对称性在解题中的应用

摘要

“对称性在数学解题中的应用”是数学学习中重要内容之一，是高考数学备考中的重要环节.“对称性的探究及应用”也是中学数学中的难点之一，学生在学习过程中，往往感到困惑，从而提出种种质疑，在对称性的应用问题中条件和结论容易混淆.

本文整理了对称性在几何、代数、微分、积分中的应用问题，同时对一些典型例题给予解释，对定理证明与条件的分析，给出论证及说明.通过“对称性”在各方面解题中的应用，进一步探究“对称性在解题中应用”的条件.体会到数学源于生活，又应用于生活.通过对“对称性在解题中应用”的条件理解，提高了学习者的数学素养和人文精神，培养了学习者分析问题和解决问题的能力.

关键词：对称性，函数图像，轮换对称，轴对称，中心对称

目录

一、引言 (1)

（一）研究工作的背景和发展概况 (1)

1.对称性在代数中的应用 (1)

2.对称性在几何中的应用 (2)

3.对称性在微分学中的应用 (2)

4.对称性在积分学中的应用 (3)

（二）文章结构安排和主要结论 (3)

二、对称关系在解题中的应用 (4)

（一）利用对称关系解轮换对称题 (4)

（二）对称性在函数中的应用 (6)

1.对称性在基本初等函数中的应用 (6)

2.对称性在三角函数中的应用 (9)

3.对称性在解析几何中的应用 (11)

三、结束语 (16)

四、参考文献 (16)

一、引言

（一） 研究工作的背景和发展概况

对称性是数学研究的一个重要组成部分,它普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支.古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说:”哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现……”对称性的内容十分丰富,对称性的应用也十分广泛.

1.对称性在代数中的应用

对称是代数中随处可见的现象.譬如，实数a 与a -互为相反数，复数bi a +与

bi a -互为共轭复数，导数的运算法则，()v u v u '+'='+，()v u v u uv '+'=', 这些

有着明显的对称性.还有，原函数与反函数的图像关于直线x y =对称，偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称，都给人以赏心悦目之感.

例1．古人发现的“杨辉三角”，又称贾宪三角形﹑帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

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5114641

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121

11

1

它具有的性质：

（1）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1;

（2）第n 行的数字个数为n 个;

（3）第n 行数字和为)1(2-n ;

（4）每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角形.

“杨辉三角”形式上所具有的对称性和谐统一，令人叹为观止.

例 2.似乎黄金分割点（618.0=ω处）不是对称点，但若将左端点记为A ，右端点记为B ，黄金分割点记为C ，则AB CA CA BC ::=，而且C 关于中点的对称点D 也是AB 的黄金分割点，因为AB DB DB AB ::=，再进一步，D 又是的黄金分割点，C 是DB 的黄金分割点。由此讨论下去，可以视为一种连环对称.

2.对称性在几何中的应用

几何图形的对称性是数学解题中最通俗、最直观的解题方法。在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界.反过来，在几何中，许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是对称性思想在数学领域的成功运用.在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一.而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性.

例3.柯西总喜欢把空间里过点),,(321x x x 的直线方程写成对称形式：

γ

βαcos cos cos 321x x x x x x -=-=-; 其中γβαcos ,cos ,cos 为直线的方向余弦；同时，他把曲面方程),(y x f z =写成对称形式0),,(=z y x F ，这样写不仅美观，而且便于书写和记忆.

例 4.在笛卡尔坐标系中，伯努利双曲线θρ2cos 22a =关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线x y ±=的拐点。曲线的形状类似于横写的阿拉伯数字8，更像表示无穷大的符号∞.

3.对称性在微分学中的应用

对称现象在微分学中并不少见.如，连续与间断，有限与无限，无穷小与无穷大，曲线的凹凸等概念前后呼应，成对出现。在多元复合函数求偏导数时，可以利用函数关于自变量的对称性简便计算.

定义1（对称多项式） 若函数),,,(21n x x x f z =中任意两个自变量交换后，仍然表示原来的函数，则称此函数关于自变量对称.

结论：若函数),(y x f z =在点),(y x 处可微，且),(),(x y f y x f =,则),(),(x y f y x f y x =.

由结论可知，对于二元的关于自变量对称的可微函数，求其关于y 的偏导数，只需将函数关于x 的偏导数中的x 与y 交换位置即可，此结论还可推广到n 阶导数.

4.对称性在积分学中的应用

对称性在积分学中的应用更是极为常见.在定积分的计算中，如果合理利用对称性，则可以大大地简化计算，达到事半功倍的效果.

例5.计算积分xdx e x cos ⎰.

解：令xdx e M x cos ⎰=，可构造对称式xdx e N x sin ⎰=，

则， x e N M x sin =+，x e N M x cos =-;

从而=N 12(sin cos )

x c e x x +-, 12(sin cos )x M c e x x =++ 本文主要依赖已有结果开展的研究, 有助于加深理解和认识自然界中的对称现象, 揭示各种对称性之间的相互作用关系以及它们对解题过程的影响.

综上所述，从古至今数学中的对称性，都不仅给我们带来了计算上的方便，更给我们的思维以启迪，从而促进创造性思维的萌生.在高中数学教学中，教师有意识地揭示数学中的对称性在解题中的应用，加强数学对称性的启示教育，引导学生去发现对称性、运用对称性来解题，学生的学习积极性必将会大大的调动起来，从而使我们的课堂展现出更强的活力与魅力.

（二） 文章结构安排和主要结论

本文主要从轮换对称学，函数角度及平面解析几何这三个角度来对对称性在数学中的应用加以表述，引言第一节中介绍了对称性的研究背景、实际应用及现有研究成就. 下面给出本文的结构布局.

本文重点，结构内容安排如下：

第一节中，通过几道典型轮换对称性的例题具体说明运用常规方法很繁琐的类型题如运用他们的对称性来解题会使解题的过程与思路大为简化清晰.

第二节中，对称性在函数中的应用：

1、对称性在基本初等函数中的应用

a 、首先是函数自身对称性。

主要结论有:

定理 1.函数)(x f y =的图像关于点),(b a A 对称的充要条件是b x a f x f 2)2()(=-+.