实对称矩阵的对角化
实对称矩阵的相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质:
(1) A + B = A + B ; (2) A = A , 其中是常数; (3) AB = AB ;
ξ Aξ1 = ξ ξ
T 2
T 1 2 1
而且
T T T T ξT A ξ = ξ A ξ = ( A ξ ) ξ = ξ 2 1 2 1 2 1 2 2 ξ1
于是
(1 2 )ξ ξ = 0
T 2 1
由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交.
二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量1,
=(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 得特征值λ1=λ2=-1, λ3=11.
对λ1=λ2=-1, 由于
2 2 4 1 1 2 -E-A 2 2 4 0 0 0 4 4 8 0 0 0
例6 设
1 2 4 A 2 1 4 4 4 7
求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 det(E-A)
1 2 4 1 1 4 3 0 8 2 1 4 2 1 4 2 1 4 4 4 7 4 0 7 4 0 7
1 6
5.3实对称矩阵的对角化
令x3 = 2, 得属于5的特征向量为 3 = (1, −2,2)T .
12
显然1 = (2,2,1)T , 2 = ( −2,1,2)T , 3 = (1, −2,2)T 正交.
(2) 求单位向量组. 1 = 2 = 3 = 3, 所以得单位正交向量组 T T T 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = , , , 2 = , − , − , 3 = , − , . 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (3) 求正交矩阵Q. 1 则 2 2 令 3 3 3 −1 0 0 2 1 2 −1 Q = ( 1 , 2 , 3 ) = − − , Q AQ = 0 2 0 = . 3 3 3 0 0 5 1 2 2 3 −3 3
T T T T 1 A = 11 , 1 A 2 = 11 2
T T 21 2 = 11 2 ,
T (2 − 1 )1 2 = 0
T 1 2 = 0
3
定理 若实对称矩阵A的特征值 的重数为k，则A 恰有k个对应于 的线性无关的特征向量. 定理 n阶实对称矩阵A一定有n个正交的特征向量. 设矩阵A的互不相同的特征值分别为 1 ( k1重) : 11 , 12 , , 1k1 , 正 11 , 12 , , 1k1 , 交 , , , , 2 k2 2 ( k2重) : 21 , 22 , , 2 k2 , 化 21 22 后 , , 得 m 1 , m 2 , , mkm , m ( km 重) : m 1 , m 2 , , mkm , 11 ,12 , ,1k1 , 1 单 其中,k1 + k2 + + km = n. 位 , , , , 21 22 2 k2 2 化 T ij ks = 0, i k . 后 , 得 m 1 ,m 2 , , mkm , m
实对称矩阵的对角化线性代数课件典型实例
虽然目前已经存在多种实对称矩阵对角化的方法，但这些方法可能不适用于某些特殊情况或具有较大的计算复杂度。 因此，需要不断探索新的实对称矩阵对角化方法，以提高计算效率和精度。
扩展实对称矩阵对角化的应用领域
目前实对称矩阵对角化主要应用于自然科学和工程领域。未来可以尝试将其应用到社会科学和人文学科 等领域，以解决一些实际问题或提供新的研究视角。
总结词
利用实对称矩阵的对角化，可以求解线性方 程组。
详细描述
对于给定的线性方程组 $Ax = b$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过 对角化后的矩阵进行求解，可以得到线性方 程组的解。
实例三：矩阵分解和矩阵求逆的实例
总结词
实对称矩阵的对角化可以用于矩阵分解 和矩阵求逆。
VS
详细描述
04
典型实例分析
实例一：二次型的最小值问题
总结词
通过实对称矩阵的对角化，可以找到二次型的最小值。
详细描述
对于给定的二次型 $f(x) = x^T Ax$，其中 $A$ 是实对称矩阵，我们可以将其对角化。通过实对称矩阵对角化， 可以将二次型转换为对角线形式，从而更容易找到最小值。
实例二：线性方程组的求解问题
性质
实对称矩阵具有一些重要的性质，如特征值和特征向量都是实数，且存在正交 矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
对角化的概念和重要性
对角化
对角化是将一个矩阵转化为对角矩阵的过程。如果存在一个可 逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，则称矩阵A可对角化。
重要性
对角化在数学和工程领域中具有广泛的应用，如求解线性方 程组、计算行列式、判断矩阵是否可逆等。此外，对角化还 可以用于解决一些优化问题，如线性回归和主成分分析等。
第16课 实对称矩阵的对角化
1 1 p3 = , 单位化得 η 3 2 1 1 5 2 = − 5 0
1 2 1 = = 3 2 1
2 3 1 3 2 3
0−λ 0 − 1 例：A = 1 0 , | A − λE |= 1
性质1 性质1的意义
−1 = λ2 + 1 ∴ λ = ±i. 0−λ
为实数， 因为对称矩阵 A 的特征值 λi 为实数，所以齐次线性方程组 是实系数方程组。 ( A − λi E ) x = 0 是实系数方程组。 又因为 A − λi E = 0，可知该齐次线性方程组一定有实的 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。
λ1 = 0, λ2 = 1, λ3 = 3,
1 1 1 η1 = 1 ,η2 = 0 ,η3 = −2 , 相应的特征向量是 1 −1 1 求矩阵 A.
