广东省高三数学第一次联考试卷
2023届广东省六校高三第一次联考数学试题及答案
集曾
草
守了言上日高部 ｔ
Ａ．直线ｘ＝π是 ｆ（ｘ）图象的一条对称轴
Ｂ． ｆ（ｚ）图象的对称中心为（一６－ｄ－＋ｋＩｎ，０），ｋｅＺ
Ｃ． ／（ｔ）在区间 工３＇ ６π上单调递增
ｋ｜ Ｄ．将ｆ（ｘ）的图象向左平移 个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
６．中国古代的蹴鞠游戏中的＂蹴＂的含义是脚蹴、踢，＂鞠＂最早系外包皮革、内饰米糠的球，
１．已知集合／＝ －千３“、”飞乡，Ｂ＝｛ｘｙ＝１ｎ（３－ｘ）｝，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
Ａ
： 少订 Ｂ．（３，ｔ１ｏ） Ｃ．（－２，３］ Ｄ．［－１，３）
５ ２．设复数ｚ＝Ｉｃ
Ａ． ２Ｚ＝１
之？
，其中ｉ是虚数单位，ｚ是ｚ的共轭复数，下列判断中错误的是（ ）
Ｂ．ａＰ＝
Ｃ．ｚ是方程ｘ＇－ｘ＋１＝０的一个根 Ｄ．满足ｚ＇ｅＲ最小正整数ｎ为３
１４．如图放置的边长为２的正方形ＡＢＣＤ 顶点Ａ，Ｄ分别在ｘ轴，Ｘ轴正半轴（含原点）上
滑动，则ＯＢ．ＯＣ的最大值是＿
个ｇ
４只
ＰＡ
１５．已知ＯＣ：ｘ２＋ｙ２－２ｘ－２ｙ－２＝０，直线Ｉ：ｘ＋２ｙ＋２＝０，Ｍ为直线Ｉ上的动点，过
Ａ．π是ｆ（ｘ）的一个周期
Ｂ．函数／（ｘ）的值域为【－√２，１】
Ｃ．函数／（ａ）在【２２】上单调道减
Ｄ．函数ｆ（ｘ）在【－２ｘ，２ｘ】内有４个零点
１１．已知双曲线ｃ：＞２－ｘ＝１（ａ＞ｂ＞０）的左，右顶点分别为４，４，点Ｐ．Ｑ是双曲线Ｃ
上关于原点对称的两点（异于顶点），直线Ｐ４，Ｐ４，Ｑ４的斜率分别为ｋｍ，ｋｍ，ｋｍ，ｋｍ，ｋｍ，
（附∶若Ｘ－Ｎ（μ，口），则Ｐ（μ－ａ·Ｘ＊ｕ＋σ）≈０．６８２７，Ｐ（ｕ－２ａ·Ｘ＊ｕ＋２ａ）≈０．９５４５， Ｐ（ｕ－３０·Ｘ＂μ＋３ａ）≈０．９９７３）
2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷
2024届广东省五粤名校联盟高三第一次联考数学试卷一、单选题1. 在复数范围内，方程的解有（）A．个B．个C．个D．无数个2. 二项式的各项系数之和为（）A．512B．C．2D．3. 抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（）A．6B．7C．8D．94. 现有随机事件件A，B，其中，则下列说法不正确的是（）A．事件A，B不相互独立B．C．可能等于D．5. 将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A．B．C．D．6. 令．则的最大值在如下哪个区间中（）A．B．C．D．7. 若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（）A．B．C．D．二、多选题8. 设有正数列，其前项和为．则下列哪一个能使对任意的都有成立（）A．B．C．D．9. 设，随机变量的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）A．恒为1B．随增大而增大C．恒为D．最小值为010. 关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A．是周期函数，最小正周期为B．是周期函数，最小正周期为C．是周期函数，最小正周期为D．是周期函数，最小正周期为11. 设有数列，记，其中．则下列说法正确的有（）A．有零点对任意奇数成立B．若为偶数且，则至少有两个零点C．对任意与，一定存在使当时，恒成立D．若恒为1，则对任意都有唯一正零点，且一定大于三、填空题12. 若，则 ______ ．13. 在的极值点个数为 ______ 个．14. 已知为的外接圆圆心，且．设实数满足，则的取值范围为 ______ ．四、解答题15. 已知数列与为等差数列，，，前项和为．(1)求出与的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列，使得对于任意，都能满足．若存在，求出所有上述的；若不存在，请说明理由．16. 现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．17. 已知．(1)讨论的单调性；(2)若存在两个零点，证明：存在三个零点，且(3)在（2）的条件下，证明：．18. 在组合恒等式的证明中，构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法，该方法体现了数学的简洁美，我们将通过如下的例子感受其妙处所在．(1)对于元一次方程，试求其正整数解的个数；(2)对于元一次方程组，试求其非负整数解的个数；(3)证明：（可不使用组合分析法证明）．注：与可视为二元一次方程的两组不同解．19. 设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射．(1)试在上给出一个非单射的映射；(2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则；(3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有．。
广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题(解析版)
五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学本试卷分选择题和非选择题两部分.第I 卷（选择题）第1页，第Ⅱ卷（非选择题）第2页，共2页.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答非选择题时，必须使用钢笔或黑色墨迹签字笔作答，将答案书写在答题卡规定的位置上，答题卡上不得使用铅笔或涂改液.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第I 卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复数范围内，方程232i z =+的解有（）A .0个B.1个C.2个D.无数个【答案】C 【解析】【分析】设i z a b =+(),R a b ∈，根据复数相等得到方程组，消元求出a 的值，即可判断.【详解】设i z a b =+(),R a b ∈，则()2222i 2i z a b a b ab =+=-+，又232i z =+，所以22322a b ab ⎧-=⎨=⎩，消元整理得42310a a --=，解得23132a =或231302a =<（舍去）所以a =故在复数范围内，方程232i z =+有两个解.故选：C2.二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为（）A.512B.1512C.2D.12【答案】B 【解析】【分析】令1x =进而求解即得.【详解】令1x =，则二项式9112x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的各项系数之和为9112512⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选：B3.抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点．则4AF BF +的最小值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】D 【解析】【分析】利用抛物线的焦点弦性质结合基本不等式计算即可.【详解】由题意可知()1,0F ，设:AB l 1x ky =+，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线AB 与抛物线方程2212444041y xy ky y y x ky ⎧=⇒--=⇒=-⎨=+⎩，所以221212144y y x x =⋅=，而()121241414559AF BF x x x x +=+++=++≥=.当且仅当1212,2x x ==时取得等号.故选：D4.现有随机事件件A ，B ，其中()()()111,,536P A P B P AB ===，则下列说法不正确的是（）A.事件A ，B 不相互独立B.()12P A B =C.()P B A 可能等于()P B D.()1130P A B +=【答案】C 【解析】【分析】利用独立事件的乘法公式、条件概率公式、和事件的概率公式计算即可.【详解】易知()()()1153P A P B P AB ⋅=⨯≠，所以事件A ，B 不相互独立，即A 正确；由条件概率公式可知()()()116123P AB P A B P B ===，()()()156165P AB P B A P A ===，故B 正确，C 错误；由和事件的概率公式可知()()()()1111153630P A B P A P B P AB +=+-=+-=，故D 正确；故选：C5.将边长为2的正三角形沿某条线折叠，使得折叠后的立体图形有外接球，则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）A.4πB.68π9- C.11π2D.52π9-【答案】B 【解析】【分析】首先分类讨论得出，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，进一步求出底面四边形外接圆圆心1O 坐标、半径，从而得1O 到直线EF 的距离4d ，设出外接球球心到底面的距离1h ，结合OA OB R ==可得()222221314R r h d h d =+=-+，由此可得外接球半径R ，进而即可求解.【详解】若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且不垂直于三角形的边，由题意以D 为原点，以边长为2的等边三角形的AB 边为x 轴，AB 边上的高CD 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系：由题意()()(1,0,1,0,A B C -，不失一般性，设(:CD y kx k =+>（也就是设点D 在不包含端点的线段OA 上），在(:CD y kx k =+>中，令0y =得3x k=-，所以BCD △的面积为113331222BCD k S BD CO k k ⎛⎫+=⋅=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，而点()1,0A -到直线(:CD y kx k =+>的距离为1d =，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2111336BCD V S d =⋅= ACD ⊥面BCD ），所以()()2221222231103412121121133k V k k k k -<==<⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，所以1306V <<；若将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线过三角形的某个顶点且垂直于三角形的边，此时上述情况中的点D 于原点O 重合，此时三棱锥A BCD -体积的最大值为2211111311332326BCO V S d BO OC AO ⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭（此时面ACO ⊥面BCO ），其中2d 为点A 到OC 的距离，即AO 的长度；将边长为2的正三角形沿某条线折叠，且这条线不过三角形的任何顶点，如图所示：不失一般性，设该直线分别与,AB BC 交于点,E F ，折叠后的立体图形有外接球，则,,,A E F G 四点共圆，从而πCFE CAE ∠+∠=，又因为ππ,33CFE FEB FBE FEB CAE ∠=∠+∠=∠+∠=，所以π3FEB CAB ∠==∠，所以~FEB CAB ，由题意()()(1,0,1,0,A B C -，设)():,11EF y x a a =--<<，所以)()2213111122122224ABC AEFCa a a a S S ⎡⎤⎤+---⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯⨯-=⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四边形，过点B 向EF 引垂线，垂足为G，则)312a d BG -==，所以四棱锥B AEFC -体积的最大值为()()()()()()()232331131111333,113888AEFC a a a V S d a a a a a a +--=⋅==--=--+-<<四边形（此时四边形AEFC 与三角形BEF 垂直），从而()()2313618V a a a '=--，()()231233610183V a a a a '=--=⇒=-或2313a =+，当113a -<<-时，()30V a '>，()3V a 单调递增，当23113a -<<时，()30V a '<，()3V a 单调递减，所以当且仅当2313a =-时，有()233max231232323311113383396V V ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎛⎢⎥=-=⨯--⨯--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，综上所述，满足题意的直线为23:13EF y x =-+⎭，且此时)3112a d BG -===，此时我们首先来求四边形AEFC 外接圆圆心1O ，因为AB 中点坐标为13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB所以AB 的垂直平分线方程为331232y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，而AE中垂直线方程为2311323x ⎛-+- ⎝⎭==-，从而解得11,33O ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，所以四边形AEFC外接圆半径为1r O A ===而1O到直线23:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭的距离为413d -=，又满足题意的四棱锥B AEFC -的高为)3112a d BG -===，设满足题意的四棱锥B AEFC -的外接球球心为O ，设球心到平面AEFC 的距离为1h ，则由OA OB R ==可得，()222221314R r h d h d =+=-+，即1164313431299h --=-+，解得211164311743,3999h R --==+=，从而满足题意的外接球表面积为68163π9-.