几何要素
几何归纳法 名词解释
几何归纳法名词解释
名词解释——几何化归纳法
一切形体都可概括为简单的几何形体组合，这就是几何归纳法。
归纳法是以各个特殊的、个别的情况的论断作为基础，归纳出一般的或整体的结论。
这种从特殊到一般的推理方法叫做归纳法。
它是通过对某类事物的部分对象进行考察，找岀它们的共同属性，然后概括岀这一类事物都具有这个属性的一般性结论。
法国印象主义画家塞尚发现，一切物象的形态无论结构多么复杂，都可以概括为几种几何形体，即立方体、圆柱体、圆球体和方（圆）锥体的结构形式。
这种将客观物象归纳、概括为基本几何形体的方法，我们将其称为“几何归纳法”。
一切形体都可概括为简单的几何形体组合，这就是几何归纳法。
几何要素是几何公差（旧标准称形位公差）的研究对象，简称为要素。
要素——构成零件几何特征的点、线、面。
几何要素计算法即上述的这些要素的计算方法。
1。
空间几何的思维
空间几何的思维空间几何是数学中的一门重要分支，它研究的是物体在三维空间中的形状、位置、运动等性质。
在现实生活中，我们常常会遇到各种与空间几何相关的问题，比如建筑设计、地图制作、航天飞行等。
通过对空间几何的思维，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解决问题的能力。
一、空间几何的基本概念在开始学习空间几何之前，我们首先需要了解一些基本概念。
空间中的点、线、面以及体是空间几何的基本要素。
点是最基本的几何要素，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
线是由点组成的，具有长度但没有宽度和高度。
面是由线组成的，具有长度和宽度但没有高度。
体是由面组成的，具有长度、宽度和高度。
二、空间几何的相关定理在空间几何中，有许多重要的定理和性质可以帮助我们解决问题。
比如平行线的性质、垂直线的性质、相交线的性质等。
其中，最基本的定理包括平行线与交线定理、垂直线与交线定理、三角形内角和定理等。
通过熟练掌握这些定理，我们可以更好地进行推理和证明。
三、空间几何的思维方法在解决空间几何问题时，我们需要运用一些特定的思维方法。
首先是观察问题，通过观察问题中的已知条件，找出与问题相关的几何要素。
其次是建立模型，将问题中的几何要素进行抽象和表示，以便进行进一步的推理和计算。
接着是进行推理和证明，运用已知定理和性质，推导出问题的答案。
最后是检验结果，将得到的答案与问题进行对照，确定是否符合要求。
四、空间几何的应用领域空间几何的应用领域非常广泛，涉及到许多实际问题的解决。
比如在建筑设计中，我们需要根据房屋的平面图进行空间布局和装修设计，这就需要灵活运用空间几何的知识。
在地图制作中，我们需要根据实地测量的数据进行地图的绘制和标注，这也需要运用到空间几何的技巧。
在航天飞行中，我们需要计算飞行轨迹和姿态控制，也需要依赖空间几何的知识。
五、空间几何的发展与挑战随着科技的不断进步，空间几何研究的内容也在不断扩展和深化。
传统的空间几何主要研究平面和立体几何，而现代空间几何则涵盖了更多的领域，比如曲线和曲面的几何、非欧几何等。
立体几何解析几何法三要素
ห้องสมุดไป่ตู้
计算的完成是在平面内实现
用定理作辅助线 多 数 题 目 都 要 作 辅 助 线 ，
比如：求直线与平面所成的角，不作出这个角，
就无法证明或计算，作角的方法即角的位置很
多，如果作出这个角后，相关线段的长度很难 确定，计算或证明也会比较困难，因此，作图 的原则是尽可能使作出的线段长度或角容易计 算，而利用判定定理和性质定理作图可以实现 这一目标，作图的策略常常就是解题的思路
性质定理、判定定理
是指线与线、
线与面、面与面平行和垂直的判定定理和 性质定理。证明题离不开判定定理和性质 定理，判定定理和性质定理是证明的工具 甚至是方法；计算题往往是在应用判定定 理和性质定理得到相关结论后，进一步确 定 角 或 者 距 离 的大 小
化为平面问题
计算题只要是计算角和距离的大小，解
