静电场问题求解
静电场的求解方法
静电场的求解方法的讨论摘要 我们求电场时,一般是运用叠加原理求电强度,这也是最基本的平面场的求解方法。
对于复杂的求解电场强度问题,它不适用。
因此,我们必须掌握多种求电场问题的方法。
本文主要介绍分离变量法和电像法来求解电场问题。
电荷静止，相应的电场不随时间变化，在给定的自由电荷分布以及周围空间介质和导体的分布情况下求解静电场。
关键词：静电场求解[1]， 分离变量法， 镜像法， 格林函数法AbstractStill, the corresponding electric charge not changes with time, and inany given free charge distribution and surrounding space distribution of the medium and conductors under electrostatic field.Key Words :Electrostatic field solving; Method of separation of variables; Mirror image method; Green's function method 引言求解静电场问题的几种方法-----分离变量法，镜像法，格林函数法。
我们计算在局部范围内的电荷分布所激发的电场在远处的展开式，引入电多极矩的概念。
电多极矩在原子物理，原子核物理以及电磁辐射问题都有重要的应用。
1 静电场的唯一性定理根据这个定理，对给定的电荷分布及边界条件，只存在一种可能的电场。
这个定理在实际应用中的重要性在于：无论我们用什么方法，只要求出一个既满足方程又符合边界条件的电位)(rφ，我们就确定它是正确的电位。
2 分离变量法[2]在求满足边界条件下拉普拉斯方程的解时，一般采用分离变量法。
下面给出三种坐标系中拉普拉斯方程的通解形式。
直角坐标系中φ的通解形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++++=∑))(sin cos )(sin cos ())()((3221322,2121113102010x k k sh C x k k ch C x k B x k B x k A x k A x c c bx b ax a n m mn n m mn nm n m n m m m m m φ)0,()0,0(≠==n m n m 式中321x x x 、、可与z y x 、、的任意排列相对应。
第三章静电场及其边值问题的解法
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
2-4__静电场求解方法
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
+ + +
v E =0
q
s2
4πε0R
2
（2） r > R ）
∫
2-5
S2
q ε0 E= 2 q 4πε 0 r 2 4πr E = ε0
v v q E ⋅ dS =
E
o
R
r
二
场强与电势的关系： 场强与电势的关系：
dr 2 2 2 1/ 2 (r + x )
则圆盘在P 则圆盘在P点产生的电势为
σ U = ∫ dU = 4ε 0
∫
R
0
2-7
σ σ 2 2 R = [ r + x ]0 = [ R 2 + x 2 − x] 2ε 0 2ε 0
所以P 所以P点场强为
∂U σ x Ex = − = (1 − ) ∂x 2ε 0 R2 + x2
2-9
轴对称情形： 轴对称情形： ϕ(R,θ ) = ∑ anRn +
P (cosθ ) 为Legendre函数。 Legendre函数 函数。 n
n
bn P (cosθ ) n+1 n R
P (cosθ ) =1 0 1 P(cosθ ) = cosθ 1 P (cosθ ) = (3cos2 θ −1) 2 2 1 P (cosθ ) = (5cos2 θ −3cosθ ) 3 2 ...........................
静电场基本问题总结
静电场基本问题总结静电场的基本问题一、电场的几个物理量的求解思路1.确定电场强度的思路⑴定义式：E=q.kQ(2) 库仑定律：E=-Q T(真空中点电荷，或近似点电荷的估算问题).⑶电场强度的叠加原理，场强的矢量和.(4) 电场强度与电势差的关系：E=U(限于匀强电场).(5) 导体静电平衡时，内部场强为零即感应电荷的场强与外电场的场强等大反向E感=-E外.(6) 电场线(等势面)确定场强方向，定性确定场强.2.确定电势的思路(1) 定义式：：•:(2) 电势与电势差的关系：U AB=：」A-G B.(3) 电势与场源电荷的关系：越靠近正电荷，电势越高；越靠近负电荷，电势越低.(4) 电势与电场线的关系：沿电场线方向，电势逐渐降低.(5) 导体静电平衡时，整个导体为等势体，导体表面为等势面.3.确定电势能的思路(1) 与静电力做功关系：W AB = E pA-E pB，静电力做正功电势能减小；静电力做负功电势能增加.(2) 与电势关系：E p=q：・：」p,正电荷在电势越高处电势能越大，负电荷在电势越低处电势能越大. ⑶与动能关系：只有静电力做功时，电势能与动能之和为常数，动能越大，电势能越小.4.确定电场力的功的思路(1) 根据电场力的功与电势能的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，W AB = E pA-E pB.(2) 应用公式W AB=qU AB计算：符号规定是：所移动的电荷若为正电荷，q取正值；若为负电荷，q取负值；若移动过程的始点电势:•:-A高于终点电势:•:」B，U A B取正值；若始点电势心A低于终点电势叮-B，U A B取负值.⑶应用功的定义式求解匀强电场中电场力做的功：W=qEl cos d.注意：此法只适用于匀强电场中求电场力的功.⑷由动能定理求解电场力的功：W电+W其他=，E k.即若已知动能的改变和其他力做功情况，就可由上述式子求出电场力做的功.【例1】电场中有a、b两点，已知叮*-500 V,门b=1 500 V,将带电荷量为q=-4 10-9C的点电荷从a移到b时，电场力做了多少功？a、b间的电势差为多少？解析电场力做的功为：W ab=E pa-E pa=qG o rqG b=-4 10~C (-500-1 500)V=8 10-6 Ja、b 间的电势差为：U ab=%-Gb=-500 V-1 500 V=-2 000 V.答案8 10-6 J -2 000 V变式训练1 如图1是一匀强电场，已知场强E=2 102 N/C.现让一个电荷量q=-4 10-8C的电荷沿电场方向从M点移到N点，MN间的距离1=30 cm.试求：(1)电荷从M点移到N点电势能的变化；⑵M、N两点间的电势差.Af*--------- *N-----------------图 1 答案(1)2.4 10-6J (2)60 V解析(1)由电场力做的功等于电势能的变化量：厶E p二W=-qE 1=4 10-8 2 102 0.3 J=2.4 10-6-6W MN -2.4X10丄(2)U MN=〒=-4 10-8 V=+60 V.二、电场力做功与能量转化1. 带电的物体在电场中具有电势能，同时还可能具有动能和重力势能等机械能，用能量观点处理问题是一种简捷的方法.2. 处理这类问题，首先要进行受力分析及各力做功情况分析，再根据做功情况选择合适的规律列式求解.3. 常见的几种功能关系(1) 只要外力做功不为零，物体的动能就要改变(动能定理).(2) 静电力只要做功，物体的电势能就要改变，且静电力做的功等于电势能的减少量，W电=E p1-E p2.如果只有静电力做功，物体的动能和电势能之间相互转化，总量不变(类似机械能守恒).(3) 如果除了重力和静电力之外，无其他力做功，则物体的动能、重力势能和电势能三者之和不变. 【例2】一个带负电的质点，带电荷量为 2.0 10-9C，在电场中将它由a移到b,除电场力之外，其他力做功6.5 10-5 J，质点的动能增加了8.5 10-5 J，则a、b两点间的电势差①a-①b= __________ .解析要求两点的电势差，需先求出在两点移动电荷时电场力做的功，而质点动能的变化对应合外力做的功.设电场力做的功为W ab，由动能定理得：W ab+W= E kW ab= E k-W=2.0 10-5 J贝卜 ~ 厲=処=-1.0 104V. 答案-1.0 104 Vq变式训练2如图2所示，边长为L的正方形区域abed内存在着匀强电场.质量为m、电荷量为q 的带电粒子以速度V。
