2021年中考数学压轴题考点训练：二次函数的面积问题

合集下载

中考数学总复习《二次函数压轴题(面积问题)》专题训练-附含答案

中考数学总复习《二次函数压轴题（面积问题）》专题训练-附含答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax x c =-+与y 轴交于点()0,4A -，与x 轴交于点()4,0B ，连接AB .(1)求抛物线的解析式．(2)P 是AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．①求PC PD +的最大值．①连接PA ，PB ，是否存在点P ，使得线段PC 把PAB 的面积分成3:5两部分？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．综合与探究如图1，抛物线212y x bx c =-++经过点(4,0)B 和(0,2)C ，与x 轴的另一个交点为A ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的解析式及点A 的坐标；(2)如图1，点D 是线段AC 的中点，连接BD ．点E 是抛物线上一点，若ABE BCD S S =△△，设点E 的横坐标为x ，请求出x 的值；(3)试探究在抛物线上是否存在一点P ，使得45PBO OBC ∠+∠=︒？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()0,3C ，且OB OC =．(1)求抛物线的解析式及其对称轴；(2)点D 、E 是直线1x =上的两个动点，且1DE =，点D 在点E 的上方，求四边形ACDE 的周长的最小值．(3)点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3:5两部分，求点P 的坐标．4．已知二次函数23y ax bx a =+-经过点()1,0A -和()0,3C ，与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．(1)求此二次函数解析式；(2)连接DC 、BC 和DB ，判断BCD △的形状并说明理由；(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P ，使得P 、D 、C 构成以PC 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标及此时四边形PBCD 的面积．5．如图，抛物线214y x bx c =-++与x 轴交于点,A B 两点（点A 在点B 的右侧），点()()8,02,0A B -、，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式； (2)点D 为抛物线的顶点，过点D 作DE AC ∥交抛物线于点E ，点P 为抛物线上点,D E 之间的一动点，连接,,,,AC AE AP CE CP ，线段,AP CE 交于点G ，记CPG △的面积为1,S AEG △的面积为2S ，且12S S S =-，求S 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将拋物线沿射线AC 方向平移5个单位长度后得到新抛物线，点Q 是新拋物线对称轴上一动点，在平面内确定一点R ，使得以点P Q B R 、、、为顶点的四边形是矩形．直接写出所有符合条件的点R 的坐标．6．如图，有一个长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度18a =米）围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；(2)如何设计才能使长方形花圃面积最大；并求其最大面积．7．如图，过原点的抛物线212y x bx c =-++与x 轴的另一个交点为A ，且抛物线的对称轴为直线2x =，点B 为顶点(1)求抛物线的解析式(2)如图（1），点C 为直线OB 上方抛物线上一动点，连接AB，BC 和AC ，线段AC 交直线OB 于点E ，若CBE △的面积为1S ，ABE 的面积为2S ，求12S S 的最大值 (3)如图（2），设直线()20y kx k k =-≠与抛物线交于D ，F 两点，点D 关于直线2x =的对称点为D ，直线D F '与直线2x =交于点P ，求证：BP 的长是定值．8．抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ，C ，已知()1,0A -和()0,3C ．(1)求抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)点D 在BC 上方的抛物线上．①如图1，若CAB ABD ∠=∠，求点D 的坐标；①如图2，直线BD 交y 轴于点N ，过点B 作AD 的平行线交y 轴于点M ，当点D 运动时，求CBD AMNS S △△的最大值及此时点D 的坐标． 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线244y ax ax =-+交x 轴于点A 、B （A 左B右），交y 轴于点C ，直线123y x =-+，经过B 点，交y 轴于点D ．(1)如图1，求a 的值；(2)如图2，点P 在第一象限内的抛物线上，过点A 、B 作x 轴的垂线，分别交直线PD 于点E 和F ，若PF DE =，求点P 的坐标；(3)如图3，在（2）的条件下，点Q 在第一象限内的抛物线上，过点Q 作QH DP ⊥于点H ，交直线BD 于点R ，连接EQ 和ER ，当QE ER =时，求ERQ △的面积．10．已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ．(1)判断ABC 的形状，并说明理由．(2)设点(,)P m n 是抛物线在第一象限部分上的点，过点P 作PH x ⊥轴于H ，交AC 于点Q ，设四边形OAPC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求使S 最大时点P 的坐标和QHC △的面积；(3)在（2）的条件下，点N 是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以P 、C 和M 、N 为顶点的四边形是菱形，若存在，写出点M 的坐标，并选择一个点写出过程，若不存在，请说明理由．11．已知，如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线6y x =+与x 轴相交于点B ，与y 轴交于点C ，点A 是x 轴正半轴上一点，且满足2tan 3ACO ∠=．(1)若抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 和C 三点，求抛物线的解析式；(2)若点M 是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M 作MP y ∥轴，交BC 于点P ，连接OP ，在第一象限内找一点Q ，过点Q 作⊥OQ OP 且OQ OP =，连接PQ ，MQ ，设MPQ 的面积为S ，点P 的横坐标为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；(3)在（2）的条件下，设PQ 与y 轴相交于点R ，若53=PR PC 时，求点P 的坐标． 12．已知抛物线22y ax ax c =-+过点()10A -，和()03C ，，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D ，在直线BC 上方抛物线上有一点P （与D 不重合），BCP 面积与BCD △面积相等，求点P 的坐标；(3)若点E 为抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点F ，使得以E 、F 和B 、C 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线过点()08D ，，与x 轴交于()20A -，，()40B ，两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 为二次函数的顶点，求BCD S △．14．如图，O 为平面直角坐标系坐标原点，抛物线22y ax ax c =-+经过点()6,0B ，点()0,6C 与x 轴交于另一点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)D 点为第一象限抛物线上一点，连接AD 和BD ，设点D 的横坐标为t ，ABD △的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，P 为第四象限抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点E ，点F 在线段BC 上，点G 在直线AD 上，若1tan 2DAO ∠=，四边形BEFG 为菱形，求点P 的坐标． 15．已知抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点(1,0)A -和点B ，与直线3y x =-+交于点B 和点C ，M 为抛物线的顶点，直线ME 是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的解析式及点M 的坐标；(2)点P 为直线BC 上方抛物线上一点，连接PB ，PC ，当PBC 的面积取最大值时，求点P 的坐标．参考答案：1．(1)2142y x x =-- (2)① PC PD +取得最大值254 ① 53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或 316,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭2．(1)213222y x x =-++ (1,0)-； (2)3172+或3172-或3332+或3332- (3)存在，517(,)39--或113(,)39-3．(1)故抛物线的表达式为：223y x x =-++，函数的对称轴为：1x =；(2)10113++(3)()4,5-或()8,45-4．(1)223y x x =-++(2)BCD △为直角三角形(3)点P 的坐标为()2,3，四边形PBCD 的面积为45．(1)213442y x x =-++ (2)S 的最大值为1，()4,6P(3)()7,3或()5,3-6．(1)2330S x x =-+ 410x ≤＜；(2)当宽AB 为5米，长15BC =米时，长方形花圃的最大面积为75平方米.7．(1)2122y x x =-+ (2)188．(1)()1,4(2)①()2,3D ；①CBD AMN S S △△的最大值为916，此时315,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭9．(1)13a =- (2)()4,4P(3)1010．(1)直角三角形(2)244S m m =-++ (2,3)P 1QHC S =(3)存在，点M 坐标为3651(,)22+或3651(,)22-或333(,)22或333(,)22-或31(,)22，理由见解析11．(1)211642=--+y x x (2)()2396042S t t t =---<< (3)()()124,2,2,4P P --12．(1)223y x x =-++(2)()23P ，(3)存在，点F 的坐标为()417，或()417-，或()2314-+，或()2314--，13．(1)228y x x =-++(2)614．(1)211642y x x =-++ (2)2553042S t t =-++ (3)()8,6P -15．(1)抛物线的解析式为223y x x =-++，点M 的坐标为(1,4)(2)315,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭。

二次函数-面积问题备战2023年中考数学考点微专题

考向3.10 二次函数-面积问题例1、（2021·四川雅安·中考真题）已知二次函数223y x bx b =+-．（1）当该二次函数的图象经过点1,0A 时，求该二次函数的表达式；（2）在(1) 的条件下，二次函数图象与x 轴的另一个交点为点B ，与y 轴的交点为点C ,点P 从点A 出发在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发，在线段BC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ 面积的最大值;（3）若对满足1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，求实数b 的取值范围．解：（1）把1,0A 代入223y x bx b =+-，得：20123b b =+-，解得：b =1，∴该二次函数的表达式为：223y x x =+-；（2）令y =0代入223y x x =+-，得：2023x x =+-，解得：11x =或23x =-，令x =0代入223y x x =+-得：y =-3， ∴A (1，0)，B (-3，0)，C (0，-3)，设运动时间为t ，则AP =2t ，BQ =t ， ∴BP =4-2t ，过点M 作MQ ⊥x 轴， ∵OB =OC =3， ∴∠OBC =45°，∴BMQ 是等腰直角三角形，∴MQ =22BQ =22t ， ∴△BPQ 的面积=()11222242BP MQ t t -⋅=⋅=()222122t --+，∴当t =1时，△BPQ 面积的最大值=22；（3）抛物线223y x bx b =+-的对称轴为：直线x =-b ，开口向上，设2()23y f x x bx b ==+-，∵对1≥x 的任意实数x ，都使得0y ≥成立，∴()110b f -≤⎧⎨≥⎩或()10b f b ->⎧⎨-≥⎩，∴-1≤b ≤1或-3≤b ＜-1， ∴-3≤b ≤1．1、二次函数面积问题的几种形式（1）直接用面积公式；（2）三角形的面积等于铅直高度与水平宽度积的一半；(3)平行线等面积法（通过做平行线辅助线完成）。