题时首先要根据定义找到或作出相关的角或者距离，然后 再求值，而角与距离都是平面图形，因此把空间问题转化
为平面问题是解题的基本方法，计算则往往通过解三角形
来完成。证明一般是证明平行和垂直，证明的方法同样是 空间问题平面化，例如，证明线面平行根据判定定理找线 线的平行也可以面面平行性质定理找面，垂直亦是如此。 有些证明题是通过计算线段长度、角的大小来论证的，而
机械设计专业形位公差课程教案
—形位公差标准培训
1
第一章 几何要素 GB/T 18780.1~2
2
1.1 概念
要素 – 构成零件几何特征的点、线、面
3
1.2 分类
轮廓要素——面或面 轮廓要素 上的线（不包含点要 1 素） 要 素 尺寸要素：由一定大小的长度 尺寸要素 （线性）尺寸或角度尺寸确定 的几何形状 非尺寸要素：没有尺寸的几何 非尺寸要素 形状，如平面、直线等。
31
（续）
2、过盈配合——具有过盈的配合（包含最小过盈为零的配合） 、 此时孔的公差带在轴的公差带之下。 过盈——孔的尺寸减去相配合的轴的尺寸之差（δ）为负。 过盈
32
（续）
3、过渡配合——可能具有间隙或过盈的配合，此时孔的公差 、 带和轴的公差带相互交叠。
33
2.11
配合制
定义——同一极限制的孔和轴组成配合的一种制度。 1、基孔制——基本偏差为一定的孔的公差带，与不同基本 基孔制—— 基孔制—— 偏差的轴的公差带形成各种配合的制度
38
3.1
形位误差的来源
39
3.2 形位公差的特征项目及其符号
40
3.3 形位公差标注及附加符号
41
3.5 公差带的主要形状
公差带的形状主要取决于被测要素的几何理想要素和 设计要求，并以此评定形位误差
42
3.6 示例
43
（续）
44
3.7 公差框格
1、第一栏为公差特征； 2、第二栏为公差值，公差带是圆形或圆柱形则加注“¢”，为球形则加注 “S¢”； 3、如需要可以添加基准要素和基准体系； 4、当一个以上要素作为被测要素，如6个要素，则在框格上方标明，如 “6×¢”、“6槽”； 5、如对同一要素有一个以上的公差特征项目要求，可以将方格叠加。
几何公差及检测
几何公差及检测任务一几何公差概述〖任务描述〗如图4-1所示为轴类零件的几何要素标注，试分析图中几何公差项目及其符号的含义。
图4-1 轴类零件的几何要素标注〖任务分析〗要完成此任务，学生需掌握几何公差中几何要素的概念及其分类、几何公差的项目及其符号等。
〖知识准备〗一、几何要素的概念及其分类1.几何要素的概念几何公差的研究对象是构成零件几何特征的点、线、面，这些点、线、面统称为几何要素，简称要素。
一般在研究形状公差时涉及的对象有线和面两类要素，在研究位置公差时涉及的对象有点、线和面三类要素。
2.几何要素的分类1）按结构特征分类（1)轮廓要素。
2）按存在状态分类（1)实际要素。
实际要素是指零件上实际存在的要素，可以被测量出来的要素代替。
（2)理想要素。
理想要素是指具有几何意义的要素，是按设计要求，由图样给定的点、线、面的理想形态，它不存在任何误差，是绝对正确的几何要素。
3）按所处地位分类（1)被测要素。
（2)基准要素。
基准要素是指用来确定被测要素方向和位置的要素。
4）按功能关系分类（1)单一要素。
单一要素是指仅对被测要素本身给出形状公差的要素。
（2)关联要素。
关联要素是指与零件基准要素有功能要求的要素。
二、几何公差的项目及其符号国家标准将几何公差分为14个项目，其中形状公差有4个项目，轮廓公差有2个项目，定向公差有3个项目，定位公差有3个项目，跳动公差有2个项目。
几何公差的每一个项目都规定了专门的符号，见表4-1。
〖任务实施〗对图4-1中的几何公差项目及其符号含义的解释如图4-5所示。
明确任务。
讲解几何要素的分类。
学生完成任务。
图4-5 几何公差项目及其符号含义的解释任务二几何公差的标注方法〖任务描述〗按要求进行标注。
〖任务分析〗要完成此任务，学生需了解几何公差框格和基准符号，掌握几何公差的标注方法、注意事项以及几何公差的公差等级和公差值等。