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
镜像法是求解静电场问题的一种常用方法，它可以将问题简化为一些已知边界条件的部分。
我们可以通过将电荷和导体的形状映射到空间中的另一侧来获得镜像电荷和镜像导体。
这样，我们就可以将问题转化为在一定边界条件下求解单个电荷或导体所产生的电场问题。
具体来说，对于一个导体，镜像法可以将其映射到空间中的另一侧，并将它的电势设为零。
这样，它在空间中的影像就成为了一条等势线。
通过这样的操作，我们可以将一个有限的导体问题转化为无限大空间中的等势面问题，大大简化了求解难度。
同样地，对于一个点电荷，我们也可以利用镜像法求解其产生的电场。
我们将其映射到空间中的另一侧，并计算出镜像电荷。
这样，我们可以将原问题转化为一个在有限空间中求解两个点电荷所产生
的电场问题。
镜像法的一个优点是它能够将问题简化为一些边界条件已知的
问题，从而减少了求解难度。
此外，它也可以应用于复杂问题的求解，如球形和柱形状的导体等。
- 1 -。
静电场解决电势和电场线的问题
静电场解决电势和电场线的问题静电场是电磁学的一个重要概念，它描述了电荷产生的电势和电场线分布。
电势和电场线是静电场的基本特征，对于理解电磁现象和解决电磁问题至关重要。
一、电势的概念与计算方法电势是描述电场中电荷所受势能的物理量，通常用V表示，单位是伏特（V）。
电势与静电场中一个正电荷所受的力成正比，与距离成反比。
根据库仑定律，二个电荷之间的电势差与它们之间的距离成反比。
这种关系可以用电势差的定义来表示：ΔV = V2 - V1 = -∫E·dl （1）其中ΔV表示电势差，V2和V1分别表示末位置和初位置的电势，E表示电场强度，dl表示电场强度的微小位移。
对于一个电荷分布连续的区域，电势差可以用关于电势的函数来计算：V = -∫E·dl （2）式中V表示电势，E表示电场强度，dl表示微小位移。
利用电场的定理（高斯定理），还可以将电势的计算从积分的形式转化为更简便的形式：V = -∫E·dl = -∫(1/ε0)ρdV/4πε0r其中ρ表示电荷密度，dV表示微小体积，ε0表示真空介电常数，r 表示从电荷点至场点的距离。
通过以上公式，我们可以计算出给定电荷分布产生的电势分布。
二、电场线的性质与绘制方法电场线是用来描述电场分布特征的一种图形表达方式。
电场线的性质如下：1. 电场线上任意一点的切线方向与该点的电场强度方向一致；2. 电场线不能相交，因为电场的定义是力的分布，不可能同时受到两个方向的力作用；3. 电场线趋于正电荷，离负电荷远离；4. 电场线在金属导体内部的运动方向是垂直于导体表面的；绘制电场线的方法一般有以下几种：1. 使用计算机模拟程序绘制：现代计算机软件可以模拟电场分布并绘制电场线。
通过输入电荷分布的信息，计算机可以根据电场强度的方向和大小自动生成电场线。
2. 手绘分析法：通过对静电场的特性进行手绘分析，可以初步描绘出电场线的大致形状。
这种方法需要根据电荷分布的不同情况，运用电场线的性质和规律进行分析。
python有限差分法求解点电荷静电场问题
一、介绍Python是一种高级编程语言，可以用于解决各种科学计算和工程问题。
有限差分法是一种常见的数值计算方法，可用于求解偏微分方程。
在本文中，我们将介绍如何使用Python编程和有限差分法来求解点电荷的静电场问题。
二、点电荷静电场问题静电场是指在没有电荷移动的情况下产生的电场。
点电荷是一个理想化的电荷模型，它在空间中产生静电场。
点电荷的静电场分布可以通过求解泊松方程来得到，而泊松方程可用有限差分法进行数值求解。
三、有限差分法介绍有限差分法是一种数值求解偏微分方程的常用方法。
它基于偏微分方程在空间上的离散化，通过将偏微分方程中的导数用有限差分的形式进行逼近，从而转化为一个代数方程组。
然后使用迭代或直接求解方法来解这个代数方程组，得到偏微分方程的数值解。
四、Python编程Python提供了丰富的科学计算库，如NumPy、SciPy等，这些库提供了丰富的数学函数和数值计算工具，非常适合用于求解偏微分方程和实现有限差分法。
五、求解点电荷静电场问题的步骤1. 定义空间网格：首先需要在空间中定义一个网格，将泊松方程离散化为代数方程组。
可以选择规则的正交网格或非规则的三角形网格，具体选择取决于具体的求解问题。
2. 离散化泊松方程：将泊松方程中的二阶导数使用中心差分表达，得到代数方程组。
在一维情况下，泊松方程可以表示为：$f''(x) =\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$。
3. 边界条件处理：在求解泊松方程时，需要给出边界条件。
对于点电荷问题，可以假设空间的远处为零电势，即$f(\infty) = 0$。
或者可以选择其他边界条件，比如给定一个有限大小的空间边界。
4. 求解代数方程组：得到了代数方程组后，可以使用迭代方法，如雅可比、高斯-赛德尔或CG方法，也可以直接求解线性方程组的解。
六、实例让我们通过一个简单的二维点电荷静电场问题来演示如何使用Python和有限差分法进行求解。
第二章静电场题解
第二章 静电场(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）2-1 在边长为a 的正方形四角顶点上放置电荷量为q 的点电荷，在正方形几何中心处放置电荷量为Q 的点电荷。
问Q 为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。
解 如图建立坐标系，可得x x x x a Q a a q E e e e 2/122421221420220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε y y y y a Q a a q E e e e 2/122421221420220⨯⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=πεπε 据题设条件，令 022421=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Q q ， 解得 ()2214+-=qQ2-2 有一长为2l ，电荷线密度为τ的直线电荷。
1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l 处的电场强度和电位。
解 1）如图（a ）建立坐标系，题设线电荷位于x 轴上l ~l 3之间，则x 处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()x x xe E -=204d d πετ，x x 04d d πετϕ= 由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位分别为()()()x l l xl l l x x e e E E -=-==⎰⎰0320364d d 0πετπετ ()3ln 44d d 00303l πετπετϕϕ===⎰⎰l l l x x2）如图（b ）建立坐标系，题设线电荷位于y 轴上l -~l 之间，则y 处的电荷微元在点()l 2,0处产生的电场强度和电位分别为()r ry e E -=204d d πετ，r y04d d πετϕ= 式中，θθ2cos d 2d l y =，θcos 2l r =，514sin 22=+=l l l α，分别代入上两式，并考虑对称性，可知电场强度仅为x 方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为()l l l r yl x x x x 0000020054sin 4d cos 4cos 4d 2d 20,2πεταπετθθπετθπεταααe e e e E E =====⎰⎰⎰()010024.0421tan 21tan ln 2cos d 4d 20,2πετππετθθπετϕϕαα=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+===-⎰⎰l2-3 半径为a 的圆盘，均匀带电，电荷面密度为σ。
