极限的计算方法

xe
ln
x x
ln e
e
lim
xe
ln
x e
e(
x e
1）
令：x e
1＝t
,
x e
＝t
1,
x
e时，t
0
原式＝lim ln(1 t)
e 1
lim
ln(1
t
)
1 t
t0 et
t0
e1 ln e e1
利用等价无穷小代换计算极限
如果：
lim (x) 0, lim (x) 0
x x0
x x0
x0
利用两个重要极限计算极限
sin x
1. lim
1
x0 x
一般地：若 lim (x) 0,则来自百度文库lim sin (x) 1
x x0
xx0 (x)
另，lim tgx ＝1 x0 x
特征：极限为“ 0 ”型未定式 0
注：若极限形式不是“ 0 ”型，则不能利用 0
上述公式计算。
利用两个重要极限计算
• 例1计算下列极限
3x3 4x2 2 (1). lim
lim
3
4 x
2 x2
3
x 2x3 x 1
2 x
1
1
x2
x3
2
利用四则运算法则计算极限
一般的：lim x
a0 xn b0 xm
a1 x n 1 b1 x m 1
an1x bm1x
an bm
a0
b0 0
nm nm
nm
利用四则运算法则计算极限
（2)
lim
x
(2
x
1)4 (x (x 1)82
1)78
lim
x
x4 (2
1 x
)4
x78
(1
x82
(1
1 x
)82
)1 78
x
24 16
利用四则运算法则计算极限
（3)
lim
x 1
x2 x 2 x3 x2
lim
x1
(x 1)(x 2) x2 (x 1)
利用两个重要极限计算
sin 3x (5) lim
x tg5x
令 : x t, x 时t 0
原式 lim sin(3t 3 ) lim sin 3t t0 tg(5t 5 ) t0 tg5t
lim t0
sin 3t 3t
3t
tg 5t 5t
5t
lim t0
3t 5t
3 5
利用两个重要极限计算
cos
x
~
1 2
x2
(7)
1
x
1
~
1 2
x
(8) ln(1 x) ~ x
(9)ex 1 ~ x
(10)arc sin x ~ x
注：利用等价无穷小代换， 可以将左边比较复杂的 无穷小用右边较简单的 无穷小等价代换， 使极限计算简单化
利用等价无穷小代换计算极限
• 例4：计算下列极限
而
lim
x x0
(x)
(x)
1则称在x
x 0时( x)与
(x)
是等价无穷小量，记为～ .
常用等价无穷小代换：
在x 0时下列无穷小等价：
利用等价无穷小代换计算极限
（1)sinx ~ x
(2) sin kx ~ kx
(3) sinn x xn
(4)tgx ~ x
(5)tgkx ~ kx
(6)1
x 2
2 lim x0
2sin 2
(
x 2
)
2
x 2
1 4
1 2
利用两个重要极限计算
(4) lim 1 x 1 lim ( 1 x 1)( 1 x 1) x0 sin 2x x0 sin 2x( 1 x 1) lim 1 x 1 lim x 1 x0 sin 2x( 1 x 1) x0 sin 2x 1 x 1 1 lim 2x 1 1 2 x0 sin 2x 2 4
3
（4) lim x0
1 x2 1
( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x2
lim x0
x2 ( 1 x2 1)
lim (1 x2 1) 1 x0 x2 ( 1 x2 1) 2
利用两个重要极限计算
(1) lim sin x 1 x0 x
(2) lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
2x2
lim
x0
2 sin 2 2x2
x 2
lim
x0
sin 2
x 2
(
x 2
)
2
1 4
1 4
利用两个重要极限计算
(3)
lim
x0
tgx
sin x3
x
lim
x0
sin
x(
1 cos
x
x3
1)
sin x 1 cos x 1
lim lim
x x0
x0
x2
lim x0 cos x
lim
x0
2sin 2 x2
• 例3计算下列极限
(1)
lim
x
1
2x
lim（1
-
2
x
)
1 x
lim（[ 1
-
2
x
)
1 2x
](
2)
e 2
x0
x0
x0
(2) lim(
x
)2 3
x
lim
(
x
2
)
2 3
x
lim（[ 1-
2
)
x 2
](3)
e3
x x 2
x x
x
x
(3)
lim ( x 1)x x x 3
1 lim (
x 1
1
x )x
3
x
lim
x
(1 (1
1 x
)
x
3 x
)
x
lim[(1
x
1 x
)
x
](
1)
lim[(1
x
)3
x 3
x
]3
e 1 e3
e4
利用两个重要极限计算
(4)
lim
ln(1 x)
lim
1
ln(1 x) x
x0
x
x0
ln[lim
(1
x)
1 x
]
ln
e
x0
(5)
lim
xe
ln x 1 xe
lim
号相同且互为倒数
注：若极限形式不是“1 ”型，则不能利用上述
公式计算.
利用两个重要极限计算
例如：
lim (1
x0
1 x
)
x
e，
1
lim (1 x) x
x
e
例2：计算下列极限
（1) lim sin 3x 1 lim sin 3x 3 3
x0 2x
2 x0 3x
2
(2)
1 cos x
lim
x0
极限的计算方法
极限的计算方法主要有一下几种 一.利用四则法则计算 二.利用两个重要极限计算 三.利用等价无穷小代换计算 四.利用罗必塔法则计算
利用四则运算法则计算极限
定理：若 lim f (x)，lim g(x)存在，则 1.lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x)
例如：
lim
x0
sin
1
1 x
1,事实上，lim sin x0 1
1
x ＝lim x0
x sin
1 x
＝0
x
x
2.
lxim(1
1 x
)
x
1
e
lxim0(1 x) x e
利用两个重要极限计算
上述两个极限为幂指函数型极限，他有以下三个 特征：
（1) 极限形式为“：1”型未定式，
（2) 括号内第一项为数1 （3) 括号内变量为1/x(或x)与指数x（或1/x）符
2.lim c f (x) c lim f (x) 3.lim[ f (x) g(x)] [lim f (x)][lim g(x)]
4.lim f (x) lim f (x)（limg(x) 0 ) g(x) lim g(x)
利用四则运算法则计算极限
• （注：以上极限过程可以为 x x0或x ）