2014年人教A版数学必修二导学案：2.3.2空间两点间的距离

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高中数学必修二《空间两点间的距离公式》导学案

4、情景设计
问题
问题猜想
答疑
在平面上任意两点A ，B 之间距离的公式为|AB|= ，那么对于空间中任意两点A ，B 之间距离的公式会是怎样呢？你猜猜？
（2）空间中任意一点P 到原点之间的距离公式会是怎样呢？
[1]
问题
问题设计意图
答疑
（3）如果是定长r,那么表示什么图形？
类比平面直角坐标系中，方程表示的图形。
作业：习题4.3 A组2 . 3题
（4）如果是空间中任意一Βιβλιοθήκη 到点之间的距离公式会是怎样呢？
[2]
练习
1.先在空间直角坐标系中标出A,B两点，再求他们之间的距离：
（1）A (2，3，5），B (3，1，4)
（2）A（6，0，1），B (3，5，7)
2.在Z轴上求一点M，使点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。
3.求证：以点A(10，-1，6),B(4，1，9),C(2，4，3)三点为顶点的三角形是等腰三角形。
4.3.2空间两点间的距离公式导学案
1．教学任务分析
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
2．教学重点和难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。
3．教学基本流程
由平面上两点间的距离公式，引入空间两点距离公式的猜想
先推导特殊情况下的空间两点间的距离公式
推导一般情况下的空间两点间的距离公式

人教A版高中数学必修二学两点间的距离学案新

§3.3.2两点间的距离【教学目标】1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性.3．体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题.【重点难点】教学重点：①平面内两点间的距离公式.②如何建立适当的直角坐标系.教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.【教学过程】一、导入新课、展示目标问题已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|?二、检查预习、交流展示核对课前预习中的答案。

1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

三、合作探究、精讲精练探究一平面内两点间的距离公式问题 (1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2, y2)，求|AB|.教师①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是x A、x B、y C、y D，那么|AB|、|CD|怎样求?②求点B(3，4)到原点的距离.③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|.④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程).学生回答①|AB|=|x B-x A|,|CD|=|y C-y D|.②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5.③图1在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P 2M 2相交于点Q.在Rt △P 1QP 2中，|P 1P 2|2=|P 1Q|2+|QP 2|2.因为|P 1Q|=|M 1M 2|=|x 2-x 1|,|QP 2|=|N 1N 2|=|y 2-y 1|，所以|P 1P 2|2=|x 2-x 1|2+|y 2-y 1|2.由此得到两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：|P 1P 2|=212212)()(y y x x -+-教师 ④(a)我们先计算在x 轴和y 轴两点间的距离.(b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式.(d)最后求平面上任意两点间的距离公式.这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用!应用示例例1 如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B 的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.图2解:设B(x ，3)，根据|AB|=13，即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16.点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A 点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点.变式训练1课本106页练习第一题例2 已知点A(-1，2)，B(2)，在x 轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x ，0)，于是有2222)70()2()20()1(-+-=-++x x .由|PA|=|PB|,得x 2+2x+5=x 2-4x+11,解得x=1.即所求点为P(1，0),且|PA|=22)20()11(-++=22.点评：引导学生熟练设点及应用距离公式。

人教版数学高一-两点间的距离同步导学案

摘要：两点间的距离同步学案，主要有学习目标、重难点，学法指导，新知预习，学习探究，要点导学，活学巧用，巩固练习，整体感知关键词：新课标人教A 版、必修二、两点间的距离学案新课标人教A 版高一必修二3、3、2两点间的距离同步学案【学习目标】1、理解平面内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题；2、通过由特殊到一般的归纳，培养探索问题的能力【重点与难点】重点：两点间的距离公式和它的简单应用难点：用坐标法解决平面几何问题【学法指导】本节是利用勾股定理推导出两点间的距离公式，并由此用坐标法推证其它问题。