静电场求解的三种方法研究
静电场是静止的电荷所产生的场， 它具有以下特点：
ʉ 0） = 0 , ∇∙D =ρ ； （3） 不考虑永久磁体 （M 基本方程： ∇ˑE 2 - E 1) = 0 ， 2 - D 1) = σ ； （4） 边值关系： n n (D ˑ (E ∙ 2 - E 1) = 对于均匀介质而言， 介质分界面上的束缚电荷用： n (E ∙ σP + σf ， ε0
3.1.1 基本原理
导体板上所带电荷决定的[2]。而这些问题的特点是： 空间中没有自由电荷分布， 而自由电荷只出现在一 些导体的表面上， 因此， 如果选择这些导体表面作为区域 V 的边界， 则在 V 内部自由电荷密度 ρ = 0 ， 因 而泊松方程 ∇2 ϕ = ∇2 ϕ = 0 ρ 化简为比较简单的拉普拉斯方程[3]： ε
郭福强 张保花 王俊珺 静电场求解的三种方法研究
107
（1） 均匀各向同性线性介质[1]： （2） 静电平衡时的导体：
= σE = 0 导体内部： J = D =P ; ρP = ρ = 0 ； σʂ0⇒E
外部表面： E = E n = σ , E t = 0 电荷分布在表面上， 电场处处垂直于导体表面。 ε 3 3.1 求解静电场问题的三种方法 分离变量法 在许多实际问题中， 静电场是有带电导体决定的。例如， 电容器内部的电场是由作为电极的两个
分离变量法的优点
分离变量法的优点是求解静电场时适用于考虑求解区域内没有自由电荷分布的区域， 只有在界面
形状比较简单的几何曲面时， 这类问题的解才能以解析解形式给出， 而且视不同区域的对称性和边界 条件情况而定[4]； 分离变量法求解静电场解题步骤思路比较清晰， 学生在学习的过程中容易掌握； 在利 用边值关系和边界条件求解待定系数时， 边界条件不多， 学生很容易结合以上条件求解出特解。 4 4.1 镜像法 基本原理 在一些特殊情形下， 如区域内只有一个或几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面， 这类问题通常 采用镜像法求解。在求解过程中提前设想存在某一个假想的点电荷来代替导体或介质表面的感应电 荷或极化电荷， 注意在这种替换下不能改变空间中的电荷分布， 关键是在于能否满足边界条件。 4.2 基本步骤 （1） :判断是否符合镜像法求解的条件； （2） :是否存在假想的电荷， 初步估计它所在的位置；
静电场习题与解答
静电场1、在正方形的两个相对的角上各放置一点电荷Q ，在其它两个相对的角上各置一点电荷q ，如果作用在Q 上的力为零，求Q 与q 的关系。
分析：若使Q 所受合力为零，如图所示，两种电荷符号必然相反，大小关系有Qq QQ F F 2=。
设正方形边长为a 。
解：222222a Qqk F a Q k F QqQQ === 得 q Q 22-=2、在直角三角形ABC 的A 点放置点电荷q 108.1⨯=C Q 9108.4-⨯-=，已知BC = 4cm ，AC = 3cm ，试求直角顶点C 处的场强。
分析：如图，C 点场强为两电荷激发电场的合场强。
解：r q E AC q 8.11091085.814.34108.141412920=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---πε m V r Q E AC Q /107.210161085.814.34108.4414412920⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---πε m V E E E q Q /1024.3422⨯=+=5.18.17.2tan ===qQ E E θ 则 ︒=34θ 3、一均匀带电细棒，长为L ，带电量Q 。
求在棒的延长线上与棒的近端相距为R 的A 点的场强。
分析：如图建立坐标系，取棒上一小段dx ，电量为dq ，与A 点距离为L-x+R ，在A 点激发的场强为dE 。
则A 点的总场强只需对dE 积分即可。
解：由分析得)(41)(41)(41002020L R R Q x R L dx L Q x R L dq dE E L+=-+=-+==⎰⎰⎰πεπεπε 4、一半圆形带电线，半径为R ，电荷线密度为η，求圆心O 处的电场强度。
分析：如图建立坐标系，取线上一小段d l ，电量为dq ， 有dq = ηd l = ηRd θ。
在O 点激发的场强为dE 。
由于电线轴 对称，dE y= 0则dE = dE x ，则O 点的总场强只需对dE 积分即 可。
解：由分析得RR Rd RdqdE dE dE E x 02220202cos 41cos 41cos πεηθθηπεθπεθππ======⎰⎰⎰⎰⎰-5、在一个半径为R 的球体内，分布着电荷体密度ρ= k r ，式中r 为径向距离，k 是常数，求空间的场强分布，并画出E ——r 的关系曲线。
以2013年高考真题谈静电场问题求解策略
曩
物理 考 点录 焦
：
ｉ 毒 害 真 静 电 场
问题 求解 策 略
口 王 宗斌
ห้องสมุดไป่ตู้
静 电场 是 中学物 理 中的基 础知识 要点 之
一
对 Ｃ球作 受 力 分 析 （ 也 可对 ａ 、 ｂ分析 ） ，
，
不 仅能 与力 学模块 有机 结合 ， 也是 电学 模 由平衡 条 件可 知 ， 匀 强 电场 的方 向必 与 Ｅ 反
瓤
上， 三个 带 电小球 ａ 、 ｂ和 Ｃ分别
位 于边 长 为 Ｚ 的 正 三 角 形 的 三 图１
誉 二、 抓对称特征， 突破点电荷与带
电平 板 电场叠 加 问题
《
例 ２
（ 安徽）
如 图 ２所 示 ， ｘ Ｏ ｙ平 面 是
体 充 满 ＜０的 空 间 ， ＞０ 图２
个顶 点上 ； ａ 、 ｂ带正 电 ， 电荷 量 均 为 ｑ ， ｃ带 负 无 穷大 导体 的表 面 ， 该 导
电． 整 个 系统 置 于方 向水平 的 匀强 电场 中． 已
知静 电 力 常 量 为 ｋ ． 若 三 个 小球 均 处 于静 止 的 空间为 真 空． 将 电荷 为 ｑ的 点 电荷 置 于 ｚ 状态， 则 匀强 电场 场 强的 大小为 （ ） 轴 上 ＝ｈ处 ， 则在 ｘ Ｏ ｙ平 面上会 产 生 感应 电
强方 向在 ａ ｃ 、 ｂ ｃ延 长线 上 ， 大小均为 ： Ｅ ， ：
轴上 ｚ ＝ 处的场强 大小为 （ ｋ为 静 电 力 常
（
Ｂ． ｋ 一 ４ｑ ９ｈ
Ｄ
．
．
号， 由矢量合成法则可知， 这两场强的合场强 量 ） ￡
静电场计算题
静电场计算题1.如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q = λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L xq -+π=ε 2分总场强为 ⎰+π=Lx d L x L q E 020)(d 4－ε()d L d q+π=04ε3分 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．2.一个细玻璃棒被弯成半径为R 的半圆形，匀分布有电荷+Q ，沿其下半部分均匀分布有电荷－Q ，所示．试求圆心O 处的电场强度．解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 d q = λd l = 2Q d θ / π它在O 处产生场强 θεεd 24d d 20220R QR q E π=π= 2分按θ角变化，将d E 分解成二个分量：θθεθd sin 2sin d d 202RQ E E x π== θθεθd cos 2cos d d 202RQE E y π-=-= 3分对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=⎰⎰πππθθθθε2/2/0202d sin d sin 2R QE x ＝0 2分 2022/2/0202d cos d cos 2R QR Q E y εθθθθεππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π-=⎰⎰ 2分 所以j RQ j E i E E y x202επ-=+= 1分LPd E O3.