〖知识准备〗一、几何公差框格和基准符号1.几何公差框格及填写的内容图4-7 几何公差框格2.框格指引线公差框格与被测要素用指引线连接起来，指引线由细实线和箭头构成，它从公差框格的一端引出，并保持与公差框格端线垂直，引向被测要素时允许弯折，但弯折不能超过两次。
公差与技术测量(完整,精华)4-1几何公差
作用：体现被测要素的设计要求，也是加工和检验的根据。
表示：形状、大小、方向、位置。
二 形状公差带
定义：单一要素对其理想要素允许的变动量。其公差带只有大小和形状，无
方向和位置的限制。
特征项目：直线度 平面度 圆度 圆柱度 无基准的线、面轮廓度 直线度公差 直线度公差用于控制直线和轴线的形状误差，根据零件的功 能要求，直线度可以分为在给定平面内，在给定方向上和在任 意方向上三种情况。
面内
ø0.01
A
ød
A
六 位置公差带 定义；关联实际要素对基准在位置上所允许的变动量
注意 ：
定位公差带具有确定的位置，相对于基准的尺寸为理论
正确尺寸；定位公差带具有综合控制被测要素位置、方向和形状的功能。
分为：位置度、同轴度和对称度。
பைடு நூலகம்
同轴度公差
概述：同轴度用于控制轴类零件的被测轴线对基准轴线的同轴度误差。 定义：公差带是直径为公差值t的圆柱面内的区域，该圆柱面的轴线与
1. 同一被测要素有几项形位公差要求的简化标注方法 同一被测要素有几项形位公差要求时，可以将这几项要求的公差框 格重叠绘出，只用一条指引线引向被测要素 0.05 0.03 A
ø
A 同一被测要素有几项形位公差要求的简化标注示例
2.几个被测要素有同一几何公差带要求的简化 方法标注
几个被测要素有同一形位公差带要求时，可以只使用一个公框
3×刻度 A 0.05 A
20
8
8 返回目录
§3
几何公差带
一 形位公差的含义和形位公差带的特征
定义：限制被测要素变动的区域。其主要形状有9种：圆内的
区域、两同心圆间的区域、两同轴圆柱面间的区域、两等距线 间的区域、两平行直线间的区域、圆柱面内的区域、两等距曲 面间的区域、两平行平面间的区域、球面内的区域。
几何公差概念及标注课件
几何公差（形状和位置公差）
2.几何要素分类
⑵ 按存在状态分为： 实际要素、公称要素 实际要素：零件上实际存在的要素。 标准规定：测量时用提取要素（测得要素）代替 实际要素。 公称要素（理论要素）：具有几何学意义的要素， 即几何的点、线、面，它们不存在任何误差。图 样上表示的要素均为公称要素。
4
几何公差（形状和位置公差）
域即为合格。
合格！
24
几何公差（形状和位置公差）
平面度
几何公差带
公差带是距离为公差值 t 的两平行平面之间的区域，只 要被测平面不超出该区域即为合格。被测要素与基准无关， 公差带可以随被测要素浮动。
合格！
合格！
25
几何公差（形状和位置公差）
平面度的测量
主要有间隙
公差值为30m
法、打表法、光 轴法和干涉法。
合格！
43
平行度
几何公差（形状和位置公差）
几何公差带
公差带是距离为公差值 t 且平行于 基准平面的两平行平面之间的区域。
不合格！
44
平行度
几何公差（形状和位置公差）
几何公差带
公差带是距离为公差值 t 且平行于基准平面的两平行平 面之间的区域。
45
平行度
几何公差（形状和位置公差）
、几何公差带
公差带是距离为公差值 t 且平行于基准平面的两平行 平面之间的区域。
公差带是在垂直于基准轴线的任意测量平面内，半径差为 公差值 t 且圆心在基准轴线上的两同心圆之间的区域。
62
圆跳动
几何公差（形状和位置公差）
、几何公差带
0.1 A
30h6
A
50h7
公差带是在垂直于基准轴线的任意测量平面内，半径差为 公差值 t 且圆心在基准轴线上的两同心圆之间的区域。
欧几里得几何学：平面上的点、线和角
欧几里得几何学，又称平面几何，是一门古老而重要的数学学科，由古希腊数学家欧几里得创立。
它研究平面上的点、线和角之间的关系，通过推理和证明，发展出了一套严密的数学体系，并对后世的数学、科学和哲学产生了深远的影响。
欧几里得几何学的基本要素是点、线和角。
点是几何学最基本的概念，它没有长度、宽度和深度，只有位置。