【精品专题训练】2021年中考数学必刷压轴题二次函数面积问题专题训练含答案与试题解析

2021年中考数学必刷压轴题二次函数面积问题一．解答题（共12小题）1．（2020•鹿邑县一模）已知：如图，直线y＝﹣x﹣3交坐标轴于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c 过A、C两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线位于第三象限上一动点，连接P A，PC，试问△P AC的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC面积的最大值，以及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M为抛物线上一点，点N为抛物线对称轴上一点，若△NMC是以∠NMC为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．2．（2020•镇平县模拟）如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△P AB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．3．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2020•天山区校级三模）如图，抛物线y＝x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若A（﹣1，0），且OC＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC，CM，MB，是否存在点M，使四边形MBAC的面积为9，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC沿x轴翻折交y轴于N点，过B点的直线l交y轴、抛物线分别于D、E，且D在N的上方，将A点绕O顺时针旋转90°得M，若∠NBD＝∠MBO，试求E的的坐标．6．（2020•沙坪坝区自主招生）如图1，二次函数y=−18x2+14x+3的图象交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，连结AC，过点C作CD⊥AC交AB于点D．（1）求点D的坐标；（2）如图2，已知点E是该二次函数图象的顶点，在线段AO上取一点F，过点F作FH ⊥CD，交该二次函数的图象于点H（点H在点E的右侧），当五边形FCEHB的面积最大时，求点H的横坐标；（3）如图3，在直线BC上取一点M（不与点B重合），在直线CD的右上方是否存在这样的点N，使得以C、M、N为顶点的三角形与△BCD全等？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为√5，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2020•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=32与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为√172，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019秋•诸城市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①求△BOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标；②当△OPC为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．10．（2020•南山区校级一模）如图，直线y=34x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=34x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC=12∠ABC的点M的坐标．11．（2020•禅城区模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C （2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．12．（2020•福州模拟）综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．2021年中考数学必刷压轴题二次函数面积问题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．（2020•鹿邑县一模）已知：如图，直线y ＝﹣x ﹣3交坐标轴于A 、C 两点，抛物线y ＝x 2+bx +c 过A 、C 两点，（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为抛物线位于第三象限上一动点，连接P A ，PC ，试问△P AC 的面积是否存在最大值，若存在，请求出△APC 面积的最大值，以及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M 为抛物线上一点，点N 为抛物线对称轴上一点，若△NMC 是以∠NMC 为直角的等腰直角三角形，请直接写出点M 的坐标．【专题】压轴题；数据分析观念．【解答】解：（1）y ＝﹣x ﹣3交坐标轴于A 、C 两点，则点A 、C 的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，﹣3）；将点A 、C 的坐标代入抛物线表达式得：{9−3b +c =0c =−3，解得{b =2c =−3，故抛物线的表达式为：y ＝x 2+2x ﹣3；（2）存在，理由：如图1，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），△APC面积S＝S△PHA+S△PHC=12×PH×OA=12×（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）×3=−32x2−92x，∵−32＜0，故S有最大值，当x=−32时，S的最大值为278，此时点P（−32，−154）；（3）如图2，设点N（﹣1，s），点M（m，n），n＝m2+2m﹣3，过点M作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点H，交过点N与x轴的平行线于点G，∵∠GMN+∠GNM＝90°，∠GMN+∠HMC＝90°，∴∠HMC＝∠GNM，∵∠MGN＝∠CHM＝90°，MN＝MC，∴△MGN≌△CHM（AAS），∴GN＝MH，即GN＝|﹣1﹣m|＝MH＝|n+3|，①当﹣1﹣m＝n+3时，即m +n +4＝0，即m 2+3m +1＝0，解得：m =−3±√52，故点M （−3±√52，−5±√52）； ②当﹣1﹣m ＝﹣（n +3）时，即m ＝n +2，同理可得：点M （−1±√52，−5±√52）；故点M 的坐标为：（−3+√52，−5−√52）或（−3−√52，−5+√52）或（−1+√52，−5+√52）或（−1−√52，−5−√52）．2．（2020•镇平县模拟）如图，在平面直角坐标系中抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过原点，且与直线y ＝﹣kx +6交于则A （6，3）、B （﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB 下方的抛物线上求点P ，使得△P AB 的面积等于20；②连接OA ，OB ，OP ，作PC ⊥x 轴于点C ，若△POC 和△ABO 相似，请直接写出点P 的坐标．【专题】压轴题；几何直观；运算能力；推理能力．【解答】解：（1）把A （6，3）代入y ＝﹣kx +6，得3＝﹣6x +6．解得k =−12．故直线的解析式是：y =−12x +6．把O （0，0）、A （6，3）、B （﹣4，8）分别代入y ＝ax 2+bx +c ，得 {c =03=36a +6b 8=16a −4b．解得{a =14b =−1c =0．故该抛物线解析式是：y =14x 2﹣x ；（2）①如图1，作PQ ∥y 轴，交AB 于点Q ，设P （x ，14x 2﹣x ），则Q （x ，−12x +6），则PQ ＝（−12x +6）﹣（14x 2﹣x ）=−14（x ﹣1）2+254， ∴S △P AB =12（6+4）×PQ =−54（x ﹣1）2+1254=20，解得x 1＝﹣2，x 2＝4，∴点P 的坐标为（4，0）或（﹣2，3）； ②设P （x ，14x 2﹣x ），如图2，由题意得：AO ＝3√5，BO ＝4√5，AB ＝5√5， ∵AB 2＝AO 2+BO 2， ∴∠AOB ＝90°， ∵∠AOB ＝∠PCO ，∴当CPCO=OA OB 时，△CPO ∽△OAB ，即|14x 2−x||x|=√54√5．整理，得4|14x 2﹣x |＝3|x |．解方程4（14x 2﹣x ）＝3x ，得x 1＝0（舍去），x 2＝7，此时P 点坐标为（7，214）；解方程4（14x 2﹣x ）＝﹣3x ，得x 1＝0（舍去），x 2＝1，此时P 点坐标为（1，−34）；当CP OC=OB OA时，△CPO ∽△OBA ，即|14x 2−x||x|=√53√5，整理，得3|14x 2﹣x |＝4|x |，解方程3（14x 2﹣x ）＝4x ，得x 1＝0（舍去），x 2=283，此时P 点坐标为（283，1129）．解方程3（14x 2﹣x ）＝﹣4x ，得x 1＝0（舍去），x 2=−43，此时P 点坐标为（−43，169）．综上所述，点P 的坐标为：（7，214）或（1，−34）或（−43，169）或（283，1129）．3．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△P AB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；数形结合；函数思想；数据分析观念．【解答】解：（1）y＝x+2，令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c＝2，则函数表达式为：y＝ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b＝2a+1；（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x=−b2a≥0，而b＝2a+1，即：−2a+12a≥0，解得：a≥−12，故：a的取值范围为：−12≤a＜0；（3）当a＝﹣1时，二次函数表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠PQH＝45°，S△P AB=12×AB×PH=12×2√2×PQ×√22=1，则PQ＝y P﹣y Q＝1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|y P﹣y Q|＝1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2＝±1，解得：x＝﹣1或﹣1±√2，故点P（﹣1，2）或（﹣1+√2，√2）或（﹣1−√2，−√2）．4．（2020•青白江区模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+√22CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；创新意识．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积=12PH×OA=12×3×（x2﹣2x+3+x﹣3）=32（﹣x2+3x），当x=32时，△ACP的面积的最大，最大值为：278，此时点P（32，154）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN=√22CM，故当B 、M 、N 三点共线时，BM +√22CM ＝BN 最小，直线CA 的倾斜角为45°，BN ⊥AC ，则∠NBA ＝45°，即BN =√22AB ＝2√2=AN ，则点N （1，2），由点B 、N 的坐标得，直线BN 的表达式为：y ＝x +1，故点M （0，1）．5．（2020•天山区校级三模）如图，抛物线y ＝x 2+mx +n 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若A （﹣1，0），且OC ＝3OA ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC ，CM ，MB ，是否存在点M ，使四边形MBAC 的面积为9，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将直线BC 沿x 轴翻折交y 轴于N 点，过B 点的直线l 交y 轴、抛物线分别于D 、E ，且D 在N 的上方，将A 点绕O 顺时针旋转90°得M ，若∠NBD ＝∠MBO ，试求E 的的坐标．【专题】压轴题；数据分析观念．【解答】解：（1）∵A （﹣1，0）， ∴OA ＝1，OC ＝3OA ＝3， ∴C （0，﹣3），将A （﹣1，0）、C （0，﹣3）代入y ＝x 2+mx +n 中，得{1−m +n =0n =−3，解得{m =−2n =−3，∴y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）存在，理由：令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，设M（m，m2﹣2m﹣3），过点M作MN∥y轴交BC于N，如图1，∴N（m，m﹣3），∴MN＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S四边形MBAC＝S△ABC+S△BCM=12×AB×OC+12×MN×OB=12×4×3+12×（﹣m2+3m）×3＝9，解得：m＝1或2，故点M的坐标为（1，﹣4）或（2，﹣3）；（3）∵OB＝OC＝ON，∴△BON为等腰直角三角形，∵∠OBM+∠NBM＝45°，∴∠NBD+∠NBM＝∠DBM＝45°，∴MB＝MF，过点M作MF⊥BM交BE于F，过点F作FH⊥y轴于点H，如图2，∴∠HFM +∠BMO ＝90°， ∵∠BMO +∠OMB ＝90°， ∴∠OMB ＝∠HFM ， ∵∠BOM ＝∠MHF ＝90°， ∴△BOM ≌△MHF （AAS ），∴FH ＝OM ＝1，MH ＝OB ＝3，故点F （1，4），由点B 、F 的坐标得，直线BF 的解析式为y ＝﹣2x +6，联立{y =−2x +6y =x 2−2x −3，解得{x =−3y =12， ∴E （﹣3，12）．6．（2020•沙坪坝区自主招生）如图1，二次函数y =−18x 2+14x +3的图象交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，连结AC ，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）如图2，已知点E 是该二次函数图象的顶点，在线段AO 上取一点F ，过点F 作FH ⊥CD ，交该二次函数的图象于点H （点H 在点E 的右侧），当五边形FCEHB 的面积最大时，求点H 的横坐标；（3）如图3，在直线BC 上取一点M （不与点B 重合），在直线CD 的右上方是否存在这样的点N ，使得以C 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 全等？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】综合题；压轴题；存在型；函数思想；方程思想；待定系数法；二次函数图象及其性质；图形的全等；图形的相似；几何直观；运算能力．【解答】解：（1）令x ＝0，则y ＝3， ∴C （0，3）， ∴OC ＝3．令y ＝0，则−18x 2+14x +3＝0，解得：x 1＝﹣4，x 2＝6， ∴A （﹣4，0），B （6，0）， ∴OA ＝4，OB ＝6． ∵CD ⊥AC ， ∴∠ACD ＝90°， ∵CO ⊥AD ， ∴OC 2＝OA •OD ， ∴OD =94， ∴D （94，0）．（2）∵y =−18x 2+14x +3=−18（x ﹣1）2+258， ∴E （1，258）．如图2，连接OE 、BE ，作HG ⊥x 轴于点G ，交BE 于点P ．由B、E两点坐标可求得直线BE的解析式为：y=−58x+154．设H（m，−18m2+14m+3），则P（m，−58m+154）．∴HG=−18m2+14m+3，HP＝y H﹣y P=−18m2+78m−34．∴S△BHE=12（x B﹣x E）•HP=52（−18m2+78m−34）=−516m2+3516m−158．∵FH⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥FH，∴∠HFG＝∠CAO，∵∠AOC＝∠FGH＝90°，∴△ACO∼△FHG，∴FGHG =OAOC=43，∴FG=43HG=−16m2+13m+4，∴AF＝AG﹣FG＝m+4+16m2−13m﹣4=16m2+23m，∴S△AFC=12AF•OC=32（16m2+32m）=14m2+m，∵S四边形ACEB＝S△ACO+S△OCE+S△OEB=12×4×3+12×3×1+126×258=1358，∴S五边形FCEHB＝S四边形ACEB+S△BHE﹣S△AFC=1358+（−516m2+3516m−158）﹣（14m2+m）=−916m2+1916m+15=−916（m−1918）2+9001576，∴当m=1918时，S五边形FCEHB取得最大值9001576．此时，H的横坐标为1918．（3）∵B （6，0），C （0，3），D （94，0），∴CD ＝BD =154，BC ＝3√5， ∴∠DCB ＝∠DBC ．①如图3﹣1，△CMN ≌△DCB ，MN 交y 轴于K ，则CM ＝CN ＝DC ＝DB =154，MN ＝BC ＝3√5，∠CMN ＝∠CNM ＝∠DBC ＝∠DCB ， ∴MN ∥AB ， ∴MN ⊥y 轴，∴∠CKN ＝∠COB ＝90°，MK ＝NK =12MN =3√52， ∴△CKN ∼△COB ，∴CKCN =COCB =√55， ∴CK =3√54， ∴OK ＝OC +CK =12+3√54， ∴N （3√52，12+3√54）． ②如图3﹣2，△MCN ≌△DBC ，则CN＝CB＝3√5，∠MCN＝∠DBC，∴CN∥AB，∴N（3√5，3）．③如图3﹣3，△CMN≌△DBC，则∠CMN＝∠DCB，CM＝CN＝DC＝DB=154，MN＝BC＝3√5，∴MN∥CD，作MR⊥y轴于R，则CRCO =RMOB=CMCB=√54，∴CR=3√54，RM=3√52，∴OR＝3−3√5 4，作MQ∥y轴，NQ⊥MQ于点Q，则∠NMQ＝∠DCO，∠NQM＝∠DOC＝90°，∴△COD∼△MQN，∴MQ NQ=CO DO=43，∴MQ =45MN =12√55，NQ =35MN =9√55， ∴NQ ﹣RM =3√510，OR +MQ =60+33√520， ∴N （−3√510，60+33√520）．综上所述，满足要标的N 点坐标有：（3√52，12+3√54）、（3√5，3）、（−3√510，60+33√520）． 7．（2020春•武邑县校级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A （4，0），B 两点，与y 轴交于点C （0，2），对称轴x ＝1，与x 轴交于点H ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y ＝kx +1（k ≠0）与y 轴交于点E ，与抛物线交于点P ，Q （点P 在y 轴左侧，点Q 在y 轴右侧），连接CP ，CQ ，若△CPQ 的面积为√5，求点P ，Q 的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC 交PQ 于G ，在对称轴上是否存在一点K ，连接GK ，将线段GK 绕点G 顺时针旋转90°，使点K 恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；函数的综合应用；几何直观；运算能力；推理能力．【解答】解：（1）对称轴x ＝1，则点B （﹣2，0），则抛物线的表达式为：y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝2，解得：a =−14，故抛物线的表达式为：y =−14x 2+12x +2；（2）设直线PQ 交y 轴于点E （0，1），点P 、Q 横坐标分别为m ，n ，△CPQ 的面积=12×CE ×（n ﹣m ）=√5，即n ﹣m ＝2√5，联立抛物线与直线PQ 的表达式并整理得：−14x 2+(12−k)x +1=0⋯①， m +n ＝2﹣4k ，mn ＝﹣4，n ﹣m ＝2√5=√(m +n)2−4mn =√(2−4k)2+16，解得：k ＝0（舍去）或1；将k ＝1代入①式并解得：x =−1±√5，故点P 、Q 的坐标分别为：（−1−√5，−√5）、（−1+√5，√5）．（3）设点K （1，m ），联立PQ 和AC 的表达式并解得：x =23，故点G （23，53）过点G 作x 轴的平行线交函数对称轴于点M ，交过点R 与y 轴的平行线于点N ，则△KMG ≌△GNR （AAS ），GM ＝1−23=13=NR ，MK =|53−m|，故点R 的纵坐标为：43，则点R （m ﹣1，43）将该坐标代入抛物线表达式解得：x=1±√33 3，故m=2±√33 3，故点K（1，2±√33 3）．8．（2020•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x=32与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为√172，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．【专题】压轴题；数据分析观念．【解答】解：（1）对称轴x=32，则点B（﹣1，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝2，解得：a=−1 2，故抛物线的表达式为：y=−12x2+32x+2；（2）设直线PQ交y轴于点E（0，1），点P、Q横坐标分别为m，n，△CPQ 的面积=12×CE ×（n ﹣m ）=√172，即n ﹣m =√17，联立抛物线于直线PQ 的表达式并整理得：−12x 2+（32−k ）x +1＝0…①，m +n ＝3﹣2k ，mn ＝﹣2，n ﹣m =√17=√(m +n)2−4mn =√(2k −3)2+8，解得：k ＝0（舍去）或3；故y ＝3x +1，则−12x 2+32x +2＝3x +1，解得：x =−3±√172，故点P 、Q 的坐标分别为：（−3−√172，−7−3√172）、（−3+√172，−7+3√172）；（3）设点K （32，m ），联立PQ 和AC 的表达式并解得：x =27，故点G （27，137），过点G 作y 轴的平行线交过点K ′与x 轴的平行线于点M ，交过点K 与x 轴的平行线于点N ，则△GNK ≌△K ′MG （AAS ）， NK =32−27=1714=MG ，NG =137−m ，则点K ′（157−m ，4314）将该坐标代入抛物线表达式并解得：m =9±√2114，故点K （32，9+√2114）或（32，9−√2114）．9．（2019秋•诸城市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ．①求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标； ②当△OPC 为等腰三角形时，请直接写出点P 的坐标．【专题】压轴题；创新意识．【解答】解：（1）x 2﹣2x ﹣3＝0，则x ＝3或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（3，﹣3），设抛物线的表达式为：y ＝ax 2+bx ，将点A 、B 的坐标代入上式得：{−1=a −b−3=9a +3b ，解得：{a =−12b =12，故抛物线的表达式为：y =−12x 2+12x ；（2）将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AB 的表达式为：y =−12x −32，故点C （0，−32），同理可得：直线OP 的表达式为：y ＝﹣x ；①过点D 作y 轴的平行线交OB 于点H ，设点D （x ，−12x 2+12x ），则点H （x ，﹣x ），△BOD 面积=12×DH ×x B =12×3（−12x 2+12x +x ）=−34x 2+94x ， ∵−34＜0，故△BOD 面积有最大值为：2716，此时x =32，故点D （32，−38）；②当OP ＝PC 时，则点P 在OC 的中垂线上，故y P =−34，则点P （34，−34）；②当OP ＝OC 时， t 2+t 2＝（32）2，解得：t =±3√24（舍去负值），故点P （3√24，−3√24）； ③当PC ＝OC 时，同理可得：点P （32，−32）；综上，点P （34，−34）或（3√24，−3√24）或（32，−32）．10．（2020•南山区校级一模）如图，直线y =34x +c 与x 轴交于点B （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线y =34x 2+bx +c 经过点B ，C ，与x 轴的另一个交点为点A ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB 的面积最大时点P 的坐标；（3）若点M 是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC =12∠ABC 的点M 的坐标．【专题】压轴题；数形结合；分类讨论；函数思想；数据分析观念．【解答】解：（1）将点B 坐标代入y =34x +c 并解得：c ＝﹣3，故抛物线的表达式为：y =34x 2+bx ﹣3，将点B 坐标代入上式并解得：b =−94，故抛物线的表达式为：y =34x 2−94x ﹣3；（2）过点P 作PH ∥y 轴交BC 于点H ，设点P （x ，34x 2−94x ﹣3），则点H （x ，34x ﹣3），S 四边形ACPB ＝S △AOC +S △PCB ，∵S △AOC 是常数，故四边形面积最大，只需要S △PCB 最大即可， S △PCB =12×OB ×PH =12×4（34x ﹣3−34x 2+94x +3）=−32x 2+6x ， ∵−32＜0，∴S △PCB 有最大值，此时，点P （2，−92）；（3）过点B 作∠ABC 的角平分线交y 轴于点G ，交抛物线于M ′，设∠MBC =12∠ABC ＝2α，过点B 在BC 之下作角度数为α的角，交抛物线于点M ，过点G 作GK ⊥BC 交BC 于点K ，延长GK 交BM 于点H ，则GH ＝GN ，BC 是GH 的中垂线，OB ＝4，OC ＝3，则BC ＝5，设：OG ＝GK ＝m ，则CK ＝CB ﹣HB ＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m ）2＝m 2+1，解得：m =43，则OG ＝GK =43，GH ＝2OG =83，点G （0，−43），在Rt △GCK 中，GK ＝OG =43，GC ＝OC ﹣OG ＝3−43=53，则cos ∠CGK =GKGC =45，sin ∠CGK =35，则点K （45，−125），点K 是点GH 的中点，则点H （85，−5215），则直线BH 的表达式为：y =139x −529⋯②，同理直线BG 的表达式为：y =13x −43⋯③ 联立①②并整理得：27x 2﹣135x +100＝0，解得：x =2527或4（舍去4），则点M （2527，−1079243）；联立①③并解得：x =−59，故点M ′（−59，−4127）；故点M （2527，−1079243）或（−59，−4127）． 11．（2020•禅城区模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （﹣1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N ．其顶点为D ．（1）抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）若抛物线的对称轴与直线AC 相交于点B ，E 为直线AC 上的任意一点，过点E 作EF ∥BD 交抛物线于点F ，以B ，D ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E 的坐标；若不能，请说明理由；（3）若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点，求△APC 的面积的最大值．【专题】压轴题．【解答】解：（1）由抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 过点A （﹣1，0）及C （2，3）得，{−1−b +c =0−4+2b +c =3，解得{b =2c =3，故抛物线为y ＝﹣x 2+2x +3；又设直线为y ＝kx +n 过点A （﹣1，0）及C （2，3），得{−k +n =02k +n =3，解得{k =1n =1，故直线AC 为y ＝x +1；（2）∵y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴D （1，4），当x ＝1时，y ＝x +1＝2， ∴B （1，2），∵点E 在直线AC 上，设E （x ，x +1）．①如图2，当点E 在线段AC 上时，点F 在点E 上方，则F （x ，x +3）， ∵F 在抛物线上， ∴x +3＝﹣x 2+2x +3，解得，x ＝0或x ＝1（舍去）， ∴E （0，1）；②当点E 在线段AC （或CA ）延长线上时，点F 在点E 下方，则F （x ，x ﹣1）， ∵F 在抛物线上， ∴x ﹣1＝﹣x 2+2x +3，解得x =1−√172或x =1+√172， ∴E （1−√172，3−√172）或（1+√172，3+√172），综上，满足条件的点E 的坐标为（0，1）或（1−√172，3−√172）或（1+√172，3+√172）；（3）方法一：如图3，过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，设Q （x ，x +1），则P （x ，﹣x 2+2x +3） ∴PQ ＝（﹣x 2+2x +3）﹣（x +1）＝﹣x 2+x +2又∵S △APC ＝S △APQ +S △CPQ =12PQ •AG=12（﹣x 2+x +2）×3 =−32（x −12）2+278， ∴面积的最大值为278；方法二：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，交x 轴于点H ；过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，如图3，设Q （x ，x +1），则P （x ，﹣x 2+2x +3）又∵S △APC ＝S △APH +S 直角梯形PHGC ﹣S △AGC=12（x +1）（﹣x 2+2x +3）+12（﹣x 2+2x +3+3）（2﹣x ）−12×3×3 =−32x 2+32x +3=−32（x−12）2+278，∴△APC的面积的最大值为27 8．12．（2020•福州模拟）综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点N是抛物线上异于点C的动点，若△NAB的面积与△CAB的面积相等，求出点N的坐标；（3）如图2，当P为OB的中点时，过点P作PD⊥x轴，交抛物线于点D．连接BD，将△PBD沿x轴向左平移m个单位长度（0＜m≤2），将平移过程中△PBD与△OBC重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式．【专题】压轴题．【解答】解：（1）如图1，把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得{4a−2b−3=016a+4b−3=0，解得{a=38b=−34，所以该抛物线的解析式为：y=38x2−34x﹣3；（2）将x＝0代入y=38x2−34x﹣3，得y＝﹣3，∴点C的坐标为（0，﹣3），∴OC＝3．设N（x，y），∵S△NAB＝S△CAB，∴|y |＝OC ＝3，∴y ＝±3．当y ＝3时，38x 2−34x ﹣3＝3，解得x =±√17+1．当y ＝﹣3时，38x 2−34x ﹣3＝﹣3，解得x 1＝2，x 2＝0（舍去）．综上所述，点N 的坐标是（√17+1，3）或（−√17+1，3）或（2，﹣3）；（3）如图2，由已知得，BB ′＝m ，PB ′＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b （k ≠0）．∵直线y ＝kx +b 经过点B （4，0），C （0，﹣3），∴{b =−34k +b =0，解得{k =34b =−3， ∴直线BC 的表达式为y =34x ﹣3．当0＜m ≤2时，由已知得P ′B ＝2+m ．∵OP ′＝2﹣m ，∴E （2﹣m ，−34m −32）．由OB ＝4得OP ＝2，把x ＝2代入y =38x 2−34x ﹣3中，得y ＝﹣3，∴D （2，﹣3），∴直线CD ∥x 轴．∵EP ′=34m +32，D ′P ＝3，∴ED ′＝DP ′﹣EP ′＝3−34m −32=−34m +32．过点F 作FH ⊥PD ′于点H ，则∠D ′HF ＝∠D ′P ′B ′＝90°． ∵∠HD ′F ＝∠P ′D ′B ′，∴△D ′HF ∽△D ′P ′B ′，∴HF P′B′=D′F D′B′．∵∠FCD ′＝∠FBB ′，∠FD ′C ＝∠FB ′B ， ∴△CD ′F ∽△BB ′F ，∴D′F B′F =CD′BB′．又∵CD ′＝2﹣m ，∴D′F B′F =2−m m ．设D ′F ＝k （2﹣m ），B ′F ＝km ，∴D ′B ′＝2k ，∴D′F D′B′=2−m 2． ∴HF P′B′=2−m m ．∵P ′B ′＝2，∴HF ＝2﹣m ．∴S △ED ′F =12ED ′•HF =12×（−34m +32）×（2﹣m ）． ∵S △PB ′D ′=12PB ′•PD ′=12×3×2＝3， ∴S ＝S △PB ′D ′﹣S △ED ′F ＝3−12×（−34m +32）×（2﹣m ）=−38m 2+32m +32．。

