1.6值域、核与不变子空间
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=
T是满射当且仅当R(T)=U. 是满射当且仅当R(T)=U.
定理1.14 设V是n维线性空间,线性变换T：V→V 维线性空间,线性变换T 定理 则以下条件等价： 则以下条件等价： （1） T是单射； 是单射； 是满射； （2） T是满射； 是双射。 （3） T是双射。
二、R上线性方程组求解理论 上线性方程组求解理论
设A
阶矩阵， 为 m × n阶矩阵，称R ( A) = Ax | x ∈ R orx ∈ C
nBaidu Nhomakorabea
{
n
}
的值域； 的值域 N 为矩阵 A的值域； ( A) = x | x ∈R orx ∈C , Ax = 0
n n
{
}
的核。 为A的核。 的核
、
的秩和零度。 dim R( A) dim N ( A)称为 A 的秩和零度。
所以Ax=0,从而 ∈N(A),故 N(C)∏R(B)∩N(A), 从而x∈ 所以 从而 故 ∏ ∩ 于是N(C)＝R(B)∩N(A)。 ＝ 于是 ∩ 。 又 R(C)=A(R(B))=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB) 由维数公式知 dimR(B)= dimR(C)+dimN(C) =dimR(AB)+ dim[N(A)∩R(B)] ∩ 也即r(AB)=r(B)-dim[N(A)∩R(B)]。 ∩ 也即 。 又由r(B 以及r(B)=r(BT)知 又由 TAT)=r(AB)以及 以及 知 r(AB)=r(A)-dim[N(BT)∩R(AT)]成立。 ∩ 成立。 成立
称为T的秩，记为rankT； N(T)的维数称为 的零度或亏度， 称为T的秩，记为rankT；而N(T)的维数称为T的零度或亏度， 的维数称为T 记为nullT. 记为nullT. T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T） 的秩=dim R（ 的零度=dim N（ 定理1.11 维线性空间V上的线性变换， 定理1.11 设T是n维线性空间V上的线性变换，且T在V的一组 下的矩阵是A 基 ε1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵是A，则 T 的值域R(T)是 生成的子空间， （1）T的值域R(T)是 ( ε1 ) , T ( ε 2 ) ,L , T ( ε n ) 生成的子空间，即
我们利用线性映射中零空间与值域的概念， 我们利用线性映射中零空间与值域的概念，来讨论 线性方程组的求解问题
定理1.16 定理 设 A ∈ R m×n b ∈ R n 则
Ax = b 有解当且仅当 dim R( A) = dim R( A, b) or R( A) = R( A, b) R( A) = R( A, b) 且 Ax （2）线性方程组 = b有唯一解当且仅当 ）
设有R 的两个子空间： 例1.39 设有 3的两个子空间：
V1 = {( x1 , x 2 , x3 ) 2 x1 + x 2 − x3 = 0}
V2 = {(x1 , x 2 , x3 ) x1 + x 2 = 0, 3x1 + 2 x 2 − x3 = 0}
分别求子空间W 的基与维数. 分别求子空间 1+W2，W1 ∩W2的基与维数
1）A2=A; ） 2）R(A+I)=N(A-I)以及 ） 以及R(A－I)=N(A＋I)； 以及 － ＋ ； 3） r(A+I)+r(A-I)=n; ） 4) Rn=N(A+I)+N(A-I).
