有限元方法的发展及应用

有限元方法的发展及应用摘要：有限元法是一种高效能、常用的计算方法。

有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。

基本思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。

1有限元法介绍1.1有限元法定义有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。

有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。

1.2有限元法优缺点有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。

（1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。

（2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。

它不仅能成功地处理线性弹性力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关系、大变形问题、动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。

他几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，以至于目前开始向纳米量级的分子动力学渗透。

（3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。

这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题的方法规范化、软件商业化，为有限元法推广和应用奠定了良好的基础。

但是，在求解一些特殊问题，特别是间断问题时，有限元方法存在着某些固有的缺陷。

例如：（1）有限元采用的是连续性的位移近似函数，对于裂纹类强间断问题，为获得足够的计算精度，需要对网格进行足够的细分，计算量极大。

（2）在采用拉格朗日法求解金属冲压成形、裂纹动态扩展、流固耦合、局部剪切等涉及特大变形问题时，有限元网格可能会产生严重扭曲，使计算精度急剧下降甚至计算无法继续，因此，需要不断地进行网格重构，计算量极大。

同时，为了模拟裂纹的动态扩展过程，也需要不断地进行网格重构。

（3）在处理夹杂问题时，单元的边须位于夹杂与基体的界面处，即使对于网格自动化程度很高的二维问题这也很不容易，而三维问题则更复杂。

1.3有限元法的派生有限元法作为数值方法中的基础方法，有其一定的使用范围，也由于一定的弊端决定了其不完全通用性。

在有限元方法基础上，发展出有其特殊使用范围的更精准的派生数值方法，下面介绍几种重要的数值方法。

1.3.1有限差分法有限差分法（FDM，Finite Difference Method）已经发展的一些近似数值分析方法中，最初常用的是有限差分法，它可以处理一些相当困难的问题。

但对于几何形状复杂的边界条件，其解的精度受到限制，甚至发生困难。

作为60年代最重要的科技成就之一的有单元法。

在理论和工程应用上都得到迅速发展，几乎所有用经典力学解析方法难以解决的工程力学问题郁可以用有限元方法求解。

它将连续的求解域离散为一组有限个单元的组合体，解析地模拟或逼近求解区域。

由于单元能按各种不同的联结方式组合在一起，且单元本身又可有不同的几何形状，因此可以适应几何形状复杂的求解域。

有限元的另一特点是利用每一单元内假设的近似函数来表示全求解区域上待求的未知场函数。

单元内的近似函数由未知场函数在各个单元结点上数值以及插值函数表达，这就使未知场函数的结点值成为新的未知量，把一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，只要结点来知量解出，便可以确定单元组合体上的场函数。

随着单元数目的增加，近似解收敛于精确解。

但是有限元方法常常需要很大的存贮容量，甚至大得无法计算；由于相邻界面上只能位移协调，对于奇异性问题（应力出现间断）的处理比较麻烦。

这是有限单元法的不足之处。

1.3.2边界元法边界元法（BEM，Boundary Element Method）是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。

与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。

降低了问题的维数，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。

边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。

上述两种数值方法的主要区别在于，边界元法是“边界”方法，而有限元法是“区域”方法，但都是针对连续介质而言，只能获得某一荷载或边界条件下的稳定解。

对于节理裂隙发育的岩体或颗粒散体的处理则要麻烦得多，更无法进行大变形、分离、回转及塌落过程的模拟。

这就使得人们去探索和寻求适合模拟节理岩体和颗粒散体运动变形特性的有效数值方法。

1.3.3离散元法离散元法（DEM，Distinct Element Method）是由Cundall P A(1971)首先提出并应用于岩土体稳定性分析的一种数值分析方法。

它是一种动态的数值分析方法,可以用来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点,因而,也就成为目前较为流行的一种岩土体稳定性分析数值方法。

该方法在进行计算时,首先将边坡岩体划分为若干刚性块体(目前已可以考虑块体的弹性变形),以牛顿第二运动定律为基础,结合不同本构关系,考虑块体受力后的运动及由此导致的受力状态和块体运动随时间的变化。