中考数学压轴题：二次函数中的面积问题(含答案)

学生/课程年级日期学科时段课型数学授课教师核心内容二次函数中求面积最值，图形平移或折叠面积问题1.会利用函数的图象性质来研究几何图形的面积最值问题；教学目标重、难点2.掌握几种求图形面积的常见解题方法与技巧，如：割补法、平行等积变换法等。

3.掌握图形平移或折叠变换过程中找等量关系列函数解析式求图形面积问题的一般方法．割补法求三角形面积，动态问题一般解题思路。

了解学生的学习情况S△ = a h或S△ = a d (d表示已知点到直线的距离)以动点作垂直(平行)x轴的直线，即铅垂高，再分别过点A,C作PF的高，即和为水平宽。

S△ = ×水平宽×铅垂高如下图：①等底等高的两个三角形面积相等．②底在同一条直线上并且相等，该底所对角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等．如图，AD∥BC中，AC与BD交点O，则S△ABC = S△DBC，S△AOB = S△COD2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx －8mx＋4m＋2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x ，10），C（x ，0），且x －x ＝4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线，直线AD2 2 1的交点分别为P，Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值．图形面积的求法常见有三种，分别是：(1)_______________________________(2)_______________________________(3)_______________________________[学有所获答案] (1)直接公式求法割补法平行线等积变换法(2)(3) 2 如图，已知抛物线y ＝x ＋bx ＋c 与轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与轴交于点C （0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ，点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交抛物线于P ，Q 两点（点P 在第三象限）（1）求抛物线的函数表达式和直线BC 的函数表达式；（2）当△CDE 是直角三角形，且∠CDE ＝90°时，求出点P 的坐标；（3）当△PBC 的面积为时，求点E 的坐标．2 如图，已知抛物线y ＝ x ＋ax ＋4a 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴负半轴交于点C 且OB ＝OC ，点P 为抛物线上的一个动点，且点P 位于x 轴下方，点P 与点C 不重合．（1）求该抛物线的解析式；（2）若△PAC 的面积为，求点P 的坐标；（3）若以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形面积记作S ，则S 取何值时，对应的点P 有且只有2个?将（）的图像如何平移到的图像。

2021年中考一轮复习数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习

中考数学热点问题《二次函数压轴题的突破与提升》六大必考模型专题练习题型一：求图形面积类问题1. 如图,假设篱笆(虚线部分)的长度为16m,则所围成矩形ABCD 的最大面积是 .2. 如图,抛物线y=-x 2+2x+3与y 轴交于点C,点D(0,1),点P 是抛物线上的动点.若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形,此时△PCD 的面积为________.3.如图,已知二次函数2y x bx c =++的图象与y 轴交于点A, 与x 轴正半轴交于B,C 两点,且BC ＝2,ABC S ∆ ＝3,则b 的值为( )A.-5B.4或-4C. 4D.-4 4.如图,抛物线经过A (-2,0),B ,C (0,2)三点. (1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC 下方的抛物线上有一点D ,使得△DCA 的面积最大,求点D 的坐标.题型二：参数求值类问题1. 若函数y=(m-1)x |m|+1是二次函数,则m 的值为____.2. 抛物线y=x 2-2x+m 2+2(m 是常数)的顶点在 ( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 已知二次函数y=-x 2+2x+m.(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点,求m 的取值范围.4. 当a ≤x ≤a+1时,函数y=x 2-2x+1的最小值为1求a 的值.5. 已知二次函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，求k 的取值范围.题型三：利用图像分析类问题1. 下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( )2. 如图,二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y>0时,自变量x 的取值范围是 ( )A.x<-2B.-2<x<4C.x>0D.x>43.已知二次函数的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）．Ａ．0>ac Ｂ．0>b Ｃ．04ac -2<bＤ．4. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的大致图象如图所示,顶点坐标为(-2,-9a),下列结论:①4a+2b+c>0;②5a -b+c=0;③若方程a(x+5)(x-1)=-1有两个根x 1和x 2,且x 1<x 2,则-5<x 1<x 2<1;④若方程|ax 2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为-4.其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个5. 如图所示是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，图象过A 点（3,0），二次函数图象对称轴为1=x ，给出四个结论：①ac b 42>；②0<bc ；③02=+b a ；④0=++c b a ，其中正确结论是（）A.②④B.①③C.②③D.①④ 题型四：动点求最值类问题2y ax bx c =++1x=20a b +=1. 若二次函数y=x2-4x+c的图象经过点(0,3),则函数y的最小值是.2. 如图是函数y=x2-2x-3(0≤x≤4)的图象,直线l∥x轴且过点(0,m),将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折,在直线l下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m的取值范围是 .3. 如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为________.4. 如图,抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A(1,0),交y轴于点B,对称轴是x=2.(1)求抛物线的表达式.(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点,是否存在点P,使△PAB的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.5. 若二次函数y=ax2+b的最大值为4,且该函数的图象经过点A(1,3).(1)a=________,b=________,顶点D的坐标为________;(2)求这个抛物线关于x轴对称后所得的新函数表达式;(3)是否在抛物线上存在点B,使得S△DOB =2S△AOD?若存在,请求出B的坐标;若不存在,请说明理由.6. 已知m,n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根,且|m|<|n|,抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A(m,0),B(0,n),如图所示.(1)求这个抛物线的解析式.(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C,D 的坐标,并判断△BCD的形状.(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合),过点P作x轴的垂线,交抛物线于点M,点Q在直线BC上,距离点P为√2个单位长度,设点P的横坐标为t,△PMQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式.题型五：实际应用类问题1. 图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O,B,以点O为原点,水平直线OB为x轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y=-1(x-80)2+16,桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面,有AC⊥x轴.若OA=10m, 400则桥面离水面的高度AC为( )A.16940mB.174mC.16740mD.154m2. 某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品,利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品,售后经过统计得到此商品单价在第x 天(x 为正整数)销售的相关信息,如表所示:(1)请计算第几天该商品单价为25元/件?(2)求网店销售该商品30天里所获利润y(元)关于x(天)的函数表达式. (3)这30天中第几天获得的利润最大?最大利润是多少?3. 某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,假设果园多种了x 棵橙子树.(1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(个)与x 之间的关系. (2)果园多种多少棵橙子树时,可使橙子的总产量最大?最大为多少个?4. 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m．（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m（横断面如图②）．暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗？请说明理由．题型六：综合应用类问题1. 已知抛物线y=ax2+bx-4经过点A(2,0),B(-4,0),与y轴交于点C.(1)求这条抛物线的表达式.(2)如图1,点P是第三象限内抛物线上的一个动点,当四边形ABPC的面积最大时,求点P的坐标.(3)如图2,线段AC的垂直平分线交x轴于点E,垂足为D,M为抛物线的顶点,在直线DE上是否存在一点G,使△CMG的周长最小?若存在,求出点G的坐标;若不存在,请说明理由.2. 如图,抛物线y=-23x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝mx＋3与抛物线交于点A(9，－6)，与y轴交于点B，抛物线的顶点C的坐标是(4，－11)．(1)分别求该直线和抛物线的函数表达式；(2)D是抛物线上位于对称轴左侧的点，若△ABD的面积为812，求点D的坐标；(3)在y轴上是否存在一点P，使∠APC＝45°？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4. 如图1,抛物线y=-3[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A在5点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

2021年中考数学复习《中考压轴题：二次函数应用题》经典题型靶向提升练习(四)

