2020年常用等价无穷小等价替换-常见等价无穷小等价
18个等价无穷小替换公式
18个等价无穷小替换公式(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(x+1)~e^x-1~ln(x+根号(1+x^2))~(a^x-1)/lna~[(1+x)^a-1]/a; (共10个等阶无穷小量)(2)x^2~2-2cosx~2根号(1+x^2)-2；(共3个等阶无穷小量)；(3)x^3~6x-6sinx~3tanx-3x~6arcsinx-6x~2tanx-2sinx.(共5等阶无穷小量).不难发现，每一组等阶无穷小量都有一个关于x的等项式与之对应。
可以说，第一组是一阶无穷小量，第二组是二阶无穷小量，而第三组是三阶无穷小量。
这里的"阶"指的是关于x的单项式中，x的指数。
所谓等阶无穷小，指的是两个无穷小量的商的极限等于1. 比如最常见的是第一个重要极限lim(x->0)sinx/x=1. 事实上，这个极限的倒数形式lim(x->0)x/sinx=1也是成立的。
三组等阶无穷小量，一共18个无穷小量其实不止组成类似于第一个重要极限这样的等阶无穷小公式。
其实第一组等阶无穷小量可以组成55个类似的公式；第二组等阶无穷小量可以组成6个类似的公式；第三组等阶无穷小量可以组成15个类似的公式。
这里无法一一累述，希望你可以自己动手试一试，以加强对它们的理解和记忆。
等阶无穷小最主要的用途，当然就是应用在求极限时的等阶无穷小替换了。
下面举几个运用等阶无穷小替换求极限的例子：利用等阶无穷小量替换求极限：(1)lim(x->0)arctanx/sin(4x)；(2)lim(x->0)(tanx-sinx)/sinx^3；(3)lim(x->无穷大)(xarctan(1/x))/(x-cosx)；(4)lim(x->0)(根号(1+x^2)-1)/(1-cosx).解：(1)因为arctanx~x, sin4x~4x,所以原极限=lim(x->0)x/(4x)=1/4.(2)因为tanx-sinx=sinx(1-cosx)/cosx，又sinx~x, 1-cosx~x^2/2，sinx^3~x^3，lim(x->0)cosx=1，所以原极限=lim(x->0)(x^3/2)/x^3=1/2.(3)因为arctan(1/x)~1/x, 且cosx有界，所以原极限=lim(x->无穷大)1/(x-cosx)=0.(4)因为根号(1+x^2)-1~x^2/2, 1-cosx~x^2/2, 即根号(1+x^2)-1~1-cosx，所以原极限=1.怎么样，等阶无穷小替换运用起来是不是很简单啊？一切都建立在对等阶无穷小的理解以及上面三组等阶无穷小量的记忆的基础上。
等价无穷小替换公式常用
等价无穷小替换公式常用关键信息项：1、等价无穷小的定义2、常见的等价无穷小替换公式3、适用条件和限制4、应用举例5、误差分析与注意事项11 等价无穷小的定义等价无穷小是指在某一极限过程中，两个函数的比值趋近于 1。
即当自变量趋近于某个值时，两个函数的差值相对于它们本身来说可以忽略不计。
111 例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 是等价无穷小。
12 常见的等价无穷小替换公式以下是一些常见的等价无穷小替换公式，在满足一定条件下可以相互替换：当 x 趋近于 0 时：121 sin x ～ x122 tan x ～ x123 arcsin x ～ x124 arctan x ～ x125 ln(1 ＋ x) ～ x126 e^x 1 ～ x127 1 cos x ～（1/2)x^2128 （1 ＋ x)＾a 1 ～ ax （a 为常数）13 适用条件和限制等价无穷小替换公式并非在所有情况下都能随意使用，需要满足一定的条件。
131 替换的无穷小必须是在极限过程中趋于 0 的量。
132 只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能直接替换，除非经过特殊的处理和判断。
133 替换后的式子必须存在极限，且极限值应与原式子的极限值相同。
14 应用举例通过以下例子来说明等价无穷小替换公式的应用：例 1：求极限lim(x→0) （sin x ／ x)解：因为当x→0 时，sin x ～ x，所以lim(x→0) （sin x ／ x) ＝lim(x→0) （x ／ x) ＝ 1例 2：求极限lim(x→0) （tan x x) ／ x^3解：tan x x ＝（sin x ／ cos x) x ＝（sin x x cos x) ／ cos x当x→0 时，sin x x cos x 不能直接用等价无穷小替换。
通过泰勒展开：sin x ＝ x （1/6)x^3 ＋ o(x^3)，cos x ＝ 1 （1/2)x^2 ＋ o(x^2)则 x cos x ＝ x （1/2)x^3 ＋ o(x^3)所以 sin x x cos x ＝（1/2)x^3 ＋ o(x^3)因此lim(x→0) （tan x x) ／ x^3 ＝lim(x→0) （1/2)x^3 ／ x^3 ＝1/215 误差分析与注意事项在使用等价无穷小替换公式时，需要注意可能产生的误差。
等价无穷小常见替换公式