线是由无数个点组成的，由于它没有宽度，所以可以看作是无限细小的。
角是由两条线段所夹的部分，它的大小用度数来表示。
欧几里得几何学的第一原理是平行公理，即通过一个点外一直线上存在一条与给定直线无交点的直线。
根据这一原理，欧几里得几何学发展出了许多重要定理。
例如，直线的垂直平分线将一条直线分成两个相等的部分；等边三角形的三个内角是相等的；两个平行直线被一条横截线所切割，其内角和等于两个直线夹角的和。
欧几里得几何学的核心方法是证明。
通过逻辑推理，欧几里得建立了一套完善的证明体系。
这套体系由公理、定义、命题和定理组成，其中公理是不需要证明的基本原理，定理则是通过推理和证明得出的结论。
欧几里得的《几何原本》是这套体系的最早和最完整的表述，对后世的数学研究产生了巨大的影响。
欧几里得几何学的应用广泛而深远。
它不仅在数学领域内发挥着重要的作用，也在物理学、工程学和计算机科学等领域内得到了广泛的应用。
例如，它在测量、建筑和导航等方面被广泛使用，实际上，我们身边的世界无不与几何学有着密切的关系。
然而，虽然欧几里得几何学在很长一段时间内是数学的基础，但在19世纪末，它开始受到挑战。
非欧几里得几何学的发展推翻了欧几里得的平行公理，提出了与欧几里得几何学不同的几何体系。
这一新的几何学体系证明了同一个公理集合下可以存在多个不同的真命题系统，揭示了欧几里得几何学的局限性和相对性。
综上所述，欧几里得几何学作为一门古老而重要的数学学科，研究平面上的点、线和角之间的关系。
它通过逻辑推理和严密证明，发展出了一套完善的数学体系，并对后世的数学、科学和哲学产生了深远的影响。
几何要素
几何要素
GB/T 18780.1-2002 GB/T 18780.2-2003 (ISO 14660-1,2:1999)
2008.09
2
要素
要素 ——构成零件几何特征的点、线、面 尺寸要素 ——由一定大小的线性尺寸或角度尺寸确 定的几何形状 非尺寸要素
3
组成要素（轮廓要素）
组成要素——面或面上的线 组成要素
4
导出要素（中心要素）
导出要素 —— 由一个或几个组成要素（轮廓 要素）得到的中心点、中心线或中心面。
公称导出要素 —— 由一个或几个公称组成要素导出的中
心点、中心线或中心面。 心点、中心线或中心面。 心点、中心线或中心面。
提取导出要素 —— 由一个或几个提取组成要素导出的中 拟合导出要素 ——由一个或几个拟合组成要素导出的中
公称组成要素 公称组成要素—— 由技术制图或其他方法确定的理论正确的 组成要素 组成要素。 实际(组成 要素—— 实际存在并将整个工件与周围介质分隔 组成)要素 实际 组成 要素 的要素。 提取组成要素 组成要素—— 按规定的方法，由实际(组成)要素提取有 提取组成要素 限目的点所形成的实际组成要素的近似替代。 拟合组成要素 组成要素—— 按规定的方法，由提取组成要素形成的并 拟合组成要素 具有理想形状的组成要素。
6
各几何要素定义间的关系
7
圆柱面要素
8
圆锥面要素
9
两反向平行平面要素
5
几何要素定义间的关系
要
组成要素 （表面、轮廓）
素
导出要素 （中心点、中心 线、中心面） 导出 公பைடு நூலகம்导出要素
图样 工件
公称的 （制图） 实际的
公称组成要素 实际组成要素 提取
几何公差及其标注方法详解-精
几何公差带
直线度
1、在给定平面内对直线提出要求的公差带：距离为公差值 t 的一对平行直线之间的区域，只要被测直线不超出该区域即 为合格。
14
直线度
合格！
不合格！
说明： 实际直线在公差带内即为合格，被测要素与基准
无关，公差带可以随被测要素浮动。
15
直线度测量
常用的方法有光隙法（透光法）、 打表法、水平仪法、闭合测量法等。
合格！
34
圆度
圆度误差值 f 由包容区确定，包容区的尺
寸不同，得到的圆度误差值 f 也不同。
f≤t 合格！
用最小包容区的 值与公差值比较
35
圆柱度
、几何公差带
公差带是半径差为公差值 t 的两同轴圆柱面之间的区域。
36
圆柱度
与半径无关
37
圆柱度
合格！
不合格！