如图所示，一电荷面密度为σ的“无限大”平面，在距离平面a 处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R 的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．解：电荷面密度为σ的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为E =σ / (2ε0) 2分以图中O 点为圆心，取半径为r →r ＋d r 的环形面积，其电量为d q = σ2πr d r 2分它在距离平面为a 的一点处产生的场强()2/32202d ra a r d rE +=εσ 2分则半径为R 的圆面积内的电荷在该点的场强为()⎰+=R ra r r a E 02/3220d 2εσ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=22012R a a εσ 2分 由题意,令E =σ / (4ε0)，得到R ＝a 32分4.电荷线密度为λ的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状．若半圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．解：以O 点作坐标原点，建立坐标如图所示．半无限长直线A ∞在O 点产生的场强1E ， ()j i R E --π=014ελ 2分 半无限长直线B ∞在O 点产生的场强2E ， ()j i RE +-π=024ελ2分 半圆弧线段在O 点产生的场强3E，i RE032ελπ= 2分由场强叠加原理，O 点合场强为0321=++=E E E E2分5. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，四分之一圆弧AB 的半径为R ，试求圆心O 点的场强．∞∞OBA∞∞解：在O 点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A ∞在O 点产生的场强：()j i R E -π=014ελ 2分 半无限长直线B ∞在O 点产生的场强：()j i RE +-π=024ελ 2分 四分之一圆弧段在O 点产生的场强： ()j i RE+π=034ελ 4分由场强叠加原理，O 点合场强为： ()j i RE E E E+π=++=03214ελ2分6.图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： E x ＝bx ， E y ＝0， E z ＝0． 高斯面边长a ＝0.1 m ，常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数ε0＝8.85×10-12C 2·N -1·m -2 )解：设闭合面内包含净电荷为Q ．因场强只有x 分量不为零，故只是二个垂直于x 轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：-E 1S 1+ E 2S 2=Q / ε0 ( S 1 = S 2 =S ) 3分则 Q = ε0S (E 2- E 1) = ε0Sb (x 2- x 1)= ε0ba 2(2a －a ) =ε0ba 3 = 8.85×10-12 C 2分7.真空中一立方体形的高斯面,边长a ＝0.1 m 置．已知空间的场强分布为： E x =bx , E y =0 , E z =0．常量b ＝1000 N/(C ·m)．试求通过该高斯面的电通量．解： 通过x ＝a 处平面1的电场强度通量 Φ1 = -E 1 S 1= -b a 3 1分 通过x = 2a 处平面2的电场强度通量Φ2 = E 2 S 2 = 2b a 3 1分其它平面的电场强度通量都为零．因而通过该高斯面的总电场强度通量为Φ = Φ1+ Φ2 = 2b a 3-b a 3 = b a 3 =1 N ·m 2/C 3分B A ∞x8. 图示一厚度为d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为ρ．试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标x 变化的图线，即E —x 图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板)． 解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿x 轴，大小相等而方向相反．在板内作底面为S 的高斯柱面S 1（右图中厚度放大了）, 两底面距离中心平面均为⎢x ⎜, 由高斯定理得01/22ερS x S E ⋅=⋅则得 01/ερx E =即 01/ερx E = ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-d x d 21214分在板外作底面为S 的高斯柱面S 2两底面距中心平面均为x ，由高斯定理得 02/2ερSd S E ⋅=⋅则得 ()022/ερd E ⋅= ⎪⎭⎫ ⎝⎛>d x 21即 ()022/ερd E ⋅= ⎪⎭⎫ ⎝⎛>d x 21，()022/ερd E ⋅-= ⎪⎭⎫⎝⎛-<d x 21 4分E ~ x 图线如图所示． 2分9.一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为 ρ =Ar (r ≤R ) ， ρ =0 (r ＞R ) A 为一常量．试求球体内外的场强分布．解：在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为r r Ar V q d 4d d 2π⋅==ρ在半径为r 的球面内包含的总电荷为403d 4Ar r Ar dV q rVπ=π==⎰⎰ρ (r ≤R)以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/4εAr r E π=π⋅ 得到()0214/εAr E =， (r ≤R )方向沿径向，A >0时向外, A <0时向里． 3分在球体外作一半径为r 的同心高斯球面，按高斯定理有 0422/4εAR r E π=π⋅ 得到 ()20424/r AR E ε=， (r >R )方向沿径向，A >0时向外，A <0时向里． 2分2E 210.电荷面密度分别为+σ和－σ的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x 轴垂直相交于x 1＝a ，x 2＝－a 两点．设坐标原点O 处电势为零，试求空间的电势分布表示式并画出其曲线．解：由高斯定理可得场强分布为：E =-σ / ε0 (－a ＜x ＜a )1分E = 0 (－∞＜x ＜－a ，a ＜x ＜＋∞＝ 1分由此可求电势分布：在－∞＜x ≤－a 区间⎰⎰⎰---+==00/d d 0d aa xxx x x E U εσ0/εσa -= 2分在－a ≤x ≤a 区间000d d εσεσxx x E U xx=-==⎰⎰2分 在a ≤x ＜∞区间000d d 0d εσεσax x x E U aaxx=-+==⎰⎰⎰2分 图2分11.如图所示，两个点电荷＋q 和－3q ，相距为d . 试求：(1) 在它们的连线上电场强度0=E的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？ (2) 若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U =0的点与电荷为＋q 的点电荷相距多远？解：设点电荷q 所在处为坐标原点O ，x 轴沿两点电荷的连线．(1) 设0=E的点的坐标为x '，则()04342020=-'π-'π=i d x q i x q E εε 3分 可得 02222=-'+'d x d x解出 ()d x 3121+-=' 2分另有一解()d x 13212-=''不符合题意，舍去． (2) 设坐标x 处U ＝0，则 ()x d qx q U -π-π=00434εε ()0440=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--π=x d x x d q ε 3分 得 d - 4x = 0, x = d /4 2分12.