维向量， 阶方阵。 解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 A 是3 阶方阵。 因为特征向量是 维向量 个不同的特征值， 可以对角化。 因为 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可以对角化。 即存在可逆矩阵 P , 使得 P −1 AP = Λ
η1 ,η2 ,L ,ηn
4. 以η1 ,η 2 ,L ,η n 为列向量构成正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,L ,η n ) 有 T −1 AT = Λ
λ1 O λ1 即 T −1 ⋅ AT = Λ = O λr O λr
−2 2 0
2 x1 = 2 x3 即 p1 = −2 . 得基础解系 x 2 = −2 x 3 1 当 λ2 = 1 时，由 ( A − E ) x = 0,
第三节 实对称矩阵的对角化
∴ ( λ − µ ) (α , β ) = 0 , 而 λ ≠ µ ， (α , β ) = 0 . ∴
2
定理5.11 阶实对称矩阵A 重特征值， 定理5.11 设 λ 为n阶实对称矩阵A的k重特征值， 等于的代数重数k. 则 λ 的几何重数 n − r (λE − A) 等于的代数重数k. 换言之， 阶实对称矩阵A 因此 r (λE − A) = n − k .换言之，n阶实对称矩阵A的k重 恰有k个线性无关的特征向量. 特征值 λ 恰有k个线性无关的特征向量. 定理5.12 阶实对称矩阵，则必存在n 定理5.12 设A为n阶实对称矩阵，则必存在n阶正交 矩阵Q 矩阵Q，使 λ1
2
λ −3
2 1 2 0 0 0 , 0 0 0
4 2 4 对 λ2 = 7 ， E − A = 2 1 2 → 7 4 2 4
T 特征向量 α 2 = ( −1 , 2 , 0)T , α 3 = ( −1 , 0 , 1) ,
− 4 − 4 − 1 − 1 1 1 ′ ′ α3 = 0 − 2 = − 2 , α 3′ = − 2 , 5 1 5 0 5 5
11
2 − 1 − 4 ′ α 1 = 1 , α 2 = 2 , α 3′ = − 2 , 5 2 0 −1 2 再单位化, 再单位化,拼起来得 5 3 2 1 P = 3 5 2 0 3 − 2 −1 使 P AP = 7 . 7
为任意常数; 属于特征值3的特征向量为 属于特征值 的特征向量为 α 3 = k (1,0,1) , k 为任意常数;
线性代数—实对称矩阵的对角化
T
9
1 − 1 4 例4 将向量组 α 1 = 2 , α 2 = 3 , α 3 = − 1 − 1 1 0 标准正交化. 标准正交化. 解 β1 = α1 , − 1 1 − 1 − 1 4 5 (α 2 , β 1 ) β2 = α2 − β1 = 3 − 2 = 1 , β2 = 1 , ′ ( β1 , β1 ) 1 6 − 1 3 1 1 ′ (α 3 , β 1 ) (α 3 , β 2 ) ′ β3 = α3 − β1 − β2 ′ ′ ( β1 , β1 ) (β 2 , β 2 )
6 1 4 1 − 1 2 − 5 1 ′ = − 1 − 2 − 1 = 0 , β3 = 0 , 1 0 6 − 1 3 1 3 6
10
1 − 1 1 β1 = 2 , β 2 = 1 , β 3 = 0 , ′ ′ − 1 1 1
再单位化, 再单位化
1 1 − 1 1 1 1 γ1 = 2 , γ2 = 0 . 1 , γ3 = 6 2 3 − 1 1 1
n维基本单位向量组 ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n 是两两正交的。 是两两正交的。
ε 1 = (1, 0, ⋯ , 0)T , ε 2 = (0, 1, ⋯ , 0)T , ⋯ ,
ε n = (0, 0, ⋯ , 1)T ,
4-3-2 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的相似对角化P88第三节 实对称矩阵的对角化v 实对称矩阵的对角化定理8 n阶实对称矩阵的特征值为实数，且必 有n个线性无关的特征向量.（实对称矩阵必能对角化）定理9 实对称矩阵不同的特征值所对应的特征 向量必相互正交. 证明 设AP ，AP 1 =l 1P 1 2 = l2 P 2 (l1 ¹ l2 )T T T ( AP 1 AP 2 =l 1P 1 P 2 1 ) = (l 1P 1) Þ P 1 A =l 1P 1 ÞP T TT 2 1 T 1 1 TTTÞ l P P2 = l P P2 Þ (l1 - l2 ) P1 P2 = 0T 1Þ P P2 = 0 Þ ( P1 , P2 ) = 0P88定理 设l 是实对称矩阵 A的k重特征值，则对应于 l恰有 k 个线性无关的特征向量 . 