等价无穷小常见替换公式在我们学习数学的漫漫征途中，等价无穷小可是个相当厉害的“武器”，它能帮我们在解决极限问题时，披荆斩棘，轻松过关。
今天咱就来好好聊聊等价无穷小常见的替换公式。
先来说说啥是等价无穷小。
简单讲，就是当两个函数在某个变化过程中，它们的比值趋向于 1 ，那这两个函数就叫做等价无穷小。
比如说，当 x 趋向于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。
常见的等价无穷小替换公式有不少呢。
比如当 x 趋向于 0 时，tan x 等价于 x ，1 - cos x 等价于 1/2 x²，ln(1 + x) 等价于 x 等等。
我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个学生特别可爱。
他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，给他举了个例子。
假如我们要计算极限：lim(x→0) (tan x - sin x) / x³。
如果直接算，那可就头疼了。
但如果我们用等价无穷小替换，把 tan x 换成 x ，sin x换成 x ，式子就变成了lim(x→0) (x - x) / x³ = 0 ，是不是一下子就简单多啦？等价无穷小的替换在计算极限的时候，能大大简化运算过程，提高解题效率。
但这里要注意一个重要的点，那就是等价无穷小的替换只能在乘除运算中使用，如果是加减运算，就得小心啦，不能随便替换，不然可能会出错。
比如说，计算极限lim(x→0) (sin x - x) / x³，如果直接把 sin x 换成x ，那就错啦，因为这是个加减运算。
再给大家举个例子加深印象。
计算极限lim(x→0) (1 - cos x) / x²，因为 1 - cos x 等价于 1/2 x²，所以可以替换，结果就是 1/2 。
等价无穷小的替换公式就像是一把神奇的钥匙，能打开很多复杂极限问题的大门。
但要记住，使用的时候一定要谨慎，遵循规则，不然可就打不开这扇门咯。
常用的等价无穷小公式大全
常用的等价无穷小公式大全等价无穷小是数学中一个重要的概念，用来描述当自变量趋于一些特定值时，函数与该值的差距相对于自变量的关系。
等价无穷小公式是用来表示等价无穷小的数学公式，可以帮助我们更快地理解和推导数学问题。
以下是一些常用的等价无穷小公式：1.当x趋于0时，常用的等价无穷小公式为：-x的n次方（n为正整数）：x^n与0的关系可以表示为x^n∼0。
- sin(x)：当 x 趋于 0 时，sin(x) ∼ x。
- tan(x)：当 x 趋于 0 时，tan(x) ∼ x。
-e^x-1：当x趋于0时，e^x-1∼x。
2.当x趋于无穷大时，常用的等价无穷小公式为：-x的n次方（n为正整数）：x^n与无穷大的关系可以表示为x^n∼∞。
-e^x：当x趋于无穷大时，e^x∼∞。
- ln(x)：当 x 趋于无穷大时，ln(x) ∼ ∞。
-1/x：当x趋于无穷大时，1/x∼0。
- sin(x)：当 x 趋于无穷大时，sin(x) 的取值在 [-1, 1] 区间内振荡。
3.在极限运算中，常用的等价无穷小公式为：-当x趋于a时，f(x)∼g(x)意味着f(x)-g(x)是一个无穷小。
-当x趋于a时，相对于f(x)的二阶无穷小有：f(x)+o(f(x))∼f(x)，其中o(f(x))表示相对于f(x)的二阶无穷小。
-当x趋于a时，f(x)∼g(x)和g(x)∼h(x)可以推出f(x)∼h(x)。
4.在求导过程中，常用的等价无穷小公式为：-当x趋于a时，f(x)-f(a)∼(x-a)f'(a)，其中f'(a)是函数f(x)在点a处的导数。
- 当 x 趋于 0 时，sin(x) - x ∼ 0.5 x^3- 当 x 趋于 0 时，tan(x) - x ∼ 0.5 x^35.在积分过程中，常用的等价无穷小公式为：- 当 x 趋于无穷大时，∫[a, x] f(t) dt ∼ F(x) - F(a)，其中F(x) 是函数 f(x) 的不定积分。
八个无穷小的等价替换公式
八个无穷小的等价替换公式嘿，说起这八个无穷小的等价替换公式，那可真是数学学习中的宝贝！咱先来说说第一个，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 是等价无穷小。
这就好比你去买糖果，一颗糖一块钱，买得少的时候，花的钱就和买的糖的数量差不多。
再看第二个，tan x 和 x 等价无穷小。
想象一下你在操场上跑步，跑的距离很短的时候，沿着直线跑和沿着曲线跑（就像 tan x 的轨迹），感觉好像没太大差别。
接着是第三个，arcsin x 和 x 等价无穷小。
这就好像你在搭积木，最开始搭的那几块，怎么放差别都不大。
然后是 arctan x 和 x 等价无穷小，这就如同你在画画，刚开始勾勒的那几笔，怎么画都影响不大。
还有 ln(1 + x) 和 x 等价无穷小。
比如说你存钱，刚开始存的那一点点，和你实际存的金额感觉上差不多。
1 - cos x 和 x²/2 等价无穷小呢，就像是你吹气球，刚开始吹那一小口气，气球的体积变化不大，但是也有那么一点点变化，就像 x²/2 。
还有(1 + x)^α - 1 和αx 等价无穷小。
这好比你种小树苗，刚开始长的那一点点高度，和你精心照料的程度成正比。