平面上全体向量， 例1.37 平面上全体向量，对如下定义的加法和数乘 α ⊕β =α −β k o α = −kα
§1.6值域、核与不变子空间 1.6值域 值域、
一、定义和若干性质 (P.23) 定义 1.2.1 (P.23) 线性变换的象空间和零空间 设线性映射T 设线性映射T：V→U， R(T)=｛ =T(α 值域 R(T)=｛β： ∃α∈ V ，β=T(α)｝™U 核空间 N（T）=｛α：α∈ V，T ( α) =0 ｝
不等式： 推论 Sylverster不等式： 不等式 min{r(A),r(B)}∴r(AB)∴r(A)+r(B)-n ∴ ∴ 其中， 是矩阵 的列数。 是矩阵A的列数 其中，n是矩阵 的列数。 证明：左边显然成立。对于右边，由于 证明：左边显然成立。对于右边，由于dim[R(B)∩N(A) ≤dimN(A) ∩ 利用上面的定理则有R(AB)=r(B)- dim[R(B)∩N(A) 利用上面的定理则有 ∩ ∴r(B)-dimN(A)=r(B)-[n-r(A)]=r(B)+r(A)-n.
例1. 40 设W1,W2分别是齐次线性方程组
x1 + x2 + L + xn = 0
与
x1 = x2 = L = xn
的解空间，试证明Rn=W1⊕W2. 的解空间，试证明
（1）线性方程组 ） （3）线性方程组 Ax = b 有无穷多解当且仅当 ）
R( A) = R( A, b) 且 dim R( A) = r < n
dim R( A) = n, or , N ( A) = {0)
在上面的定理中， b=0,则 推论 在上面的定理中，取b=0,则有
（1）线性方程组 ）
1 0 0 A = 0 1 0 0 0 0
知的T秩 事实上，由例1.34知 由定理1.11知的 由定理1.11知的T秩 =2. 事实上，由例1.34知：R3上的 投影变换f的值域就是 平面 的值域就是xoy平面 平面. 投影变换 的值域就是
定理1.12设V,U分别是数域 上的 维和 维线性空间， 设 分别是数域P上的 维和m维线性空间 定理 分别是数域 上的n维和 维线性空间， T:V→U的线性映射，则 → 的线性映射， 的线性映射 Dim R(T)+dim N(T)=n
设
看成R 看成 A∈R 把A看成 n→Rm的线性映射 A=(Α1, Α2,…, Αn) Α
m×n
xΙ Rn,x→y=Ax ∈ Rm Ι → 则有 定理1.15 定理
(1)R(A)=Span{ Α1, Α2,…, Αn} ; (2) dimR(A)=r(A) ,其中 其中r(A)是A的秩. 的秩. 是 的秩
定理1.18 设A∈Rn×n,则下列条件等价 定理 ∈ × 则下列条件等价
1） N(A)=N(A2); ） 3） r(A)=r(A2); ）
2） dimN(A)=dimN(A2); ） 4） R(A)=R(A2); ）
5） N(A)ΗR(A)={0}; 6） Rn=N(A⊕R(A); ） Η ） ⊕ 7） ）
Ax = 0
必有解； 必有解；
（2）线性方程组 Ax = 0 只有零解当且仅当 dim R( A) = n ） （3）线性方程组 Ax = 0 有无穷多解当且仅当 dim R ( A) < n ）
关于矩阵秩的有关结论 定理1.17 定理 设A∈Rm×n,B∈Rn×l,则 ∈ × ∈ × 则
（1）r(AB)=r(B)-dim[N(A)∩R(B)] ） ∩ （2）r(AB)=r(A)-dim[N(BT)∩R(AT)] ） ∩ 证明：我们定义线性映射 证明：我们定义线性映射C ：R(B)→R(A),x→y=Ax∈ R(A) → → ∈ 则N(C)=R(B)∩N(A),R(C)=R(AB). ∩ 事实上， 事实上，若x∩ R(B)且Ax=0,则x∈ R(B) ∩N(A),从而 ∩ 且 则 ∈ 从而 N(C)™R(B)∩N(A),反之若 ∈R(B) ∩N(A),则 x ∈R(B)且x ∈ N(A), ™ 反之若x ∩ 反之若 则 且
D 0 −1 A = P P 0 0
,其中 是n阶可逆矩阵，D的r阶可逆矩阵，r=r(A). 其中P是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 的 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 其中 8） A=QA2. ）
定理1.19 设AΙ Rn≅n,则以下条件等价： 则以下条件等价： 定理 Ι ≅ 则以下条件等价
（2）
推论 （1） ） dim R(T ) + dim N (T ) = dimV （2） dim R( A) = rank ( A) ） 的列数。 （3） dim R( A) + dim N( A) = n n为A的列数。 ） 为 的列数
，
例1.36 设 A = 1
1 在R2×2上的线性变换定义为 × − 1 − 1
的值域R(T)及核子空间 及核子空间N(T)基与维数，并问 基与维数， 求T的值域 的值域 及核子空间 基与维数 R(T)+N(T)是否是直和？ 是否是直和？ 是否是直和
定理1.13 设V,U是有限维线性空间,线性变换 是有限维线性空间, 定理 T:V→ T:V→U 则T是单射当且仅当N（T）={0 }; 是单射当且仅当N
R (T ) = span (T ( ε1 ) , T ( ε 2 ) ,L , T ( ε n ) )
（2）T的秩 =r(A).
