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正弦定理和余弦定理-高考理科数学试题

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高考数学 考点17 正弦定理和余弦定理

高考数学 考点17 正弦定理和余弦定理

考点17 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2012·湖南高考理科·Ｔ7）在△ABC 中，AB=2 AC=3 AB ·BC =1，则BC=（ ）【解题指南】利用向量的数量积计算公式，和余弦定理组成方程组解出BC 的值。

【解析】选A.由1?u u u r u u u r,AB BC()1212p -==-uuu ruuu r cos ,cos .BC B B BC由余弦定理即2222=+-?cos .AC AB BC AB BC B 2944=+-cos BC BC B 21542=+?uuu r ,BC BCBC 故选A.23=\=,BC BC2.（2012·湖南高考文科·Ｔ8）在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）A．B.C.D.【解题指南】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容.根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义，列出方程组，解出答案。

【解析】选B.设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，即27422cos60c c =+-⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c --=+即=0.又0, 3.c c >∴=设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h =.故选B. 3.（2012·广东高考文科·Ｔ6）在ABC 中，若A ∠=60°, ∠B=45°，AC=（ ）A ．【解题指南】已知两角一边解三角形，显然适合采用正弦定理，但在由正弦值求角时，要注意解的个数的判断。

【解析】选B.在ABC 中,由正弦定理知sin ,sin sin sin AC BC BC BAC B A A=∴===4.（2012·湖北高考文科·Ｔ8）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为（ ） A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4【解题指南】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,解答本题的关键是把边a,c 均用b 表示出来,再利用余弦定理把已知化简求值.【解析】选 D.由题意知： a=b+1,c=b-1, ∴3b=20a cos A =20(b+1)2222b c a bc +-= 20(b+1)222(1)(1)2(1)b b b b b +----,整理得：2727400b b --=，解之得：b=5,可知：a=6,c=4.结合正弦定理可知答案.二、填空题5.（2012·湖北高考理科·Ｔ11）设△ABC 的内角A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c.若（a+b-c ）（a+b+c ）=ab ，则角C=______________.【解题指南】本题考查余弦定理,把已知条件展开整理可得结果.【解析】 由（a+b-c ）（a+b+c ）=ab,可知222a b c ab +-=-.又2221cos 22a b c C ab +-==-,所以0120C =. 【答案】 0120.6.（2012·福建高考文科·Ｔ13）在△ABC 中，已知∠BAC=60°，∠ABC=45°，AC=_______ 【解题指南】本题知两角一对边，选用正弦定理求另一对边．【解析】选由正弦定理，sin sin AC BC B A =，即sin 2sin 2BC AC B A =⨯=⨯=7.（2012·安徽高考理科·Ｔ15）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ；则下列命题正确的是_____（写出所有正确命题的编号）①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>【解题指南】对于①②用余弦定理判断； ③用反证法； ④⑤举反例.【解析】①222221cos 2223a b c ab ab ab c C C ab ab π+-->⇒=>=⇒<②2222224()()12cos 2823a b c a b a b a b c C C ab ab π+-+-++>⇒=>≥⇒<③当2C π≥时，22232233c a b c a c b c a b ≥+⇒≥+>+与333a b c +=矛盾④取2,1a b c ===满足()2a b c ab +<得：2C π<⑤取2,1a b c ===满足22222()2a b c a b +<得：3C π<.【答案】①②③8.（2012·陕西高考文科·Ｔ13）在三角形ABC 中，角A,B,C 所对应的长分别为a ，b ，c ，若2a =，B=6π，b=【解题指南】已知两边及其夹角，用余弦定理可求第三边. 【解析】由余弦定理得：2222cos 412226b a c ac B π=+-=+-⨯⨯16124=-=，∴2b =.【答案】2.9.（2012·北京高考理科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=2，b+c=7,1cos 4B =-，则b=【解题指南】对角B 利用余弦定理列式求解. 【解析】7,7b c c b +=∴=-由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2214(7)22(7)()4b b b =+--⨯⨯-⨯-，解得4b =.【答案】4.10.（2012·北京高考文科·Ｔ11）在△ABC 中，若a=3，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【解题指南】利用正弦定理求出B ，再利用内角和定理求C.【解析】在ABC ∆中，由正弦定理得3sin3π=，1sin 2B =，,,6a b A B B π>∴>∴=，362C ππππ∴=--=.【答案】2π.三、解答题11.（2012·江苏高考·Ｔ15）（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值．【解题指南】（1）注意向量积公式的应用，和正弦定理的利用（边角转化）（2）先利用cos C =求出tan 2C =再利用两角和的正切公式构造与tan A 有关的方程.【解析】（1）由3AB AC BA BC =得||||cos 3||||cos AB AC A BA BC B = 即为cos 3cos cb A ca B =cos 3cos b A a B =由正弦定理得sin cos 3sin cos B A A B =两边同除cos cos A B 得tan 3tan B A = 即tan 3tan B A =成立.（2）因cos C =所以C 为锐角，所以tan 2C =由（1）tan 3tan B A =，且A B C π++= 得tan[()]3tan A C A π-+=即tan tan tan()3tan 3tan 1tan tan A CA C A AA C +-+=⇒-=-即tan 23tan 2tan 1A AA +=-所以tan 1A =或1tan 3A =-。

-正弦定理和余弦定理高考题

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考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1.（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ ）(A)-12 (B)12(C)-1 (D)1 【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上,再用同角三角函数的平方关系即可解决. 【精讲精析】选D.由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =所以222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．二、填空题2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.【思路点拨】设三角形一边的长为x ，可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积.【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x-4,x+4,那么所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 61021=⨯⨯⨯=∆ ABC S 【答案】1533.（2011·福建卷理科·Ｔ14）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______. 【思路点拨】结合图形，∆∠∠ABC 先在中，由余弦定理解出C 与B ，ABD ∆然后在中，由正弦定理解得AD.【精讲精析】在ABC ∆中，由余弦定理易得2223cos 22223AC BC AB C AC BC +-===⋅⋅⨯⨯30,30.C B ABD ∴∠=︒∴∠=︒∆在中，, 2.1sin sin 22AD AB AD AD B ADB =∴∴=∠由正弦定理得： 24.（2011·福建卷文科·Ｔ14）若△ABC 的面积为3，BC =2，C=︒60，则边AB 的长度等于_____________. 【思路点拨】3求得AC ，然后再用余弦定理求得AB . 【精讲精析】在ABC ∆中，由面积公式得11sin 2sin 6022S BC CA C AC =⋅⋅=⨯⋅⋅︒ 33,2,AC AC =再由余弦定理，得： 222221+2cos 2222242AB BC AC AC BC C -⋅⋅=+-⨯⨯⨯=＝，2AB ∴=. 【答案】25.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ16） 在ABC 中，60,3B AC ==2AB BC +的最大值为 .【思路点拨】利用三角函数知识，化简2AB BC +，统一角变量，然后求最大值. 【精讲精析】 令AB c =，BC a =，则由正弦定理得32,sin sin sin 3a c ACA C B====2sin ,2sin ,c C a A ∴==且120A C +=︒， 222sin 4sin AB BC c a C A ∴+=+=+2sin 4sin(120)C C =+︒-＝2sin C +314(sin )4sin 232C C C C +=+7+)C ϕ=(其中3tan )ϕ= ∴当90C ϕ+=︒时，2AB BC +取最大值为7.【答案】76.（2011·新课标全国文科·Ｔ15）△ABC 中，B=120°，AC=7，AB=5，则△ABC 的面积为________. 【思路点拨】用余弦定理求得边BC 的值，由1sin 2ABC S AB BC B ∆⨯⨯＝求得三角形的面积. 【精讲精析】设,,AB c BC a AC b ===，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得21492525()2a a =+-⨯⨯-，解得3a =，11sin 35sin12022ABC S ac B ∆∴==⨯⨯⨯︒153= 【答案】15347.（2011·北京高考理科·T9）在ABC ∆中，若5,,tan 24b B A π=∠==，则sin A = ；a = . 【思路点拨】先利用切化弦和平方关系联立解出sinA ，再由正弦定理求出a. 【精讲精析】22sin sin tan 2,cos ,sin ()1,22A A A A A =∴=∴+= 25(0,),sin 5A A π∈∴=又.252=，所以10a =252108.（2011·北京高考文科·T9）在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【思路点拨】利用正弦定理求出a . 【精讲精析】由正弦定理得，1232a =，所以523a =. 【答案】523三、解答题2.（2011·安徽高考文科·Ｔ16）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角 A ，B ，C 所对的边长，3，212cos()0B C ++=，求cosB.【思路点拨】化简12cos()0B C ++=，求出sinA,cosA,再由正弦定理算出sinB,cosC,从而得到sinC,则h=bsinC.【精讲精析】由12cos()0B C ++=和B+C=π-A,得,23sin ,21cos ,0cos 21===-A A A再由正弦定理得，.22sin sin ==a Ab B由b<a ，知B<A,所以B 不是最大角，2π<B ，从而22sin 1cos 2=-=B B . 由上述结果知).2123(22)sin(sin +=+=B A C 设边BC 上的高为h,则有.213sin +==C b h 10.（2011·辽宁高考文科·Ｔ17）已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，a Ab B A a 2cos sin sin 2=+．（1）求b a.（2）若c 2=b 23a 2，求B ． 【思路点拨】（1）依据正弦定理，先边化角，然后再角化边，即得．（2）先结合余弦定理和已知条件求出B cos 的表达式，再利用第（1）题的结论进行化简即得．【精讲精析】（1）由正弦定理得，A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，即A A AB sin 2)cos (sin sin 22=+．故A B sin 2sin =，所以2=ab（2）由余弦定理和2223a b c +=，得caB 2)31(cos +=． 由（1）知222a b =，故22)32(a c +=．可得=B 2cos 21，又0cos >B ，故=B cos 22，所以B 45=︒．11.（2011·山东高考理科·Ｔ17）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.【思路点拨】（Ⅰ）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （Ⅱ）使用余弦定理及第一问结论易知a 和c 的值，然后利用面积公式求解. 【精讲精析】（Ⅰ）在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得 cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=， 即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos -=-A B C B C B A B 则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin +=+A B A B C B C Bsin()2sin()A B C B +=+，而A B C π++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=. 另解：在ABC ∆中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得 cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c+-+-+-+--=-，整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==. （Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得 22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，S 21115sin 121cos 22ac B B ==⨯⨯-=，即15S =12.（2011·山东高考文科·Ｔ17）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b. （1）求sin sin CA的值. （2）若cos B =14，5b ABC 的周长为，求的长.【思路点拨】（1）本题可由正弦定理直接转化已知式子，然后再由和角公式及诱导公式易知sin sin CA=2. （2）由周长得出，a 和b 之间的关系b=5-3a ，再将b=5-3a 代入余弦定理求得a 和b. 【精讲精析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C = 所以cos A-2cosC 2c-a =cos B b =2sin sin sin C AB-, 即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-, 即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA=2. (2)由(1)知sin sin CA=2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ∆的周长为5,所以b=5-3a, 由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-， 即22221(53)(2)44a a a a -=+-⨯，解得a=1，a=5(舍去) 所以b=2.13.（2011·湖南高考理科·T17）和（2011·湖南高考文科·T17）相同 在中，ABC ∆角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，且满足csin A=acos C. （1）求角C 的大小. （2）求)4cos(sin 3π+-B A 的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小.【思路点拨】本题主要考查利用正弦定理消边，再考查三角恒等变形.突出考查边角的转化思想的使用.边角共存的关系中常考虑消去边或消去角，如果考虑消边，如果是边的一次函数常用正弦定理，如果是边的二次函数常用余弦定理，在考查余弦定理时兼顾考查凑配.如果考虑消角，那么是余弦就用余弦定理，而如果是正弦定理必须等次才能使用.【精讲精析】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知3.4B A π=-于是 3cos()3cos()43cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取得最大值2．3cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==14.（2011·陕西高考理科·T18） 叙述并证明余弦定理．【思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识的学习和巩固．【精讲精析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边和它们夹角的余弦之积的两倍.即在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，则有2222cos a b c bc A =+-， 2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.证法一 如图，22a BC =()()=--AC AB AC AB222AC AC AB AB =-•+222cos AC AC AB A AB =-•+222cos b bc A c =-+即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+- 证法二 已知ABC ∆中，角,,A B C 所对边 分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在 直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，即2222cos a b c bc A =+- 同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.15.（2011·天津高考文科·Ｔ16）在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,23.B C b a（Ⅰ）求cos A 的值. （Ⅱ）cos(2)4+A π的值.【思路点拨】（Ⅰ）根据余弦定理求解.（Ⅱ）利用三角函数的两角和、倍角公式化简计算. 【精讲精析】（Ⅰ）由3,23,2BC b a c ba 可得所以22222233144cos .23332+-+-===⨯⨯a a a b c a A bc a a（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3=∈A A π，所以222sin 1cos 3A A2742cos 22cos 1.sin 22sin cos .99A A A A A 故所以 72422872cos 2cos 2cos sin 2sin 444929218+⎛⎫⎛⎫+=-=-⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A πππ16.（2011·浙江高考理科·Ｔ18）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a,b,c. 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. (1)当5,14p b ==时，求,a c 的值. (2)若角B 为锐角，求p 的取值范围.【思路点拨】（1)把题目中的条件用正弦定理化为边的关系,可联立方程组解出a,c 的值.（２）角B 为锐角的充要条件为0cos 1B <<，从而得出p 的取值范围．本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力. 【精讲精析】由题意得a c pb +=,214ac b =(1) 当5,14p b ==时，54a c +=,14ac =解得114114=⎧⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩a c a c 或; (2)()2222222222222cos 23(0,1)222b p b b ac ac b a c b B p b ac ac--+--+-====-∈ ∴2322p <<,又由a c pb +=可得0,p >所以622<<p 关闭Word 文档返回原板块。

