量子力学[第七章自旋与全同粒子] 山东大学期末考试知识点复习
量子力学 第七章 自旋与全同粒子 7.8 两个电子(费米子)的自旋函数(13P)
1.自旋角动量 设电子1、2的自旋分别为， 自旋量子数为 分别对应的状态为
两个电子的总的自旋角动量—— 对电子， s1=s2=1/2，s = 0、1（两个角动量耦合的 量子数最大为s =s1+s2=1，最小为s =s1-s2=0）
自旋波函数的构造 如无自旋相互作用时，自旋波函数
无耦合基矢
耦合基矢
——对称态 ——对称态
用 可构成对称和反对称自旋函数 对称自旋波函数——三重态
反对称自旋波函数——单态
不能构成其它独立的对称或反对称自旋函数
3．
的本征值
两个粒子的自旋平行，分量沿正Z方向 两个粒子的自旋平行，分量沿反Z方向
两个粒子的自旋Z分量相互反平行, 垂直Z轴 分量平行。
两个粒子的自旋反平行，总自旋为零。
例题：试写出自旋
它们所构成的对称波函数形式为
它们所构成的反对称波函数形式为 二电子体系的自旋部分的对称或反对称波函数为：
总的波函数：
证明： [证]① ②
组成正交归一系。
平行耦合结果：s =s1+s2=1，ms=-1,0,1,构成三重态 反平行耦合结果：s =s1-s2=0，ms=0,构成单态 2.两套基矢
的两个自由电子所构成的
全同体系的状态波函数。
[解]自旋 的两电子构成的是费米子体系 ， 体系状态的波函数是反对称的
每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平 面波
例题：试写出自旋
的两个自由电子所构成的
全同体系的状态波函数。
[解]自旋
的两电子构成的是费米子体系 ，
波函数是反对称的
每个电子处于自由状态，单电子的状态波函数为平面波
量子力学总复习-2讲义
一、微扰法：
2020/8/2
Hamilton算符可写成--- Hˆ Hˆ 0 Hˆ
6 首页 上页 下页退出
（1）定态微扰论
非简并情况---
Hˆ
0
(0) m
Em(0)
(0) m
,
m 1,2,
,
n;
(
(0) m
,
(0) k
)
mk
Em m
Em(0)
(0) m
Em(1)
(1) m
Em(2) Em(0) Hm m
ij
通过解 Hˆ 在
(0) ml
中的本征（矩阵）方程：
[(
Hij
)
kk
]
(0) m
E , (1) (0) mm
Hij
(
(0) mi
,
Hˆ
(0) mj
)
可得到能级 Em 的一级近似和相应波函数 m 的零级近似：
Em
E (0) m
E (1) m
2020/8/2
m
(0) m
7 首页 上页 下页退出
（2）含时微扰论
比较复杂，只考虑到了一级近似，可计算微观粒子受到微扰后
从
(0) m
跃迁到
(0) n
的概率：
Wmk
1 i
2
t 0
H
km
(
x)eikm
x
dx
其中：Hkm
(
(0) k
,
Hˆ
(0) m
),
Hˆ 0
(0) m
Em(0)
(0) m
,
km
(Ek(0)
Em(0) ) /
二、变分法：
量子力学 自旋和全同粒子
ˆ2, J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ2, J ˆ 2 ] 0， [J 1 2 r r ˆ ˆ2, J ˆ2 ˆ [J 1 ] 0 ，[ J , J 2 ] 0 ， ˆ ,J ˆ 2 ] 0 ，[ J ˆ ,J ˆ2] 0。 [J z 1 z 2
另，容易证明，
| j1 , j2 , j, m 组成了正交归一的完全系，以它们为基矢的表
ˆ2, J ˆ ,J ˆ2, J ˆ 2 都是对角矩阵。 象称为耦合表象， 在这个表象中 J z 1 2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换
7.4.3、 耦合表象和非耦合表象的变换 将 | j1 , j2 , j, m 按照完全系 | j1 , m1 , j2 , m2 展开，
m1 ,m2
(m m )h
1 2
m2m2 m1m1
j1 , m1 , j2 , m2 | j1 , j2 , j, m
; m2 m2 m2 时， m m1 m2 m1 当 m1 m1
所以展开式中只需对一个量子数求和即可，
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
Hale Waihona Puke ˆ2, J ˆ 的共同本征矢，则 以 | j2 , m2 表示 J 2 2z
ˆ 2 | j , m j ( j 1)h 2 | j , m J 2 2 2 2 2 2 2 。 ˆ J 2z | j2 , m2 m2 h | j2 , m2
第 7 章 自旋和全同粒子 7.4、 两个角动量的耦合
| j1 , j2 , j, m
m1 ,m2
量子力学---课件 《第七章》
第七章自旋与全同粒子Spin and Identical Particales第七章自旋与全同粒子第七章自旋与全同粒子自旋是粒子的一种运动形式，以角动量形式表现出来。
如果把电子绕原子核的运动称作“轨道运动”，则自旋类似与经典物体的自转。
然而自旋又区别于经典物体的自转，它有着独特的规律。
因此，自旋是微观粒子特有的概念。
提出的依据是实验：全同粒子是指具有相同内禀属性（静质量、电荷、自旋、磁矩和寿命等）的粒子。
全同粒子具有区别于宏观粒子而独有的特性，即微观粒子的不可分辨性。
这正是不确定关系所要求的。
碱金属原子光谱的双线结构复杂Zeeman 效应——弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
本章主要内容§7.1电子的自旋§7.2自旋算符和自旋波函数§7.3简单Zeeman 效应§7.4两个角动量的耦合§7.5光谱的精细结构§7.6全同粒子的特性§7.7全同粒子体系的波函数Pauli 原理§7.8两个电子的自旋波函数§7.9氦原子（微扰法）§7.10氢分子共价键§7.1 电子的自旋Spin of an Electron§7.1 电子的自旋（2）复杂Zeeman 效应（1912）：在弱磁场中光谱线分裂成偶数条。
