宏观经济学 11章

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11.1 索洛增长模型的 假设条件
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• 索洛增长模型由美国经济学家罗伯特•索洛 （Robert Solow）等人于20世纪50年年代 建立的经济增长模型，描述产出是如何通 过资本、劳动和技术进步的相互结合来生 产的。
A 生产函数
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• 长期经济增长的三个最重要的决定因素： 资本——物质生产资料的存量，包括机器设备、建 筑物和存货。投资是资本存量的增量。 劳动——人类体力和智力在生产活动中的使用。常 用劳动人口的数量或劳动的时数来衡量。 技术——劳动和资本投入是用什么方式结合起来的。 技术的进步可以改变劳动和资本的组合方式，提 高生产效率。 • 研究时我们假定社会上的资本和劳动都是是同质 的、可相加的。
k
因此，索洛模型意味着，不管初始状态如 何，经济都收敛于一条平衡增长路径，在 这一路径上模型的所有变量都以不变的速 度增长。
B 储蓄率变动的影响
• 假定经济在一个稳定状态的增 长路径上，在这种状态下储蓄 率s出现了一个永久性的增长 （一次提高并保持在这一水平 上），储蓄率的上升会使得实 际投资曲线sf（k）上移，如 图11.5所示： • 初始状态，实际投资与收支相 抵投资相抵，稳定状态k1*。 储蓄率提高后，实际投资大于 收支相抵投资，人均资本存量 增加，至新的稳态k2*.各变量 的变动有先有后，有暂时有永 久，如图11.6
A 资本的动态变动
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• 人均资本存量——总资本存量除以人口，其变动不仅受投资和 折旧的影响，还受人口变动的影响。假定人口增长率＝n。由外 生给定，则人口增量ΔL为
Lt ＝nLt （ ） 11.9
根据k＝K/L，k对t求导得
Kt Kt Kt Kt Lt k t ＝ － Lt ＝ － 2 Lt Lt Lt Lt Lt



使人均消费最大化的条件为f'(k*(s))=(n+δ),即资本的边际 生产率等于折旧率加人口增长率，或生产函数的斜率等 于收支相抵的投资曲线的斜率。当k增加时，人均投资必 须增加k的变动的(n+δ)倍才足够维持该人均资本水平。若 资本的边际生产率低于(n+δ)，增加的资本所增加的产出 就不足以维持这一增加的资本存量，则必须减少消费来 维持较高的资本存量。反之则增加人均消费。如图11.7所 示。
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• 稳定状态下，人均资本的变动为 零，人均资本k＝K*。假定人口 Δk 的增长率为n，资本总存量等于 人口乘以人均资本，即K＝Lk， 均衡状态下，K的增长率就是L 0 的增长率n。由于资本和劳动增 长率都是n，根据规模报酬不变 假设，产出Y也以同样的增长率 增长。
k*
图11.4 k的相位图
sYt －Kt k t ＝ －nkt ＝sf k t －＋n kt （ 11.10 ） Lt
上式是索洛增长模型的主要结果：人均资本随时间 的推移的变动等于人均投资与需要的投资量之差。 变动量之间的关系如图11.3所示。
综合（11.8）和（11.9），有
• 图中，收支相抵的投资是维持 投资 收支相抵的投资(δ+n)k 人均资本存量不变的投资，与 资本存量成比例，实际投资与 人均产出成比例。在k*的左侧， 实际投资sf(k) 实际人均投资大于收支相抵投 资，人均投资的变动Δk>0，k上 升；在k*右侧，实际人均投资低 k* k 于收支相抵投资，Δk<0，投资 图11.3 实际投资与收支相抵的投资 的变动为负，k下降。只有在k* 点，两者相等，即Δk＝0。 因此，无论经济的初始状态如何，经济最终都会 达到k*。这种情况下，我们称k收敛（converge） 于k*，k*称为稳定状态（steady－state）的人均 资本存量。Δk作为k的函数可以用相位图（phase diagram）表示，如图11.4表示。
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投资
(δ+n)k
s2f(k)
s1f(k)
k 1* k 2*
k
图11.5 储蓄率上升对投资的影响
s
Δk
t0 t0
t t
0
k
t0
y
t
Δy/y
t0
t
n
t0
t
LOGO • t0时，s上升并此后保持不变。s 上升使得实际投资超过收支机 抵投资；Δk会从0上升到某正 值 ；人均投资k会从k1*逐渐上 升到k2*，随着人均资本水平的 增加，Δk会逐渐回落到0；储蓄 率的上升会使得人均资本上升， 从而使人均产出逐渐上升直到 新的稳定状态；产出增长率会 瞬时上升并逐步回落到与人口 增长率相等的水平。 • 索洛模型的基本结论：短期储 蓄率的上升会使人均资本和人 均产出的增长率上升，而长期 只能使人均资本和人均产出水 平上升，而增长率不受影响。
k
图11.1 以人均形式表示的生产函数
B 消费与储蓄
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• 忽略政府购买和净出口，把 在即人均投资量等于人均 国民收入恒等式转换为人均 储蓄量，将人均生产函数 的形式，人均产出用于人均 代入得： 消费c和人均投资i，即 i＝sf（k） （11.6） y＝c＋i y • 假定每个人都把收入的一部 f(k) 分用于储蓄，这一比例用s 人 表示，0<s<1.则人均收入 人均消费c 均 sf(k) 可表示为： 产 出 y＝（1－s）y＋i 人均投资c y • 整理得： k i＝sy （11.5）
X （ ） 11.7 X（t）
一个经济社会的资本存量的变化取决于两个因素— —投资量和折旧量。产出用于投资的比率取决于模 型中外生决定的储蓄率s。资本存量在使用过程中 会发生磨损，用表示磨损占资本存量的比例，称为 折旧率（depreciation rate），则资本存量的变动 为：
K（t）＝ sY（t）－ K（t）（ ） 11.8
• 令k＝K/L，表示人均资本， y＝Y/L表示人均产量，得到 f（k） 以人均形式表示的生产函数， 即 y＝f k （ ） 11.4
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• 如图11.1所示，假设生产函 数满足f(0)＝0,f'(k)>0,f''(k)<0 的条件。f'(k)>0的假设意味 着资本的边际产出为正，即 每增加1单位资本投入所生 产的产出为正。而f''(k)<0意 味着，当人均资本增加时， 资本的边际产出下降。
图11.7说明了为产出、投资与消费 之间的关系。f(k)与sf(k)之间的距 离是人均消费。(a)中，在均衡k* 点，f(k)的斜率小于sf(k)的斜率， 当经济达到新的均衡增长路径时， 储蓄率的增加会减少消费。（b） 中同相反增加消费。（c）中， f'(k*)＝n+δ，只有在这一点，在均 衡增长路径上消费达到最大水平， 储蓄率的边际变动不影响消费。这 一人均资本称为资本存量的黄金 律水平（golden-rule level of the capital stock）。在索洛增长模型 中，储蓄率是外生决定的。在各均 衡增长储蓄率中，黄金律水平的储 蓄率是使得消费最大化的均衡增长 储蓄率。
第3篇 长期经济增长
本篇解释经济产出随着时间的推移 向上运动的一般趋势。在长期增长 的一般趋势的基础上，后一篇将进 一步解释经济的短期波动。本篇的 长期增长模型只解释趋势，不解释 对长期增长的偏离。
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第11章 长期经济增长
发展是现ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ社会的基本信仰。 ——理查德•皮特和伊莱恩•哈特威 克 把经济发展看做按照一个时间表进行的过程， 这种思想源远流长。斯波克博士能够猜测到 一个婴儿几个星期开始看见东西，可以预测 什么时候婴儿可以走路和说话。……学者也 认为，经济史可以同样对待。 ——保罗•A•萨缪尔 森
图11.2 产出、消费与投资之间的关系
11.2
模型的动态变动
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• 假设ΔX为变量X的变动量；ΔX/X为X的增长率。 一个变量的增长率等于该变量的自然对数对时 间t的变动率，即，ΔX（t）/X（t）＝dlnX（t） /dt。因为：（t） dlnX（t） （t） dlnX dX 1
dt ＝ dX（t） dt ＝
图11.6 储蓄率提高引起的调整过程
C 消费的影响与资本的黄金律水平
c ＝f k －n＋ k （ 11.11 ）