38
、几何公差带
线轮廓度
公差带是包络一系列直径为公差值 t 的圆的两包络线之间 的区域，诸圆心位于具有理论正确几何形状的曲线上。
31
平面度的测量， 公差值为30m
0 +8 -7 -7 +18 -5 +15 -7 -2
合格！
32
、几何公差带
圆度
公差带是在同一正截面上，半径差为公差值 t 的两同心 圆之间的区域。
33
圆度
被测圆柱面任一正截面上的圆周位于半径差为公差值 t 的两同心圆之间即为合格。此时，可以认为被测圆周圆度误 差值（圆度误差带的半径差）f小于等于公差值t。
39
线轮廓度
在平行于图样所示投影面的任一截面上，被测轮廓线必 须位于包络一系列直径为公差值 t 的圆且圆心位于具有理论正 确几何形状的曲线上的两包络线之间。
零件的几何要素及形位公差的项目和符号
零件的几何要素及形位公差的项目和符号一、零件的几何要素1、概念几何要素——构成零件形体的点、线、面称为零件的几何要素。
如下图所示的顶尖就是由点、平面、圆柱面、原锥面、球面、轴线等几何要素组成。
形位误差——关于零件各个几何要素的自身形状和相互位置的误差。
形位公差——对这些几何要素的形状和相互位置所提出的精度要求。
2、几何要素的分类理想要素：具有几何意义的要素，绝对准确按存在的状态分实际要素：零件上实际存在的要素，存在误差，如下图图1被测要素：图样上给出了形状或位置公差的要素，如下图所式，1d φ给出了圆柱度要求，2d φ给出了同轴度要求按形位公差中所处的地位分 基准要素：用来确定被测要素的方向和位置的要素，如下图所示，1d φ的轴线2d φ的台阶面为基准要素图2轮廓要素：构成零件外形的点、线、面，是可见的，能感觉到的按几何特征分中心要素：表示轮廓要素的对称中心的点、线、面，不可见，不能感觉到，但可以通过相应的轮廓要素模拟，如图1二、形位公差的项目及符号形状公差——被测实际要素的形状相对其理想形状所允许的变动量。
位置公差——被测实际要素的位置对基准所允许的变动量。
形状或位置公差（轮廓度公差）——有线轮廓度和面轮廓度两项。
形位公差带及公差带的等级一、形位公差带形位公差带——限制实际要素变动的区域。
由形状、大小、方向、位置四要素确定1、形状：由公差项目及被测要素与基准要素的几何特征来确定。
（1）两平行直线，应用于直线度和位置度；（2）两等距曲线，应用于线轮廓度；（3）两同心圆，应用于圆度和径向圆跳动；（4）一个圆，应用于平面内点的位置度、同轴度；（5）一个球，应用于空间点的位置度；（6）一个圆柱，应用于轴线的直线度、平行度、垂直度、倾斜度、位置度、同轴度；（7）两同轴圆柱，圆柱度、径向全跳动；（8）两平行平面，应用于平面度、平行度、垂直度、倾斜度、位置度、对称度、端面全跳动等；（9）两等距曲面，应用于面轮廓度。
几何要素
几何要素
• 构成零件轮廓的面、 轮廓面上的线 • 粗实线表示
6
/ 36
组成要素
（轮廓要素）
Integral Feature
• 由一个或几个组成要 导出要素 素得到的中心点、中 心线或中心面 （中心要素） • 中心线表示
Derived Feature
几何要素
• 构成零件充满材料的 组成要素 几何空间 • 表征装配性、抗磨损、 （轮廓要素） 强度
有大小尺寸的要素 几何形状与尺寸存在关联关系 被材料包围或充满材料
尺寸要素
20
/ 36
Feature of Size
尺寸要素
尺寸要素
尺寸要素
尺寸要素
非尺寸要素
21
/ 36
装配就是零件间相互约束 自由度 用充满材料的几何体相互 约束自由度
被材料包围的区域包容充 满材料的区域
零件装配就是尺寸要素结合的过程
23
/ 36
孔轴
• • • •
24
/ 36
大小 形状 方向 位置
25
/ 36
公称、实际 提取、拟合
26
/ 36
公称要素
（理想要素）
Nominal Feature
Ideal Feature
实际要素
Real Feature
提取要素
（测得要素）
Extracted Feature
拟合要素
Associated Feature
拟合要素