由例1.31知R3上的投影变换 例1.35 由例 知 上的投影变换f:(a,b,c)→(a,b,0)，在 → ， 自然基e 自然基 1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩阵为 下的矩阵为
按照上述定义不构成R上的线性空间 上的线性空间。 则R2按照上述定义不构成 上的线性空间。
1 0 例38．设 A = ． 0 2
记
L( A) = B B ∈ R 2×2 , AB = BA
{
}
求证L(A)为R2×2的线性子空间，并求 为 × 的线性子空间，并求dimL(A). 求证
定理1.10 定理1.10 N(T), R(T)分别是V,U的子空间 R(T)分别是 分别是V
基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间，Ｔ 基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间，Ｔ 的核子空间又称为Ｔ的零子空间. 的核子空间又称为Ｔ的零子空间.
定义1.14 定义1.14
设T是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数 是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数
T是满射当且仅当R(T)=U. 是满射当且仅当R(T)=U.
定理1.14 设V是n维线性空间,线性变换T：V→V 维线性空间,线性变换T 定理 则以下条件等价： 则以下条件等价： （1） T是单射； 是单射； 是满射； （2） T是满射； 是双射。 （3） T是双射。
二、R上线性方程组求解理论 上线性方程组求解理论
设A
阶矩阵， 为 m × n阶矩阵，称R ( A) = Ax | x ∈ R orx ∈ C
nBaidu Nhomakorabea
{
n
}
的值域； 的值域 N 为矩阵 A的值域； ( A) = x | x ∈R orx ∈C , Ax = 0
n n
{
}
的核。 为A的核。 的核
、
的秩和零度。 dim R( A) dim N ( A)称为 A 的秩和零度。
所以Ax=0,从而 ∈N(A),故 N(C)∏R(B)∩N(A), 从而x∈ 所以 从而 故 ∏ ∩ 于是N(C)＝R(B)∩N(A)。 ＝ 于是 ∩ 。 又 R(C)=A(R(B))=A(B(Rl)=AB(Rl)=R(AB) 由维数公式知 dimR(B)= dimR(C)+dimN(C) =dimR(AB)+ dim[N(A)∩R(B)] ∩ 也即r(AB)=r(B)-dim[N(A)∩R(B)]。 ∩ 也即 。 又由r(B 以及r(B)=r(BT)知 又由 TAT)=r(AB)以及 以及 知 r(AB)=r(A)-dim[N(BT)∩R(AT)]成立。 ∩ 成立。 成立
称为T的秩，记为rankT； N(T)的维数称为 的零度或亏度， 称为T的秩，记为rankT；而N(T)的维数称为T的零度或亏度， 的维数称为T 记为nullT. 记为nullT. T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T） 的秩=dim R（ 的零度=dim N（ 定理1.11 维线性空间V上的线性变换， 定理1.11 设T是n维线性空间V上的线性变换，且T在V的一组 下的矩阵是A 基 ε1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵是A，则 T 的值域R(T)是 生成的子空间， （1）T的值域R(T)是 ( ε1 ) , T ( ε 2 ) ,L , T ( ε n ) 生成的子空间，即
