2015年广州一模(理科数学含答案)

N
B． ( U M )
N
C． M
( U N)
D． ( UM)
( U N)
2．已知向量 a = 3, 4 ，若 a 5 ，则实数 的值为
1 1 B． 1 C． D． 1 5 5 3. 若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图 1 ） ，其中茎为十位数，
A． 叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91 , 92 C. 91.5 , 91.5 D. 91.5 , 92 4. 直线 x ay 1 0 与圆 x y 1 4 的位置关系是
2 2
8 8 7 9 1 7 4 2 0 3 图1
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不能确定
x y 4 0, 5. 若直线 y 3x 上存在点 x, y 满足约束条件 2 x y 8 0, 则实数 m 的取值范围是 x m,
A. C.
1, , 1
试卷类型：A
2015 年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
12 22 32 n2 n n 1 2n 1 n N* ． 6
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集 U 1, 2,3, 4,5 , 集合 M 3, 4,5 , N 1, 2,5 , 则集合 1, 2 可以表示为 A． M
m2 2 m 3
.
(m Z ) 为偶函数，且在区间 0, 上是单调增函数，则
.
k k 1
f 2 的值为
13．已知 n, k N * ，且 k n ， k C n n C n 1 ，则可推出 C n 2 C n 3 C n
1
2
3
k Ck n
二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共 7 小题，每小题 5 分，满 分 30 分．其中 14~15 题是选做题，考生只能选做一题． 9.
4 3
10. 2e
11. 0.1587
12. 16
13. n n 1 2
n2
14. 2,


4
15.
3

说明: 第 14 题答案可以是 2,

2 k , k Z . 4
三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分． 16． （本小题满分12分） （本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的 数学思想方法，以及运算求解能力） （1） 解：由题意可得 A 2, ， …………………………1 分
20. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C1 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线 C2 :
x2 y 2 1 的顶点，直线 2
x 2 y 0 与椭圆 C1 交于 A ， B 两点，且点 A 的坐标为 ( 2, 1) ，点 P 是椭圆 C1 上
异于点 A , B 的任意一点，点 Q 满足 AQ AP 0 ， BQ BP 0 ，且 A ， B ， Q 三点不 共线. (1) 求椭圆 C1 的方程； (2) 求点 Q 的轨迹方程； (3) 求 ABQ 面积的最大值及此时点 Q 的坐标.
*
2 Cn 1 ，………………………1 分 2 C7 7
n n 1 1 2 ， 化简得， n2 n 6 0 ， 即 76 7 2 解得， n 3 或 n 2（舍去）. ∴ 袋子中有 3 个白球. （2）解：由（1）得，袋子中有 4 个红球， 3 个白球.
…………………………2 分
T x0 x0 ， 2 2 2
∴T . 由
…………………………3 分 …………………………4 分 …………………………5 分
2

, 得 2 ，
∴ f ( x) 2sin 2 x


. 6
5
…………………………6 分

1 2 n 1 2 1 2 e . 2 n n n
4
2015 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案 不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误， 就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分． 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 B
B
O D C
E
图3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16． （本小题满分 12 分） 已知函数 f ( x) A sin x A 0, 0 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个 6 最低点的坐标分别为 x0 , 2 和 x0 （1）求函数 f ( x) 的解析式； （2）求 sin x0
19. （本小题满分 14 分） 已知数列 an 的各项均为正数， 其前 n 项和为 S n ， 且满足 a1 1, an 1 2 S n 1 ， n N * . （1）求 a 2 的值； （2）求数列 an 的通项公式； （3）是否存在正整数 k , 使 a k , S 2 k 1 , a4k 成等比数列? 若存在, 求 k 的值； 若不存在, 请说明理由.
sin
…………………………9 分