图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0 (x -a )，λ0为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O 处的电势．x-a +aO xU+Ox解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷d q =λ0 (x －a )d x 1分它在O 点产生的电势 ()xxa x U 004d d ελπ-=2分O 点总电势⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π==⎰⎰⎰++l a a la a x x a x dU U d d 400ελ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π=a l a a l ln 400ελ 2分13. 图示一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ，球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无穷远处为电势零点，求球层中半径为r 处的电势．解：r 处的电势等于以r 为半径的球面以内的电荷在该处产生的电势U 1和球面以外的电荷产生的电势U 2之和，即 U = U 1 + U 2 ，其中U 1=q i/ (4πε0r )()()rR r 031343/4ερπ-π=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r R r 31203ερ 4分为计算以r 为半径的球面外电荷产生的电势．在球面外取r '─→r '＋d r '的薄层．其电荷为 d q =ρ·4πr '2d r ' 它对该薄层内任一点产生的电势为()002/d 4/d d ερεr r r q U ''='π=则 ⎰⎰''==2d d 022R r r r U U ερ()2222r R -=ερ 4分 于是全部电荷在半径为r 处产生的电势为()222031202123r R r R r U U U -+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=ερερ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=r R r R 312220236ερ 2分 若根据电势定义直接计算同样给分．14.电荷以相同的面密度σ 分布在半径为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上．设无限远处电势为零，球心处的电势为U 0＝300 V ． (1) 求电荷面密度σ．(2) 若要使球心处的电势也为零，外球面上应放掉多少电荷？［ε0＝8.85×10-12 C 2 /(N ·m 2)］解：(1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=22110041r q r q U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π-ππ=22212104441r r r r σσε()210r r +=εσ3分 2100r r U +=εσ＝8.85×10-9 C / m 2 2分 (2) 设外球面上放电后电荷面密度为σ'，则应有O()2101r r U σσε'+='= 0即σσ21r r -=' 2分 外球面上应变成带负电，共应放掉电荷()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+π='-π='212222144r r r r q σσσ ()20021244r U r r r εσπ=+π=＝6.67×10-9 C 3分15.在强度的大小为E ，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R 的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M ，一质量为m 带有电荷＋q 的小球从槽的顶点A 处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所受电场力，求： (1) 小球由顶点A 滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球通过B 点时，槽相对地面的速度；(3) 小球通过B 点后，能不能再上升到右端最高点C ？解：设小球滑到B 点时相对地的速度为v ，槽相对地的速度为V ．小球从A →B 过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒，m v ＋MV ＝0 ① 2分对该系统，由动能定理 mgR －EqR ＝21m v 2＋21MV 2 ②3分 ①、②两式联立解出 ()()m M m qE mg MR +-=2v 2分 方向水平向右．()()m M M qE mg mR M m V +--=-=2v 1分 方向水平向左． 1分小球通过B 点后，可以到达C 点． 1分16.两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R 1＝0.03 m 和R 2＝0.10 m ．已知两者的电势差为450 V ，求内球面上所带的电荷．解：设内球上所带电荷为Q ，则两球间的电场强度的大小为204rQE επ=(R 1＜r ＜R 2) 1分 两球的电势差⎰⎰π==212120124d R R R R r drQ r E U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=210114R R Q ε 2分 ∴ 12122104R R U R R Q -π=ε＝2.14×10-9 C 2分17.一均匀电场，场强大小为E ＝5×104 N/C ，方向竖直朝上，把一电荷为q＝ 2.5×10-8 C 的点电荷，置于此电场中的a 点，如图所示．求此点电荷在下列过程中电场力作的功．d(1) 沿半圆路径Ⅰ移到右方同高度的b 点，ab ＝45 cm ； (2) 沿直线路径Ⅱ向下移到c 点，ac ＝80 cm ；(3) 沿曲线路径Ⅲ朝右斜上方向移到d 点，ad ＝260 cm(与水平方向成45°角)．解：(1) 090cos d o1===⎰⋅ab qE S F A ba2分(2) o2180cos d ac qE S F A c a==⎰⋅ ＝－1×10-3 J 3分(3) o345sin d ad qE S F A d a==⎰⋅ ＝2.3×10-3 J 3分18.一带有电荷q ＝3×10-9 C 的粒子，位于均匀电场中，电场方向如图所示．当该粒子沿水平方向向右方运动5 cm 时，外力作功6×10-5 J ，粒子动能的增量为4.5×10-5 J ．求：(1) 粒子运动过程中电场力作功多少？(2) 该电场的场强多大？ 解：(1) 设外力作功为A F 电场力作功为A e ， 由动能定理：A F + A F = ∆ E K则 A e ＝∆ E K －A F =－1.5×10-5 J 2分(2) qES S F S F A e e e -=-=⋅=()=-=qS A E e /105 N/C 3分19. 如图所示，一半径为R 的均匀带正电圆环，其电荷线密度为λ．在其轴线上有A 、B 两点，它们与环心的距离分别为R OA 3=，R OB 8= . 一质量为m 、电荷为q 的粒子从A 点运动到B 点．求在此过程中电场力所作的功．解：设无穷远处为电势零点，则A 、B 两点电势分别为220432ελελ=+=R R RU A 2分 0220682ελελ=+=R R R U B 1分 q 由A 点运动到B 点电场力作功()0001264ελελελq q U U q A B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-= 2分 注：也可以先求轴线上一点场强，用场强线积分计算．20.图示两个半径均为R 的非导体球壳，表面上均匀带电，电荷分别为＋Q 和－Q ，两球心相距为d (d>>2R )．