在推导过程中，要注意数形结合的数学思想的运用。

【新知预习】1.设111222(,),(,)P x y P x y ,则12PP = 。

特殊地：(,)P x y 与原点的距离为OP = ；当所在直线与x 轴平行时，12PP = ；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，12PP = ；当12,P P 在直线y kx b =+上时，12PP = .2. 设111222(,),(,)P x y P x y ,则线段12P P 的中点坐标__________3. 用坐标法解（证）题的步骤：（1）。

（2）（3）（4）【学习探究】1、已知数轴上两点 A, B ，怎么求 A, B 的距离？2、用坐标法解（证）题的步骤？221M M =解得1x =，所以(1,0)p ,则PA =22)20()11(22=-++。

归纳总结:两点间的距离公式：所以设111222(,),(,)P x y P x y ，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212PP y y =-；当12,P P 不与坐标轴平行时，121212()()PP x x y y =-+-。

变式探究：1、在直线40x y -+=上求一点p ，使p 点到点(2,4),(4,6)M N --的距离相等。

高中数学(4.3.2空间两点间的距离公式)示范教案新人教A版必修2

过的数学知识 , 回想当时的推导过程；②解决这一问题 , 可以采取转化的方法 , 转化成我们学
习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义
, 直接度量 , 显然是不可以的 , 我们可以
转化为立体几何的方法 , 也就是求长方体的对角线长 . ④回顾平面直角坐标系中 , 两点之间的
距离公式 , 可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识
P1(x 1 ,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2) 之间的距离为 |P 1P2|= ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2 .
于是空间两点之间的距离公式是
d= ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z2 z1 )2 . 它是同名坐标
课时安排
1 课时
教学过程
导入新课
思路 1. 距离是几何中的基本度量 , 几何问题和一些实际问题经常涉及距离 , 如飞机和轮船的
航线的设计 , 它虽不是直线距离 , 但也涉及两点之间的距离 , 一些建筑设计也要计算空间两点
之间的距离 , 那么如何计算空间两点之间的距离呢 ?这就是我们本堂课的主要内容 .
思路 2. 我们知道 , 数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值
, 即 d=|x 1-x 2| ；平面直角
坐标系中 , 两点之间的距离是 d= ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 . 同学们想 , 在空间直角坐标系中 ,
两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公
d=
2
x
2
y
2
z.
③利用求长方体的对角线长的方法等于三条边长的平方的和来算 .
, 分别量出这块砖的三条棱长 , 然后根据对角线长的平方

数学必修Ⅱ人教A版3.3.2《两点间的距离》精品教案

课题:两点间距离课型：新授课教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题教学重点：两点间距离公式的推导教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程：一、情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点间距离公式：()()22122221PP x x y y =-+-。

分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有 2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式()()22122221PP x x y y =-+-在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二、例题分析例1．以知点A （-1，2），B （27 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有()()()()2222102207x x ++-=-+-由 PA PB =得 2225411x x x x ++=-+解得 x=1。

所以，所求点P （1，0）且 ()()22110222PA =++-=通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

设问：本题能否有其它解法同步练习：书本106页第1，2 题例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

高中数学人教A版必修2导学案设计：4.3.2空间两点间的距离(学生版)

章节4.3.2 课题空间两点间的距离公式教学目标1.通过特殊到一般的思想推导出空间两点间的距离公式；2.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.3.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题．教学重点空间两点间的距离公式教学难点一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

空间问题转化为平面问题的基本思想。

【复习回顾】平面直角坐标系中,两点111222P(,)P(,)x y x y之间的距离公式是,它是利用三角形和定理来推导的.课前预习案【新知探究】一、空间中任意一点到坐标原点的距离如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥平面xOy,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB= ,BD=OE= ,BE=OD= ,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2= ,因此A到原点的距离是OA=.图1 图2思考1：如果OA是定长r，那么2222x y z r++=表示什么图形？二、空间中任意两点间的距离如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=.再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|= .在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=,根据勾股定理,得|P1P2|=2212||||P H P H+=.因此空间中点P1 (x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=221221221)()()(zzyyxx-+-+-.思考2：空间两点间距离公式的推导过程中，我们使用了什么数学思想？课后达标案【达标检测】A 组1．点M (3,4,1)到点N (0,0,1)的距离是( )A ．5B ．0C ．3D ．12．空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 3.设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于( )A ．4B ．6C ．8D ．104．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝。