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是得出满足题意的直线为:13EF y x ⎫=-+⎪⎪⎭，且此时)3112a d BG -===，由此即可顺利得解.6.令()sin 0.5cos1cos 2cos ,N n a n n ︒︒︒︒+=+++∈ ．则n a 的最大值在如下哪个区间中（）A.(0.49,0.495)B.(0.495,0.5)C.(0.5,0.505)D.(0.505,0.51)【答案】B 【解析】【分析】先通过()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦，利用裂项相消法求出n a ，观察得其最大值可取90a ，然后计算其范围即可.【详解】由于()()1sin sin 0.5cos 0.50.5sin 2n n n ︒︒︒︒︒︒⎡⎤=+--⎣⎦()sin 0.5cos1cos 2cos n a n ︒︒︒︒=+++ sin 0.5cos1sin 0.5cos 2sin 0.5cos3sin 0.5cos n ︒︒︒︒︒︒︒︒=++++ ()().50.5.5.5.1sin1sin sin 2sin1sin 3sin 2sin 5.50.50.5sin 2n n ︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤=-+-+-+++--⎣⎦ ()0.50.51sin sin 2n ︒︒︒⎡⎤=+-⎣⎦根据三角函数的性质可知，当90360,Z n k k =+⋅∈或89360,Z n k k =+⋅∈时，().in 05s n ︒︒+取最大值，不妨取90n =，则()()0.50.5cos 0.50111sin 90sin sin 44.5452222.52︒︒︒︒︒︒︒⎡⎤+-=-=<=⎣⎦,又())11sin sin 22cos 0.50.50.5︒︒︒-=，因为当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，sin x x≤ππ0.5si 36n 0s 3in 60︒->-=π360与0.495的大小，即比较2π1360⎛⎫- ⎪⎝⎭与299π200360⎛⎫+ ⎪⎝⎭的大小，222299π9999π122003602003ππ13660000063⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎝⎝⎭⎭⎭22222222π100100π32ππ324439210360200360004360360436036049090⨯⎛⎫>---=->---> ⎪⨯⎝⎭π360.9045>-.所以()0.50.110.495sin 90225sin ︒︒︒⎡⎤<+-<⎣⎦.故选：B.证明：当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x≤设()sin f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()cos 10f x x '=-≤，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()00f x f ≤=，即当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x x ≤.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用sin x x ≤对式子进行放缩，可以将三角运算转化为非三角运算.7.若在长方体1111ABCD A B C D -中，13,1,4AB BC AA ===．则四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分的体积为（）A.23B.313C.1039D.726【答案】A 【解析】【分析】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，建系，利用空间向量分析可知G 为1A BD 的重心，进而根据体积关系运算求解.【详解】设11AB A B O ⋂=，1AC ⋂平面1A BD G =，可知四面体11ABB C 与四面体11A C BD 公共部分为四面体1GEBC ，以D 为坐标原点，1,,DC DA DD分别为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()1131,0,0,1,3,0,0,0,0,1,,2,1,0,4,0,3,42A B D E A C ⎛⎫⎪⎝⎭，可得()()()1131,0,4,1,3,0,1,,2,1,3,42DA DB DE AC ⎛⎫====- ⎪⎝⎭，设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z = ，则14030n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令12x =，则4,3y z =-=-，可得()12,4,3n =--，设()1,3,4AG AC λλλλ==-，则()1,3,4DG DA AG λλλ=+=-，因为DG n ⊥uuu r r，则()12112120λλλ---=，解得13λ=，可得24,1,33DG ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即23DG DE =uuu r uuu r ，在1A BD 中，结合E 为1A B 的中点，可知G 为1A BD 的重心，则116BEG A BD S S =△△，所以四面体1GEBC 的体积11111111112314618183GEBC A C BD ABCD A B C D V V V -===⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知公共部分，利用空间向量的相关知识确定点G 的位置，即可得结果.8.设有正数列{}n a ，其前k 项和为k S ．则下列哪一个()0f n ≥能使对任意的n +∈N 都有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立（）A.()2f n n =B.2()2n f n =C.()ln f n n =D.1()f n n=【答案】BCD 【解析】【分析】首先当1n =时，要满足()11f ≤，故可排除A ，先证明两个引理，借助引理说明B 选项符合题意；对于CD 而言只需分别证明221ln ,22n n n n ≤≤即可说明CD 符合题意.【详解】首先取1n =，则有()111112f a a a +≤成立，其中10a >（因为数列{}n a 是正数列），从而需要满足()11f ≤，对比选项可知A 不符合题意，接下来我们证明如下引理1：()()()222111,2121ni kn k k ii n =+≤≥++∑，证明：首先当n k =时，左边等于()()()()()()()2222222222111212121212121k k k k k k k k k k k k k k ++++==≤=+++++，其次假设结论已对n 成立，即()()2221112121ni kk i i n =+≤++∑（*），由于()()()()()()()()2222222112322212121212n n n n n n n n n n ++-=≥=++++++++，从而()()()()222111122221n n n n +≤++++（**），（*）与（**）相加有()()12221112122n i kk ii n +=+≤++∑，故结论对1n +也成立，综上所述，引理1成立，我们继续来证明引理2：()()()221212121412,,,,0n n n n a a a n a a a a a a ⎛⎫++++++≥+++> ⎪⎝⎭ ，证明：当1n =时，左边211111a a =⋅=≥=右边，即此时引理1成立，设结论已经对n 成立，即()()2212121412n n n a a a n a a a ⎛⎫++++++≥+++ ⎪⎝⎭ ，记2121214,n nn a a a p q a a a +++=++= ，显然,0p q >，从而()()22121121114n n n n n n a a a a a a a a ++⎛⎫+++++++++⎪ ⎪⎝⎭()()()()2221111111n n n n n n p a q pq pqa n a a ++++⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭(()2211pq n n ≥+++)()221121n n n =+=+++++⎡⎤⎣⎦ ，故结论对1n +也成立，综上，引理2成立，现在我们回到原题，对于B ，也就是2()2n f n =，则()111212()n n k k n kn k f n f n k kS S a a a a a a ==+=+++++++∑∑ ()()()22221121214141212nk n k f n n kk a a a a a a n k =⎛⎫⎛⎫≤+++++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∑()()()2222122112141441141k n nk f n k n a a a n k k a a a n =⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝+⎭∑ ()()()()()2222222111114411121nn n n k i k k i k k kf n k k a a i i n n i i n ====⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑22111242nn k k k kk a k a ==≤⋅=∑∑，故B 符合题意，对于C ，当1n =时，()1ln101f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较2ln ,2n n 的大小，令()2ln ,22x g x x x =-≥，从而()10g x x x '=->，即()g x 单调递增从而()()22ln 20g x g ≥=->，也就是当*2,N n n ≥∈时，2ln 2n n <，结合B 选项分析可知C 选项也符合题意；对于D ，当1n =时，()11111f ==≤满足题意，当*2,N n n ≥∈时，我们来比较21,2n n 的大小，显然此时22112222n n ≤=≤，结合B 选项分析可知D 选项也符合题意.故选；BCD.【点睛】关键点点睛：关键是先证明上述两个引理，从而当2()2n f n =时，有11()2n nk k n k kf n k S S a ==+≤∑∑成立，由此即可顺利得解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.设01p ≤≤，随机变量X 的分布列如下图所示，则下列说法正确的有（）X 012P1412p -14p +A.()E X 恒为1B.()E X 随p 增大而增大C.()D X 恒为12D.()D X 最小值为0【答案】AC 【解析】【分析】由概率之和为1求出0p =，再由数学期望和方差的公式求解即可.【详解】因为111+1424p p -++=，解得：0p =，所以随机变量X 的分布列如下图，X 012P141214因为()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=，()E X 恒为1，故A 正确；B 错误；()()()()222111111011121424442D X =-⨯+-⨯+-⨯=+=，故C 正确，D 错误.故选：AC .10.关于函数的周期性，下列说法正确的有（）A.2sin xB.sin(cos sin )x x +是周期函数，最小正周期为4πC.cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为πD.sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π【答案】CD 【解析】【分析】根据给定条件，利用周期函数的定义，结合正余弦函数的最小正周期逐项判断即得.【详解】对于A ，假设2sin x 是周期函数，则对任意实数x ，存在非零常数T ，使得22si s n(in )x x T =+，即222)s n sin(i 2x Tx T x =++，显然222π,Z Tx T k k +=∈对任意实数x 不恒成立，因此2sin x 不是周期函数，A 错误；对于B ，任意实数x ，sin[cos(2π)sin(2π)]sin(cos sin )x x x x +++=+成立，因此sin(cos sin )x x +是周期函数，2π是其周期，B 错误；对于C ，函数cos ,cos 2,cos3y x y x y x ===的最小正周期依次为2π2π,π,3，显然cos(cos 2(cos 2π2π2πc ))333(os cos 2co 3s3x x x x x x ++≠+，如0x =，左边为14，而右边为1，而cos(cos 2(cos3(cos cos 2(cos3)cos cos )2co ππ)3)s πx x x x x x x x x +==-++-恒成立，因此cos cos 2cos3x x x 是周期函数，最小正周期为π，C 正确；对于D ，函数cos 2,sin 3y x y x ==的最小正周期依次为2ππ,3，显然π)sin3sin3sin3([o cos 2(s 2)xx x xx x +-=+≠，而πsin3(2)sin3π)](cos 2)[cos 2(2x x x x +=+恒成立，因此sin3(cos 2)x x 是周期函数，最小正周期为2π，D 正确.故选：CD11.设有数列{}*,N n a n ∈，记110()nn n n n f x a x a xa --=+++ ，其中0n a ≠．则下列说法正确的有（）A.()n f x 有零点对任意奇数n 成立B.若n 为偶数且00a <，则()n f x 至少有两个零点C.对任意*N n ∈与0M >，一定存在X 使当x X >时，()n f x M >恒成立D.若{}n a 恒为1，则对任意*N ,()2n n f x ∈=都有唯一正零点，且一定大于12【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，化简得到01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，根据绝对值不等式得到当0n a x >时，1()0n n f x x ->；当0na x <时，1()0n n f x x -<，据此可判断AC 的正误.