2021年中考数学压轴题考点训练：二次函数的面积问题

标，根据勾股定理，可得答案． 【详解】 解：（1）把 B（3，﹣3）代入 y=﹣x2+mx+m2 得：﹣3=﹣32+3m+m2， 解得 m=2， ∴y=﹣x2+2x=﹣（x+1）2+1， ∴顶点 A 的坐标是（﹣1，1）； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q. ∵直线 OB 的解析式为 y=﹣x， 故设 P（n，﹣n2+2n），Q（n，﹣n）， ∴PQ=﹣n2+2n﹣（﹣n）=﹣n2+3n， ∴S△OPB= （﹣n2+3n）=﹣ （n﹣ ）+ ， 当 n= 时，S△OPB 的最大值为 ． 此时 y=﹣n2+2n= ， ∴P（ ， ）； （3）∵直线 OA 的解析式为 y=x， ∴可设新的抛物线解析式为 y=﹣（x﹣a）2+a，
44
4
②如图
2，当
0＜t≤1
时，PQ=
yP
yQ
mt 2
mt
=
m(t
1 )2 2
1 4
m
．
∵m＞0，
∴当 t=1 时，PQ 有最大值，且最大值为 2m．
∵0＜m≤3，
∴0＜2m≤6，即 PQ 的最大值为 6．
综上所述，PQ 的最大值为 6．
【点睛】 此题主要考查二次函数的应用，（1）（2）题相对简单，（3）题要分情况进行讨论方右解答， 因此做此类题型，在进行分类讨论时，尽量通过大致图象数型结合进行解答． 【变式 1-2】如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+mx+m﹣2 的顶点为 A，且经过点 B（3，﹣3）． （1）求顶点 A 的坐标 （2）若 P 是抛物线上且位于直线 OB 上方的一个动点，求△OPB 的面积的最大值及比时点 P 的坐标； （3）如图 2，将原抛物线沿射线 OA 方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 OA 交 于 C，D 两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段 CD 的长度是否为定值？若是，请求出 这个定值；若不是，请说明理由．
c＝3
a＝
3 4
解得，
b＝ 9
，
4
c＝3
抛物线的函数表达式为 y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3； 44
（2）过点 D 作 DM⊥x 轴交 BC 于 M 点，
由勾股定理得，BC＝ OC2 OB2 ＝5， 设直线 BC 的解析是为 y＝kx+b，
4k b＝0
则
b＝3
，
解得
k
3 4
，
b 3
【答案】（1）（﹣1，1）；（2）P（ ， ）；（3） .
【解析】 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标； （2）过点 P 作 y 轴的平行线交 OB 与点 Q，求出直线 BP 的解析式，表示出点 Q 的坐标，根 据三角形的面积公式列出函数关系式，利用二次函数的最值可得 P 点坐标； （3）根据平移规律，可得新抛物线，根据联立抛物线与 OA 的解析式，可得 C、D 点的横坐
解得，DE＝ 4 DM 5
∴DE＝﹣ 3 a2+ 12 a＝﹣ 3 （a﹣2）2+ 12 ，
55
5
5
当 a＝2 时，DE 取最大值，最大值是 12 ． 5
【点睛】
本题考查的是二次函数、一次函数的性质，相似三角形的判定和性质，掌握待定系数法求二次
函数解析式、一次函数解析式的一般步骤是解题的关键．
【变式 1-1】．已知抛物线 y=mx2+2mx+m-1 和直线 y=mx+m-1，且 m≠0．
点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）． 故分两种情况进行讨论：①如图 1，当-1≤t≤0 时；②如图 2，
当 0＜t≤1 时，求出对应的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．
（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1， mx2+mx=0，mx（x+1）=0， ∵m≠0， ∴x1=0，x2=-1． ∴抛物线与直线有两个交点． （3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，
点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点 Q 的坐标为（t，mt+m-1）．
①如图
1，当-1≤t≤0
时，PQ=
yQ
yP
mt 2
mt
= m(t
1 )2 2
1 4
m．
∵m＞0，
当 t 1 时，PQ 有最大值，且最大值为 1 m ．
2
4
∵0＜m≤3，∴ 1 m ≤ 3 ，即 PQ 的最大值为 3 ．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）试说明抛物线与直线有两个交点；
（3）已知点 T（t，0），且-1≤t≤1，过点 T 作 x 轴的垂线，与抛物线交于点 P，与百度文库线交于
点 Q，当 0＜m≤3 时，求线段 PQ 长的最大值．
【答案】（1）（-1，-1）；（2）见解析；（3）PQ 的最大值为 6.
【解析】
【分析】
∴直线 BC 的解析是为 y＝﹣ 3 x+3， 4
设点 M 的坐标为（a，﹣ 3 a+3）， 4
DM＝（﹣ 3 a2+ 9 a+3）﹣（﹣ 3 a+3）＝﹣ 3 a2+3a，
44
4
4
∵∠DME＝∠OCB，∠DEM＝∠BOC，
∴△DEM∽△BOC，
∴ DE BO ，即 DE ＝ 4 ，
DM BC
DM 5
44
5
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得 DM，根据
相似三角形的判定与性质，可得 DE 的长，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
a b c＝0 解：（1）由题意得， 16a 4b c＝0 ，
（1）化为顶点式即可求顶点坐标;
（2）由 y=mx2+2mx+m-1 和 y=mx+m-1 可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，整理得，mx（x+1）
=0，即可知抛物线与直线有两个交点;
（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点 P 的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），
【考点 1】二次函数的线段最值问题 【例 1】如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 经过 A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点，D 为直 线 BC 上方抛物线上一动点，DE⊥BC 于点 E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）求线段 DE 长度的最大值．
【答案】（1）y＝﹣ 3 x2+ 9 x+3；（2）最大值是 12 ．