2021年中考数学复习《中考压轴题：二次函数应用题》经典题型靶向提升练习（四）1．某工厂计划投资生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，产品A的利润y1（万元）与投资量x（万元）成正比例关系，如图①所示：产品B的利润y2（万元）与投资量x（万元）成顶点在原点的二次函数关系，如图②所示．（1）请直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式y1＝，y2＝；（2）如果工厂以9万元资金投入生产A、B两种产品，要求A产品的投资金额不超过B 的2倍，且不少于3万元，则如何投资该工厂能获得最大利润？最大利润是多少？（3）在（2）问的情况下，工厂要获得不低于18万的利润，工厂要如何投资？2．如图，一座拱桥的轮廓呈抛物线形，拱高6m，跨度为20m，相邻两立柱间的距离均为5m．（1）建立适当的直角坐标系，求这条抛物线的表达式．（2）求立柱EF的长．（3）拱桥下面拟铺设行车道，要保证高3m的汽车能够通过（车顶与桥拱的距离不小于0.3m），行车道最宽可铺设多少米？3．某电器公司推出一款智能空调扇，经市场调研发现，该产品的月销售量y（台）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，已知该产品的成本是每台1500元．（1）求出y关于x的函数解析式．（2）设月销售利润为ω（元），求ω关于x的函数解析式，并求出当销售单价定为多少时，月销售利润最大，最大月销售利润是多少，（3）公司开展了技术创新，以降低成本，预计在今后的销售中，月销售量与销售单价仍存在（1）中的函数关系，若想实现当销售单价为1900元时，月销售利润不低于114000元的销售目标，则该产品的成本单价应不超过多少元？4．在长、宽均为45米的十字路口，现遇到红灯，有10辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每两辆车间隔为2.5米，每辆车长5米，每辆车的速度v（米/秒）关于时间t （秒）的函数（如图1）所示，当绿灯亮起，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间t（秒）的函数解析式为s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如图2所示当前车启动后，后面一辆车在1秒后也启动．（1）求a的值；（2）当t＞4时，求第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式；（3）当t＞4时，求第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距；（第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦）（4）绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．5．【问题实验】如图①，在地面BD上有两根等长立柱AB，CD之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点到地面的距离；（2）如图②，因实际需要，需用一根立柱MN撑起绳子．①若在离AB为4米的位置处用立柱MN撑起，使立柱左侧的抛物线的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；②将立柱MN来回移动，移动过程中，在一定范围内，总保持立柱MN左侧抛物线的形状不变，其函数表达式为y＝x2﹣mx+3，当抛物线最低点到地面距离为0.5米时，求m的值．【问题抽象】如图③，在平面直角坐标系中，函数y ＝﹣mx +3（x ＜0）的图象记为M 1，函数y ＝﹣mx +3（x ≥0）的图象记为M 2，其中m 是常数，图象M 1、M 2合起来得到的图象记为M ．设M 在﹣3≤x ≤2上的最低点纵坐标为y 0，当﹣6≤y 0≤2时，直接写出m 的取值范围．6．一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米．（1）按如图所示建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）小明的这次投篮未能命中篮圈中心，请说明理由；（3）假设出手的角度和力度都不变，请直接回答：小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？7．某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB ＝xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）矩形空地的面积能否为164m2，若能，求x的值；不能，请说明理由．8．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；（2）销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，直接写出此时销售单价的取值范围．9．如图1，用长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为28m，设垂直于墙的一边长为xm，平行于墙的一边长为ym．（1）直接写出y与x满足的函数关系式及x的取值范围；（2）求菜园面积S的最大值；（3）如图2，在菜园内修建两横一竖且宽均为am的小路，其余部分种菜，若种菜部分的面积随x的增大而减小，则a的取值范围为．10．为做好扶贫帮扶工作，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给被帮扶对象，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，李师傅按照政策投资销售本市生产的一品牌牛奶．已知这种品牌牛奶的成本价为每箱12元，出厂价为每箱16元，每天销售y（箱）与销售单价x（元）之间满足如图所示函数的关系．（1）求y与x之间的一次函数关系式（2）如果李师傅想要每天获得的利润是216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？（3）设李师傅每天获得的利润为w（元），当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？参考答案＝kx，1．解：（1）由题意设y1∵点P（2，4）在该函数的图象上，∴4＝2k，∴k＝2，＝2x；∴y1＝ax2，设y2∵点Q（2，3），∴3＝4a，∴a＝，∴y 2＝x 2．故答案为：2x ；x 2；（2）设投资A 产品x 万元，则投资B 产品（9﹣x ）万元，由题意得：，∴3≤x ≤6，∴该工厂能获得的利润为：y 1+y 2＝2x +（9﹣x ）2＝x 2﹣x +＝+，∴当x ＝3时，y 1+y 2取得最大值，最大值是+＝33（万元）．∴投资A 产品3万元，投资B 产品6万元时，该工厂能获得最大利润，最大利润是33万元；（3）由（2）知，3≤x ≤6，y 1+y 2＝+≥18，∴≥18﹣＝，∴≥，∴x ﹣≥或x ﹣≤﹣，∴x ≥9或x ≤，∵3≤x≤6，∴当投资A产品不少于3万元且不超过6万元时，工厂获得的利润不低于18万元．2．解：（1）建立直角坐标系，如图所示：设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，由图可知抛物线过点（﹣10，0）、（10，0）和（0，6），∴解得：．∴所求抛物线的解析式为y＝﹣x2+6．（2）根据题意，可知点F在抛物线上，且F的横坐标为5，将x＝5代入抛物线解析式，得y＝﹣×52+6＝4.5．∴EF＝8﹣4.5＝3.5．∴立柱EF的长为3.5m．（3）设行车道宽为2xm，则车顶与桥拱的距离为（﹣x2+6﹣3）m．根据题意可得﹣x2+6﹣3≥0.3解得﹣3≤x≤3，结合实际，可知0＜x≤3，3×2＝6，∴行车道最宽可铺设6米．3．解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，将（1800，200）、（2000，180）分别代入，可得：，解得：，∴y关于x的函数解析式为y＝﹣0.1x+380（1500＜x≤3800）；（2）由题意得：ω＝（x﹣1500）y＝（x﹣1500）（﹣0.1x+380）＝﹣0.1x2+530x﹣570000＝﹣0.1（x﹣2650）2+132250，∵﹣0.1＜0，∴当x＝2650时，ω有最大值132250，∴ω关于x的函数解析式为ω＝﹣0.1x2+530x﹣570000（1500＜x≤3800），当销售单价定为2650元时，月销售利润最大，最大月销售利润是132250元；（3）当x＝1900时，y ＝﹣0.1x +380＝﹣0.1×1900+380＝190，设该产品的成本单价为m 元，由题意得：（1900﹣m ）×190≥114000，解得：m ≤1300．∴该产品的成本单价应不超过1300元．4．解：（1）∵s ＝a （t ﹣1）2（1≤t ≤4）过（4，22.5），∴9a ＝22.5，解得：a ＝；（2）由图1可知，当t ＝4时，v ＝15，t ＞4时，s ＝22.5+（t ﹣4）×15＝15t ﹣37.5， ∴当t ＞4时，第一辆车的车头与交通白线的距离s （米）关于时间（秒）的函数解析式为s ＝15t ﹣37.5；（3）当t ＞4时，v 1＝v 2＝15，45﹣22.5＝22.5，∴t ＝4++＝4++＝（秒），∴s 2＝15×（﹣1）﹣37.5﹣（2.5+5）＝27.5（米），∴最大间距是45﹣27.5＝17.5（米）．∴当t ＞4时，第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距是17.5米；（4）间隔为10×5+9×2.5+s ，由题意得：s +9×2.5+15（t ﹣13）≥10×5+9×2.5+s ，解得：t ≥．∴绿灯持续时间至少要设置秒才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．5．解：【问题实验】（1）∵y ＝x 2﹣x +3＝（x ﹣5）2+，∴抛物线的顶点坐标为（5，），∴绳子最低点到地面的距离为米；（2）①由题意可知，立柱左侧的抛物线的顶点坐标为（3，1.8），∴设y ＝a （x ﹣3）2+1.8∵抛物线y ＝x 2﹣x +3与y 轴的交点A 的坐标为（0，3），∴把（0，3）代入，得3＝a （0﹣3）2+1.8，∴，∴，∴当x ＝4时，．∴．②∵抛物线y ＝x 2﹣mx +3对称轴为x ＝m ，∴把（m ，0.5）代入中，得：，∴，（舍）．【问题抽象】由题意知：抛物线M 1、M 2均过定点（0，3），当m ≥0时，M 1的最低点为（0，3），此时，抛物线M 的最低点在M 2上．当x ≥0时，M 2：y ＝﹣mx +3的对称轴是x ＝2m ，①当2m≥2时，即m≥1时，∵当0≤x≤2时，y随x的增大而减小，＝×22﹣2m+3＝4﹣2m，∴当x＝2时，y最小，此时y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤4﹣2m≤2，解得1≤m≤5；②当0≤2m＜2时，即0≤m＜1时，∵x的范围是0≤x≤2，＝×（2m）2﹣m×2m+3＝﹣m2+3，∴当x＝2m时y最小，此时y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤﹣m2+3≤2，解得：1≤m≤3，∵0≤m＜1∴此种情况的m的值不存在；当m＜0时，M2的最低点为（0，3），此时，抛物线M的最低点在M上，当x＜0时，对1：y＝﹣mx+3，其对称轴是直线x＝m．于M1③当m≤﹣3时，∵当﹣3≤x＜0时，y随x的增大而增大，＝×（﹣3）2+3m+3＝3m+，∴当x＝﹣3时，y最小，此时y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤3m+≤2时，解得：﹣≤m≤﹣，∵m≤﹣3，∴m的范围是：﹣≤m≤﹣3；④当﹣3＜m＜0时，∵x的范围是﹣3≤x＜0，＝m2﹣m2+3＝﹣m2+3，∴当x＝m时，y最小，此时，y≤2，∵﹣6≤y∴﹣6≤﹣m2+3，≤2时，解得：﹣3≤m≤﹣，∵﹣3＜m＜0，∴﹣3＜m≤﹣，综上所述，m的取值范围是：﹣≤m≤﹣或1≤m≤5．6．解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（4，4），球出手时的坐标为（0，），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，将（0，）代入得：16a+4＝，解得：a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+4；（2）∵y＝﹣（x﹣4）2+4，∴当x＝8时，y＝﹣（8﹣4）2+4＝≠3，∴小明的这次投篮未能命中篮圈中心；（3）∵出手的角度和力度都不变，∴设抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4+m）2+4，将（8，3）代入得：3＝﹣（8﹣4+m）2+4，∴（4+m）2＝9，解得：m1＝﹣1，m2＝﹣7，∵向前走7米，位于篮圈正下方，故舍去．∴小明应该向前走1米才能命中篮圈中心．7．解：（1）AB＝xm，则BC＝（36﹣2x）m，由题意：y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36，∵0＜BC≤18，即0＜36﹣2x≤18，解得9≤x＜18，即y＝﹣2x2+36（9≤x＜18）；（2）由题意：﹣2x2+36x＝160，解得x＝10或8．∵9≤x＜18，故x＝10；（3）不能，理由：由题意：﹣2x2+36x＝164，即x2﹣18x+82＝0，即（x﹣9）2＝﹣1＜0，故此方程无解，故矩形空地的面积不能为164m2．8．解：（1）设y与销售单价x之间的函数关系式为：y＝kx+b，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣2x+160；（2）由题意得：w＝（x﹣30）（﹣2x+160）＝﹣2（x﹣55）2+1250，∵﹣2＜0，故函数有最大值，∴当x＝55时，w有最大值，此时，w＝1250，故销售单价定为55元时，该超市每天的利润最大，最大利润1250元；（3）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）≥800，解得：40≤x≤70，故销售单价x的取值范围为40≤x≤70．9．解：（1）由题意得：y＝60﹣2x，∵墙长为28m，篱笆长为60m，∴0＜y≤28，∴0＜60﹣2x≤28，∴﹣60＜﹣2x≤﹣32，∴16≤x＜30，∴y＝60﹣2x（16≤x＜30）；（2）∵y＝60﹣2x，∴S＝xy＝x（60﹣2x）＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，∵a＝﹣2＜0∴开口向下，∵对称轴为x＝15，∴当16≤x＜30时，S随x增大而减小．∴当x＝16时，S有最大值，最大值为448m2；（3）由题意得：S路＝2ay+ax﹣2a2，∴S种＝S﹣S路＝﹣2x2+60x﹣[2a（60﹣2x）+ax﹣2a2]＝﹣2x2+60x﹣120a+4ax﹣ax+2a2＝﹣2x2+（3a+60）x+2a2﹣120a，∵种菜部分的面积随x的增大而减小，且16≤x＜30，∴﹣≤16，∴3a+60≤64，∴3a≤4，∴a≤，又∵a＞0，∴0＜a≤．10．解：（1）设y＝kx+b，根据题意，得：，解得，∴y＝﹣3x+90；（2）根据题意，得：（x﹣12）（﹣3x+90）＝216，解得：x1＝24，x2＝18，当x＝24时，y＝﹣3×24+90＝18，此时政府承担的总差价为18×（16﹣12）＝72（元）；当x＝18时，y＝﹣3×18+90＝36，此时政府承担的总差价为36×（16﹣12）＝144（元）；答：政府每天为他承担的总差价最少为72元；（3）w＝（x﹣12）（﹣3x+90）＝﹣3x2+126x﹣1080＝﹣3（x﹣21）2+243，∴当x＝21时，w取得最大值243，答：当销售单价为21元时，每天可获得最大利润，最大利润是243元．。

2021年中考一轮复习数学《二次函数》压轴题必做题型25道(难度较大)(无答案)

2021年中考数学复习《二次函数》压轴题必做题型25道（难度较大）（无答案）1.如图，有一块三角形空地，底边长BC＝100米，高AH＝80米，某单位要沿着底边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在AB、AC边上，E、F在边BC上，当矩形DEFG的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多少？2. 如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0).(1)求m的值及抛物线的顶点坐标.(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)求顶点D的坐标与对称轴l；4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(6,6),(6,0),抛物线y=-(x-m)2+n的顶点P在折线OA—AB上运动.(1)当点P在线段OA上运动时,抛物线y=-(x-m)2+n与y轴交点坐标为(0,c).用含m的代数式表示n.(2)当抛物线y=-(x-m)2+n经过点B时,求抛物线所对应的函数解析式.y A 45︒O B 2x5. 如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，求实数k 的取值范围．6. 如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1.(1)求此抛物线的解析式.(2)若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB 的面积的最大值,并求出此时点P 的坐标.7. 体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA,A处为喷头向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下(如图1).如果曲线APB表示的是落点B离点O最远的一条水流(如图2),水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的解析式是y=-x2+4x+(x>0),求圆形水池的半径至少为多少米时,才能使喷出的水流不至于落在池外.8. 如图,抛物线经过A(-2,0),B,C(0,2)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在直线AC下方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求点D的坐标.9. 已知某款熊猫纪念品成本为30元/件,当售价为45元/件时,每天销售250件,售价每上涨1元,销量下降10件.(1)求每天的销量y(件)与销售单价x(元)之间的函数解析式.(2)若每天该熊猫纪念品的销量不低于240件的情况下,当销售单价为多少元时,每天获取的利润最大?最大利润是多少?(3)小张决定从这款纪念品每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后这款纪念品每天剩余的利润不低于3 600元,试确定该熊猫纪念品销售单价的范围.10. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝12x－2经过点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.(1)求抛物线的解析式；(2)在对称轴l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小？若存在，求出点F 的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；11. 已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的对称轴为直线x=-1.(1)b= ;(用含a的代数式表示)(2)当a=-1时,若关于x的方程ax2+bx+c=0在-4<x<1的范围内有解,求c的取值范围;(3)若抛物线过点(-1,-1),当0≤x≤1时,抛物线上的点到x轴距离的最大值为4,求a的值.12. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．13. 如图 12-1，抛物线y=ax2＋bx＋3 交x 轴于点A（-1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图 12-2，该抛物线与y 轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．求四边形ACFD 的面积；14. 在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0，－1)，C的坐标为(4，3)，直角顶点B在第四象限．(1)如图，若该抛物线过A，B两点，求抛物线的函数表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q.若点M在直线AC下方，且为平移前(1)中的抛物线上的点．当以PQ为直角边，M，P，Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；15. 已知m，n是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个实数根，且|m|<|n|.二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(m，0)，B(0，n)，如图所示．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；(3)点P是直线BC上的一个动点(点P不与点B和点C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度．设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数解析式．16. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；＝2？若存在，求出点G的坐标，若不(2)在抛物线上是否存在一点G，使得S△ACG存在，请说明理由；17. 二次函数y=-x2+bx+c的图象与直线y=-x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B作BC⊥x轴,垂足为C(-3,0).(1)填空:b= ,c= .(2)点N是二次函数图象上一点(点N在AB上方),过点N作NP⊥x轴,垂足为点P,交AB于点M,求MN的最大值.(3)在(2)的条件下,点N在何位置时,BM与NC相互垂直平分?并求出所有满足条件的点N的坐标.18. 如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与x轴的另一个交点为C，对称轴为直线l，顶点为D，对称轴与x轴的交点为E.(1)求直线AB的解析式及抛物线的解析式；(2)连接BC，在抛物线上是否存在一点M(异于点C)，使得S△ABM ＝S△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；19. 已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式.(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.20. 平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2－2mx＋m2＋2m＋2的图象与x轴有两个交点．(1)当m＝－2时，求二次函数的图象与x轴交点的坐标；(2)过点P(0，m－1)作直线l⊥y轴，二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间(不包含点A在直线l上)，求m的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线l相交于点B，求△ABO的面积最大时m的值．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.(1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)；(3)设点P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上．以AD为边，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由；以AD为对角线，点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．22. 如图，抛物线215322y x x =-++与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(,0)m ，过点 P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求直线BD 的解析式；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，求DQB △面积S 和m 的函数关系式，并求出DQB △面积的最大值；（3）当DQB △面积最大时，在x 轴上找一点E ，使55QE EB +的值最小，求E 的坐标和最小值．23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A、B两点，其中A(m，0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合)，分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN 面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24. 如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=-x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为点P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的表达式.(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形时,请写出点F的坐标.25.如图1,抛物线y=-35[(x-2)2+n]与x轴交于点A(m-2,0)和B(2m+3,0)(点A 在点B的左侧),与y轴交于点C,连接BC. (1)求m,n的值.(2)如图2,点N为抛物线上的一动点,且位于直线BC上方,连接CN,BN.求△NBC 面积的最大值.(3)如图3,点M,P分别为线段BC和线段OB上的动点,连接PM,PC,是否存在这样的点P,使△PCM为等腰三角形,△PMB为直角三角形同时成立?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.。

专题20：二次函数压轴题-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编(原卷版)