结合零点存在定理和导数可判断D 的正误，利用反例可判断B 的正误.【详解】对于A ，若n 为奇数，不失一般性，设0n a >，由110()nn n n n f x a x a x a --=+++ ，其中0n a ≠，可得01211()1n n n n n n f x a a a a x x x x ----=+++⋅+ ，因为00221111n n n n a a a a x x x x ----⋅++≤⋅++ ，取1M =202max 1,n n a a a -⎧⎫+++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当1x M >时，0022201111n n n n n a a a a a a x x x x -----⋅++≤⋅++≤++ ，所以当1x M >时，()20201()n n n n n f x a a a x a a x ----++≤-≤++ ，即201()n n n n f x a x a a x --≤+++ 且()201()n n n n f x a x a a x --≥-++ ，故当1x M <-时，1()20n n f x x -≤-<且1x M >时，1()20n n f x x-≥>，而n 1-为偶数，故x M <-时，()0n f x <且x M >时，()0n f x >，故()n f x 有零点对任意奇数n 成立，故A 成立.对于B 中，例如：函数22()1f x x =--，此时函数2()f x 无零点，所以B 不正确；对于C 中，对任意的0M >，由A 中分析可取X =202max 1,n n a a M a -⎧⎫++++⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭ ，则当x X >时，有01211()12n n n n n n f x a a x a a M x x x ----⎛⎫≥-+⋅++>+ ⎪⎝⎭ ，故1()2n n f x M xM -≥+>，故C 成立.对于D 中，若1()1nn n f x x x -=+++ ，可得12()(1)1n n n f x nx n x --'=+-++ ，当0x >时，()0n f x '>，()n f x 在(0,)+∞上单调递增；由(0)12n f =<且(1)12n f n =+≥，所以()n f x 有唯一的正零点，又由11111()((11()22222nn n n f -=+++=-< ，所以函数的零点大于12，所以D 正确.故选：ACD.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.第II 卷（非选择题，共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若3xy =，则+=______．【答案】±【解析】【分析】分0,0x y >>和0,0x y <<两种情况分类计算.【详解】当0,0x y >>时，+==，当0,0x y <<时，+==-故答案为：±13.()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为______个．【答案】2【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，结合三角函数的性质计算即可判定.【详解】由()3cos cos 22cos cos f x x x x x ==-⇒()()2326sin cos sin 6sin 5sin sin 6sin 5f x x x x x x x x =-+=-=-'，令()0f x '=，则sin 0x =或sin x =，显然当[]0,πx ∈时，sin 0x ≥，则sin 0x =或sin x =，满足sin 0x =的根为0x =或πx =，端点值不能做为极值点，舍去；满足sin x =的根有两个12,x x ，根据正弦函数的性质可知()()120,,πx x x ∈⋃时，()0f x '<，()12,x x x ∈时，()0f x '>，即()f x 在()()120,,,πx x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，所以()cos cos 2f x x x =在[]0,πx ∈的极值点个数为2个.故答案为：214.已知O 为ABC 的外接圆圆心，且1,1AO BC BC ⋅== ．设实数,λμ满足AO AB λ=AC μ+ ，则221λμ-的取值范围为______．【答案】()3,1--【解析】【分析】以BC 中垂线为y 轴，BC 为x 轴建立直角坐标系，设出圆心坐标及半径，写出外接圆的方程，再分别写出,,A B C 坐标，将题干条件带入，即可得到等式，根据等式得出,λμ的关系及范围，再将关系带入221λμ-中，根据范围即可求得结果。
高三数学试卷一模广东
高三数学试卷一模广东一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，则f(-1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∩B为：A. {1, 2, 3}B. {2, 3}C. {1, 4}D. {1, 2, 3, 4}3. 已知向量a=(3, -4)，b=(-2, 3)，则向量a·b的值为：A. -17B. 5C. -5D. 174. 已知函数y=x^3-3x^2+2x，求其导数y'：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 3x + 2D. x^3 - 6x + 25. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=2，公差d=3，则a_10的值为：A. 28B. 29C. 30D. 316. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，求圆心坐标：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)7. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)为：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)8. 已知抛物线方程为y^2 = 4x，求其焦点坐标：A. (1, 0)B. (0, 1)C. (1, 1)D. (0, 0)9. 已知复数z=1+i，则|z|的值为：A. 1B. √2C. 2D. √310. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求其对称轴方程：A. x = 3B. x = -3C. x = 6D. x = -6二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。
）11. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 6，求f'(x) = ________。
2023届广东省四校高三第一次联考数学试卷及参考答案
2023届广东省四校高三第一次联考高三 数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x|xx−2≤0}，集合B ={x|x 2−3x +2≤0}，则A ∩B = ( )A. {x|−2≤x ≤1} B . {x|1≤x ≤2} C. {x|0≤x ≤2}D. {x|1≤x <2}2.设(1−i)3z =−2i ，则|z|=( )A. √22B. √2C. 1D. 23.已知向量a ⃗，b ⃗⃗为单位向量，则|a ⃗⃗+λb ⃗⃗|=|λa ⃗⃗−b ⃗⃗|(λ≠0)是a ⃗⊥b⃗⃗的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知(a √x √x3)5(a 为常数)的展开式中所有项的系数和与二项式的系数和相等，则该展开式中的常数项为( )A. −90B. −10C. 10D. 905.已知随机变量X ∼B (6,p )，Y ∼N (μ,σ2)，且P (Y ≥2)=12，E (X )=E (Y )，则p = ( )A. 12B. 13C. 14D. 166.德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A 、B 是∠MON 的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，∠ACB 最大？问题的答案是：当且仅当△ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大.人们称这一命题为米勒定理.已知点D 、E 的坐标分别是(0,1)，(0,3)，F 是x 轴正半轴上的一动点，当∠DFE 最大时，点F 的横坐标为( )A. 1B. √2C. √3D. 27.设函数x x x x x f ++++-=)1ln(sin )(2，则满足0)23()(<-+x f x f 的x 的取值范围是( )A.），（∞+3 B.），（∞+1 C.）（3,∞- D.）（1,∞- 8.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，M 为C 的一条渐近线上一点，延长FM交y 轴于点N ，直线AM 经过ON(其中O 为坐标原点)的中点B ，且|ON |=2|BM |，则双曲线C 的离心率为( )A. 2√3B. √5C. 52D. 2AD BC FE 二．选择题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，(x 3,y 3)，⋯，(x 10,y 10).则下列结论正确的是( )A. 若其经验回归方程为ŷ=0.8x +1，当解释变量 x 每增加 1个单位，预报变量 y ̂一定增加 0.8个单位 B. 若其经验回归方程ŷ=b ̂x +a ̂必过点(3，2.25)，则x 1+x 2+x 3+⋯+x 10=y 1+y 2+y 3+⋯y 10+7.5 C. 若根据这组数据得到样本相关系数|r|≈0.98，则说明样本数据的线性相关程度较强D. 若用相关指数R 2来刻画回归效果，回归模型1的相关指数R 12=0.32，回归模型2的相关指数R 22=0.68，则模型1的拟合效果更好10.为了得到函数y =ln(ex)的图象，可将函数y =lnx 的图象 ( ) A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e 倍 B.向上平移一个单位长度 C.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1e 倍 D.向下平移一个单位长度11.已知点O 为坐标原点，直线y =x −1与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，则( ) A.|AB|=8 B.OA ⊥OBC.∆AOB 的面积为2√2D.线段AB 的中点到y 轴的距离为212.如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 为侧面BCC 1B 1的中心，F 是棱C 1D 1的中点，若点P 为线段BD 1上的动点，N 为ABCD 所在平面内的动点，则下列说法正确的是( ) A .PE⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙PF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为148B.若BP =2PD 1，则平面PAC 截正方体所得的面积为98C.若D 1N 与AB 所成的角为π4，则N 点的轨迹为双曲线的一部分 D.若正方体绕BD 1旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是2π3三．填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 已知函数f(x)=xlnx −x ，则函数f(x)的零点个数为___个.14. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b −c =14a ，2sinB =3sinC ，则cosA 的值为_________. 15. S n 是公差为2的等差数列{a n }的前n 项和，若数列{√S n +1}也是等差数列，则a 1=______.16. 在Rt ∆ABC 中，已知∠A =60o ，∠C =90o ，AC =4，则∆ABC 的内接正∆DEF 边长的最小值为_______.四．解答题: 本题共6小题，共 70 分． 17.（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2n +3. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）保持数列{a n }中各项先后顺序不变，在a k 与a k+1之间插入k 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列{b n }，记{b n }的前项和为T n ，求T 50的值. 18.（12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为边BC 上一点，若AB AC=DB DC.（1）证明：AD 平分∠BAC ；（2）若∆ABC 为锐角三角形，AB =7，AC =8，∠C =π3，求AD 的长.19.（12分）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图．（1）若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列22 列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，分析“睡眠足”与“常参加体育锻炼”是否有关?（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X ，求X 的分布列及数学期望;不常参加体育锻炼人员常参加体育锻炼人员频率组距频率组距（3）用此样本的频率估计总体的概率，从该辖区随机调查常参加体育锻炼的3名人员，设调查的3人中睡眠足的人数为Y，求Y的方差．参考公式：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．