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案一、选择题1. 已知△ABC中,a＝c＝2,A＝30°,则b＝A. 错误!B. 2错误!C. 3错误!D. 错误!＋1答案：B解析：∵a＝c＝2,∴A＝C＝30°,∴B＝120°.由余弦定理可得b＝2错误!.2. △ABC中,a＝错误!,b＝错误!,sin B＝错误!,则符合条件的三角形有A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个答案：B解析：∵a sin B＝错误!,∴a sin B<b＝错误!<a＝错误!,∴符合条件的三角形有2个．3．2010·天津卷在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若a2－b2＝错误! bc,sin C＝2错误!sin B,则A＝A．30° B．60°C．120° D．150°答案：A解析：利用正弦定理,sin C＝2错误!sin B可化为c＝2错误!b.又∵a2－b2＝错误!bc,∴a2－b2＝错误!b×2错误!b＝6b2,即a2＝7b2,a＝错误!b.在△ABC中,cos A＝错误!＝错误!＝错误!,∴A＝30°.4．2010·湖南卷在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若∠C＝120°,c＝错误!a,则A．a>b B．a<bC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定答案：A解析：由正弦定理,得错误!＝错误!,∴sin A＝错误!＝错误!>错误!.∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为A. 错误!B. 错误!C. 错误!D. 错误!答案：D解析：方法一：设三角形的底边长为a,则周长为5a,∴腰长为2a,由余弦定理知cosα＝错误!＝错误!.方法二：如图,过点A作AD⊥BC于点D,则AC＝2a,CD＝错误!,∴sin错误!＝错误!,∴cosα＝1－2sin2错误!＝1－2×错误!＝错误!.6. 2010·泉州模拟△ABC中,AB＝错误!,AC＝1,∠B＝30°,则△ABC的面积等于A. 错误!B. 错误!C. 错误!或错误!D. 错误!或错误!答案：D解析：∵错误!＝错误!,∴sin C＝错误!·sin30°＝错误!.∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时,A＝90°,S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!,当C＝120°时,A＝30°,S△ABC＝错误!×1×错误!sin30°＝错误!.即△ABC的面积为错误!或错误!.二、填空题7．在△ABC中,若b＝1,c＝错误!,∠C＝错误!,则a＝________.答案：1解析：由正弦定理错误!＝错误!,即错误!＝错误!,sin B＝错误!.又b<c,∴B＝错误!,∴A＝错误!.∴a＝1.8．2010·山东卷在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a＝错误!,b ＝2,sin B＋cos B＝错误!,则角A的大小为________．答案：错误!解析：∵sin B＋cos B＝错误!,∴sin B＋错误!＝1.又0<B<π,∴B＝错误!.由正弦定理,知错误!＝错误!,∴sin A＝错误!.又a<b,∴A<B,∴A＝错误!.9. 2010·课标全国卷在△ABC中,D为边BC上一点,BD＝错误!DC,∠ADB＝120°,AD＝2.若△ADC的面积为3－错误!,则∠BAC＝________.答案：60°解析：S△ADC＝错误!×2×DC×错误!＝3－错误!,解得DC＝2错误!－1,∴BD＝错误!－1,BC＝3错误!－1．在△ABD中,AB2＝4＋错误!－12－2×2×错误!－1×cos120°＝6,∴AB＝错误!.在△ACD中,AC2＝4＋2错误!－12－2×2×2错误!－1×cos60°＝24－12错误!,∴AC＝错误!错误!－1,则cos∠BAC＝错误!＝错误!＝错误!,∴∠BAC＝60°.三、解答题10. 如图,△OAB是等边三角形,∠AOC＝45°,OC＝错误!,A、B、C三点共线．1求sin∠BOC的值；2求线段BC的长．解：1∵△AOB是等边三角形,∠AOC＝45°,∴∠BOC＝45°＋60°,∴sin∠BOC＝sin45°＋60°＝sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝错误!.2在△OBC中,错误!＝错误!,∴BC＝sin∠BOC×错误!＝错误!×错误!＝1＋错误!.11. 2010·全国Ⅱ卷△ABC中,D为边BC上的一点,BD＝33,sin B＝错误!,cos ∠ADC＝错误!,求AD.解：由cos∠ADC＝错误!>0知B<错误!,由已知得cos B＝错误!,sin∠ADC＝错误!,从而sin∠BAD＝sin∠ADC－B＝sin∠ADC cos B－cos∠ADC sin B＝错误!×错误!－错误!×错误!＝错误!.由正弦定理得错误!＝错误!,AD＝错误!＝错误!＝25.12. 2010·安徽卷设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对边长,并且sin2A＝sin错误!sin错误!＋sin2B.1求角A的值；2若错误!·错误!＝12,a＝2错误!,求b,c其中b<c．解：1因为sin2A＝错误!错误!＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!,所以sin A＝±错误!.又A为锐角,所以A＝错误!.2由错误!·错误!＝12,可得cb cos A＝12.①由1知A＝错误!,所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cb cos A,将a＝2错误!及①代入,得c2＋b2＝52,③③＋②×2,得c＋b2＝100,所以c＋b＝10.因此c,b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的两个根．解此方程并由c>b知c＝6,b＝4.。

2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第4章-4.8-正弦定理、余弦定理

2023年高考数学一轮复习(全国版理)-第4章-4.8-正弦定理、余弦定理

§4.8正弦定理、余弦定理考试要求1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．知识梳理1．正弦定理与余弦定理定理正弦定理余弦定理内容a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sinA ＋B 2＝cos C2；cos A ＋B 2＝sin C 2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(×)(2)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B .(√)(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(×)(4)当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形．(×)教材改编题1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 等于()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案C解析因为在△ABC 中，设AB ＝c ＝5，AC ＝b ＝3，BC ＝a ＝7，所以由余弦定理得cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC 为△ABC 的内角，所以∠BAC ＝2π3.2．在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝.答案45°解析由正弦定理知a sin A ＝b sin B，则sin B ＝b sin Aa＝42×3243＝22.又a >b ，则A >B ，所以B 为锐角，故B ＝45°.3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝60°，则c ＝，△ABC 的面积＝.答案7332解析易知c ＝4＋9－2×2×3×12＝7，△ABC 的面积等于12×2×3×32＝332题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2＝ac ，点D 在边AC 上，BD ·sin ∠ABC ＝a sin C .(1)证明：BD ＝b;[切入点：角转化为边](2)若AD ＝2DC ，求cos ∠ABC .[关键点：∠BDA 和∠BDC 互补]高考改编在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C .(1)求A ；(2)设D 是线段BC 的中点，若c ＝2，AD ＝13，求a .解(1)根据正弦定理，由b sin C ＋a sin A ＝b sin B ＋c sin C ，可得bc ＋a 2＝b 2＋c 2，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，由余弦定理可得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝12，因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)因为D 是线段BC 的中点，c ＝2，AD ＝13，所以∠ADB ＋∠ADC ＝π，则cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，所以AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＋AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝0，即13＋a 24－22213·a 2＋13＋a 24－b2213·a 2＝0，整理得a 2＝2b 2－44，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋4－2b ，所以b 2＋4－2b ＝2b 2－44，解得b ＝6或b ＝－8(舍)，因此a 2＝2b 2－44＝28，所以a ＝27.思维升华解三角形问题的技巧(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．跟踪训练1(2021·北京)已知在△ABC 中，c ＝2b cos B ，C ＝2π3.(1)求B 的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC 存在且唯一确定，并求出BC 边上的中线的长度．①c ＝2b ；②周长为4＋23；③面积为S △ABC ＝334.解(1)∵c ＝2b cos B ，则由正弦定理可得sin C ＝2sin B cos B ，∴sin 2B ＝sin2π3＝32，∵C ＝2π3，∴B2B∴2B ＝π3，解得B ＝π6.(2)若选择①：由正弦定理结合(1)可得c b ＝sin C sin B ＝3212＝3，与c ＝2b 矛盾，故这样的△ABC 不存在；若选择②：由(1)可得A ＝π6，设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得a ＝b ＝2R sin π6＝R ，c ＝2R sin2π3＝3R ，则周长为a ＋b ＋c ＝2R ＋3R ＝4＋23，解得R ＝2，则a ＝2，c ＝23，由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为(23)2＋12－2×23×1×cos π6＝7；若选择③：由(1)可得A ＝π6，即a ＝b ，则S △ABC ＝12ab sin C ＝12a 2×32＝334，解得a ＝3，则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为＝3＋34＋3×32＝212.题型二正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1三角形形状判断例2在△ABC 中，c －a 2c＝sin 2B2(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为()A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案A解析由cos B ＝1－2sin 2B2，得sin 2B 2＝1－cos B 2，所以c －a 2c ＝1－cos B 2，即cos B ＝a c .方法一由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac＝ac ，即a 2＋c 2－b 2＝2a 2，所以a 2＋b 2＝c 2.所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．方法二由正弦定理得cos B ＝sin A sin C，又sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即sin B cos C ＝0，又sin B ≠0，所以cos C ＝0，又角C 为三角形的内角，所以C ＝π2，所以△ABC 为直角三角形，无法判断两直角边是否相等．延伸探究将“c －a 2c＝sin 2B 2”改为“sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ”，试判断△ABC 的形状．解因为sin A sin B ＝ac ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．思维升华判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．命题点2三角形的面积例3(2022·沧州模拟)在①sin A ，sin C ，sin B 成等差数列；②a ∶b ∶c ＝4∶3∶2；③b cos A＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，c ＝1，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解因为a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.选择①：因为sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，所以sin A ＋sin B ＝2sin C ，即a ＋b ＝2c ＝2，由a 2＋b 2－c 2＝a 2＋b 2－1＝ab ，得(a ＋b )2－3ab ＝1，所以ab ＝1，故存在满足题意的△ABC ，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×sin π3＝34.选择②：因为a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，所以A >B >C ＝π3，这与A ＋B ＋C ＝π矛盾，所以△ABC 不存在．选择③：因为b cos A ＝1，所以b ·b 2＋1－a 22b ＝1，得b 2＝1＋a 2＝c 2＋a 2，所以B ＝π2，此时△ABC 存在．又C ＝π3，所以A ＝π6，所以a ＝1×tan π6＝33，所以S △ABC ＝12ac ＝36.思维升华三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．命题点3与平面几何有关的问题例4如图，在平面四边形ABCD 中，已知A ＝π2，B ＝2π3，AB ＝6.在AB 边上取点E ，使得BE ＝1，连接EC ，ED .若∠CED ＝2π3，EC ＝7.(1)求sin ∠BCE 的值；(2)求CD 的长．解(1)在△BEC 中，由正弦定理，知BE sin ∠BCE ＝CEsin B.∵B ＝2π3，BE ＝1，CE ＝7，∴sin ∠BCE ＝BE ·sin B CE ＝327＝2114.(2)∵∠CED ＝B ＝2π3，∴∠DEA＝∠BCE，∴cos∠DEA＝1－sin2∠DEA＝1－sin2∠BCE＝1－328＝5714.∵A＝π2，∴△AED为直角三角形，又AE＝5，∴ED＝AEcos∠DEA＝55714＝27.在△CED中，CD2＝CE2＋DE2－2CE·DE·cos∠CED＝7＋28－2×7×2749.∴CD＝7.思维升华平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．跟踪训练2(1)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案D解析因为c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，所以cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B＝sin A，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC 为等腰或直角三角形．(2)(2022·郑州模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝9，cos B ＝23，点D 在BC 边上，AD ＝7，∠ADB为锐角．①求BD ；②若∠BAD ＝∠DAC ，求sin C 的值及CD 的长．解①在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ＝AD 2，整理得BD 2－12BD ＋32＝0，所以BD ＝8或BD ＝4.当BD ＝4时，cos ∠ADB ＝16＋49－812×4×7＝－27，则∠ADB >π2，不符合题意，舍去；当BD ＝8时，cos ∠ADB ＝64＋49－812×8×7＝27，则∠ADB <π2，符合题意，所以BD ＝8.②在△ABD 中，cos ∠BAD ＝AB 2＋AD 2－BD 22AB ·AD ＝92＋72－822×9×7＝1121，所以sin ∠BAD ＝8521，又sin ∠ADB ＝357，所以sin C ＝sin(∠ADB －∠CAD )＝sin(∠ADB －∠BAD )＝sin ∠ADB cos ∠BAD －cos ∠ADB sin ∠BAD ＝357×1121－27×8521＝175147，在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ADsin C，即CD ＝AD sin C ·sin ∠CAD ＝7175147×8521＝39217.课时精练1．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C 等于()A.π2 B.π3C.π4 D.π6答案C 解析根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2022·北京西城区模拟)在△ABC 中，C ＝60°，a ＋2b ＝8，sin A ＝6sin B ，则c 等于()A.35B.31C ．6D ．5答案B 解析因为sin A ＝6sin B ，由正弦定理可得a ＝6b ，又a ＋2b ＝8，所以a ＝6，b ＝1，因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c 2＝62＋12－2×1×6×12，解得c ＝31.3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，cos 2A ＝－725，则△ABC 外接圆半径为()A ．5B ．3 C.52 D.32答案C解析因为cos 2A ＝－725，所以1－2sin 2A ＝－725，解得sin A ＝±45，因为A ∈(0，π)，所以sin A ＝45，又a ＝4，所以2R ＝a sin A ＝445＝5，所以R ＝52.4．(2022·河南九师联盟联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2b ，sin 2A－3sin 2B ＝12sin A sin C ，则角C 等于()A.π6 B.π3C.π2D.2π3答案B 解析∵sin 2A －3sin 2B ＝12sin A sin C ，由正弦定理可得a 2－3b 2＝12ac ，∵c ＝2b ，∴a 2－3b 2＝12a ·2b ＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2－3b 22ab＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.5．(2022·济南模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,2b sin A ＝5a cos B ，AB ＝2，AC ＝26，D 为BC 的中点，E 为AC 上的点，且BE 为∠ABC 的角平分线，下列结论正确的是()A ．cos ∠BAC ＝－66B ．S △ABC ＝35C ．BE ＝2D ．AD ＝25解析由正弦定理可知2sin B sin A ＝5sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴2sin B ＝5cos B .又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴sin B ＝53，cos B ＝23，在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝6.A 项，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝4＋24－362×2×26＝－66，故A 正确；B 项，S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×2×6×53＝25，故B 错误；C 项，由角平分线性质可知AE EC ＝AB BC ＝13，∴AE ＝62.BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE cos A＝4＋32－2×2×62×＝152，∴BE ＝302，故C 错误；D 项，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝4＋9－2×2×3×23＝5，∴AD ＝5，故D 错误．6．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是()A ．在△ABC 中，A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 必是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形解析对于A ，由A >B ，可得a >b ，利用正弦定理可得sin A >sin B ，正确；对于B ，在锐角△ABC 中，A ，B ∵A ＋B >π2，∴π2>A >π2－B >0，∴sin A cos B ，∴不等式sin A >cos B 恒成立，正确；对于C ，在△ABC 中，由a cos A ＝b cos B ，利用正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∵A ，B ∈(0，π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形，∴是假命题，错误；对于D ，由B ＝60°，b 2＝ac ，利用余弦定理可得b 2＝ac ＝a 2＋c 2－ac ，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故正确．7．(2022·许昌质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3.则△ABC 的面积为．答案1534解析由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∵b ＝3，a －c ＝2，A ＝2π3，∴(c ＋2)2＝32＋c 2－2×3c 解得c ＝5，则△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534.8．(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝.答案22解析由题意得S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝3，则ac ＝4，所以a 2＋c 2＝3ac ＝3×4＝12，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝12－2×4×12＝8，则b ＝22(负值舍去)．9．(2022·南平模拟)在①2c cos B ＝2a －b ，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．(如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且．(1)求角C 的大小；(2)若c ＝2且4sin A sin B ＝3，求△ABC 的面积．解(1)若选条件①2c cos B ＝2a －b ，则2c ·a 2＋c 2－b 22ac＝2a －b ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.若选条件②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，则34(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，即sin C ＝3cos C ，所以tan C ＝3，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.若选条件③cos 2A －cos 2C ＝sin 2B －sin A sin B ，则(1－sin 2A )－(1－sin 2C )＝sin 2B －sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝sin A sin B ，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为c ＝2，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2sin π3＝43，所以sin A ＝34a ，sin B ＝34b ，又因为4sin A sin B ＝3，所以ab ＝4，△ABC 的面积为12ab sin C ＝3.10．(2022·湘豫联盟联考)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝8，AD ＝7，点D 在BC 上，且cos∠ADC ＝17.(1)求BD ；(2)若cos ∠CAD ＝32，求△ABC 的面积．解(1)∵cos ∠ADB ＝cos(π－∠ADC )＝－cos ∠ADC ＝－17.在△ABD 中，由余弦定理得82＝BD 2＋72－2·BD ·7·cos ∠ADB ，解得BD ＝3或BD ＝－5(舍)．(2)由已知sin ∠ADC ＝437，sin ∠CAD ＝12，∴sin C ＝sin(∠ADC ＋∠CAD )＝437×32＋17×12＝1314.由正弦定理得CD ＝AD sin ∠CAD sin C ＝7×121314＝4913，∴BC ＝3＋4913＝8813，∴S △ABC ＝12×8×8813×32＝176313.11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且4S＝(a ＋b )2－c 2，则sin ()A ．1B ．－22C.22D.32答案C解析因为S ＝12ab sin C ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，所以2S ＝ab sin C ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .又4S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以2ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab .因为ab ≠0，所以sin C ＝cos C ＋1.因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，所以(cos C ＋1)2＋cos 2C ＝1，解得cos C ＝－1(舍去)或cos C ＝0，所以sin C ＝1，则＝22(sin C ＋cos C )＝22.12．(2022·焦作模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，△ABC 的周长为15，且(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，则cos B 等于()A.1314 B.1114C.12D ．－12答案B解析因为(sin A ＋sin B )2＋cos 2C ＝1＋sin A sin B ，所以sin 2A ＋sin 2B ＋2sin A ·sin B ＋1－sin 2C＝1＋sin A·sin B，所以由正弦定理得a2＋b2－c2＝－ab，又a，b，c依次成等差数列，△ABC的周长为15，即a＋c＝2b，a＋b＋c＝15，2＋b2－c2＝－ab，＋c＝2b，＋b＋c＝15，＝3，＝5，＝7.cos B＝a2＋c2－b22ac＝32＋72－522×3×7＝1114.13．(2022·开封模拟)在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，∠B＝3π4，AB＝32，AD＝210，若AC＝35，则CD为．答案1或5解析因为在△ABC中，∠B＝3π4，AB＝32，AC＝35，由正弦定理可得ACsin B＝ABsin∠ACB，所以sin∠ACB＝AB·sin BAC＝32×2235＝55，又BC⊥CD，所以∠ACB与∠ACD互余，因此cos∠ACD＝sin∠ACB＝55，在△ACD中，AD＝210，AC＝35，由余弦定理可得cos∠ACD＝55＝AC2＋CD2－AD22AC·CD＝5＋CD265CD，所以CD2－6CD＋5＝0，解得CD＝1或CD＝5.14．(2022·安徽舒城中学模拟)托勒密(Ptolemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为．答案93解析在△ABD 中，设AB ＝a ，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos ∠BAD ＝3a 2，所以BD ＝3a ，由托勒密定理可得a (BC ＋CD )＝AC ·3a ，即BC ＋CD ＝3AC ，又∠ABD ＝∠ACD ＝30°，所以四边形ABCD 的面积S ＝12BC ·AC sin 30°＋12CD ·AC sin 30°＝14(BC ＋CD )·AC ＝34AC 2＝9 3.15．中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即S S 为三角形的面积，a ，b ，c 为三角形的三边)．现有△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，且△ABC 的面积S △ABC ＝63，则下列结论不正确的是()A ．△ABC 的周长为10＋27B ．△ABC 的三个内角满足A ＋B ＝2CC ．△ABC 的外接圆半径为2213D ．△ABC 的中线CD 的长为32答案D 解析A 项，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶7，所以由正弦定理可得a ∶b ∶c ＝2∶3∶7，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝7t (t >0)，因为S △ABC ＝63，所以63解得t ＝2，则a ＝4，b ＝6，c ＝27，故△ABC 的周长为10＋27，A 正确；B 项，因为cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋36－282×4×6＝12，所以C ＝π3，A ＋B ＝π－π3＝2π3＝2C ，故B 正确；C 项，因为C ＝π3，所以sin C ＝32，由正弦定理得2R ＝c sin C ＝2732＝4213，R ＝2213，C 正确；D 项，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋28－362×4×27＝714，在△BCD 中，BC ＝4，BD ＝7，由余弦定理得cos B ＝16＋7－CD 22×4×7＝714，解得CD ＝19，D 错误．16．(2021·新高考全国Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝a ＋1，c ＝a ＋2.(1)若2sin C ＝3sin A ，求△ABC 的面积；(2)是否存在正整数a ，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解(1)因为2sin C ＝3sin A ，则2c ＝2(a ＋2)＝3a ，则a ＝4，故b ＝5，c ＝6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝18，所以C 为锐角，则sin C ＝1－cos 2C ＝378，因此，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×5×378＝1574.(2)显然c >b >a ，若△ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＝a2－2a－32a(a＋1)<0，则0<a<3，由三角形三边关系可得a＋a＋1>a＋2，可得a>1，因为a∈N*，故a＝2.。