专题20：二次函数压轴题-2021年广东地区中考数学真题与模拟试题精选汇编一、单选题1．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图，抛物线()2112y x =-++与()2221y x =---相交于点B ．两抛物线分别与y 轴交于点D 、E 两点．过点B 作x 轴的平行线，交两抛物线于点A 、C ，则以下结论错误的是（）A ．无论x 取何值，2y 总是负数B ．抛物线2y 可由抛物线1y 向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到C ．当31x -<<时，随着x 的增大，12y y -的值先增大后减小D ．四边形AECD 为正方形2．（2021·广州大学附属中学九年级二模）对于题目“一段抛物线L ：()3y x x c =--+（03x ≤≤）与直线1l ：2y x =+有唯一公共点，若c 为整数，确定所有c 的值．”甲的结果是1c =．乙的结果是3c =或4，则（） A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙结果合在一起也不正确二、解答题3．（2021·广东中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0-，且对任意实数x ，都有22412286x ax bx c x x -≤++≤-+．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x 轴的正半轴交点为A ，与y 轴交点为C ；点M 是（1）中二次函数图象上的动点．问在x 轴上是否存在点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2021·广东广州市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点，与y 轴交于点C ．点D 在抛物线上，且在第一象限．（1）求,b c 的值；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴，求OE DE +的最大值；（3）如图2，连接,AC CD ，若3DCO ACO ∠=∠，求点D 的横坐标．5．（2021·广东阳江市·九年级二模）如图，点B ，C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，OB ，OC 的长分别为28120x x -+=的两个根()OC OB >，点A 在x 轴的负半轴上，且3OA OC OB ==，连接AC ．（1）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数解析式；（2）点P 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿CA 运动到点A ，点Q 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC 运动到点C ，连接PQ ，当点P 到达点A 时，点Q 停止运动，求CPQ S △的最大值；（3）M 是抛物线上一点，是否存在点M ，使得15ACM ∠=︒？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图①，抛物线23yax bx a =+-与x 轴负半轴交于点()1,0A -，与x轴的另一交点为B ，与y 轴正半轴交于点()0,3C ，抛物线的对称轴与直线BC 相交于点M ，与x 轴交于点G ．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）抛物线的对称轴上存在点P ，使得APB ABC ∠=∠，利用图①求点P 的坐标；（3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点E ，连接EB ，在抛物线上是否存在点Q （不与点E 重合），使得QMB EMB S S =△△？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·广东广州市第二中学九年级二模）已知关于x 的二次函数()()22110y kx k x k k =--++≠．（1）不论k 为何值，抛物线都会经过一个定点，求这个定点的坐标；（2）若抛物线上始终存在两个不重合的点关于原点对称，求k 的取值范围；（3）若抛物线经过()11,P y -，()25,Q y 两点，记抛物线在PQ 之间（含点P 、点Q ）的这部分图象为G ．若点P 既不是图象G 的最低点，也不是图象G 的最高点，求21y y 的取值范围． 8．（2021·广东广州市·九年级一模）已知，抛物线y ＝mx 2＋94x ﹣4m 与x 轴交于点A （﹣4，0）和点B ，与y 轴交于点C ．点D （n ，0）为x 轴上一动点，且有﹣4＜n ＜0，过点D 作直线1⊥x 轴，且与直线AC 交于点M ，与抛物线交于点N ，过点N 作NP ⊥AC 于点P ．点E 在第三象限内，且有OE ＝OD ．（1）求m 的值和直线AC 的解析式．（2）若点D 在运动过程中，12AD ＋CD 取得最小值时，求此时n 的值．（3）若点△ADM 的周长与△MNP 的周长的比为5∶6时，求AE ＋23CE 的最小值．9．（2021·广东华侨中学九年级二模）在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣12x ＋2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣12x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝32与x 轴的交点为点A ，且经过点B 、C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M 为抛物线对称轴上一动点，当|BM ﹣CM |的值最小时，求出点M 的坐标；（3）抛物线上是否存在点N ，过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，使得以点B 、N 、H 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021·广东汕头市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，215324y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．连接BC ，点D (t ，0)为线段OB 上一动点（不与O 、B 重合），DF ⊥x 轴交抛物线于点F ，交线段BC 于点E ．连接AE 、CF ．（1）求点A 、点B 和点C 的坐标；（2）设ADE 的面积为S ，求S 的最大值；（3）若CEF 为等腰三角形，请直接写出t 的值．11．（2021·东莞外国语学校九年级一模）如图，直线333y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线236y x bx c =++经过A 、B ，且与x 轴交于点C ，连接BC ．（1）求b 、c 的值；（2）点P 为线段AC 上一动点（不与A 、C 重合），过点P 作直线PD ∥AB ，交BC 于点D ，连接PB ，设PC ＝n ，△PBD 的面积为S ，求S 关于n 的函数关系式，并写出自变量n 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当S 最大时，点M 在抛物线上，在直线PD 上，是否存在点Q ，使以M 、Q 、P 、B 为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021·广东江门市·九年级一模）如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于(1,0)A -，(,0)B m 两点，与y 轴相交于点(0,3)C -，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 在x 轴上，且ECB CBD ∠=∠，求点E 的坐标；（3）若P 是直线BC 下方抛物线上任意一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，与BC 交于点M ．当线段PM 取到最大值时，若F 为y 轴上一动点，求22PH HF ++的最小值． 13．（2021·广东深圳市·九年级一模）如图，抛物线29(0)4=++≠y ax x c a 与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ，与y 轴相交于点(0,3)C ，作直线BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上存在点D ，使2∠=∠DCB ABC ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 的坐标为70,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点M 在抛物线上，点N 在直线BC 上，当以,,,D F M N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N 的坐标．14．（2021·广州市第十六中学九年级二模）在平面直角坐标系xOy 中，1C ：二次函数()233y mx m x =+--（0m >）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）且4AB =，与y 轴交于点C ．（1）求二次函数的表达式；（2）将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，当302x ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数图象，求出n 的取值范围；（3）将ACB △绕AB 的中点Q 旋转180︒，得到BDA ，若点M 是线段AD 上一动点，MB NB ⊥交直线AC 于点N ，点P 为线段MN 的中点，当点M 从点D 向点A 运动时．①求tan NMB ∠的值如何变化？请说明理由； ②求点到达点A 时，直接写出点P 经过的路线长．15．（2021·广东佛山市·九年级二模）已知抛物线223y x x =--交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴相交于点E ．（1）直接写出tan ABC ∠的值__________；（2）点P 在射线ED 上，以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，且与直线CD 相切，求点P 的坐标；（3）点M 在线段BC 下方的抛物线上，当MBC △为锐角三角形时，求M 点横坐标的取值范围． 16．（2021·广东深圳市·九年级一模）抛物线2623663y x x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD ，则线段CD 的长为；（2）如图2，点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF x ⊥轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ，当12PE EC +的值最大时，求出对应的点P 的坐标；（3）如图3，点H 是线段AB 的中点，连接CH ，将OBC 沿直线CH 翻折至11O B C △的位置，再将11O B C △绕点1B 旋转一周，在旋转过程中，点1O ，C 的对应点分别是点2O ，1C ，直线21O C 分别与直线AC ，x 轴交于点M ，N ．那么，在11O B C △的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使在AMN 中MN NA =成立？若存在，请直接写出所有符合条件的点1C 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·广东深圳市·九年级一模）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y x =-+与x 轴交于点A ，过点A 的抛物线2y ax bx =+与直线4y x =-+交于另一点B ，且点B 的横坐标为1（1）该抛物线的解析式为；（2）如图1，Q 为抛物线上位于直线AB 上方的一动点（不与B 、A 重合），过Q 作QP x ⊥轴，交 x 轴于P ，连接AQ ，M 为AQ 中点，连接PM ，过 M 作MN PM ⊥交直线AB 于N ，若点P 的横坐标为t ，点N 的横坐标为n ，求n 与t 的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN 并延长，交 y 轴于E ，连接AE ，求t 为何值时，//MN AE ．（3）如图3，将直线AB 绕点A 顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C ，点T 为线段OA 上的一动点（不与 O 、A 重合），以点O 为圆心、以OT 为半径的圆弧与线段OC 交于点D ，以点 A 为圆心、以AT 为半径的圆弧与线段AC 交于点F ，连接DF ．在点 T 运动的过程中，四边形ODFA 的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．18．（2021·广东广州市·九年级一模）如图①，抛物线214y x bx c =-++经讨点()4,3A 对称轴是直线2x =.顶点为B ．抛物线与y 轴交于点C ，连接AC ，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，点E 是线段AC 上的动点（点E 不与A 、C 两点重合）.（1）求抛物线的函数解析式和顶点B 的坐标；（2）若直线BE 将四边形ACOD 分成面积比为1：3的两个四边形，求点E 的坐标；（3）如图②，连接DE ，作矩形DEFG ，在点E 的运动过程中，是否存在点G 落在y 轴上的同时点F 也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时AE 的长；若不存在，请说明理由.19．（2021·广东深圳市·九年级二模）如图1，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A -、()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点E 是点D 关于x 轴的对称点，经过点A 的直线1y mx =+与该抛物线交于点F ，点P 是直线AF 上的一个动点，连接AE 、PE 、PB ，记PAE △的面积为1S ，PAB △的面积为2S ，那么12S S 的值是否是定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，设直线AC 与直线BD 交于点M ，点N 是直线AC 上一点，若ONC BMC ∠=∠，求点N的坐标．20．（2021·广东九年级其他模拟）如图，已知抛物线28y ax bx =+-的图象与x 轴交于A （2，0）和B （-8，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）点F 是直线BC 下方抛物线上的一点，当△BCF 的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P ，使得BFP △的周长最小，请求出点F 的坐标和点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q （0，m ），使得BFQ 为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q 的坐标；如果没有，请说明理由．21．（2021·广东惠州市·九年级二模）如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板ABC 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中A 的坐标为(0,2)，直角顶点C 的坐标为(1,0)-，点Ｂ在抛物线22y ax ax =+-上．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，连结BD 、CD ，求DBC △的面积；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP △仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2021·广东深圳市·九年级专题练习）抛物线2y ax ax b =-+交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于C ，直线4y x =-+经过B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为直线BC 上方的抛物线上一点，//PD y 轴交BC 于D 点，过点D 作DE AC ⊥于E 点．设1021m PD DE =+，求m 的最大值及此时P 点坐标；（3）如图2，点N 在y 轴负半轴上，点A 绕点N 顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点M 处，且180ANM ACM ∠+∠=︒，求N 点坐标．23．（2021·广州大学附属中学九年级二模）如图，直线l ：33y x =-+与x 轴，y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线22y x x b =-++过点B ．（1）该抛物线的函数解析式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值；（3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M '．①写出点M '的坐标；②将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l '，当直线l '与直线AM '重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l '与线段BM '交于点C ，设点B ，M '到直线l '的距离分别为1d ，2d ，当12d d +最大时，求直线l '旋转的角度（即BAC ∠的度数）．24．（2021·广东韶关市·九年级一模）如图，直线12y x c =+与x 轴交于点()4,0B 与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过点B ，C ，与x 轴的另一个交点为A ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，求四边形ACPB 面积最大时点P 的坐标；（3）若M 是抛物线上一点，且MCB ABC ∠=∠，请直接写出点M 的坐标．25．（2021·深圳市南山区华侨城中学九年级二模）如图，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 与 x 轴交于 A ，B 两点（B 在 A 的右侧），且与直线 l 1：y ＝x ＋2 交于 A ，D 两点，已知 B 点的坐标为（6，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）过点B 的直线l2 与线段AD 交于点E，且满足16DEAE=，与抛物线交于另一点C．①若点P 为直线l2 上方抛物线y＝－x2＋bx＋c 上一动点，设点P 的横坐标为t，当t 为何值时，△PEB 的面积最大；②过E 点向x 轴作垂线，交x 轴于点F，在抛物线上是否存在一点N，使得∠NAD＝∠FEB，若存在，求出N 的坐标，若不存在，请说明理由．26．（2021·广东深圳市·九年级其他模拟）如图，抛物线y=ax2－2ax+c与x轴分别交于点A、B(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，连接BC，点(12，34-a－3)在抛物线上．（1）求c的值；（2）已知点D与C关于原点O对称，作射线BD交抛物线于点E，若BD=DE，①求抛物线所对应的函数表达式；②过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，以5的长为半径作⊙C，点T为⊙C上的一个动点，求55TB+TF的最小值．27．（2021·广东东莞市·九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax²-2ax-3a 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，D 为第一象限内抛物线上一点，过D 做DT ⊥x 轴交x 轴于T ，交BC 于点K ，设D 点横坐标为m ，线段DK 的长为d ，求d 与m 之间的关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，D 在对称轴右侧，Q 、H 为直线DT 上点，Q 点纵坐标为4，H 在第四象限内，且QD =TH ，过D 做x 轴的平行线交抛物线于点E ，连接EQ 交抛物线于点R ，连接RH ，tan ∠ERH =2，求点D 的坐标．28．（2021·广东佛山市·九年级一模）二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于()2,0A ，()6,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；（2）如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；（3）如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接PC 、PE 、CE ，当CEP △的面积为30时，求点P 的坐标．29．（2021·广东深圳市·深圳中学九年级月考）已知抛物线()213y a x a =-+，其顶点为E ，与y 轴交于点()0,4D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线l：183y x=-+与抛物线第一象限交于点B，交y轴于点A，求ABD DBE-∠∠的值；（3）若有两个定点131,4F⎛⎫⎪⎝⎭，()0,8A，请在抛物线上找一点K，使得KFA△的周长最小，并求出周长的最小值．30．（2021·广东九年级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x＝1．（1）求二次函数的解析式；（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020-2021中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案

2020-2021中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案一、二次函数1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC 于点N．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或20 13．【解析】（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x －1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），∵抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y ＝a （x －1）2＋4，代入点C （3, 0），可得a ＝－1．∴y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3．（2）∵P （112t +，４），将112x t =+代入抛物线的解析式，y ＝－（x －1）2＋4＝2144t -， ∴M （112t +，2144t -），设直线AC 的解析式为，将A （１,４），C （３,０）代入，得：，将112x t =+代入得， ∴N （112t +，）， ∴MN， ∴， ∴当t ＝２时，△A ＭC 面积的最大值为1．（3）①如图１，当点Ｈ在Ｎ点上方时，∵Ｎ（112t +，），P （112t +，４）， ∴P Ｎ＝４—（）＝＝CQ ，又∵PN ∥CQ ， ∴四边形PNCQ 为平行四边形，∴当PQ ＝CQ 时，四边形FECQ 为菱形，PQ 2＝PD 2+DQ 2 ＝，∴，整理，得240800t t -+=．解得12085t =-，22085t =+②如图２当点Ｈ在Ｎ点下方时， NH=CQ=，NQ ＝CQ 时，四边形NHCQ 为菱形，NQ 2＝CQ 2，得：．整理，得213728000t t -+=．()()1320400t t --=．所以12013t =，（舍去）．“点睛”此题主要考查二次函数的综合问题，会用顶点式求抛物线，会用两点法求直线解析式，会设点并表示三角形的面积，熟悉矩形和菱形的性质是解题的关键.2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