人教课标版高中数学必修2导学案-两点间的距离

3.3.2两点间的距离【学习目标】掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题，体会数形结合的优越性.【学习过程】一、课前导学：（不看书，自己回忆上节课学的内容，并填空，写完后和本组同学讨论）1．直线0mx y m +-=，无论m 取任意实数，它都过点 .2．若直线111:1l a x b y +=与直线222:1l a x b y +=的交点为(2,1)-，则112a b -= .3．当k 为何值时，直线3y kx =+过直线2x y -10+=与5y x =+的交点?二、新课导学：探究：1、求B(3，4)到原点的距离是多少?2、在平面直角坐标系中，任意两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离是多少?（自学课本内容，了解两点间距离公式的推导原理，在下面写出大致的推导过程，并把不明白的地方用红笔标注出来）两点间的距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的任意两个点，则AB =特殊地：(,)P x y 与原点的距离为三、合作探究例1：已知点(8,10),(4,4)A B-求线段AB的长及中点坐标.变式：已知点(1,2),A B-，在x轴上求一点，使PA PB=,并求PA的值.（写完后，打开课本P105，检查自己所写与课本是否一样,还有没有不同的方法，写出来）学法指导：设P（x,0）将PA PB=转化为关于x的方程求解。

例2：证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.学法指导：先建立适当的坐标系，用坐标表示有关变量，然后进行代数运算，最后把运算结果“翻译”成几何关系.四、交流展示1.自主完成课本P106练习1、2，写在课本上即可.2. 已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C，求证：ABC∆是等腰三角形.3.已知点(4,12)A，在x轴上的点P与点A的距离等于13，求点P的坐标.五、达标检测1. 两点(1,3),(2,5)A B-之间的距离为（）.A．B．C D．32. 以点(3,0),(3,2),(1,2)---为顶点的三角形是（）三角形.A B CA．等腰B．等边C．直角D．以上都不是3. 直线a x＋2y＋８＝0，4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值（）.A．2-B．2C．1D．1-4.求在数轴上，与两点A(-1,3),B(2,4)等距离的点的坐标.。

高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(2)教案新人教A版必修2

课题：2.4.3.2 空间两点间的距离公式（2）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课型：新授课教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用．教学重点：空间两点的距离公式的应用．教学难点：空间两点的距离公式的应用．教学过程：一．复习提问：1．两点间的距离公式．二．例题讲解：1．例题1．在四面体P-ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA=PB=PC=a ，求点P 到平面ABC 的距离．解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz ，则P(0，0，0)，A （a ，0，0），B （0，a ，0），C （0，0，a ）.过P 作PH ⊥平面ABC ，交平面ABC 于H ，则PH 的长即为点P 到平面ABC 的距离．PA=PB=PC ，∴H 为∆ABC 的外心，又∆ABC 为正三角形，∴H 为∆ABC 的重心．由定比分点公式，可得H 点的坐标为)3,3,3(aa a ∴|PH|=a aaa33)30()30()30(222=-+-+-．∴点P 到平面ABC 的距离为a 33． 2．例题2．在棱长为a 的正方体ABCD -1111D C B A 中，求异面直线11CC BD 与间的距离．解：以D 为坐标原点，从D 点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．设P 、Q 分别是直线1BD 和1CC 上的动点，其坐标分别为(x ， y ， z)、(0，1,z a )，则由正方体的对称性，显然有x=y ．要求异面直线11CC BD 与间的距离，即求P 、Q 两点间的最短距离．xHA BCD xyz1A 1B 1C 1D P Q H设P 在平面AC 上的射影是H ，由在∆!BDD 中，BDBH D D PH =1，所以a x a a z -=，∴x=a-z ， ∴P 的坐标为(a-z ， a-z ， z)∴|PQ|=2122)()(z z z z a -++-=2)2(2)(2221a a z z z +-+-∴当21a z z ==时，|PQ|取得最小值，最小值为a 22． ∴异面直线11CC BD 与间的距离为a 22． 3．例题3．点P 在坐标平面xOy 内，A 点的坐标为(-1，2，4)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹是什么？分析：因点P 一方面在坐标平面xOy 内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P 在球面上，故点P 的轨迹是坐标平面xOy 与球面的交线．解：设点P 的坐标为(x ， y ， z)．点P 在坐标平面xOy 内，∴z=0|PA|=5，∴5)4()2()1(222=-+-++z y x ，即2)1(+x 2)2(-+y 2)4(-+z =25，∴点P 在以点A 为球心，半径为5的球面上，∴点P 的轨迹是坐标平面xOy 与以点A 为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy 内的圆，且此圆的圆心即为A 点在坐标平面xOy 上射影A '(-1，2，0)．点A 到坐标平面xOy 的距离为4，球面半径为5， ∴在坐标平面xOy 内的圆A '的半径为3．∴点P 的轨迹是圆2)1(+x 2)2(-+y =9，z=0．小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决．三：巩固练习：1．课本139P 习题4.3 B 组第2题2．点P 在坐标平面xOz 内，A 点的坐标为(1，3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P 的轨迹方程．答案：点P 的轨迹方程是2)1(-x 2)2(++z =16，y=0．四．小结１．空间两点的距离公式的应用．五．作业１．课本139P 习题4.3 Ｂ组第3题课后记:。