如D 1→4条，D 2→6条（1）碱金属原子光谱的双线结构：λ≈589.3μm →D 1: 589.6μm ，D 2: 589.0μmÀ电子自旋提出的实验基础（3）Stern-Gerlach 实验（1922）：银原子束通过非均匀磁场分裂为两束——证实角动量的空间量子化。
无磁场加磁场D 1D 2简单Zeeman 效应谱线分裂成奇数条S S NNPP O§7.1 电子的自旋Stern-Gerlach 实验（1922）说明了中性的原子具有磁矩，磁矩在外磁场中受磁场的作用（∝dB /dz ）。
量子力学期末考试总结
基本概念 第一章1，黑体辐射，光电效应揭示了光的波粒二象性。
戴维孙 革末（电子衍射）实验证明了德布罗易波的存在，粒子性和波动性关系（数学体现）？第二章2，量子力学的五个基本假设？① 体系的微观态用一个波函数完全描述，波函数满足连续、有限、单值。
② 力学量用厄密算符表示。
③ 微观体系波函数g 用算符F 本征函数f 展开λλλλd c c F nn n22||||⎰∑+=在F 态中测得④ 体系状态波函数满足薛定谔方程⑤ 全同粒子所组成的体系中，两全同粒子互换不改变体系的状态（全同性原理） 3，波函数的统计解释？波函数在空间一点找到粒子的概率和该点的强度成正比。
4，如何理解薛定谔方程？其解是什么？满足什么条件？解的物理意义？薛定谔方程是非相对论下，粒子状态随时间变化的规律，解是描述微观粒子状态的波函数，需要满足连续、单值、有限，物理意义是波恩统计解释第三章5，什么是厄密算符？厄密算符本征值为实数，证明厄密算符属于不同本征值的本征函数的正交性？对连续谱同理一样。
厄密算符：O OO dOdˆˆ*)ˆ(ˆ*==+⎰⎰或φψτφτψ6，波函数在算符（力学量）本征函数下展开式？展开系数？7，力学量的期望？8，守恒量和定态的去区别？(（什么式守恒量，什么是定态？）定态下，一切不含时间的力学量的平均值和测值几率分布不随时间改变。
守恒量式在所有状态下的平均值和几率分布都不随时间该改变。
守恒量和体系的哈密顿量对易。
（守恒量和对称性相联系，时间--能量....）9，角动量算符的本征值和本征函数？氢原子能级和波函数？角动量算符：∇⨯-=r i L ˆL 2 和L Z 的本征值方程，本征值和本征函数()()(),θ,Y l l θ,Y L lm lm ϕϕ221ˆ += ()(),θ,Y m θ,Y L lm lm z ϕϕ =ˆ2)1( +l l （l=0 ,1,..l ）(m=-l,..,0,...,+l),m L z =2l+1度简并ϕπφim m e 21=氢原子：.,,n ,n μe E sn 3212224=-=),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =lm n l n ±±±=-== ,2,1,012,1,0,3,2,1体系能量En 是n 2简并的。
量子力学7自旋与全同粒子-2qz
3
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
1 1 1 0 2
代入 S—方程
或
21
2
0 2
2 2 eB ˆ ˆ V (r ) ( Lz 2 S z ) 2 2 c
ˆ ˆ J x J y2 ,
ˆ ˆ J x Jz2,
ˆ ˆ J x Jz
ˆ Jx
ˆ ˆ Jx Jy,
ˆ ˆ ˆ ˆ J x J y Jz Jz ,
ˆ ˆ J x Jz ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i J y J z i J z J y i J z J y i J y J z
ˆ 2 J 2 J 2 2J J , ˆ ˆ J1 1 2 1 2
ˆ ˆ J 12 J 2 2 ,
i 1,2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 x J 2 x J 1 y J 2 y J 1 z J 2 z , ˆ ˆ ˆ J 12 2 J 1 y J 2 y ,
ˆ J 22 0
ˆ J 12
Jˆ
1z ,
ˆ ˆ J 12 J 2 z ,
ˆ J 12
0
亦成立。 [证毕]
（二）耦合表象和无耦合表象
（1）本征函数
综合上述对易关系可 知：四个角动量算符
ˆ ˆ ˆ ˆ J 2 , J z , J 12 , J 2 2
两两 对易
ˆ ˆ ˆ ˆ J 12 , J 1z , J 2 2 , J 2 z
第七章量子力学
ˆi 的本征 由于 S 沿任一方向的投影只能取 2 ，所以 2 2 值只能取为 1 ， i2 x y z2 1 (10)
2)泡利算符的反对易关系
用 y 分别左乘和右乘(8)-2式： y y z y z y 2i y x
y z y z y y 2i x y (11)
2. 碱金属原子光谱的双向结构 钠原子光谱，2P 1S线波长589.3nm, 光谱仪仔细分辨，可见双线： 589.0nm & 589.6nm 无外场时，2P能级简并，何来两条谱线？ 3.反常塞曼效应 在若磁场中，原子光谱线的复杂分裂 （分为偶数条），如钠2P 1S， D1 (589.6nm) 4条，D2 (589.0nm) 6条
(4)
Sz 为描述自旋态的波函数，其一般形式为：
(5)
(6)
ˆ 的本征态 4. 算符S z ˆ 的表达式未知，其本征态却已由实验测出： 算符S
z
ˆ 算符的本征态 S , m S 。设 S 1 z z m z s
s
表示S z的
2
1 1 本征值，ms 。用 1 S z 分别表示S z 的 2 2 2 本征态，简记为 和： 1 1 Sz , 0 2 0 = 1 S z 1 2 (7)
二.Uhlenbeck,Goudsmit的电子自旋假设（1925） 1. 每个电子具有自旋角动量S,它在空间任何方向上 的投影只能取两个数值： Sz 2 e (3)
2. 每个电子具有自旋磁矩 M s
S
(4)
所以M s 在空间任意方向上只能取两个投影值; M SZ e
2
M B
《量子力学》考试知识点
《量⼦⼒学》考试知识点《量⼦⼒学》考试知识点第⼀章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（⼀）、经典物理学困难的实例（⼆）、微观粒⼦波－粒⼆象性考核要求：（⼀）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量⼦、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒⼦的波－粒⼆象性、德布罗意波。
