行、每一列都出现、且只出现一次，则称该n 阶方阵为n ×n 阶拉丁方。

例如：2×2阶、3×3阶拉丁方。

第一行与第一列的拉丁字母按自然顺序排列的拉丁方，叫标准型拉丁方。

3×3阶标准型拉丁方只有上面介绍的1种，4×4阶标准型拉丁方有4种，5×5阶标准型拉丁方有56种。

若变换标准型的行或列，可得到更多种的拉丁方。

在进行拉丁方设计时，可从上述多种拉丁方中随机选择一种；或选择一种标准型，随机改变其行列顺序后再使用。

（二）常用拉丁方——在动物试验中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6阶拉丁方。

下面列出部分标准型拉丁方，供进行拉丁方设计时选用。

其余拉丁方可查阅数理统计表及有关参考书。

二、拉丁方设计方法
在畜牧、水产等动物试验中，如果要控制来自两个方面的系统误差，且试验动物的数量又较少，则常采用拉丁方设计。

下面结合具体例子说明拉丁方设计方法。

【例12.4】为了研究5种不同温度对蛋鸡产蛋量的影响，将5栋鸡舍的温度设为A 、B 、C 、D 、E ，把各栋鸡舍的鸡群的产蛋期分为5期，由于各鸡群和产蛋期的不同对产蛋量有较大的影响，因此采用拉丁方设计，把鸡群和产蛋期作为单位组设置，以便控制这两个方面的系统误差。

拉丁方设计步骤如下：
（一）选择拉丁方选择拉丁方时应根据试验的处理数和横行、直列单位组数先确定采用几阶拉丁方，再选择标准型拉丁方或非标准型拉丁方。

此例因试验处理因素为温度，处理数为5；将鸡群作为直列单位组因素，直列单位组数为5；将产蛋期作为横行单位组因素，横行单位组数亦为5，即试验处理数、直列单位组数、横行单位组数均为5，则应选取5×5阶拉丁方。

本例选取前面列出的第2个
（二）随机排列在选定拉丁方之后，如是非标准型时，则可直接按拉丁方中的字母安排试验方案。

若是标准型拉丁方，还应按下列要求对横行、直列和试验处理的顺序进行随机排列。

3×3标准型拉丁方：直列随机排列，再将第二和第三横行随机排列。

4×4标准型拉丁方：随机选择4个标准型拉丁方中的一个，然后再将横行、直列及处理都随机排列。

下面对选定的5×5标准型拉丁方进行随机排列。

先从随机数字表（Ⅰ）第22行、第8列97开始，向右连续抄录3个5位数，抄录时舍去“0”、“6以上的数”和重复出现的数，抄录的3个五位数字为：13542，41523，34521。

然后将上面选定的5×5拉丁方的直列、横行及处理按这3个五位数的顺序重新随机排列。

1、直列随机将拉丁方的各直列顺序按13542顺序重排。

3、把5种不同温度按第三个5位数34521顺序排列即：A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是说，在拉丁方中的A表示第3种温度，B表示第4种温度等，依次类推。

从而得出5×5拉丁方设计，如表12-8所示。

注：括号内的数字表示温度的编号
由表12-8可以看出，第一鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第2种温度，第二鸡群在第Ⅰ个产蛋期用第1种温度，等等。

试验应严格按设计实施。

三、试验结果的统计分析
拉丁方设计试验结果的分析，是将两个单位组因素与试验因素一起，按三因素试验单独观测值的方差分析法进行，但应假定3个因素之间不存在交互作用。

将横行单位组因素记为A，直列单位组因素记为B，处理因素记为C，横行单位组数、直列单位组数与处理数记为r，对拉丁方试验结果进行方差分析的数学模型为：
（I=j=k=1，2，…，r）（12-3）
式中：μ为总平均数；为第I 横行单位组效应；为第j 直列单位组效应，为第k处理
效应。

单位组效应、通常是随机的，处理效应通常是固定的，且有；
为随机误差，相互独立，且都服从N（0，σ2）。

注意：k不是独立的下标，因为I、j一经确定，k亦随之确定。

平方和与自由度划分式为：
SS T = SS A+SS B+SS C+SS e
df T = df A+df B+df c+df e
（12-4）【例12.4】的试验结果如表12-9所示。