α0.10 0.05 0.010 0.001xα2.7063.841 6.635 10.82820.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2CD=2，AD=√3，PA=√6，侧面PBC为等边三角形.（1）求证：平面PBC⊥平面ABCD；（2）在棱PD上是否存在点Q，使得二面角A−BC−Q的大小为π4？若存在，求出PQPD的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知椭圆x 24+y2=1的左右顶点为A、B，直线l: x=1.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.（1）记直线AM,AN的斜率分别为k1、k2，求k1∙k2的值;（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.22.（12分）已知f(x)=e x−ax．（1）求f(x)的单调区间;（2）当a=e时（e为自然对数的底数），若对于∀x∈(0,+∞)，不等式f(x)≥t(x2−x−xlnx)恒成立，求实数t的取值范围.2023 届广东省四校高三第一次联考数学试题参考答案一、选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共40 分．二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．9. BC 10. BC 11. AC 12. BD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共20 分．13. 1 14. −1415.−1或316. 4√217四、解答题：本题共 6 小题，共70 分18.（12分）解：（1）在三角形ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB =DBsin∠BAD，在三角形ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC =DCsin∠CAD，---------------------------------------2分因为∠ADB与∠ADC互补，所以sin∠ADB=sin∠ADC，由题意得ABAC =DBDC，所以sin∠CAD=sin∠BAD，即∠CAD=∠BAD，所以AD平分∠BAC. 得证；---------------------------------5分（2）∆ABC中，由余弦定理cosC=a 2+b2−c22ab得：cosπ3=a2+82− 722×8a解得a =3或a =5 ---------------------------------------7分 若a =3,则有：a 2+c 2<b 2,则B 为钝角，不合题意，舍去； ----------------------------------8分 若a =5 ,则有：a 2+c 2>b 2,则B 为锐角，合题意，所以a =5由（1）知：ABAC =DBDC =78 ,所以BD =73 ，DC =83 ---------------------------------------10分 在∆ACD 中，由余弦定理得：AD 2=AC 2+CD 2−2AC ∙CD ∙cos π3 解得：AD =83√7所以 AD =83√7 ---------------------------------------12分 19.（12分）解：（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.042540.062540.062540.024)10075⨯+⨯+⨯+⨯⨯=， 则“睡眠不足”的人数为25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：()0.072540.03540.01540.015455⨯+⨯+⨯+⨯=, 则“睡眠不足”的人数为45； 列联表如下：-----------------------------------------------------------------------------2分零假设0H ：睡眠足与常参加体育锻炼无关 因为χ2=200×(75×45−55×25)2130×100×70×100≈8.791>6.635 ---------------------------------------4分根据小概率值α=0.01的独立性检验，推断0H 不成立，所以认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.---------------------------------------5分（2）由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人-----------------------------------6分 从这8人随机抽取2人，则X 的所有取值为0，1，2.()026228C C 10C 28P X ===，()116228C C 1231=C 287P X ===，()206228C C 152C 28P X ===；所以分布列为X1 2P128371528---------------------------------------9分（说明：全对给3分，不全对时求出两个概率给2分） 数学期望()13153012287282E X =⨯+⨯+⨯= --------------------------------------10分 （3）由题意，该辖区常参加体育锻炼的人群中睡眠足的概率为75100=34， 由题意知：Y~B(3，34) --------------------------------------11分D(Y)=3×34×14 = 916 ---------------------------------------12分20.（12分）解：（1）取BC 中点E ，连接AE 、PE ，连接AC .∆PCB 为等边三角形，∴PE ⊥BC ， ----------------------------1分∠ADC =90°，AD =√3，DC =1∴AC =2 又 AB//CD ，∴∠CAB =60°， 又 AC =AB ，∴∆ACB 为等边三角形，∴BC =2，AE ⊥BC 且AE =√3∴PE =√3 ---------------------------------------3分∆PAE 中PA 2=PE 2+AE 2∴∠PEA =90°，PE ⊥AE ，又AE ⊂面ABC ，BC ⊂面ABCD ，且AE ⋂BC =E∴PE ⊥面ABCD ， ---------------------------------------4分又PE ⊂面PCB ，∴面PCB ⊥面ABCD . ---------------------------------------5分（2）由（1），以点E 为坐标原点，建系如图，则E(0,0,0)，A(√3,0,0），B(0,1,0)，C(0,−1,0)，P(0,0,√3)，D(√32,−32,0)， 则PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32,−32,−√3) --------------------------------------------------6分 假设存在点Q ，使得二面角A −BC −Q 的大小为π4，则设PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32λ,−32λ,−√3λ)，λ∈[0,1]， --------------------------7分则Q(√32λ,−32λ,√3(1−λ))，显然面ABC 的一个法向量为n 1⃗⃗⃗⃗⃗=(0,0,1)，--------------------------------8分 又∵CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)，CQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√32λ,1−32λ,√3(1−λ))， 设面BCQ 的一个法向量为n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(x,y,z)，则 {CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙n 2⃗⃗⃗⃗⃗=0CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗∙n 2⃗⃗⃗⃗⃗=0 ， 即{y =0√32λx +(1−32λ)y +√3(1−λ)z =0解得 n 2⃗⃗⃗⃗⃗=(2−2λ,0,1) ，--------------------------------------------10分 由题 |cos <n 1⃗⃗⃗⃗⃗,n 2⃗⃗⃗⃗⃗>=√22|，∴1√(2−2λ)2+1=√22， 解得λ=23 或者λ=2（舍） --------------------------------------------------11分 则PQ PD=23. -----------------------------------------------12分21. (12分）(1)由已知可得MN 为圆G 的直径，则1-=⋅ON OM k k 记M(1,m),N(1,n)，则mn =−1 k AM ∙k AN =m 3∙n 3=−19 ---------------4分(2)k AM ∙k AN =k AP ∙k AQ =−19----------5分由已知直线PQ 存在斜率，记其方程为m kx y += 代入4422=+y x 有0)4m 48)41(222=-+++（kmx x k记),(),,x 2211y x Q y P （，则当0>∆时有22212214144,418km x x k km x x +-=+-=+-------------7分91222121-=++=⋅))(x (x y y k k AQ AP()104)(29212121=++++∴x x x x y y22222121221414)(k k m m x x km x x k y y +-=+++=，代入（1）式化简有0)2)(1013020161322=-+=--k m k m k km m ，（当),1310(:,1310-=-=x k y l k m 过定点（1013，0）当k m 2=时，)2(:+=x k y l ，过定点A （−2，0），舍去-------------------------11分 综上有，直线l 过定点（1013，0）-------------------------------------------------------------12分xyNoABM QP22.（12分)解：f′(x)=e x−a(1)当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增--------------------------1分当a>0时，由f′(x)=e x−a=0，x=lna当x<lna时，f′(x)<0，f(x)在（−∞，lna）上单调递减当x>lna时，f′(x)>0，f(x)在（lna，+∞）上单调递增-----------------------------3分综上有：当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在（−∞，lna）上单调递减，f(x)在（lna，+∞）上单调递增.----4分（2）由已知f(x)=e x−ex,因为对于∀x∈(0,+∞)，e x−ex≥t(x2−x−xlnx)所以e xx−e≥t(x−1−lnx)e x−lnx−e≥t(x−1−lnx)设m=x−lnx∈[1,+∞）,则e m−e≥t(m−1),m∈[1,+∞）----------------------7分e m−tm_+t−e≥0,m∈[1,+∞）记φ(x)=e x−tx+t−e, x∈[1,+∞）φ′(x)=e x−t当t≤e时，φ′(x)≥0，φ(x)在[1,+∞)上单调递增; φ(x)≥φ(1)=0恒成立.---------9分当t>e时，φ′(x)=0，x=lnt∈(1,+∞),φ(x)在(1,lnt)上单调递减，则φ(lnt)<φ(1)=0与φ(x)≥0矛盾；---------------11分综上，当t≤e时，x∈[1,+∞)φ(x)≥0恒成立，即e x−ex≥t(x2−x−xlnx)恒成立.------------------------------------------12分。
2024学年广东省增城市高三下学期第一次四校联考数学试题
2024学年广东省增城市高三下学期第一次四校联考数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭ 2．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a3．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-4．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A ．11B ．37C ．210D ．436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）A ．25B ．4C ．2D ．227．已知函数()(2)3,(ln 2)()32,(ln 2)x x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(,1]-∞C ．1,12e -⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[ln 2,1] 8．函数()()()22214f x x x x =--的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．若函数12log ,01,()(1)(3),1,x x f x x x x x <⎧⎪=⎨⎪--->⎩函数()()g x f x kx =+只有1个零点，则k 的取值范围是（ ）A ．(1,0)-B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(0,1)10．德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P 表示π的近似值),若输入10n ＝,则输出的结果是( )A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+ D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅- 11．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．812．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A 31B 21C 51-D 21- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学检测试题