高考数学(理)一轮复习题库：4.6正余弦定理

高考数学(理)一轮复习题库：4.6正余弦定理

1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．【知识拓展】1．三角形内角和定理： 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .( √ )(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × ) (5)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( √ )(6)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )1．(2016·天津)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ，即13＝AC 2＋9－2AC ×3×cos 120°，化简得AC 2＋3AC －4＝0，解得AC ＝1或AC ＝－4(舍去)．故选A. 2．(教材改编)在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，a ＝10，则c 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6答案 C解析 由A ＋B ＋C ＝180°，知C ＝45°， 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即1032＝c 22，∴c ＝1063.3．在△ABC 中，若sin B ·sin C ＝cos 2A2，且sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 答案 D解析 sin B ·sin C ＝1＋cos A2，∴2sin B ·sin C ＝1＋cos A ＝1－cos(B ＋C )， ∴cos(B －C )＝1，∵B 、C 为三角形的内角，∴B ＝C ， 又sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ，∴b 2＋c 2＝a 2， 综上，△ABC 为等腰直角三角形．4．(2016·辽宁五校联考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝. 答案2π3解析 因为3sin A ＝5sin B ， 所以由正弦定理可得3a ＝5b . 因为b ＋c ＝2a ，所以c ＝2a －35a ＝75a .令a ＝5，b ＝3，c ＝7，则由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得49＝25＋9－2×3×5cos C ，解得cos C ＝－12，所以C ＝2π3.5．(2016·济南模拟)在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为．答案 4 3解析 ∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C＝12×32×23×223＝4 3.题型一 利用正弦定理、余弦定理解三角形例1 (1)(2015·广东)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝.答案 1解析 因为sin B ＝12且B ∈(0，π)，所以B ＝π6或B ＝5π6.又C ＝π6，B ＋C <π，所以B ＝π6，A ＝π－B －C ＝2π3.又a ＝3，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin2π3＝b 12，解得b ＝1.(2)(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos B b ＝sin Cc .①证明：sin A sin B ＝sin C ； ②若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .①证明 根据正弦定理，可设 a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ， 代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C，变形可得 sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ．所以sin A sin B ＝sin C . ②解 由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)知，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B .故tan B ＝sin B cos B＝4.思维升华 应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式a ＝b sin A sin B ，b ＝a sin B sin A ，c ＝a sin Csin A 或其他相应变形公式求解．(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A ＝a sin B b ，sin B ＝b sin A a ，sin C ＝c sin Aa或其他相应变形公式求解．(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解．(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a 2＋b 2－c 2＝λab 形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理．(1)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A＝2a ，则ba 等于( )A ．2 3B ．2 2 C. 3D. 2(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝b ，且sin(A －C )＝2cos A sin C ，则b 等于( ) A ．6 B ．4 C ．2D ．1答案 (1)D (2)C 解析 (1)(边化角)由a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 及正弦定理，得 sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A ＝ 2.故选D.(2)(角化边)由题意，得sin A cos C －cos A sin C ＝2cos A sin C ， 即sin A cos C ＝3cos A sin C ， 由正弦、余弦定理，得 a ·a 2＋b 2－c 22ab ＝3c ·b 2＋c 2－a 22bc ，整理得2(a 2－c 2)＝b 2，① 又a 2－c 2＝b ，②联立①②得b ＝2，故选C. 题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B .当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932C.332 D ．3 3答案 C解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6， ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的简单应用 命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形 (2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定答案 (1)A (2)B解析 (1)由c b <cos A ，得sin Csin B <cos A ，所以sin C <sin B cos A ， 即sin(A ＋B )<sin B cos A ， 所以sin A cos B <0，因为在三角形中sin A >0，所以cos B <0， 即B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形． (2)由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， ∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1， 即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．引申探究1．例3(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos B sin A ， ∴sin(A －B )＝0，又A ，B 为△ABC 的内角． ∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．例3(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状． 解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何计算问题例4 (2015·课标全国Ⅱ)如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin Bsin C； (2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． 解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ， 所以AB ＝2AC .由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理，知AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 又由(1)知AB ＝2AC ，所以解得AC ＝1. 思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，若c －a cos B ＝(2a－b )cos A ，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形(2)(2015·课标全国Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是．答案 (1)D (2)(6－2，6＋2) 解析 (1)∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ， C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0， ∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)，∴△ABC 为等腰或直角三角形．(2)如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°， BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.二审结论会转换典例 (12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．(1)求cos A ―――――→根据余弦定理求三边a ，b ，c 的长或长度问题-a c →已有利用正弦定理将sin B ＝6sin C 化为b ＝6c(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6―→求cos 2A ，sin 2A ―→ 求sin A ，cos A ―――――→第(1)问已求出cos A 根据同角关系求sin A 规范解答解 (1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C及sin B ＝6sin C ， 可得b ＝6c ，[2分] 又由a －c ＝66b ，有a ＝2c ，[4分] 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.[7分] (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.[8分] 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，[9分] sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.[10分] 所以，cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A cos π6＋sin 2A sin π6＝⎝⎛⎭⎫－14×32＋154×12＝15－38.[12分]1．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，BC ＝2，那么A 等于( )A ．135°B ．105°C ．45°D ．75°答案 C解析 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，即2sin A ＝3sin 60°， 所以sin A ＝22，又由题知，BC <AB ，∴A ＝45°. 2．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b 等于( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．3答案 D解析 由余弦定理，得5＝b 2＋22－2×b ×2×23，解得b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去，故选D. 3．(2016·西安模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，且sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 D解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A ，在三角形中sin A ≠0，∴sin A ＝1，∴A ＝90°，由sin 2B ＝sin 2C ，知b ＝c ，综上可知△ABC 为等腰直角三角形．4．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝c sin C， ∴sin B ＝b sin C c ＝40×3220＝3>1. ∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，则B 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4答案 C解析 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 得c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ＝a c ＋b， 即a 2＋c 2－b 2＝ac ，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12， 故B ＝π3，故选C. 6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2B.3＋1 C ．23－2D.3－1 答案 B解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4. 由正弦定理b sin B ＝c sin C， 得c ＝b sin C sin B ＝2×2212＝22，A ＝π－(π6＋π4)＝712π， ∴sin A ＝sin(π4＋π3)＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 7．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝.答案 2113解析 在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为．答案 π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ， 结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，∴B ＝π3或2π3. 9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为． 答案 8解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315，∴bc ＝24， 又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝52－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64， ∴a ＝8.*10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝3b cos A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为．答案 12解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B， 可将a sin B ＝3b cos A 转化为sin A sin B ＝3sin B cos A .又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝ 3.∵0<A <π，∴A ＝π3. 由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－3(b ＋c 2)2， 则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 周长＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.11．(2015·湖南)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . (1)证明 由正弦定理知a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·sin A cos A，又∵A ∈(0，π)，∴sin A ＞0， ∴1＝sin B cos A，即sin B ＝cos A . (2)解 由sin C －sin A cos B ＝34知， sin(A ＋B )－sin A cos B ＝34，∴cos A sin B ＝34. 由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝34，由于B 是钝角， 故A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos A ＝32，A ＝π6. sin B ＝32，B ＝2π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝π6. 12．(2015·陕西)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．解 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0，由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A ＝3，由于0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)方法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，而由a ＝7，b ＝2，A ＝π3， 得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c ＞0，所以c ＝3，故△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝332. 方法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ， 从而sin B ＝217， 又由a ＞b ，知A ＞B ，所以cos B ＝277， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3 ＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝332. *13.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7. (1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32， 又0＜A ＜π，∴A ＝π6. 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2， 即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6， 则sin(5π6－C )＝1＋cos C ，化简得cos(C ＋π3)＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6. (2)由(1)知，a ＝b ，由余弦定理得AM 2＝b 2＋(a 2)2－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2， 故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.。