6
cos

4
cos

6
sin

4
…………………………10 分
1 2 3 2 2 2 2 2 2 6 . 4
…………………………11 分
…………………………12 分
17． （本小题满分12分） （本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考 查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：设袋子中有 n (n N ) 个白球，依题意得，
2 2 2
1 0 nCn n n ( C n 1 C n 1 3
1 Ck n 1
1 n 1 Cn ， n 1 ) n 2
由此，可推出 C n 2 C n 3 C n
1
k2 C k n
n2 C n n
.
（二）选做题（14～15 题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题） 在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为
映射 f 具有性质 P . 给出如下映射: ① f1 : C R , f1 z x y , z x y i ( x, y R ) ; ② f 2 : C R , f 2 z x y , z x y i ( x, y R ) ;
2
③ f3 : C R , f 3 z 2 x y , z x y i ( x, y R ) ; 其中, 具有性质 P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③


, 2 . 2


的值. 4
17. （本小题满分 12 分） 袋子中装有大小相同的白球和红球共 7 个，从袋子中任取 2 个球都是白球的概率为
1 ， 7
每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取 1 个球，如果取出的是白球则不再放回，设 在取得红球之前已取出的白球个数为 X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求 X 的分布列和数学期望. 18. （本小题满分 14 分） 如图 4，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB 60 ，点 E ， F 分别是边 CD ， CB 的 中点， AC
21. （本小题满分 14 分） 已知函数 f x ln 1 x
a 2 x x a 0 . 2
（1）若 f x 0 对 x 0, 都成立，求 a 的取值范围； （2） 已知 e 为自然对数的底数， 证明： n N * ， e 1
1
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 i 是虚数单位， C 是全体复数构成的集合，若映射 f : C R 满足: 对任意
z1 , z2 C ，以及任意 R , 都有 f z1 1 z2 f z1 1 f z2 , 则称
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分． （一）必做题（9～13 题） 9. 已知 tan 2 ，则 tan 2 的值为 . 10. 已知 e 为自然对数的底数，若曲线 y x e x 在点 1, e 处的切线斜率为 11. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 2,1 . 若 P 1 X 3 0.6826 ，则 P X 3 等于 12. 已知幂函数 f x x .
B. D.
1,
, 1
2 2
正视图
2
2 2
侧视图
2
6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图 2， 其体积为
2
2 3 ，则该锥体的俯视图可以是 3 2
2
图2
2 2
2 2
2
A.
B.
C.
D.
7. 已知 a 为实数，则 a 1 是关于 x 的绝对值不等式 x x 1 a 有解的
x cos sin , ( 为参数 ) 和 y cos sin
x 2 t, (t 为参数 ) .以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线 C1 y t
与 C2 的交点的极坐标 为 ．．． .
2
A
15. （几何证明选讲选做题） 如图 3， BC 是圆 O 的一条弦，延长 BC 至点 E ， 使得 BC 2CE 2 ，过 E 作圆 O 的切线， A 为 切点， BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D ， 则 DE 的长为 .
（2）解： ∵ 点 x0 , 2 是函数 f ( x) 2sin 2 x ∴ 2 x0 ∴ x0


在 y 轴右侧的第一个最高点, 6
…………………………7 分 …………………………8 分

6
.


2
.

6
∴ sin x0


sin 4 6 4
EF O ，沿 EF 将△ CEF 翻折到△ PEF ，连接 PA,PB,PD ，得到如图 5
的五棱锥 P ABFED ，且 PB 10 . （1）求证： BD 平面 POA ； （2）求二面角 B AP O 的正切值.
D E A C F B 图4
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P
O
D A B 图5
3
E O F
…………………………3 分 …………………………4 分 …………………………5 分 …………………………6 分
X 的可能取值为 0,1, 2,3 ，
3 4 2 4 P X 0 ， P X 1 ， 7 6 7 7 3 2 1 4 1 3 2 4 4 P X 2 ， P X 3 . ………………10 分 7 6 5 4 35 7 6 5 35 ∴ X 的分布列为：