我们利用线性映射中零空间与值域的概念， 我们利用线性映射中零空间与值域的概念，来讨论 线性方程组的求解问题
定理1.16 定理 设 A ∈ R m×n b ∈ R n 则
Ax = b 有解当且仅当 dim R( A) = dim R( A, b) or R( A) = R( A, b) R( A) = R( A, b) 且 Ax （2）线性方程组 = b有唯一解当且仅当 ）
设有R 的两个子空间： 例1.39 设有 3的两个子空间：
V1 = {( x1 , x 2 , x3 ) 2 x1 + x 2 − x3 = 0}
V2 = {(x1 , x 2 , x3 ) x1 + x 2 = 0, 3x1 + 2 x 2 − x3 = 0}
分别求子空间W 的基与维数. 分别求子空间 1+W2，W1 ∩W2的基与维数
1）A2=A; ） 2）R(A+I)=N(A-I)以及 ） 以及R(A－I)=N(A＋I)； 以及 － ＋ ； 3） r(A+I)+r(A-I)=n; ） 4) Rn=N(A+I)+N(A-I).
平面上全体向量， 例1.37 平面上全体向量，对如下定义的加法和数乘 α ⊕β =α −β k o α = −kα
§1.6值域、核与不变子空间 1.6值域 值域、
一、定义和若干性质 (P.23) 定义 1.2.1 (P.23) 线性变换的象空间和零空间 设线性映射T 设线性映射T：V→U， R(T)=｛ =T(α 值域 R(T)=｛β： ∃α∈ V ，β=T(α)｝™U 核空间 N（T）=｛α：α∈ V，T ( α) =0 ｝
不等式： 推论 Sylverster不等式： 不等式 min{r(A),r(B)}∴r(AB)∴r(A)+r(B)-n ∴ ∴ 其中， 是矩阵 的列数。 是矩阵A的列数 其中，n是矩阵 的列数。 证明：左边显然成立。对于右边，由于 证明：左边显然成立。对于右边，由于dim[R(B)∩N(A) ≤dimN(A) ∩ 利用上面的定理则有R(AB)=r(B)- dim[R(B)∩N(A) 利用上面的定理则有 ∩ ∴r(B)-dimN(A)=r(B)-[n-r(A)]=r(B)+r(A)-n.
例1. 40 设W1,W2分别是齐次线性方程组
x1 + x2 + L + xn = 0
与
x1 = x2 = L = xn
的解空间，试证明Rn=W1⊕W2. 的解空间，试证明
（1）线性方程组 ） （3）线性方程组 Ax = b 有无穷多解当且仅当 ）
R( A) = R( A, b) 且 dim R( A) = r < n
dim R( A) = n, or , N ( A) = {0)
在上面的定理中， b=0,则 推论 在上面的定理中，取b=0,则有
（1）线性方程组 ）
1 0 0 A = 0 1 0 0 0 0
知的T秩 事实上，由例1.34知 由定理1.11知的 由定理1.11知的T秩 =2. 事实上，由例1.34知：R3上的 投影变换f的值域就是 平面 的值域就是xoy平面 平面. 投影变换 的值域就是
定理1.12设V,U分别是数域 上的 维和 维线性空间， 设 分别是数域P上的 维和m维线性空间 定理 分别是数域 上的n维和 维线性空间， T:V→U的线性映射，则 → 的线性映射， 的线性映射 Dim R(T)+dim N(T)=n
设
看成R 看成 A∈R 把A看成 n→Rm的线性映射 A=(Α1, Α2,…, Αn) Α
m×n
xΙ Rn,x→y=Ax ∈ Rm Ι → 则有 定理1.15 定理
(1)R(A)=Span{ Α1, Α2,…, Αn} ; (2) dimR(A)=r(A) ,其中 其中r(A)是A的秩. 的秩. 是 的秩
定理1.18 设A∈Rn×n,则下列条件等价 定理 ∈ × 则下列条件等价
1） N(A)=N(A2); ） 3） r(A)=r(A2); ）