正弦定理和余弦定理 高考数学真题详细解析 高考数学真题复习

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4.6 正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝3，BC＝2，那么A等于( )．A．135° B．105° C．45° D．75°解析由正弦定理知BCsin A＝ABsin C，即2sin A＝3sin 60°，所以sin A＝22，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案 C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为( )．A．60° B．90° C．120° D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2ab cos C，∴cos C＝－12，∴C＝120°.答案 C3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )A．0 B．1C．2 D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B＝b sin Aa＝3λsin 45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案：A4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B 等于( )．A ．－12 B.12C ．－1D ．1 解析 根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ，∴sin A cosA ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1.答案 D5. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若2222a b c +=，则cos C 的最小值为（ ）B. 2C. 12D. 12- 解析 2122cos 2222222=+-≥-+=b a c c ab c b a C ，故选C. 答案 C6．在△ABC 中，sin 2 A ≤sin 2 B ＋sin 2 C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 解析 由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc ，而由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是可得b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12，注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 答案 C7．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )．A.43 B ．8－4 3 C ．1 D.23解析 依题意得⎩⎨⎧ a ＋b 2－c 2＝4a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案 A二、填空题8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，∴cos C ＝32，∴sin C ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ， ∴AD ＝2sin 45°×12＝ 2. 答案 2 9. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，角C ＝________.解析：根据正弦定理，asin A ＝csin C， 由3a ＝2c sin A ，得asin A ＝c32， ∴sin C ＝32，而角C 是锐角．∴角C ＝π3.答案：π310.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A ＞B ＞C ，3b=20acosA ，则sinA ∶sinB ∶sinC 为______．答案 6∶5∶411．若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值________．解析 (数形结合法)因为AB ＝2(定长)，可以令AB 所在的直线为x 轴，其中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，设C (x ，y )，由AC ＝2BC ， 得 x ＋2＋y 2＝ 2 x －2＋y 2，化简得(x －3)2＋y 2＝8，即C 在以(3,0)为圆心，22为半径的圆上运动，所以S △ABC ＝12·|AB |·|y C |＝|y C |≤22，故答案为2 2. 答案 2 212．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan C tan A＋tan C tan B的值是________． 解析 法一 取a ＝b ＝1，则cos C ＝13，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝43，∴c ＝233，在如图所示的等腰三角形ABC 中，可得tan A ＝tan B ＝2，又sin C ＝223，tan C ＝22，∴tan C tan A ＋tan C tan B＝4. 法二 由b a ＋a b ＝6cos C ，得a 2＋b 2ab ＝6·a 2＋b 2－c 22ab， 即a 2＋b 2＝32c 2，∴tan C tan A ＋tan C tan B ＝tan C ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝ sin 2C cos C sin A sin B ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案 4三、解答题13．叙述并证明余弦定理．解析 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 法一 如图(1)，图(1) a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .法二图(2)已知△ABC 中A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，如图(2)则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，∴a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π3，b ＝13，a ＋c ＝4，求a .解析：由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3 ＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac .又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3.联立⎩⎨⎧ a ＋c ＝4，ac ＝3，解得a ＝1或a ＝3.15.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且（1）求角B 的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA ，求a ，c 的值.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长． 解析 (1)由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B. 即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B＝1 4得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5.从而a＝1，因此b＝2.。

2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理

2024全国高考真题数学汇编：正弦定理与余弦定理

2024全国高考真题数学汇编正弦定理与余弦定理一、单选题1．（2024全国高考真题）在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（）A B C D 二、解答题2．（2024天津高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知92cos 5163a Bbc ===，．(1)求a ；(2)求sin A ；(3)求()cos 2B A -的值．3．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin C B =，222a b c +-=(1)求B ；(2)若ABC 的面积为3c ．4．（2024全国高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A A =．(1)求A ．(2)若2a =sin sin 2C c B =，求ABC 的周长．5．（2024北京高考真题）在ABC 中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．参考答案1．C【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac +=，由正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin 2A C +=.故选：C.2．(1)4(3)5764【分析】（1）2,3a t c t ==，利用余弦定理即可得到方程，解出即可；（2）法一：求出sin B ，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出cos A ，则得到sin A ；（3）法一：根据大边对大角确定A 为锐角，则得到cos A ，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可.【详解】（1）设2,3a t c t ==，0t >，则根据余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即229254922316t t t t =+-⨯⨯⨯，解得2t =（负舍）；则4,6a c ==.（2）法一：因为B 为三角形内角，所以sin 16B =，再根据正弦定理得sin sin a b A B =，即4sin A =sin 4A =，法二：由余弦定理得2222225643cos 22564b c a A bc +-+-===⨯⨯，因为()0,πA ∈，则sin 4A ==（3）法一：因为9cos 016B =>，且()0,πB ∈，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（2）法一知sin B =因为a b <，则A B <，所以3cos 4A ==，则3sin 22sin cos 24A A A ===2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭()9157cos 2cos cos 2sin sin 216816864B A B A B A -=+=⨯+⨯=.法二：3sin 22sin cos 24A A A ===，则2231cos 22cos 12148A A ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭，因为B 为三角形内角，所以sin 16B ===，所以()9157cos 2cos cos 2sin sin 216864B A B A B A -=+=⨯=3．(1)π3B =(2)【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C ，最后结合已知sin C B =得cos B 的值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.【详解】（1）由余弦定理有2222cos a b c ab C +-=，对比已知222a b c +-=，可得222cos 2a b c C ab +-===因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C =，又因为sin C B =，即1cos 2B =，注意到()0,πB ∈，所以π3B =.（2）由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =--=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而,a b ===，由三角形面积公式可知，ABC的面积可表示为21113sin 222228ABC S ab C c c ==⋅= ，由已知ABC的面积为32338c =所以c =4．(1)π6A =(2)2+【分析】（1）根据辅助角公式对条件sin 2A A =进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出B ，然后根据正弦定理算出,b c 即可得出周长.【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）由sin 2A A =可得1sin 122A A +=，即sin()1π3A +=，由于ππ4π(0,π)(,)333A A ∈⇒+，故ππ32A +=，解得π6A =方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）由sin 2A A =，又22sin cos 1A A +=，消去sin A得到：224cos 30(2cos 0A A A -+=⇔=，解得cos 2A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法三：利用极值点求解设()sin (0π)f x x x x =<<，则π()2sin (0π)3f x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，显然π6x =时，max ()2f x =，注意到π()sin 22sin(3f A A A A =+==+，max ()()f x f A =，在开区间(0,π)上取到最大值，于是x A =必定是极值点，即()0cos sin f A A A '==，即tan 3A =，又(0,π)A ∈，故π6A =方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）设(sin ,cos )a b A A ==，由题意，sin 2a b A A ⋅==，根据向量的数量积公式，cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅==，则2cos ,2cos ,1a b a b =⇔= ，此时,0a b =，即,a b 同向共线，根据向量共线条件，1cos sin tan 3A A A ⋅=⇔=，又(0,π)A ∈，故π6A =方法五：利用万能公式求解设tan 2A t =，根据万能公式，2222)sin 211t t A A t t-+==+++，整理可得，2222(2(20((2t t t -+==-，解得tan22A t ==22tan 13t A t ==-，又(0,π)A ∈，故π6A =（2）由题设条件和正弦定理sin sin 2sin 2sin sin cos C c B B C C B B =⇔=，又,(0,π)B C ∈，则sin sin 0B C ≠，进而cos B =π4B =，于是7ππ12C A B =--=，sin sin(π)sin()sin cos sin cos 4C A B A B A B B A =--=+=+=，由正弦定理可得，sin sin sin a b cA B C==，即2ππ7πsin sin sin 6412bc==，解得b c ==故ABC的周长为2+5．(1)2π3A =；(2)选择①无解；选择②和③△ABC【分析】（1）利用正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利用正弦定理得3B π=，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sin 14B =，再代入式子得3b =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin C ，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到5c =，再利用正弦定理得到sin 14C =，再利用两角和的正弦公式即可求出sin B ，最后利用三角形面积公式即可；【详解】（1）由题意得2sin cos cos B B B =，因为A 为钝角，则cos 0B ≠，则2sin 7B =，则7sin sin sin b a BA A ==，解得sin 2A =，因为A 为钝角，则2π3A =.（2）选择①7b =，则sin 7B ==2π3A =，则B 为锐角，则3B π=，此时πA B +=，不合题意，舍弃；选择②13cos 14B =，因为B为三角形内角，则sin B ，则代入2sin 7B =得2147⨯=，解得3b =，()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333C A B B B B⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭131142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭,则11sin 7322ABC S ab C ==⨯⨯选择③sin c A =2c ⨯=5c =，则由正弦定理得sin sin a c A C =5sin C，解得sin 14C =，因为C为三角形内角，则11cos 14C ==，则()2π2π2πsin sin sin sin cos cos sin 333B A C C C C ⎛⎫=+=+=+⎪⎝⎭111142⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，则11sin 7522ABC S ac B ==⨯⨯=△。

高考数学 专题3.3 正弦定理和余弦定理同步单元双基双测(A卷)理-人教版高三全册数学试题

高考数学 专题3.3 正弦定理和余弦定理同步单元双基双测(A卷)理-人教版高三全册数学试题

专题3.3 正弦定理和余弦定理（测试时间：120分钟满分：150分）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1. 已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222a b c bc =+-，4bc =，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12B ．1C ．3D ．2 【答案】C ． 【解析】试题分析：由222a b c bc =+-，可得 60=A ，则所求面积3sin 21==A bc S ，故选C ． 考点：余弦定理．2. 【2018全国名校联考】已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角所对的边，满足cos cos cos a b cA B C==，则ABC ∆的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形 【答案】C故选C3. 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知 45,3,2===A b a ，则角B 大小为A ．60 B ．120 C ．60或120 D ．15或75【来源】【百强校】2017届某某某某市高三9月摸底考试数学（文）试卷（带解析） 【答案】C 【解析】试题分析：由正弦定理可得:B sin 345sin 20=，由此可得23sin =B ，因a b >，故=B 60或 120，所以应选C .考点：1、正弦定理在解三角形中的应用.4.【2018某某永州一模】在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2sin sin sin B A C =+，3cos 5B =，且6ABC S ∆=，则b =（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C5. 某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为：（ ） A ．400米 B ．500米 C ．700米 D ．800米 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，在ABC 中，300AC =米，500BC =米，120ACB ∠=︒，则利用余弦定理得：2223005002300500cos120AB =+-⨯⨯⨯︒，所以700AB =米，答案为C.考点：1.数学模型的建立；2.三角形中的余弦定理.6.∆ABC 外接圆半径为R ，且2R （22sin sin A C -）=(3)sin a b B -，则角C=（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 【答案】A 【解析】试题分析：根据正弦定理变形：sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=，所以原式可转化为：()223a c a b b -=-，所以得：2223a c b ab -+=，根据余弦定理：2223cos 22a b c C ab +-==，又0180C <<，所以30C =。

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案

高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ­ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。

最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析

最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析

最新高考数学正弦定理和余弦定理经典试题解析1.(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cos C＝23，AC＝4，BC＝3，则cos B＝()A.19B．13C．12D．232. (2020·全国卷Ⅰ)如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB ＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝________.3.(2020·全国卷Ⅱ)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin B sin C.(1)求A；(2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值．4.(2020·天津高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝22，b ＝5，c ＝13.(1)求角C 的大小；(2)求sin A 的值；(3)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．5．(2020·北京高考)在△ABC 中，a ＋b ＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择(1)a 的值；(2)sin C 和△ABC 的面积．条件①：c ＝7，cos A ＝－17；条件②：cos A ＝18，cos B ＝916.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．参考答案1.答案 A解析 ∵在△ABC 中，cos C ＝23，AC ＝4，BC ＝3，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝42＋32－2×4×3×23＝9，∴AB ＝3，∴cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝9＋9－162×3×3＝19.故选A.2.答案 －14解析 ∵AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝1，由勾股定理得BC ＝AB 2＋AC 2＝2，同理得BD ＝6，∴BF ＝BD ＝ 6.在△ACE 中，AC ＝1，AE ＝AD ＝3，∠CAE＝30°，由余弦定理得CE 2＝AC 2＋AE 2－2AC ·AE cos30°＝1＋3－2×1×3×32＝1，∴CF ＝CE ＝1.在△BCF 中，BC ＝2，BF ＝6，CF ＝1，由余弦定理得cos ∠FCB ＝CF 2＋BC 2－BF 22CF ·BC ＝1＋4－62×1×2＝－14. 3.解 (1)∵sin 2A －sin 2B －sin 2C ＝sin B sin C ，由正弦定理可得BC 2－AC 2－AB 2＝AC ·AB ，∴AC 2＋AB 2－BC 2＝－AC ·AB ，∴cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝－12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)解法一：由(1)可得BC 2＝AC 2＋AB 2＋AC ·AB ＝9，即(AC ＋AB )2－AC ·AB ＝9.∵AC ·AB ≤⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22(当且仅当AC ＝AB 时取等号)， ∴9＝(AC ＋AB )2－AC ·AB≥(AC ＋AB )2－⎝⎛⎭⎪⎫AC ＋AB 22＝34(AC ＋AB )2， ∴AC ＋AB ≤23(当且仅当AC ＝AB ＝3时取等号)，∴△ABC 的周长L ＝AC ＋AB ＋BC ≤3＋23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.解法二：由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ＝BC sin A ＝3sin 2π3＝23，∴AB ＝23sin C ，AC ＝23sin B .∵A ＝2π3，∴C ＝π3－B .∴AB ＋AC ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋23sin B ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos B －12sin B ＋23sin B ＝3cos B ＋3sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3. 当B ＝π6时，AB ＋AC 取得最大值23，∴△ABC 周长的最大值为3＋2 3.4.解 (1)在△ABC 中，由a ＝22，b ＝5，c ＝13及余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝8＋25－132×22×5＝22， 又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π4.(2)在△ABC 中，由C ＝π4，a ＝22，c ＝13及正弦定理，可得sin A ＝a sin C c ＝22×2213＝21313. (3)由a ＜c 知角A 为锐角，由sin A ＝21313，可得cos A ＝1－sin 2A ＝31313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝2cos 2A －1＝513，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋513×22＝17226.5.解 选择条件①：(1)∵c ＝7，cos A ＝－17，a ＋b ＝11，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(11－a )2＋72－2(11－a )×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17，∴a ＝8.(2)∵cos A ＝－17，A ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝437.由正弦定理得a sin A ＝c sin C， ∴8437＝7sin C ，∴sin C ＝32. ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×8×(11－8)×32＝6 3. 选择条件②：(1)∵cos A ＝18，cos B ＝916，A ，B ∈(0，π)，∴sin A ＝1－cos 2A ＝378，sin B ＝1－cos 2B ＝5716.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即a 378＝11－a 5716，∴a ＝6. (2)sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝378×916＋5716×18＝74，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×6×(11－6)×74＝1574.。