2024-2025学年广东省部分学校高三上学期10月联考数学检测试题本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（ ）{}{}0,3A x x B x x =≥=≤()R A B =I ðA.B.C.D.()0,∞+[)0,+∞(],3-∞()3,+∞2. 已知，则（ ）21i z =-2z =A. B. C. D. 2i22i+23i+3i3. 已知，则（ ）0.2πππ,0.2,log 20.a b c ===A. B. C. D. b a c >>c b a>>a c b >>a b c>>4.已知，则（）()2tan 3tan 6αβα+==tan β=A. B. C. D. 233517125. 在中，为边上靠近点的三等分点，为线段（含端点）上一动点，ABC V D BC C E AD 若，则（ ）(),ED EB EC λμλμ=+∈RA. B. C. D.1λμ+=2μλ=3μλ=13λμ-=-6. 设等比数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 573103,9a aa a ==105S S =A. 243B. 244C. 81D. 827. 在四面体中，，且四面体的各ABCD 2,AB BC AC BD AD CD======ABCD 个顶点均在球的表面上，则球的体积为（）O OD.8. 设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分:C x =)l C ,A B AB 线分别交直线于点，若，则的斜率可以为（）x =l,MN AB MN =l C. 2D. 22+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知曲线，则（ ）22:2312C x y +=A.的焦点在轴上B. 的短半轴长为C y C 2C. 的右焦点坐标为D. C )C 10. 已知正数满足，则（ ）,x y 111x y x y -+=-A.B. C. D.()lg 10y x -+>cos cos y x>20251y x->22y x ->-11. 已知定义在上且不恒为的函数对任意，有，R 0()f x ,x y ()()()2f xy f x xf y +=+且的图象是一条连续不断的曲线，则（ ）()f x A.的图象存在对称轴B.的图象有且仅有一个对称中心()f x ()f xC.是单调函数 D.为一次函数且表达式不唯一()f x ()f x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 样本数据的极差和第75百分位数分别为______．90,80,79,85,72,74,82,7713. 已知函数在区间上有且仅有1个零点，则最()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 小正周期的最小值为______．14. 已知数列中，，则______．{a n }111,n n a a na +==1111112k k k a a a =-=∑四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y （单位：cm ），与其根茎长度x （单位：cm ）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：样本编号i1234根茎长度ix 10121416植株高度iy 6286112132参考数据：．()()44221120,59.1iii i x x y y ==-=-=≈∑∑（1）由上表数据计算相关系数，并说明是否可用线性回归模型拟合与的关系（若r y x ，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；0.75r >（2）求关于的线性回归方程.y x 附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 计公式，相关系数的公式分别为r．()()()121,,nniii ni i x x y y x y bay bx r x x==--==-=-∑∑ 16. 已知中，角的对边分别为，且．ABC V ,,A B C ,,a b c 222cos sin2sin2ab C a B b A =+（1）求；C （2）若，求面积的最大值．2c =ABC V 17. 如图，五面体中，底面四边形为边长为的正方形，．ABCDMN ABCD 41MN =（1）证明：；//AB MN （2）已知为线段的中点，点在平面上的投影恰为线段的中点，直线G CD M ABCD BG 与平面，求直线与平面所成角的正弦值．MG ABCD AN ADM 18. 已知函数．()e e ln 2a a f x x a x⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）当时，求的最小值；1a =()f x （2）当时，求零点的个数；0a <()f x （3）当时，，求的取值范围．1x ≥()()e 1f x x ≥-a 19. 现定义：若对于集合满足：对任意，都有，则称是可分比集M ,a b M ∈[]2,3ab ∉M 合．（1）证明：是可分比集合；{}1,4,6,7（2）设集合均为可分比集合，且，求正整数的最大值；,A B {}1,2,,A B n = n （3）探究是否存在正整数，对于任意正整数，均存在可分比集合，使k n 12,,,k M M M得．若存在，求的最小值；若不存在，说明理由．{}121,2,,k M M M n ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ k。
广东省四校(佛山一中、广州六中、金山中学、中山一中)2024届高三上学期11月联考数学试题(解析版)
2024届高三级11月四校联考数学试题 佛山市第一中学、广州市第六中学 汕头市金山中学、中山市第一中学试卷总分：150分，考试时间：120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.本次考试采用特殊编排考号，请考生正确填涂.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第一部分 选择题（共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}lg 0A x x =≤，{}11B x x =−≤，则A B = （ ）A. AB. BC. R AD. B R【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质、绝对值的性质确定集合,A B ，再由交集定义计算．【详解】由已知{|01}A x x =<≤，02{}|B x x ≤≤=， 所以{|01}A B x x =< ≤=A ， 故选：A2. 已知向量()3,a m =−，()1,2b =− ，若()//b a b −，则m 的值为（ ）A. 6−B. 4−C. 0D. 6【答案】D 【解析】【分析】根据向量的坐标运算结合向量平行的坐标表示运算求解.【详解】由题意可得：()4,2−=−+a b m，若()//b a b −，则28m +=，解得6m =. 故选：D.3. 若函数 ()3,4,4,4x a x f x ax x − ≥= −+< （0,1a a >≠）是R 上的单调函数, 则a 的取值范围为（ ）A. ()50,11,4 ∪B. 51,4C. 4,15D. 40,5【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.【详解】因为 4y ax =−+是减函数，且()f x 是R 上的单调函数， 根据题意，()f x 为R 上的单调减函数；故可得 01,,44a a a <<≤−+ 解得405a <≤，即a 的取值范围为40,5 ． 故选：D .4. 若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为 （ ）A. B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数z ，进而得到z ，从而求解.【详解】由()1i 1i z +=+=得z =，所以z=，即z 故选：D ．5. 数列{}n a 满足12019a =，且对*n ∀∈N ，恒有32n n n a a +=+，则7a =（ ） A. 2021 B. 2023C. 2035D. 2037【答案】D【解析】【分析】由已知可依次求出47,a a 的值，即可得出答案.【详解】由已知可得，14112202a a =+=，47472203a a =+=. 故选：D.6. 如图，已知圆锥的顶点为S ，AB 为底面圆的直径，点M ，C 为底面圆周上的点，并将弧AB 三等分，过AC 作平面α，使SB α∥，设α与SM 交于点N ，则SMSN的值为（ ）A.43B.32C.23D.34【答案】B 【解析】【分析】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，根据线面平行得性质证明SB DN ∥，再根据MC AB ∥可得DM MCDB AB=，进而可得出答案. 【详解】连接MB 交AC 于点D ，连接,,ND NA NC ，则平面NAC 即为平面α，因为SB α∥，平面SMB DN α∩=，SB ⊂平面SMB ，所以SB DN ∥， 因为AB 为底面圆的直径，点M ，C 将弧AB 三等分，所以30ABM BMC MBC BAC ∠=∠=∠=∠=°，12MCBC AB ==，所以MC AB ∥且12MC AB =，所以12DM MC DB AB ==， 又SB DN ∥，所以12MNDM SNDB ==，所以32SM SN =. 故选：B .7. 已知函数()f x 及其导函数()f x ′的定义域均为ππ,22 − ，且()f x 为偶函数，π26f =−，()()3cos sin 0f x x f x x ′+>，则不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为（ ）A. π,03−B. ππ,32C. 2ππ,33−D. 2π,03−【答案】D 【解析】【分析】构建()()3ππsin ,,22=∈− g x f x x x ，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式.【详解】令()()3ππsin ,,22=∈−g x f x x x ，则()()()()()2323sin co 3cos s sin si sin n ′′=+=′+ g x f x x x f x x f x x f x x x ，因为ππ,22x∈−，则sin 0x >，且()()3cos sin 0f x x f x x ′+>， 可知()0g x ′>，则()g x 在ππ,22−上单调递增， 又因为()f x 为偶函数，ππ266f f −==−， 可得3πππ1sin 6664−=−−= g f 令()1π46>=−g x g ，可得ππ62x −<<， 注意到33ππππsin cos 2222g x f x x f x x+=++=+，不等式3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>−g x g ， 可得πππ622−<+<x ，解得2π03−<<x ， 所以不等式3π1cos 024f x x+−>的解集为2π,03 −. 故选：D.【点睛】关键点睛：构建函数()()3ππsin ,,22 =∈−g x f x x x ，利用单调性解不等式()14g x >，利用诱导公式可得3π1cos 024f x x +−>，等价于ππ26+>− g x g ，即可得结果. 8.已知函数21()sin 0)22xf x x ωωω=+>，若()f x 在3,22ππ上无零点，则ω的取值范围是（ ）A. 280,,99+∞B. 228(0,][,]939C. 28(0,][,1]99D. [)28,991,∞+ 【答案】B 【解析】【分析】先结合二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,得到 ()sin 3f x x πω=−,由题可得323232T ωππωπππω −−−≤=和233(1)23k k ωπππωπππ ≤− +≥−,结合0ω>即可得解.【详解】因为211()sin 0)cos )sin 222xf x x x x ωωωωω+>−+−1sin sin 23x x x πωωω==−若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω−<−<−，∴323232T ωππωπππω −−−≤=， 则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤.又233(1)23k k ωπππωπππ ≤−+≥− ，解得2282()339k k k Z ω+≤≤+∈. 228233928039k k k +≤+ +> ，解得4132k −<≤，k Z ∈ ，0k ∴=或1−.当0k =时，2839ω≤≤；当1k =−时，01ω<≤，可得209ω<≤.∴2280,,939ω∈. 故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，还涉及二倍角公式和辅助角公式，考查学生数形结合的思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有至少两项符合题目要求.全部选对的得2分，有选错的得0分）9. 若{}n a 是公比为q 的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A. 若{}n a 是递增数列，则1q > B. 若10a >，01q <<，则{}n a 是递减数列 C. 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】BD 【解析】【分析】对于AC ：举反例分析判断；对于B ：根据数列单调性的定义结合等比数列通项公式分析判断；对于D ：根据等比数列定义分析判断.