人教A版高中数学必修2教案§3.3.2 两点间的距离

3..3..。

2直线与直线之间的位置关系-两点间距离三维目标知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题教学重点，难点：重点，两点间距离公式的推导。

难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

教学方式：启发引导式。

教学用具：用多媒体辅助教学。

教学过程：一，情境设置，导入新课课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题平面直角坐标系中两点()(2122221PP x x y y =-+-x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为()()112200N y M x ，，，直线12PN N 12与P 相交于点Q 。

在直角ABC 中，2221212PP PQ QP =+，为了计算其长度，过点1P 向x 轴作垂线，垂足为 ()110M x ，过点向y 轴作垂线，垂足为()220N y ，，于是有2222221212121221PQ M M x x QP N N y y ==-==-，所以，2221212PP PQ QP =+=222121x x y y -+-。

由此得到两点间的距离公式12PP =在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

二，例题解答，细心演算，规范表达。

例1 ：以知点A （-1，2），B （2 ），在x 轴上求一点，使 PA PB =,并求 PA 的值。

解：设所求点P （x ，0），于是有=由P A P B=得2225411x x x x++=-+解得x=1。

所以，所求点P（1，0）且PA==通过例题，使学生对两点间距离公式理解。

应用。

解法二：由已知得，线段AB的中点为12⎛⎝⎭Ｍ，直线AB的斜率为12⎛⎫⎪⎝⎭ｘ－ＰＡ＝＝２２３线段AB的垂直平分线的方程是y-12⎛⎫⎪⎝⎭３ｘ－２在上述式子中，令y=0，解得x=1。

高中数学 3.3.2两点间的距离精品教案新人教A版必修2

3.3.2 两点间的距离（一）教学目标1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。

2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

；3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点、难点重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。