第⼆章：波函数和薛定谔⽅程考核知识点：（⼀）、波函数及波函数的统计解释（⼆）、含时薛定谔⽅程（三）、不含时薛定谔⽅程考核要求：（⼀）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的⾃然条件、⾃由粒⼦平⾯波2.领会：微观粒⼦状态的描述、Born⼏率解释、⼏率波、态叠加原理（⼆）、含时薛定谔⽅程1.领会：薛定谔⽅程的建⽴、⼏率流密度，粒⼦数守恒定理2.简明应⽤：量⼦⼒学的初值问题（三）、不含时薛定谔⽅程1. 领会：定态、定态性质2. 简明应⽤：定态薛定谔⽅程第三章：⼀维定态问题⼀、考核知识点：（⼀）、⼀维定态的⼀般性质（⼆）、实例⼆、考核要求：1.领会：⼀维定态问题的⼀般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应⽤：定态薛定谔⽅程的求解、第四章量⼦⼒学中的⼒学量⼀、考核知识点：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归⼀化”（四）、算符的共同本征函数（五）、⼒学量的平均值随时间的变化⼆、考核要求：（⼀）、表⽰⼒学量算符的性质1.识记：算符、⼒学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本⼒学量算符的对易关系（⼆）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征⽅程、本征值、本征函数、正交归⼀完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、⼒学量可取值及测量⼏率、⼏率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归⼀化”1.领会：连续谱的归⼀化、箱归⼀化、本征函数的封闭性关系（四）、⼒学量的平均值随时间的变化（⼀）、表象变换，⼳正变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量⼦态的不同描述⼆、考核要求：（⼀）、表象变换，⼳正变换1.领会：⼳正变换及其性质2.简明应⽤：表象变换（⼆）、平均值，本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应⽤：平均值、本征⽅程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应⽤：利⽤算符矩阵表⽰求本征值和本征函数（三）、量⼦态的不同描述第六章：微扰理论⼀、考核知识点:（⼀）、定态微扰论（⼆）、变分法（三）、量⼦跃迁⼆、考核要求:（⼀）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应⽤：简并态能级的⼀级，⼆级修正及零级近似波函数4.综合应⽤：⾮简并定态能级的⼀级，⼆级修正、波函数的⼀级修正。
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
量子力学知识点总结
量子力学期末复习完美总结一、 填空题1．玻尔-索末菲的量子化条件为：pdq nh =⎰，（n=1,2,3,....)，2．德布罗意关系为：hE h p k γωλ====； 。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为：212mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：()2r t ψ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为概率密度。
这是量子力学的基本原理之一。
波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。
5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。
6．，为单位矩阵，则算符的本征值为：1± 。
7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。
8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。
即()m n mn d d λλφφτδφφτδλλ**''==-⎰⎰或。
9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在()r t ψ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在p p dp →+范围内的几率。
10.i ；ˆxi L ；0。
11．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则_0__。
12．坐标和动量的测不准关系是： ()()2224x x p ∆∆≥。
自由粒子体系，_动量_守恒；中心力场中运动的粒子__角动量__守恒13．量子力学中的守恒量A 是指:ˆA不显含时间而且与ˆH 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。
14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。
15． 为氢原子的波函数，的取值范围分别为：n=1,2,3,… ；l=0,1,…,n -1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l 。
16．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并为: 2n ，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为 22n ，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为 12+j 。