定理10设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵Q , 使æ l1 ç ç Q -1 AQ = QT AQ = L = ç ç ç è 为A的 n 个特征值.利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的具体步骤为： 1.求A的特征值;（P88）2. 求每个特征值对应的线性无关的特征向量； 3. 将特征向量正交化; 4. 将特征向量单位化； 5. 得出结论。
l2ö ÷ ÷ ÷, 其中 l1 , l2 , L , ln O ÷ ln ÷ ø例4 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵Q， -1 使Q AQ 为对角阵. æ 2 -2 0 ö æ 4 0 0ö ç ÷ ç ÷ (1) A = ç - 2 1 - 2 ÷ , ( 2) A = ç 0 3 1 ÷ ç 0 -2 0 ÷ ç 0 1 3÷ è ø è ø 解 (1)第一步 求 A 的特征值第二步 由(li E - A)x = 0, 求出A的特征向量 ì x1 = 2 x3 对 l1 = 4, 求解 (4 E - A) x = 0 ï\é2 2 0ù é1 0 - 2ù ú ê ú 4E - A = ê ê2 3 2ú ® ê0 1 2 ú ê ë0 2 4ú û ê ë0 0 0 ú ûí x 2 = -2 x 3 ïx = x3 î 3得 l1 = 4, l2 = 1, l3 = -2.l -2 2 0 lE - A = 2 l -1 2 = (l - 4)(l - 1)(l + 2)= 0 0 2 l对 l2 = 1, 求解 ( E - A) x = 0é- 1 2 0ù é1 0 ú ê E-A=ê ê 2 0 2ú ® ê0 1 ê ë 0 2 1ú û ê ë0 0ì x1 = - x 3 ï 1 ï \ í x2 = - x3 2 ï 1ù ï x3 é î x3 =é2ù ú \ p1 = ê ê -2 ú . ê1û ú ë1ú 2ú 0ú û-1 ù ê 1ú \ p2 = ê - ú . ê 2ú ê 1 ú ë û1对 l3 = -2, 求解 ( -2 E - A) x = 01ù é 0 ù ê1 0 - ú \ é2 2 2 ú ê ú - 2E - A = ê ê2 - 3 2 ú ® ê0 1 - 1 ú ê ë 0 2 - 2ú û ê0 0 0 ú ê ú ë ûê ú \ p3 = ê 1 ú . ê1ú ê ú 第三步 将特征向量正交化 ë û 由于p1 , p2 , p3是属于A的3个不同特征值l1 , l2 ,第四步 将特征向量单位化 p 令 pi 0 = i , i = 1, 2, 3. pi1 ì ï x1 = 2 x 3 ï í x 2 = x3 ïx = x 1 ù 3é ï 3 ê2ú î得æ1 3ö æ -2 3 ö æ 23ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ 0 0 p = ç -2 3 ÷ , p2 = ç -1 3 ÷ , p3 = ç 2 3 ÷ . ç 13 ÷ ç 2 3÷ ç 23÷ è ø è ø è ø0 1æ 2 -2 1 ö 1ç ÷ 作 Q = ( p10 , p2 0 , p30 ) = ç -2 -1 2 ÷ , 3ç 2 2÷ è 1 øl3的特征向量, 故它们必两两正交.则æ4 0 0 ö ç ÷ Q -1 AQ = ç 0 1 0 ÷ . ç 0 0 -2 ÷ è øæ 4 0 0ö ç ÷ (2) A = ç 0 3 1 ÷ ç 0 1 3÷ è ø l -4解： lE - A =对 l1 = 2, 求解 ( 2 E - A) x = 00 l -3 -120 00 -1l -3é- 2 0 0 ù é1 0 0ù ú ê ú 2E - A = ê ê 0 - 1 - 1ú ® ê0 1 1ú ê 0 - 1 - 1ú ê0 0 0û ú ë û ëì x1 = 0 ï \ í x2 = - x3 ïx = x 3 î 3= (l - 2)(l - 4) ,得特征值 l1 = 2, l2 = l3 = 4.