它允许块体间发生平动、转动,甚至脱离母体下落,结合CAD技术可以在计算机上形象地反应出边坡岩体中的应力场、位移及速度等力学参量的全程变化。

该方法对块状结构、层状破裂或一般碎裂结构岩体比较适合。

1.3.4广义有限元法广义有限元方法（GFEM，Generalized Finite Method）是常规有限元方法在思想上的延伸，它基于单位分解方法,通过在结点处引入广义自由度，对结点自由度进行再次插值,从而提高有限元方法的逼近精度，或满足对特定问题的特殊逼近要求。

基于广义有限元方法对单元形状函数构造理论的深入研究，具有任意内部特征（空洞、夹杂、裂纹等）及外部特征（凹角、角点、棱边等）的复杂问题,都将在简单、且与区域无关的有限元网格上加以求解。

1.3.5扩展有限元法扩展有限元（XFEM，Extended Finite Element Method）是在标准有限元方法的框架下，提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹杂等间断问题的数值方法。

在有限元的近似函数中，增加能反映待求问题间断特性的附加函数项，采用水平集方法（LSM）描述间断面的几何特性及其移动规律。

扩展有限元方法与标准有限元方法相比，具有计算精度高、勿需网格重构等特点。

2有限元法的发展有限元法是R.Courant于1943年首先提出的。

自从提出有限元概念以来,有限元理论及其应用得到了迅速发展。

过去不能解决或能解决但求解精度不高的问题，都得到了新的解决方案。

传统的FEM假设：分析域是无限的；材料是同质的，甚至在大部分的分析中认为材料是各向同性的;对边界条件简化处理。

但实际问题往往是分析域有限、材料各向异性或边界条件难以确定等。

为解决这类问题,美国学者提出用GFEM（Gener-alized Finite Element Method）解决分析域内含有大量孔洞特征的问题；比利时学者提出用HSM（the Hybrid metis Singular element of Membrane plate）解决实际开裂问题。

在FEM应用领域不断扩展、求解精度不断提高的同时，FEM也从分析比较向优化设计方向发展。

印度Mahanty博士用ANSYS对拖拉机前桥进行优化设计，结果不但降低了约40%的前桥自重，还避免了在制造过程中的大量焊接工艺，降低了生产成本。

FEM在国内的应用也十分广泛。

自从我国成功开发了国内第一个通用有限元程序系统JIGFEX后，有限元法渗透到工程分析的各个领域中，从大型的三峡工程到微米级器件都采用FEM进行分析，在我国经济发展中拥有广阔的发展前景。

目前在进行大型复杂工程结构中的物理场分析时，为了估计并控制误差,常用基于后验误差估计的自适应有限元法。

基于后处理法计算误差,与传统算法不同，将网格自适应过程分成均匀化和变密度化2个迭代过程。

在均匀化迭代过程中，采用均匀网格尺寸对整体区域进行网格划分，以便得到一个合适的起始均匀网格；在变密度化迭代过程中只进行网格的细化操作，并充分利用上一次迭代的结果，在单元所在的曲边三角形区域内部进行局部网格细化，保证了全局网格尺寸分布的合理性，使得不同尺寸的网格能光滑衔接，从而提高网格质量。

整个方案简单易行，稳定可靠，数次迭代即可快速收敛,生成的网格布局合理，质量高。

2.1有限元法的国内外研究现状FEM作为求解数学物理问题的一种数值方法，已经历了50余年的发展。

20世纪50年代，它作为处理固体力学问题的方法出现。

1943年，Courant第一次提出单元概念。

1945~1955年,Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展。

1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题。

1960年,Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法”,并描绘为“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”。

几乎与此同时,我国数学家冯康也独立提出了类似方法。

FEM理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。

自20世纪60年代以来,人们加强了对FEM数学基础的研究。

如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。

FEM理论研究成果为其应用奠定了基础,计算机技术的发展为其提供了条件。