最后是 e^x - 1 和 x 等价无穷小。
这就像你加热水，一开始温度升高的那一点，和加热的时间差不多成正比。
我记得之前有个学生，在学习这些公式的时候总是很迷糊。
有一次做作业，碰到一个题目，要用等价无穷小来简化计算，他愣是半天没搞明白。
我就给他举了个买糖果的例子，就像刚刚说的 sin x 和 x 的关系。
然后让他自己再想想其他的公式能对应什么样的生活场景。
慢慢地，他好像开了窍，后来再遇到这类题目，做得可顺溜了。
总之，这八个无穷小的等价替换公式虽然看起来有点复杂，但只要你把它们和生活中的例子联系起来，理解起来就容易多啦！好好学习这些公式，数学的世界会为你敞开更广阔的大门哟！。
高数等价无穷小替换公式大全
x趋于0时，x和sinx是等价无穷小；sinx和tanx是等价无穷小；tanx和ln(1+x)是等价无穷小；ln（1+x）和ex-1是等价无穷小；ex-1和arcsinx、arctanx是等价无穷小；
等价无穷小的替换条件：
①x→0时
②只能在乘除运算中用无穷小替换，不能互相加减，否则误差会增大到不可接受的地步。
（但当加减项作为一个整体的时候，是可以被等价替换的）
③X的位置可以是任意小的无穷函数
一. 无穷小
定义1. 若x→x0时，函数f(x)→0 , 则称函数 f(x) 为x→x0时的无穷小。
注. x0 可以是±∞；无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是0，其实不是常数0 而是0 函数。
• 有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)
• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)
• 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
高数等价无穷小替换公式
高数等价无穷小替换公式
高数中，等价无穷小替换公式是指在极限计算中将一个无穷小量替换为与它等价的另一个无穷小量的公式。
常见的等价无穷小替换公式有以下几种：
1. 当 x 趋于0时，可以将 sin(x) 替换为 x。
lim(x→0) sin(x) / x = 1
2. 当 x 趋于0时，可以将 tan(x) 替换为 x。
lim(x→0) tan(x) / x = 1
3. 当 x 趋于0时，可以将 arcsin(x) 替换为 x。
lim(x→0) arcsin(x) / x = 1
4. 当 x 趋于0时，可以将 arctan(x) 替换为 x。
lim(x→0) arctan(x) / x = 1
5. 当 x 趋于无穷大时，可以将 e^x - 1 替换为 x。
lim(x→∞) (e^x - 1) / x = 1
这些等价无穷小替换公式在极限计算中经常使用，可以简化计算过程，但需要注意使用的条件和适用范围。
重要的等价无穷小替换公式
重要的等价无穷小替换公式等价无穷小替换公式是微积分中的重要概念，它在求极限、导数和积分等计算中起到了关键作用。
本文将介绍几个重要的等价无穷小替换公式，并解释其应用。
一、等价无穷小的定义等价无穷小是指当自变量趋于某一特定值时，函数与某个已知无穷小函数之间的关系。
它表示在极限过程中，函数与另一个函数的差异可以忽略不计。
二、等价无穷小替换公式1. sinx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有sinx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用sinx替换x，而不会改变极限的结果。
2. tanx与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有tanx/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用tanx替换x，而不会改变极限的结果。
3. e^x-1与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有e^x-1/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用e^x-1替换x，而不会改变极限的结果。
4. ln(1+x)与x的等价无穷小当x趋于0时，我们有ln(1+x)/x等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用ln(1+x)替换x，而不会改变极限的结果。
5. a^x-1与xlna的等价无穷小当x趋于0时，我们有a^x-1/xlna等于1。
这意味着在计算极限时，我们可以用a^x-1替换xlna，而不会改变极限的结果。
三、等价无穷小替换公式的应用1. 求极限等价无穷小替换公式在求极限的过程中经常被使用。
通过将原函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化计算过程并得到准确的极限值。
2. 导数的计算等价无穷小替换公式在求导数的过程中也有广泛的应用。
通过将函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化求导的过程，并得到准确的导数值。