【详解】对于选项A ：例如111,2a q =−=，则112n n a − =−，可知数列{}n a 是递增数列，但1q <，故A 错误；对于选项B ：因为()1111111n n n n n a a a q a qa q q −−+−=−=−，若10a >，01q <<，则110,0,10−>>−<n a q q ，可得10n n a a +−<，即1n n a a +<， 所以数列{}n a 是递减数列，故B 正确；对于选项C ：例如1q =，则11461541026=++==a a S S a S ， 即4652S S S +=，故C 错误； 对于选项D ：因为{}n a 是公比为q 的等比数列，则0n a ≠，则111111n n n n n nb a a b a q a +++===，所以数列{}n b 是以公比为1q 的等比数列，故D 正确； 故选：BD.10.已知(a = ，若1b = ，且π6,a b = ，则（ ）A. a b b −=B. b 在a方向上投影向量的坐标为 C. ()2a a b ⊥−D. ()23b a b ⊥−【答案】ACD 【解析】【分析】根据模长公式判断A 选项,根据投影向量公式判断B 选项,根据数量积公式结合向量垂直计算判断C,D 选项.【详解】(,a a =∴=，1a b −=, A 选项正确；b 在a方向上投影向量的坐标为π1cos 162a b a ⋅=×=， B 选项错误；()22π2=22cos 32106a a b a a b a a b ⋅−−⋅=−⋅=−×= ，()2a a b ∴⊥− ，C 选项正确；()22π23=232cos 321306b a b a b b a b b ⋅−⋅−=⋅−=×−= ，D 选项正确； 故选：ACD.11. 定义{}max ,a b 为a ，b 中较大的数，已知函数(){}max sin ,cos f x x x =，则下列结论中正确的有（ ）A. ()f x 的值域为[]1,1−B. ()f x 是周期函数C. ()f x 图像既有对称轴又有对称中心D. 不等式()0f x >的解集为π2π2ππ,2x k x k k−+<<+∈Z 【答案】BD 【解析】【分析】做出函数()f x 的图像，利用图像确定出值域，周期，单调区间，即可求解.【详解】做出函数()f x 的图像，如图所示：令sin cos x x =π04x−=，则ππ4x k −=，k ∈Z ，解得ππ4x k =+，k ∈Z ，当5π2π4xk =+，k ∈Z 时，()f x =由图可知，()f x 的值域为，故A 错误； 且()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，故B 正确；由图可知函数()f x 有对称轴，但是没有对称中心，故C 错误； 由图可知，()π2π2ππ2k x k k −+<<+∈Z 时，()0f x >，故D 正确. 故选：BD.12. 定义在()1,1−上的函数()f x 满足()()1x y f x f y f xy−−=−，且当()1,0x ∈−时，()0f x <，则下列结论中正确的有（ ） A. ()f x 奇函数 B. ()f x 是增函数 C. 112243f f f+=D. 111342f f f+<【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ：根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B ：根据题意结合函数单调性分析判断；对于C ：根据题意令21,34==xy 代入运算即可；对于D ：令11,24x y ==，结合函数单调性分析判断. 【详解】对于选项A ：因为()()1x y f x f y f xy −−=−，令0xy ==，则()()()000f f f −=，可得()00f =， 令y x =−得：22()()1x f x f x f x −−= +，再以x −代x ，得：22()()1x f x f x f x −−−=+，两式相加得：2222011x x f f x x −+=++，即222211x x f f x x −=− ++ ， 令()()22,1,11=∈−+x g x x x ，则()()()2222101−′=>+x g x x 对任意()1,1x ∈−恒成立， 可知()g x 在()1,1−上单调递增，且()()11,11g g −=−=， 所以()g x 在()1,1−内的值域为()1,1−， 由222211x x f f x x −=−++，()1,1x ∈−，即()()f x f x −=−，()1,1x ∈−， 是所以定义在(1,1)−上的函数()f x 为奇函数，故A 正确；对于选项B ：因为函数()f x 为定义在(1,1)−上的奇函数，且当(1,0)x ∈−时，()0f x <，不妨设1211x x −<<<，则121212()()1x x f x f x f x x−−=−，因为1211x x −<<<，则121201x x x x −<−且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x −+−+=>−− 可知1212101x x x x −−<<−，所以121201x x f x x−< −， 则12())0(f x f x −<，即12()()f x f x <， 故函数()f x 在(1,1)−上为增函数，B 正确；对于选项C ，令21,34==x y ，且()()1x y f x f y f xy −−=−， 则211342−=f f f ，即112243f f f+=，故C 正确； 对于选项D ：令11,24x y ==，且()()1x y f x f y f xy −−= −， 则112247−=f f f ， 因为2173<，且函数()f x 在(1,1)−上为增函数，可得2173<f f ， 即111243−<f f f ，所以111342+>f f f ，故D 错误. 故选：ABC.【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．第二部分 非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知()2y f x x =−为奇函数，且()13f =，则()1f −=________.【答案】1− 【解析】【分析】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质有()()()()111120g g f f +−=+−−=，结合()13f =即可求解. 【详解】由题意()()2y g x f x x ==−为奇函数，所以由奇函数的性质可得()()()()()()()221111111120g g f f f f +−=−+−−−=+−−=，又因为()13f =，所以解得()11f −=−. 故答案为：1−.14. 设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2cos π3=−nnS n ，则6a =________. 【答案】212##10.5 【解析】【分析】根据n a 与n S 之间的关系，结合诱导公式运算求解.【详解】因为2cos π3=−n n S n ，则255ππ15cos π25cos 2π25cos 253332 =−=−−=−=−S ， 266cos 2π36135−−S ，所以665121352522=−=−−=a S S 故答案为：212. 15. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .120ABC ∠=°，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则43a c +的最小值为________.【答案】7+【解析】【分析】利用等面积法可得ac a c =+，从而111a c+=，再利用乘“1”法及基本不等式可求解． 【详解】因为ABCABD BCD S S S =+△△△， 所以111sin1201sin 601sin 60222ac c a ⋅°=××°+××°，所以ac a c =+，可得111a c+=． 所以()41134773437a c a c c a a c a c=+=+++≥+=++ .（当且仅当34c a a c=，即1a =+，1c =+．故答案为：7+16. 设()()ln ,024,24x x f x f x x <≤= −<<，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 【答案】 ①. 6 ②. 45(22,)2【解析】【分析】由函数解析式知函数图象关于直线2x =对称，作出图象，可知212x <<，234x x +=，144x x +=，即可求得12348x x x x +++=，同时把()2221234x x x x +++用2x 表示，利用换元法，函数的单调性求得其范围．【详解】()(4)f x f x =−，因此()f x 的图象关于直线2x =对称，作出函数()f x 的图象，如图，作直线y m =，若是三个根，则1m =，12317,2,22x x x ===，1236x x x ++=， 若是四个根，由图可知212x <<，234x x +=，144x x +=，所以12348x x x x +++=， 12ln ln x x -=，因此121=x x ，()222222222123422222221121()(4)(4)28()34x x x x x x x x x x x x =++−+−=+−+++++22222112()8()30x x x x =+−++，令221t x x =+，则()222123422(2)22t x x x x +=+−++， 对函数1(12)y m m m=+<<，设1212m m <<<，1212121212111()(1)y y m m m m m m m m −=+−−=−−， 因为1212m m <<<，所以120m m −<，12110m m −>，所以120y y −<，即12y y <， 即1(12)y m m m=+<<是增函数，所以522y <<，因素2215(2,)2t x x =+∈，22(2)22y t =−+在5(2,)2t ∈时递增， 所以2452(2)22(22,)2y t =−+∈． 故答案为：6；45(22,)2．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 若()()πsin 0,0,2y f x A x A ωϕωϕ+>><的部分图象如图所示．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象；若()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，求θ的最小值． 【答案】（1）()π2sin 26f x x=+（2）π12【解析】【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由代入点法求出ϕ的值，从而可得函数的解析式． （2）根据函数sin()yA x ωϕ+的图象变换规律求得()g x 的解析式，再利用整体代换法与正弦函数的对称性得到θ关于k 的表达式，从而求得θ的最小值． 【小问1详解】根据()f x 的部分图象易知其最大值为2，又0A >，故2A =，周期11πππ1212T=−−=，则2ππω=，又0ω>，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 又π,012−在图象上，所以π2sin 06ϕ −+=，故11π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，则11π2π,6k k ϕ=+∈Z ， 又π2ϕ<，所以π6ϕ=， 所以()π2sin 26f x x=+. 【小问2详解】 将()y f x =图象上所有点向左平行移动(0)θθ>个单位长度，得到()()ππ2sin 22sin 2266y g x x x θθ==++=++的图象， 因为()y g x =图象的一个对称中心为5π06，，所以5ππ22π,66k k θ×++=∈Z ，即π11π,212k k θ=−∈Z ， 因为0θ>，所以π11π0212k −>，则116k >，又k ∈Z ，所以当2k =时，θ取得最小值为π12． 18. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，12a =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11111,2n n n b a b b −−，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）2n a n =；（2）1n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设{}n a 的公差为d ，由等比中项的性质有()2(22)228d d +=+可求d ，进而写出{}n a 的通项公式；（2）应用累加法求{}n b 的通项公式，再由裂项相消法求{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由12a =，2319a a a =有：()2(22)228d d +=+，解得2d =或0d =(舍去)∴2n a n =. （2）1112n n n b b −−=， ∴()112211111112,21,,22n n n n n n b b b b b b −−−−=−=−−=× ，将它们累加得：2111 2.n n n b b −=+− ∴21n b n n=+，则()111111223111n n S n n n n =+++=−=××+++ . 19. 如图，在四棱锥P ABCD −中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=°，侧面PAD 为等边三角形．（1）求证：AD PB ⊥；（2）若P AD B −−的大小为120°，求A PB C −−的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】【分析】(1)取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，证明AD ⊥平面POB 即得；(2)在平面POB 内过O 作Oz OB ⊥，以射线OA ，OB ，Oz 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量推理计算即可得解.