求两球心间的电势差．解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势．球面外的电势相当于电荷集中在球心上的点电荷的电势．由此，按电势叠加原理球心O 1处的电势为： d QR Q U 00144εεπ-π= 2分 球心O 2处的电势为： RQd Q U 00244εεπ-π= 2分 Eq则O 1、O 2间的电势差为： ()RdR d Q d R Q U 00122112εεπ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-π=1分21.一电子射入强度的大小为5000 N ·C -1的均匀电场中，电场的方向竖直向上．电子初速度为v 0＝107 m ·s -1，与水平方向成θ＝30°角，如图所示．求电子从射入位置上升的最大高度．(电子的质量m ＝9.1×10-31 kg ，电子电荷绝对值e ＝1.6×10 -19 C) 解：电子在电场中作斜抛运动，忽略重力，在竖直方向上有：a y ＝－eE / m 1分v y ＝v 0sin θ－eEt / m 1分2021sin eEt t y -=θv 1分 电子上升至最高点的条件是v y ＝0，于是有： v 0sin θ－eEt 1 / m ＝0t 1 = m v 0sin θ / (eE ) 1分∴ ()22201042.12/sin -⨯==eE m y θv m 1分22.在真空中一长为l ＝10 cm 的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度λ＝ 1.0×10-5C/m ．在杆的延长线上，距杆的一端距离d ＝10 cm 的一点上，有一点电荷q 0＝ 2.0×10-5 C ，如图所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )解：选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向 ．在x 处取一电荷元λd x ，它在点电荷所在处产生场强为：()204d d x d xE +π=ελ 3分整个杆上电荷在该点的场强为：()()l d d lx d x E l+π=+π=⎰00204d 4ελελ 2分点电荷q 0所受的电场力为：()l d d lq F +π=004ελ＝0.90 N 沿x 轴负向 3分23.如图所示，有一高为h 的直角形光滑斜面, 斜面倾角为α．在直角顶点A 处有一电荷为－q 的点电荷．另有一质量为m 、电荷＋q 的小球在斜面的顶点B 由静止下滑．设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部C 点时的速率． 解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点B 到达底部C 点过程中能量守恒．αεεctg 421402202h q m mgh h q π-=+π-v 3分 ∴ ()2/10221tg 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π=gh m h q αεv 2分O yθE 0vq24.一半径为R 的均匀带电细圆环，其电荷线密度为λ，水平放置．今有一质量为m 、电荷为q 的粒子沿圆环轴线自上而下向圆环的中心运动(如图)．已知该粒子在通过距环心高为h 的一点时的速率为v 1，试求该粒子到达环心时的速率．解：带电粒子处在h 高度时的静电势能为()2/122012R h qRW +=ελ 2分到达环心时的静电势能为 ()022/ελq W = 2分 据能量守恒定律1212222121W mgh m W m ++=+v v 2分 以上三式联立求解得到2/1220212112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=R h R m qR gh ελv v 2分25.如图所示，两个电荷分别为q 1＝20×10-9 C 和q 2＝－12×10-9 C 的点电荷，相距5 m ．在它们的连线上距q 2为1 m 处的A 点从静止释放一电子，则该电子沿连线运动到距q 1为1 m处的B 点时，其速度多大？(电子质量m e ＝9.11×10-31 kg ，基本电荷e ＝1.6×10-19 C ，41επ＝9×109 N ·m 2/C 2 ) 解：设无限远处为电势零点，则A 、B 两点的电势为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=π+π=221102021014144r q r q r q r q U A εεε代入r 1=4 m ，r 2=1 m 得 U A ＝－63 V 2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'π='π+'π=221102021014144r q r q r q r q U B εεε代入1r '＝1 m ，2r '＝4 m 得 U B ＝153 V 2分电子在运动过程中，电势能减少，动能增加()B A e U U e m --=221v 2分 ()eB A m U U e --=2v ＝8.71×106 m/s 2分26.两个同心的导体球壳，半径分别为R 1＝0.145 m 和R 2＝0.207 m ，内球壳上带有负电荷q＝-6.0×10-8 C ．一电子以初速度为零自内球壳逸出．设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外球壳上时的速率．(电子电荷ｅ＝-1.6×10-19 C ，电子质量m e ＝9.1×10-31 kg ，ε0＝8.85×10-12 C 2 / N ·m 2）解：由高斯定理求得两球壳间的场强为()2120R4R r r q E <<π=ε 2分 方向沿半径指向内球壳．电子在电场中受电场力的大小为q 2420r eqeE F επ== 2分方向沿半径指向外球壳．电子自内球壳到外球壳电场力作功为⎰⎰π==212120d 4d R R R R r r eqr F A ε()21012214114R R R R eq R R eqεεπ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-π= 2分由动能定理()210122421R R R R eq m e επ-=v 2分得到 ()em R R R R eq 210122επ-=v ＝1.98×107 m/s 2分27. 电荷Q (Q ＞0)均匀分布在长为L 的细棒上，在细棒的延长线上距细棒中心O 距离为a 的P 点处放一电荷为q (q ＞0 )的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力． 解：沿棒方向取坐标Ox ，原点O 在棒中心处．求P 点场强：()()20204d 4d d x a xx a q E -π=-π=ελε 2分 ()⎰--π=2/2/204d L L x a xE ελ()2202/2/0414L a Qx a L L -π=-⋅π=-εελ 3分 方向沿x 轴正向. 点电荷受力：==qE F ()2204πL a qQ-ε 方向沿x 轴正方向． 3分。
静电场经典题及答案