é0ù ú \ p1 = ê ê -1ú . ê1û ú ë对 l2 = l3 = 4, 求解 ( 4 E - A) x = 0é0 0 0 ù é0 1 - 1ù ú ê ú 4E - A = ê ê0 1 - 1ú ® ê0 0 0 ú ê0 - 1 1 ú ê0 0 0 û ú ë û ëp2与p3恰好正交 ,所以 p1 , p2 , p3两两正交.再将 p1 , p2 , p3单位化, 令pi 0 =æ 0 ö æ 1ö ç ÷ ç ÷ 0 p = ç -1 2 ÷ , p2 = ç 0 ÷ , ç 0÷ ç ÷ è ø è1 2 ø0 1ì x1 = x1 ï \ í x2 = x3 ï î x3 = x3é1 ù é 0ù ú , p = ê1 ú . \ p2 = ê 0 ê ú 3 ê ú ê ê ë 0ú û ë1 ú ûpi pi0( i = 1, 2, 3) 得æ 0 ö ç ÷ p3 = ç 1 2 ÷ . ç ÷ è1 2 ø2于是得正交阵0 11 0 ö æ 0 ç ÷ Q = ( p , p2 , p3 ) = ç - 1 2 0 1 2 ÷ ç ÷ è 1 2 0 1 2ø0 0æ 2 0 0ö ç ÷ Q -1 AQ = ç 0 4 0 ÷ . ç 0 0 4÷ è ø3。
实对称矩阵的对角化
6
Q
X
1
,
X
2
,
X
3
1 3
1
1
2
6
1 3
0
2 6
16
8 0 0
则 Q1 AQ QT AQ 0 2 0 .
0 0 2
2 2 0
例3
设矩阵
A
2 0
1 2
02 , 求正交矩阵Q,
使得Q-1AQ 为对角阵.
17
2 2 0 解 由 E A 2 1 2
0 2
4 1 2 0
11
则 Q1AQ QT AQ
2
3
2 3
1 3
2 3 1 3 2 3
பைடு நூலகம்
1 3 2 3 2 3
1 2
0
2 2
2
0 2
3
2 3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
1
3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
2 0
0 5
12
4 2 2
例2
设矩阵
A
2 2
4 2
2 4
求正交变换矩阵Q使A正交相似于对角阵．
2
X1
2 1
,
2
X2
21 ,
将它们单位化，得
1
X3
2 2
.
10
2
3
X
1
2 3
,
1 3
2
3
X
2
1 3
,
1 3
1
3
X
3
2 3
,
2 3
因此正交变换阵Q为
2 2 1
3
实对称矩阵的对角化
（2）单位化，取
b1 b2 br e1 , e2 , , er , b1 b2 br
Page 11
那么 e1 , e2 ,, er 为V的一个规范正交基.
上述由线性无关向量组 a1 ,, a r 构造出正交 向量组b1 ,, br的过程, 称为 施密特正交化过程 .
例1 用施密特正交化方法，将向量组 a1 (1,1,1,1), a2 (1,1,0,4), a 3 ( 3,5,1,1) 正交规范化.
这个极大无关组规范正交化 .
若a1 , a2 ,L , ar 为向量空间V的一个极大无关组, （1）正交化，取 b1 a1 ， b1 , a2 b2 a2 b1 , b1 , b1
Page 10
[b1 , a 3 ] [b2 , a 3 ] b3 a 3 b1 b2 [b1 , b1 ] [b2 , b2 ]
３ 正交向量组的性质
定理1 若n维向量 1, 2, , r是一组两两正交的 非零向量,则 1, 2, , r 线性无关.
证明 设有 1 , 2 ,, r 使 11 2 2 r 0
T 以a 左乘上式两端 ,得 1 1 1 0
单位向量：当 x 1时, 称 x 为 单位向量.
Page 4
三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念
当[ x , y] 0时, 称向量x与y 正交.
由定义知, 若 x 0, 则 x 与任何向量都正交 .
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
Page 5
[e i , e j ] 0, i j且i , j 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] 1, i j且i , j 1,2,3,4.
线性代数第12讲 实对称矩阵的对角化
P
1 AP
1
0
b B
由于P1= PT , (P 1A P)T= PTAT(P1)T= P1AP,
所以P1AP是实对称矩阵。
P
1 AP
1
0
b B
1
bT
0 BT
(
P
1
AP
)T
因此, b=0，B= B T为n 1阶实对称矩阵。 由归纳假设,存在n 1阶正交矩阵Q ，使得
Q1 B Q =1。
1 S 0
0 Q
，
STS I
令
S为正交阵.
