全等三角形各类题型讲解

全等三角形及其应用

【知识精读】

1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。

2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读

作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；

4. 寻找对应元素的方法

（1）根据对应顶点找

如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。

（2）根据已知的对应元素寻找:全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。

通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成

①翻折:如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；

②旋转:如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；

③平移:如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。

5. 判定三角形全等的方法：SAS,SSS,ASA,AAS,HL

6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；

（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。

【分类解析】

（1）证明线段（或角）相等

例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC

（2）证明线段平行

E

D

A

例2：已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，DE=BF ，AF=CE.求证：AB ∥CD

D C

B A

E F

（3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等

例3：如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE. 求证：CD=2CE

(4)证明线段相互垂直

例4：已知：如图，A 、D 、B 三点在同一条直线上，ΔADC 、ΔBDO 为等腰三角形，AO 、BC 的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。

C B

A O E

D

【题型点拨】

例1．如图，AC ∥BD ，EA,EB 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD

D

C

B

A

例2如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分ABC

∠，

求证：0

180

=

∠

+

∠C

A

【题型展示】

例1 如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．

【实战模拟】

1. 下列判断正确的是（）

（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

（C）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等

（D）有两角和一边对应相等的两个三角形全等

2. 已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB＝OC．

O

E

D

C

B

A

3. 如图，已知C为线段AB上的一点，∆ACM和∆CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：（1）∆CEF是等边三角形。（2）设AN、BM交于O，求∠AOM的度数

A B

C

M

N

E

F

1

2

4.如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，

求证：OE=OD

5. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．

求证：BD＝CG．

6、(1)如图23（１），以ABC

△的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形

ACFG，连结EG，试判断ABC

△与AEG

△面积之间的关系，并说明理由。

(2)园林小路，曲径通幽，如图23（２）所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和

是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？