余弦定理和正弦定理(一)-高考数学复习

余弦定理和正弦定理(一)-高考数学复习

＞0，所以 sin C ＜ sin B cos A ，即 sin （ A ＋ B ）＜ sin B cos A ，所
以 sin A cos B ＜0.因为 sin A ＞0，所以 cos B ＜0，即 B 为钝角，所以
△ ABC 为钝角三角形.
目录
高中总复习·数学
解题技法
判定三角形形状的两种常用途径
等或余弦定理变形公

2 ＋ 2 −2
cos A ＝
等求解.
2
目录
高中总复习·数学
1. 在△ ABC 中，已知 b ＝40， c ＝20， C ＝60°，则此三角形的解的情
况是（
）
A. 有一解
B. 有两解
C. 无解
D. 有解但解的个数不确定
解析：


由正弦定理得
＝
，∴
sin
sin
40×
余弦定理和正弦定理（一）
目录
C O N T E N T S
1
2
3
考点 分类突破
微专题 8
课时 跟踪检测
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
1
目录
高中总复习·数学
利用正、余弦定理解三角形
【例1】
（2023·天津高考16题节选）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 所
对的边分别是 a ， b ， c .已知 a ＝ 39 ， b ＝2， A ＝120°.
π
sin B ，即 A ＝ 或
2
A ＝ B ，故△ ABC 为直角三角形或等腰三角形.
目录
高中总复习·数学
2.
sin

在△ ABC 中，

2020年高考理科数学复习考点22正弦定理和余弦定理必刷题含解析

2020年高考理科数学复习考点22正弦定理和余弦定理必刷题含解析

2020高考理科数学考点专项训练（含解析）考点22 正弦定理和余弦定理1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，则b 的取值范围为（ ）A ．(0,4)B ．(2,C ．D ．4) 【答案】C 【解析】由锐角三角形ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,2a B A ==，∴ 022A π<<，3A B A +=,32A ππ∴<< 63A ππ∴<<，04A π<<cos 22A <<2,2a B A ==,由正弦定理得12cos 2b b A a ==，即4cos b A =4cos A ∴<<则b 的取值范围为,故选C.2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()22a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．2C D 【答案】D【解析】由()22a b c =+-，得2221sin 22ab C a b c ab =+-+，∵ 2222cos a b c ab C +-=，∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，cos 1C C -=即2sin 16C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∵ 0C π<<， ∴ 5666C πππ-<-<， ∴ 66C ππ-=，即3C π=，则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222+⨯=3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在ABC ∆中，1cos 3A =，2AB =，3BC =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．12x xD．【答案】C 【解析】由余弦定理可知2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅ 234150AC AC ⇒--=3AC ⇒=，因为1cos 3A =，所以sin A ==因此1sin 2ABC S AB AC A ∆=⋅⋅= C.4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为2a ，则22b cc b+的最大值是_____．【解析】因为BC 边上的高为2a，所以11sin 222a a bc A ⨯⨯=，即22sin a bc A =， 可得2222cos 2222bc b c a bc A c b bc bc+++==2sin 2ccossin cos 2bc A b A A A bc +==+=4A π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭故22b cc b+ 5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在ABC ∆中，已知AB 边上的中线1CM =，且1tan A ，1tan C ，1tan B成等差数列，则AB 的长为________.【解析】因为1tan A ，1tan C ，1tan B 成等差数列， 所以211tan tan tan C A B =+，即2cos cos cos sin()sin sin sin sin sin sin sin sin C A B A B CC A B A B A B+=+==， 所以2sin 2cos sin sin C C A B =，由正弦定理可得2cos 2c C ab=，又由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，所以222222a b c c ab ab+-=，故2222a b c +=， 又因为AB 边上的中线1CM =，所以1CM =，因为()12CM CA CB =+， 所以22222422cos CMCA CB CA CB CA CB CA CB C =++⋅=++，即22224232c b a ab c ab=++⋅=，解c =.即AB 的长为3. 6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在ABC ∆中，A ，B ，C 内角所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b =且cos cos 4sin sin c B b C a B C +=，则c 的最小值为_____． 【答案】12【解析】∵ccos cos 4sin sin B b C a B C +=，∴sin cos sin cos 4sin sin sin C B B C A B C +=， ∴sin()sin 4sin sin sin B C A A B C +==，∵sin 0A ≠，∴1sin sin 4B C =，∴1sin 4sin C B =，由正弦定理可得sin sin b c B C=，即2sin 28sin sin Cc C B =⨯=， 当sin 1B =时，min sin C =14.当1sin 4C =时，则c 的最小值为12．故答案为：12.7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设V ABC 的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若a =6b =，1cos 2B =-，那么角C 的大小为__________． 【答案】12π 【解析】1cos2B =-，∴B 为钝角，可得23B π=，sin B =．由正弦定理sin A =sin 2A =． A 为锐角，∴4A π=．∴24312C A B πππππ=--=--=． 8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边1c =时，ABC ∆周长的最大值为_______.1 【解析】依题意，C A B =+，结合三角形的内角和定理，所以2A B π+=，设ABC ∆的外接圆半径为R ，则12R =，于是2(sin sin )sin sin a b R A B A B +=+=+sin cos 4A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当4A π=时，a b +1.9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在ABC △中，3cos 5A =,a =5b =，则c =__________．【答案】7 【解析】由3cos ,55A a b ===，代入2222cos a b c bc A =+-，得233225255c c =+-⨯⨯⨯，即：2670c c --=解得7.(1c c ==- 舍去） 故答案为：7．10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在ABC ∆中，23BAC π∠=，已知BC 边上的中线3AD =，则ABC ∆面积的最大值为__________．【答案】【解析】在△ABC 中，23BAC π∠=，BC 边上的中线AD=3，1()2AD AB AC =+，设AB ＝c ，AC ＝b ， 平方可得 9＝()222211222cos 434c b AB AC c b cb π⎛⎫++⋅=++⋅ ⎪⎝⎭. 化简可得，22362c b bc bc bc bc +=≥-=-，∴bc≤36，当且仅当b c =时成立，故△ABC 的面积S ＝121sin 362322bc π⋅⨯⨯=…故答案为：11．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 成等比数列，则cos B 的最小值为_____. 【答案】12【解析】因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =22222cos 22a c b a c acB ac ac+-+-==， 由基本不等式可以得到2221222a c ac ac ac ac ac +--≥=，当且仅当a c =时等号成立，故cos B 的最小值为12. 12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且ccosA ＝4，asinC ＝5． （1）求边长c ；（2）著△ABC 的面积S ＝20．求△ABC 的周长．【答案】（1（2） 【解析】（1）∵由正弦定理可得：2sin sin sin a b cR A B C===，可得：asinC ＝csinA ， ∵asinC＝5，可得：csinA ＝5，可得：sinA ＝5c ，又∵ccosA＝4，可得：cosA ＝4c，∴可得：sin 2A+cos 2A ＝222516c c +＝1，∴解得c（2）∵△ABC 的面积S ＝12absinC ＝20，asinC ＝5，∴解得：b ＝8，∴由余弦定理可得：a 2＝b 2+c 2﹣2bccosA ＝64+418＝41，解得：a ，∴△ABC 的周长＝a+b+c ．13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a b c =+，且ABC ∆外接圆的半径为1，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）3A π=（Ⅱ）4【解析】 （Ⅰ）∵2sin cos cos 2c A a B b A π⎛⎫-=+⎪⎝⎭， ∴2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理得，()2sin cos sin cos sin cos sin sin C A A B B A A B C =+=+=， ∴2sin cos sin C A C =，又0C π<<，∴sin 0C ≠，∴1cos 2A =， 又0A π<<，∴3A π=.（Ⅱ）设ABC ∆外接圆的半径为R ，则1R =，2sin a R A ==，由余弦定理得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，∴3bc =，∴ABC ∆的面积11sin 322S bc A ==⨯=. 14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图ABC ∆中，D 为BC 的中点，AB =4AC =，3AD =.（1）求边BC 的长；（2）点E 在边AB 上，若CE 是BCA ∠的角平分线，求BCE ∆的面积. 【答案】（1）10；（2）607. 【解析】（1）因为D 在边BC 上，所以cos cos ADB ADC ∠=-∠，在ADB ∆和ADC ∆中由余弦定理，得222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⨯⨯，因为AB =4AC =，3AD =，BD DC =，所以229529160BD BD +-++-=，所以225BD =，5BD =. 所以边BC 的长为10.（2）由（1）知ADC ∆为直角三角形，所以14362ADC S ∆=⨯⨯=，212ABC ADC S S ∆∆==. 因为CE 是BCA ∠的角平分线，所以1sin 21sin 2ACE BCE AC CE ACE S S BC CE BCE ∆∆⨯⨯∠=⨯⨯∠42105AC BC ===. 所以25ABC BCE ACE BCE BCE S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+7125BCE S ∆==，所以607BCE S ∆=.即BCE ∆的面积为607.15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角ABC ∆中，AC =点D 在线段BC上，且CD =，ACD ∆的面积为，延长BA 至E ，使得EC BC ⊥.（Ⅰ）求AD 的值； （Ⅱ）若2sin 3BEC ∠=，求AE 的值. 【答案】（Ⅰ）；. 【解析】（Ⅰ）在ACD ∆中，1sin 2ACD S AC CD ACD ∆=⋅∠1sin 2ACD =⨯∠=所以sin 5ACD ∠=. 因为090ACD ︒<∠<︒，所以1cos 5ACD ∠==. 由余弦定理得2222cos 56AD CD CA CD CA ACD =+-⋅⋅⋅∠=，得AD =（Ⅱ）因为EC BC ⊥，所以()1sin sin 90cos 5ACE ACD ACD ∠=︒-∠=∠=. 在AEC ∆中，由正弦定理得sin sin AE ACACE AEC=∠∠，即1253AE =，所以2AE =. 16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且=c，2sin B A =. （1）求cos B ；（2）若2a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）56（2）2【解析】（1）因为2sin B A =，所以2b =，即a =又因为=c ，所以2225cos 262a c b B ac +-===.（2）因为2a =，所以3c =. 因为5cos 6B =，在ABC∆中，(0,)B π∈，所以sin B =所以11sin 232262ABC S a c B ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=.17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c o s c o s 2c o s b C c B a A +=.（1）求A ；（2）若ABC ∆的周长为3，求a 的最小值. 【答案】（1）3A π=；（2）1.【解析】（1）由已知及正弦定理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A A +=， 即()sin 2sin cos B C A A +=， ∵()()sin sin sin B C A A π+=-=， ∴1cos 2A =. 又∵()0,A π∈，∴3A π=.（2）∵()2222221cos 222b c bc a b c a A bc bc+--+-===， 化简得()()223*bc b c a =+-， ∵3a b c ++=，∴()3a b c =-+， 代入()*式得()369bc b c =+-，∵22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()23694b c b c +-≤+，即()()28120b c b c +-++≥， 解得2b c +≤或6b c +≥（舍），当且仅当b c =时取“=”.∴()31a b c =-+≥，即a 的最小值为1，此时1b c ==，且ABC ∆为正三角形. 18．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长．【答案】（1）2；（2）2. 【解析】解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CD C CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD C CD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CAD AB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =32BC x ==. 19．（）在河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理ABC ∆中，AB C ，，的对边分别a b c ，，，60,cos 3A B ︒==. （Ⅰ）若D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，求DC BD 的值； （Ⅱ）若 ccos cos 2B b C +=，求ABC ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4；【解析】（Ⅰ）因为cos B =，∴sin B =()13sin sin sin cos cos sin 23236C A B A B A B +=+=+=⨯+⨯=， 由正弦定理得sin sin sin AD BD AD B BAD C ==∠，sin DC CAD∠， 因为AD 平分BAC ∠，所以sin4sinDC BBD C===.（Ⅱ）由cos cos2c B b C+=，即222222cos cos222a cb a b cc B b C c b aac ab+-+-+=⋅+⋅==，所以sin sina bA B=，∴sinsin3a BbA==故11sin2223ABCS ab C==⨯⨯=20．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知,,a b c分别为ABC△三个内角,,A B C所对的边，若向量(,cos)m b B=，(cos,2)n C c a=-，且m n⊥.（1）求角B；（2）若113||m=，且24ac=，求边,a c.【答案】（1）3Bπ=；（2）64ac=⎧⎨=⎩或46ac=⎧⎨=⎩.【解析】（1）m n⊥0m n∴⋅=，又向量(),cosm b B=，()cos,2n C c a=-，故()cos2cos0b Cc a B+-=由正弦定理2sin sin sina b cRA B C===得：sin cos cos sin2sin cos0B C B C A B+-= ()sin2sin cos0B C A B∴+-=又()()sin sin sinB C A Aπ+=-=sin2sin cos0A A B∴-=sin0A≠1cos2B∴=又()0,Bπ∈3Bπ∴=（2）由（1）知3B π= 1,2m b ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭ 22m b ∴=+= 2111344b ∴+=，即：228b =，解得：b =在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos b ac ac B =+-又3B π=，故2228a c ac =+-，即：()2283a c ac =+- 又24ac =，解得：64a c =⎧⎨=⎩或46a c =⎧⎨=⎩． 21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，若3cos 4A =，2B A =，3b =.（1）求a ；（2）已知点M 在边BC 上，且AM 平分BAC ∠，求ABM ∆的面积.【答案】(1) 2a = (2) 176ABM S ∆=【解析】（1）由0A π<<，3cos 4A =，得sin A =，所以3sin sin 22sin cos 24B A A A ====， 由正弦定理sin sin a b A B=，可得sin 2sin b A a B ==. （2）2231cos cos22cos 12148B A A ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22100c c --=，解得52c =或2c =-（舍去）.1sin 2ABC S bc A ∆== 因为||||365||||52ACM ABM S CM AC S BM AB ∆∆====，所以55111116176ABM ABC S S ∆∆==⨯=. 22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对应边，点D 为边BC 的中点，ABC ∆的面积为22sin AD B. （I ）求sin sin BAD BDA ∠⋅∠的值；（II ）若2BD AB =，AD =b . 【答案】（I ）12；（II）b = 【解析】（I ）由ABC ∆的面积为22sin AD B 且D 为BC 的中点可知：ABD ∆的面积为24sin AD B， 由三角形的面积公式可知21sin 24sin AD AB BD B B⋅⋅=， 由正弦定理可得2sin sin 1BAD BDA ∠⋅∠=，所以1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=. （II ）因为2BD AB =，所以在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD BDA=∠∠， 所以sin 2sin BAD BDA ∠=∠，由（1）可知1sin sin 2BAD BDA ∠⋅∠=， 所以sin 1BAD ∠=，1sin 2BDA ∠=，∵(0,)BAD π∠∈，∴2BAD π∠=， 在直角ABD ∆中，AD =1sin 2BDA ∠=所以2BD =，1AB =. ∵2BC BD =，4BC =，在ABC ∆中用余弦定理，可得2222cos b a c ac B =+-1116214132=+-⨯⨯⨯=b =23．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在ABC 中，45A ∠=，2AB =（1）若BC =求ACB ∠；（2）若ABC?的面积为1，求BC .【答案】（1）6ACB π∠=；（2. 【解析】（12sin ACB=∠， 所以1sin 2ACB ∠=. 566ACB ππ∠=或. 由AB BC <大边对大角，所以6ACB π∠=．（2）1sin 12ABC S bc A ∆==，容易得出b =在ABC △中，由余弦定理得 2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠422222=+-⨯=所以BC =24．（山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos cos cos 1sin sin A C B A C +-=-（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）222222cos cos cos 1sin 1sin 1sin 1sin sin A C B A C B A C +-=-+--+=- 222sin sin sin sin sin B A C A C ∴=+-由正弦定理可得：222b a c ac =+- 由余弦定理可得：2221cos 22a cb B ac +-==()0,B π∈ 3B π∴=（2）由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，即：224a c ac =+-222a c ac +≥ 42ac ac ∴+≥4ac ∴≤（当且仅当a c =时取等号）∴11sin 422ABC S ac B ∆=≤⨯=ABC ∆． 25．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，，若cos sin a b C c B =+（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2b = ，求ABC ∆面积的最大值。