【详解】（1）取AD 的中点O ，连接OB ，OP ，BD ，如图，因PAD 为正三角形，则OP AD ⊥，又底面ABCD 是菱形，且60BAD ∠=°，则ABD △是正三角形，于是得OB AD ⊥，而OP OB O = ，,OP OB ⊂平面POB ，则AD ⊥平面POB ，又PB ⊂平面POB ， 所以AD PB ⊥；（2）由(1)知P AD B −−的平面角为POB ∠，即120POB ∠=°，==OP OB ，显然平面POB ⊥平面ABD POB 内过O 作Oz OB ⊥，平面POB 平面ABD OB =，则Oz ⊥平面ABD ，如图，以O 为原点建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，B ，(C −，3(0,)2P ，(AB − ，3)2PB =− ，(2,0,0)CB = ，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =，则1111113020n PB y z n AB x ⋅=−= ⋅=−+= ，令11y =，得1n =，设平面PBC 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222220302n CB x n PBz ⋅==⋅=−=，令21y =，得2n =，121212cos ||||n n n n n n ⋅〈⋅〉==⋅，设A PB C −−的大小为θ，从而得sin θ=， 所以A PB C −−. 20. 已知()()1ln 0f x x ax a x=−≥，e 为自然对数的底数. （1）若函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞（2）211e 2ea << 【解析】【分析】（1）求出()f x ′，利用导数的几何意义得到0a =，再利用导数与函数性质的关系即可得解； （2）构造函数()2ln xF x x=，将问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点，利用导数分析()F x 的性质，结合图象即可得解. 【小问1详解】 因为()()1ln 0f x x ax a x=−≥，所以()21ln x f x a x −′=−， 的又函数()f x 在e x =处的切线平行于x 轴，则()e 0f ′=，即21ln e0ea −−=，解得0a =， 此时()21ln xf x x−′=，令()0f x ′=，解得e x =， 当0e x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当e x >时，()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为()e,+∞. 【小问2详解】因()f x 在1,e e上有且仅有两个零点，令()0f x =，则1ln 0x ax x −=，即2ln x a x =在1,e e上有且仅有两个零点，令()2ln x F x x =，1,e e x∈，则问题转化为()F x 与y a =的图象有两个交点， 又()312ln xF x x−′=，当1ex ∈ 时，()0F x ′>，)F x 单调递增，当)x ∈时，()0F x ′<，()F x 单调递减，所以()F x在x =12eF=， 又201e e F =− <，()2e e 1F =， 作出()F x 与y a =的大致图象，如图，为结合图象可得211e 2ea <<， 所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<. 21. 某单位为端正工作人员仪容，在单位设置一面平面镜.如图，平面镜宽BC 为2m ，某人在A 点处观察到自己在平面镜中所成的像为A ′.当且仅当线段AA ′与线段BC 有异于B ，C 的交点D 时，此人能在镜中看到自己的像.已知π3BAC ∠=.（1）若在A 点处能在镜中看到自己的像，求ACAB的取值范围； （2）求某人在A 处与其在平面镜中的像的距离AA ′的最大值. 【答案】（1）1,22（2） 【解析】【分析】（1）设ACB θ∠=，则ππ62θ<<，利用正弦定理结合三角恒等变换可得)sin AC θθ=+，AB θ=，进而整理可得12AC AB =，结合正切函数运算求解；（2）根据（1）中结果结合三角恒等变换整理得π26AA θ=−+′，结合正弦函数分析求解. 【小问1详解】设ACB θ∠=，由题意可知ABC 为锐角三角形，则π022ππ032θθ<<<−<，可得ππ62θ<<，由正弦定理sin sin sinAC AB BCABC ACB BAC===∠∠∠，可得)πsin3AC ABCθθθ=∠=+=+，AB ACBθ=∠=，则12ACAB=+，因为ππ62θ<<，则tanθ>，可得1tanθ<<，即32<<，所以1,22ACAB∈.【小问2详解】由（1）可知：)sinACθθ=+，ABθ=，由题意可知：A A BC′⊥，AD AA=′，利用等面积法可得)1112sin222AAθθθ××=+′整理得2π4sin cos2sin2226 AAθθθθθθ==−−′，因为ππ62θ<<，则ππ5π2,666θ−∈，当ππ262θ−=，即π3θ=时，AA′取到最大值.22. 设()2cos1f x ax x=+−，a∈R.（1）当1πa=时，求函数()f x的最小值；（2）当12a≥时，证明：()0f x≥；（3）证明：()*1114coscos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【答案】22. π14− 23. 证明见解析 24. 证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，分π2x >和π02x ≤<两种情况，利用导数判断原函数的单调性和最值；（2）由题意可知：()f x 为偶函数，所以仅需研究0x ≥的部分，求导，利用导数判断原函数的单调性和最值，分析证明；（3）由（2）可得：()211cos12>−≥n n n ，分2n =和3n ≥两种情况，利用裂项相消法分析证明； 【小问1详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()22cos 1cos 1−−+−−+−f x a x x ax x f x ，所以()f x 为偶函数，下取0x ≥， 当1πa =时，()21cos 1π=+−f x x x ，则()2sin π′=−f x x x ， 当π2x >时，则()2sin 1sin 0π′=−>−≥f x x x x ，可知()f x 在π,2∞ +内单调递增， 当π02x ≤≤时，令()()g x f x ′=，则()2cos π′=−g x x ， 可知()g x ′在π0,2内单调递增， 因为201π<<，则0π0,2x ∃∈ ，使得02cos πx =， 当[)00,x x ∈时，()0g x ′<；当0π,2x x ∈ 时，()0g x ′>； 所以()g x 在[)00,x 上单调递减，在0π,2x上单调递增，且()π002g g == ，则()()0f x g x ′=≤在π0,2 内恒成立，可知()f x 在π0,2内单调递减； 综上所述：()f x 在π0,2 内单调递减，在π,2∞ + 内单调递增， 所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为ππ124f =−， 又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在R 内的最小值为π14−. 【小问2详解】由（1）可知()f x 为定义在R 上的偶函数，下取0x ≥，可知()2sin f x ax x ′=−，令()()2sin ϕ′==−x f x ax x ， 因12a ≥，则()2cos 1cos 0x a x x ϕ≥−′=−≥， 则()x ϕ在[)0,∞+内单调递增，可得()()00x ϕϕ≥=， 即()0f x ′≥在[)0,∞+内恒成立，可知()f x 在[)0,∞+内单调递增，所以()f x 在[)0,∞+内的最小值为()00f =，结合偶函数性质可知：()0f x ≥.【小问3详解】由（2）可得：当1a =时，()2cos 10=+−≥f x x x ，当且仅当0x =时，等号成立， 即2cos 1≥−x x ，令*1,2,=≥∈x n n nN ，则211cos 1>−n n ， 当2n =时，211324cos 1222433>−=>=−，不等式成立； 当3n ≥时，222114411cos 111124412121 >−=−>−=−− −−+n n n n n n ， 即111cos 122121 >−− −+n n n ，则有： 111cos 12235 >−− ，111cos 12357 >−− ，⋅⋅⋅，111cos 122121 >−− −+n n n ， 相加可得：()()11111425cos cos cos 12233213321− +++>−−−=−− ++n n n n n n ， 为因为3n ≥，则()250321−>+n n ，所以1114cos cos cos 233+++>− n n ； 综上所述：()*1114cos cos cos ,1233+++>−∈>n n n nN . 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数()f x ；（3）利用导数研究()f x 的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式；特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
![2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ca444db8662caaedd3383c4bb4cf7ec4afeb6db.png)
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
广东省广州、深圳、珠海三市2025届高三上学期十一月联考数学试卷(含答案)
2025届高三·十一月·广深珠联考数学科试题（满分150分，考试时间120分钟.）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.）1.集合，，若，则a 可能是（ ）A .B .C .2D .2.下列结论正确的是（ ）A .若，则B .若，则C .D ，3.在复平面内，复数Z 绕原点逆时针旋转得，则复数Z 的虚部为（）ABC .D .4.已知为等差数列的前n 项，公差为d .若，，则（ ）A .B .C .D .无最大值5.在锐角中，已知，，则（ ）ABCD6.（ ）A .1B .C .D .7.下图是（，）的部分图象，则正确的是（ ）10x A x x ⎧-⎫=>⎨⎬⎩⎭{}B a =B A ⊂/12-1213-0a b >>22ac bc >11a b>a b <12a a+≥223a a -≥π211-i-n S {}n a 10a >180S =0d >711S S =200S >n S ABC ∆2b =c =π4B =a =1-1+1-1+22sin 11cos 41sin11cos41++=︒︒︒︒543445()()sin f x wx ϕ=+0w >0πϕ<<A .B .函数在上无最小值，C .D .在上，3个不同的根.8.在中，已知的面积为且，则BC 的最小值为（ ）A .2B .C .D .3二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.部分选对得部分分，错选得0分.）9.下列函数中，其函数图象有对称中心的是（ ）A .B .C .D .10.已知O 为坐标原点，，，则（ ）A .若点C 在线段AB 上，则点C 的轨迹方程为B .设点，若为锐角，则C .若，则存在向量同时与，共线D .若，则在上的投影向量是.11.若非常数函数的定义域为，是周期为1的奇函数，则（ ）A .B .C .D .三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分.）12.在等比数列中，，，则 .13.若，，则 .14.权方和不等式是常用的不等式之一，其中二维权方和不等式是：已知，，，，m 均为正数，π3ϕ=ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π4π1515f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x =ABC ∆ABC ∆323AB AC =121x y =-1lg1y x=-3221y x x =++sin y x=()1,0A ()0,1B 1x y +=(),2C x BAC ∠3x <()1,0C -AB AC()1,0C -AB AC OC()f x R ()31f x +()10f -=502f ⎛⎫⎪⎝⎭=()30f =()40f ={}n a 11a =34a =4a =()1,2AB = ()2,5AC =ABC S ∆=1x 2x 1y 2y，当且仅当时，等号成立.若x 为锐角，则的最小值为 .四、解答题（本大题共5个小题，共77分在答题框内写出必要的解答过程，写错或超出答题框不得分）15.（13分）已知（1）当时，求的单调区间；（2）若当时为单调递增函数，求实数a 的取值范围.16.（15分）设各项非零的数列的前n 项乘积为，即，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数的前n 项和.17.（15分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积为.D是AB 的中点，点E在线段AC 上且，线段CD 与线段BE 交于点M （如下图）（1）求角A 的大小：（2）若，求的值；（3）若点G 是的重心，求线段GM 的最小值.18.（17分）定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点c ，使得，这是以法国数学家米歇尔•罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用.（1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；()()11112121212m m m m m m x x x x yyy y ++++++≥1212x x y y =1sin x +()2ln f x a x x x=++1a =()f x 2x ≥()f x {}n a n T 12n n T a a a = 22n n n n a T a T =÷{}n T 12n n nn b a +={}n b n S ABC ∆ABC ∆S =()22a b c +=+2AE EC =AM xAB y AC =+x y +ABC ∆()f x [],a b (),a b ()()f a f b =(),a b ()0f'c =()()()()124f x x x x x =---()f x ()f'x ()0f'x =（2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点c ，使得；（3）利用（2）中的结论，证明：当时，（为自然对数的底数）.19.（17分）已知集合（），S 是集合A 的子集，若存在不大于n 的正整数m ，使集合S 中的任意一对元素，，都有，则称集合S 具有性质P .（1）当时，试判断集合和是否具有性质P ？并说明理由；（2）当时，若集合S 具有性质P ，那么集合是否具有性质P ？并说明理由；（3）当，时，若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值.()f x [],a b (),a b ()f x ()f'x (),a b ()()()()f b f a f'c b a -=-0a b <<()()()2222e e e a b a b a b a b ++<+e {}1,2,3,,2A n = *n ∈N 1s 2s 12s s m -≠10n ={}9B x A x =∈>{}*31,C x A x k k =∈=-∈N 100n ={}201T x x S =-∈3n k =*k ∈N ()f n2025届高三·十一月·广深珠联考数学参考答案一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分。