通过拟合操作，由非理 想要素得到的理想要素
拟合
拟合 组成要素
拟合 导出要素
拟合 Association
由非理想要素得到的理想要素的操作
31
几何图形三要素——欧拉公式的证明
几何图形三要素——欧拉公式的证明摘要：平面几何图形不计长短曲直，数字“1”统帅全局；简单多面体无关体大面小，数字“2”展示共性。
著名的欧拉公式深刻揭示了几何图形的本质属性。
关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形。
没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体。
正文：当我们踏进平面几何学大门时，就学到了一个简单的定理：三角形三个内角和等于180°，我们称它为180°定理。
由180°定理，可进一步得知，凸n变形的内角和为（n-2）180°（弧度制中为(n-2)π），顺着一个方向的外角和为360°。
外角和为360°，是平面上凸多边形的共性，与其边数无关，这是180°定理所揭示的平面图形的基本属性.但在中学数学中只注重180°定理在各种图形研究中的应用，而忽略了它所反映的平面图形比长短曲直更本质的属性，即欧拉公式。
今天，我们用简单的180°定理来推演几何图形的三要素：点、线、面之间的特定关系，领悟数学之美妙，感慨前人之杰作，激发心中之追求，萌发研究之创意。
一、平面几何图形（连通图）欧拉公式:V-E+F=1的证明情形1.平面多边形（附图1：⑴、⑵、⑶）：设其顶点数V=n，边数E=n，区域（面）数F=1，则V-E+F=1.情形2.将多边形用不交的对角线剖分成多个三角形所构成的平面图形（附图1：⑷）：设其顶点数V=n，面数(不交的三角形)F=n-2，不交的对角线条数为n-3，得边数E=2n-3，则V-E+F=n-(2n-3)+(n-2)=1，即证.情形3.平面上一般的封闭图形（附图1：⑸）：方法一：设F个面(不交区域)分别为n1、n2、…、nF边形，则所有内部面角总和:A =（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=(2E-n)π-2Fπ…(1).方法二：由内部V-n个顶点的周角加上外层n边形的内角和(n-2)π得:A=(V-n)2π+(n-2)π…(2).联立(1)、(2)得V-E+F=1.情形4.平面连通图（附图:⑹、⑺）：在情形1、2、3的外层任何地方增加一条边，增加的顶点数和边数相同，面数不变.故V-E+F=1对连通图也成立.情形5.平面连通图特殊情况（附图1：⑻）：设其顶点数V=n，其中1个顶点与另外n-1个顶点连接，边数E=n-1，面数F=0，则有V-E+F=1.上述问题中，与图中边（连线）的长短曲直和图形的形状没有关系.故把平面图形看作一张网，它的顶点数、边数和面（区域）数关系不会改变.综上所述，平面上任何连通图都具有性质V-E+F=1.这就是平面图形的欧拉公式.二、简单多面体的欧拉公式：V-E+F=2的证明.证法一：不妨任取一个简单多面体(如图1)，假设它的表面是橡皮膜制成的.把简单多面体（图1）的底面DEFG去掉,留下它的边,象一顶帽子.把这帽子想象成兜起来的一张网,然后把它拉伸铺平,得到一个平面封闭图形(图2).这样做,并没有改变多面体的顶点数和棱数,只是减少了一个面.由平面图形的欧拉公式(1)得到V-E+(F-1)=1,即V-E+F=2.反之亦然.证法二：设一个简单多面体的F个面分别为n1、n2、…、nF边形，则所有面角总和为：A=∑α=（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=2Eπ-2Fπ…(1)；再假定剪去简单多面体的一个面为n边形，其内角和为(n-2)π，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间.中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)π，边上的n个顶点处的内角和(n-2)π.所以，多面体所有各面的内角和为:A=∑α=(n-2)π+(n-2)π+(V-n)2π=(n-2)2π+(V-n)2π=(V-2)2π…(2).由(1)和(2)易得：V-E+F=2.欧拉公式这一创新成果的取得是和观念、方法的创新密不可分的.欧拉在观念上的创新是“多面体的表面是用橡胶薄膜制作的”；方法上的创新是得益于“向它们内部充气”和“将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平”。