3. 积分的计算等价无穷小替换公式在求积分的过程中同样起到了重要作用。
通过将被积函数替换为一个与之等价的无穷小函数，可以简化积分的过程，并得到准确的积分值。
四、总结等价无穷小替换公式是微积分中的重要工具，它在求极限、导数和积分等计算中发挥了关键作用。
常用等价无穷小等价替换
常用等价无穷小等价替换在数学分析和微积分的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。
它能够帮助我们在计算极限的过程中，将复杂的式子简化，从而更轻松地得出结果。
首先，我们来理解一下什么是无穷小。
当一个变量在某个变化过程中，其绝对值无限接近于零，那么这个变量就被称为无穷小。
而等价无穷小，则是指在同一变化过程中，两个无穷小的比值的极限为 1 。
常见的等价无穷小有很多，比如当＼（x ＼to 0\）时，＼（＼sin x ＼sim x\），＼（＼tan x ＼sim x\），＼（1 ＼cos x ＼sim ＼frac{1}｛2}x^2\），＼（＼ln(1 ＋ x) ＼sim x\），＼（e^x 1 ＼sim x\）等等。
为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在计算极限时，直接对复杂的式子进行运算可能会很困难，但是如果我们能够将其中的某些无穷小用与其等价的简单形式替换，就能够大大简化计算。
例如，计算\（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin 2x}｛3x}＼），因为当＼（x ＼to 0\）时，＼（＼sin 2x ＼sim 2x\），所以我们可以将原式替换为\（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{2x}｛3x} ＝＼frac{2}｛3}＼），这样就很容易得出结果。
再比如，计算\（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼tan x ＼sin x}｛x^3}＼），如果直接计算会非常复杂。
但是，因为当＼（x ＼to 0\）时，＼（＼tan x ＼sim x\），＼（＼sin x ＼sim x\），所以\（＼tan x ＼sinx ＼sim x x ＝ 0\），这显然是不正确的。
这是因为在进行等价无穷小替换时，不能在加减运算中随意使用，除非是高阶无穷小可以忽略不计的情况。
对于这个例子，我们可以将\（＼tan x\）和\（＼sin x\）展开：＼（＼tan x ＝＼frac{＼sin x}｛＼cos x} ＝＼frac{x ＋＼frac{1}｛3!｝x^3 ＋ o(x^3)｝｛1 ＼frac{1}｛2!｝x^2 ＋ o(x^2)｝＝ x ＋＼frac{1}｛3}x^3 ＋ o(x^3)＼），＼（＼sin x ＝ x ＼frac{1}｛3!｝x^3 ＋ o(x^3)＼），所以\（＼tan x ＼sin x ＝＼frac{1}｛3}x^3 ＋ o(x^3)＼），则\（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼tan x ＼sin x}｛x^3} ＝＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼frac{1}｛3}x^3 ＋ o(x^3)｝｛x^3} ＝＼frac{1}｛3}＼）。
等价无穷小替换公式表
等价无穷小替换公式表- $\sin x \sim x$。
- $\tan x \sim x$。
- $\arcsin x \sim x$。
- $\sinh x \sim x$。
- $\ln(1+x) \sim x$。
- $e^x - 1 \sim x$。
- $e^x \gg x^n$，其中$n$为常数。
- $\ln x \ll x^p$，其中$p$为常数。
- $\sqrt{x^2 + a^2} - x \sim \frac{a^2}{2x}$，其中$a$为常数。
-$(x-a)^n$替换为$0$，其中$n>0$。
- $\sqrt[n]{x}-\sqrt[n]{a}$替换为$0$。
- $a^x-1 \sim (x-a)\ln a$。
- $e^{kx}-1 \sim k(x-a)$。
- $\sqrt{x^2\pm a}-，x，$替换为$\frac{a}{2x}$。
- $\sqrt[n]{x^m+a}-x$替换为$\frac{a}{nx^{n-m+1}}$，其中$m>n>0$。
- $(1+x)^{\frac{1}{x}}$替换为$e$。
- $\ln(1+x)$替换为$x$。
- $\frac{a^x-1}{x}$替换为$\ln a$。
- $\frac{\ln(1+x)}{x}$替换为$1$。
- $\frac{a^x-1}{x}$替换为$\ln a$。
上述公式尽管以一些常见的情况为例，但并不是所有情况下都满足。
在使用等价无穷小替换公式时，需要根据具体情况进行分析和判断，避免产生错误的结果。
同时，需要注意的是，等价无穷小替换并不是精确的等式，而是在极限意义下的近似等式。
因此，在使用等价无穷小替换公式时，需要注意误差的范围和精度，确保结果的准确性。