量子力学自旋与全同粒子
2）Pauli 算符
1. 引进Pauli 算符 对易关系：Sˆ Sˆ iSˆ
分量 形式
令 Sˆ ˆ
2
ˆ ˆ 2iˆ
S
x
2
x
S
y
2
y
Sz
2
z
分量形式：
ˆ
xˆ
y
ˆ yˆ x
2iˆ z
ˆ yˆ z ˆ zˆ y 2iˆ x
ˆ zˆ x ˆ xˆ z 2iˆ y
因为Sx, Sy, Sz的本征值都是± /2， 所以σx,σy,σz的本征值都是±1； σx2,σy2,σZ2 的本征值都是:
磁场沿 Z 向
e
2c
( Lˆ z
2Sˆ z )B
Schrodinger方程
考虑强磁场忽略自旋-轨道相互作用，体系Schrodinger方程：
2
2
2
V (r)
eB
2c
( Lˆ z
2Sˆ z
)
E
根据上节分析，没有自旋-轨道相互作用的波函数可写成：
第七章 自旋与全同粒子
1. 电子自旋 2. 电子自旋算符和自旋波函数 3. 简单塞曼效应 4. 两个角动量耦合 5. 光谱精细结构 6. 全同粒子的特性 7. 全同粒子体系的波函数, Pauli原理 8. 两电子自旋波函数 9. 氦原子（微扰法）
1. 电子的自旋
（1）Stern-Gerlach 实验 (2）光谱线精细结构
个分量
令
a b ˆ x c d
利用反对易 关系
ˆ zˆ x ˆ xˆ z
得
：
1 0
01
a c
b d
a c
b d
1 0
第七章 自旋与全同粒子(二十讲) 量子力学教学课件
说明：对连续情况下，上式仍成立。 4、N 个粒子组成的全同体系。 （相互独立，不显含时间）
ˆ H ˆ (q ) H ˆ (q ) ＝ H ˆ (q ) H 0 1 0 2 0 i
i1
N
哈密顿算符
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 1 i 1 i i 1
ˆ (q ) (q ) (q ) H 0 2 j 2 j j 2
3） 两费米子组成的体系是反称的。 若两个粒子状态相同 则 A (q1 , q 2 ) 0
i (q1 ) | j (q1 )
i (q2 ) | A (q1 , q 2 ) A (q2 , q1 ) j (q2 )
2、 泡利原理： 两体系中两个费米子不可能处于同一状态。
C 2 =1, C
=±1。
当 c=＋1 是对称的 (qi q j ） = (q j qi ) 当 c=－1 是反对称 (qi q j ） =－ (q j qi ) 结论：1）全同粒子组成波函数只能对称和反对称。 2）全同粒子组成波函数对称性不随时间 t 改变而改变 证明：设φ 是对称的。 t 时刻： 在 t+dt
A
1 N!
i (q1 ) j (q1 )
k (q1 )
i (q2 ) j (q2 )
k (q2 )
i (q N ) j (q N )
k (q:N )
有两个或两个以上的费米子不能处于同一状态（泡利不相容原
理）
① 交换粒子位置变号 ② 有两行状态相同 交换两列符号改变，两列相等 A＝0 上式中，若 i j ,则行列式等于“0” ，即不能有两个或两个
1，2，3 中的任一态， 单粒子态， 试求体系可能态的数目， 并写出相应波函数，分三种情况：a、两个粒子为全同玻
量子力学考试知识点
《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。
2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。
第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。
（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。
量子力学主要知识点复习资料全
量⼦⼒学主要知识点复习资料全量⼦⼒学主要知识点复习资料全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN⼤学量⼦⼒学主要知识点复习资料，填空及问答部分1能量量⼦化辐射⿊体中分⼦和原⼦的振动可视为线性谐振⼦，这些线性谐振⼦可以发射和吸收辐射能。
这些谐振⼦只能处于某些分⽴的状态，在这些状态下，谐振⼦的能量不能取任意值，只能是某⼀最⼩能量的整数倍εεεεεn ,,4,3,2,对频率为的谐振⼦, 最⼩能量为: νh =ε2.波粒⼆象性波粒⼆象性（wave-particle duality ）是指某物质同时具备波的特质及粒⼦的特质。
波粒⼆象性是量⼦⼒学中的⼀个重要概念。
在经典⼒学中，研究对象总是被明确区分为两类：波和粒⼦。
前者的典型例⼦是光，后者则组成了我们常说的“物质”。
1905年，爱因斯坦提出了光电效应的光量⼦解释，⼈们开始意识到光波同时具有波和粒⼦的双重性质。
1924年，德布罗意提出“物质波”假说，认为和光⼀样，⼀切物质都具有波粒⼆象性。
根据这⼀假说，电⼦也会具有⼲涉和衍射等波动现象，这被后来的电⼦衍射试验所证实。
德布罗意公式h νmc E ==2 λhm p ==v3.波函数及其物理意义在量⼦⼒学中，引⼊⼀个物理量：波函数，来描述粒⼦所具有的波粒⼆象性。
波函数满⾜薛定格波动⽅程0),()](2[),(22=-?+??t r r V mt r t i ψψ粒⼦的波动性可以⽤波函数来表⽰，其中，振幅表⽰波动在空间⼀点(x ,y,z )上的强弱。
所以，应该表⽰粒⼦出现在点(x,y,z )附件的概率⼤⼩的⼀个量。
从这个意义出发，可将粒⼦的波函数称为概率波。
⾃由粒⼦的波函数)](exp[Et r p i A k -?=ψ=ψ波函数的性质：可积性，归⼀化，单值性，连续性 4. 波函数的归⼀化及其物理意义常数因⼦不确定性设C 是⼀个常数，则和对粒⼦在点(x,y,z )附件出现概率的描述是相同的。
量子力学总复习
n n n Nn Nn Nn e
x y z x y z
2 r 2 2
Байду номын сангаас
H nx ( x) H n y ( y ) H nz ( z )
12、势垒贯穿 隧道效应： 粒子在能量E小于势垒高度时仍能贯 穿势垒的现象，称为隧道效应。
需掌握知识点
1、掌握定态的概念；定态的性质。
几 个 重 要 概 念
本征函数
n N ne
n
x
H n ( x)
Nn
n!