S
1(P
1
AP)S
1 0
0 1
Q
1
0
0 1 0
B 0
Q
1
0
0
Q11BQ1
1
0
0
Λ1
=diag(1,2,,n)
0 C
P 0
0 Q
P
1 A 0
P
0 Q1CQ
B 0
D0
xT AT x xT x , xT AT x xT x , xT Ax xT x ,
xTx xT x ,
( )xT x 0,
由于x 0 时， ( x)T x 0,
故得 = ， 即都是实数。证毕。
定理5.11 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量 是正交的。
于是
T2 T11 A T1 T21= B
实对称矩阵的对角化
取 3 3 则１，２，３是矩阵A的正交特征向量组
单位化
e1
1
1
1
1 (1, 0, 1) 2
e2
1
2
2
1 32
(1, 4,1)
令 P (e1, e2 , e3)
1
1 2
2
32
3
=
0
4 32
1
3
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1 3
(2,1, 2)
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1 0
第三节 实对称矩阵的对角化
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
性质4.3 （1）实对称矩阵的特征值必为实数。 （2）实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
0 0 8
• 作业 • P88 • 4.4
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （1，0，1） ，2 （1， 2，0）
对于 3 8 1 1，
得到特征向量 3 （2，1，2）
2
2
[ 2，1 ] [ 1，1 ]
1
1
2
0
1
1 2
0
1
0.5
2
0.5
由 A E 0 得特征值 1 2 1, 3 10
实对称矩阵对角化
由于1,2 ,3是属于A的3个不同特征值1, 2 ,
3的特征向量,故它们必两两正交. 令
i
i i
,
i 1,2,3.
2 3
23
1 3
得
1 2 3 , 2 1 3 ,
3 2 3.
1 3
2 3
2 3
作
P
1 ,
2
,
3
1
3
2 2 1
2 1 2
1 2, 2
4 0 0
则
.
对应 1
1
,由
A
E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得1
1 1
;
对应
2
3
,由
A
3E
1 1
1 1
r
1 0
1 0
得2
1 1
.
并有p ( 1 1
, 2 ) 2
1 2
11
11 ,
再求出 p1
1 2
11
11 .
于是
An
pn p1
1 2
11
11 10
0 1 3n 1
11
1 2
11
3n 3n
1 1
3n 3n
.
三、小结 1. 对称矩阵的性质：
(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值． 2. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向 量单位化正交化；(4)得正交阵和对角阵．
实对称矩阵的对角化
实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 实对称矩阵是一类特殊的矩阵,它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵 P , 使得 P 1 AP = ∧ 更可找到正交矩阵 更可找到正交矩阵 T ,使得 T 1 AT = ∧ 定理1 实对称矩阵的特征值为实数. 定理1:实对称矩阵的特征值为实数. 的任一特征值,( ,(往证 证:设 λ 是 A 的任一特征值,(往证 λ = λ ) 的特征向量, α 是对应于 λ 的特征向量, 则
1 x3 = 2 x1 p3 = 2 . 即 得基础解系 x2 = 2 x1 2 1 3 只需把 单位化, 只需把 p3 单位化,得 η 3 = 2 3 . 2 3
2 1 2 1 2 1 2 , 得正交矩阵 T = (η1 , η 2 , η 3 ) = 3 1 2 2 4 0 0 有 T 1 AT = 0 1 0 . 0 0 2
x1 考虑 x2 T α α = ( x1 , x2 , , xn ) = x1 x1 + x2 x2 + + xn xn 2 2 2 x = x1 + x2 + xn > 0 n
∴λ λ = 0 ∴λ = λ
定理1的意义: 定理1的意义:
为实数. 即 λ 为实数.
得正交矩阵 T = (η1 ,η 2 ,η 3 )
1 5 2 = 5 0
3 5 2 3 5 5 3 5
4
2 3 1 3 2 3
1 有 T 1 AT = 1 8
2 2 0 例2:设 A = 2 1 2 , 求正交矩阵 T , : 0 2 0 使得T 1 AT 为对角阵. 为对角阵.
λ1 , λ2 , , λ s
由定理,特征值 λi (重数为 ri )对应的线性无关的 由定理, 特征向量为 ri 个. 把它们正交化,再单位化, 个单位正交的特征向量. 把它们正交化,再单位化,即得 ri 个单位正交的特征向量.
第四节 实对称矩阵的对角化
4. 令P (11,12 ,L ,1r1 ,L , s1,L , srs ), 则P为正交阵且有 PT AP=P1AP diag(1Er1 , 2Er2 ,L , s Er s ) .