中考复习之二次函数压轴之面积问题,含详细参考答案

二次函数压轴之面积问题问题简介：1.抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0)，点B（3，0），与y轴交于点C，直线y＝kx-3，经过点B，C．(1)求抛物线的解析式(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，求 PBC面积最大时点P的坐标；2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．（1）求A点、C点的坐标；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，连接AC，CP，BP，若四边形ACPB面积为63 8请求出此时点P的坐标；3.如图，抛物线y ＝24832999x x -++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为D ．点P 为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为m ，直线AD 交y 轴于点C ，过点P 作PF ∥AD ，交x 轴于点F ，PE ∥x 轴，交直线AD 于点E ，交直线DF 于点M ．（1）求直线AD 的表达式及点C 的坐标；（2）当四边形AFPE 的面积与△ADF 的面积相等时，求m 的值；4.如图，抛物线顶点坐标为点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B ．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）设点Q 是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q ，使S △QAB ＝S △CAB ，若存在，直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图1，抛物线y ＝12x 2+b x +c 与x 轴、y 轴分别交于点B （6，0）和点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上一动点，其横坐标为m ，连接PB 、PC ，当△PBC 的面积为152时，求m 值；6.已知抛物线y ＝12x 2﹣3x +52与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边）．（1）求A ，B 两点的坐标；（2）如图1，若点P 是抛物线上在第四象限的点，PBC S 13PAB S ∆∆=时．求点P 的坐标；7.已知二次函数y＝ax2+bx+2（a≠0）交x轴于点A，B（点A在点B左侧），AB＝3，交y轴于点C，设抛物线的对称轴为直线x＝m，且m≥0．（1）用含m的代数式表示出点A、点B的坐标；（2）若抛物线上存在点P使得S△ABP＝S△ABC＝3（点P与点C不重合），且这样的点P 恰好存在两个，求此时抛物线的解析式；8．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0），且OA＝OC，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）若M（﹣2，y）是抛物线上一点，P是抛物线上另一点（点P与点D不重合），当S△BDM＝S△BPM时，求出此时点P的坐标；9.如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C在x轴上有一动点E（m，0）（其中m为实数，0＜m＜3），过动点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线解析式及点C的坐标；（3）连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM若△AEM的面积等于△MON面积的2倍，求m的值．10.如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＜0）与x轴交于A、B两点（A点在B点的左边），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，OB＝OC＝3OA．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E的坐标为（0，7），若过点E作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H，直线y＝kx﹣2k﹣5（k≠0）与抛物线交于F、G两点，求当k为何值时，△FGH面积最小，并求出面积的最小值；参考答案1. 解：方法一：过点P 作PD||y 轴交BC 于点D ，设P(m ,m 2-2m -3),易知BC 的解析式为y =x -3，则D(m ,m -3)铅垂高PD=m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m 水平宽x B -x C =3，S △PBC =32(-m 2+3m),当m =32时，△PBC 的面积取最大值，此时P(32，154-) 方法二：将BC 向下平移，当它与抛物线相切时，此时△PBC 的面积最大设平移后的直线l解析式为y=x+m 与抛物线y =x 2-2x -3联立得x 2-3x -(m+3)=0,此时△=0，即有9+4(m +3)=0，m =214-此时方程的根为x 1=x 2=32，P 点的坐标为(32，154-) 方法三：过点P 作EF||x 轴，过点B 作BF△EF 于点F ，设P(m,m 2-2m -3)S △PBC =S 四EFBO -S △BOC -S △PCE -S △PBF =32(-(m 2-2m -3)-12(3-m)(m 2-2m -3)-12m(-(m 2-2m -3-3)=32(-m 2+3m),当m =32时，△PBC 的面积取最大值，此时P(32，154-)2. 解：(1)A(-1,0),C(0,-3)(2)易知AB=4，OC=3，故S △ABC =6，而S 四ACBP =S △ABC +S △BCP ，故S △BCP =158设P(m ，m 2-2m -3)，直线BC 的解析式为y=x -3，过点P 作PD||y 轴交BC 于点D ，则D(m ，m -3)，PD=m -3-(m 2-2m -3)=-m 2+3m ，S △BCP =32(-m 2+3m)=158得m 1=12，m 2=52，此时P 点的坐标为(12，154-)或(52，74-)3. 解：(1)y =43x +83，C(0，83) (2) 作DG 、PH 垂直于x 轴于点G 、H ，P(m ，24832999m m -++)，PH=|24832999m m -++|S AFPE =AF∙PH ，S △ADF =12AF∙DG ，即有|24832999m m -++|=2，解得m 1=1+2，m 2=1-2(舍去)m 3=1+2,m 4=1-2(舍去)，故m 的值为1+2或1+24. 解：(1)y =-x 2+2x +3(2)作CD||y 交AB 于点D ，易知直线AB 的解析式为y =-x +3，故D(1，2)，S ABC =3，方法一：设Q(m ，-m2+2m+3)则E(m,-m+3)，则QE=|-m 2+2m+3-(-m+3)|=|-m 2+3m|S ABQ =32|-m2+3m|=3，解得m 1=1,m 2=2，m 3=32，m 4=32，故Q 点的坐标为(1，4)或(2，3)或(32+，12-)或(32，12-+)5. 解：(1)y=12x 2-52x -3 (3) 易知直线BC 的解析式为y =12x -3设P(m,12m 2-52m -3)，E(m ，12m -3)，PE=12m -3-(12m2-52m -3)=-12m2+3m,S PBC =12∙6∙(-12m 2+3m)=152，解得m 1=1，m 2=56. 解：(1)A(1，0)，B(5，0)y ＝12x2﹣3x+52 (2)易知直线BC 的解析式为y=-12x+52,设P(m,12m2﹣3m+52)，则E(m,-12m+52),PE=-12m+52-(12m2﹣3m+52)=-12m2+52m ，S PBC =52(-12m2+52m)，而S PAB =2(12m2﹣3m+52),PBC S 13PAB S ∆∆=得22152(3)1225153()222m m m m -+=+7. 解：(1)A(m -1.5,0)B(m+1.5,0)(2)1.a <0时，x 轴下方恰好存在两个纵坐标为-2的点，而x 轴上方有且仅有一点C ，则C 为最高点时，满足题意，故b =0，对称轴为直线x=0，m =0，得a =-89,抛物线的解析式为y=-89x 2+22. a >0时，x 轴上方有一个纵坐标为2的点，x 轴下方有一个纵坐标为-2的点，故(m ,-2)为其顶点，设y=a (x -m )2-2，点B(m+1.5，0)和(0,2)代入得a =89，m=2,故抛物线的解析式为y =89(x-2)2-28. 解:(1)y=x 2+2x -3(2) 易知M(-2，-3)故直线BM 的解析式为y =35x -95，D(-1，-4)过点D 、P 分别作DE 、PF 平行于y 轴，E(-1，-125),故DE=85，S △BDM =12∙385=125，设P(m ,m 2+2m -3)则F(m ,35m -95) PF=|35m -95-(m 2+2m -3)|=|-m 2+135m+65|,故S △BMP =12∙3|-m 2+135m+65|=125,解得m 1=0,m 2=-3(舍),m 3=12-,m 4=12-+，故点P 的坐标为(0，-3)或(12-，12)或(12-+，12)9. 解：(1)y=-x 2+2x+3(3) E(m ，0)，M(m ，-m 2+2m+3),直线BM 的表达式为y=(-m -1)x+3m+3，x=0时，y=3m+3, 故N(0，3m+3),S AEM =21(1)(23)2m m m +-++,2S MON =(3m+3)m,即21(1)(23)2m m m +-++=(3m+3)m ，解得m=-2或-1(舍去负值)，故-210. 解：(1)y=-x 2+2x+3(2) 设直线EH 的解析式为y =mx +7，与抛物线y=-x 2+2x +3联立得x 2+(m -2)x +4=0，∆=0，即有(m -2)2=16，得m=-2或6(舍),y =-2x +7，H(2,3)而M(2,-5)，HM=8；联立y =kx -2k -5抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k -2)x -2k -8=0，x F +x G =2-k ,x F ∙x G =-2k -8, x G -x FS FGH k =-2时，面积最小，最小值为。

最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题题(面积问题)含答案

(1)求抛物线的表达式；
(2)点是线段上的动点（除、外），过点作轴的垂线交抛物线于点．
①当点的横坐标为2时，求四边形的面积；
②如图2，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点．试问，是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线经过A，B两点，其对称轴交x轴于点M．P是线段AM上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．
(2)如图，点在轴的负半轴上，且，连接，并延长交抛物线于点，点为直线上方抛物线上一动点，连接，，当的面积最大时，请求出的最大值及点的坐标；
(3)如图，将抛物线沿射线方向平移个单位到新抛物线，此时新抛物线顶点记为，为新抛物线上一点，若是以为直角边的直角三角形，请直接写出满足条件的点的横坐标．
(3)平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标．
(4)探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．已知抛物线与轴交于点和点，直线交轴于点和轴于点．
①连接，当的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图，抛物线：与轴交于，两点，且顶点为，直线经过，两点．
(1)求直线的表达式与抛物线的表达式；
(2)如图，将抛物线沿射线方向平移一定距离后，得到抛物线为，其顶点为，抛物线与直线的另一交点为，与轴交于，两点点在点右边，若，求点的坐标；

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品专题17 二次函数的面积问题(学生版)

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题17二次函数的面积问题【考点1】二次函数的线段最值问题【例1】(2020·湖北荆门·中考真题)如图，抛物线215:324L y x x =--与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴交于点B ．(1)求直线AB 的解析式及抛物线顶点坐标；(2)如图1，点P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，PC 交AB 于点D ，求PD BD +的最大值，并求出此时点P 的坐标； (3)如图2，将抛物线215:324L y x x =--向右平移得到抛物线L '，直线AB 与抛物线L '交于M ，N 两点，若点A 是线段MN 的中点，求抛物线L '的解析式．【变式1-1】(2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中)如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,，()10B ,，交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点，PM x⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)①若点P 仅在线段AO 上运动，如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M ，N ，C ，Q 为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x 2+mx+m ﹣2的顶点为A ，且经过点B(3，﹣3)．(1)求顶点A 的坐标(2)若P 是抛物线上且位于直线OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点P 的坐标； (3)如图2，将原抛物线沿射线OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA 交于C ，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD 的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点2】二次函数的面积定值问题【例2】已知二次函数2248y x mx m =-+-．(1)图象经过点1,1（）时，则m =_________；(2)当2x ≤时，函数值y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；(3)以抛物线2248y x mx m =-+-的顶点A 为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN (M ，N 两点在抛物线上)，请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式2-1】(2020·湖南九年级其他模拟)若抛物线L ：y ＝ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)与直线l ：y ＝ax +b 满足a 2+b 2＝2a (2c ﹣b )，则称此直线l 与该抛物线L 具有“支干”关系．此时，直线l 叫做抛物线L 的“支线”，抛物线L 叫做直线l 的“干线”．(1)若直线y ＝x ﹣2与抛物线y ＝ax 2+bx +c 具有“支干”关系，求“干线”的最小值； (2)若抛物线y ＝x 2+bx +c 的“支线”与y ＝﹣4cx的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；(3)已知“干线”y ＝ax 2+bx +c 与它的“支线”交于点P ，与它的“支线”的平行线l ′：y ＝ax +4a +b 交于点A ，B ，记△ABP 得面积为S ，试问：||Sa 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【变式2-2】(2020·山东济南·中考真题)如图1，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 过点A (﹣1，0)，点B (3，0)与y轴交于点C ．在x 轴上有一动点E (m ，0)(0<m <3)，过点E 作直线l ⊥x 轴，交抛物线于点M ． (1)求抛物线的解析式及C 点坐标；(2)当m ＝1时，D 是直线l 上的点且在第一象限内，若△ACD 是以∠DCA 为底角的等腰三角形，求点D 的坐标；(3)如图2，连接BM 并延长交y 轴于点N ，连接AM ，OM ，设△AEM 的面积为S 1，△MON 的面积为S 2，若S 1＝2S 2，求m 的值．【考点3】二次函数的面积最值问题【例3】(2020·四川绵阳·中考真题)如图，抛物线过点A (0，1)和C ，顶点为D ，直线AC 与抛物线的对称轴BD 的交点为B (3，0)，平行于y 轴的直线EF 与抛物线交于点E ，与直线AC 交于点F ，点F 的横坐标为433，四边形BDEF 为平行四边形． (1)求点F 的坐标及抛物线的解析式；(2)若点P 为抛物线上的动点，且在直线AC 上方，当△PAB 面积最大时，求点P 的坐标及△PAB 面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q ，同时在抛物线上取一点R ，使以AC 为一边且以A ，C ，Q ，R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 和点R 的坐标．【变式3-1】(2020·重庆中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -． (1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值；(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式3-2】(2020·江苏宿迁·中考真题)二次函数23y ax bx =++的图象与x 轴交于A (2，0)，B (6，0)两点，与y 轴交于点C ，顶点为E ．(1)求这个二次函数的表达式，并写出点E 的坐标；(2)如图①，D 是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD 的垂直平分线恰好经过点C 时，求点D 的坐标；(3)如图②，P 是该二次函数图象上的一个动点，连接OP ，取OP 中点Q ，连接QC ，QE ，CE ，当△CEQ 的面积为12时，求点P 的坐标．【考点4】二次函数面积的其它问题【例4】(2020·辽宁鞍山·中考真题)在矩形ABCD 中，点E 是射线BC 上一动点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点G ，交直线CD 于点F ．(1)当矩形ABCD是正方形时，以点F为直角顶点在正方形ABCD的外部作等腰直角三角形CFH，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是________，位置关系是_________；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；AB=，(2)如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作BEHF，M是BH中点，连接GM，3 BC=，求GM的最小值．2【变式4-1】(2020·湖北中考真题)已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；(3)如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．【变式4-2】(2020·山东日照·九年级二模)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣2，0)和点B(8，0)，与y轴交于点C(0，﹣8)，连接AC，D是抛物线对称轴上一动点，连接AD，CD，得到△ACD．(1)求该抛物线的函数解析式．(2)△ACD周长能否取得最小值，如果能，请求出D点的坐标；如果不能，请说明理由．(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点E，使得△ACE与△ACD面积相等，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．1．(广东梅州·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，-3)，动点P在抛物线上．(1)b =_________，c =_________，点B的坐标为_____________；(直接填写结果)(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．2．(2020·湖北武汉·九年级一模)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D (65，－145)，经过点C (0，－1)，且与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)．(1) 求抛物线的解析式：(2) P为抛物线上一点，连CP交OD于点Q，若S△COQ＝S△PDQ，求P点的横坐标；(3)点M为直线BC下方抛物线上一点，过M的直线与x轴、y轴分别交于E、F，且与抛物线有且只有一个公共点．若∠FCM＝∠OEF，求点M的坐标．3．(2020·广东九年级一模)如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a＜0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB＝OC＝3．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF∶S△CDF＝3∶2时，求点D的坐标．4．(2020·福建南平·九年级二模)已知抛物线y＝﹣12(x+5)(x﹣m)(m＞0)与x轴交于点A、B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．(1)直接写出点B、C的坐标；(用含m的式子表示)(2)若抛物线与直线y＝12x交于点E、F，且点E、F关于原点对称，求抛物线的解析式；(3)若点P是线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线AC于点N，当线段MN长的最大值为258时，求m的取值范围．5．(2018·四川眉山·中考真题)如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A(0，3)、B(1，0)，其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.6．(2018·湖南怀化·中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣1，0)B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．(2020·四川中考真题)如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a(a≠0)与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．(1)求抛物线的解析式；(2)平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；(3)如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N(2，0)．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D 不与A ，M 重合，连接DB 交MN 于点E ．连接AD 并延长交MN 于点F ．在点D 运动过程中，3NE +NF 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．8．(2020·内蒙古中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线2123y x x 经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，该抛物线的顶点为M ，直线12y x b =-+经过点A ，与y 轴交于点B ，连接OM ． (1)求b 的值及点M 的坐标；(2)将直线AB 向下平移，得到过点M 的直线y mx n =+，且与x 轴负半轴交于点C ，取点()2,0D ，连接DM ，求证：45ADM ACM ∠-∠=︒：(3)点E 是线段AB 上一动点，点F 是线段OA 上一动点，连接EF ，线段EF 的延长线与线段OM 交于点G ．当2BEF BAO ∠=∠时，是否存在点E ，使得34GF EF =？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．备用图9．(2020·福建厦门一中九年级其他模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知四边形ABCD 为平行四边形，点A 在y 轴上且在B 的下方，B(0，3)，且点C ，点D 在第一象限． (1)若点A(0，1)，点D(2，2)，求点C 的坐标； (2)若点C 在直线y ＝0.5x+3上， ①若CD ＝BC ，点D 在抛物线y ＝x 2﹣52x+3上，求点C 的坐标；②若CD ＝5BC ，抛物线y ＝x 2﹣ax+4﹣a 经过点D 、E ，与y 轴交于点F ，若点E 在直线BD 上，求DEF ABCD S S △﹣的最大值．10．(2020·河南九年级二模)如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC 的直角顶点A 在y 轴上，坐标为(0，－1)，另一顶点B 坐标为(－2，0)，已知二次函数y ＝32x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'∥y 轴且经过点B ，直尺沿x 轴正方向平移，当A'D'与y 轴重合时运动停止．(1)求点C 的坐标及二次函数的关系式；(2)若运动过程中直尺的边A'D'交边BC 于点M ，交抛物线于点N ，求线段MN 长度的最大值；(3)如图②，设点P 为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA 、PB 、PC ，Q 为BC 的中点，试探究：在直尺平移的过程中，当PQ ＝102时，线段PA 、PB 、PC 之间的数量关系．请直接写出结论，并指出相应的点P 与抛物线的位置关系．(说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A 在抛物线内，点C 在抛物线上，点D'在抛物线外．)11．(2020·湖北武汉·九年级其他模拟)抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点1,0A ，()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线CD 交抛物线于另一点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，过点E 作//EF AC 交CD 于点F ．求证：//BF y 轴；(3)如图2，P ，Q 为抛物线上两点，直线BP ，BQ 交y 轴于点M ，N ，9OM ON ⋅=，求APQ 面积的最小值．12．(2020·广东深圳·九年级其他模拟)如下图，抛物线2122y x x =-+与x 轴正半轴交于点A ，过点A 作直线l x ⊥轴，点P 是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接OP 并延长交直线l 于点B ，连接AP 并延长交y 轴于点C ，过点P 作PH x ⊥轴，垂足为H ，连接BH ．设OH t =．(1)请直接写出A 点坐标并求出OBH S △的最大值；(2)如图1，随着点P 的运动，AB OC +的值是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的值；(3)连接BC ，如图2，则当点P 位于何处时，点O 到直线BC 的距离最大？请你求出此时点P 的坐标．13．(2020·广东九年级一模)如图，抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()0,2A ，对称轴为直线2,x =-平行于x 轴的直线与抛物线交于,B C 两点，点B 在对称轴左侧，6BC =．(1)求此抛物线和直线AB 的解析式；(2)点Р在x 轴上，直线C Р将三角形ABC 面积分成2:3两部分，求点Р的坐标．14．(2020·湖北九年级一模)如图．抛物线2y x bx c =+＋交x 轴于,A B 两点．其中点A 坐标为()1,0，与y轴交于点()0,3C -．()1求抛物线的函数表达式；()2如图①，连接AC ．点P 在抛物线上﹐且满足2PAB ACO ∠=∠．求点P 的坐标；()3如图②，点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线,AQ BQ 分别交抛物线的对称轴于点,M N ，求DM DN +的值．15．(2020·贵阳清镇北大培文学校九年级其他模拟)在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．16．(2020·山东烟台·九年级其他模拟)如图，抛物线y=ax2+43x+c的图象与x轴交于A(-3，0)，B两点，与y轴交于点C(0，-2)，连接AC．点P是x轴上的动点．(1)求抛物线的表达式；(2)过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD=BE时，求AD+AE的最小值；(3)点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．17．(2020·河南九年级二模)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线25y ax ax c =-+交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，且8OB OC ==．(1)求a ，c 的值．(2)点P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点D ，设点P 的横坐标为t ，线段CD 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．(3)在(2)的条件下，点Q 为抛物线上一动点，当1tan 3PAB ∠=时，是否存在点Q ，使得52APQ ABC S S =△△？若存在，请直接写出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由．18．(2020·山东九年级一模)已知，抛物线y ＝-12x 2 +bx+c 交y 轴于点C(0,2)，经过点Q(2,2).直线y ＝x+4分别交x 轴、y 轴于点B 、A ．(1)直接填写抛物线的解析式________；(2)如图1，点P 为抛物线上一动点(不与点C 重合)，PO 交抛物线于M ，PC 交AB 于N ，连MN. 求证：MN∥y 轴；(3)如图,2，过点A 的直线交抛物线于D 、E ，QD 、QE 分别交y 轴于G 、H.求证：CG •CH 为定值.19．(2020·重庆八中九年级一模)如图，抛物线y ＝24x 2+2x ﹣62交x 轴于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于C 点，D 点是该抛物线的顶点，连接AC 、AD 、CD ．(1)求△ACD 的面积；(2)如图，点P 是线段AD 下方的抛物线上的一点，过P 作PE ∥y 轴分别交AC 于点E ，交AD 于点F ，过P 作PG ⊥AD 于点G ，求EF+52FG 的最大值，以及此时P 点的坐标； (3)如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M ，在y 轴上有一动点N ，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt △BMN ？若存在，求出点M 的横坐标，若不存在，请说明理由．20．(2020·天津中考真题)已知点1,0A 是抛物线2y ax bx m =++(,,a b m 为常数，0,0a m ≠<)与x 轴的一个交点．(1)当1,3a m ==-时，求该抛物线的顶点坐标；(2)若抛物线与x 轴的另一个交点为(),0M m ，与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l 平行于x 轴，E 是直线l 上的动点，F 是y 轴上的动点，22EF =①当点E 落在抛物线上(不与点C 重合)，且AE EF =时，求点F 的坐标；？②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是2。