,
11、可以用分离变量法求解得到（在笛卡尔坐标中） 三维各向同性谐振子的能级和波函数。
3 Enx ny nz nx n y nz 2
nx , n y , nz 0,1,2,
H mn
2 0
E n Em
m,m n
0
H mn
0
1, m n
0 m
En En H nn
0
m,m n
0 ˆ 0 m H mn H n
En Em 0 * ˆ 0 m (r )H n (r )d
( A) ( S ) 1M s A ( S ) ( A) 00
5、角动量（轨道和自旋）
ˆL ˆ i L ˆ L ˆS ˆ i S ˆ S
2 ˆ2 S ˆ2 S ˆ2 S x y z 4
对两个Fermi子体系:
M s 0, 1
2 n x n ( x) sin ,0 x a a a
es4 es2 En 2 2 2 2 2 n 2n a0
量子力学复习提纲
量子力学复习提纲第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==(1)h p n k λ==(2)2.微观粒子的波粒二象性.3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为12.25hA λ=≈(3)第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:波函数在空间某一点的强度()2,r t ψ 和在该处找到粒子的几率成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2w*=ψψ=ψ代表几率密度.2.态叠加原理:如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程薛定谔方程()(),ˆ,r t i H r t t∂ψ=ψ∂(4)定态薛定谔方程()()ˆH r E r ψ=ψ (5)其中()22ˆ2H U r μ=-∇+ (6)为哈密顿算符,又称为能量算符,4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.5. 波函数的归一化,1d τ*∞ψψ=⎰(9)6.求解一维薛定谔方程的几个例子.一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.第三章 量子力学中的力学量1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法则;2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念ˆF ψλψ= (10)3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.ˆF dx ψφ*=⎰()ˆF dx ψφ*⎰(11)实数性: 厄密算符的本征值是实数.正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.完全性: 厄密算符ˆF的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系, 即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:()()()n n nx c x c x d λλψφφλ=+∑⎰ (12)展开系数: ()()nnc x x dx φψ*=⎰, (13)()()c x x dx λλφψ*=⎰. (14)2nc 是在()x ψ态中测量力学量F 得到nλ的几率,2c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到d λλ+范围内的几率.4. 2ˆL 和ˆZL 算符的本征值方程,本征值和本征函数. ()22ˆ1L l l ψψ=+ , ˆzL m ψψ= 本征函数 (),lm Y θφ.5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构, ()()(),,,nlmnl lm r R r Y ψθφθφ= (15)主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念.6. 氢原子的能级公式和能级的简并度.422,1,2,3,...2s n e E n nμ=-= (16)不考虑电子的自旋是2n 度简并的;考虑电子的自旋是22n 度简并的.7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的体积元内的几率()22,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ(17)计算电子几率的径向分布和角分布.计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率. 8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分. 9. 算符的对易关系及测不准关系.(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.例如: 氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动量算符ˆz L 相互对易, 则(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, (ii) 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:4222s n e E n μ=-,()21l l + , m .(2) 测不准关系:如果算符ˆF和ˆG 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设ˆFˆG -ˆG ˆF =ˆik 则算符ˆF和ˆG 的均方偏差满足:()_______2ˆF ∆⋅()_______22ˆ4k G ∆≥(19)其中 ()()________________________2222222F F F F FF F F F ∆=-=-+=-()__________222F F F ∆=-, ()__________222G G G ∆=-(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零点能等.