（三）教学方法备选例题例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：10= 解得：x = 11或x = –5.所以点P 的坐标为(–5，0)或(11，0).例2 在直线l ：3x – y – 1 = 0上求一点P ，使得：（1）P 到A (4，1)和B (0，4)的距离之差最大；（2）P 到A (4，1)和C (3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B 关于l 的对称点B ′(3，3). AB ′：2x + y – 9 = 0 由290310x y x y +-=⎧⎨--=⎩ 解25x y =⎧⎨=⎩得P (2，5).（2）C 关于l 对称点324(,)55C '由图象可知：|PA | + |PC |≥|AC ′|当P 是AC ′与l 的交点1126(,)77P 时“=”成立，∴1126(,)77P .例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l ：x + y + 1 = 0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；（2）沿这条光线从P 到Q 的长度.【解析】（1）设点Q ′(a ，b )是Q 关于直线l 的对称点因为QQ ′⊥l ，k 1 = –1，所以21,10QQ b k a '-==-又因为Q ′Q 的中点在直线l 上，所以021022a b ++++= 所以21021022b a a b -⎧=⎪⎪-⎨+⎪++=⎪⎩得31a b =-⎧⎨=-⎩，所以Q ′(–3，–1)因为Q ′在入射光线所在直线l 1上，设其斜率为k ，所以1(1)22(3)5k --==--l 1：21(2)5y x -=-即2x – 5y + 1 = 0（2）设PQ ′与l 的交点M ，由（1）知|QM | = |Q ′M | 所以|PM | + |MQ | = |PM | + |MQ ′| = |PQ ′所以沿这光线从P 到Q入射光所在直线方程为2x – 5y+ 1 = 0.。

高中数学教案新人教A版必修2.4.3.2空间两点间的距离公式(1)教案新人教A版必修2

课题： 2.4.3.2 空间两点间的距离公式（１）教材分析：距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．课型：新授课教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．教学重点：空间两点的距离公式．教学难点：空间两点的距离公式的推导教学过程：一、复习准备：1. 提问：平面两点间的距离公式？2. 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由．3. 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？二、讲授新课：1．空间两点的距离公式（1）设问：你能猜想一下空间两点),,(1111z y x P 、),,(2222z y x P 间的距离公式吗？如何证明？，因空间直角坐标系是在平面直角坐标系的基础上，经过原点O 再作一条垂直于这个平面的直线，因此学生完全能借助平面上两点间的距离公式，考虑到此距离与竖坐标有关，猜想出空间两点间的距离公式22122122121)()()(||z z y y x x P P -+-+-=．故在介绍空间两点间的距离公式时，没有直接呈现公式结论，而是先让学生猜想、证明，从中培养学生对陌生问题通过已学的类似问题，要敢于提出猜想的意识．在推导空间两点间的距离公式时，教材故意让学生经历一个从易到难，从特殊到一般的目的在于让学生掌握类比的方法和养成严谨的思维习惯．（2）学生阅读教材136P - 137P 内容，教师给与适当的指导．思考：1）点M （x ，y ，z ）与坐标原点O （0，0，0）的距离？2) M 1，M 2两点之间的距离等于0⇔M 1=M 2，两点重合，也即x 1=x 2，y 1=y 2，z 1=z 2．讨论：如果OP 是定长r ，那么2222x y z r ++=表示什么图形？2．例题1：求点P 1(1， 0， -1)与P 2(4， 3， -1)之间的距离．要求学生熟记公式并注意公式的准确运用练习：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离3．例题2：已知A(x ，2，3)、B(5，4，7)，且|AB|=6，求x 的值．分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x 的方程，解方程即得．解：|AB|=6，∴6)73()42()5(222=-+-+-x即16)5(2=-x ，解得x=1或x=9∴x=1或x=9总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．练习：已知A(2，5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．答案：B(0，2，0)或B(0，8，0)．4．思考：1.在z轴上求与两点A(-4， 1， 7)和B(3， 5， -2)等距离的点．2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1，-1，5)、B(3，4，4)和C(4，6，1)各点的距离相等．三．巩固练习：P练习 1、31．1382．已知三角形的顶点为A（1，2，3），B（7，10，3）和C（4，10，0）．试证明A角为直角．四．小结：1．空间两点的距离公式的推导．2．公式的应用五．作业P练习第2，4题1．课本138P习题4.3 A组第3题Ｂ组第１题2．课本138课后记:。

