大学物理静电

2
2C
电场能量密度
e
1 2
0 r E 2
1 2
D
E
4）.充有各向同性电介质
W
v
edV
E E0
r
C C0 r
注意：
1.
E表
0
n
是总电场。不是仅指表面电荷的电场。
例. 一接地的“无限大”导体板前垂直放置一“半无限长”均匀带电直线， 使该带电直线的一端距板面的距离为d．如图所示，若带电直线上
dW Udq W Udq
例：如图所示，半径为R的均匀带电球面，带有电荷
q．沿某一半径方向上有一均匀带电细线，电荷 线密度为λ，长度为l，细线左端离球心距离为
q R
r0．设球和线上的电荷分布不受相互作用影响，
O
试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场 中的电势能(设无穷远处的电势为零)．
r0
l
分 布
基本计算：
一、场强与电场力的计算：
1 .叠加法：先求出dq产生的场强的大小 dE 标明 方向，再对带电体积分 ，可得总场强：
Ex
dE x
Ey
dE y
2. 电场具有某种对称性时, 用Gauss 定律求场强.
S
E
dS
1
0
q内
3.先求任一点电势,再利用场强与电势的微分关系
, 求场强.
U EX x
EY
U y
4.电场力
dF Edq
F Edq
注意方向不同时分解.
二、电势与电势能的计算
1. 利用点电荷电势公式及电势叠加原理求电势.
dU 1 dq
U dU
2.
4 0 r
已知场强分布,由U a
零势点QE a
dl求电势.
3.电场力作功和电势能的计算 Aab q0 (U a Ub )
ql
x r0
2
40r0 r0 l
方向沿x正方向．
均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布
当 r > R 时, 当 r < R 时,
U p
r
1
4
0
q r2
dr
q
4 0r
U p
E dl
r
R
0dr
r
R
1
4 0
q r2
dr
1
4 0
q R
电荷元在球面电荷电场中具有电势能：
dW = (qdx) / (40 x)
E
0
0
电介质极化电荷产生电场
E
0
电介质内总场强减弱到真空时的 1/εr倍
E
0r
E E E 0
4.有介质存在时，先分析对称性，由高斯定理求D,再求E.
D dS
s
q0内
各向同性电介质
D E
例. 如图所示，一圆柱形电容器，内筒半径为R1，外筒半径为R2 (R2＜2 R1)，其间
充有相对介电常量分别为r1和 r2＝ r1 / 2的两层各向同性均匀电介质，其界面半
O
整个线电荷在电场中具有电势能：
dx x
R r0 x r0+l
q
W
4 0
Hale Waihona Puke r0 l r0dx x
q 4 0
ln
r0 r0
l
三、静电场中的导体与电介质
1、导体静电平衡
1）.性质： E内 0
等势体
表面电荷与场强的关系 2）.计算：场强与电势
E表 0 n
2、电介质
1）.极化描述：
P
Σ
P分
解：设x轴沿细线方向，原点在球心处，在x处取线元dx，
其上电荷为 d q d x
均匀带电球面场强分布
O
0
(r<R)
dx x
R r0 x r0+l
E=
1
4
0
q r2
(r>R)
在带电球面的电场中所受电场力为： dF = qdx / (40 x2)
整个细线所受电场力为：
F
q 4 0
r0 l d x
例．一导体球外r 充满相对介电常量为r 的各向同性均匀电介质，若导体
球上的自由电荷面密度为，则紧靠导体球的介质表面上的极化电荷
(1 - 1 )
面密度'＝
________r_______________．
P nˆ P D 0E
D dS D4r2 q0
D
E
D
另解：自由电荷产生电场
R2 R1 O d
q
Q
解：应用高斯定理可得导体球与球壳间的场强为
E
qr/
4 0r 3
(R1＜r＜R2)
设大地电势为零，则
导体球心O点电势为： U 0
R2 E d r q
R1
4 0
R2 d r r R1 2
q
4 0
1 R1
1 R2
根据导体静电平衡条件和高斯定理可知，球
壳内表面上感生电荷为－q． 设球壳外表面 上感生电荷为Q'． 以无穷远处为电势零点， U0
O
x
∴ 0 /2πd
2.球壳外表面上感生电荷分布不均匀， Q
但对球心o点的电势仍可用下式计算：
4 R 03
例．半径为R1的导体球，带电荷q，在它外面同心地
R3
罩一金属球壳，其内、外半径分别为R2 = 2 R1，R3 = 3 R1，今在距球心d = 4 R1处放一电荷为Q的点电荷，并 将球壳接地(如图所示)，试求球壳上感生的总电荷．
径为R．若两种介质的击穿电场强度相同，问：
当电压升高时，哪层介质先击穿？该电容器能承受多高的电压？
解：(1) 设内、外筒单位长度带电荷为＋ 和－．两筒间电位移的大小为
D＝ / (2r) 在两层介质中的场强大小分别为
P
n
V
2）. 有介质存在时的高斯定理与场的计算
D dS s
q0内
注意对称性
D 0E P 各向同性的介质
D
E
3 ： 电容器与能量
1）. 电容 C q u
关键为场强与电势差的计算
2）. 电容器的串联与并联 1 1 C Ci
C i Ci
i
3）. 电容器与静电场的能量 W 1 CU 2 1 Q2
场源Q静
静 电 场 的 内 容 框 架
库仑定律
静电场
物质性
环路定理
Fe qE
力
E
功能 U We=qU
Aab q(U a Ub )
L E dl 0
保守场
高斯定理
qi内
E dS i
S
0
有源场 改
导体 E0 静电感应 静电平衡
变
电容、电容器、电场能量
E0
电介质
E0
极化 (引入P, D)
根据电势叠加原理，导体球心O处电势为：
1
4 0
Q d
Q R3
q R2
q R1
假设大地与无穷远处等电势，则 上述二种方式所得的O点电势应 相等，由此可得
Q 3Q 4
故导体壳上感生的总电 荷应是－[( 3Q / 4) +q].
3. 有电介质时，极化电荷与自由电荷按相同规律产生电场
E E0 是总场强，不是极化电荷产生的电场。
电荷线密度为，试求垂足O点处的感生电荷面密度．
解：对E导导0体体板板d内上O的点d感x左i应边/ 电4的π荷邻产近0 x生一2 的点场，强半为无i：限/ E4长π0 带电0d直0线i/产2生0的 场强为：
由场强叠加原理和静电平衡条件，该点
合场强为零，即
d
/4π 0d 0 /2 0 0