产蛋期
鸡群
横行和x I.一二三四五
ⅠⅡⅢⅣⅤD（23）
A（22）
E（20）
B（25）
C（19）
E（21）
C（20）
A（25）
D（22）
B（20）
A（24）
E（20）
B（26）
C（25）
D（24）
B（21）
D（21）
C（22）
E（21）
A（22）
C（19）
B（22）
D（23）
A（23）
E（19）
108
105
116
116
104
直列和x.j109 108 119 107 106 x..=549 注：括号内数字为产蛋量
温度A B C D E
x（k）
116
23.2 114
22.8
105
21.0
113
22.6
101
20.2
现对表12-9资料进行方差分析。

1、计算各项平方和与自由度
矫正数C=x2../r2=5492/52=12056.04
总平方和 SS T =Σx 2ij(k)-C=232+212+……+192-12056.04= 12157-12056.04=100.96 横行平方和SS A =Σx 2I./r- C =(1082+1052+……+1042)/5-12056.04=27.36
直列平方和SS B =Σx 2.j/ r - C =(1092+1082+……+1062)/5-12056.04=22.16
处理平方和SS C =Σx 2(K)/ r - C=(1162+1142+……+1012)/5-12056.04=33.36
误差平方和SS e= SS T- SS A- SS B- SS c=100.96-33.36-27.36-22.16= 18.08
总自由度df T= r 2-1=52-1=24
横行自由度df A= r-1=5-1=4
直列自由度df B= r-1=5-1=4
处理自由度df C= r-1=5-1=4
误差自由度df e=df T-df A-df B-df C=(r-1)( r-2)=(5-1)(5-2)=12
2、列出方差分析表，进行F检验
表12-11 表12-9资料的方差分析表
变异来源SS df MS F F0.05F0.01
横行间直列间温度间误差27.36
22.16
33.36
18.08
4
4
4
12
6.84
5.54
8.34
1.50
4.56*
3.69*
5.56**
3.26
3.26
3.26
5.41
5.41
5.41
总变异100.96 24
经F检验，产蛋期间和鸡群间差异显著,温度间差异极显著。

因在拉丁方设计中，横行、直列单位组因素是为了控制和降低试验误差而设置的非试验因素，所以即使显著一般也不对单位组间进行多重比较。

下面对不同温度平均产蛋量间作进行多重比较。

3、多重比较
列出多重比较表，见表12-12。

表12-12 不同温度平均产蛋量多重比较表（q法）
温度平均数-20.2 -21 -22.6 -22.8
A B D C E 23.2
22.8
22.6
21.0
20.2
3.0*
2.6*
2.4*
0.8
2.2
1.8
1.6
0.6
0.2
0.4
温度平均数标准误为:
由df e=12和k=2，3，4，5从q值表查得临界q值：q0.05和q0.01,并与相乘得值，列于表12-13。

df e k q0.05q0.01LSR0.05LSR 0.01
12 2
3
4
5
3.08
3.77
4.20
4.51
4.32
5.04
5.50
5.84
1.69
2.07
2.31
2.48
2.38
2.77
3.03
3.21
多重比较结果表明：温度A、B、D平均产蛋量显著地高于E，即第3、4、2种温度的平均产蛋量显著高于第1种温度的平均产蛋量，其余之间差异不显著。

第1种和第5种温度平均产蛋量最低。

四、拉丁方设计的优缺点
（一）拉丁方设计的主要优点
1、精确性高拉丁方设计在不增加试验单位的情况下，比随机单位组设计多设置了一个单位组因素，能将横行和直列两个单位组间的变异从试验误差中分离出来，因而试验误差比随机单位组设计小，试验的精确性比随机单位组设计高。

2、试验结果的分析简便
（二）拉丁方设计的主要缺点因为在拉丁设计中，横行单位组数、直列单位组数、试验处理数与试验处理的重复数必须相等，所以处理数受到一定限制。

若处理数少，则重复数也少，估计试验误差的自由度就小，影响检验的灵敏度；若处理数多，则重复数也多，横行、直列单位组数也多，导致试验工作量大，且同一单位组内试验动物的初始条件亦难控制一致。

因此，拉丁方设计一般用于5-8个处理的试验。

在采用4个以下处理的拉丁方设计时，为了使估计误差的自由度不少于12，可采用“复拉丁方设计”，即同一个拉丁方试验重复进行数次，并将试验数据合并分析，以增加误差项的自由度。