高中数学 4.3.2 空间两点间的距离导学案新人教A版必修2

4.3.2 空间两点间的距离公式【学习目标】1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.能应用坐标法解决一些简单的立体几何问题3.通过探究空间两点间的距离公式,意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,【学习重点】空间两点间的距离公式.【知识链接】距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离, 如一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.【基础知识】.空间中两点间的距离公式 1.221221)()(y y x x -+- 2.22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD⊥x 轴,BE⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,B E=OD=y,由于三角形ABO 、BOD是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.【例题讲解】图2例1.如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt△P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.【达标检测】1．点M (3,4,1)到点N (0,0,1)的距离是( A )A ．5B ．0C ．3D ．12．空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有( A )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个3.设点B 是点A (2，－3,5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于( A )A ．10B ．4C ．6D ．25．到两点A (3,4,5)，B (－2,3,0)距离相等的点M (x ，y ，z )的坐标满足的条件是( B )A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0B ．5x －y ＋5z －37＝0C ．10x －y ＋10z ＋37＝0D ．10x －2y ＋10z ＋37＝06.正方体不在同一平面上的两顶点A(－1,2,－1),B(3,－2,3),则正方体的体积是( C )A.16B.192C.64D.48 二、填空题7．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝0或－4.8．在空间直角坐标系下，点P (x ，y ，z )满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则动点P 表示的空间几何体的表面积是 _ 4π ．三、解答题9．已知A (1,2，－1)，点C 与点A 关于平面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，求B ，C 两点的距离．由已知得C (1,2,1)、B (1，－2,1)∴d (B ，C )＝ 1－1 2＋ 2＋2 2＋ 1－1 2＝4，即B ，C 两点间的距离为4.10．试在坐标平面yOz 内的直线2y －z ＝1上确定一点P ，使点P 到点Q (－1,0,4)的距离最小．设P (0，y,2y －1)，则|PQ |＝ 0＋1 2＋y 2＋ 2y －5 2＝5y 2－20y ＋26.当y ＝2时，|PQ |min ＝6，此时P (0,2,3)．【问题与收获】。

人教A版高中数学必修2教案空间两点间的距离

空间两点间的距离
[适用章节]
数学②中的2.4.2空间两点之间的距离。

[使用目的]
使学生通过自己操作体会空间直角坐标怎样确定了空间中点的位置，并理解怎样由已知空间两点的坐标求出这两点间的距离。

[操作说明]
初始界面上的图形和主要按钮如图2206-1：其中A、B两点的坐标由界面下方可拖动标尺来控制，通过改变坐标、观察图形可以加深对空间坐标和点的对应关系的认识，使用“转动”按钮可以观察动态的图形。

“帮助1”按钮可以显示如图2206-2的辅助线，结合对图形的动态观察应该能够找出求A、B两点距离的思路。

如果还有困难可以使用“帮助2”按钮，它可以显示计算距离的表达式和两组闪动按钮，使用它们可以很清楚的看出计算中使用了那个直角三角形、哪些线段及它们和点的坐标间的关系。

“手控”和它后面的“隐藏”按钮可以显示和隐去几个可拖动点，拖动它们可以改变单位长或转动图形。

图2204-1
图2204-2
“计算”和它后面的“隐藏”按钮可以显示或隐去距离的计算结果，供学生和自己的计算结果进行对照。

人教版高中数学必修二导学案：第四章第三节空间两点间距离

第四章第三节空间两点间距离三维目标1. 了解空间两点间的距离推导，了解空间两点的距离公式；2. 能用距离公式求空间中两点之间的距离;3．渗透数形结合的思想。

___________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1. 在平面直角坐标系中，已知),(111y x p ，),(222y x p ，则21p p =写出推导过程：问题2：类比该公式，你能猜想一下空间两点),,(1111z y x p ，),,(2222z y x p 的距离公式吗？并证明你的结论。

问题3：若点1p 为坐标原点O ，求2OP 的长度是多少？【变式】如果2op 是定长r ，则2222r z y x =++表示什么图形？【学做思2】1. 已知A(2， 5，-6)，在y 轴上求一点B ，使得|AB|=7。

2. 点M ),,(z y x 是空间直角坐标系O xyz 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标并求与对称点的距离：（1）与点M 关于x 轴对称的点；（2）与点M 关于y 轴对称的点；（3）与点M 关于z 轴对称的点；（4）与点M 关于原点对称的点。

