2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛 含答案

2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷

一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.

1. 函数1()1x

x

ae f x e

--+=+（1a ≠）的值域为 ． 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则

A B = ．

3.已知方程20x

xe

k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根，则k 的取值范围是 ．

4.已知ABC ∆的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c

成等比数列，则2:ABC S a ∆= ．

5.已知点(1,1)A ，(1/2,0)B ，(3/2,0)C ，经过点A ，B 的直线和经过A ，C 的直线与直线

y a =（01a <<）所围成的平面区域为G ，已知平面矩形区域{(,)|02,01}

x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为

1

16

，则a = ． 6.袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 ．

7.已知关于x 的实系数方程2

220x x -+=和2

210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 ．

8.已知圆2

2

8x y +=围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆

22

214

x y a +=围成的封闭区域上（含边界）整点数的15，则正实数a 的取值范围是 ．

二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x

f x e x =--，

（1）求()f x 在区间1[0,]n

（n 为正整数）的最大值n b ； （2）令1

1n

n n a e b =--，1421321

k

k k a a a p a a a -=

（n ，k 为正整数），求证：

122

1n p p p a ++<

. 10.如图，矩形ABCD 沿平行于AD 的线段EF 向上翻折（点E 在线段AB 上运动，点F 在

线段CD 上运动），得到三棱柱ABE CDF -，已知5AB =，AC =（1）若ABG ∆是直角三角形，这里G 是线段EF 上的点，试求线段EG 的长度x 的取值范围； （2）若（1）中EG 的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB 的长度取得最小值，求二面角C EF D --的值；

（3）在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥A BFG -的体积.

11.已知正整数n 都可以唯一表示为2012999m m n a a a a =++++（*）的形式，其中m 为

非负整数，{0,1,

,8}j a ∈（0,1,

,1j m =-），{1,,

8}m a ∈.试求（*）中的数列0a ，1a ，

2a ，…，m a 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n 的和.

试卷答案

一、填空题 1.(,1)a

2.{1-

3.412(,)2e e

-

-

5.12

6.3

7.{|11m m -<<或3}

2

n =-

8.2223a ≤<

三、解答题

9.解：（1）因为'()1x

f x e =-，所以，当1

[0,]x n ∈时，'()0f x ≥，即()f x 在1[0,]n

是增函

数，故()f x 在1[0,]n 上的最大值为1

1

1n n b e n

=--

（2）由（1）知1

11n

n n a e b n

=--=

因为222

(21)(21)411(2)4k k k k k

-+-=<，所以2

2222

135(21)133557

(21)(21)11

24(2)

246(2)2121

k k k k k k k ⎡⎤--+=<⎢⎥+

+⎣

⎦

< 2421321135(21)24(2)k k k a a a k p a a a k --=

=<<

所以12(31)(53)++2121)n p

p p n n +++<-+-+--（

11==

即121n p p p +++<

10.（1）有题设条件可知AEG ∆，BEG ∆均为直角三角形，因此222

AG AE x =+，

222BG BE x =+

由余弦定理：2

2

2

2cos AB AE BE AE BE AEB =+-∠，

于是：2

2

2

2

2

2

22cos x AE BE AB AE BE AE BE AEB ++==+-∠，

222cos (5)5 2.5x AE BE AEB AE BE t t t t =-∠<=-=-+≤

所以：[0,2.5)x ∈，又对

[0,2.5)k ∀∈， 2.5AE EB ==，2

2arccos 2.5

k AEB π∠=-，

则：x k ==，故：x 的取值范围为[0,2.5).

（2）因为AE EF ⊥，BF EF ⊥，所以AEB ∠就说二面角C EF D --的平面角，又由（1）知，EG 的长度x 为[0,2.5)的最大整数，因此2x =.于是：

2222(5)421029AB t t t t =+-+=-+，(0,5)t ∈

因此 2.5t =时，线段AB 的长度取得最小值，由此得：

252cos 4AEB =-

∠，8arccos 25

AEB π∠=-. （3）由（1）、（2）知

8arccos

25AEB π∠=-，52AE EB ==，AG BG ==，2EG =，

且3EF =.

因为AE EF ⊥，BE EF ⊥，AE

BE E =，所以：EF ⊥平面EAB ，故：

1

()3

A BFG A BEG AE

B AGB V V S EF S EG --∆∆==-=

22

1111413561(sin )32)32266254AE AEB EF BF EG ⎡⎤∠-=-=⎢⎥⎣⎦

11.设A 和B 分别表示（*）中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号()S M 表示数集M 中所有数的和，并将满足（*）式的正整数记为：

110m m n a a a a -=

把集合A 分成如下两个不交子集00{|0}A n A a =∈=和10{|0}A n A a =∈≠，我们有