2018全国高中数学联赛广东赛区选拔赛 含答案

2018年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1. 函数1()1x
x
ae f x e
--+=+（1a ≠）的值域为 ． 2.设集合2{|[]2}A x x x =-=和{|||2}B x x =<，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则
A B = ．
3.已知方程20x
xe
k -+=在区间(2,2)-内恰有两个实根，则k 的取值范围是 ．
4.已知ABC ∆的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c
成等比数列，则2:ABC S a ∆= ．
5.已知点(1,1)A ，(1/2,0)B ，(3/2,0)C ，经过点A ，B 的直线和经过A ，C 的直线与直线
y a =（01a <<）所围成的平面区域为G ，已知平面矩形区域{(,)|02,01}
x y x y <<<<中的任意一点进入区域G 的可能性为
1
16
，则a = ． 6.袋中装有m 个红球和n 个白球，4m n >≥.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系40m n +≤的数组(,)m n 的个数为 ．
7.已知关于x 的实系数方程2
220x x -+=和2
210x mx ++=的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是 ．
8.已知圆2
2
8x y +=围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆
22
214
x y a +=围成的封闭区域上（含边界）整点数的15，则正实数a 的取值范围是 ．
二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.设函数()1x
f x e x =--，
（1）求()f x 在区间1[0,]n
（n 为正整数）的最大值n b ； （2）令1
1n
n n a e b =--，1421321
k
k k a a a p a a a -=
（n ，k 为正整数），求证：
122
1n p p p a ++<
. 10.如图，矩形ABCD 沿平行于AD 的线段EF 向上翻折（点E 在线段AB 上运动，点F 在
线段CD 上运动），得到三棱柱ABE CDF -，已知5AB =，AC =（1）若ABG ∆是直角三角形，这里G 是线段EF 上的点，试求线段EG 的长度x 的取值范围； （2）若（1）中EG 的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB 的长度取得最小值，求二面角C EF D --的值；
（3）在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥A BFG -的体积.
11.已知正整数n 都可以唯一表示为2012999m m n a a a a =++++（*）的形式，其中m 为
非负整数，{0,1,
,8}j a ∈（0,1,
,1j m =-），{1,,
8}m a ∈.试求（*）中的数列0a ，1a ，
2a ，…，m a 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n 的和.
试卷答案
一、填空题 1.(,1)a
2.{1-
3.412(,)2e e
-
-
5.12
6.3
7.{|11m m -<<或3}
2
n =-
8.2223a ≤<
三、解答题
9.解：（1）因为'()1x
f x e =-，所以，当1
[0,]x n ∈时，'()0f x ≥，即()f x 在1[0,]n
是增函
数，故()f x 在1[0,]n 上的最大值为1
1
1n n b e n
=--
（2）由（1）知1
11n
n n a e b n
=--=
因为222
(21)(21)411(2)4k k k k k
-+-=<，所以2
2222
135(21)133557
(21)(21)11
24(2)
246(2)2121
k k k k k k k ⎡⎤--+=<⎢⎥+
+⎣
⎦
< 2421321135(21)24(2)k k k a a a k p a a a k --=
=<<
所以12(31)(53)++2121)n p
p p n n +++<-+-+--（
11==
即121n p p p +++<
10.（1）有题设条件可知AEG ∆，BEG ∆均为直角三角形，因此222
AG AE x =+，
222BG BE x =+
由余弦定理：2
2
2
2cos AB AE BE AE BE AEB =+-∠，
于是：2
2
2
2
2
2
22cos x AE BE AB AE BE AE BE AEB ++==+-∠，
222cos (5)5 2.5x AE BE AEB AE BE t t t t =-∠<=-=-+≤
所以：[0,2.5)x ∈，又对
[0,2.5)k ∀∈， 2.5AE EB ==，2
2arccos 2.5
k AEB π∠=-，
则：x k ==，故：x 的取值范围为[0,2.5).
（2）因为AE EF ⊥，BF EF ⊥，所以AEB ∠就说二面角C EF D --的平面角，又由（1）知，EG 的长度x 为[0,2.5)的最大整数，因此2x =.于是：
2222(5)421029AB t t t t =+-+=-+，(0,5)t ∈
因此 2.5t =时，线段AB 的长度取得最小值，由此得：
252cos 4AEB =-
∠，8arccos 25
AEB π∠=-. （3）由（1）、（2）知
8arccos
25AEB π∠=-，52AE EB ==，AG BG ==，2EG =，
且3EF =.
因为AE EF ⊥，BE EF ⊥，AE
BE E =，所以：EF ⊥平面EAB ，故：
1
()3
A BFG A BEG AE
B AGB V V S EF S EG --∆∆==-=
22
1111413561(sin )32)32266254AE AEB EF BF EG ⎡⎤∠-=-=⎢⎥⎣⎦
11.设A 和B 分别表示（*）中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号()S M 表示数集M 中所有数的和，并将满足（*）式的正整数记为：
110m m n a a a a -=
把集合A 分成如下两个不交子集00{|0}A n A a =∈=和10{|0}A n A a =∈≠，我们有
01()()()S A S A S A =+.
1n A ∀∈，令0()9f n n A =∈，则f 是1A 到0A 的双射，由此得： 01()9()S A S A =，
从而：1()10()S A S A =. 又对1
0m m a a a a B -∀=∈，令
101()(9)()
(9)m m b g a a a a a A -==---∈，
则g 是B 到1A 的双射，其中：
119
999(91)8
m m m a b +++=++
+=-.
因为1010{|18,0,1,
,7}m m m m B a a a a a a m --=≤<<
<≤=，
所以B 中共有
7
18
m m C
+=∑个元素，因此
7881188
188********()()(91)9(102)8888
m m k k k m k k S B S A C C C ++===+=-=-=-∑∑∑
又令2A 表示A 中最高位数8m a =的正整数全体，A 中其余的数和零所成集合记为3A ，则
23()()()S A S A S A =+
对10m m a a a a B -∀=∈，令103()(8)(8)(8)m m b a a a a A σ-==---∈则σ是B 到3A 的
双射，其中：
118989891m m m a b -++=++
+=-.
所以8
1
18838
()()(91)102m m k S B S A C
++=+=-=-∑
最后对028{8}m
a a a A ∀=∈-，令 0()(8)
(8)m b a a a B τ==--∈，
则τ是2{8}A -到B 的双射，其中：
128989891m m m a b +++=+++=-.
所以7
8
12
18828
80
1
()()8(9
1)8(91)9102m m k k m k S B S A C
C +++==+=+-=+-=-∑∑.
于是
889919()()(102)1082()()102S B S A S B S A ⎧
+=-⎪
⎨
⎪+=-⎩
. 解之得：9
31()108096875008032
S A =
+=，()15624704S B =，由于A 和B 中都含有1,2，…，8，因此所求正整数的和等于：
()()36984374748S A S B +-=.。