量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习

第七章自旋与全同粒子

本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系．

根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程．

真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统．

本章的主要知识点有

1．电子自旋

(1)泡利算符

泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为

由此可以推出

ζ

i ζ

j

=iε

ijk

ζ

k

+δ

ij

(7-3)

(2)电子自旋角动量

借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为

(3)电子自旋状态

(4)有关力学量

(5)自旋状态的演化

在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s

z ，t)：(ψ

+

(r，t)，ψ

-

(r，t))T，随

时间的演化仍然由薛定谔方程

决定，但是哈密顿算符要修正为

其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为

2．角动量耦合

(1)角动量的一般性质

其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值．

(2)自旋轨道耦合

逆变换关系为

其中前3个为交换对称态，后1个为反对称态．

3．全同粒子体系

(1)全同性原理

全同粒子具有不可分辨性，描述全同粒子体系的哈密顿对于任意两个粒子的交换都是对称的，而体系的波函数ψ对于任意两粒子交换必须是对称的或反

体系的定态薛定谔方程是：

体系的能量为各个单粒子能量之和，即

(q)按下式构造对玻色子体系，波函数ψs可以由单粒子本征函数ψ

i

反对称，由单粒子本征函其中A为归一化因子．对费米子体系，波函数ψ

A

(q)按斯莱特行列式构造

数ψ

i

(3)泡利不相容原理

按照(7-26)式，显然不能有两个或两个以上的全同费米子处于同一单粒子态，否则对应的斯莱特行列式为0．泡利不相容原理是全同性原理在费米子系统中的推论．