2025届广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学高三上学期第一次联考数学试卷
2025届广东省金山中学、中山一中、佛山一中、宝安中学高三上学期第一次联考数学试卷一、单选题(★★) 1. 已知集合，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 若复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 双曲线的两条渐近线的夹角的大小等于（）A．B．C．D．(★) 4. 若，，则实数（）A．6B．C．3D．(★★★) 5. 小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（）A．B．C．1D．2(★★) 8. 圆锥顶点，底面半径为1，母线的中点为，一只蚂蚁从底面圆周上的点绕圆锥侧面一周到达的最短路线中，其中下坡路的长是（）A．0B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 杨明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本方差为；骑自行车平均用时，样本方差为，假设坐公交车用时单位：和骑自行车用时单位：都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（）A．B．C．D．若某天只有可用，杨明应选择坐自行车(★★★) 10. 设函数，则（）A．是的极小值点B．C．不等式的解集为D．当时，(★★★) 11. 平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知曲线是到两定点的距离之积为常数2的点的轨迹，设是曲线上的点，给出下列结论，其中正确的是（）A．曲线关于原点成中心对称B．C．D．周长的最小值为三、填空题(★★) 12. 已知，，则 ________ ．(★★★) 13. 已知函数，则不等式的解集为 _________________ .(★★★★) 14. 盒子里装有5个小球，其中2个红球，3个黑球，从盒子中随机取出1个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则：（1）取了3次后，取出红球的个数的数学期望为 ___________ ；（2）取了次后，所有红球刚好全部取出的概率为___________ .四、解答题(★★★) 15. 在中，角所对的边分别为．(1)若，求的值；(2)求面积的最大值．(★★★) 16. 已知底面是平行四边形，平面，，，，且.(1)求证：平面平面；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.(★★★) 17. 已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.(★★★★) 18. 如果n项有穷数列满足，，…，，即，则称有穷数列为“对称数列”.(1)设数列是项数为7的“对称数列”，其中成等差数列，且，依次写出数列的每一项；(2)设数列是项数为( 且)的“对称数列”，且满足，记为数列的前项和.①若，，…，构成单调递增数列，且.当为何值时，取得最大值②若，且，求的最小值.(★★★★) 19. 已知函数.(1)当时，恒成立，求实数的取值范围；(2)已知直线是曲线的两条切线，且直线的斜率之积为1. （i）记为直线交点的横坐标，求证：；（ii）若也与曲线相切，求的关系式并求出的取值范围.。
广东省2023年8月高三第一次联考数学试卷与答案
广东省2023年8月高三第一次联考数学试卷一．单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二．多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同B．数据6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为3C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为304520．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点，则实数四.解答题广东省2023年8月高三第一次联考数学试卷答案1-8：D D A B B C C D8．【详解】根据正弦和角与差角公式化简函数式可得()()()sin 22sin cos f x x x ωϕϕωϕ=+-+()()sin 2sin cos x x ωϕϕϕωϕ=++-+⎡⎤⎣⎦()()()sin cos cos sin 2sin cos x x x ωϕϕωϕϕϕωϕ=+++-+()()sin cos cos sin x x ωϕϕωϕϕ=+-+()sin sin x x ωϕϕω=+-=，（0ω>，ϕ∈R ）.根据正弦函数单调递增区间可知2222k x k πππωπ-+≤≤+，（Z k ∈）上单调递增，化简得2222k k x ππππωωωω-+≤≤+，Z k ∈；∴函数()f x 的单调增区间为22,22k k ππππωωωω⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）.∵在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，可得222322k k πππωωπππωω⎧-+≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1221433k k ωω⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，（Z k ∈）.又0ω>，当0k =时，可得103ω<≤；当1k =时，可得3523ω≤≤.故选：D.9．AB10．ACD.11．BCD11.对于D ：()22,0,0x x f x x x x x ⎧-≥==-⎨<⎩，()||()f x x x f x -==-，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩是奇函数；根据二次函数的单调性，易知()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以()22,0,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩在R 上是减函数，所以是“理想函数”.12．BC12.【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径，因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即62=66OF AO =，,所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确；22241V 4115．【分析】211,1,11{1,1,11x x x x x y x x x x -+>+-===-+<--函数过4.k <)00,x y ，,,EM AC EQ AB EN BC ⊥⊥⊥，6BQ -=11。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广东省高三数学第一次联考试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共8题；共16分)
1. （2分） (2020高三上·新疆月考) 已知是实数集，集合，，则
（）
A .
B . {1}
C .
D .
2. （2分） (2019高三上·赤峰月考) 已知向量、满足，，，则
与夹角为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2017高三上·长葛月考) 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，升，升，1斗为10升；则下列判断正确的是（）
A . 依次成公比为2的等比数列，且
B . 依次成公比为2的等比数列，且
C . 依次成公比为的等比数列，且
D . 依次成公比为的等比数列，且
4. （2分）过原点的直线与双曲线有两个交点，则直线的斜率的取值范围为（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2016高一下·南充期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A .
B . 8
C . 12
D .
6. （2分） (2020高二下·南宁期末) 设为虚数单位，复数z满足，则在复平面内，对应的点位于（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
7. （2分） (2017高二上·乐山期末) 如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）
A . PB⊥AD
B . 平面PAB⊥平面PBC
C . 直线BC∥平面PAE
D . 直线PD与平面ABC所成的角为45°
8. （2分） (2017高二下·景德镇期末) 某球星在三分球大赛中命中率为，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣一分，则该球星得分的期望与方差分别为（）
A . 16，32
B . 8，32
C . 8，8
D . 32，32
二、填空题 (共7题；共7分)
9. （1分） (2019高三上·江西月考) 展开式中的系数为________．
10. （1分） (2019高三上·西安月考) 狄利克雷是19世纪德国著名的数学家，他定义了一个“奇怪的函数”
，下列关于狄利克雷函数的叙述正确的有：________.
① 的定义域为，值域是② 具有奇偶性，且是偶函数
③ 是周期函数，但它没有最小正周期④对任意的，
11. （1分） (2019高一下·安徽期中) 已知的内角对的边分别为，
，当内角最大时，的面积等于________
12. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知数列前n项和为，满 ( 为常数)，且，设函数，则数列的前17项和为________.
13. （1分）如图所示，D是△ABC的AB边上的中点，则向量=________（填写正确的序号）．
① ，② ，③ ，④ ．
14. （1分）(2018·永州模拟) 函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则
________.
15. （1分）(2019·南平模拟) 已知点在离心率为的椭圆上，则该椭圆的内接八边形面积的最大值为________．
三、解答题 (共5题；共50分)
16. （10分） (2017高三上·高台期末) △ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA= ．
（1）求sin2 +cos2A的值；
（2）若a= ，求△ABC面积的最大值．
17. （10分） (2017高一下·扶余期末) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD 是等边三角形，已知AD=4，，AB=2CD=8．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？
18. （10分）已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. （10分） (2020高三上·如皋月考) 某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线，所成角为，现欲在海岸线，上分别取点，修建海堤，以便围成三角形陆地，已知海堤长为6千米.
（1）如何选择，的位置，使得的面积最大；
（2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤的另一侧选取点，修建海堤，围成四边形陆地.当海堤与的长度之和为10千米时，求四边形面积的最大值.
20. （10分）(2018·汕头模拟) 已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，若在上存在极值，求的取值范围，并判断极值的正负．
参考答案一、单选题 (共8题；共16分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、考点：
解析：
二、填空题 (共7题；共7分)答案：9-1、
考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、考点：
解析：
答案：13-1、考点：
解析：
答案：14-1、
考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
三、解答题 (共5题；共50分)答案：16-1、
答案：16-2、考点：
解析：
答案：17-1、答案：17-2、
考点：
解析：
答案：18-1、
答案：18-2、考点：
解析：
答案：19-1、答案：19-2、
考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、。