数学平行四边形练习题及解析

数学平行四边形练习题及解析

一、解答题

1．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则

2222AB CD AD BC +=+．

（1）请帮助小明证明这一结论；

（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边

AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．

2．在ABCD 中，以AD 为边在ABCD 内作等边ADE ∆，连接BE ．

（1）如图1，若点E 在对角线BD 上，过点A 作AH BD ⊥于点H ，且75DAB ∠=︒，

AB 6=

，求AH 的长度；

（2）如图2，若点F 是BE 的中点，且CF BE ⊥，过点E 作MN

CF ，分别交AB ，

CD 于点,M N ，在DC 上取DG CN =，连接CE ，EG ．求证：

①CEN DEG ∆∆≌； ②ENG ∆是等边三角形．

3．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．

（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为 ．

（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的

中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．

4．如图①，已知正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，CD 上的点(点E ，F 不与端点重合)，且AE=DF ，BE ，AF 交于点P ，过点C 作CH ⊥BE 交BE 于点H ．

（1）求证：AF ∥CH ；

（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；

（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求

CP

PQ

的值． 5．如图，M 为正方形ABCD 的对角线BD 上一点.过M 作BD 的垂线交AD 于E ，连

BE ，取BE 中点O ．

（1）如图1，连AO MO 、，试证明90AOM ︒∠=；

（2）如图2，连接AM AO 、，并延长AO 交对角线BD 于点N ，试探究线段

DM MN NB 、、之间的数量关系并证明；

（3）如图3,延长对角线BD 至Q 延长DB 至P ,连,CP CQ 若2,9PB PQ ==,且

135PCQ ︒∠=，则PC

．（直接写出结果）

6．如图．正方形ABCD 的边长为4，点E 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形

AEFG ，连接BF ．

（1）当t ＝1时，求BF 的长度；

（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值； （3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．

7．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．

（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α． ①按要求补全图形；

②∠EBF =______________（用含α的式子表示）； ③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．

（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明． 8．如图，点A 的坐标为(6,6)-，AB x ⊥轴，垂足为B ，AC y ⊥轴，垂足为C ，点

,D E 分别是射线BO 、OC 上的动点，且点D 不与点B 、O 重合，45DAE ︒∠=.

（1）如图1，当点D 在线段BO 上时，求DOE ∆的周长；

（2）如图2，当点D 在线段BO 的延长线上时，设ADE ∆的面积为1S ，DOE ∆的面积为2S ，请猜想1S 与2S 之间的等量关系，并证明你的猜想.

9．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：

（1）在图1中，连接BD ，且BE DF = ①求证：EF 与BD 互相平分； ②求证：222()2BE DF EF AB ++=；

（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222

()2BE DF EF AB ++=是否成

立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.

（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒，2246B BP PD +=时，求PD 之长.

10．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 的直线EF ，GH 分别交边AB 、CD ，AD 、BC 于点E 、F 、G 、H ．

（1）观察发现：如图①，若四边形ABCD 是正方形，且EF ⊥GH ，易知S △BOE ＝S △AOG ，又因为S △AOB ＝

1

4

S 四边形ABCD ，所以S 四边形AEOG ＝ S 正方形ABCD ； （2）类比探究：如图②，若四边形ABCD 是矩形，且S 四边形AEOG ＝1

4

S 矩形ABCD ，若AB ＝a ，AD ＝b ，BE ＝m ，求AG 的长（用含a 、b 、m 的代数式表示）；