二、利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法
利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤为：
1. 由特征方程 E A 0解得 A的所有特征值, 设所有的 不同的特征值为1,L ,s;
2. 对每个i分别求出齐次线性方程组 (iE A) X 0 的 基础解系 , 设之为i1,i2,L ,iri (i 1, 2,L , s);
第二步 由iE A X 0,求出A的正交的特征向量组
对 1 2,解齐次线性方程组2E A X 0,由
1 2 2 1 2 2
2E
A
2
2
4 4
4
4
0 0
0 0
0
0
得基础解系
2 2
1
1
,
2
0
.
0
1
对1,
正交化得
2
2
1
=1
=
1
,
0
2
=2
2 , 1,
1 1
1
=
2 5
4 5
1
.
对 3 7,解齐次线性方程组7E A X 0,由
8 2 2 0 18 18
7E
A
2
2
5 4
4
5
2
0
5 9
4
9
1
0
5-4 实对称矩阵的对角化
(3) 正交矩阵 Q 的 n 个列向量 1 , 2 ,, n 是 A 的属 于特征值 1 , 2 ,n 的正交单位特征向量.
Q 1 AQ Λ
AQ QΛ
Q (1 , 2 ,, n ) ， 将正交矩阵 Q 按列分块， 其中 1 , 2 ,, n 是正交单位向量组.
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作业
3 2 4 1. 设实对称矩阵 A 2 0 2 . 4 2 3
求正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 成为对角阵.
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2. 设 A是 3 阶实对称矩阵，其特征值为：
1= -2, 2 = 3 =1
1 已知 ξ1 1 是 A 的属于特征值 1 的特征向量. 1
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③ 将属于同一特征值的特征向量正交单位化； k 重特征值 (k>1) 有 k 个线性无关的特征向量，用施 密特正交化方法使其正交化，然后单位化； 单重特征值，只有一个线性无关的特征向量，只需 将其单位化； 通过以上步骤，所有特征值的总共 n 个特征向量是 一个正交单位向量组. (为什么？) ③ 用正交单位化后的 n 个特征向量排成正交矩阵 Q， 则有 Q 1 AQ QT AQ Λ . Q 中特征向量的排序要和 中特征值的排序一致.
2 1 则有 Q AQ diag(1 , 2 , 3 ) 2 7
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小结 思考题 作业
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小结
1. 实对称矩阵的性质： ① 特征值为实数； ② 属于不同特征值的特征向量相互正交； ③ 必存在正交阵，使得实对称矩阵和对角阵相似， 对角阵的主对角元就是实对称矩阵的 n 个特征值. 2. 求正交矩阵，使实对称矩阵对角化的步骤： ① 求特征值； ② 求特征向量，并将特征向量正交单位化； ③ 将正交单位化的特征向量排成正交矩阵；
实对称矩阵的对角化
1, 1
再单位化得
1
2
p2
1 3
1,p3 1
1
6
1 , 1
0
取
p p1,p,p3
1 2
1 2
1 3
2 6
1 3
1 6
,
1 3
1 6
2
可以验证，仍有
p1Ap
4
.
4
此例说明所求正交矩阵不唯一。
的个数恰好是 λ i作为A的特征值的重数；
（3）将 λ i (i 1,2, ,r) 的所有标准正交的特征向 量构成一组Rn的标准正交基 p1,p2, ,pn;
（4）取p (p1,p2, ,pn ), 则P为正交矩阵且使得 pTAp p1Ap为对角阵，对角线上的元素为 相应特征向量的特征值。
例13
把它们标准正交化， 就可得到 ri 个单位正交的 特征向量组，由 r1 r2 rs n 知，这样的 特征向量共有n个，又由性质2知，A的属于不同 特征值的特征向量是正交的，故这n个单位特征 向量两两正交，以它们为列向量构成正交矩阵P， 并有p1Ap p1p diag(λ 1,λ 2, ,λ n ), 其中 λ 1,λ 2, ,λ n 为A的n个特征值。
因 p 0, 所以 pTp 0, 故 λ λ . 当特征值为实数时,齐次线性方程组 (A λ iE) 0 是实系数线性方程组, 由 A λ iE 0 知必有实向量 基础解系, 所以对应的特征向量可取实向量. 性质2 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量
是正交的.
证 设λ 1,λ 2 是A的两个不同的特征值, p1,p2
由定理6可知，实对称矩阵的对角化问题，实质上 是求正交矩阵P的问题，计算P的步骤如下： （1）求出实对称矩阵A的全部特征值λ 1,λ 2, ,λ r; （2）对于各个不同的特征值 λ i , 求出齐次线性方
第4.4节 实对称矩阵的对角化
注 ①实对称矩阵A的重特征值对应的正交特征向量组的取法 不唯一，故Q不唯一； ②由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交， 故只需对对应于同一特征值的线性无关的向量正交化即可.
