物理竞赛 联赛公式大全

角速度
g0 GM 3 R0 R0

g GM R R3

1 R3
★模型特征：
两颗相近的天体绕它们连线上的某 vm 点（质心Ｏ）以共同的角速度做匀速 m 圆周运动 .
ω
M Rm ORM vM
★模型规律：
之一：两天体做圆周运动的向心力均为两天体间的万有引 力，大小相等，即 mR 2 MR 2
♣
v FN mg 轨 道
v gR sin
FN

v mg sin FN m R 当FN =0时，v 临界= Rg sin
在水平直径以上各点 不脱离轨道的条件是 ：
2
轨 道
mg
v gR sin
♣
机械能守恒 mg 2 R 1 mv 2 1 mv 2 下 上
v上 FN上 mg
地球质量M 太阳质量MS 地球半径R 日地距离r 物体质量m 2 v1 GMm GM 第一宇宙速度v1： 由 m v1 7.9 km/s R R2 (地球环绕速度) R GMm 1 2 第二宇宙速度v2： 由能量守恒 mv2 R 2 2GM (地球逃逸速度) v2 11.2 km/s R 第三宇宙速度v3： 原处于太阳系中地球轨道位臵的物体离 (太阳逃逸速度) 开太阳系所需“逃逸速度”
在中心引力场中，m从 A1移至无穷远处，引力
做负功为：
n
rn M m A1 A2 A3 An
r1
n n GMm ri 1 ri GMm lim 1 1 W lim 2 ri 1 ri GMm lim n n ri 1 n i 1 ri ri ri ri 1 i 1 i 1 1 1 1 1 1 1 GMm lim GMm 1 1 n r r2 r2 r3 rn 1 rn r1 rn 1
W非 0
FN v Ff
FN Ff v
mg
mg
查阅
h L0 将珠子的运动等效为从高 处水平抛出、射程为 2
L h 、初速度为 v0
2 0 2
L2 h2 0 L0 h 2 g

g L0 h
的平抛运动
v0
v 对轨迹上的P点: g sin
而v
2 2 v0
2
aM
m
GM m 2 m R 2 R T 4 3 G R 2 4 3 R 2 2 T R
2
3 2 GT
1 GMm 2 E mv0 2 r
v0 a e d
E0
vd
E0
2GM r
b
c
GM vb r E 0 v 2GM e r
♠
非惯性系与惯性力
规律
Fi
质点系各质点受系统以 外力F1、F2、……
对质点1
F3
mi
F13
F1i
Fi1
m1
F31
F1
… F21
m3
F12
F1 F21 F31 Fi 1 m1a1
对各质点
m2
F2
F2 F12 F32 Fi 2 m2a2 Fi +F1i F2i F3i Fni mi ai
FN下
2
2
♣ 最高点与最低点的弹力差
F下 mg m
2 v下
1 1 2 2 mg 2 R mv下 mv上 2 2
R 2 v上 mg F上 m R
F下 F上 6mg mg
v下
♣ 能到达最高点的最低点速度
v下 5Rg
♣ 恰能到达最高点，最低点加速度 a 5 g
♣ 竖直面内的匀速圆周运动
点的瞬时加速度，通常将其分解为 法向加速度an与切向加速度at． A
B

vn
♠
曲线运动的加速度
vB
v
vt
A点曲率圆半径 A点曲率圆
vn
O
v A AB aAn lim vt AB t t0 at lim t t 0 t 2 v A AB v lim an t 0 t
F Fi ma非
⑴关于航行时间
船对岸的速度（绝对速度） v 水对岸的速度（牵连速度）v水 船对水的速度（相对速度）v舟
渡河时间取决于船对水的速度v舟:
t
s舟 v舟
v舟
v v 舟
v水 S水
当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最小， d 故可使渡河时间最短:
tmin
故有
Rm M RM m
M Rm L M m R m L M M m
m
M
之二：∵角速度相同，即 vm v M , vm M Rm RM vM m a M m 之三：∵两天体做圆周运动的向心力大小相等， 之四： 之五：双星系统动量守恒
GMm M 2 L3 由 m L T 2 L2 T M m G M m
角动量大小L pr sin 等于动量大小与O点到动量矢 量p的垂直距离的乘积 ;方向 遵守右手定则,矢量定义式为
θ p
A r O
L r p
两面元质量各为 M M S1 S1 S2 S2 2 2 4 r 4 r r1 S1 1 两面元对壳内质点m的引力各为
2GM s 42.1km/s r 这是以日为参照物之速度，而地球对太阳的公转速度 =29.8 km/s；则以地球为参照物，这个速度为 v v 2 地日 2 由能量守恒： 1 mv3 GMm 1 m v2 v地日 2 2 R 2 2 2GM v3 v2 v地日 16.5km/s R v2
相对于惯性系以加速度a运动的参考系称 非惯性参考系. 牛顿运动定律在非惯性参考系中不能适用 a
Fi ma
小球不受外 力而向我加 速
ma m a
小球不受外 力而静止
为了使牛顿定律在非惯性系中具有与惯性系相同的形式，我们可以引入 一个虚拟的力叫惯性力使牛顿第二定律形式为
可适用于非惯性系． 惯性力与物体实际受到的力（按性质命名的力）不同，它是虚构的，没 有施力物，不属于哪种性质的力．
T0
♠ n 质点系的牛顿第二定律
规律
F
i 1
i
m1a1 m2a 2 mi a i
1 2 s at a s 2
规律
规律
i 1
n
♠ ♠ ♠
加速度相关关系
力的加速度效果分配法则
FMmT 牛顿第二定律的瞬时性 示例
m F Mm
加速度与力是瞬时对应的，外力一旦改变，加速度也立即改变，力与 加速度的因果对应具有同时性．确定某瞬时质点的加速度，关键在分析该 瞬时质点的受力，对制约着对象运动状态的各个力的情况作出准确判断.
F1 G