(b) 给定态函数ψ,计算两个力学量ˆF和ˆG 的均方偏差的乘积()_______2ˆF∆⋅()_______2ˆ?G ∆=(20)第四章 态和力学量的表象 1. 对表象的理解(1) 状态ψ: 态矢量(2) Q 表象:力学量Q 的本征函数 ()()()12,,...,...n u x u x u x构成无限维希耳伯特空间(坐标系)的基矢量 (4) 将态矢量按照上述基矢量展开:()()(),n n nx t a t u x ψ=∑()()()12,,...,...n a t a t a t 是态矢量ψ在Q 表象中沿各基矢量的分量.(5) ()2n a t 是在(),x t ψ所描写的态中,测量力学量Q 得到结果为n Q 的几率. 2. 算符在Q 表象中的表示(i)算符ˆF在Q 表象中是一个矩阵, nm F 称为矩阵元 ()(),nm nm F u x F x u x dx i x *∂⎛⎫≡ ⎪∂⎝⎭⎰(ii) 算符在自身表象中是一个对角矩阵,其对角矩阵元为该算符对应的本征值. 3. 量子力学公式的矩阵表述 (1) 平均值公式:†F F =ψψ (21)(2) 本征值方程 → 久期方程()()()()()()1111121222122212 ... ... ... ... : : : ... ... : : :m m n n nm mm a t a t F F F a t a t F F F F F F a t a t λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭→ 111212122212 ... ... ... ... 0... ... ..............................n n n n nn F F F F F F F F F λλλ--=-(3) 薛定谔方程的矩阵形式 di H dtψ=ψ(22) 4. 么正变换的概念(1) 么正变换是两个表象基矢量之间的变换矩阵. (2) 么正变换的矩阵元由两个表象的基矢量共同确定,()()()(),.n n m m S x x dx S x x dx ββααψϕψϕ***⎫=⎪⎬=⎪⎭⎰⎰(3) 态矢量由A 表象变换到B 表象的公式1b S a -= (23)(4) 力学量ˆF由A 表象变换到B 表象的公式: 1F S FS -'= (24)5. 么正变换的性质(i) 么正变换不改变算符的本征值; (ii) 么正变换不改变矩阵F 的迹; (iii) 么正变换不改变力学量的平均值.第五章 微扰理论(I) 求解非简并定态微扰问题 (1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. ()0ˆˆˆHH H '=+, 及与()0ˆH对应的零级近似能量()n E 和零级近似波函数()0nψ;(2) 计算能量的一级修正:()()()100ˆn nn E H d ψψτ*'=⎰ (25)(3) 计算波函数的一级修正:()()()()10'00mn n m mn mH E E ψψ'=-∑(26) (4) 计算能量的二级修正:()()()22'0nln ln l H E E E '=-∑ (27)(II) 求解非简并定态微扰问题 (只要求能量的一级修正) 求解步骤(1) 确定微扰的哈密顿算符ˆH'. (2) 确定微扰算符的矩阵元:ˆliH '=ˆl i H d φφτ*'⎰(28)(3) 求解久期方程得到能量的一级修正()()()111121121222112.........................................................n k n k kkkkn H E H H H H E H H H H E '''-'''-='''- (29)(III) 变分法不作要求 (IV) 含时微扰论 (1) 基本步骤设0ˆH 的本征函数为n φ为已知:0ˆn n nH φεφ=(30)将ψ按照0ˆH 的定态波函数n it n n e εφ-Φ=展开:()n nna t ψ=Φ∑(31)展开系数的表达式:()01mk ti t m mka t H e dt i ω'''=⎰(32)其中ˆmn m n H H d φφτ*''=⎰(33)是微扰矩阵元,()1m nmnωεε=-(34)为体系由n ε能级跃迁到m ε能级的玻尔频率. 在t 时刻发现体系处于m Φ态的几率是()2m a t , 体系在微扰的作用下,由初态k Φ跃迁到终态m Φ的几率为()2k m m W a t →= (35)(2) 用于周期微扰()()ˆˆi t i t H t F e e ωω-'=+得到()()()11mk mk i t i t mk m mk mk F e e a t ωωωωωωωω''+-⎡⎤--=-+⎢⎥+-⎣⎦(36)由(36)式,讨论并理解发生跃迁的条件是mkωω=±或m k m k εεω=± (37)(i) 表明只有外界的微扰含有频率mk ω时,体系才能从k Φ态跃迁到m Φ态,这时体系吸收和发射的能量是mk ω ;(ii)跃迁是一个共振现象.(3) 能量时间的测不准关系的含义E t ∆∆ (38)(4) 了解原子的跃迁几率和三个爱因斯坦系数:mk A , mkB 和km B 及相互关系. (5) 了解用含时微扰理论计算爱因斯坦发射和吸收系数(6) 记住对角量子数和磁量子数的选择定则1,0, 1.l l l m m m '∆=-=±⎫⎬'∆=-=±⎭(39) 第六章 散射只要求理解微分散射截面的概论, 不作计算要求.第七章 自旋与全同粒子1. 电子的自旋角动量S ,它在空间任何方向的投影只能取 2z S =± (40) 2. 自旋算符的矩阵形式 01ˆ210x S ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ , 0ˆ20y i S i ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ , 10ˆ201z S ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭(41) 3.