实对称矩阵的对角化

证 设复数为实对称阵A的特征值 复向量x 0为对应于的特征向量 即Axx. 有 A x A x Ax x x Ax x .
于是有 x T A xT AT AxT x T x T x T A x T .
故x右乘上式有
xTAxxTx.
而 x T左乘Axx有 xTAxxTx.
令P(e1 e2 e3) 则P1APdiag(1 1 0) 于是APP1 =P PT =？
上页 下页 返回
例4.2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
上页 下页 返回
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
上页 下页 返回
例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
(2)对每个ki重特征值i 求方程(AE)x0的基础解系
得ki个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化
得ki个两两正交的单位特征向量. 因k1k2 ksn 故共可得n个两两正交的单位特征向量.
(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P
便有P1APPTAP.
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应.
因为A对称 故
p1TA p1TAT (Ap1)T (1p1)T 1p1T ,
于是 p1TAp2= 1p1Tp2
p1TAp2p1T2p2 2p1Tp2
即
(12)p1Tp20.
但12 故 p1Tp20 即p1与p2正交.
上页 下页 返回
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数. v定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
所以对应的特征向量可以取实向量.
上页 下页 返回
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
v定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
证明 已知Ap11p1 Ap22p2 12.
P1AP 或APP1
从而
AnPnP1
提示
因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵
使P1AP. 于是APP1 从而AnPnP1.
上页 下页 返回
例4.2设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
Leabharlann Baidu
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
上页 下页 返回
二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
则P(p1 p2 p3)为正交阵
1
并且P1AP
2
.
5
上页 下页 返回
习题4-4, P159
5. 设3阶对称阵A的特征值为11 21 30 对应1、2的特征
向量依次为p1(a 2a 1 1)T p2(a 1 13a)T 求A. 提示：由 [ p1 p2 ] =0，得 a=0或 1． 由 [ p1 p3 ] =0,[ p2 p3 ]=0，得 p3 ． 一法: 令P(p1 p2 p3) 则P1APdiag(1 1 0) 于是APP1 =？ 二法: 把 p1 p2 p3 正交化、单位化，得e1 e2 e3 .
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231.
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T.
将1单位化 得
p1
1 (1, 1, 3
1)T .
对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30
得基础解系
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T.
两式相减 得 ( )xT x 0
但因x0 所以
xT x
n
n
xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数.
上页 下页 返回
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0 是实系数方程组
由|AiE|0知必有实的基础解系
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵.
上页 下页 返回
习题4-3, P154
4. 设矩阵
A
1 2 4
2 x 2
124
5
与
y
4
相似
求x y 并求一个正交阵P 使P1AP.
提示： 相似矩阵的特征值相同、行列式相等. 1+x+1=5 +y +(－4)；=> y5 |A|=||.
|A+4E|=0 或 |A－5E|=0. => x4
上页 下页 返回
1 2 0
例4.2
设A
2
2
2
求正交阵
P
使P1AP为对角阵.
0 2 3
解 由|AE| (+1)( 2) ( 5)
得特征值11 22 , 35.
对应11 解方程(A+E)x0 得基础解系1 对应22 解方程(A2E)x0 得基础解系2 对应35 解方程(A5E)x0 得基础解系3 由于1 ,2 ,3是实对称阵的对应于不同特征值的特征向量, 于是1 , 2 , 3正交, 所以只要单位化即可得 p1 p2 p3