例2 设3阶实对称矩阵Ａ的特征值为 1 0, 2 3 1,
Ａ对应于1的特征向量为1 (0,1,1)T ,求A.
第4.4节
实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质 二、实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵特征值与特征向量的性质
定理1 (1) 实对称矩阵A的特征值都是实数;
(2) 实对称矩阵A的对应于不同特征值的特征向量相互正交;
(3) 实对称矩阵A的每个k重特征值恰好有k个对应于此特征值的 线性无关的特征向量. 证 (2) 设1, 2为A的两个不同特征值,1,2为对应的特征向量， 即 Ai = ii ( i = 1,2).
例如
1 2 2 A 2 1 2 是实对称矩阵,其特征值 5, 1. 1 2 3 2 2 1 1 对应特征值5的线性无关的特征向量只有一个 1 1 ; 1
对应特征值１的线性无关的特征向量一定有两个
解 Ａ为实对称矩阵，故Ａ必可对角化，对应于二重特征 值2＝ 3＝１的特征向量应该有两个，设为2,3, 则2,3
都与1正交.
T 设与1正交的向量为 ( x1 , x 解得方程组的基础解系为 2 0 , 3 1 . 0 1
1 1 得 x1 x2 x3 , 线性无关的特征向量为 1 1 , 2 0 . 0 1
当3 3，解(3 E A) x 0．由
2 1 1 1 0 1 3 E A 1 2 1 0 1 1 1 1 2 0 0 0
实对称矩阵一定可以正交对角化证明
实对称矩阵一定可以正交对角化证明实对称矩阵是一种特殊的矩阵，其转置矩阵等于本身。
这种矩阵在数学和物理中都有广泛的应用。
而正交对角化是指将一个矩阵分解成一个正交矩阵和一个对角矩阵的乘积。
下面我们来证明实对称矩阵一定可以正交对角化。
首先，我们知道实对称矩阵的特征值都是实数。
这可以通过谱定理来证明。
谱定理指出，对于任意一个实对称矩阵A，都可以通过正交变换Q将其对角化成一个对角矩阵D，即：A = QDQ^T其中，Q是一个正交矩阵，即Q^TQ = I，D是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是A的特征值。
接下来，我们需要证明正交矩阵可以将任意实矩阵对角化。
这可以通过施密特正交化方法来证明。
施密特正交化方法是将一个线性无关的向量组转化为正交向量组的方法。
对于任意一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过以下步骤将其转化为正交向量组{u1, u2, ..., un}：1. 令u1 = v1/||v1||，其中||v1||表示v1的模长。
2. 对于i = 2, 3, ..., n，令ui = vi - (ui-1·vi)ui-1 - ... - (ui-1·v1)u1，其中·表示向量的内积。
3. 对于i = 1, 2, ..., n，令ei = ui/||ui||，其中||ui||表示ui的模长。
这样得到的向量组{e1, e2, ..., en}就是一个正交向量组。
此外，我们还可以通过调整每个向量的符号，将其转化为一个标准正交向量组，即ei·ej = δij，其中δij为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。
因此，对于任意一个实矩阵A，我们可以通过施密特正交化方法将其列向量转化为一个正交向量组Q。
这样，我们就得到了一个正交矩阵Q，满足Q^TQ = I。
接着，我们可以将A转化为一个对角矩阵D，其中D的对角线上的元素就是A的特征值。
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
方阵P为正交阵的充分必要条件
方阵P为正交阵 ÛPTPE PPTE P1PT P的列向量都是两两正交的单位向量. P的行向量都是两两正交的单位向量.
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例4.1
设
A
0 1
1
1 0 1
将2 3正交化、单位化得
p2
1 (1, 2
1,
0)T p3
1 (1, 6
1,
2)T .
2
于是P(p1
p2
p3)为正交阵
并且P1AP
1
.
1
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二、利用正交矩阵把实对称矩阵化为对称阵的方法
v实对称矩阵对角化的步骤
(1)求出A的全部互不相等的特征值1 2 s
它们的重数依次为k1 k2 ks(k1k2 ksn).
§4.4 实对称矩阵的对角化
一个n阶方阵可以对角化是有条件的, 比如有n个线性无关的特征向量 . 也就是说并非所有n阶方阵都能对角化 但任何实对称矩阵都是可以对角化的.