静电场习题一、不定项选择题(本题共12小题，每题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项符合题目要求，有些小题有多个选项符合题目要求)1．下列说法不正确的是A．电场中某点电势与零电势点的选取有关，而电场中某两点间的电势差与零电势点选取无关B．同一点电荷在电势高的地方电势能较大，在电势低的地方电势能较小C．同一点电荷，电场力做正功，其电势能一定减小；电场力做负功，其电势能一定增加D．同一点电荷在电场中任意两点间移动时，只要电场力做功相同，则两点间的电势差一定相同2．在静电场中A．电场强度处处为零的区域内，电势也一定处处为零B．电场强度处处相等的区域内，电势也一定处处相等C．电场强度的方向总是跟等势面垂直D．沿着电场线的方向电势是不断降低的3．一个电子在匀强电场中运动，且只受电场力作用，则在一段时间内A．电子的速率一定增大B．电子的动能可能减小C．电子的速率一定减小D．电子一定做匀变速运动4．两个相同的金属小球，分别带电后相距较远距离时的库仑力为F，将两球接触后放回原处，相互作用的库仑力大小仍为F，则两个小球原来所带的电荷A．可能为等量同种电荷B．可能为不等量的同种电荷C．可能为不等量的异种电荷D．不可能为异种电荷5．两个带电量均为Q的正电荷，固定于两点，它们连线的垂直平分线MN交其连线于O点，如图所示，现在MN上取a、b两点，且aO＝Ob，将电荷q从a移至b的过程中A．电场力一定先做正功后做负功B．电场力可能先做负功后做正功C．电场力一直做正功D．电场力一直做负功6．如图所示，在A点放有电量为Q的点电荷，在B点放有电量为－2Q的点电荷，在它们的连线上有M、N两点，且AM=BN，比较M、N两点的场强和电势高低，则A．E M >E NφM>φN B．E M >E NφM<φNC．E M<E NφM>φN D．E M <E NφM<φN7．如图所示，让平行板电容器带电后，静电计的指针偏转一定角度，若不改变A、B两极板带的电量而减小两极板间的距离，同时在两极板间插入电介质，那么静电计指针的偏转角度A．一定减小B．一定增大C．一定不变D．可能不变8．一平行板电容器通过开关和电源连接，如图所示，电源的电动势保持9V不变。
02-静电场的边值问题及求解PDF
静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。
4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。
第八章 静电场部分习题分析与解答
1
E=∫
π /2
0
σ σ sin θ cos θdθ = 2ε 0 4ε 0
第八章
静电场部分习题分析与解答
8-8用电场强度叠加原理求证 无限大均匀带电板 用电场强度叠加原理求证:无限大均匀带电板 用电场强度叠加原理求证 提示:把无限 外一点的电场强度大小为 E = σ / 2ε 0 (提示 把无限 提示 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线,然 大带电平板分解成一个个圆环或一条条细长线 然 后进行积分叠加) 后进行积分叠加 求点P的电场强度可采用两种方法处理 将无限大 求点 的电场强度可采用两种方法处理.将无限大 的电场强度可采用两种方法处理 平板分别视为由无数同心的细圆环或无数平行细 长线元组成,它们的电荷分别为 它们的电荷分别为: 长线元组成 它们的电荷分别为
d P = 2 R cos θ ⋅ dq j =
π
R cos θ d θ j
v 则带电圆环的电偶极矩为： 则带电圆环的电偶极矩为： P =
∫π
π /2
− /2
v 4Q v dP = Rj
π
第八章
静电场部分习题分析与解答
（2）等效正负电荷中心间距为 ）
根据对称性正、负电荷中心在 轴上 轴上， 根据对称性正、负电荷中心在y轴上，所以其坐 标分别为（ 标分别为（0,2R/π）和（0，-2R/ π）。 ） ， ）。 也可借助几何中心的定义，得 也可借助几何中心的定义，
= ( E1 + ka)a
2
Φ = ∑ Φ = ka 3 整个立方体表面的电场强度通量为： 整个立方体表面的电场强度通量为：
第八章
静电场部分习题分析与解答
8-15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电 15设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布， 设在半径为 荷体密度为： 荷体密度为： ρ = kr 0≤r ≤R
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。
静电场的研究对于电学领域的发展具有重要的意义。
在静电场的研究中，镜像法是一种常用的求解方法。
镜像法是一种基于对称性的求解方法。
它的基本思想是将电荷在一个导体表面上的影像电荷作为一个新的电荷，然后再求解这个新的电荷所产生的电场。
这个新的电荷与原电荷之间的距离相等，但是方向相反。
这种方法可以简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。
在使用镜像法求解静电场时，需要先确定一个导体表面作为镜面。
然后，根据对称性，将电荷在镜面上的影像电荷计算出来。
最后，将原电荷和影像电荷的电场叠加起来，就可以得到整个静电场的分布情况。
镜像法的应用范围非常广泛。
它可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，包括球形、圆柱形、平面等。
在实际应用中，镜像法可以用于求解电容器的电场分布、电荷在导体表面上的分布等问题。
镜像法是一种非常实用的求解静电场的方法。
它可以大大简化计算，特别是在对称的情况下，可以大大减少计算量。
在实际应用中，镜像法可以用于求解各种形状的导体的静电场分布，具有广泛的应用前景。
静电场计算题
1．两个正点电荷Q 1=+Q 和Q 2=+4Q 分别固定在光滑绝缘水平面上的A 、B 两点，A 、B 两点相距L ，且A 、B 两点正好位于水平光滑绝缘半圆细管两个端点的出口处，如图所示．（1）在A 、B 连线上，由A 点到B 点，电势如何变化？（2）将一正检验电荷置于A 、B 连线上靠近A 处由静止释放，求它在A 、B 连线上运动的过程中能达到最大速度的位置离A 点的距离；（3）若把另一正检验电荷放于绝缘管内靠近A 点处由静止释放，试确定它在管内运动过程中速度为最大值时的位置P ，即求出图中PA 和AB 连线的夹角θ．2．如图所示，水平向左的匀强电场中，用长为l 的绝缘轻质细线悬挂一小球，小球质量为m ，带电量为q +，将小球拉至竖直方向最低位置A 点处无初速度释放，小球将向左摆动，细线向左偏离竖直方向的最大角度074θ=，（重力加速度为g ，0sin 0.637=，cos 0.837=）（1）求电场强度的大小E ；（2）求小球向左摆动的过程中，对细线拉力的最大值；（3）若从A 点处释放小球时，给小球一个水平向左的初速度0v ，则为保证小球能做完整的圆周运动，0v 的大小应满足什么条件？3．如图所示，在竖直平面内，光滑绝缘直杆AC 与半径为R 的圆周交于B 、C 两点，在圆心处有一固定的正点电荷，B 点为AC 的中点，C 点位于圆周的最低点。
现有一质量为m 、电荷量为q -，套在杆上的带负电小球（可视为质点）从A 点由静止开始沿杆下滑。
已知重力加速度为g ，A 点距过C 点的水平面的竖直高度为3R ，小球滑到B 点时的速度大小为（1）求小球滑至C 点时的速度大小； （2）求A 、B 两点间的电势差AB U ；（3）若以C 点为参考点（零电势点），试确定A 点的电势。
4．电视机的显像管中，电子束的偏转是用电偏转和磁偏转技术实现的．如图甲所示，电子枪发射出的电子经小孔S 1进入竖直放置的平行金属板M 、N 间，两板间所加电压为U 0；经电场加速后，电子由小孔S 2沿水平放置金属板P 和Q 的中心线射入，两板间距离和长度均为；距金属板P 和Q 右边缘处有一竖直放置的荧光屏；取屏上与S 1、S 2共线的O 点为原点，向上为正方向建立x 轴。
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C1
1 r
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C2
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C3 r
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C4
一、电介质中静电场的分析
【例3】设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为ρ，
试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
【解】采用球坐标系，积分得通解
? 1 (r )
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C1
1? r
C2
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一、电介质中静电场的分析
等位线方程：
p cos? 4?? 0r 2
?