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• 在稳定状态，人均消费c*等于人均产出减人均投资；实际投 资等于收支相抵的投资，于是有

消费对储蓄 c k s ＝ f k s －n＋ （ 11.12 ） 率求导可得： s s
y=f(k)
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• 索洛增长模型是最常用的增长模型，它描述了增 长过程中资本、劳动和技术进步之间的相互关系。 它告诉我们，在稳定状态，人均投资等于折旧加 维持人均资本不的追加投资。索洛增长模型的问 题在于，储蓄率的上升只能在短期使得人均产出 增长率上升，在长期只能使人均产出水平上，而 对产出增长率毫无影响。
• 假设：任一时刻，一个经 济社会中的产出Y取决于 劳动投入L和资本投入K两 个因素，忽略技术进步因 素，生产函数可表示为：
Y K FcL，cK＝cFL，K （ ） ＝F ， （ 11.2 1 11.3 ） L L
规模报酬不变意味着，经济 LOGO 已经有相当的规模，专业化 的收益已经被充分吸收，新 增加的投入会以与现存投入 同样的方式来使用，从而使 Y＝FL，K （ ） 产出的增加与投入增加的成 11.1 比例。同时除劳动和资本以 根据索洛模型，生产函数 来的投入是不重要的。 具有规模报酬不变的特性， 规模报酬不变的假设使我们 即如果资本和劳动投入加 右以把生产函数简化成人均 倍，那么产出也加倍，表 的形式，令c＝1/L，则 示为：
人均产出， 人均投资
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f(k)
(n+δ)k sf(k)
人均产出， 人均投资
(a)
k*
k
f(k) (n+δ)k
sf(k) 人均产出， 人均投资 k* (b) k f(k) (n+δ)k sf(k)
k*
(c)
k
D 人口增长的影响
产出 投资
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• 与资本一样，人口或劳动人口是另一 个生产要素。若人口增长率从n1增加 (δ+n2)k (δ+n1)k 到n2，并保持在这个水平上，人均产 E1 sf(k) E2 出增长率的变动如图11.8所示。 • 在初始稳定状态均衡点为点E1。人口 增长率的增加，会使得每一人均资本 水平保持人均资本不变所需要的投资 k k2* k1 * 量增加。n的增加会使得收支相抵的 图11.8 人口增长率增加的影响 投资线向上扭转。在点E1，资本的增 长不能跟上人口和折旧的增长。人均资本下降，直至新 的稳定状态均衡点E2。在这一点，储蓄率与收支相抵所 要求的投资相等。在这一较低的人均资本水平，人均产 出下降了。