2022年高考数学(理)必刷题考点22 正弦定理和余弦定理(解析版)

2022年高考数学(理)必刷题考点22 正弦定理和余弦定理(解析版)

考点22 正弦定理和余弦定理1．在△ABC中，三个内角A，B，C满足sin2A＋sin2B－sin2C＝sin Asin B，则角C的大小为( ) A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】A2．已知的内角所对的边分别是，，则“”是“有两解”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，，，当有两解时，则，解得“”是“有两解”的必要不充分条件故选.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，c=，则∠C=( )A．B．C．或D．【答案】B4．在中，内角所对边的长分别为，且满足，若，则的最大值为（）A．B．3 C．D．9【答案】A【解析】，则，所以，,.又有，将式子化简得，则，所以.选.5．如图，将直角三角板和直角三角板拼在一起，其中直角三角板的斜边与直角三角板的角所对的直角边重合.若，则（）A．B．C．D．【答案】B由①②可得x=1+，y=，故答案选B.6．在中，, 所对边分别为,已知，，且．（1）求的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）.7．如图所示，在中，D是BC边上一点，，．(1)求；(2)求AC的长．【答案】（1）;（2）8．已知一块半径为的残缺的半圆形材料，O为半圆的圆心，，残缺部分位于过点的竖直线的右侧．现要在这块材料上截出一个直角三角形，有两种设计方案：如图甲，以为斜边；如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上．要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值．【答案】选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为9．中，分别是内角所对的边，且满足．（1）求角的值；（2）若，边上的中线，求的面积．【答案】⑴；⑵10．在中，内角、、的对边分别为、、，已知.(1)求角；(2)若,求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵△ABC中，b﹣acosC=，∴由正弦定理知，sinB﹣sinAcosC=sinC，∵A+B+C=π，∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC﹣sinAcosC=sinC，∴cosAsinC=sinC，∴cosA=，∴A=．（2）由（1）及得，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为.11．中，内角的对边分别为，的面积为，若（1）求角；（2）若，，求角．【答案】(1) ;(2) 或12．在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．【答案】(1)(2)13．在中，角，，的对边分别为.已知，.求角；若，求的面积．【答案】（1）（2）214．在中，角的对边分别为且.(1)求;(2)若，求的面积.【答案】(1)；(2).15．如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且AB＝14，BD＝6，，.（1）求；（2）求AD的长和△ABC的面积.【答案】（1）=；（2），=。

正弦定理与余弦定理各地高考练习题

正弦定理与余弦定理各地高考练习题

一、选择题1.已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC 的值为1_ 1 2 2A.- 4B. 4C.- 3D. _>2.在△ ABC中，a=入b=，隹入,A=45° ,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在△ ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1（x>1）,则最大角为A.150 °B.120°C.60°D.75°5.在4ABC中，出=1 , BC=2,（须+切）・（项+加）=5+2、5则边|4C|等于A-5 …而杼苕+增A. B .5-2 C. D.6.在△ ABC中，已知B=30° ,b=50，》，c=150,那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ ABC 中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是 A.RtA B.锐角△ C.钝角△ D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60° ,C=45° ,贝U c=A.10+ 万B.10（Q-1）C.（而+1）D.10万10.在4ABC中，bsinAvav b,则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7 x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2 L~C.16D.412.在4ABC 中，a2=b2+c2+bc,则A 等于A.60 °B.45°C.120D.30°= 7c=-13.在△ ABC中， 2 4，则△ ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ ABC 中，a=2, A=30° ,C=45° ,则^ ABC 的面积S”BC等于18. 4ABC 中，sin 2A=sin 2B+sin 2C,则△ ABC 为19. 4ABC 中,A=60° ,b=1,这个三角形的面积为 』’3 ,则^AB C 外接圆的直径为15.已知三角形ABC 的三边A.cos 2BB.1-cos 2B16 .在△ ABC 中, A.充分不必要条件条件17 .在△ ABC 中, A.直角三角形C. + +11D ； ( +1)a 、b 、c 成等比数列，它们的对角分别是A 、B 、C,则 sinAsinC 等C.1+cos 2BD.1+sin 2BsinA > sinB 是 A > B 的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要bCosA=acosB,贝U 三角形为 B.锐角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形26^3A.yB. 2届岳C.二D.-20.在△ ABC 中, ——k:C ，则k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2(R 为△ ABC 外接圆半径)二、填空题1.在△ ABC 中, A=60° , C=45° , b=2,则此三角形的最小边长为2.在△ ABC 中, dbc口‘十/十白’3 .在△ ABC 中,a ： b ：c=(0+1):痴:2,则^ ABC 的最小角的度数为 4 .在△ ABC 中，已知 sinA : sinB : sinC=6 ： 5 ： 4,贝U secA=5 . 4ABC 中，匕1ns 2m 方，则三角形为6 .在△ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA>sinB,则△ ABC 是7 .在△ ABC 中，若此三角形有一解，则 a 、b 、A 满足的条件为8 .已知在△ ABC 中，a=10,b=5v6,A=45° JU B= 9 .已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121° 14'，此三角形解.10.在△ ABC 中,a=1,b=1,C=120° 贝U c=.11.在△ ABC 中，若a2>b2+c2,则△ ABC 为；若a2=b2+c2,则△ ABC 为;若a2 v b2+c2且b2v a2+c2且c2< a2+b2,则^ ABC 为.12.在△ ABC 中，sinA=2cosBsinC,则三角形为.sn C 2 yr 外—=—6 +1)13.在△ ABC 中，BC=3, AB=2,且41 8 5 , A=.14.在△ ABC 中，B= V3,C=3,B=30° ,贝(J A=.15.在△ ABC 中，a+b=12,A=60° , B=45° ,贝U a=,b=.16.若2,3,x为三边组成一个锐角三角形，则x的范围为.17.在△ ABC 中，化简bcosC+ccosB=.18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为.三、解答题1.已知在^ ABC 中，c=10, A=45° , C=30° ,求a、b 和B.2.已知△ ABC的三边长a=3, b=4, c= 437 ,求三角形的最大内角.3.已知在△ ABC中，/ A=45° , a=2, c=^ ,解此三角形.4.在四边形ABCD中，BC=a, DC=2a,四个角A、B、C、D度数的比为3 ： 7 ： 4 ： 10,求AB.5.在△ ABC中，A最大，C最小，且A=2C, A+C=2B,求此三角形三边之比.7.在△ ABC中，最大角A为最小角C的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值.8.如下图所示，半圆O的直径MN=2, OA=2, B为半圆上任意一点，以AB为一边作正三角形ABC,问B在什么位置时，四边形OACB面积最大？最大面积是多少？9.在△ ABC 中，若sinA : sinB : sinC=m : n ： l,且a+b+c=S,求a.10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1) acosA=bcosB值_ b _ 白oosA. 8s R oosC(2)11.△ABC中，a+b=10,而cosC是方程2x2—3x— 2=0的一个根，求^ ABC周长的最小值.12.在△ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A—C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b= J^,A=30°，求B、C 和c.14.在△ ABC中，c=242, tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知S AABC=10，》,一个角为60° ,这个角的两边之比为5 : 2,求三角形内切圆的半径.* ”------ - 二二口，且7cosm =bcosA16.已知△ ABC中，a-\-b-c，试判断^ ABC的形状.l7tanC=-217.已知△ ABC的面积为1, tanB=2 ，求4ABC的各边长.18.求值：an cos2 800+ j5an20o<xK80c19.已知△ ABC勺面积S=底口 = = 2解此三角形.20.在△ ABC 中，a="G,b=2,c=^^+1 ,求A、B、C 及&.21.已知(a2+bc) x2+2 V* * + 1=0是关于x的二次方程，其中a、b、c是4ABC的三边，⑴若/ A为钝角，试判断方程根的情况.(2)若方程有两相等实根，求/ A的度数.22.在4ABC 中，(a2+b2) sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断△ ABC 的形状.元23.在△ ABC中，u = 2J"，a>b,C= 4 ,且有tanA • tanB=6,试求a、b以及此三角形的面积.24.已知：k是整数，钝角△ ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c二+ A = 7/ < 3(1)若方程组国+D有实数解，求k的值.向-7^ ，, N T 2 (2)对于(1)中的k值，若“且有关系式- 上，试求A、B、C的度数.试题本一地区：四川文科卷年份：2012分值：5.0 难度：31. 如图，正方形&C0的边长为1 ,延长至1T ,使= l ,连接因.即snZ.<^D=()4.在△山C 中，角凡及U 对应的边分别是 值力£.已知他门乂-3期（8+0-1 . （I ）求角X 的大小；（n ）若 MBC 的面积& =5邛，匕=5 ,求sm £sinC 的值.地区：浙江理科卷 年份：2013 分值：4.0 难度：3血NBA 财'=—5. △ABC 中，IZC = 90。

(完整版)正弦定理、余弦定理综合训练题含答案

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正弦定理、余弦定理综合训练题1. ［2016全国卷I ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c.已知a = 5, c = 2, cos A = 2，则 b =() A. .2B. 3 C . 2D . 32 1［解析］D 由余弦定理得5= b 2 + 4-2 X b X 2X 3,解得b = 3或b =- 3(舍去)，故选D. n 1B = —, BC 边上的高等于§BC ，贝U sin A =( )D.S 10D ，设BC = 3,则有 AD = BD = 1 , AB = 2，由余弦定理 得AC = \ 5.由正弦定理得 “5= s^A , n sin Asin ’43. ［2013新课标全国卷I ］已知锐角厶 A + cos 2A = 0, a = 7, c = 6，贝U b =( A . 101［解析］D 由23cos2A + cos 2A = 0,得25cos2A = 1•因为△ABC 为锐角三角形，所以cos A =. 51 12在A ABC 中，根据余弦定理，得 49 = b 2 + 36- 12b •即卩b 2—厂b5 545 4. ________________ ［2016全国卷n ］ △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若cos A =5, cos C = ^, a = 1，贝U b= .4 53 12［解析］因为cos A = 5, cos C = 13，且A , C 为三角形的内角，所以sin A = 5, sin C =〔3, sin63 「, a b ~― asin B 21B = si n(A + C)= sin AcosC + cos As in C = 65.又因为 sin A = sin B ，所以 b = sin A =伯. 13—13 = 0,解得 b = 5 或 b =— 5 (舍去).5. ［2015 全国卷 I ］已知 a , b , c 分别是△ ABC 内角 A , B , C 的对边，sin 2B = 2sin Asin C. (1)若 a = b ,求 cos B;⑵若B = 90°，且a =〔 2, 求厶ABC 的面积. 解：(1)由题设及正弦定理可得b 2 = 2ac.又a = b ，所以可得b = 2c , a = 2c.2. ［2016全国卷川］在厶ABC 中, ［解析］D 作AD 丄BC 交BC 于点解得sin A =学=噜ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c , 23COS 2D . 5⑵由(1)知 b 2= 2ac.因为B = 90°，所以由勾股定理得a 2+ c 2= b 2. 故 a 2 + c 2= 2ac ,得 c = a = 2, 所以△ABC 的面积为1.6. [2015 全国卷n ] △ ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分/ BAC , BD = 2DC. sin / B (1)求跖/C ； ⑵若/ BAC = 60°，求/ B. 解：(1)由正弦定理得AD _ BD AD _ DC sin ZB sin /BAD’ sin ZC sin /CAD 因为AD 平分Z BAC , BD = 2DC ，所以 sin ZB DC 1 sinZC BD 2⑵因为/C = 180°—/BAC + /B),/BAC = 60°,所以、i'3 1sin ZC = sin( ZBAC +/B)= ? cos/B + in ZB.V 3由(1)知 2sinZB = sin/C ,所以 tanZB = 3，即/B = 30°7. [2014新课标全国卷n ]四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB = 1, BC = 3, CD 2.(1)求 C 和 BD ;⑵求四边形ABCD 的面积.解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2= BC 2+ CD 2— 2BC CDcos C =13 — 12cos C ,①BD 2= AB 2+ DA 2— 2AB DAcos A由余弦定理可得 cos B =a 2+ c 2— b2ac1 4.DA ==5 + 4cos C .②1 —由①②得 cos C = 2，故 C = 60°,BD =7.⑵四边形ABCD 的面积1 1S = ?AB DA si n A + ?BC CDsi n C1 1/ 1X 2 + 2 x 3X 2 sin 60°=2 38. ［2016 山东卷］△ ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c.已知 b = c , a 2= 2b 2(1 — sin A), 贝U A =(nCG'•b = c , a 2 = 2b 2( 1 — sin A),「.2b 2sin A = b 2+ c 2— a 2= 2bccos A = 2b 2cos A ,「.tanA=1，即 A = 4. 9.［2015广东卷］设厶ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c.若a = 2, c = 2.3, cos A =于且b<c ,则b =( ) A . 3B . 2 .2C . 2D. 3［解析］C 由余弦定理得 a 2= b 2 + c 2— 2bccos A ，所以22 = b 2+ (2\'勺)2— 2x b x 2屈，即卩 b 2— 6b + 8= 0，解得 b = 2 或 b = 4•因为 b<c,所以 b = 2. 10. ［2016上海卷］已知△ ABC 的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于32+ 52 — 72 1［解析］利用余弦定理可求得最大边 7所对角的余弦值为2x 3x 5 =—2，所以此角的正弦值为牙•设三角形外接圆的半径为R ,由正弦定理得2R=^|，所以R = 于.22冗 b11. ________________________________________________________ ［2016 北京卷］在厶 ABC 中，/ A =〒，a = ■. 3c ,则b = _______________________________ .3 c2 n b b［解析］由余弦定理 a 2= b 2+ c 2— 2bccos A 可得，3c 2= b 2+ c 2— 2bccos 3，整理得 2+ — 2= 0,3 c cnD.?［解析］C解得b= 1或c=—2（舍去）.12. [2016浙江卷]在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c.已知b + c = 2acos B. (1)证明：A = 2B ;2⑵若cos B = 3,求cos C 的值.解：⑴证明：由正弦定理得 sin B + sin C = 2sin Acos B ,故 2s in Acos B = sin B + sin (A + B)= sin B + sin Acos B + cos As in B ,于是 sin B = sin (A — B). 又 A , B € (0, n )，故 O V A — B Vn, 所以 B =n —(A — B)或 B = A — B , 因此A =%(舍去)或A = 2B ，所以A = 2B.=—cos(A + B) = — cos Acos B + sin A sin B =⑵由cos B =cos 2B = 2cos 2B — 1 = — 9,故 cos A =— 9, sin sin cos C。