§4.4 实对称矩阵的对角化
一、实对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵
把实对称矩阵化为对角阵的方法
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
v定理4.3
设A为n阶实对称阵 是A的特征方程的k重根 则对应特 征值恰有k个线性无关的特征向量.
v定理4.4 设A为n阶实对称阵 则必有正交阵P 使P1APPTAP
其中是以A的n个特征值为对角元的对角矩阵.
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1 2 0
例4.2
设A
2
2
2
求正交阵
P
使P1AP为对角阵.
0 2 3
解 由|AE| (+1)( 2) ( 5)
得特征值11 22 , 35.
对应11 解方程(A+E)x0 得基础解系1 对应22 解方程(A2E)x0 得基础解系2 对应35 解方程(A5E)x0 得基础解系3 由于1 ,2 ,3是实对称阵的对应于不同特征值的特征向量, 于是1 , 2 , 3正交, 所以只要单位化即可得 p1 p2 p3
011 . 求正交阵 P 使P1AP为对角阵.
解 由|AE|(1)2(2) 得特征值12 231.
对应12 解方程(A2E)x0 得基础解系1(1 1 1)T.
将1单位化 得
p1
1 (1, 1, 3
1)T .
对应231 解方程 (AE)x0 即 x1 +x2－x30
得基础解系
2(1 1 0)T 3(1 0 1)T.
证 设复数为实对称阵A的特征值 复向量x 0为对应于的特征向量 即Axx. 有 A x A x Ax x x Ax x .
于是有 x T A xT AT AxT x T x T x T A x T .
故x右乘上式有
xTAxxTx.
而 x T左乘Axx有 xTAxxTx.
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习题4-3, P154
4. 设矩阵
A
1 2 4
2 x 2
124
5
与
y
4
相似
求x y 并求一个正交阵P 使P1AP.
提示： 相似矩阵的特征值相同、行列式相等. 1+x+1=5 +y +(－4)；=> y5 |A|=||.
|A+4E|=0 或 |A－5E|=0. => x4
所以对应的特征向量可以取实Fra bibliotek量.上页 下页 返回
一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
v定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.
设1 2是实对称阵A的两个特征值 p1 p2是对应的特 征向量. 若12 则p1与p2正交.
证明 已知Ap11p1 Ap22p2 12.
令P(e1 e2 e3) 则P1APdiag(1 1 0) 于是APP1 =P PT =？
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例4.2 设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
则P(p1 p2 p3)为正交阵
1
并且P1AP
2
.
5
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习题4-4, P159
5. 设3阶对称阵A的特征值为11 21 30 对应1、2的特征
向量依次为p1(a 2a 1 1)T p2(a 1 13a)T 求A. 提示：由 [ p1 p2 ] =0，得 a=0或 1． 由 [ p1 p3 ] =0,[ p2 p3 ]=0，得 p3 ． 一法: 令P(p1 p2 p3) 则P1APdiag(1 1 0) 于是APP1 =？ 二法: 把 p1 p2 p3 正交化、单位化，得e1 e2 e3 .
因为A对称 故
p1TA p1TAT (Ap1)T (1p1)T 1p1T ,
于是 p1TAp2= 1p1Tp2
p1TAp2p1T2p2 2p1Tp2
即
(12)p1Tp20.
但12 故 p1Tp20 即p1与p2正交.
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一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数. v定理4.2 实对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交.
两式相减 得 ( )xT x 0
但因x0 所以
xT x
n
n
xixi |xi |2 0
i1
i1
故 0 即 这就说明是实数.
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一、实对称矩阵的性质
v定理4.1 实对称阵的特征值为实数.
显然 当特征值i为实数时 齐次线性方程组 (AiE)x0 是实系数方程组
由|AiE|0知必有实的基础解系
P1AP 或APP1
从而
AnPnP1
提示
因为A对称 故A可对角化 即有可逆向量P及对角阵
使P1AP. 于是APP1 从而AnPnP1.
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例4.2设 A21 21 求An. 解 因为|AE|(1)(3) 所以A的特征值为11 23. 对应11 解方程(AE)x0 得p1(1 1)T. 对应13 解方程(A3E)x0 得p2(1 1)T. 于是有可逆矩阵P(p1 p2) 及diag(1 3) 使
(2)对每个ki重特征值i 求方程(AE)x0的基础解系
得ki个线性无关的特征向量. 再把它们正交化、单位化
得ki个两两正交的单位特征向量. 因k1k2 ksn 故共可得n个两两正交的单位特征向量.
(3)把这n个两两正交的单位特征向量构成正交阵P
便有P1APPTAP.
注意中对角元的排列次序与P中列向量的排列次序相对应.