图形与几何的知识点
图形与几何的知识点【图形与几何的知识点】在几何学中，图形与几何是研究空间关系和形状的一门学科。
图形是由点、线、面等要素组成的形状；而几何则是通过对图形进行研究，探索其性质和特征。
本文将介绍一些常见的图形和几何的知识点，包括直线、角、三角形、四边形、圆形以及柱体等。
一、直线直线是最简单的图形，由无数个点组成。
直线没有起点和终点，可以一直延伸下去。
直线有许多重要的属性，例如：垂直、平行和相交等概念。
两条直线相交时，交点的角通常被称为相交角。
二、角角是由两条线段或两条直线围成的图形。
角的大小通常用度数来度量。
例如，一个直角是指两条垂直于彼此的线段所围成的角，其度数为90°。
此外，角还可以分为锐角（小于90°）、钝角（大于90°）和平角（等于180°）。
三、三角形三角形是由三个线段所围成的图形。
三角形的内角和总是等于180°。
根据边的长度和角度大小，三角形可以进一步分类为等边三角形（三边相等）、等腰三角形（至少两边相等）和直角三角形（有一个直角）等。
四、四边形四边形是由四个线段所围成的图形。
根据边的长度和角度大小，四边形可以分为平行四边形、矩形、正方形和菱形等。
平行四边形的对边是平行的，而矩形的对边是相等的且垂直。
正方形是一种边长和角度都相等的特殊矩形，而菱形则是具有对角线互相垂直且长度相等的四边形。
五、圆形圆形是由一条曲线（称为圆周）和其内部空间组成的图形。
圆的特点是：圆心（曲线的中心点）和半径（从圆心到圆周的距离）相等。
圆形具有许多重要的性质，如直径（通过圆心的任意一条线段，且长度为两倍的半径）和弧长（两点间的圆周的长度）等。
六、柱体柱体是由两个平行的圆形和连接两个圆形的矩形侧面组成的立体图形。
柱体的体积可以通过将圆的面积乘以矩形的高来计算。
另外，柱体的侧面积是将两个圆的周长与矩形的高相乘后再加上两倍的圆的面积。
综上所述，图形与几何知识点涵盖了直线、角、三角形、四边形、圆形以及柱体等多个方面。
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几何要素
2005
2
要素
要素 – 构成零件几何特征的点、线、面 尺寸要素 – 由一定大小的线性尺寸或角度尺寸确定的几何形 状
3
组成要素（轮廓要素）
组成要素 – 面或面上的线
公称组成要素 – 由技术制图或其他方法确定的理论正确组成要素
实际(组成)要素 – 实际存在并将整个工件与周围介质分隔的要素
提取组成要素 – 按规定的方法，由实际(组成)要素提取有限目的点所
形成的实际组成要素的近似替代
拟合组成要素 – 按规定的方法由提取组成要素形成的并具有理想形状
的组成要素
4
导出要素（中心要素）
导出要素 – 由一个或几个组成要素（轮廓要素）得到的中
心点、中心线或中心面
公称导出要素 – 由一个或几个公称组成要素导出的中心点、
中心线或中心面
提取导出要素 – 由一个或几个提取组成要素导出的中心点、
中心线或中心面
拟合导出要素 – 由一个或几个拟合组成要素导出的中心点、
中心线或中心面
5
几何要素定义间的关系
图样 工件
工件 的 替代
公称的 （制图）
实际的
提取的 （有限点）
组成要素 （表面、轮廓）
公称组成要素
要素
导出
导出要素 （中心点、中心
线、中心面）
公称导出要素
实际组成要素 提取
提取组成要素
(导出)
提取导出要素
拟合
导出
拟合的 （理想形状）
拟合组成要素
导出
拟合导出要素
6
几何要素定义间的关系
7
圆柱面要素
8
圆锥面要素
9
平面要素