高考数学 正弦定理和余弦定理 专题

高考数学 正弦定理和余弦定理 专题

高考数学 正弦定理和余弦定理 专题一、选择题1．在△ABC 中，若∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 的值为( )A.2633B.2393C.393D.1333解析：∵S △ABC ＝3，即12bc sin A ＝3，∴c ＝4.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝13，∴a＝13， ∴a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝2133＝2393.答案：B2．在△ABC 中，已知∠B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则∠A 等于( )A ．15°B ．75°C ．105°D ．75°或15°解析：根据正弦定理c sin C ＝b sin B ，sin C ＝c sin B b ＝22×22433＝32.∴C ＝60°或C ＝120°，因此A ＝75°或A ＝15°. 答案：D3．在△ABC 中，设命题p ：a sin B ＝b sin C ＝c sin A，命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p是命题q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若△ABC 是等边三角形，则a sin B ＝b sin C ＝c sin A ；若a sin B ＝b sin C ＝csin A ，又a sin A ＝b sin B ＝csin C，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝bc ，b 2＝ac ，c 2＝ab ，即a ＝b ＝c .∴p 是q 的充要条件． 答案：C4．若钝角三角形三内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是( )A．(1,2) B．(2，＋∞) C．＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝32cos C＋12sin C，∴3＋12sin C＝32cos C＋12sin C，即sin C＝cos C．又0°＜C＜180°，∴C＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.解法二：设最大边长为a，最小边长为c，则ac＝3＋12，由a2＋c2－b22ac＝12，则b2＝a2＋c2－ac.cos C＝a2＋b2－c22ab＝2a2－ac2a a2＋c2－ac＝2·a2c2－ac2·aca2c2－ac＋1＝22.又0°＜C＜180°，∴C＝45°，则A＝180°－(B＋C)＝75°.1．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，a＝23，tanA＋B2＋tanC2＝4,2sin B cos C＝sin A，求A，B及b，c.解答：由tanA＋B2＋tanC2＝4得cotC2＋tanC2＝4，∴cosC2sinC2＋sinC2cosC2＝4，∴1sinC2cosC2＝4.∴sin C＝12，又C∈(0，π)，∴C＝π6，或C＝5π6，由2sin B cos C＝sin A得2sin B cos C＝sin(B＋C)，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，B＝C＝π6，A＝π－(B＋C)＝2π3，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C得b＝c＝asin Bsin A＝23×1232＝2.2．如下图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β.(1)证明sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC＝3DC，求β的值．解答：(1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0.①(2)在△ADC中，DCsin α＝ACsin β，即sin β＝3sin α.②①代入②整理得：23sin2β－sin β－3＝0.解得sin β＝32，或sin β＝－33舍去，又β为锐角，则β＝60°.。

高考文数考点16 正弦定理和余弦定理

高考文数考点16 正弦定理和余弦定理

考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=,则AC= ( )A.5B.错误！未找到引用源。

C.2D.1【解题提示】利用三角形面积公式求得角B,然后结合条件,利用余弦定理,求得AC.【解析】选B.因为S △ABC =12acsinB=112·sinB=12,所以sinB=2,所以B=4π或34π.当B=4π时,经计算△ABC 为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.（2）所以B=34π,使用余弦定理,b 2=a 2+c 2-2accosB,解得b=故选B.二、填空题2. (2014·湖北高考文科·T13)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知A=π6,a=1,b=则B= .【解析】依题意,由正弦定理知1sin6π=得出sinB=由于0<B<π, 所以B=3π或23π.答案:3π或23π【误区警示】由于解题过程中无法判断B 是锐角还是钝角,所以由得到两个结果:B=3π或23π.本题的易错点是漏掉其中一个. 3.(2014·广东高考理科)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知bcosC+ccosB=2b,则ab= . 【解析】方法一:由正弦定理bcosC+ccosB=2b, 即sinBcosC+sinCcosB=2sinB,即sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB, 有sinA=2sinB,再由正弦定理得a=2b,ab=2.方法二:如图,作AD ⊥BC 于点D,则a=BC=BD+DC=ccosB+bcosC=2b,即ab=2. 答案:2【创新提示】熟用三角形射影定理cos cos ,cos cos ,cos cos a c B b C b a C c A c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩可迅速得解.4.（2014·福建高考文科·Ｔ14）14．在ABC ∆中，3,2,60==︒=BC AC A ,则AB 等于_________【解题指南】直接应用余弦定理求解。

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解

高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．(2010·聊城市、银川模拟)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，且sin 2A －sin 2C ＝(sin A －sin B )sin B ，则角C 等于( )A.π6B.π3C.5π6D.2π3 [答案] B[解析] 由正弦定理得a 2－c 2＝(a －b )·b ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3. 2．(文)(2010·泰安模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．45°或135°[答案] B[解析] ∵AC ·sin60°＝42×32＝26<42<43，故△ABC 只有一解，由正弦定理得，42sin B ＝43sin60°， ∴sin B ＝22，∵42<43，∴B <A ，∴B ＝45°. (理)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1B ．2 C.3－1D. 3[答案] B[解析] ∵b sin A ＝32<1<3，∴本题只有一解． ∵a ＝3，b ＝1，A ＝π3， ∴根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋c 2－32c ＝12， 解之得，c ＝2或－1，∵c >0，∴c ＝2.故选B.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a ＝2，b ＝22，且三角形有两解，则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π4，π2 C.⎝⎛⎭⎫π4，3π4D.⎝⎛⎭⎫π4，π3[答案] A[解析] 由条件知b sin A <a ，即22sin A <2，∴sin A <22， ∵a <b ，∴A <B ，∴A 为锐角，∴0<A <π4. [点评] 如图，AC ＝22，以C 为圆心2为半径作⊙C ，则⊙C上任一点(⊙C 与直线AC 交点除外)可为点B 构成△ABC ，当AB 与⊙C 相切时，AB ＝2，∠BAC ＝π4，当AB 与⊙C 相交时，∠BAC <π4，因为三角形有两解，所以直线AB 与⊙C 应相交，∴0<∠BAC <π4. 4．(2010·湖南理)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 [答案] A[解析] ∵∠C ＝120°，c ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C∴a 2－b 2＝ab ，又∵a >0，b >0，∴a －b ＝ab a ＋b >0，所以a >b . 5．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc， ∵sin C ＝23sin B ，∴c ＝23b ，∴c 2＝23bc ，又∵b 2－a 2＝－3bc ，∴cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.(理)(2010·山东济南)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 [答案] D[解析] 由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac 得，a 2＋c 2－b 2ac·tan B ＝3，再由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac 得，2cos B ·tan B ＝3，即sin B ＝32，∴角B 的值为π3或2π3，故应选D. 6．△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为0.5，那么b 为( )A ．1＋ 3B ．3＋ 3 C.3＋33D ．2＋ 3[答案] C[解析] 12ac sin B ＝12，∴ac ＝2， 又2b ＝a ＋c ，∴a 2＋c 2＝4b 2－4，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b ＝3＋33. 7．(2010·厦门市检测)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( )A. 2B. 3C.32 D ．2 [答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴B ＝60°，∵b sin B ＝a sin A ，∴sin A ＝a sin B b ＝1×323＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°(舍去)，∴C ＝90°，∴S △ABC ＝12ab ＝32. 8．(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形[答案] A [解析] ∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴1＋cos B 2＝sin A ＋sin C 2sin C， ∴sin C cos B ＝sin A ，∴sin C cos B ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＝0，∵0<B ，C <π，∴sin B ≠0，cos C ＝0，∴C ＝π2，故选A. 9．(2010·四川双流县质检)在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( ) A.455B.355C.255D.55[答案] D[解析] 由tan A >0，cos B >0知A 、B 均为锐角， ∵tan A ＝12<1，∴0<A <π4，cos B ＝31010>32， ∴0<B <π6，∴C 为最大角， 由cos B ＝31010知，tan B ＝13，∴B <A ，∴b 为最短边， 由条件知，sin A ＝15，cos A ＝25，sin B ＝110， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝15×310＋25×110＝22， 由正弦定理b sin B ＝c sin C 知，b 110＝122，∴b ＝55. 10．(2010·山东烟台)已知非零向量AB →，AC →和BC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝22，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．等腰非直角三角形C ．直角非等腰三角形D ．等腰直角三角形[答案] D[解析] ∵AC →·BC →|AC →|·|BC →|＝cos ∠ACB ＝22， ∴∠ACB ＝45°，又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， ∴∠A ＝90°，∴△ABC 为等腰直角三角形，故选D.二、填空题11．(文)判断下列三角形解的情况，有且仅有一解的是________．①a ＝1，b ＝2，B ＝45°；②a ＝5，b ＝15，A ＝30°；③a ＝6，b ＝20，A ＝30°；④a ＝5，B ＝60°，C ＝45°.[答案] ①④[解析] ①一解，a sin B ＝22<1<2，有一解． ②两解，b ·sin A ＝152<5<15，有两解； ③无解，b ·sin A ＝10>6，无解．④一解，已知两角和一边，三角形唯一确定．(理)在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________．[答案] 3<c < 5[解析] 边c 最长时：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋4－c 22×1×2>0， ∴c 2<5.∴0<c < 5.边b 最长时：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋c 2－42c>0， ∴c 2>3.∴c > 3.综上，3<c < 5.12．(2010·上海模拟)在直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－1,0)，C (1,0)，顶点B 在椭圆x 24＋y 23＝1上，则sin A ＋sin C sin B的值为________．[答案] 2[解析] 由题意知△ABC 中，AC ＝2，BA ＋BC ＝4，由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋BA AC＝2. 13．(文)(2010·沈阳模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．[答案] 2 3[解析] ∵b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12， ∵AC →·AB →＝4，∴b ·c ·cos A ＝4，∴bc ＝8，∴S ＝12AC ·AB sin A ＝12×bc ·sin A ＝2 3. (理)(2010·北京延庆县模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝c＝2b 且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，b ＝________. [答案] 2[解析] ∵a ＋c ＝2b ，∴a 2＋c 2＋2ac ＝4b 2(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝25ac ＝32，∴ac ＝154(2) ∵sin B ＝45，∴cos B ＝35(由a ＋c ＝2b 知B 为锐角)， ∴a 2＋c 2－b 22ac ＝35，∴a 2＋c 2＝92＋b 2(3) 由(1)、(2)、(3)解得b ＝2.14．(2010·合肥市质检)在△ABC 中，sin A －sin B sin (A ＋B )＝2sin A －sin C sin A ＋sin B，则角B ＝________. [答案] π4[解析] 依题意得sin 2A －sin 2B ＝sin(A ＋B )(2sin A －sin C )＝2sin A sin C －sin 2C ，由正弦定理知：a 2－b 2＝2ac －c 2， ∴a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22， ∴B ＝π4. 三、解答题15．(文)(2010·广州六中)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3. (1)求△ABC 的面积；(2)若b ＋c ＝6，求a 的值．[解析] (1)∵cos A 2＝255， ∴cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45. 又由AB →·AC →＝3得，bc cos A ＝3，∴bc ＝5，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝2. (2)∵bc ＝5，又b ＋c ＝6，∴b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，∴a ＝2 5.(理)(2010·山东滨州)已知A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长．[解析] (1)m ·n ＝sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由于sin(A ＋B )＝sin C .∴m ·n ＝sin C .又∵m ·n ＝sin2C ，∴sin2C ＝sin C ，∴2sin C cos C ＝sin C .又sin C ≠0，所以cos C ＝12.而0<C <π，因此C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列得，2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得，2c ＝a ＋b .∵CA →·(AB →－AC →)＝18，∴CA →·CB →＝18.即ab cos C ＝18，由(1)知，cos C ＝12，所以ab ＝36. 由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－3ab .∴c 2＝4c 2－3×36，∴c 2＝36.∴c ＝6.16．(文)在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝2.(1)若cos B ＝－36，求sin C 的值； (2)求角C 的取值范围．[解析] (1)在△ABC 中，由余弦定理知，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝3＋4－2×23×⎝⎛⎭⎫－36＝9. 所以AC ＝3.又因为sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫－362＝336， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B. 所以sin C ＝AB AC sin B ＝116. (2)在△ABC 中，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ，∴3＝AC 2＋4－4AC ·cos C ，即AC 2－4cos C ·AC ＋1＝0.由题意知，关于AC 的一元二次方程应该有解，令Δ＝(4cos C )2－4≥0，得cos C ≥12，或cos C ≤－12(舍去，因为AB <BC ) 所以，0<C ≤π3，即角C 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π3. [点评] 1.本题也可用图示法，如图：A 为⊙B 上不在直线BC 上的任一点，由于r ＝AB ＝3，故当CA 与⊙B 相切时∠C 最大为π3，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π3. 2．高考命题大题的第一题一般比较容易入手，大多在三角函数的图象与性质、正余弦定理、平面向量等内容上命制，这一部分要狠抓基本原理、公式、基本方法的落实．(理)(2010·东北师大附中、辽宁省实验中学联考)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a cos C ＋12c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 的周长l 的取值范围．[解析] (1)由a cos C ＋12c ＝b 得 sin A cos C ＋12sin C ＝sin B又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴12sin C ＝cos A sin C ， ∵sin C ≠0，∴cos A ＝12， 又∵0<A <π，∴A ＝π3. (2)解法1：由正弦定理得：b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23(sin B ＋sin(A ＋B )) ＝1＋2⎝⎛⎭⎫32sin B ＋12cos B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6 ∵A ＝π3，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，∴B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1. 故△ABC 的周长l 的取值范围是(2,3]．解法2：周长l ＝a ＋b ＋c ＝1＋b ＋c由(1)及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴b 2＋c 2＝bc ＋1，∴(b ＋c )2＝1＋3bc ≤1＋3⎝⎛⎭⎫b ＋c 22，∴b ＋c ≤2，又b ＋c >a ＝1，∴l ＝a ＋b ＋c ∈(2,3]，即△ABC 的周长l 的取值范围为(2,3]．17．(文)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos2B,2cos 2B 2－1)且m ∥n . (1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S △ABC 的最大值．[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数，利用三角恒等变换知识解决；(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决．[解析] (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B 2－1＝－3cos2B ∴sin2B ＝－3cos2B ，即tan2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3. (2)∵B ＝π3，b ＝2， ∴由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac得， a 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)， [点评] 本题将三角函数、向量与解三角形有机的结合在一起，题目新疑精巧，难度也不大，即符合在知识“交汇点”处构题，又能加强对双基的考查，特别是向量的坐标表示及运算，大大简化了向量的关系的运算，该类问题的解题思路通常是将向量的关系用坐标运算后转化为三角函数问题，然后用三角函数基本公式结合正、余弦定理求解．(理)(2010·山师大附中模考)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知sin B ＝513，且a 、b 、c 成等比数列． (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)若ac cos B ＝12，求a ＋c 的值．[解析] (1)依题意，b 2＝ac由正弦定理及sin B ＝513得，sin A sin C ＝sin 2B ＝25169. 1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝135. (2)由ac cos B ＝12知cos B >0，∵sin B ＝513，∴cos B ＝1213(b 不是最大边，舍去负值) 从而，b 2＝ac ＝12cos B＝13. 由余弦定理得，b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .∴13＝(a ＋c )2－2×13×⎝⎛⎭⎫1＋1213. 解得：a ＋c ＝37.。