r2
2
S2
m r O
S1 m S2 m , F2 G r12 r22
由几何关系:S1 cos 1 r12
S2 cos 2 r22
F1 F2
整个球壳对球壳内物 质的万有引力为零!
M
返回
对于一个质量均匀半径为R 的实心球，在距球心r（＜R） 处质点只受半径为r的球内质量 的万有引力，而r以外球壳（即 R为外径r为内径的球壳）则对 质点无引力的作用． 距球心r处所臵质点受到引力大小
河岸
v舟
d
v水
v水
v舟
河岸
v舟 d θ
v
v水
v舟
v θ v水
河岸
v
d
河岸
θ v水
v舟
当船的航程最短时，航行时间不是最短．
v 质点的瞬时加速度定义为 a lim t 0 t 为求一般的做曲线运动质点在任一
vt vn at lim an lim t 0 t t 0 t
轨道与 能量
引力势 能
1 2 GMm E mv0 恒量 2 r 示例
轨道与 能量
两个天体相互作用过程中，如果其它星系离它们很遥远，对它们的作 用可以忽略的话，这两个天体的总动量守恒，两个天体从相距很远到相互 作用直到远离，它们的始末速度满足弹性碰撞的方程组，那么在它们相互 作用的前后相对速度遵守“反射定律”，如果是一维方向上的“弹性碰 撞”，则相对速度等值反向．若一个飞船向外喷气或抛射物体，则系统的 动量守恒而机械能不守恒． 角动量
S
S舟
河岸 d v舟
v
v水
河岸
水速大小不影响渡河时间!
⑵关于实际航程
为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹角θ 尽量地小！ 若v舟＞v水，船的实际位移为河宽d航程即最短，故 v舟的方向 v 与船的航线成 sin1 水 船头指向上游
若v舟＜v水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在 船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成 cos1 v舟 这时船的实际航程为
2x
x
问题情景
a
m (a)
F
a a mM m (c) (b) M a mM F (d)
a m M (e) a m F M (f)
M
F
F
FMmT
F ( m1 m2 m3 )a Fi mi a
m F Mm
Fi mi F m1 m2 m3
如果引起整体加速度的外力大小为F，则引起各部 分同一加速度的力大小与各部分质量成正比， F这 个力的加速度效果将依质量正比例地分配．
中心天体半径R0
轨道半径R
ag GM R2
与轨道半径关系
加速度 速度 周期
GM a0 g0 2 R0
GM v0 R0 g0 R0
aຫໍສະໝຸດ Baidu
1 R2
GM v Rg R
v
1 R
3 3 R0 R0 T 2 R 2 R T 2 2 g GM g0 GM
T R3
v2 y
2T0 sin mg sin m
则珠子速度
L0 h g L0 h 2 g 2 2 L0 y sin 2 gy sin
y y
h L0 2

v
L2 h2 0
g
v 2 gy
L0 2T0 mg 2 L0 y y 2T0 gL0 2T0 mg
F
n
i
m1a1 m2a 2 mi a i
n
示例
绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往 有相关联系，确定它们的大小关系的一般方法是：设 想物系各部分从静止开始匀加速运动同一时间，则由
可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关
1 2 s at a s 2
物体在同一时间内的位移比，便确定了两者加 速度大小关系．
m R r
r3 3 M m R G Mm r F G 2 R3 r
距球心r处所臵质点的引力势能
M
Mm R r GMm 由G 3 R r E p E G Mm r 2 3 R 2 R 2 R p 3
2R


专题11-例1 试推导地球上的第三宇宙速度v3．
以无穷远处为零引力势 能位置，物体在距中心 天体r远处的引力势能为
GMm Ep r
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矢量r称位置矢量，或称矢径
绕定点圆运动质点的（线）动量为
O
r
m p
p mv 方向总是与矢径r垂直
定义: 质点动量大小mv与矢径大小r的乘积为质点对
定点（圆心）O的角动量：L=pr 当p与r方向不垂直而成角度θ：
若作用在质点上的力对某定点的力矩为零，则质点对该定点的角动量保 持不变，这就是质点的角动量守恒定律．物体在受有心力作用而绕着中心天 体运动，或几个天体互相绕其系统质心运动时，由于有心力必过力心，对力 模型与 心的力矩为零，故系统的角动量守恒．即 mvr sin 恒量 ． 方法

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物体只在引力作用下绕中心天体运行，其机械能守 恒．引力是保守力，引力场是势场，在平方反比力场 中，质点的引力势能取决于其在有心力场中的位置．


水平直径以上各点的临界速度 ⑴在水平直径以上各点弹力方向是指 向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过 v 山车…… v2 FT mg sin m 线 R 绳 R FT mg 当FT =0时，v 临界= Rg sin 在水平直径以上各点不脱离轨道 因而可做完整的圆运动的条件是 ： ⑵在水平直径以上各点弹力方向是 背离圆心的情况，例如车过拱形桥……