C
电场线微分方程： dr ? rd?
Er E?
r 2 ? C'cos? r ? C1 sin 2 ?
一、电介质中静电场的分析
【例2】 半径为R0的介质球，介电常数? r?0，其内均匀分布电荷ρ，试证
明：介质球中心点的电位
2?r ? 2? r
?E
介质板左表面的极化电荷面密度
? PS ? ? (? ? ?0 )En ? ?
3 3
?
0
E0
介质板右表面的极化电荷面密度Fra bibliotek?0E0
? PS ? (? ? ?0 )En ?
3 3
?
0
E0
一、电介质中静电场的分析
2、分析方法
E?(r?) ?
q'
? R
4?? 0 R3
?
(
? r)
?
q ?C
4π?R
? ?
?
?
3的θ1值；（2 ）介
质板两表面的极化电荷密度。
【解】（1）根据静电场的边界条件，在介质板的表面上有
E0
?1
?2
?E
? tan ?1 ? ?0 ? 1
tan ? 2 ? 3
?
tan ?1
?
1 3
?
tan 3
?
3 3
?1
?
?
6
?0
（2）设介质板中的电场为
r E
，根据分界面上
E0
的边界条件，有 ?0E0n ? 3?0 En
r
?
R0 ????
? Eo
?
? R03 3?0 r 2
? er
? ? ? ? ?0??
?? ? E ?dl ?
0
R0 0
? Ei
?dr?
?
?? E R0 o
?dr? ?
2? r ? 2? r
1
????
? 3?
0
????R02
一、电介质中静电场的分析
【例3】设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度为ρ，
1
????
? 3?
0
????R02
??
【解】由高斯定理
? ? D ?dS ? q ? ?dV
S
V
可得
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r
?
R0 ????
? Di ?
?r ?
3 er
?
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r
?
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3r 2
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r
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R0 ????
?
? Ei
?
?r 3? r ?0
? er
?
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C3 r
?
C4
? 1 r ? 0 ? 有限值
C1 ? 0
体电荷分布的球形域电场
?? p ?er
? pcos?
4π? 0r 2 4π?0r 2
利用关系式 E ? ?? ? ，求得电偶极子的电场强度为:
? E
?
? ????e?r
?? ?r
?
? e?
1 ?? r ??
?
? e?
1 r sin ?
?? ??
?????
? er
p cos ? 2π?0r 3
?
? e?
psin ? 4π?0r 3
4??0 R
?? q ? q 4??0 r 4??0 R
? 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
? 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
一、电介质中静电场的分析
【例1】 计算电偶极子的电场强度。
z
【解】电偶极子产生的电位应为
r+
+q
?
r
?
l
x
O
r-
y
?
-q
?
?
q 4π?0r?
?
q 4π?0r?
? (l
??e
r
)
l 的方向规定由负 电荷指向正电荷
一、电介质中静电场的分析
【例1】 计算电偶极子的电场强度。
z
r+
【解】
?
?
q
4π?0r 2
l cos ?
?
q
4π?0r 2
? (l
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)
+q
?
r
?
l
x
O
r-
y
?
-q
定义电偶极子的电矩，以 p 表示，即
? p
?
? ql
那么电偶极子产生的电位为
??
? (r)
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1
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(r??) dV
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C
4π? V? R
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? U ? ? P ? ? Q ?
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P
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? 2? ? 0 ?
?1 ? ? 2
?1
?? 1
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? ?2
?? 2
?n
?
?S
一、电介质中静电场的分析
3、电位参考点的选择原则
? 场中任意两点的电位差与参考点无关。 ? 同一个物理问题，只能选取一个参考点。 ? 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且要有意义。
例如：点电荷产生的电场： ?
?
q
4?? 0 r
?
C
? r?0 ? 0
C? ?
表达式无意义
? r? ? ? 0
C?0
?? q 4??0 r
? r?R ? 0
C?? q
目录
一．电介质中静电场的分析 二．静电场中的导体 三．电容和部分电容 四．静电场的能量 五．静电力的虚位移求解
一、电介质中静电场的分析
1、基本方程
?
? ? ? E ? 0 ? ? ?D ? ?
??
D??E
?
? en
?
? (E2
?
? E1 )
?
0?
? en
? ?(D2
?
? D1 )
?
?S?
??
?l E ?dl ? 0
一、电介质中静电场的分析
【例题】
厚度为t 、介电常数为
ε=3ε0
的无限大介质板，放置于均匀电场
r E0
中，板与
r E0
成θ1角，如图所示。试求：（1 ）使? 2
?
?
3的θ1值；（2 ）介
质板两表面的极化电荷密度。
E0
? 【解】 即 ?0 E0 cos?1 ? 3?0En
En ?
3 6 E0
?1
?2
??
?SD ?dS ? q
E1t ? E2t D2n ? D1n ? ? S
?s ? 0
折射定律
tan? 1 ? ?1 tan ? 2 ?2
一、电介质中静电场的分析
【例题】
厚度为t 、介电常数为
ε=3ε0
的无限大介质板，放置于均匀电场
r E0
中，板与
r E0
成θ1角，如图所示。试求：（1 ）使? 2
试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
【解】采用球坐标系，分区域建立方程
?
2? 1
?
1 r2
d dr
(r 2
d? 1 ) ?
dr
?
? ?0
(0 ? r ? a)
体电荷分布的球形域电场
?
2? 2
?
1 r2
d dr
(r 2
d? 2 ) dr
?
0
(a ? r ? ? )
积分之，得通解
? 1( r
)
?
q 4π?0
????
r? ? r? r? r?
????
若观察距离远大于两电荷的间距 l ，则可认为 er? ，er? 与 er平行，则
r? ? r? ? l cos?
r? r?
?
??r ?
?
l cos? ????r
2 ??
?
l cos? ?? ?
2?
r2
求得
?
?
q
4π?0r 2
l cos ?
?
q
4π?0r 2