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型二

设 M(0，m)，直线 BM 的解析式为 y＝k2x＋b2，将点 M，B 代入，得m0＝＝b－2，2k2＋b2，解得kb22＝＝m2m.，
m ∴直线 BM 的解析式为 y＝2x＋m，∵点 P为直线 BM 与抛物线的交点，
m y＝2x＋m， ∴联立方程组得y＝－14x2＋32x＋4，化简得(x＋2)(x－8＋2m)＝0，
∵S△ACD＝3，∴－32t2－92t＝3，解得 t1＝－1，t2＝－2.
当 t＝－1 时，点 D 的坐标为(－1，－4)，当 t＝－2 时，点 D 的坐标为(－2，－3)．综上所述，满足条件的点 D 的坐标为(－1，－4)或(－2，－3)．
【思路点拨】第一步：设点 D 的横坐标为 t, 用含 t 的式子表示△ACD 的面积；第二步：利用面积关系 S△ACD＝3，列关于 t 的方程求解，进而得出点 D 的坐标．
(4)如图，已知点 P 是直线 AC 下方抛物线上一动点，设点 P 的横坐标为 m，求四边形 APCO 面积的最大值；
解：由(1)(3)可知点 A(－3，0)，C(0，－3)， lAC：y＝－x－3，设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，则点 P 的坐标为(m，m2＋2m－3)，点 F 的坐标为(m，－m－3)．则 PF＝－m－3－(m2＋2m－3)＝－m2－3m.
∴S 四边形 APCO＝S△ACP＋S△ACO＝12OA·PF＋12OA·OC＝12×3×(－m2－3m＋3) ＝－32(m2＋3m)＋92＝－32m＋322＋683.
由题意可知，－3＜m＜0，
3
63
∴当 m＝－2时，S 四边形 APCO 最大值为 8 .
【思路点拨】第一步：设直线 x＝m 与直线 AC 交于点 F，用含 m 的式子表示出 PF 的长；第二步：由 S 四边形＝S ＋S APCO △ACP △ACO 列出式子，即可得到最大值．

二次函数压轴题中的“面积”问题.docx

二次函数的压轴题类型有很多：二次函数图像综合考察、二次函数背景值问题、二次函数与特殊图形、二次函数与面积等等，在那么多的类型里面，今天明般学校老师不会教的暴强技巧!求“半天吊"三角形面积暴强技巧：如图1,过MBC 的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，夕卜侧两条直线之间的距离叫△ ABC 的〃水平宽〃冲间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的〃铅垂咼h 〃。

二角形面积的新方法：^-ah 7,即二角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

注意事项： L 找出B 、C 的坐标z 横坐标大减小，即可求出水平宽;2•求出直线BC 的解析式，A 与D 的横坐标相同，A 与D 的纵坐标大减小, 即可求出铅垂高；13.根据公式:S △二㊁x 水平竟x 铅锤高，可求出面积。

真题分析:sir 和大家分享在考试中出现机率较高的二次函数与面积问题!传授一种_U图1(广州好学校真题)如图,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点Ago), 交y轴于点B⑴求抛物线和直线AB的解析式;(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连PA , PB ,当P点运动到顶点C时，求MAB的铅垂高CD及'a；⑶在⑵中是否存在一点P，使仏月=8亠⑷，若存在，求出P点的坐标;若不存在，请说明理由.解析：⑴由顶点C(1 ,4) , A( 3z0 )可以得出抛物线的解析式为:yl = -x2+2x+3 , 已知B 点的坐标为(0 , 3) z所以直线AB的解析式为：y2=-x+3明sir话您知:求函数解析式就是代点解方程(组)⑵因为C点坐标为(1,4), JEx=l代入y2 = -x+3可得D(l,2),因此•I S^CAB= -xOAxCD= - x3x2= 3CD二4-2二2 z 2 2明sir话您知:S△二2 x水平宽x铅锤高。

⑶设P(x ,-x2+2x+3)，由A、D横坐标相等易知D(x ,-x+3)，则PF二丹一丹二(-x2+2x+3) ■(-x+3) = -x2+3x9由S/AB二2CAB 得：1 1 92xOAxPF二2 x3x(-x2+3x)= 8 x3z3i 3 15解得，i，则P点坐标为门,兀)明sir话您知均为点P在二函图像上所以它的坐标可设为(x厂x2+2x+3) f 用含x的式子表示铅垂高或水平宽,S A=2 x水平宽x铅锤高列式即可。