泡利矩阵 01ˆ10x σ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 0ˆ0y i i σ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭, 10ˆ01z σ⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭ (42)(1) 求力学量在某个自旋态的平均值和均方偏差.†G G =ψψ (43)()11121†1222122G G G G G G **⎛⎫ψ⎛⎫=ψψ=ψψ ⎪ ⎪ ⎪ψ⎝⎭⎝⎭ (44) (2)求解自旋角动量算符的本征值方程, 本征值和本征函数4. 自旋与轨道角动量的耦合及产生光谱的精细结构的原因.5. 全同性原理的表述6. 描写全同粒子体系状态的波函数只能是对称或反对称的,它们的对称性不随时间改变.实验证明,微观粒子按照其波函数的对称性可以分为两类: (I) 费米子: 波函数是反对称的;(II) 玻色子: 波函数是对称的.7.泡利不相容原理:不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态.。
山东大学量子力学复习大纲
量子力学复习一、关于状态1. 波函数及其几率诠释 1.1. (,)x t ψ与(,)r t ψ 1.1.1 相对几率密度1.1.2 归一化、“归一化”到δ函数及箱归一化 1.2 (,)p t ϕ与(,)p t ϕ1.3. Q 表象中状态用列矩阵表达 1.4.右矢ψ 1.5 旋量波函数1.5.1 电子自旋状态的描述 自旋向上态↑，α，12χ，10⎛⎫ ⎪⎝⎭自旋向下态↓，β，12χ-，01⎛⎫⎪⎝⎭1.5.2 旋量波函数11121222(;)(,;)(;)(;)(;)z r t r s t r t r t r t φψφχφχφ-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭1.6 多粒子体系波函数12(,,;)r r t ψ1.6.1 非全同粒子体系波函数---不考虑交换对称性 1.6.2 全同玻色子体系波函数---粒子交换对称 1.6.3 全同费米子体系波函数----粒子交换反对称 1.7 常用的特殊态1.7.1 ()x δ1.7.2 /()ipx p x e ψ=1.7.3 无线深方势阱中的能量本征函数(),0n n x x x a aπψ=≤≤；()0,0,n x x x a ψ=<> 1.7.4 一维线性谐振子能量本征函数22/2()()x n n n x N eH x αψα-=111]x n n n α=-++ˆ[11]2n pn i nα=---+ 1.7.5 ˆz l 的本征函数即平面转子能量本征函数()im m ϕψϕ=1.7.6 2ˆl 的本征函数即空间转子能量本征函数(,)l m Y θϕ(cos )e m im l m l N P ϕθ= 1.7. 7氢原子能量本征函数(,,)()(,)nlm nl l m r R r Y ψθϕθϕ=或(,,,)()(,)ssnlmm z nl l m m r s R r Y ψθϕθϕχ=2. 波函数的标准条件 连续 单值 有限3. 束缚态与非束缚态 (游离态、电离态)4. 波函数满足薛定谔方程222(,)(,)(,)(,)2x t x t i V x t x t t m x ψψψ∂∂=-+∂∂22(,)(,)(,)(,)2r t i r t V r t r t t mψψψ∂=-∇+∂5. 定态与非定态6. 薛定谔方程的求解6.1 能量本征方程(定态薛定谔方程) ˆn n nH E ψψ= 6.2 含时薛定谔方程的特解(定态解) /(,)()niE t n n r t r e ψψ-=6.3 含时薛定谔方程的一般解 /(,)()n iE t n n nr t c r eψψ-=∑6.4含时薛定谔方程的定解满足(,0)(r r ψφ=的解，*(,)()()n n n c xx d x ψφψφ∞-∞==⎰7. 几率密度及几率流密度**[]2i j mψψψψ=-∇-∇*ˆRe[]p m ψψ=8. 态叠加原理 8.1 n n nc ψψ=∑8.2 测量值及相应概率若n ψ是力学量A 具有确定值n a 的状态，则体系处于n n nc ψψ=∑时A 的测值：12,,,,n a a a相应概率22212,,,,n c c c ∝ 8.3 波函数坍缩(量子态坍缩)若测得A 的值为n a ，则体系状态由ψ坍缩至n ψ二、关于力学量1. 力学量算符1.1用线性厄密算符表示 1.2测量值是算符本征值1.3 从经典量向量子力学的力学量过渡：先对称化再量子化 2常用力学量算符2.1 坐标算符x2.2 动量算符ˆˆ,x pi p i x∂=-=-∇∂ 2.3 角动量算符2ˆˆ,z l i l ϕ∂=-=∂2.4 宇称算符ˆ∏和粒子交换算符 2.4.1ˆ()()r r ψψ∏=-， 即ˆ(,,)(,,)x y z x y z ψψ∏=---或ˆ(,,)(,,)r r ψθϕψπθπϕ∏=-+ 2.4.2 11ˆ(,,,;)(,,,;)i j i j j i P r r r t r r r t ψψ=2.5 电子自旋算符与泡利矩阵 2.6 哈密顿算符及能量本征值2.6.1 无限深方势阱，分立谱22222n n E ma π=2.6.2有限深方势阱，分立谱+连续谱2.6.3一维线性谐振子222221ˆ22d H m x m dx ω=-+，分立谱1()2n E n ω=+ 2.6.4中心力场22222ˆˆ()()22l H r V r mr r r mr∂∂=-++∂∂2.6.5氢原子222222ˆˆ()22l e H r mr r r mr r∂∂=-+-∂∂， 分立谱+连续谱 2412222213.622eV n E e e E n n a n nμ==-=-=-……. 3. 算符代数3.1 基本对易关系ˆ[,]x pi αβαβδ= 3.2 算符恒等式 3.3 常用对易关系3.3.1ˆ[,],x l y i z = 3.3.2ˆˆˆ[,],x y z l p i p =3.3.3ˆˆˆ[,],x y z l l i l =;ˆˆˆl l i l ⨯=3.3.4 1ˆˆˆˆˆ[,],[,(,)]ˆnn F x p ni p x F x p i p -∂==∂ 3.3.5 1ˆˆˆˆˆ[,],[,(,)]nn F px ni x p F x p i x-∂=-=-∂ 4. 力学量平均值4.1 ˆ(,)F Fψψ=或ˆ(,)/(,)F F ψψψψ= 4.2 若ˆn n nFu f u =，将ψ按ˆF 的正交归一化的本征函数系{}n u 展开 1122a u a u ψ=++，则平均值2221122n n nF a f a f a f =++=∑或22n nn nna f F a=∑∑5. 