高考数学专题复习题：正弦定理和余弦定理

高考数学专题复习题：正弦定理和余弦定理

高考数学专题复习题：正弦定理和余弦定理一、单项选择题（共8小题）1．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ，b ，c 是三个连续的自然数，且a b c <<，最大角是最小角的两倍，则cos C =（ ） A ．0B ．112C ．18D ．342．在锐角ABC V cos cos sin sin A C A B C a c ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 2C C +=，则a b +能取到的值有（ ）A ．5B ．4C ．D ．33．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos sin ,a B b A c a +==222sin a b c ab C +−=，则（ ）A ．tan 1C =B ．π3A =C ．b =D ．ABC V 的面积为4．已知点,A F 分别为椭圆22:143x yC +=的左顶点、右焦点，点M 为C 上一点，且OM为AMF ∠的平分线，60AMF ∠=︒，则AFM △的内切圆的半径为（ ）A B C ．12D 5．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若17,6,cos 5b c B ===，则a =（ ）A ．5B ．6C ．8D ．106．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D −中，14AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．717B ．1417C ．1617D ．8177．在ABC V 中，1202ACB BC AC ∠=︒=，，D 为ABC V 内一点，AD CD ⊥，120BDC ∠=︒，则tan ACD ∠=（ ）A．B C D 8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右焦点为F ，圆222:O x y a +=与C 的渐近线在第二象限的交点为P ，若tan FPO ∠C 的离心率为（ ） A ．2BC ．3D 二、多选题（共3小题）9．ABC V 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若ABC V 为钝角三角形，则222a b c +> C ．若30,4,3A b a ===，则ABC V 有两解D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=10．如图，在ABC V 中，2,3,60AB AC BAC ∠===，若O 为ABC V 外接圆的圆心，且(),,AO AB AC λμλμ=+∈R ，则以下结论中正确的是（ ）A ．43AO AB λμ⋅=+ B ．92AO AC ⋅= C ．ABC V 外接圆的面积为2πD ．5233λμ+=11．在ABC V 中，AD AB λ=，BE BC μ=，CF tCA =，,,0t λμ>且1t λμ++=，则（ ） A ．()DEF ABC S t t S λμλμ=++△△ B ．3ABC DEF S S ≥△△CD ．λ∃，μ，t三、填空题（共2小题）12．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为________． 13．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若3π4B =，6b =，22a c +=，则ABC V 的面积为________．四、解答题（共5小题）14．在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22cos 0b c a C +−=. （1）求角A ．（2）射线AB 绕A 点旋转90交线段BC 于点E ，且1AE =，求ABC V 的面积的最小值．15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b C −−=. （1）求B ．（2）已知b =122a c +的最大值．16．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()1cos cos cos 02B c B bC a ++=. （1）求角B 的大小．（2）若7,8,b a c a c =+=<，求,a c 的值；求()sin 2A C +的值．17．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，且BD b =.（1）求证：sin sin BD ABC a C ∠=． （2）若2AD DC =，求cos ABC ∠．8．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()()3a b c a b c +++−=，且ABC V 的（1）求角C ．（2）若2AD DB =，求CD 的最小值．参考答案1．C2．B3．C4．D5．A 6．C 7．B 8．C 9．ACD 10．ABD 11．ABCD12．3+13．314．（1）2π3A =（215．（1）π3B = （216．（1）2π3B =（2）35a c =⎧⎨=⎩17．（1）证明：设ABC V 的外接圆半径为R ，由正弦定理得2sin ,2sin R ABC b R C c ∠==，因为2b ac =，BD b =，所以b BD ac ⋅=，由此可得2sin 2sin BD R ABC a R C ⋅∠=⋅，所以sin sin BD ABC a C ∠=（2）71218．（1）2π3C = （2。

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bc≤ 16，那么
S＝
1 2
64 bcsin A≤ 17.
答案：
64 17
对点练 (三 ) 解三角形应用举例
1． (2018 山·西康杰中学月考 )海上有三个小岛 A， B， C，测得∠ BAC ＝ 135°， AB＝ 6，
AC＝3 2，若在 B，C 两岛的连线段之间建一座灯塔 则 B， D 间的距离为 ( )
B 2cos
B 2 cos
A2 ，∴ sin
A2 ＝ sin
B 2.
∵
0<A2 <π2， 0<B2<π2，∴
A 2
＝
B2，∴
A＝
B.同理可得
B＝ C，∴ △ ABC 为等边三角形．故选
A.
3．(2018 福·建八校联考 )我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积
的“三斜公式”，设△ ABC 三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，面积为 S，则“三
斜求积”公式为 S＝
1 4
a2c2－
a2＋ c2－ b2 2 2
.若 a2sin
C＝ 4sin
A， ( a＋ c)2＝12＋ b2，则用
“三斜求积”公式求得△ ABC 的面积为 ( )
A. 3
B．2
C． 3
D. 6
解析： 选 A 由正弦定理得 a2c＝ 4a，所以 ac＝ 4，且 a2＋ c2－ b2＝ 12－ 2ac＝ 4，代入面
C 所对的边分别为
a，b，c，由
S△ABC
＝
1 2acsin
B＝
1
＋
2得 ac＝ 2(2＋
2)，由余弦定理及
a2
＋ c2≥2ac，得 b2≥ (2－ 2)ac，即 b2≥ (2－ 2)× 2(2＋ 2)，∴ b≥ 2(当且仅当 a＝ c 时等号成
立 )，∴ AC 边的长的最小值为 2.
答案： 2 6．已知△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，若△ ABC 的面积 S＝ a2－ (b－ c)2，且 b＋c＝ 8，则 S 的最大值为 ________．
c 1． (2018 ·武汉调研 )在△ ABC 中，角 A，B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 b<cos A， 则△ ABC 为 ( )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
解析： 选 A
根据正弦定理得
c＝ b
sin sin
C B
<cos
A，
即 sin C<sin BcosA，∵ A＋B＋ C＝ π，∴ sin C＝ sin(A＋ B)<sin BcosA，整理得 sin Acos
由正弦定理得 CD ＝ AC ， sin A sin∠ ADC
∴ CD＝ 3 3 × sin 30° ＝ sin 105 °
3 3 ×1＝ 9 6＋ 2 2
2－ 3 2
6 .
4
2．(2017 ·云南昆明二模 )如图， 在△ ABC 中， 已知点 D 在 BC 边上， 满足 AD⊥ AC，cos
∠BAC ＝－ 13， AB＝ 3 2， BD＝ 3.
解析： 由题意得∠
DEA
＝
45°
，∠
ADE
＝
30
°
，
AE
＝
AB cos 15
，°
所以 AD ＝AE sin 45 ＝° 2AB ， sin 30 ° cos 15 °
因此 CD ＝AD sin 60° ＝
2× 10 × sin 60° ＝ 10(3－ 3)．
cos 45°－ 30°
答案： 10(3－ 3)
8＋ 5 3 B. 4
C． 3
4＋ 5 D. 2
解析： 选 B
由
ba＝
1－ cos cos A
B 及正弦定理得
sin Bcos A＝ sin A－ sin Acos B，所以 sin(A
＋B)＝ sin A，所以 sin C＝ sin A，因为 A， C∈ (0， π），所以 C＝ A，又 b＝ c，所以 A＝B＝
C，△ ABC 为等边三角形．设
△ ABC 的边长为
k，则
2
k
＝
12＋
2
2－
2
×
1×
2×
cos
θ＝
5－
4cos
1 θ，则 S 四边形 OACB ＝2× 1× 2sin θ＋4 (5－ 4cosθ)＝ 2sin
θ－
π 3
＋
5
4
3≤
2＋
5 4
3＝
8＋ 5 4
3 ，所以当
θ－ π3 ＝π2，即 θ＝ 56π时，四边形
502＋ 802－ AN2
解析： 连接 AN ，则在 △ AMN 中， 应用余弦定理可得 cos 60° ＝
，即 AN
2×50× 80
＝ 70. 应用余弦定理可得
cos∠
ANM
＝
502＋ 2×
702－ 802 ＝
50× 70
17，
所以
sin∠
ANM
＝
4 7
3 .
在 △ ANB 中，应用余弦定理可得
cos∠ ANB ＝ 30
D ，使得灯塔 D 到 A，B 两岛距离相等，
A． 3 10
B. 10
C. 13
D．3 2
解析： 选 B 由题意可知， D 为线段 AB 的垂直平分线与 BC 的交点，设 BD＝ t.由余弦
定理可得 BC2＝ 62＋ (3 2)2－2× 6× 3 2cos∠ BAC＝ 90，解得 BC＝ 3 10.由 cos∠ ABC＝ 3＝ t
解析：由题意知
1 2bcsin
A＝
a2－
b2＋
2bc－
c2，由余弦定理
a
2＝
b2＋
c2－
2bccos
A
，得
1 2bcsin
A－ 2bc＝－ 2bccosA，因为
bc≠ 0，所以
sin
A＝ 4－ 4cosA，则
1
－
2
cos A＝
16(1
－
cos
A)
2，
得
cosA＝ 1157，sin A＝187，b＋ c＝ 8≥ 2 bc，当且仅当 b＝ c 时取等号，因而
π B<0，又三角形中 sin A>0，∴ cosB<0， 2 <B<π．∴ △ABC 为钝角三角形．
2． (2018 ·湖南邵阳一模 )在△ ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知三个向
A
B
C
量 m＝ a， cos 2 ， n＝ b， cos 2 ， p＝ c， cos 2 共线，则△ ABC 的形状为 (
－ asin
A＝
1 2asin
C，则
sin B 的值为 (
)
22
3
A. 3
B.4
7 C. 4 解析：选 C
1 D.3
由正弦定理， 得
b2－
a2＝
1 2ac，又
c＝ 2a，所以
b2＝ 2a2，所以
cosB＝ a2 ＋ c2－b2 2ac
＝3，所以 4
sin B＝
7 4.
对点练 (二 ) 正、余弦定理的综合应用
＝ 2sin Asin C，且 a>c， cosB＝ 1，则 a＝ (
)
4c
3
A． 2
B.2
C． 3 解析： 选 A
由正弦定理可得
D．4
b2＝ 2ac，故
cos
B＝
a
2＋
c2－
b2 ＝
a2＋
c2－
2ac ＝
1，化简
2ac
2ac
4
得 (2a－ c)(a－ 2c)＝ 0，又 a>c，故 a＝ 2c，ac＝ 2，故选 A.
A＝ 2B，则 cosB＝ ( )
A.
5 3
5 C. 5
B.
5 4
5 D. 6
解析：选 B
由正弦定理，
得
sin A＝
5 2 sin B，又
A＝ 2B，所以
sin A＝ sin 2B＝ 2sin Bcos
5 B，所以 cosB＝ 4 .
3． (2018 ·包头学业水平测试 )已知 a， b， c 分别为△ ABC 内角 A， B， C 的对边， sin2B
(2) 在△ ABD
中，
BD sin∠ BAD
＝
AB sin∠ ADB
积公式得
1× 4
16－ 22
＝
3.
4.在△ ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a， b，c，且满足 b＝ c，
b＝ a
1－ cos cos A
B .
若点
O
是△ ABC
外一点，∠
AOB ＝ θ(0<θ<π）， OA＝ 2， OB
＝ 1，如图所示，则四边形 OACB 面积的最大值是 ( )
4＋ 5 3 A. 4
62＋ 3 10 2－ 3 2 2 ，解得 t＝ 10.故选 B.
2× 6× 3 10
2． (2018 ·河北唐山摸底 )一艘海监船在某海域实施巡航监视，由
A 岛向正北方向行驶
80 海里至 M 处，然后沿东偏南 30°方向行驶 50 海里至 N 处，再沿南偏东 30°方向行驶
30 3海里至 B 岛，则 A， B 两岛之间的距离是 ________海里．
解析：选 A
由题意可得
c＝ a＋ 2，b＝ 3，cosA＝ 78，由余弦定理，
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