2021年安徽省中考数学专题 —— 二次函数压轴题

安徽省中考数学专题---二次函数压轴题一、解答题（本大题共20小题，共224.0分）1.已知二次函数y=−x2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象都经过点A(−3,0)，且二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点B(0,3)，一次函数y=mx+n的图象经过点C(0,−1)．(1)分别求m、n和b、c的值；(2)点P是二次函数y=−x2+bx+c的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．2.有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图所示的二次函数y1=ax2；种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图所示的正比例函数y2=kx．(1)分别求出利润y1(万元)和利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式；(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于6万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？3.合肥市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示)；该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．(毛利润=销售额−生产费用)(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；(写出自变量x的取值范围)(2)求W与x之间的函数关系式；(写出自变量x的取值范围)；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？4.如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(0,−2)，B(−√2,0)，G(x1,y1)，H(x2,y2)是抛物线上任意不同两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线GH与直线y=2x平行，求y1+y2的最小值．5.已知：二次函数y=x2−2mx−m2+4m−2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．(1)判断抛物线与x轴的交点情况；(2)如图1，当m=1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，直线y=14mx和抛物线交于点A、B 两点，与l交于点M，且MO=MB，点Q(x0,y0)在抛物线上，当m>1时，ℎ+12≤−my02−6my0时，求h的最大值．6.某水果店计划购进甲、乙两种高档水果共400千克，每千克的售价、成本与购进数量(千克)之间关系如表：每千克售价(元)每千克成本(元)甲−0.1x+10050乙−0.2x+120(0<x≤200)606000x+50(200<x≤400)(1)若甲、乙两种水果全部售完，求水果店获得总利润y(元)与购进乙种水果x(千克)之间的函数关系式(其他成本不计)；(2)若购进两种水果都不少于100千克，当两种水果全部售完，水果能获得的最大利润．7.经销商购进某种商品，当购进量在20千克～50千克之间(含20千克和50千克)时，每千克进价是5元；当购进量超过50千克时，每千克进价是4元，此种商品的日销售量y(千克)与销售价x(元/千克)的影响较大，该经销商试销一周后获得如下数据：解决下列问题：(1)求y关于x的一次函数表达式；(2)若每天购进的商品能够全部销售完，且当日销售价不变，日销售利润w元，那么销售价定为多少时，该经销商销售此种商品的当日利润最大？最大利润是多少？此时购进量应该为多少千克？【注：当日利润=(销售价−进货价)×日销售量】8.为鼓励下岗工人再就业，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给下岗人员自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，老李按照政策投资销售本市生产的一种儿童面条．已知这种儿童面条的成本价为每袋12元，出厂价为每袋16元，每天销售y(袋)与销售单价x(元)之间的关系近似满足y=−3x+90．(1)老李在开始创业的第1天将销售单价定为17元，那么政府这一天为他承担的总差价为多少元？(2)设老李获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种面条的销售单价不得高于24元，如果老李想要每天获得的利润不低于216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？9.某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM(AN=3√2m,AM=10m,∠MAN=45°)，用8m长的渔网搭建了一个养殖水域(即四边形ABCD)，圩梗边不需要渔网，AB//CD，∠C=90°.设BC=xm，四边形ABCD面积为S(m2).(1)求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；(2)x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,−3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C．(1)求此抛物线和直线AB的解析式；(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4)．(1)求此抛物线的函数表达式及点A的坐标；(2)已知点D(1,−1)，在直线AD上方的抛物线上有一动点P(x,y)(1<x<4)，求△ADP面积的最大值．12.随着时代的不断发展，新颖的网络购进逐渐融入到人们的生活中，“拼一拼”电商平台上提供了一种拼团购买方式，当拼团(单数不超过15单)成功后商家将会让利一定的额度给予顾客实惠．现在某商家准备出手一种每件成本25元/件的新产品，经市场调研发现，单价y(单位：元)、日销售量m(单位：件)与拼单数x(单位：单)之间存在着如表的数量关系：拼单数x(单位：单)24812单价y(单位：元)34.5034.0033.0032.00日销售量m(单位：件)687692108请根据以上提供的信息解决下列问题：(1)请直接写出单价y和日销售量m分别与拼单数x之间的一次函数关系式；(2)拼单数设置为多少单时的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？(3)在实际销售过程中，厂家希望能有更多的商品出售，因此对电商每销售一件商品厂家就给予电商补助a元(a≤2)，那么电商在获得补助之日后日销售利润能够随单数x的增大而增大，那么a的取值范围是什么？13.某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象关系如图所示：(1)求y关于x的函数解析式；(2)当售价为多少元/千克时，当日销售利润最大，最大利润为多少元？(3)由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克(m>0)，物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若日销售最大利润是1280元，请直接写出m的值．14.茶叶是安徽省主要经济作物之一．2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/kg，并根据历年的相关数据整理出第x天(1≤x≤15，且x为整数)制茶成本(含采摘和加工)和制茶量的相关信息如表．假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出(当天收入=日销售额−日制茶成本)．制茶成本(元/kg)150+10x制茶量(kg)40+4x(1)求出该茶厂第10天的收入；(2)设该茶厂第x天的收入为y(元)，试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值及此时x的值．15.浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？(3)商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．16.为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？17.某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元/kg.经市场调查发现：该商品的日销售量y(kg)是售价x(元/kg)的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)x为多少时，当天的销售利润w(元)最大？最大利润为多少？(3)由于产量日渐减少，该商品进价提高了a元/kg(a>0)，物价部门规定该商品售价不得超过36元/kg，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若日销售最大利润是864元，求a的值．18.已知二次函数y=mx2+(1−2m)x+1−3m．(1)当m=2时，求二次函数图象的顶点坐标；(2)已知抛物线与x轴交于不同的点A、B．①求m的取值范围；②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式．19.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)20.随着新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极恢复产能，每日口罩生产量y(百万个)与天数x(1≤x≤29，且x为整数)的函数关系图象如图所示，而该生产商对口供应市场对口罩的需求量z(百万个)与天数x呈抛物线型，第1天市场口罩缺口(需求量与供应量差)就达到7.5(百万个)，之后若干天，市场口罩需求量不断上升，在第10天需求量达到最高峰60(百万个)．(1)求出y与x的函数解析式；(2)当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么在整个二月份，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？答案和解析1.【答案】解：(1)∵二次函数y=−x2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象都经过点A(−3,0)，一次函数y=mx+n的图象经过点C(0,−1)，∴{−3m+n=0n=−1，∴{m=−1 3n=−1，∵二次函数y=−x2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象都经过点A(−3,0)，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点B(0,3)，∴{−9−3b+c=0c=3，∴{b=−2c=3．(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：y=−13x−1或y=−x2−2x+3，①当点P在y轴左侧时，过点P作PD//y轴交AC于点D，则S△PAC=12×PD×|−3|=32PD，②当点P在y轴右侧时，过点P作PD//y轴交AC的延长线于点D，则S△PAC=12×PD×|x+3−x|=32PD，∵点P在抛物线上，设P(x,−x2−2x+3)，则D(x,−13x−1)，∴PD=−x2−2x+3+13x+1=−x2−53x+4，∴S△PAC=32PD=−32(x2+53x+4)=−32(x+56)2+16924，即当x =−56时，S △PAC 最大=16924．【解析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；(2)分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作PD//y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作PD//y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键， 2.【答案】解：(1)把(4,1)代入y 1=ax 2中得：16a =1，a =116，∴y 1=116x 2，把(2,1)代入y 2=kx 中得：2k =1，k =12，∴y 2=12x ；(2)设种植桃树的投资成本x 万元，总利润为W 万元，则种植柏树的投资成本(10−x)万元，则W =y 1+y 2=116x 2+12(10−x)=116(x −4)2+4，6≤x ≤8由图象得：当6≤x ≤8时，当x =6时，W 有最小值，W 小=174，当x =8时，W 有最大值，W 大=116(8−4)2+4=5，答：苗圃至少获得174万元利润，最多能获得5万元利润．【解析】本题考查了函数的应用，考查了利用待定系数法求函数的解析式；对于二次函数，在求最值问题时，不一定都是顶点坐标，要根据实际情况和图象结合考虑，得出结论．(1)利用待定系数法求两个函数的解析式；(2)根据总投资成本为10万元，设种植桃树的投资成本x 万元，总利润为W 万元，则种植柏树的投资成本(10−x)万元，列函数关系式，发现是二次函数，画出函数图象，找出当6≤x ≤8时的最小利润和最大利润．3.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =ax 2，1000=a ×1002，得a =110，即y 与x 之间的函数关系式为y =110x 2(0≤x ≤100)；设z 与x 的函数关系式为z =kx +b ，{b =30100k +b =20，得{k =−110b =30，即z 与x 的函数关系式为z =−110x +30(0≤x ≤100)；(2)由题意可得，W =zx −y =(−110x +30)x −110x 2=−15(x −75)2+1125，即W 与x 之间的函数关系式为W =−15(x −75)2+1125(0≤x ≤100)，∵W =−15(x −75)2+1125， ∴当x =75时，W 取得最大值，此时W =1125，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴y ≤360，即110x 2≤360，∴x ≤60，∵W =−15(x −75)2+1125，∴当x =60时，W 取得最大值，此时W =1080，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以分别求得y与x以及z与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的结果和题意，可以写出W与x之间的函数关系式；(3)根据题意，可以求得x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到今年最多可获得多少万元的毛利润．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】解：(1)∵抛物线过点A(0,−2)，B(−√2,0)∴{(−√2)2−√2b+c=0c=−2∴{b=0c=−2则抛物线解析式为y=x2−2；(2)由(1)知，G(x1,x12−2)，H(x2,x22−2)，∵GH与直线y=2x平行，∴设直线GH的解析式为y=2x+m，令x2−2=2x+m，即(x−1)2=m+3，解得x1=1−√m+3，x1=1+√m+3，∴y1+y2=x12+x22−4=(1−√m+3)2+(1+√m+3)2−4=2+2m+6−4=2m+4，∵(x−1)2=m+3，∴m=(x−1)2−3，∴y1+y2=2[(x−1)2−3]+4=2(x−1)2−2，∴当x=1时，y1+y2取小值−2．【解析】(1)根据待定系数法求得即可；(2)根据题意设直线GH的解析式为y=2x+m，x2−2=2x+m，即(x−1)2=m+3，解得x1，x2的值，代入y1+y 2中，即可得出y1+y2=2[(x−1)2−3]+4=2(x−1)2−2，根据二次函数的性质即可求得．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线的平行问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．5.【答案】解：(1)针对于二次函数y=x2−2mx−m2+4m−2，令y =0，则x 2−2mx −m 2+4m −2=0，∴△=(−2m)2−4×1×(−m 2+4m −2)=4m 2+4m 2−16m +8=8(m −1)2≥0，∴抛物线与x 轴必有交点，即当m =1时，有一个交点，当m ≠1时，有两个交点；(2)当m =1时，抛物线的解析式为y =x 2−2x +1=(x −1)2①，∴C(0,1)，D(1,0)，∵△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，如图1，①当PC =PD 时，点P 是CD 的垂直平分线上，∵C(0,1)，D(1,0)，∴OC =OD =1，∴CD 的垂直平分线的解析式为y =x②，联立①②解得，{x =3+√52y =3+√52或{x =3−√52y =3−√52，∴点P 的坐标为(3+√52,3+√52)或(3−√52,3−√52)，②当PD =CD 时，点D 是CP 的垂直平分线上，∴点P 的纵坐标为1，则x 2−2x +1=1，∴x =0或x =2，∴P(2,1)，即满足条件的点P 的坐标为(3+√52,3+√52)或(3−√52,3−√52)或(2,1)；(3)∵二次函数y =x 2−2mx −m 2+4m −2的对称轴为l ，∴抛物线的对称轴l 为x =m ，∴点M 的横坐标为m ，∵点M 在直线y =14mx 上，∴M(m,14m 2)，∵MO =MB ，∴点B(2m,12m 2)，将点B(2m,12m 2)代入二次函数y =x 2−2mx −m 2+4m −2得，12m 2=4m 2−4m 2−m 2+4m −2， ∴m =1或m =43，∵m >1，∴m =43，∴抛物线的解析式为y =x 2−83x +149=(x −43)2−29， ∵点Q(x 0,y 0)在抛物线上，∴y 0=(x 0−43)2−29， ∴−my 02−6my 0=−m(y 02+6y 0)=−43[(y 0+3)2−9]=−43[(x 0−43)2−29+3]2+12=−43[(x 0−43)2+259]2+12，∵ℎ+12≤−my 02−6my 0，∴ℎ≤−43[(x 0−43)2+259]2，当x 0=43时，ℎ最大=−2500243．【解析】(1)令y =0，转化为一元二次方程，求出△=8(m −1)2，即可得出结论；(2)先求出点C ，D 坐标，再分两种情况，判断出点P 是CD 的中垂线或CP 的中垂线，即可得出结论；(3)利用点M 在抛物线对称轴上，和MO =BM 表示出点B 坐标，代入抛物线解析式中，求出m ，进而得出抛物线解析式，再得出−my 02−6my 0=−43[(x 0−43)2+259]2+12，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x 轴的交点个数的判断，等腰三角形的性质，中垂线，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6.【答案】解：(1)当0<x <200时，y =(−0.2x +120−60)x +[−0.1(400−x)+100−50]×(400−x)=−0.3x 2+90x +4000；当200≤x ≤400时，y =(6000x +50−60)x +[−0.1(400−x)+100−50]×(400−x)=−0.1x 2+20x +10000；(2)若100≤x <200，则y =−0.3x 2+90x +4000=−0.3(x −150)2+10750，当x =150时，y 的最大值为10750；若200≤x ≤300时，y =−0.1x 2−16x +10000=−0.1(x −100)2+11000，∵x >100时，y 随x 的增大而减小，∴当x =200时，y 取得最大值，最大值为10000元；∵10750>10000，故x =150，综上，当购进甲种水果150千克、乙种水果250千克时，才能使获得的利润最大．【解析】(1)分0<x <200和200≤x ≤400两种情况，根据总利润=甲种水果的利润+乙种水果的利润，列出函数解析式；(2)分100≤x <200和200≤x ≤300两种情况，将对应解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质与分类讨论思想的运用．7.【答案】解：(1)设函数表达式为：y =kx +b ，在表格取两组数值(5,90)，(6,60)代入上式得{5k +b =906k +b =60，解得{k =−30b =240，故函数表达式为：y =−30x +240；(2)①当20≤y ≤50时，w =(x −5)y =(x −5)(−30x +240)=−30(x −6.5)2+67.5，故销售价x =6.5元时，利润的最大值为67.5元，日销售量y =45千克；②当y >50时，w =(x −4)y =(x −4)(−30x +240)=−30(x −6)2+120，即销售价x =6元时，利润的最大值w 为120元，日销售量y =60千克；综上，当销售价为6元时，利润最大，故当销售价为6元时，获利最大，最大利润为120元，此时购买量为60千克．【解析】(1)设函数表达式为：y =kx +b ，在表格取两组数值(5,90)，(6,60)代入上式，即可求解；(2)分20≤y ≤50、y >50分别计算销售利润，进而求解．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．8.【答案】解：(1)当x =17时，y =−3x +90=−3×17+90=39，39×(16−12)=156(元)，即政府这一天为他承担的总差价为156元．(2)依题意得，w=(x−12)(−3x+90)=−3(x−21)2+243(x≥12)，∵a=−3<0，∴当x=21时，w有最大值243．∴当销售单价定为21元时，每天可获得最大利润243元．(3)由题意得：−3(x−21)2+243=216，解得：x1=18，x2=24．∵a=−3<0，抛物线开口向下，∴当18≤x≤24时，w≥216．∵y=−3x+90，−3<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=24时，y最小=−3×24+90=18(元)，∴18×(16−12)=72(元)．即销售单价定为24元时，政府每天为他承担的总差价最少为72元．【解析】(1)把x=17代入y=−3x+90求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；(2)由总利润=销售量⋅每件纯赚利润，得w=(x−12)(−3x+90)，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出销售单价及最大利润；(3)令−3(x−21)2+243=216，求出x的值，求出利润的范围，然后根据一次函数的性质求出总差价的最小值．本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确相应的函数性质是解题的关键．9.【答案】解：(1)过D作DE⊥AB于E，∵BC=x，∴DE=x，∵∠A=45°，∴AE=x，∴S=S△AED+S矩形DEBC =12x2+(8−x)⋅x=−12x2+8x，∵AB=AE+EB=x+(8−x)=8，∴B 点为定点，∴DE 最大为3，∴0<x ≤3；(2)∵S =−12x 2+8x =−12(x −8)2+32， ∴当x <8时，S 随x 的增大而增大，∵0<x ≤3，∴当x =3时，S 取得最大值，S 最大=−12×(3−8)2+32=392，答：当x =3时时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是392．【解析】(1)过D 作DE ⊥AB 于E ，根据矩形的性质得到DE =x ，求得AE =x ，根据三角形和矩形的面积公式即可得到结论；(2)根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2−2x +c 经过A(0,−3)、B(3,0)两点，∴{9a −6+c =0c =−3， ∴{a =1c =−3， ∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3，∵直线y =kx +b 经过A(0,−3)、B(3,0)两点，∴{3k +b =0b =−3，解得：{k =1b =−3， ∴直线AB 的解析式为y =x −3；(2)存在.理由：∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,−4)，∵E 为抛物线的对称轴x =1与直线y =x −3的交点，∴E(1,−2)，∴CE =2．①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE =MN ，设M(a,a −3)，则N(a,a 2−2a −3)，∴MN =a −3−(a 2−2a −3)=−a 2+3a ，∴−a 2+3a =2，解得：a =2，a =1(舍去)，∴M(2,−1)，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE =MN ，设M(a,a −3)，则N(a,a 2−2a −3)，∴MN =a 2−2a −3−(a −3)=a 2−3a ，∴a 2−3a =2，解得：a =3+√172，a =3−√172(舍去)， ∴M(3+√172,−3+√172)，综合可得M 点的坐标为(2,−1)或(3+√172,−3+√172). (3)如图，作PG//y 轴交直线AB 于点G ，设P(m,m2−2m−3)，则G(m,m−3)，∴PG=m−3−(m2−2m−3)=−m2+3m，∴S△PAB=S△PGA+S△PGB=12PG⋅OB=12×(−m2+3m)×3=−32m2+92m=−32(m−32)2+278，∴当m=32时，△PAB面积的最大值是278，此时P点坐标为(32,−154).【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．(1)将A(0,−3)、B(3,0)两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；(2)先求出C点坐标和E点坐标，则CE=2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE=MN，设M(a,a−3)，则N(a,a2−2a−3)，可分别得到方程求出点M的坐标；(3)作PG//y轴交直线AB于点G，设P(m,m2−2m−3)，则G(m,m−3)，可由S△PAB=12PG⋅OB，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．11.【答案】解：(1)把B(4,0)和C(0,4)代入y=−12x2+bx+c中得，{−8+4b+c=0c=4，∴{b=1c=4，∴抛物线的解析式为：y=−12x2+x+4，令y=0，得y=−12x2+x+4=0，解得，x=4(舍)，或x=−2，∴A(−2,0)；(2)设直线AD 的解析式为：y =kx +m(k ≠0)，则{−2k +m =0k +m =−1，解得{k =−13m =−23， ∴AD 的解析式为：y =−13x −23，过点P 作PE ⊥x 轴于F ，与AD 交于点E ，如图，∵P(x,y)，即P(x,−12x 2+x +4)，∴E(x,−13x −23)，∴PE =−12x 2+43x +4， △ADP 面积=12PE ⋅(x D −x A )=12×(−12x 2+43x +4)×(1+2)=−34x 2+2x +6=−34(x −43)2+223，∵1<43<4， ∴△ADP 面积的最大值为223．【解析】(1)用待定系数法求得解析式，再把y =0代入求得的解析式，便可求得A 点坐标；(2)用待定系数法求出直线AD 的解析式，再过P 作PE ⊥x 轴于F ，与AD 交于点E ，由三角形的面积公式求出解析式，进而根据二次函数的性质求得得符合条件的最大值便可．本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是求出三角的面积关于x 的二次函数解析式．12.【答案】解：(1)设单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =kx +b ，∴{2k +b =34.504k +b =34.00，解得：{k =−14b =35， ∴单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =−14x +35；设日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =ax +n ，∴{2a +n =684a +n =76，解得：{a =4n =60， ∴日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =4x +60；(2)根据题意得，w =(−14x +35−25)(4x +60)=−x 2+25x +600=−(x −252)2+30254；∵x 取整数且1≤x ≤15；∴当x =12或13时，w 最大=756.5元；(3)设电商获得补助之日后日销售利润为w′，根据题意得，w′=−x 2+25x +600+(4x +60)×a =−x 2+(25+4a)x +600+60a ；销售利润随单数x 的增大而增大；所以对称轴x =25+4a −2×(−1)≥15；解得：a ≥54；所以：a 的取值范围是54≤a ≤2．【解析】(1)设单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =kx +b ，根据题意解方程组得到单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =−14x +35；设日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =ax +n ，根据题意解方程组得到日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =4x +60；(2)根据题意得到w =(−14x +35−25)(4x +60)=−x 2+25x +600=−(x −252)2+30254；由于x 取整数且1≤x ≤15；于是得到结论；(3)设电商获得补助之日后日销售利润为w′，根据题意得二次函数解析式；根据销售利润随单数x 的增大而增大得到结论．本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，利用二次函数的增减性求二次函数的最值问题，理清题目数量关系列出利润表达式是解题的关键． 13.【答案】解：(1)设y =kx +b(k,b 为常数，k ≠0)根据题意得：{25k +b =11030k +b =100，解得：{k =−2b =160，∴y关于x的函数解析式为y=−2x+160；(2)设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元，根据题意得：w=(−2x+160)(x−20)=−2x2+200x−3200=−2(x−50)2+1800∴当x=50时w有最大值，最大值为1800(元)，答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是1800元；(3)根据题意得，w=(x−20−m)(−2x+160)=−2x2+(200+2m)x−3200−160m，∵对称轴x=100+m2，∴①当=100+m2<40时(舍)，②当=100+m2≥40时，x=40时，w取最大值为1280，解得：m=4，【解析】(1)依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；(2)根据题意列方程，解方程即可得到结论；(2)根据题意得列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．14.【答案】解：(1)当x=10时，制茶成本为：150+10x=150+10×10=250(元/千克)；制茶量为：40+4x=40+4×10=80(kg)；该茶厂第10天的收入为：(400−250)×80=12000(元)．∴该茶厂第10天的收入为12000元；(2)根据题意得：y=[400−(150+10x)]⋅(40+4x)=−40x2+600x+10000=−40(x−7.5)2+12250，∵a=−40<0，1≤x≤15，且x是正整数，∴x=7或8时，y取得最大值12240元．∴y与x之间的函数关系式为y=−40x2+600x+10000，x=7或8时，y取得最大值12240元．【解析】(1)将x=10分别代入表格中的代数式可得制茶成本及制茶量，然后根据当天收入=日销售额−日制茶成本可得第七天的收入；(2)根据利润等于(售价−成本)×制茶量，列出函数关系式并写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．15.【答案】解：(1)由题意得，销售量=150−10(x−30)=−10x+450，则w=(x−25)(−10x+450)=−10x2+700x−11250；(2)w=−10x2+700x−11250=−10(x−35)2+1000，∵−10<0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=1000元，故当单价为35元时，该计算器每天的利润最大；(3)B方案利润高．理由如下：A方案中：∵25×24%=6，此时w A=6×(150−10)=840元，B方案中：每天的销售量为120件，单价为33元，∴最大利润是120×(33−25)=960元，此时w B=960元，∵w B>w A，∴B方案利润更高．【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取时取得．值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x=−b2a(1)根据利润=(单价−进价)×销售量，列出函数关系式即可；(2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；(3)分别求出方案A、B中x的取值，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．。