厄密算符本征函数的性质5.1 正交性*()()mn m n u x u x dx δ∞-∞=⎰ 5.2 完备性(,)()()n n nr t c t u r ψ=∑5.3 封闭性*()(')(')nn nu x u x x x δ=-∑ 6. ˆˆˆˆ[,]0,AB A B =⇔有共同的本征函数系 ˆˆ[,]0AB =且系统处于ˆˆ,A B 的共同本征态，则ˆˆ,A B 同时有确定值 7. 不确定度及不确定度关系2A ∆≡=1ˆˆ[,]2A B A B ∆∆≥， 2E t ∆∆≥ 8. 力学量平均值的时间变化率1ˆˆ[,]dA A H dt i=9. 守恒量10. 两个角动量的耦合121212,1,,j j j j j j j =--++三、表象理论1. Q 表象中态矢量用列矩阵表示2. Q 表象中力学量用厄密方阵表示3. 表象变换矩阵为幺正矩阵S 3.1 m n S =老m 新n3.2 新表象基矢在老表象中的列矩阵按列排起来4. 表象变换 4.1 'S ψψ+= 4.2 'F S FS +=5. 狄拉克符号 5.1状态ψ 5.2内积ϕψ 5.3算符ψϕ6. 用狄拉克符号表达的公式 6.1 正交归一m n m n δ= 6.2 完备性1nn n =∑6.3 薛定谔方程()ˆ()t i H t tψψ∂=∂， ˆnn nH E ψψ= 6.4平均值ˆF Fψψ= 7. ()x x ψψ=四、近似方法1. 定态非简并能级微扰(0)(0)(0)ˆk k k H E ψψ= 2(0)(0)(0)nk k k kkn kknH E E H EE≠''=++-∑(0)(0)(0)(0)nk k kn n k k nH E E ψψψ≠'=+-∑ 2. 定态简并能级微扰(0)(0)(0)ˆ,1,2,k k k H E μμψψμ==(1)111121(1)221222(1)120n n n nnnnC H E H H C H H E H C H H H E '''⎛⎫-⎛⎫⎪ ⎪'''- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪'''- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (0)(0)(0)1122C C ψψψ=++3. 含时微扰'2'21k k ti tk k k k W H e dt ω'→'=⎰。
量子力学第七章
d 0
0 b ˆx b* 0
而
2 0 b 0 b 0 1 0 |b| 2 ˆx * * 2 b 0 b 0 0 | b | 0 1
18
| b | 1
但是 S 作为自旋角动量，它与轨道角动量应该具
有相同的量子性质，应满足角动量算符的普遍对易关 系
7
ˆ ˆ ˆ S S i S
自旋角动量平方算符
ˆ S ˆ S ˆ S ˆ iS ˆ S x y y x z ˆ ˆ ˆ S ˆ iS ˆ S y Sz S z y x ˆ ˆ ˆ S ˆ iS ˆ S S S x z y z x
1 1 ˆ x ˆy ˆ y ˆ x ( ˆ y ˆz ˆ z ˆ y ) ˆy ˆ y ( ˆ y ˆz ˆ z ˆ y) 2i 2i
1 2 2 ˆ y ˆ z ˆy ˆ z ˆy ˆy ˆz ˆ y ˆ z ˆy 2i
19
泡 利 矩 阵
0 1 ˆx 1 0
自旋算符矩阵
0 i ˆy i 0
0 i ˆ Sy 2i 0
1 0 ˆz 0 1
1 0 ˆ Sz 2 0 1
1 1 (S z ) 0 2
0 1 (S z ) 2 1 3 2 2 1 ˆ ˆ S 1 (S z ) 1 (S z ) S z 1 ( S z ) 1 ( S z ) 4 2 2 2 2 2
0 1 ˆ Sx 2 1 0
ˆ S ˆ y 本征函数 Sz表象中 S x
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第七章自旋与全同粒子
本章的目的是将量子力学基本理论向两个方面扩展，一是将电子自旋纳入量子力学理论体系，并讨论与其相关的问题；二是由单粒子量子力学扩展到多粒子体系，建立起完整的非相对论量子力学的理论体系．
根据光谱的精细结构和施特恩一格拉赫等实验，人们发现电子还具有的一种无经典对应的新的运动自由度．通过对实验事实的分析，人们提出了电子自旋的假设，引入了自旋角动量，并进一步扩展成包括空间运动和自旋运动在内的完整的状态描述和力学量的算符表示，并将薛定谔方程扩展到包含自旋的情况，建立起非相对论的含自旋的运动方程．
真实的物理系统是多个微观粒子共存的，与经典力学不同，量子化的全同粒子具有不可分辨性，全同粒子体系的微观状态只能是对称的(对应于玻色子)或者反对称的(对应于费米子)．因此，还需要将单粒子非相对论量子力学扩展到全同粒子系统．
本章的主要知识点有
1．电子自旋
(1)泡利算符
泡利算符是描写电子自旋运动力学量的矢量厄米算符，定义为
由此可以推出
ζ
i ζ
j
=iε
ijk
ζ
k
+δ
ij
(7-3)
(2)电子自旋角动量
借助泡利算符，电子自旋角动量S可以表示为
(3)电子自旋状态
(4)有关力学量
(5)自旋状态的演化
在电磁场中，电子的波函数为ψ(r，s
z ，t)：(ψ
+
(r，t)，ψ
-
(r，t))T，随
时间的演化仍然由薛定谔方程
决定，但是哈密顿算符要修正为
其中A为电磁场的矢势，φ为标势．概率流密度要修正为
2．角动量耦合
(1)角动量的一般性质
其中角量子数j为正整数或半正整数，磁量子数m=-j，…，j-1，j共2j+1个取值．
(2)自旋轨道耦合
逆变换关系为
其中前3个为交换对称态，后1个为反对称态．
3．全同粒子体系
(1)全同性原理
全同粒子具有不可分辨性，描述全同粒子体系的哈密顿对于任意两个粒子的交换都是对称的，而体系的波函数ψ对于任意两粒子交换必须是对称的或反
体系的定态薛定谔方程是：
体系的能量为各个单粒子能量之和，即
(q)按下式构造对玻色子体系，波函数ψs可以由单粒子本征函数ψ
i
反对称，由单粒子本征函其中A为归一化因子．对费米子体系，波函数ψ
A
(q)按斯莱特行列式构造
数ψ
i
(3)泡利不相容原理
按照(7-26)式，显然不能有两个或两个以上的全同费米子处于同一单粒子态，否则对应的斯莱特行列式为0．泡利不相容原理是全同性原理在费米子系统中的推论．。