【总结】结合平面上点关于轴对称的性质，从这题中你有什么体会？3.已知三角形的三个顶点坐标分别为(214)A -，，，(326)B -，，，(502)C ，，．求过A 点的中线长？4.在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ，使M 到点(651)N ，，的距离最小。

达标检测*1. 在空间直角坐标系中，已知(2,3,5)A ，(3,1,4)B ，则A ，B 两点间的距离是2. 已知三点(419)A ---，，，(1016)B --，，，(243)C ---，，，则( ) A ．三点构成等腰三角形 B ．三点构成直角三角形C ．三点构成等腰直角三角形D ．三点构不成三角形3. 已知A(1－t,1－t ，t)，B(2，t ，t)，则A 、B 两点距离的最小值为( ) A.55 B.555 C.355 D.115*4. 在空间直角坐标系中，若),4,3(),0,4,3(z B A --两点间的距离为10，则=z __________．5. 求点M (4，－3,5)到x 轴的距离。

高中数学人教A版必修2《3.3.2两点间的距离》教学案1

必修二 3.3.2两点间的距离教案一、教学目标1、知识与技能：（1）能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；（2）掌握直角坐标系两点间的距离公式，会用坐标法证明简单的几何问题。

2、过程和方法：（1）学习两直线交点坐标的求法，判断两直线位置的方法，归纳过定点的直线系方程；（2）推导两点间距离公式，充分体会数形结合的优越性。

3、情感态度与价值观：通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内的联系，能用代数方法解决几何问题。

二、教学重点、难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标；两点间距离公式的推导。

难点：两直线相交与二元一次方程的关系，应用两点间距离公式解决几何问题。

三、教学方法：启发引导式在学生认识直线方程的基础上，启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的的相互关系。

引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程组解的问题。

由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。

四、教学过程：（一）两条直线的交点坐标1、设置情境，导入新课问题1：已知两条直线l1：3x + 4y– 12 = 0，l2：2x + y + 2 = 0相交，求这两条直线的交点坐标。

问题2：已知两条直线l1：A1x + B1y + C1 = 0，l2：A2 x + B2y + C2 = 0相交，如何求这两条直线的交点的坐标？2、讲授新课几何元素中，点A可用坐标A (a , b) 表示，直线l可用方程Ax + By + C = 0表示，因此，求两条直线的交点坐标，可联立方程组求解（代数方法）。

结论：（1）若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；（2）若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；（3）若方程组有无数解，则两条直线重合。

练习：课本P104，练习1。

3、探究：当λ变化时，方程3x + 4y– 2 + λ(2x + y + 2) = 0表示什么图形？图形有何特点？演示：借助几何画板作出方程所表示的图形，改变的值。

2.3.2空间两点间的距离(2014年人教A版数学必修二导学案)

课题:2.3.2空间两点间的距离
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式，通过类比方式得到两点构成的线段的中点公式．
【课前预习】
问题1．平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？
问题2．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？
试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．
3．点与点之间的距离是．
4．在轴上有一点，它与点之间的距离为，
则点的坐标是．
5．已知空间中两点和的距离为，求的值．
6．试解释方程的几何意义．
【课后巩固】
7．已知点，在轴上求一点，使．
8．已知平行四边形的顶点，，．
求顶点的坐标．
9．已知：空间三点，，，
求证：，，在同一条直线上．
10．（1）求点关于平面的对称点的坐标；
（2）求点关于坐标原点的对称点的坐标；
（3）求点关于点的对称点的坐标；
11．已知点，的坐标分别为，，
当为何值时，的值最小．最小值为多少？
12．在平面内的直线上确定一点，使到点的距离最小．
问题3．平面直角坐系中两点，的线段的中点坐标是什么？
空间中两点，的线段的中点坐标又是什么？
【课堂研讨】
例1、求空间两点，间的距离．
例2、平面上到坐标原点的距离为的点的轨迹是单位圆，其方程为．
在空间中，到坐标原点的距离为的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．
例3、证明以，，为顶点的是等腰三角形．
例4、已知，，求：
（1）线段的中点和线段长度；