2） dimN(A)=dimN(A2); ） 4） R(A)=R(A2); ）
5） N(A)ΗR(A)={0}; 6） Rn=N(A⊕R(A); ） Η ） ⊕ 7） ）
Ax = 0
必有解； 必有解；
（2）线性方程组 Ax = 0 只有零解当且仅当 dim R( A) = n ） （3）线性方程组 Ax = 0 有无穷多解当且仅当 dim R ( A) < n ）
关于矩阵秩的有关结论 定理1.17 定理 设A∈Rm×n,B∈Rn×l,则 ∈ × ∈ × 则
（1）r(AB)=r(B)-dim[N(A)∩R(B)] ） ∩ （2）r(AB)=r(A)-dim[N(BT)∩R(AT)] ） ∩ 证明：我们定义线性映射 证明：我们定义线性映射C ：R(B)→R(A),x→y=Ax∈ R(A) → → ∈ 则N(C)=R(B)∩N(A),R(C)=R(AB). ∩ 事实上， 事实上，若x∩ R(B)且Ax=0,则x∈ R(B) ∩N(A),从而 ∩ 且 则 ∈ 从而 N(C)™R(B)∩N(A),反之若 ∈R(B) ∩N(A),则 x ∈R(B)且x ∈ N(A), ™ 反之若x ∩ 反之若 则 且
D 0 −1 A = P P 0 0
,其中 是n阶可逆矩阵，D的r阶可逆矩阵，r=r(A). 其中P是 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 的 阶可逆矩阵 阶可逆矩阵， 其中 8） A=QA2. ）
定理1.19 设AΙ Rn≅n,则以下条件等价： 则以下条件等价： 定理 Ι ≅ 则以下条件等价
（2）
推论 （1） ） dim R(T ) + dim N (T ) = dimV （2） dim R( A) = rank ( A) ） 的列数。 （3） dim R( A) + dim N( A) = n n为A的列数。 ） 为 的列数
，
例1.36 设 A = 1
1 在R2×2上的线性变换定义为 × − 1 − 1
的值域R(T)及核子空间 及核子空间N(T)基与维数，并问 基与维数， 求T的值域 的值域 及核子空间 基与维数 R(T)+N(T)是否是直和？ 是否是直和？ 是否是直和
定理1.13 设V,U是有限维线性空间,线性变换 是有限维线性空间, 定理 T:V→ T:V→U 则T是单射当且仅当N（T）={0 }; 是单射当且仅当N
R (T ) = span (T ( ε1 ) , T ( ε 2 ) ,L , T ( ε n ) )
（2）T的秩 =r(A).
由例1.31知R3上的投影变换 例1.35 由例 知 上的投影变换f:(a,b,c)→(a,b,0)，在 → ， 自然基e 自然基 1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3-(0,0,1)下的矩阵为 下的矩阵为
按照上述定义不构成R上的线性空间 上的线性空间。 则R2按照上述定义不构成 上的线性空间。
1 0 例38．设 A = ． 0 2
记
L( A) = B B ∈ R 2×2 , AB = BA
{
}
求证L(A)为R2×2的线性子空间，并求 为 × 的线性子空间，并求dimL(A). 求证
定理1.10 定理1.10 N(T), R(T)分别是V,U的子空间 R(T)分别是 分别是V
基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间，Ｔ 基于以上原因，所以T值域又称为T的象子空间，Ｔ 的核子空间又称为Ｔ的零子空间. 的核子空间又称为Ｔ的零子空间.
定义1.14 定义1.14
设T是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数 是线性空间V上的线性变换，R(T)的维数