矩阵论范数理论

第二章 范数理论

在第一章我们曾利用内积定义了向量的长度，他是几何向量长度概念的一种推广。虽然当n>3时对定义的向量长度无法作出具体的几何解释，但这样规定的长度具有几何向量长度的基本性质，即非负性，齐次性和三角不等式。本章我们采用公理化的方法，八项量长度的概念推广到更一般的情形，主要讨论向量范数、矩阵范数及其有关的应用。

§2.1 向量范数

定义 2.1 若对任意n C x ∈都有一个实数x

与之对应，且满

足：

（1） 非负性：当x 0 x

0 x 0x 0 ?

==时，；当，；

（2） 齐次性：对任何C x

x l

l l ?，； （3） 三角不等式：对任意n x,y C Î

，

都有x y ,x y +?则称x

为n C 上的向量x 的范数，简称向量范数。

定义中并未给出向量范数的计算方法，只是规定了向量范数应满足的三条公理，称之为向量范数三公理。从范数定义可得范数的下列基本性质。 定理2.1 对任意，n C y x,∈有 （1）x -=x

；

（2）

x .y x

y -?

只证（2）。根据三角不等式，有

x x y y x y y =-+?+ y y x x y

x x

=-+?+

综合二式即得

x y x y

-?

证毕

例 2.1 设12n ().T n x C x x x = ，， 规定

2x =

第一章已表明

2

x

是向量x 的一种范数，并称之为向量2-范数，该范数具

有如下重要的性质，对任意n x C Î

和任意

n 阶酉矩阵U ，有

22Ux .x =

称之为向量

2-范数的

酉不变性。

例2.2 设12n x ().T n C x x x =

，，规定

11

x n

k

k x ==

å

则1x 是向量

x 的一种范数，称为向量1-范数。

证

当

1

11

x 0x 0 x 0x 0x 0.n

k k x =?>==å

时，显然；当时，的每一分量都是，故

对任意λ C , Î

有

n

111

1

x n

k

k k k x l l x

l

x l ===

==邋

又对任意12y (,,).T n n C h h h =

有

1111

1

1

1

()n n

n n

k

k k k k

k k k k k x y x y x

h x h x

m ====+=

+?

=

+

=+邋邋

故

1

x

是n C 上的一种向量范数。 例2.3 设12n x ().T n C x x x = ，，规定

1x max k

k

x = 则

x ¥

是向量x 的一种范数，称为向量¥-

范数。

证 当x 0¹时，有

x

max 0;k k

x ¥

=>当

x=0时，现然有

x

¥

=0.

对任意C ∈λ，有x max max k k k

k

x

l l x l x l ゥ===

又

对

任

意

12y (,,).

T n n C h h h = 有

x y

max max max k k k

k k

k

k

x

y

x h x h ゥ

+=+?=+

故

x

¥

是n C 上的一种向量范数。为给出其他的向量范数，先

证明如下结论.

引理 2.1 对任意实数00a b

吵和，都有p

q p q

a b a b ?

，其中

11

1q 11p q

p >>+=，，且

证 若0ab =，显然结论成立，下面就只就00a b >>和来讨论，考虑函数

()p q

t t t p q

j -=+

(0)t <<+

因为q 1

(1)

11

'()p p q q t t t

t

t j

+---+-=-= 可见，当01'()0;t t j << 时，（而当1t

?+

时，'()0t j ³（

，故总有()(1)

1 (0t )t j j ?<<+

令11q

p

t a

b

-

=，有

11

1

1

1111()

()()p q p

q q p q p p

q p q

a b a b a b ab ---?=+故结论成立。 定理2.2 对任意k , (k

1,2,,n)k C x h ? ，有

1

11

1

1

(

)()

p q n n

n

p

q

k

k k k k k k x

h x h ===£邋 （2.1）

其中p>1，q>1，且11

1.p q

+

= 证 当0(1,2,,)k k k n x h === 时，结论成立。下设k ξ不全为0，

k η也不全为

0.由引理2.1得

n

11111n n 1111

1111()(

)

()()()()p q

k k n n k

k k

k

k p q

n

n

n n

p q p q k k p q p q k k k k k k k k k k k k p q x h x h x h x h x h x h =========轾

轾

轾

犏犏犏犏犏犏犏犏犏=?犏犏犏犏

犏犏

犏

犏

犏犏犏犏臌

臌

臌

å邋邋邋邋11

1.p q

+=故结论成立。 称式（2.1）为Holder 不等式。当p=q=2时，即得Cauchy-Schwarz 不等式2

2

2

11

1

()(

)()n

n

n

k

k k k k k k x h x h ===£邋 （1.5）

例2.4 设12n x ().T n C x x x = ，，，规定

1

1

x ()

n

p

p

k p k x ==å

(1)p

?+

则

p

x

是向量x 的一种范数，称为向量p-范数。

证 易知非负性和齐次性成立，当p=1时，例2.2中已证明三角不等式成立。下设p>1，则对12y (,,).T n n C h h h = ，利

用

定

理

2.2得